Równania różniczkowe II

Zadanie 1

Rozwiązać równanie:

					(dy/dx)=(y/x)+(Cos^2) (y/x)

DSolve[y'[x]==((y[x])/x) +((Cos[((y[x])/x)])^2),y[x],x]

{{y[x]->x ArcTan[2 C[1]+Log[Abs[x]]]}}

Plot[x ArcTan[2+Log[Abs[x]]],{x,-1,1}]

Zadanie 2

Rozwiązać równanie:

					(dy/dx)=(y/x)Log[(y/x)]

DSolve[y'[x]==((y[x])/x) Log[((y[x])/x)],y[x],x]

Plot[(E^(1+ x)) x,{x,-1,1}]

Zadanie 3

Rozwiązać równanie:

					t (dx/dt)-4 x-(t^2) (Sqrt[x])=0.

FullSimplify[DSolve[t x'[t]-4 x[t]-(t^2) (Sqrt[x[t]])==0,x[t],t]]

Plot[(1/4) (t^4) (((2 1+Log[Abs[t]]))^2),{t,-1,1}]

Zadanie 4

Rozwiązać równanie:

					3x (y^2)(dy/dx)=2(y^3)+(x^3).

DSolve[3 x ((y[x])^2) y'[x]==2 ((y[x])^3)+(x^3),y[x],x]

Plot[((((x^2)(x+1)))^(1/3)),{x,0,2}]

Zadanie 5

Do zacisków źrodła o stałym napięciu U w chwili t=0 zostaje podłączony obwód zawierający kondensator o pojemności C i opornik o oporze R (elementy połączono szeregowo). Wyznaczyć przebieg zmian natężenia prądu I(t) dla danego obwodu włąconego do źrodła (Drugie prawo Kirchoffa U=RI-(Q/C)).

DSolve[{((-Q[t])/C)-Q'[t] R==U,Q[0]==0},Q[t],t]

{{Q[t]->-C (E^(-(t/(C R)))) (-1+(E^(t/(C R)))) U}}

Plot[-(E^(-(t/5))) (-1+(E^(t/5))) ,{t,0,15}]

Plot[(1/5)-(1/5) (E^(-t/5)) (-1+(E^(t/5))),{t,0,15}]