Matematyka I
Javier de Lucas

Ćwiczenia

         

    KMMF

TEORIA MNOGOŚCI I LOGIKA

1. Narysować sumę i przecięcie zbiorów A = {x ϵ R; x > 2} oraz B = {x ϵ R; x ≤ 8}.

Mamy, że A wygląda następująco:

            

Możemy też wpisać A = (2,+∞).

Natomiast, B ma postać:

            

Możemy też wpisać B = (-∞,8].

Więc, suma A ⋃ B tych zbiorów wygląda

            

Inaczej, możemy napisać A ⋃ B = R.
Przecięcie zbiorów A i B, czyli A ⋂ B, jest:

            

Inaczej, możemy napisać A ⋂ B = (2,8].

2. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2, zaś B  zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 3. Znaleźć i opisać sumę i przecięcie tych zbiorów.

Zbiór A będzie miał postać:

                       

Czyli A to zbiór liczb parzystych.
Natomiast, zbiór B będzie miał postać:

                       

Czyli B to zbiór liczb podzielnych przez 3.
Wówczas, przecięcie C = A ⋂ B ma postać:

Właśnie, C to jest zbiór liczb podzielnych przez 6. 
Suma A ⋃ B jest:

Czyli A ⋃ B to zbiór liczb, które albo są podzielne przez 3 albo są podzielne przez 2.

3. Niech A i B będą podzbiorami U. Niech C = A ⋂ B, D = A’ ⋃ B i E = A ⋃ B. Zaznacz na diagramach Venna zbiory C, D i E. Korzystając z praw de Morgana pokaż, że A = D’ ⋃ C. Udowodnij, że B = D ⋂ E.

U to nadzbiór. Zbiory A, B i U będą:
   			   
 Zbiór C = A ⋂ B jest:                                
                             
               Zbiór A’                                                                         

Zbiór B


                                                                  Zbiór A’ ⋃ B
                                    
                                                                    Zbiór A ⋃ B
                            




Korzystając z praw de Morgana pokaż, że A = D’ ⋃ C. 

D’ ⋃ C = (A’ U B)’ U C= ( A ⋂ B’ ) U (A ⋂ B)=A ⋂ (B’ U B) = A ⋂ U= A.

Udowodnij, że B = D ⋂ E.

D ⋂ E = (A’ U B) ⋂ (A U B) = B U (A’ ⋂ A) = B.

4. Niech p oznacza zdanie ,,idę do szkoły’’ zaś q odpowiada zdaniu ,,słońce świeci’’. Napisz korzystając z symboli logicznych: a) Jeżeli słońce świeci to idę do szkoły, b) Jeżeli nie idę do szkoły to słońce nie świeci. Podaj (słowami) zdanie przeciwne do ,,Jeżeli słońce świeci to idę do szkoły’’. Sporządź tabelkę logiczną dla zdań p ∧ q, p ∨ q, ¬p, (p ∨ q) ∧ ¬p, (p ∨ q) ∧ ¬ p => q. Jak określimy zdanie: (p ∨ q) ∧ ¬ p => q ?

Mamy, że
                                                            p ⟺ idę do szkoły
                                                            q ⟺ słońce świeci
Z tego wynika, że

                            Jeżeli słońce świeci to idę do szkoły      q => p

                  Jeżeli nie idę do szkoły to słońce nie świeci  ¬p=>¬q

            Twierdzenie przeciwstawne do Jeżeli słońce świeci to idę do szkoły 
                                                 ¬ p => ¬ q
                        Jeżeli słońce nie świeci to nie idę do szkoły 

Tabelka logiczna zdań p ∧ q, p ∨ q, ¬p, (p ∨ q) ∧ ¬p, (p ∨ q) ∧ ¬ p => q:

		             

(p ∨ q) ∧ ¬ p => q jest zawsze prawdą. Mówimy, że to tautologia.

5. Niech S = {x : 1 ≤ x ≤ 17, x ϵ N} a P , Q i R to podzbiory S:
                                  P := {liczby podzielne przez cztery},
                                                        Q := {dzielniki 36},
                                  R := {liczby będące kwadratem innej liczby}. 
Wypisz elementy zbiorów S, P ⋂ Q ⋂ R, opisz słowami zbiór P ⋃ Q, narysuj diagram Venna pokazujący zależność między zbiorami P, Q, R, zaznacz na diagramie zbiór S.
Niech p, q, r będą zdaniami: 
                                            p : x jest wielokrotnością cztery,
                                                    q : x jest podzielnikiem 36, 
                                               r :  x jest kwadratem innej liczby. 
Napisz słowami następujące zdanie: (p ∨ r)∧ ¬ q. Pokaż na diagramie Venna obszar reprezentujący (p ∨ r) ∧ ¬ q. Wypisz tabelkę logiczną dla zdania (p ∨ r) ∧ ¬ q, podaj wartość x, dla której to zdanie jest prawdziwe.
a) Wypisz elementy zbiorów S, P ⋂ Q ⋂ R

                                      S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17}

                                                             P ⋂ Q ⋂ R={4}

b)  opisz słowami zbiór P ⋃ Q

P ⋃ Q to są elementy, które są podzielne przez 4 lub są dzielnikami 36.


c) narysuj diagram Venna pokazujący zależność między zbiorami P, Q, R, zaznacz na diagramie S.

                                                       

Na czerwono jest Q, na zielono jest R i na czarno jest P.

c) Napisz słowami następujące zdanie: (p ∨ r)∧ ¬ q.

x nie jest podzielnikiem 36 i x jest wielokrotnością 4 lub x jest kwadratem innej liczby.

d) Wypisz tabelkę logiczną dla zdania (p ∨ r) ∧ ¬ q
 
                                          
e) podaj wartość x, dla której to zdanie jest prawdziwe.

Mamy trzy możliwosci:

Dla p(x)=0,q(x)=0 i r(x)=1 wynika, że [p(x) ∨ r(x)] ∧ ¬q(x) = 1. Natomiast, nie ma x dla ktorej p(x)=0,q(x)=0 i r(x)=1 
Dla p(x)=1,q(x)=0 i r(x)=0 wynika, że [p(x) ∨ r(x)] ∧ ¬q(x) = 1. Mamy, że tylko x=8 spełnia takie warunki. 
Dla p(x)=1,q(x)=0 i r(x)=1 wynika, że [p(x) ∨ r(x)] ∧ ¬q(x) = 1. Mamy, że tylko x=16 spełnia takie warunki.

7. Sprawdzić, czy zdanie p =>(¬p=>q) jest tautologią. Czy jest prawdziwe zdanie: Jeżeli liczba naturalna a jest liczbą pierwszą, to o ile a jest liczbą złożoną, to a równa się cztery.
(Widać tu jak logika matematyczna ma się do tzw. codzienności)

Piszemy tabelkę logiczną

Z tego wynika, że p => (¬ p => q) jest zawsze prawdą. Mówimy, że to tautologia.

Jeżeli liczba naturalna a jest liczbą pierwszą, to o ile a jest liczbą złożoną, to a równa się cztery

                                         p ⟺ liczba naturalna a jest liczbą pierwszą
                                                           q ⟺ a równa się cztery

Jeżeli p, to ¬ p, to q, czyli 

                                                                   p ⟹ (¬p => q).

Z tego wynika, że nasze zdanie jest zawsze prawdą i mówimy, że to tautologia.

Zdeﬁniować koniunkcję za pomocą alternatywy i negacji.

[p ∧ q] ⟺¬¬ (p ∧ q) ⟺ ¬(¬p ∨ ¬ q)

Niech A, B, C – dowolne zbiory. Zilustrować poniższe równości bądź zawierania na diagramach Venne’a.
(a)  Pokazać, że A⋂B  = A\(A\B).
(b)  Pokazać, że A\(B ⋃ C) = (A\B) ⋂ (A\C).
(c)  Pokazać, że A\C ⊂ (A\B) ⋃ (B\C).

a) Mamy, że A\B to
                                   
Natomiast, A/(A/B) wygląda następująco:

                                    
 Oczywiście, to jest to samo co A ⋂ B.
 
 b)  Pokazać, że A\(B ⋃ C) = (A\B) ⋂ (A\C).
 
                    Najpierw, mamy B ⋃ C                                                                                    i z tego A\ (B ⋃ C)

Jednocześnie,
                          To jest A/B                                                                                                   To jest A/C

Więc, oto A/B ⋂ A/C
                                  

c) Pokazać, że A\C ⊂ (A\B) ⋃ (B\C).

Najpierw, rysujemy A\C

Teraz, rysujemy A\B  i  B\C

Wiec A\B U B\C


Widać, że A\C ⊂ A\B U B\C.

Niech A, B, C – dowolne zbiory. Twierdzić, że.
    (a)  A ⋂ B  = A \(A\B).
    (b)  A \(B ⋃ C) = (A\B) ⋂ (A\C).

a) Skoro A\B = A ⋂ B', to
        
        A \ (A \ B) = A \ ( A ⋂ B')
        
        Korzystajac znowu z tego samego wzoru, to
        
        A \ (A \ B) = A ⋂ [(A ⋂ B')]' = A ⋂ (A' ⋃ B).
             
             Z rozdzielnosci sumy na względnu przecięcia, tj B ⋂ (C ⋃ D) = (B ⋂ C) ⋃ (B ⋂ D) dla dowolnych
        podzbiorów, to
        
        A \(A\B) = A ⋂ A' ⋃ (A ⋂ B).
             
             Wiemy, że A ⋂ A' = ∅. Więc,
          
          A \(A\B) = ∅ ⋃ (A ⋂ B) = A ⋂ B.
                    
                    b) Korzystając z wzoru A\B = A ⋂ B', mamy, że 
                
                (A\B) ⋂ (A\C) = (A ⋂ B')  ⋂ (A ⋂ C').
                 
                 Skoro przecięcie jest przemienna (tj. A ⋂ B = B ⋂ A) i łączna (tj. A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C)), Możemy to wpisać bez nawiasów i zmienić kolejność :
               
               (A \ B) ⋂ (A \ C) = A ⋂ B' ⋂ A ⋂ C' = A ⋂ A ⋂ B' ⋂ C' = A ⋂ B' ⋂ C'.
                 
                 Tutaj, skorzystaliśmy z tego, że A ⋂ A = A. Dodatkowo, mamy, że
               
               (A \ B) ⋂ (A \ C) = A ⋂ B' ⋂ C' = A ⋂ (B ⋃ C)' = A \ (B ⋃ C).

Narysuj zbiór (x,y) ∈ (R^2) spełniający warunek: 
a)  x ≤ y, 
b) {x ≤ 0} ∨ {y ≤ 0}.

a) Zbiór punktów x ϵ (R^2) spełniający warunek x ≤ y:

Aby ustalić punkty spełniające, że x ≤ y, najpierw sprawdzamy, które punkty spełniają, że x=y. To linia
prosta

RegionPlot[x==y, {x,-10,10},{y,-10,10}]

Teraz, ta linia podzieli płaźczyzna na dwoch częsciach. Jedna spełnia, że x ≤ y i druga spełnia, że y ≤ x. Aby zobaczyć gdzie jest x≤y wystarczy znaleźć punkt spełniający ten warunek, np. (0,1) to taki punkt. Skoro ten punkt jest powyższy tej poprzednej linii, to wzystkie punkty tej czesci spełniają ten warunek, czyly

RegionPlot[x ≤ y,{x,-10,10},{y,-10,10}]

b) Zbiór ϵ (R^2) spełniający warunek x ≤ 0 ∨ y ≤ 0

Najpierw sprawdzamy punkty który spełniają, że y ≤ 0. Jak wczesniej, wystarczy obliczyc punkty który spełniają y=0, czyli

Plot[0,{x,-10,10},PlotStyle->Red]

Skoro (0,-1) jest powyższe od tej linii, to mamy, że zbiór punktów płaźczyny spełniające warunki y≤0 to

RegionPlot[y ≤ 0,{x,-10,10},{y,-10,10}]

Nazywamy A taki zbiór.

Powtarzając to samo dla warunku x≤ 0 mamy, że

RegionPlot[x ≤ 0,{x,-10,10},{y,-10,10}]

Nazywamy B taki zbiór.

Więc, zbiór punktow płazczyniej spełniających, że x≤0 lub y ≤ 0, to zbior suma poprzednich zbiorów A i B.  Wówczas,

RegionPlot[x ≤ 0 || y ≤ 0,{x,-10,10},{y,-10,10}]

Wykres |x| = |y|, |x − y| = 1, sup(x,y) = 1

Jeżeli |x|=|y| mamy dwie możliwości x=y lub x=-y, tj.

         |x|=|y| ⟺ (x=y ∨ x=-y)

Wieć, zbiór C punktów (x,y) spełniających, że |x|=|y| to suma zbiorów
A punktów spełniających, że x=y, i B punktów spełniających, że x=-y.

A to lina prosta x=y i B to linea prosta y=-x. Więc, C wygląda następująco:

ContourPlot[Abs[x]==Abs[y],{x,-10,10},{y,-10,10}]

Jeżeli |x-y|=1 mamy dwie możliwości x-y=1 lub y-x=1, tj.

         |x|=|y| ⟺ (y=x-1 ∨ y=1+x).

Wieć, zbiór C punktów (x,y) spełniających, że |x-y|=1 
to suma zbiorów A punktów spełniających, że y=x-1, i
 B punktów spełniających, że y=1+x.

A to lina prosta y=x-1 i B to linea prosta y=x+1. 
Więc, C wygląda następująco:

ContourPlot[Abs[y-x]==1,{x,-10,10},{y,-10,10}]

ContourPlot[Max[y,x]==1,{x,-5,5},{y,-5,5}]

Zauważ, że jeżeli Sup(x,y)=1 to x=1 i y≤x lub y=1 i x≤y.

Więc 

Sup(x,y)=1 ⟺ [(x,1) gdzie x≤ 1 ∨ (1,y) gdzie y≤ 1]

to oznacza, że zbiór punktów spełniających sup(x,y)=1 jest sumą zbiorów
A i B, gdzie A to zbiór punktów spałniających, że y = 1 i x ≤ 1 i B jest zbiorem
punktów spełniających, że x = 1 i y ≤ 1.

To suma A i B to

Znaleźć dziedziny funkcji: 
(Subscript[f, 1])(x) =(Sqrt[(x^2)- 7x+9]),  (Subscript[f, 2])(x) =(1/(Sqrt[(x^2)- 7x+9])), (Subscript[f, 3]) (x) = log((x^2)− 4).

a)  Punkt x należy do dziedziny funkcji (Subscript[f, 1]) gdy (x^2)-7x+9≥ 0. Własnie, gdzy (x^2)-7x+9<0  to jego
pierwiastek nie jest liczbą rzeczywistą i nie należy do dziedziny (Subscript[f, 1]).

Aby ustalić kiedy (x^2)-7x+9≥ 0, najpierw szukamy pierwiastków tego wielomianu:

(x^2)-7x+9=0 ⟺ (Subscript[x, +±])=((7±(Sqrt[49-36]))/2)=((7±(Sqrt[13]))/2)
Skoro (x^2)-7x+9 to parabola i współczynik dla (x^2) jest dodatnie, to jej ramiony idą do góry i parabola jest nieujemna od -∞ do (SubMinus[x]) ((SubMinus[x]) włącznie) i od (SubPlus[x])((SubPlus[x]) włącznie)  do +∞. Więc

(x^2)-7x+9 ≥ 0 ⟺ x ϵ (-∞,((7-(Sqrt[13]))/2)]U [((7+(Sqrt[13]))/2),+∞)

i dziedzina (Subscript[f, 1]) to (-∞,((7-(Sqrt[13]))/2)]U [((7+(Sqrt[13]))/2),+∞).

Plot[(x^2)-7x+9,{x,-1,6}]

b)  Punkt x należy do dziedziny funkcji (Subscript[f, 2]) gdy (x^2)-7x+9≥ 0, czylli gdy pierwiastek jest liczbą rzeczwsitą) i kiedy mianownik jest różny od zera. To oznacza, że x należy do dziedziny funkcji (Subscript[f, 2]) tedy i tylko wtedy (x^2)-7x+9≥ 0.

Aby ustalić kiedy (x^2)-7x+9≥ 0, najpierw szukamy pierwiastków tego wielomianu:

(x^2)-7x+9=0 ⟺ (Subscript[x, +±])=((7±(Sqrt[49-36]))/2)=((7±(Sqrt[13]))/2)
Skoro (x^2)-7x+9 to parabola i współczynik dla (x^2) jest dodatnie, to jej ramiony idą do góry i parabola jest dodatnia od -∞ do (SubMinus[x]) ((SubMinus[x]) wyłącznie) i od (SubPlus[x])((SubPlus[x]) wyłącznie)  do +∞. Więc

(x^2)-7x+9 > 0 ⟺ x ϵ (-∞,((7-(Sqrt[13]))/2))⋃ (((7+(Sqrt[13]))/2),+∞)

c) Punkt x ϵ R należy do dziedziny funkcji (Subscript[f, 3]) gdy (x^2)-4. Inaczej, nie istnieje logarytm (rzeczywisty) liczby niedodatniej.

(x^2)-4>0⟺ (x^2)>4⟺ |x|> 2 ⟺ x > 2 ∨ x < -2

Więc, dziedzina funkcji (Subscript[f, 3]) to (-∞,-2) ⋃ (2, +∞).

Plot[(x^2)-4,{x,-3,3}]

Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste, dla których |4x + 1| > |2x − 3|

Widać, że nierówność jest dobrze zdefiniowana dla każdej liczby rzeczywistej. 
Teraz, założemy, że 2x-3 to nie 0. Wtedy możemy podzielić nierówność przez |2x-3|.

|((4x+1)/(2x-3))|>1 ⟺  (((4x+1)/(2x-3))>1   ∨  ((4x+1)/(2x-3))<-1 )

a) ((4x+1)/(2x-3))-1>0⇔((2x+4)/(2x-3))>0  

2x+4=0 ⟹ x=-2
2x-3=0 ⟹ x=(3/2)

x ϵ (-∞, -2) ⋃ ((3/2),+∞)

b) ((4x+1)/(2x-3))+1<0⇔((6x-2)/(2x-3))<0  

6x-2=0 ⟹ x=(1/3)
2x-3=0 ⟹ x=(3/2)
x ϵ ((1/3),(3/2))

x ϵ (-∞,-2) U((1/3),+∞)\{3/2}

Kiedy 2x-3=0, nierowność się spełnia, to trzeba dodać  x=3/2 do zbioru rozwiązań nierówności.

x ϵ (-∞,-2)U ((1/3),+∞)

Plot[{Abs[4 x+1],Abs[2x-3]},{x,-5,5}]

Znaleźć wszystkie x ∈ R, spełniające nierówność
			
			((x+3)/(x-4))>7.
			
Zilustrować na osi liczbowej.

Widać, że kiedy x=4, nierówność nie ma sensu. Sprawdzamy, czy nierówność się spełnia dla reszty punktów:

((x+3)/(x-4))>7 ⟺ ((x+3)/(x-4))-7>0 ⟺((-6x+31)/(x-4))>0

Ostatnia nierówność się spełnia kiedy mianownik i licznik mają taki samy znaki.
 
-6x+31=0 ⟺ x=31/6. 
Więc, licznik jest ujemny dla x>  31/6 i dodatnie kiedy x<31/6

x-4=0 ⟺x=4
Więc, mianownik jest ujemny dla x<4 i dodatnie kiedy x>4

Wówczas, ((-6x+31)/(x-4))>0 gdy

x ϵ (4,31/6)

Plot[{((x+3)/(x-4)),7},{x,-10,10}]

x ϵ(4,(31/6))

Rozwiązać nierówność
			
			 ((|x+9|)/(|x-9|))<2.

To równanie nie ma sensu dla x=9.
Oprócz tego punktu:

((|x+9|)/(|x-9|))<2⟺ -2<((x+9)/(x-9))<2. Więc,

0<((x+9)/(x-9))+2=((3x-9)/(x-9)) 
i 

((x+9)/(x-9))-2=((-x+27)/(x-9))<0. 

a) Skoro 0<((3x-9)/(x-9)), mamy, że

3x-9=0 ⟺ x=3
x-9=0 ⟺x=9

0<((3x-9)/(x-9))  ⟺ x ϵ (-∞,3) U (9,+∞).

b) Z ((-x+27)/(x-9))<0, wynika, że

-x+27=0 ⟺x=27
x-9=0 ⟺ x=9

((-x+27)/(x-9))<0 ⟺ x ϵ (-∞,9) U (27,+∞)

Więc
((|x+9|)/(|x-9|))<2 ⟺x ϵ (-∞,3)U(27,+∞)

Plot[{Abs[((x+9)/(x-9))],2},{x,-50,30}]

Funkcje f i g są zdeﬁniowane następujaco: 
                  f(x) = x - 5, g(x) = 2x - 3, 
znaleźć: (f^(-1)), (g^(-1)),f(g(x)),g(f(x)),f((g^(-1))(x)).

a) y=f(x)=x-5 ⟺ x=y+5. Więc, x=(f^(-1))(y)=y+5.

c) y=g(x)=2x-3 ⟺ x=((y+3)/2). Więc, x=(g^(-1))(y)=((y+3)/2).

d) g(f(x))=2f(x)-3=2(x-5)-3=2x-13.

e) f(g(x))=g(x)-5=2x-3-5=2x-8.

f)  f((g^(-1))(x))=(g^(-1))(x)-5=((x+3)/2)-5=((x-7)/2).

Dla funkcji f(x) = ((3x-4)/(x+2)), znaleźć (f^(-1))(x)  i podać jej dziedzinę oraz znaleźć zbiór wartości.

Aby obliczyć funkcje odwrotna f, trzeba pamietac, ze (f^(-1))(y)=x gdy y=f(x). Wieć, z wzoru

y=((3x-4)/(x+2)) 

musimy napisać x jako funkcja y

(x+2)y=3x-4 ⟺ yx-3x=-2y-4 ⟺x(y-3)=-2y-4⟺x=((-2y-4)/(y-3))⟺x=((2y+4)/(3-y))

Wiec, (f^(-1))(y)=((2y+4)/(3-y)). Dziedzina funkcji odwrotnej to R\{3}. 

Trzeba pamiętać, że jeżeli (f^(-1))(y) nie ma tylko jednej wartości dla pewnego y, nie można powiedzić, że (f^(-1)) jest funkcją. Mówiąc, inaczej, f musi być róznowartościowa (czyli f musi być injekcją). Może sie zdarzać, że (f^(-1))(y) nie isntnieje dla pewnego y, czyli funkcja f nie jest surjekcją. Wtedy, nie możemy powiedzieć, że f: X->Y ma funkcji odwrotnej. Natomiast, możemy zdefiniować f jako f:X->Im (X) i powiedzieć, że (f^(-1)) jest funkcją odwrotną tej funkcji.

Plot[((3 x-4)/(x+2)),{x,-5,5}]

Niech f(x) = 2x- 1 a g(x) = (x/(x+1)). Rozwiązać nierówność: (f ∘ g)(x) ≤ (g ∘ f)(x).

f( g(x))=2g(x)-1=2(x/(x+1))-1=((2x-x-1)/(x+1))=((x-1)/(x+1))

g ( f(x))=((f(x))/(f(x)+1))=((2x-1)/(2x))

((x-1)/(x+1))≤((2x-1)/(2x))⟺((2x(x-1)-(x+1)(2x-1))/(2x(x+1)))≤0⟺((-4x+1+x)/(2x(x+1)))≤0⟺((-3x+1)/(2x(x+1)))≤0

a) -3x+1=0 ⟺x=1/3
b) 2x=0⟺x=0
c) x+1=0⟺x=-1

a +++++++++++++++++++++++++++ -------------------------
b --------------------------------+++++++++++++++++++++++
c ----------++++++++++++++++++++++++++++++++++++
              x=-1                   x=0         x=1/3
---------------------------------------------------------------------------

Odpowiedz (-1,0)U[1/3,+∞)

Zbadać injektywność i surjektywność funkcji y(x) = (x^3)-(x^2), x ϵ R. (Zwrocić uwagę
na to, że bez podania zbioru wartości zadanie nie ma sensu)

f(x)=f(y)⟺(x^3)-(x^2)=(y^3)-(y^2)⟺(x-y)((x^2)+xy +(y^2)-x-y)=0. f(0)=f(1).

Plot[(x^3)-(x^2),{x,-1,2}]

Zbadać surjektywność i injektywność funkcji (zwrocić uwagę na to,  że bez podania
zbioru wartości zadanie nie ma sensu): 

         |    ((x+2)/2)        gdy x jest parzyste
f(x) = |
         |    ((x+5)/2)        gdy x jest nieparzyste
.

f jest injekcją, gdy f(x)=f(y)=> x=y.

f(x)=f(y) dla x parzysty i y parzysty => ((x+2)/2)=((y+2)/2)=> x=y

f(x)=f(y) dla x parzysty i y nieparzysty => ((x+2)/2)=((y+5)/2)=> x=y+3

f(x)=f(y) dla x nieparzysty i y nieparzysty => ((x+5)/2)=((y+5)/2)=> x=y

f nie jest injekcją. (mówi się też, że f nie jest równowartościowa.)

f: N -> N jest surjekcją, gdy dla każdego y ϵ N, istnieje x ϵ n taki, że f(x)=y.

((x+2)/2)=y⇔x+2=2y ⇔x=2y-2

((x+5)/2)=y⇔x+5=2y ⇔x=2y-5

f nie jest surjekcją ponieważ dla y=1 nie istnieje x takie, że f(x)=y. Zauważ, że jeżeli zdefiniujemy f:N->R, to f nie jest surjekcją. Natomiast, jeżeli zdefiniujemy f jako funkcje f:Z-> Z, widać, że f jest surjekcją.