\documentclass[a4paper,12pt,oneside,dvips,driver]{report}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{pstricks,pst-node,pst-coil}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{latexsym}
\pagestyle{headings}

\begin{document}

\begin{Large}
\begin{center}
Zadania domowe z mechaniki statystycznej \\
do wyk\l adu prof. Marka Napi\'{o}rkowskiego \\
Seria 3
\end{center}
\end{Large}

\bigskip

1. Cz\k{a}steczka DNA sk\l ada si\k{e} z dw\'{o}ch po\l \k{a}czonych
   ze sob\k{a} polimer\'{o}w, ka\.{z}dy zbudowany z jedankowej liczby
   $N$ monomer\'{o}w (nukleotyd\'{o}w). Polimery po\l \k{a}czone
   s\k{a} ze sob\k{a} dzi\k{e}ki wi\k{a}zaniom pomi\k{e}dzy
   przeciwleg\l ymi monomerami w cz\k{a}steczce DNA -- zobacz schemat
   na poni\.{z}szym rysunku. Rozwa\.{z}my nast\k{e}puj\k{a}cy model
   wi\k{a}zania polimer\'{o}w w cz\k{a}steczk\k{e} DNA: niech energia
   niepo\l \k{a}czonej pary monomer\'{o}w (czyli otwartego po\l
   \k{a}czenia mi\k{e}dzy polimerami) wynosi $E=\Delta $, natomiast
   energia po\l \k{a}czonej pary (czyli zamkni\k{e}tego po\l
   \k{a}czenia) wynosi $E=0$. Ponadto po\l \k{a}czenie pomi\k{e}dzy
   polimerami mo\.{z}e by\'{c} otwarte tylko wtedy, gdy wszystkie po\l
   \k{a}czenia na lewo od niego tak\.{z}e s\k{a}
   otwarte. Wyznaczy\'{c} energi\k{e} swobodn\k{a} oraz
   \'{s}redni\k{a} liczb\k{e} otwartych po\l \k{a}cze\'{n} w
   temperaturze $T$ dla tego modelu.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{s3.eps}
\end{center}
\end{figure}

\bigskip

2. Mieszanina dw\'{o}ch gaz\'{o}w doskona\l ych wype\l niaj\k{a}ca
   naczynie o obj\k{e}\-to\'{s}ci $V$ utrzymywana w pemperaturze $T$
   sk\l ada si\k{e} z $N_{1}$ cz\k{a}steczek pierwszego gazu i
   $N_{2}=2N_{1}$ cz\k{a}steczek drugiego gazu. Cz\k{a}steczki
   pierwszego gazu mog\k{a} by\'{c} modelowane jako uk\l ad trzech
   wsp\'{o}\l liniowych mas punktowych $m_{1}$ po\l \k{a}czonych
   sztywnymi, niewa\.{z}kimi pr\k{e}tami o d\l ugo\'{s}ci $d$, za\'{s}
   cz\k{a}steczki drugiego gazu jako uk\l ad dw\'{o}ch punkt\'{o}w
   materialnych o takiej samej masie $m_{2}$, po\l \k{a}czonych
   spr\k{e}zyn\k{a} o zerowej d\l ugo\'{s}ci swobodnej i sta\l ej
   spr\k{e}\.{z}ysto\'{s}ci $k$ (drgania zachodz\k{a} w trzech
   kierunkach). W cz\k{a}steczce pierwszego gazu dwa skrajne punkty
   materialne s\k{a} identyczne i r\'{o}\.{z}ne od \'{s}rodkowego,
   za\'{s} w cz\k{a}steczce drugiego gazu --
   r\'{o}\.{z}ne. Wyznaczy\'{c} r\'{o}\.{z}nic\k{e} potencja\l \'{o}w
   chemicznych sk\l adnik\'{o}w mieszaniny. Czy jest mo\.{z}liwa
   sytuacja, by potencja\l y chemiczne obu sk\l adnik\'{o}w mia\l y
   t\k{e} sam\k{a} warto\'{s}\'{c}? Je\'{s}li tak, to wyznaczy\'{c}
   temperatur\k{e}, w kt\'{o}rej to nast\k{a}pi.

\bigskip

3. Wyznaczy\'{c} rozk\l ad liczby cz\k{a}steczek w atmosferze
   traktowanej jako gaz doskona\l y o sta\l ej temperaturze $T$ w (a)
   sta\l ym polu grawitacyjnym, (b) sferycznie symetrycznym polu
   grawitacyjnym nad powierzchni\k{a} Ziemii. Policzy\'{c}
   \'{s}redni\k{a} liczb\k{e} cz\k{a}steczek w ca\l ej atmosferze w
   obu przypadkach i skomentowa\'{c} wynik.

\bigskip

4. (a) Znale\'{z}\'{c} energi\k{e} wewn\k{e}trzn\k{a} oraz ciep\l o w\l
   a\'{s}ci\-we gazu doskona\l ego (tj. cz\k{a}stek nieoddzia\l
   uj\k{a}cych) w przypadku relatywistycznym, tzn. gdy $H= c \sqrt{
   p^{2} + m^{2}c^{2}}$. Znale\'{z}\'{c} energi\k{e} wewn\k{e}trzn\k{a}
   w gazu w niskich tempera\-turach, gdy $k_{B}T \ll mc^{2}$. \\ (b)
   Znale\'{z}\'{c} energi\k{e} wewn\k{e}trzn\k{a}, termiczne
   r\'{o}wnanie stanu oraz ciep\l o w\l a\'{s}ciwe dla gazu doskona\l
   ego w przypadku ultrareletywistycznym ($H=|p|c$). \\ Uwaga:
   w podpunkcie (a) pojawi\k{a} si\k{e} funkcje Hankela
\[
H_{n}^{(1)}(z)= \frac{1}{i \pi} e^{- \frac{i}{2} \pi n} \int_{0}^{\infty}
u^{-n-1} \exp \left[ \frac{i}{2} z (u+ \frac{1}{u}) \right] du
\]

\bigskip

Rozwi\k{a}zania zada\'{n} podpisane w\l asnym imieniem i nazwiskiem,
ka\.{z}de na osobnej kartce papieru, prosimy przygotowa\'{c} \textbf{
na wtorek 4.11.2003r.} Rozwi\k{a}zania wybranych zada\'{n} zbierane
b\k{e}d\k{a} \textbf{ przed wyk\l adem \\ do godziny 12:15.}

\end{document}
