\documentclass[a4paper,12pt,oneside,dvips,driver]{report}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{pstricks,pst-node,pst-coil}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{latexsym}
\pagestyle{headings}

\begin{document}

\begin{Large}
\begin{center}
Zadania domowe z mechaniki statystycznej \\
do wyk\l adu prof. Marka Napi\'{o}rkowskiego \\
Seria 1
\end{center}
\end{Large}

\bigskip

1. Dla oscylatora harmonicznego o poziomach energetycznych $n \hbar
\omega$, gdzie $n=0,1,2, \ldots$, znajduj\k{a}cego si\k{e} w r\'{o}wnowadze 
termodynamicznej, prawdo\-podobie\'{n}stwo obsadzenia n-tego poziomu wynosi
\[
p_{n}=(1-x)x^{n}, \quad x=\exp \left( - \frac{\hbar \omega}{k_{B}T}
\right)
\]
(tzw. rozk\l ad Pascala). Pokaza\'{c}, \.{z}e dyspersja dla tego
rozk\l adu jest wi\k{e}ksza ni\.{z} dyspersja dla rozk\l adu Poissona
o tej samej \'{s}redniej, co w obecnym przypadku.

\bigskip

2. Pokaza\'{c}, \.{z}e rozk\l ad Lorantza w skali cz\k{e}sto\'{s}ci $\nu$,
\[
P(\nu)= \frac{1}{\pi} \frac{\kappa}{(\nu-a)^{2}+\kappa^{2}} ,
\]
jest r\'{o}wnie\.{z} rozk\l adem Lorentza w skali d\l ugo\'{s}ci fali
$\lambda=\frac{c}{\nu}$, tzn.
\[
P(\lambda)= \frac{1}{\pi}
\frac{\frac{\kappa c}{a^{2}+\kappa^{2}}}
{\left( \lambda - \frac{ca}{a^{2}+\kappa^{2}} \right)^{2}
+\left( \frac{\kappa c}{a^{2}+\kappa^{2}} \right)^{2}}
\]

\bigskip

3. Pokaza\'{c}, \.{z}e suma dw\'{o}ch niezale\.{z}nych zmiennych
poissonowskich jest te\.{z} zmienn\k{a} poissonowsk\k{a}.

\bigskip

4. Udowodni\'{c} nier\'{o}wno\'{s}\'{c} Czebyszewa:
dla dowolnej sta\l ej $a \neq 0$ prawdo\-podobie\'{n}stwo, \.{z}e 
$(x-\langle x \rangle)^{2}>a^{2}$ jest nie wi\k{e}ksze od 
$\frac{\langle (x-\langle x \rangle)^{2} \rangle}{a^{2}}$, gdzie 
$x$ oznacza warto\'{s}\'{c} zmiennej stochastycznej $X$ o rozk\l adzie
prawdo\-podonie\'{n}stwa $P_{X}(x)$.

Wsk. Pos\l u\.{z}y\'{c} si\k{e} rozk\l adem prawdopodobie\'{n}stwa dla
zmiennej $(x- \langle x \rangle)^{2}$ i oszacowa\'{c} $\langle
(x- \langle x \rangle)^{2} \rangle$.

\bigskip

Rozwi\k{a}zania zada\'{n} podpisane w\l asnym imieniem i nazwiskiem,
ka\.{z}de na osobnej kartce papieru, prosimy przygotowa\'{c} \textbf{
na wtorek 21.10.2003r.} Rozwi\k{a}zania wybranych zada\'{n} zbierane
b\k{e}d\k{a} \textbf{ przed wyk\l adem \\ do godziny 12:15.}

\end{document}