\documentclass[a4paper,12pt,oneside,dvips,driver]{report}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{pstricks,pst-node,pst-coil}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{latexsym}
\pagestyle{headings}

\begin{document}

\begin{Large}
\begin{center}
Zadania domowe z mechaniki statystycznej \\
do wyk\l adu prof. Marka Napi\'{o}rkowskiego \\
Seria 8
\end{center}
\end{Large}

\bigskip

1. Poziomy energetyczne tr\'{o}jwymiarowego rotatora kwantowego \\ o
momencie bezw\l adno\'{s}ci $I$ dane s\k{a} wzorem
\[
E_{J,M}=\frac{\hbar ^{2}}{2I}J(J+1),
\]
gdzie liczby kwantowe $J=0,1,2,\ldots $ oraz $M=-J,-J+1,\ldots
,J-1,J$.  Znale\'{z}\'{c} wyra\.{z}enie na energi\k{e}
wewn\k{e}trzn\k{a} uk\l adu $N$ nieodzia\l uj\k{a}cych rotator\'{o}w,
ka\.{z}dy o tym samym momencie bezw\l adno\'{s}ci $I$. Znale\'{z}\'{c}
ciep\l o w\l a\'{s}ciwe tego uk\l adu w wysokich temperatuurach (gdy
$k_{B}T\gg \hbar ^{2}/2I$). Uwaga: bierzemy pod uwag\k{e} tylko ruch
obrotowy rotator\'{o}w.

\bigskip

2. Rozwa\.{z}my uklad $N$ nieoddzia\l uj\k{a}cych wzajemnie
elektron\'{o}w, w kt\'{o}rym ka\.{z}dy elektron mo\.{z}e by\'{c} albo
w N krotnie zdegenerowanym stanie zwi\k{a}zanym o energii $\epsilon
=-E_{d}<0$ albo swobodnym o energii $\epsilon =
\frac{p^{2}}{2m}$. (Mo\.{z}e by\'{c} to prosty model p\'{o}\l
przewodnika silnie domieszkowanego donorami). Znale\'{z}\'{c}
liczb\k{e} swobodnych elektron\'{o}w oraz potencja\l\ chemiczny uk\l
adu w granicy niskich temperatur.

Wskaz\'{o}wka: W niskich temperaturach wi\k{e}kszo\'{s}\'{c}
elektron\'{o}w jest w stanach zwi\k{a}zanch o najni\.{z}szej energii,
a potencja\l\ chemiczny jest ujemny. W tej sytuacji u\.{z}y\'{c}
mo\.{z}na przybli\.{z}enia s\l abej degeneracji
\[
\int_{0}^{\infty }
\frac{\sqrt{\epsilon } }{e^{\beta (\epsilon -\mu)}+1} d \epsilon
=\int_{0}^{\infty }
e^{\beta \mu }e^{-\beta \epsilon }\sqrt{\epsilon } d \epsilon 
\]

\bigskip

3. Wyznaczy\'{c} g\k{e}sto\'{s}\'{c} stan\'{o}w dla gazu
elektron\'{o}w w jedym wymiarze. Znale\'{z}\'{c} nast\k{e}pnie poziom
Fermiego oraz energi\k{e} wewn\k{e}trzn\k{a} w temperaturze $T=0$. Gaz
sk\l ada si\k{e} z $N$ elektron\'{o}w i zajmuje obj\k{e}to\'{s}\'{c}
$L$.

\bigskip

4. Wykaza\'{c}, \.{z}e kondensacja Bosego-Einsteina nie zachodzi w \\
dwuwymiarowym gazie nieoddzia\l uj\k{a}cych bozon\'{o}w.

\bigskip

Dwa wybrane zadania zbierane b\k{e}d\k{a} na wyk\l adzie w dinu
6.01.2004

\end{document}
