i) Rozwiązanie równania y’’+y’-2y=0 jest (Subscript[λ, 1])(e^(-2t))+(Subscript[λ, 2]) (e^t)

DSolve[y''[t]+y'[t]-2y[t]==0,y[t],t]

ii) Rozwiązanie równania y’’-9y=0 jest (Subscript[λ, 1])(e^(3t))+(Subscript[λ, 2]) (e^(-3t))

DSolve[y''[t]-9y[t]==0,y[t],t]

iii) Rozwiązanie równania y’’-4y’=0 jest (Subscript[λ, 1])(e^(4t))+(Subscript[λ, 2])

DSolve[y''[t]-4y'[t]==0,y[t],t]

iv) Rozwiązanie równania y’’-2y’-y=0 jest (Subscript[λ, 1])(e^((1-(Sqrt[2]))t))+(Subscript[λ, 2]) (e^((1+(Sqrt[2]))t))

DSolve[y''[t]-2y'[t]-y[t]==0,y[t],t]

v) Rozwiązanie równania y’’-2y’-8y=0 jest (Subscript[λ, 1])(e^(-2t))+(Subscript[λ, 2]) (e^(4 t))

DSolve[y''[t]-2y'[t]-8y[t]==0,y[t],t]

vi) Rozwiązanie równania y’’+y=0 jest (Subscript[λ, 1])Cos t+(Subscript[λ, 2]) Sin t

DSolve[y''[t]+y[t]==0,y[t],t]

vii) Rozwiązanie równania y’’+6 y’+13y=0 jest (Subscript[λ, 1])(e^(-3t))Cos (2t)+(Subscript[λ, 2]) (e^(-3t))Sin (2t)

DSolve[y''[t]+6 y'[t]+13 y[t]==0,y[t],t]

viii) Rozwiązanie równania 4y’’-8y’+5y=0 jest (Subscript[λ, 1])(e^((4-(Sqrt[11]))t))+(Subscript[λ, 2]) (e^((4+(Sqrt[11]))t))

DSolve[y''[t]-8 y'[t]+5 y[t]==0,y[t],t]

ix) Rozwiązanie równania y’’-2y’+y=0 jest (Subscript[λ, 1])(e^t)+(Subscript[λ, 2])  t (e^t)

DSolve[y''[t]-2 y'[t]+ y[t]==0,y[t],t]

x) Rozwiązanie równania 4y’’-20y’+25y=0 jest (Subscript[λ, 1])(e^((10-5(Sqrt[3]))t))+(Subscript[λ, 2]) (e^((10+5(Sqrt[3]))t))

DSolve[y''[t]-20 y'[t]+ 25 y[t]==0,y[t],t]

xi) Rozwiązanie równania y’’-4y’+3y=0 i y(0)=6, y’(0)=10 jest 2(e^t)(2+(e^(2t)))

DSolve[{y''[t]-4 y'[t]+ 3 y[t]==0,y[0]==6,y'[0]==10},y[t],t]

xii) Rozwiązanie równania y’’+4y’+29y=0 i y(0)=0 i y’(0)=15 jest 3(e^(-2t))Sin 5t

DSolve[{y''[t]+4 y'[t]+ 29 y[t]==0,y[0]==0,y'[0]==15},y[t],t]

xiii) Rozwiązanie równania 4y’’+4y’+y=0 jest (e^(-t/2))(2+t)

DSolve[{4 y''[t]+4 y'[t]+  y[t]==0,y[0]==2,y'[0]==0},y[t],t]

ZADANIA II

Rozwiązanie równania 2y’’+y’-y=2 (e^t) jest (e^t)+(e^(t/2))(Subscript[λ, 1])+(e^(-t))(Subscript[λ, 2])

DSolve[{2 y''[t]+y'[t]- y[t]==2 (E^t)},y[t],t]

Rozwiązanie równania y''+(a^2)y=(e^t) jest e^t + Cos(at) (Subscript[λ, 1]) + Sin(at) (Subscript[λ, 2]) + (((e^t)((Cos^2)(at)+(Sin^2)(at)))/(1+(a^2)))

DSolve[{y''[t]+(a^2)y[t]==(E^t)},y[t],t]

Rozwiązanie równania y''-7y'+6y=Sin(t) jest (e^t) (Subscript[λ, 2])+ (e^(6t)) (Subscript[λ, 1]) +  ((7 Cos(t)+5Sin(t))/74)

DSolve[{y''[t]-7y'[t]+6y[t]==Sin[t]},y[t],t]

Rozwiązanie równania y'' + 2 y' + 5y=((-17)/2)Cos(t) jest (e^(-t))Cos(2t)+(e^(-t))Sin(2t)+(1/8)(-4 Cos(2t) Cos(4t)-17 Sin(2t)-Cos(4t) Sin(2t)+Cos(2t) Sin(4t)-4Sin(2t)Sin(4t))

DSolve[{y''[t]+2y'[t]+5y[t]==((-17)/2)Cos[2 t]},y[t],t]

ZADANIA 5

DSolve[y'''[t]+9y'[t]==0,y[t],t]

DSolve[y''''[t]-13y''[t]+36 y[t]==0,y[t],t]

DSolve[y''''[t]-8y''[t]+16 y[t]==0,y[t],t]

DSolve[y''''[t]-16y[t]==0,y[t],t]

ZADANIA VI

i)

DSolve[{x'[t]==y[t]-7x[t],y'[t]==-2x[t]-5y[t]},{x[t],y[t]},t]

Rozwiazania

(({{(E^(-6 t))  (Cos[t]-Sin[t]), (E^(-6 t))  Sin[t]}, {-2 (E^(-6 t))  Sin[t], (E^(-6 t))  (Cos[t]+Sin[t])}})).(({{C[1]}, {C[2]}}))

ii)

DSolve[{x'[t]==y[t]+2x[t],y'[t]==3x[t]+4y[t]},{x[t],y[t]},t]

{{x[t]->(1/4) (E^t) (3+(E^(4 t))) C[1]+(1/4) (E^t) (-1+(E^(4 t))) C[2],y[t]->(3/4) (E^t) (-1+(E^(4 t))) C[1]+(1/4) (E^t) (1+3 (E^(4 t))) C[2]}}

Rozwiazania

(({{(1/4) (E^t) (3+(E^(4 t))), (1/4) (E^t) (-1+(E^(4 t)))}, {(3/4) (E^t) (-1+(E^(4 t))),   (1/4) (E^t) (1+3 (E^(4 t)))}})).(({{C[1]}, {C[2]}}))

Układ równań liniowych różniczkowych z diagonalizowalną macierzą współczynników  (nad R)

iv)

Uklad równań liniowych

({{(dx/dt)=x-y+z}, {(dy/dt)=x+y+z}, {(dz/dt)=2x-y}})

Postac macierzowa

(({{(dx/dt)}, {(dy/dt)}, {(dz/dt)}}))=(({{1, -1, 1}, {1, 1, -1}, {2, -1, 0}})).(({{x}, {y}, {z}}))

Macierz wspołczynnikow

A=(({{1, -1, 1}, {1, 1, -1}, {2, -1, 0}}));

Wartości własne

Eigenvalues[A]

Wektory własne

Eigenvectors[A]

MatrixForm[MatrixExp[t(({{1, -1, 1}, {1, 1, -1}, {2, -1, 0}}))]]

Rozwiazania

Exp[At].(({{C[1]}, {C[2]}, {C[3]}}))=(({{(1/6) (E^(-t)) (1+3 (E^(2 t))+2 (E^(3 t))), -(E^t) (-1+(E^t)), (1/6) (E^(-t)) (-1-3 (E^(2 t))+4 (E^(3 t)))}, {(1/2) (E^(-t)) (-1+(E^(2 t))),  (E^t), -(1/2) (E^(-t)) (-1+(E^(2 t)))}, {(1/6) (E^(-t)) (-5+3 (E^(2 t))+2 (E^(3 t))), -(E^t) (-1+(E^t)), +(1/6) (E^(-t)) (5-3 (E^(2 t))+4 (E^(3 t)))}})).(({{C[1]}, {C[2]}, {C[3]}}))

v)

Uklad równań liniowych

({{(dx/dt)=x-2y-z}, {(dy/dt)=-x+y+z}, {(dz/dt)=x-z}})

Postac macierzowa

(({{(dx/dt)}, {(dy/dt)}, {(dz/dt)}}))=(({{1, -2, -1}, {-1, 1, 1}, {1, 0, -1}})).(({{x}, {y}, {z}}))

Macierz wspołczynnikow

A=(({{1, -2, -1}, {-1, 1, 1}, {1, 0, -1}}));

Wartości własne

Eigenvalues[A]

Wektory własne

Eigenvectors[A]

MatrixForm[MatrixExp[t A]]

Rozwiazania

Exp[At].(({{C[1]}, {C[2]}, {C[3]}}))=(({{(1/2) (1+(E^(2 t))), 1-(E^(2 t)), (1/2) (1-(E^(2 t)))}, {-(1/3) (E^(-t)) (-1+(E^(3 t))), (1/3) (E^(-t)) (1+2 (E^(3 t))), (1/3) (E^(-t)) (-1+(E^(3 t)))}, {(1/6) (E^(-t)) (-4+3 (E^t)+(E^(3 t))), -(1/3) (E^(-t)) (((-1+(E^t)))^2) (2+(E^t)), -(1/6) (E^(-t)) (-4-3 (E^t)+(E^(3 t)))}})).(({{C[1]}, {C[2]}, {C[3]}}))

vi)

Uklad równań liniowych

({{(dx/dt)=3x-y+z}, {(dy/dt)=x+y+z}, {(dz/dt)=4x-y+4z}})

Postac macierzowa

(({{(dx/dt)}, {(dy/dt)}, {(dz/dt)}}))=(({{3, -1, 1}, {1, 1, 1}, {4, -1, 4}})).(({{x}, {y}, {z}}))

Macierz wspołczynnikow

A=(({{3, -1, 1}, {1, 1, 1}, {4, -1, 4}}));

Wartości własne

Eigenvalues[A]

Wektory własne

Eigenvectors[A]

MatrixForm[MatrixExp[t A]]

Rozwiazania

Exp[At].(({{C[1]}, {C[2]}, {C[3]}}))=(({{(1/12) (E^t) (3+4 (E^t)+5 (E^(4 t))), -(1/6) (E^t) (-3+2 (E^t)+(E^(4 t))), (1/4) (E^t) (-1+(E^(4 t)))}, {(1/12) (E^t) (3-8 (E^t)+5 (E^(4 t))), -(1/6) (E^t) (-3-4 (E^t)+(E^(4 t))), (1/4) (E^t) (-1+(E^(4 t)))}, {(1/4) (E^t) (-1-4 (E^t)+5 (E^(4 t))), -(1/2) (E^t) (1-2 (E^t)+(E^(4 t))), (1/4) (E^t) (1+3 (E^(4 t)))}})).(({{C[1]}, {C[2]}, {C[3]}}))

Układ równań liniowych różniczkowych z diagonalizowalną macierzą współczynników  (nad C)

vii)

Uklad równań liniowych

({{(dx/dt)=2x+y}, {(dy/dt)=x+3y-z}, {(dz/dt)=-x+2y+3z}})

Postac macierzowa

(({{(dx/dt)}, {(dy/dt)}, {(dz/dt)}}))=(({{2, 1, 0}, {1, 3, -1}, {-1, 2, 3}})).(({{x}, {y}, {z}}))

Macierz wspołczynnikow

A=(({{2, 1, 0}, {1, 3, -1}, {-1, 2, 3}}));

Wartości własne

Eigenvalues[A]

Wektory własne

Eigenvectors[A]

MatrixForm[MatrixExp[t A]]

Rozwiazania

Exp[At].(({{C[1]}, {C[2]}, {C[3]}}))=(({{-(1/2) (E^(2 t)) (-3+(E^t) Cos[t]-(E^t) Sin[t]), (1/2) (E^(2 t)) (-1+(E^t) Cos[t]+(E^t) Sin[t]), (1/2) (E^(2 t)) (-1+(E^t) Cos[t]-(E^t) Sin[t])}, {(E^(3 t)) Sin[t], (E^(3 t)) Cos[t], -(E^(3 t)) Sin[t]}, {-(1/2) (E^(2 t)) (-3+3 (E^t) Cos[t]-(E^t) Sin[t]), (1/2) (E^(2 t)) (-1+(E^t) Cos[t]+3 (E^t) Sin[t]), (1/2) (E^(2 t)) (-1+3 (E^t) Cos[t]-(E^t) Sin[t])}})).(({{C[1]}, {C[2]}, {C[3]}}))

xxi)

Uklad równań liniowych

({{(dx/dt)=-x+y+z}, {(dy/dt)=x-y+z}, {(dz/dt)=x+y+z}})

aPostac macierzowa

(({{(dx/dt)}, {(dy/dt)}, {(dz/dt)}}))=(({{-1, 1, 1}, {1, -1, 1}, {1, 1, 1}})).(({{x}, {y}, {z}}))

Macierz wspołczynnikow

A=(({{-1, 1, 1}, {1, -1, 1}, {1, 1, 1}}));

Wartości własne

Eigenvalues[A]

Wektory własne

Eigenvectors[A]

MatrixForm[MatrixExp[t A]]

Rozwiazania

Exp[At].(({{C[1]}, {C[2]}, {C[3]}}))=(({{(1/6) (E^(-2 t)) (3+2 (E^t)+(E^(4 t))), (1/6) (E^(-2 t)) (-3+2 (E^t)+(E^(4 t))), (1/3) (E^(-t)) (-1+(E^(3 t)))}, {(1/6) (E^(-2 t)) (-3+2 (E^t)+(E^(4 t))), (1/6) (E^(-2 t)) (3+2 (E^t)+(E^(4 t))), (1/3) (E^(-t)) (-1+(E^(3 t)))}, {(1/3) (E^(-t)) (-1+(E^(3 t))), (1/3) (E^(-t)) (-1+(E^(3 t))), (1/3) (E^(-t)) (1+2 (E^(3 t)))}})).(({{C[1]}, {C[2]}, {C[3]}}))