Analiza I
Javier de Lucas

Ćwiczenia II

         

    KMMF

1. Narysuj zbiór (x,y) ∈ (R^2) spełniający warunek: 
a)  x ≤ y, 
b) {x ≤ 0} ∨ {y ≤ 0}.

a) Zbiór punktów x ϵ (R^2) spełniający warunek x ≤ y:

Aby ustalić punkty spełniające, że x ≤ y, najpierw sprawdzamy, które punkty spełniają, że x=y. To linia
prosta

RegionPlot[x==y, {x,-10,10},{y,-10,10}]

Teraz, ta linia podzieli płaźczyzna na dwoch częsciach. Jedna spełnia, że x ≤ y i druga spełnia, że y ≤ x. Aby zobaczyć gdzie jest x≤y wystarczy znaleźć punkt spełniający ten warunek, np. (0,1) to taki punkt. Skoro ten punkt jest powyższy tej poprzednej linii, to wzystkie punkty tej czesci spełniają ten warunek, czyly

RegionPlot[x ≤ y,{x,-10,10},{y,-10,10}]

b) Zbiór (x,y) ϵ (R^2) spełniający warunek x ≤ 0 ∨ y ≤ 0

Najpierw sprawdzamy punkty który spełniają, że y ≤ 0. Jak wczesniej, wystarczy obliczyc punkty który spełniają y=0, czyli

Plot[0,{x,-10,10},PlotStyle->Red]

Skoro (0,-1) jest poniższe od tej linii, to mamy, że zbiór punktów płaźczyny spełniające warunki y≤0 to

RegionPlot[y ≤ 0,{x,-10,10},{y,-10,10}]

Nazywamy A taki zbiór.

Powtarzając to samo dla warunku x≤ 0 mamy, że

RegionPlot[x ≤ 0,{x,-10,10},{y,-10,10}]

Nazywamy B taki zbiór.

Więc, zbiór punktow płazczyniej spełniających, że x≤0 lub y ≤ 0, to zbior suma poprzednich zbiorów A i B.  Wówczas,

RegionPlot[x ≤ 0 || y ≤ 0,{x,-10,10},{y,-10,10}]

2. Wykres |x| = |y|, |x − y| = 1, sup(x,y) = 1

Jeżeli |x|=|y| mamy dwie możliwości x=y lub x=-y, tj.

         |x|=|y| ⟺ (x=y ∨ x=-y)

Wieć, zbiór C punktów (x,y) spełniających, że |x|=|y| to suma zbiorów
A punktów spełniających, że x=y, i B punktów spełniających, że x=-y.

A to lina prosta x=y i B to linea prosta y=-x. Więc, C wygląda następująco:

ContourPlot[Abs[x]==Abs[y],{x,-10,10},{y,-10,10}]

Jeżeli |x-y|=1 mamy dwie możliwości x-y=1 lub y-x=1, tj.

         |x-y|=1 ⟺ (y=x-1 ∨ y=1+x).

Wieć, zbiór C punktów (x,y) spełniających, że |x-y|=1 
to suma zbiorów A punktów spełniających, że y=x-1, i
 B punktów spełniających, że y=1+x.

A to lina prosta y=x-1 i B to linea prosta y=x+1. 
Więc, C wygląda następująco:

ContourPlot[Abs[y-x]==1,{x,-10,10},{y,-10,10}]

ContourPlot[Max[y,x]==1,{x,-5,5},{y,-5,5}]

Zauważ, że jeżeli Sup(x,y)=1 to x=1 i y≤x lub y=1 i x≤y.

Więc 

Sup(x,y)=1 ⟺ [(x,1) gdzie x≤ 1 ∨ (1,y) gdzie y≤ 1]

to oznacza, że zbiór punktów spełniających sup(x,y)=1 jest sumą zbiorów
A i B, gdzie A to zbiór punktów spałniających, że y = 1 i x ≤ 1 i B jest zbiorem
punktów spełniających, że x = 1 i y ≤ 1.

To suma A i B to

RegionPlot[x y<1,{x,-5,5},{y,-5,5}]

RegionPlot[x<Abs[y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

a=1;b=2;RegionPlot[a^2x^2+b^2 y^2≤ 1,{x,-2,2},{y,-2,2}]

RegionPlot[x≥ y || x^2+y^2≤ 1 ,{x,-2,2},{y,-2,2}]

RegionPlot[(y^2)+2y-3≤0 ,{x,-10,10},{y,-10,10}]

4 Narysuj zbior punktow (x,y,z) ϵ (R^3) spelniajacy warunek:

a)  (x^2)+(y^2)+(z^2)≤ 1

RegionPlot3D[(x^2)+(y^2)+(z^2) ≤ 1,{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2}]

RegionPlot3D[(x^2)+(y^2) ≤ 1,{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2}]

RegionPlot3D[(x^2)+(y^2) <4 && Abs[z]<1,{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2}]

RegionPlot3D[Abs[x]<1 && Abs[y]<1 && Abs[z]<1,{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2}]

5. Punkty (x,y), (p,q) ϵ (R^2) sa w relacji R jezeli (x^2)-(y^2)=(p^2)-(q^2). Opisz geometrycznie zbior punktow bedacych w relacji z punktem (1,1).

ContourPlot[Max[y,x]==1,{x,-5,5},{y,-5,5}]

Table[Dib[i]=ContourPlot[(x^2)-(y^2)==i,{x,-5,5},{y,-5,5}],{i,-10,10}]

Show[Table[Dib[i],{i,-10,10}]]