\documentstyle[12pt]{article}
\date{}
\title{}
\author{}
\begin{document}
\centerline{\bf Zadania domowe z mechaniki statystycznej, seria 4}

\vspace*{5mm}
1) W obj\c{e}to\'sci $V$ podzielonej na kom\'orki o obj\c{e}to\'sci $b$ 
ka\.zda znajduje si\c{e} $N$ punktowych cz\c{a}steczek (liczba cz\c{a}steczek 
jest mniejsza od liczby kom\'orek). Potencja{\l} oddzia{\l}ywania mi\c{e}dzy 
dwiema cz\c{a}steczkami jest r\'owny niesko\'nczono\'sci je\'sli znajduj\c{a}
si\c{e} one w jednej kom\'orce i $-\frac{2a}{V}$, gdy znajduj\c{a} si\c{e}
w r\'o\.znych kom\'orkach ($a=const$). Uk{\l}ad ma temperatur\c{e} $T$. 
Znale\'z\'c ci\'snienie gazu (w granicy termodynamicznej). Zbada\'c posta\'c
r\'ownanie stanu dla ma{\l}ych g\c{e}sto\'sci.

\vspace*{5mm}

2) Tarcza o promieniu $R$ porusza si\c{e} z 
pr\c{e}dko\'sci\c{a} $u$ prostopad{\l}\c{a} do jej powierzchni w gazie
doskona{\l}ym z{\l}o\.zonym z cz\c{a}steczek o masie $m$, znajduj\c{a}cym
si\c{e} w stanie r\'ownowagi o temperaturze $T$. Rozmiary i pr\c{e}dko\'s\'c
tarczy s\c{a} na tyle ma{\l}e, \.ze mo\.zna zaniedba\'c zaburzenie
r\'ownowagowego rozk{\l}adu spowodowane jej ruchem). Znale\'z\'c
si{\l}\c{e} oporu jakiej doznaje tarcza z dok{\l}adno\'sci\c{a} do
wyrazu liniowego w $u$. (Cz\c{a}steczki gazu zderzaj\c{a} si\c{e} z 
tarcz\c{a} spr\c{e}\.zy\'scie.)

\vspace*{5mm}

3)(Zadanie nieobowi\c{a}zkowe)
 N cz\c{a}steczek gazu doskona{\l}ego o temperaturze $T$ znajduje 
si\c{e} w pionowym naczyniu o polu podstawy $A$ zamkni\c{e}tym 
t{\l}okiem o masie  
$m$ Zaniedbuj\c{a}c wp{\l}yw pola grawitacyjmego na gaz (ale nie na t{\l}ok) 
znale\'z\'c rozk{\l}ad prawdopodobie\'nstwa $P(z_0)$ po{\l}o\.ze\'n t{\l}oka.
Wyznaczy\'c najbardziej prawdopodobn\c{a} warto\'s\'c $z_0^{*}$
po{\l}o\.zenia t{\l}oka.
Przedstawi\'c rozk{\l}ad prawdopodobie\'nstwa w postaci
$P(z_0)=\frac{(\beta Mg)^{N+1}}{N!}\exp(-g(z_0))$.  (Znale\'z\'c $g(z_0)$).
Rozwin\c{a}\'c $P(z_0)$ wok\'o{\l} $z_0^{*}$  z dok{\l}adno\'sci\c{a} do
wyraz\'ow drugiego rz\c{e}du i zapisa\'c $P(z_0)$ w tym przybli\.zeniu.
Wyznaczy\'c $<(z_0-z_0^{*})^2>$. Wskaz\'owki:
a) $N!=(2\pi N)^{\frac{1}{2}}N^Ne^{-N}$. b) Rozwi\c{a}zanie zadania wymaga
wyprowadzenia nowego zespo{\l}u statystycznego; zespo{\l}u 
izobaryczno-izotermicznego, to znaczy takiego, w kt\'orym gaz jest w
r\'ownowadze z rezerwuarem o danej temperaturze i danym ci\'snieniu.

\vspace*{5mm}

4) Rozwa\.zy\'c jednowymiarowy model Isinga:
\begin{displaymath}
{\cal H}(\{s_i\})\,=\,-J\sum_{i=1}^{N-1}s_is_{i+1}\,-\,H\sum_{i=1}^N s_i
\,\,\,,
\end{displaymath}
gdzie $J>0$, na kt\'ory na{\l}o\.zono nast\c{e}puj\c{a}ce warunki brzegowe:\\
a) $s_1=1$, $s_N=-1$,\\
b)$ s_1=1$, $s_N$ swobodny.\\
Obliczy\'c sum\c{e} statystyczn\c{a} i energi\c{e} swobodn\c{a} Gibbsa
w przypadku $H=0$. Por\'owna\'c j\c{a}  z energi\c{a} swobodn\c{a} tego
uk{\l}adu dla swobodnych (dla obu ko\'nc\'ow) warunk\'ow brzegowych.
Sprawdzi\'c, \.ze w granicy termodynamicznej zawsze otrzymujemy t\c{e}
sam\c{a} funkcj\c{e} $g(T,H)$.

\vspace*{5mm}

5) Rozwa\.zy\'c jednowymiarowy model antyferromagnetyka Isinga:
\begin{displaymath}
{\cal H}(\{s_i\})\,=\,-J\sum_{i=1}^{N-1}s_is_{i+1}\,\,\,,
\end{displaymath}
gdzie $J<0$. Znale\'z\'c entropi\c{e} $S(T,N)$ tego uk{\l}adu, jego
ciep{\l}o w{\l}a\'sciwe, oraz moment magnetyczny.

\vspace*{5mm}

6) Udowodni\'c twierdzenie van Leuven, kt\'ore m\'owi, \.ze
w uk{\l}adzie $N$ klasycznych cz\c{a}steczek nie wyst\c{e}puje
zjawisko dianagnetyzmu (to znaczy, \.ze zjawisko to ma charakter
kwantowy). Sprz\c{e}\.zenie z polem magnetycznym o indukcji 
${\vec B}$ uwzgl\c{e}dnione jest w hamiltonianie uk{\l}adu 
poprzez zast\c{a}pienie p\c{e}du ${\vec p}_i$ przez 
 ${\vec p}_i-\frac{e}{c}{\vec A}({\vec r}_i)$, gdzie ${\vec A}({\vec r})$
jest potencja{\l]em wektorowym pola elektromagnetycznego.

\vspace*{5mm}

6) (Zadanie nieobowi\c{a}zkowe) Post\c{e}puj\c{a}c identycznie jak
w przypadku zespo{\l}u kanonocznego wyprowadzi\'c wz\'or na funkcj\c{e}
rozk{\l}adu w wielkim zespole kanonicznym:
\begin{displaymath}
\rho ({\vec q}_1,...{\vec q}_N,{\vec p}_1,...{\vec p}_N)\,=\,
\frac{\exp(-\beta(H_N(q,p)\,-\,\mu N))}{\Xi (T\,,\,V\,,\,\mu)}\,\,\,,
\end{displaymath}
gdzie
\begin{displaymath}
\Xi (T\,,\,V\,,\,\mu)\,=\,1\,+\,\sum_{N=1}^{\infty}z^NQ(T\,,\,V\,,\,N)\,\,\,.
\end{displaymath}
Sprawdzi\'c, \.ze:\\
\begin{displaymath}
<N^2>\,-\,<N>^2\,=\,k_B T\frac{<N>^2}{V}\chi _T\,\,\,,
\end{displaymath}
oraz korzystaj\c{a}c z definicji entropii pokaza\'c, \.ze
\begin{displaymath}
\Omega (T\,,\,V\,,\,\mu)\,=\,-k_BT\ln \Xi (T\,,\,V\,,\,\mu)\,\,\,.
\end{displaymath}

\vspace*{5mm}


Zadania oddajemy w \'srod\c{e} 12.11.03 w pokoju prof.
Napi\'orkowskiego (pok\'oj 412) w godzinach 12 - 14.

\end{document}