Analiza I
Javier de Lucas

Ćwiczenia

         

    KMMF

TEORIA MNOGOŚCI I LOGIKA

1. Narysować sumę i przecięcie zbiorów A = {x ϵ R; x > 2} oraz B = {x ϵ R; x ≤ 8}.

Mamy, że A wygląda następująco:

            

Możemy też wpisać A = (2,+∞) albo A=]2,+∞[. Mówimy, że A jest zbiorem otwartym. 

Natomiast, B ma postać:

            

Możemy też wpisać B = (-∞,8] albo B=]-∞,8]. Mówimy, że B jest zbiorem prawostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym.

Więc, suma A ⋃ B tych zbiorów wygląda

            

Inaczej, możemy napisać A ⋃ B = R. Zbiór R jest otwarty. 

Możemy też obliczyć elementy tego zbioru. Z definicji sumy i zbiorów A i B:

A ⋃ B = { x ϵ R | x ϵ A ⋁ x ϵ B } = { x ϵ R | x > 2 ⋁ x ≤ 8 }.

Skoro każdy element x ϵ R spełnia, że x > 2 lub x ≤ 8,  czyli x > 2 ⋁ x ≤ 8 to tautologia!!! (x > 2 ⋁ x ≤ 8 ⇔ x ϵ R) i 

A ⋃ B= { x ϵ R | x ϵ R }.


Przecięcie zbiorów A i B, czyli A ⋂ B, jest:

            

Inaczej, możemy napisać A ⋂ B = (2,8].

2. Zilustrować przy pomocy diagramu Venna zdania (Prawa De Morgana dla zbiorów)

                         a)  (A ⋃ B)’ = A’ ⋂ B’                  b)    (A ⋂ B)’ = A’ ⋃ B’. 
                        
                        
U to nadzbiór (zbiór gdzie “mieskają wszystkie zbiory i elementy naszego problemu”. Zbiory A, B i U będą:



Rozpatrujemy (A U B)’ = A’ ⋂ B’:

                      Zbiór A U B			      Zbiór ( A U B )’
           

                 Zbiór A’                                       Zbiór B’                               Zbiór A’  ⋂  B’   
        

                                                                                
      

   			   
          Zbiór A ⋂ B:                                    Zbiór (A ⋂ B)’:                                
              
               Zbiór A’                                              Zbiór B’                                 Zbiór A’ U B’
                        

                                                                            
                



3. Niech A i B będą podzbiorami U. Niech C = A ⋂ B, D = A’ ⋃ B i E = A ⋃ B. Zaznacz na diagramach Venna zbiory C, D i E. Korzystając z praw de Morgana pokaż, że A = D’ ⋃ C. Udowodnij, że B = D ⋂ E.

U to nadzbiór. Zbiory A, B i U będą:
   			   
Zbiór C = A ⋂ B jest:                                
                             
                             
Zbiór D = A’ ⋃ B jest:                  
               Zbiór A’                                     Zbiór B                               Zbiór D = A’  ⋃  B 
   

Zbiór E = A ⋃ B
                                                                   
                            




Korzystając z praw de Morgana pokaż, że A = D’ ⋃ C. 

Wiemy, że D = A’ U B i C = A ⋂ B, więc

D’ ⋃ C = (A’ U B)’ U (A ⋂ B)

Prawo de Morgana twierdzi, ze (A U B)’= A’ ⋂ B’. Korzystajac z tego i pamiętając, że A’’=A, to

D’ ⋃ C = (A’’ ⋂ B’) U (A ⋂ B) = (A ⋂ B’) U (A  ⋂ B) 

Skoro (A ⋂ (Subscript[G, 1])) U (A ⋂ (Subscript[G, 2])) = A ⋂((Subscript[G, 1])U (Subscript[G, 2])) dla dowolnych zbiorów (Subscript[G, 1]), (Subscript[G, 2])  (rozdzielność) i  B' U B = U (pochłanianie dla sumy), to

D’ ⋃ C = A  ⋂  (B’ U B) = A ⋂ U = A.

Udowodnij, że B = D ⋂ E.

Wiemy, ze D = A’ U B i C = A ⋂ B, więc

D ⋂ E = (A’ U B) ⋂ (A U B)

Z rozdzielności

D ⋂ E = B U (A’ ⋂ A) 

Z pochłaniania dla przecięcia A’ ⋂ A =0

D ⋂ E = B U 0 = B.

4. Niech p oznacza zdanie ,,idę do szkoły’’ zaś q odpowiada zdaniu ,,słońce świeci’’. Napisz korzystając z symboli logicznych: a) Jeżeli słońce świeci to idę do szkoły, b) Jeżeli nie idę do szkoły to słońce nie świeci. Podaj (słowami) zdanie przeciwne do ,,Jeżeli słońce świeci to idę do szkoły’’. Sporządź tabelkę logiczną dla zdań p ∧ q, p ∨ q, ¬p, (p ∨ q) ∧ ¬p, (p ∨ q) ∧ ¬ p => q. Jak określimy zdanie: (p ∨ q) ∧ ¬ p => q ?

Mamy, że
                                                            p ⟺ idę do szkoły
                                                            q ⟺ słońce świeci
Z tego wynika, że

                            a) Jeżeli słońce świeci, to idę do szkoły      q => p

                  b) Jeżeli nie idę do szkoły, to słońce nie świeci  ¬p=>¬q

         c) Twierdzenie przeciwne do Jeżeli słońce świeci to idę do szkoły to
                                                 ¬ p => ¬ q
                        Jeżeli słońce nie świeci to nie idę do szkoły 

Tabelka logiczna zdań p ∧ q, p ∨ q, ¬p, (p ∨ q) ∧ ¬p, (p ∨ q) ∧ ¬ p => q:

		             

(p ∨ q) ∧ ¬ p => q jest zawsze prawdą. Mówimy, że to tautologia.

5. Rozważmy zdanie: ,,jeśli coś jest kwadratem, to jest też rombem’’ Napisz jak powinno brzmieć: zprzeczenie, zdanie przeciwne i zdanie przeciwstawne. Które z nich jest zdaniem prawdziwym?

p ⇔ coś jest kwadratem 
q ⇔ coś jest rombem

Zaprzeczenie: ¬(p=>q)
Nie jest prawdą, że jeżeli coś jest kwadratem, to jest też rombem

Zdanie przeciwne ¬p=>¬q
Jeżeli coś nie jest kwadratem, to nie jest też rombem 

Zdanie przecistawne ¬q=>¬p
Zdanie przeciwstawne Jeżeli coś nie jest rombem, to nie jest też kwadratem  Tautologia (to zawsze prawda)

6  Zdeﬁniować koniunkcję za pomocą alternatywy i negacji.

[p ∧ q] ⟺¬¬ (p ∧ q) ⟺ ¬(¬p ∨ ¬ q)  

1.9  Zdeﬁniować alternatywe za pomoca koniunkcji i negacji. 

                                           [p ⋁ q] ⟺¬¬ (p ⋁ q) ⟺ ¬(¬p ∧ ¬ q)  
                                           
1.10 Zdefiniowac alternatywe za pomoca implikacji i negacji.

			         p => q ⇔ ¬ (p  ∧ ¬q) ⇔ ¬p ⋁ q  

Zastapiac p przez ¬ p:

			           ( ¬ p => q) ⇔ p ⋁ q

7. Sprawdzić, czy zdanie p =>(¬p=>q) jest tautologią. Czy jest prawdziwe zdanie: Jeżeli liczba naturalna a jest liczbą pierwszą, to o ile a jest liczbą złożoną, to a równa się cztery.
(Widać tu jak logika matematyczna ma się do tzw. codzienności)

Piszemy tabelkę logiczną

Z tego wynika, że p => (¬ p => q) jest zawsze prawdą. Mówimy, że to tautologia.

Tez mozna to udowodnic inaczej. Skoro ( p => q ) ⇔ (¬ p ⋁ q ), to

[ p => (¬ p => q) ]  ⇔ [ ¬ p ⋁ ( p ⋁ q ) ] ⇔  [ (¬ p ⋁  p) ⋁ q ]

Skoro ¬ p ⋁  p to tautologia, cale zdanie jest tautologia.

Jeżeli liczba naturalna a jest liczbą pierwszą, to o ile a jest liczbą złożoną, to a równa się cztery

                                         p ⟺ liczba naturalna a jest liczbą pierwszą
                                                           q ⟺ a równa się cztery

Jeżeli p, to ¬ p, to q, czyli 

                                                                   p ⟹ (¬p => q).

Z tego wynika, że nasze zdanie jest zawsze prawdą i mówimy, że to tautologia.

8. Narysowac w ukladzie katezjanski zbiory: A x B i B x A, jezeli 
A={x ϵ R : 1 < x < 2}, B={x ϵ R: 0 < x < 1}.

Oto A x B

RegionPlot[1<x< 2 && 0<y<1,{x,0,3},{y,0,3}]

Oto B x A

RegionPlot[1<y< 2 && 0<x<1,{x,0,3},{y,0,3}]