Równania różniczkowe I

Zadanie 1

Rozwiązać równanie:

					(dy/dx)=3 ((Sin[2y])/(2(1-2 (E^(-x)))))

VectorPlot[{1,3 ((Sin[2 y])/(2 (1-2 (E^(-x)))))},{x,1,1.5},{y,-1,1}]

VectorPlot[{1,3 ((Sin[2 y])/(2 (1-2 (E^(-x)))))},{x,0.1,.5},{y,-1,1}]

DSolve[y'[x]==3 ((Sin[2 y[x]])/(2 (1-2 (E^(-x))))),y[x],x]

Zadanie 2

Znaleźć równanie krzywej przechodzącej przez punkt (2,3) takiej, że każdy odcinek stycznej do krzywej zawarty między osiami układu współrzędnych jest dzielony na połowę przez punkt styczności.

Plot[(6/x) ,{x,-1,1}]

Plot[-(6/x) ,{x,-1,1}]

Zadanie 3

Znaleźć równanie krzywek przechodzącej przez punkt (2,0), takiej, że odcinek każdej stycznej do tej krzywek zawarty między punktym stycznośći i punktym przecięcia z osią OY jest wielkością stałą i wynosi 2.

Plot[(Sqrt[4-(x^2)])+2 Log[Abs[(x/(2+(Sqrt[4-(x^2)])))]],{x,-4,4},PlotRange->{-4,4}]

Plot[-(Sqrt[4-(x^2)])-2 Log[Abs[(x/(2+(Sqrt[4-(x^2)])))]],{x,-4,4},PlotRange->{-4,4}]

Zadanie 4

Do zacisków źrodła o stałym napięciu U w chwili t=0 zostaje podłączony obwód zawierający kondensator o pojemności C i opornik o oporze R (elementy połączono szeregowo). Wyznaczyć przebieg zmian natężenia prądu I(t) dla danego obwodu włąconego do źrodła (Drugie prawo Kirchoffa U=RI-(Q/C)).

DSolve[{((-Q[t])/C)-Q'[t] R==U,Q[0]==0},Q[t],t]

{{Q[t]->-C (E^(-(t/(C R)))) (-1+(E^(t/(C R)))) U}}

Plot[-(E^(-(t/5))) (-1+(E^(t/5))) ,{t,0,15}]

Plot[(1/5)-(1/5) (E^(-t/5)) (-1+(E^(t/5))),{t,0,15}]