\documentclass{article}[14pt]
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\centerline{\bf Zadania domowe z mechaniki statystycznej, seria 2}
\vspace*{5mm}

1) Uk{\l}ad sk{\l}ada si\c{e} z $N$ klasycznych cz\c{a}steczek, ka\.zda o masie $m$. Ka\.zda
z nich drga wok\'o{\l} swojego po{\l}o\.zenia r\'ownowagi z cz\c{e}sto\'sci\c{a} $\omega$.
Pos{\l}uguj\c{a}c si\c{e} rozk{\l}adem mikrokanonicznym znale\'z\'c entropi\c{e} uk{\l}adu
(relacj\c{e} fundamentaln\c{a}). Nast\c{e}pnie zapisa\'c  energi\c{e} i entropi\c{e} uk{\l}adu 
jako funkcj\c{e} temperatury i liczby cz\c{a}steczek. Przyj\c{a}\'c niesko\'nczon\c{a}
obj\c{e}to\'s\'c uk{\l}adu.
\vspace{5mm}

2) Powierzchnia cia{\l}a zawiera $N$ pu{\l}apek mog\c{a}cych zaadsorbowa\'c atom
(tylko jeden) pewnego pierwiastka. Cia{\l}o przygotowano w ten spos\'ob, \.ze  $n<N$ pu{\l}apek 
zaadsorbowa{\l}o atomy, pozosta{\l}e pu{\l}apki s\c{a} puste. Uk{\l}ad zosta{\l} odizolowany
od otoczenia, tak \.ze \.zaden atom nie mo\.ze opu\'sci\'c powierzchni, ani \.zaden nowy atom nie 
mo\.ze zosta\'c zaadsorbowany, atomy mog\c{a} jedynie przeskakiwa\'c z jednej pu{\l}apki do 
innej wolnej.\\
1. Znale\'z\'c entropi\c{e} uk{\l}adu.\\
2. Niech b\c{e}dzie drugi taki uk{\l}ad o $M$ pu{\l}apkach i $m$ zaadsorbowanych atomach.
Znale\'z\'c entropi\c{e} wi\c{e}kszego uk{\l}adu z{\l}o\.zonego z tych dw\'och w sytuacji gdy
poduk{\l}ady s\c{a}: \\
(a) zamkni\c{e}te,\\
 (b) mog\c{a} wymienia\'c atomy.\\
(c) Pokaza\'c, \.ze gdy dwa uk{\l}ady s\c{a} w r\'ownowadze, ilo\'sci atom\'ow w obu uk{\l}adach 
${\bar n}$ i ${\bar m}$ spe{\l}niaj\c{a} warunek:
\begin{displaymath}
\frac{{\bar n}}{N}\,=\,\frac{{\bar m}}{M}\,\,\,.
\end{displaymath}
Wskaz\'owka: Znale\'z\'c prawdopodobie\'nstwo przeskoczenia atomu z uk{\l}adu pierwszego do
drugiego i prawdopodobie\'nstwo przeskoczenia atomu z uk{\l}adu drugiego
do pierwszego, a nast\c{e}pnie por\'owna\'c je.
\vspace{5mm}

3) Na \'cwiczeniach przedyskutowano uk{\l}ad $N$ nieodddzia{\l}uj\c{a}cych mi\c{e}dzy sob\c{a}
cz\c{a}steczek o dw\'och poziomach energetycznych $\varepsilon$ i $-\varepsilon$.
Znale\'z\'c energi\c{e} tego uk{\l}adu jako funkcj\c{e} temperatury absolutnej. 
Znale\'z\'c ciep{\l}o w{\l}a\'sciwe
(na jedn\c{a} cz\c{a}steczk\c{e}). Narysowa\'c wykres przedstawiaj\c{a}cy zale\.zno\'s\'c energii
i ciep{\l}a w{\l}a\'sciwego od temperatury dla $T>0$.
\vspace{5mm}

4) Pokaza\'c, \.ze trajektoria fazowa dla oscylatora harmonicznego jest elips\c{a}. 
Pokaza\'c, \.ze w trakcie ewolucji czasowej obszaru pokazanego na rysunku
nie ulega zmianie jego obj\c{e}to\'s\'c w przestrzeni fazowej (twierdzenie Liouville'a).

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{elipsa.eps}
\end{center}
\caption{Rysunek do zadania 4}
\end{figure}

\bigskip

Zadania przynosimy na wyk{\l}ad w dniu 21.10.03 (na osobnych kartkach).\\\\
\hspace*{3cm} K. Rejmer
\end{document}