Wymagania egzaminacyjne z matematyki na uzupełniające studia magisterskie
na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego

1. Układy równań liniowych i macierze
   • macierz układu równań i macierz rozszerzona
   • istnienie i jednoznaczność rozwiązań
   • działania na macierzach
   • wyznaczniki
   • odwracanie macierzy
   • układy równań Cramera i wzory Cramera
   • rząd macierzy
2. Indukcja matematyczna
3. Liczby zespolone
   • podstawowe działania, interpretacja geometryczna
   • postać trygonometryczna
   • pierwiastki liczby zespolonej, znajdowanie pierwiastków wielomianów
4. Ciągi i szeregi
   • Ciągi liczbowe
     • badanie zbieżności ciągów
     • liczba e jako granica ciągu
   • Szeregi
     • badanie zbieżności szeregów, wyznaczanie promienia zbieżności
     • przestawianie wyrazów w szeregach nieskończonych
5. Funkcje elementarne: funkcja wykładnicza, logarytmiczna, funkcje hiperboliczne i trygonometryczne
6. Przestrzenie liniowe i elementy geometrii analitycznej
   • baza i wymiar przestrzeni liniowej
   • przestrzeń unitarna, norma wektora, iloczyn skalarny
   • ortonormalizacja bazy
   • odwzorowanie liniowe przestrzeni skończenie wymiarowych i jego macierz
   • odwzorowania i macierze ortogonalne (unitarne)
   • wyznaczanie wartości i wektorów własnych
   • diagonalizacja macierzy - przypadek macierzy symetrycznych (hermitowskich)
   • równanie prostej na płaszczyźnie i w przestrzeni
   • równanie płaszczyzny
   • krzywe stożkowe
7. Podstawy rachunku różniczkowego
   • Granice funkcji:
     • granice sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji
     • granice niewłaściwe funkcji i granice w nieskończoności
     • granice jednostronne
     • ciągłość funkcji
   • pochodna funkcji w punkcie, interpretacja geometryczna
   • pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji, pochodne funkcji elementarnych
   • pochodna funkcji złożonej i odwrotnej
   • znajdowanie ekstremów lokalnych
   • reguły de l'Hospitala, asymptoty
   • pochodne wyższych rzędów
   • wzór Taylora
   • zastosowanie do badania przebiegu funkcji
8. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
   • Różniczkowanie funkcji dwóch zmiennych
     • pochodne cząstkowe i kierunkowe
     • gradient funkcji
     • pochodne cząstkowe wyższych rzędów
     • wzór Taylora
     • punkty krytyczne, warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych
   • laplasjan w R³ we współrzędnych kartezjańskich, sferycznych i walcowych
   • Odwzorowania przestrzeni wektorowych
     • pochodna odwzorowania, macierz Jacobiego
     • różniczkowanie odwzorowań złożonych
     • równanie płaszczyzny stycznej do poziomicy funkcji
     • odwracalność odwzorowań, pochodna odwzorowania odwrotnego
     • funkcje i odwzorowania uwikłane
     • ekstrema związane, metoda mnożników Lagrange'a
9. Równania różniczkowe zwyczajne
   • postać równania różniczkowego, zagadnienie początkowe Cauchy'ego
   • całka ogólna i szczególna, rozwiązania osobliwe
   • równania pierwszego rzędu:
     • równania jednorodne
     • równania liniowe, metoda uzmienniania stałej, postać ogólna rozwiązania problemu liniowego niejednorodnego
   • równania drugiego rzędu:
     • równania liniowe o stałych współczynnikach
     • równania liniowe ogólne: rozwiązania fundamentalne, wrońskian
     • metoda uzmienniania stałych
     • postać ogólna rozwiązania liniowego problemu niejednorodnego
   • układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach
10. Całki
    • Jednowymiarowa całka Riemanna
      • całka nieoznaczona i oznaczona
      • twierdzenie podstawowe rachunku różniczkowego i całkowego, wzór Newtona - Leibniza
      • interpretacja geometryczna i zastosowania całki
      • metody całkowania: przez części i przez podstawienie
      • szczególne typy całek: z funkcji wymiernych, niewymiernych, trygonometrycznych
    • Całki wielokrotne
      • całka Riemanna na przedziale, całkowanie po obszarach
      • zastosowanie do obliczania pola powierzchni i objętości
    • Całki w Rⁿ:
      • całka z pola wektorowego wzdłuż krzywej, warunki niezależności całki od drogi
      • twierdzenie Gaussa i wzór Stokesa-Greena
      • zamiana zmiennych w całce podwójnej, całka zorientowana po obszarze w R²
      • krzywe w R³: długość łuku krzywej
      • powierzchnie w R³, płaszczyzna styczna, wektor normalny
      • pole powierzchni płata
      • całka powierzchniowa z pola wektorowego
      • twierdzenie Stokesa w R³, rotacja pola wektorowego
      • zamiana zmiennych w całce potrójnej
      • wzór Gaussa w R³, dywergencja pola wektorowego
      • pola wektorowe potencjalne

1. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I 1994, t. II i III 1995, PWN
2. R. Leitner, Zarys matematyki wyższej, 1998, Wyd. Naukowo-Techniczne.
3. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, 1973 , PWN.
4. F. Leja, Geometria analityczna , 1969, PWN.
5. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, 1956, PWN.
6. W. Krysicki i L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I i II, 1980, PWN
7. J. Mikusiński, Wstęp do analizy matematycznej, 1990 , PWN.

Przykładowe zadania