Matematyka I
Javier de Lucas

Ćwiczenia 
    (lista 2)

         

    KMMF

FUNKCIE I WIELOMIANY

1. Dla funkcji f(x)=(x^2) narysować wykresy funkcji f(x)+2, f(x+2), f(x-2), f(2x), -f(x), f(-x) i |f(x)-1|.

Wykres funkcji f(x)=(x^2)

a=Plot[(x^2),{x,-4,4}]

Wykres funkcji f(x) + 2=(x^2)+2

b=Plot[(x^2)+2,{x,-4,4}]

Porówniamy wykresy funkcji f(x) i f(x)+2=(x^2)+2:

Show[a,b]

Widać, że wykres f(x)+2 to jest to samo co wykres funkcji f(x) traslacja do góry.

Rysujemy wykres funkcji f(x + 2)=(((x+2))^2)=(x^2)+4x+4:

c=Plot[(((x+2))^2),{x,-4,4}]

Porówniamy wykresy funkcji f(x) i f(x+2):

Show[a,c]

Widać, że wykres f(x+2) jest to samo co wykonać traslacja

Rysujemy wykres funkcji f(x-2)=(((x-2))^2)=(x^2)-4x+4:

d=Plot[(((x-2))^2),{x,-10,10}]

Show[a,d]

Rysujemy wykres funkcji f(2x)=(((2x))^2)=4(x^2)

e=Plot[(((2x))^2),{x,-10,10}]

Show[a,e]

Rysujemy wykres funkcji -f(x)=-(x^2)

f=Plot[-(x^2),{x,-5,5},PlotRange->{-15,15}]

Show[Plot[-(x^2),{x,-5,5},PlotRange->{-15,15}],Plot[(x^2),{x,-5,5},PlotRange->{-15,15}]]

Rysujemy funkcję f(-x)=(x^2)=f(x):

Plot[(((-x))^2),{x,-10,10}]

Widać, że f(x)=f(-x), czyli f jest funkcją parzystą.

Ostatnie, rysujemy fukcję |f(x)-4|

Plot[{Abs[(x^2)-4],(x^2)-4},{x,-5,5},PlotRange->{-10,20}]

2. Rozwiązać równanie (tg^2)2 θ =1 dla ((-π)/2)≤θ≤ (π/2).

To równanie ma sens tylko kiedy 2θ ≠ (π/2)+k π, k ϵ Z. 

Mamy, że (tg^2)2 θ =1 ⟺ tg 2 θ=± 1. Więc, 

2 θ=(π/4)+ k π 

lub 

2 θ=((-π)/4)+k π. 

Wówcas, 

θ=(π/8)+ k (π/2) lub θ=-(π/8)+ k (π/2).

Skoro tylko rozpatrywamy rozwiązania równania w przedziale [-π/2, π/2]  mamy, że θ ϵ {3 π/8, π/8, -π/8,-3π/8} .

Plot[{((Tan[2 θ])^2),1},{θ,-π/2, π/2}]

Warto zauważyć,  że fukcja f(θ)=(tg^2)2 θ jest parzysta, więc, jeżeli (Subscript[θ, 1]) to rozwiązanie równania, czyli f((Subscript[θ, 1]))=1, to f(-(Subscript[θ, 1]))=1 i -(Subscript[θ, 1]) jest też rozwiązanie.

Dla x ϵ [0,4 π] rozwiązać rówanie sin x tg x= sin x.

To rownanie ma sens, gdy x ≠ (π/2)+k π dla k ϵ Z ponieważ nie istnieje tg x dla tych wartości x. Oprocz tego, mamy, że

sin x tg x=sin x ⟺ sin x(tg x-1)=0 

Mamy wtedy dwie możliwości

sin x=0 ∨ tg x=1

Jeżeli sin x=0 i x ϵ [0,4π] to x ϵ {0, π, 2π, 3π, 4π}

tg x=1 i x ϵ [0,4π] to x ϵ {(π/4),((5π)/4),((9π)/4),((13π)/4)}

Proszę zauważać, ze nie możemy podzielić przez sin x!!!!

Plot[{Tan[x] Sin[x],Sin[x]},{x,0,4 π}]

Widać z tego rysunku, że musimy miec 9 rozwiązań. To właśnie obliczyliśmy, więc wygląda wszystko w porządku.

4. Niech f:R->R będzie określona wzorem: f(x)= sin x+1.
Znaleźć f([0, 3π/2]), f({0,π}), f ({π/2, π/4, π/6}),  (f^(-1))((1/2),+∞),(f^(-1))(-∞,1]), (f^(-1))({0})

Plot[{Sin[x],Sin[x]+1,1/2,1},{x,-5 π,5 π}]

a) f({0,π})

f(0)=1, f(π)=sin π+1=1
Więc f({0,π})={1}

b) f({π/2,π/4,π/6})

f(π/2)=2, f(π/4)=(Sqrt[2])/2+1,f(π/6)=3/2

c) f(x) ≥1/2

x ϵ (f^(-1))((1/2),+∞) ⟺ f(x)=sin(x)+1> (1/2)

Wtedy sin(x)>-1/2. Kiedy sin(x)=-(1/2) to xϵ {-π/6+2kπ,7π/6+2kπ}. Wtedy,
sin(x) jest większe od -1/2 gdy x ϵ (-π/6+2 kπ,7π/6+2k π) dla pewnego k ϵ Z.

d) f(x) ≤1

x ϵ (f^(-1))(-∞,1] ⟺ f(x)=sin(x)+1≤ 1

Wtedy sin(x)≤0. Kiedy sin(x)=0 to xϵ {kπ}. Wtedy, sin(x)≤0 gdy x ϵ ((k-1) π,kπ) dla pewnej parzystej k ϵ Z.

e) f(x)=0

f(x)=0 ⟺ Sin[x]=-1⟺ x= -π/2+2 k π

5. Narysować równanie okręgu i prostej w układzie biegunowym, narysować wykresy funkcji:
r(θ)=sin θ,  θ ϵ[0,π)
r(θ)=sin 2θ,  θ ϵ[0,π)
r(θ)=θ,  θ ϵ[0,6π)

Równanie okręgu o środek w (0,0) to (x^2)+(y^2)=(λ^2), gdzie λ to liczba rzeczywista. W ukladzie biegunowym, mamy, ze x=r cos ϕ, y =r sin ϕ. Wiec,

(r cos ((ϕ))^2)+(r sin (ϕ))^2=(r^2)=λ. Wowczas r=|λ|. 

Ogólnie, równanie okręgu o środek w ((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0])) to (((x-(Subscript[x, 0])))^2)+(((y-(Subscript[y, 0])))^2)=(λ^2), gdzie λ to liczba rzeczywista. W ukladzie biegunowym, mamy, ze x=r cos ϕ, y =r sin ϕ. Wiec,

(r cos ((ϕ-(Subscript[x, 0])))^2)+(r sin (ϕ)-(Subscript[y, 0]))^2=(r^2)=λ. 

i

(r^2) (cos^2) ϕ + ((Subscript[x, 0])^2) - 2 r cos ϕ (Subscript[x, 0])+(r^2) (sin^2) ϕ + ((Subscript[y, 0])^2)- 2 r sin ϕ (Subscript[y, 0])=(r^2).

((Subscript[x, 0])^2)+((Subscript[y, 0])^2)-2 r (cos ϕ (Subscript[x, 0])+sin ϕ (Subscript[y, 0]))=0

możemy wpisać (Subscript[x, 0])=(Subscript[r, 0])cos (Subscript[ϕ, 0]) i (Subscript[y, 0])=(Subscript[r, 0]) sin (Subscript[ϕ, 0]). Więc,

((Subscript[r, 0])^2)-2 r (Subscript[r, 0])(cos ϕ cos (Subscript[ϕ, 0])+sin ϕ sin (Subscript[ϕ, 0]))=0
 ⟺ ((Subscript[r, 0])^2)-2 (Subscript[r, 0])r cos(ϕ-(Subscript[ϕ, 0]))=0

prosta y=ax+c, gdzie aϵ R, bϵ R.

r sin θ= a r cos θ+c=> r(sin θ-a cos θ)=c

Plot[Sin[θ], {θ,0,π}]

ParametricPlot[{Sin[θ] Cos[θ] ,((Sin[θ])^2)}, {θ,0,π}]

Plot[Sin[2 θ], {θ,0,π}]

ParametricPlot[{Sin[2 θ] Cos[θ] ,Sin[2 θ] Sin [θ]}, {θ,0,π}]

ParametricPlot[{θ Cos[θ], θ Sin[θ]}, {θ,0,6 π}]

7. Narysuj wykresy (f^(-1))(x) dla: 
a) f:[-(π/2),(π/2)]-> [-1,1], f(x)=sin x.
b) f: [0, π] -> [-1,1], f(x)=cos x. 
c) f:[-(π/2),(π/2)]-> R,  f(x)=tg x. 
d) f:[0,π] -> R, f(x)=ctg x.

Plot[Sin[x],{x,((-π)/2),(π/2)}]

Plot[ArcSin[x],{x,-1,1}]

Plot[Cos[x],{x,0,π}]

Plot[ArcCos[x],{x,-1,1}]

Plot[Tan[x],{x,((-π)/2),(π/2)}]

Plot[ArcTan[x],{x,-10,10}]

Plot[Cot[x],{x,0,π}]

Plot[ArcCot[x],{x,-10,10}]

Oblicz 

a) arcsin(1), arctg(1), arcsin(-1/2), arccos(-1/2)

arcsin(1)=(π/2)
arctg(1)=(π/4)
arcsin(-1/2)=-(π/6)
arccos(-1/2)= ((2 π)/3)

Proszę pamiętać obraz powyższych funkcji!!

b) arccos(cos(((4 π)/5))), arcsin(sin ((4 π)/5)), arctg(tg (((4 π)/5))), arccos(sin ((4π)/5))

arccos(cos(((4 π)/5)))=((4π)/5).

arcsin(sin (((4 π)/5)))=arcsin(sin ((π/5)))=(π/5). Proszę pamiętać, że arc sin ma obraz [-π/2,π/2]

arctg(tg (((4 π)/5)))=arctg(tg (-(( π)/5)))=((-π)/5). Proszę pamiętać, że arc sin ma obraz [-π/2,π/2]

arccos(sin ((4π)/5))=arccos(cos ((3π)/10))=((3 π)/10).

c) sin arc tg x

(sin^2) x+(cos^2) x=1, więć 

1 +(cot^2)x=(1/((sin^2) x))=> sin (arc tg x)= ((sign (tg x))/(Sqrt[1+(cot^2)(arc tg x)]))=>sin (arc tg x)= ((sign (tg x))/(Sqrt[1+1/(tan^2)(arc tg x)]))=>
sin (arc tg x)= ((tg (arc tg x))/(Sqrt[1+(tg^2)(arc tg x)]))=>sin (arc tg x)= (x/(Sqrt[1+(x^2)])).

d) tg (arc sin x)=((sin (arc sin x))/(cos(arc sin x)))=(x/(cos(arc sin x)))=(x/(Sqrt[1-(sin^2)(arc sin x)]))=(x/(Sqrt[1-(x^2)])).
Proszę pamiętać, że skoro ars sin x ϵ [-π/2,π/2], to cos arc sin x≥0.

Wykaż, że arc tg (7/9)+arcctg 8=(π/4) i 2 arctg (1/4)+arc tg (7/23)=(π/4)

a) arc tg (7/9)+arcctg 8=(π/4)

tg(arc tg (7/9)+arctg (1/8))=((tg (arc tg (7/9)) + tg (arc tg 1/8))/(1- tg arc tg (7/9)  tg arc tg (1/8)))=((7/9 + 1/8)/(1- (7/9) (1/8)))=1. Skoro (7/9),(1/8)<1, to arc tg(7/9) ,arc tg(1/8) < (π/4). Wówczas,  arc tg (7/9)+arctg 1/8<(π/2)  i arc tg(7/9)+arctg(1/8)=(π/4)

b) 2 arctg (1/4)+arc tg (7/23)=(π/4)

Najpierw, ustalamy co to jest 2 arctg (1/4).

tg (2 arc tg (1/4))= (tg arc tg (1/4) + tg arc tg (1/4))/(1 - tg arc tg (1/4) tg arc tg (1/4))=((1/2)/(1-(1/16)))=(8/15).

Skoro (1/4)<1 to arc tg (1/4)<(π/4). Z tego, 2 arc tg (1/4)< (π/2). Ponieważ tg (2 arc tg (1/4))= (8/15) i 2 arc tg (1/4)< (π/2), to

(2 arc tg (1/4))=arc tg (8/15)

Korzystając z tego, 

2 arctg (1/4)+arc tg (7/23)=arc tg (8/15)+arc tg (7/23)

tg(arc tg 8/15 + arc tg 7/23)=(((8/15)+(7/23))/(1- (8/15) (7/23)))=1

Rozwiąż rownanie  tg(3 arc sin x)=1.

arc sin x ϵ [((-π)/2),(π/2)]. Więć, 3 arc sin x ϵ [((-3π)/2),((3π)/2)] 
Ponadto, jezeli tg(3 arc sin x)=1 to  3 arc sin x ϵ {-13 (π/4),-9(π/4),-3 (π/4), (π/4), 5 (π/4),9(π/4), 13(π/4),...}

Wiec, 3 arc sin x moze byc -3 (π/4), (π/4), 5 (π/4) 

x=sin ((-π)/4)=-(Sqrt[2])/2, x= sin (π/4) lub x=sin ((5 π)/4). Wowczas,  x ϵ {-((Sqrt[2])/2),((-1+(Sqrt[3]))/(2 (Sqrt[2]))),((1+(Sqrt[3]))/(2 (Sqrt[2])))}

Sin

Sin[-(π/4)]
Sin[(π/12)]
Sin[5 (π/12)]

Plot[{Tan[3 ArcSin[x]],1},{x,-π/2,π/2}]

Znaleźć wyrażenie nie zawierajace x w rozwinieciu (((2x-(3/(x^2))))^9).

Korzystajac z wzoru dwumianu Newtona

(((x + y))^n)=((Subscript[Σ, k=0])^n)(({{n}, {k}})) (x^k) (y^(n-k))  

gdzie

(({{n}, {k}}))=((n!)/((n-k)! k!)).


Trójkąt Tartagli

     1
    11
   121
  1331
 14641
...........


(2 ((x-(3/(x^2))))^9)=((Subscript[Σ, k=0])^n)(({{n}, {k}}))  (2^k)(((x^k)(((-3)/(x^2))))^(n-k))

k-2n+2k=0 3k=18, k=6.
(2^6)(((-3))^6) (({{9}, {6}}))

Znaleźć n takie, żę współczynniki stojące przy wyrażeniu (x^2) w rozwinięciu (((1+x))^(2n)) oraz (((1+15 (x^2)))^n) są sobie równe.

Korzystajac z wzoru dwumianu Newtona, mamy ze

(((1 + x))^(2n))=((Subscript[Σ, k=0])^n)((Overscript[k, 2 n])) (x^k)

(((1 + 15 (x^2)))^n)=((Subscript[Σ, k=0])^n)((Overscript[k, n])) (15^k)(x^(2 k))   

(({{2n}, {2}}))= (({{n}, {1}})) 15 

n (2n-1)=n 15

n=8.

Wykażać, że

(({{n}, {0}}))+(({{n}, {1}}))+(({{n}, {2}}))+...+(({{n}, {n}}))=(2^n)

Korzystajac z wzoru dwumianu Newtona

(((x + y))^n)=((Subscript[Σ, k=0])^n)(({{n}, {k}})) (x^k) (y^(n-k))  

gdzie

(({{n}, {k}}))=((n!)/((n-k)! k!)).

mamy, ze

(((1 +1))^n)=((Subscript[Σ, k=0])^n)(({{n}, {k}})) =(2^n).

Sprawdzic, czy p=2 jest pierwiastkiem trojmianu (p^3)+(p^2)-5p-2=0 i znalezc dwa pozostale pierwiastki.

Solve[(p^3)+(p^2)-5 p-2==0,p]

Plot[(p^3)+(p^2)- 5p-2,{p,-4,4}]

Równanie kwadratowe 4(x^2)+4kx+9=0, k>0 ma dokladnie jedno rozwiázanie dla x. Znajdz wartosc k.

Rozwiazania tego wielomianu sa

((-b± (Sqrt[16 (k^2) - 144]))/(2a)) 16 k^2 - 144 = 0. (k^2)=9 i k=3.

Rozwiązać nierównosć 

(1/(x-(Sqrt[x])))≥ (4/15).

Taka nierownosc tylko ma sens dla x>0 i x≠1.

(1/(x-(Sqrt[x])))-(4/15)≥ 0  ⟺ ((15- 4 (x - (Sqrt[x])))/((x-(Sqrt[x]))15))≥0

Wprowadzamy zmiannę zmiennych y=(Sqrt[x]).
((15-4(y^2)+4y)/((x-(Sqrt[x]))15))≥0.

x-(Sqrt[x])≥0 ⟺x ≥ (Sqrt[x])⟺(Sqrt[x])≥1 ⟹x≥1
15-4(y^2)+4y = 0 ⟺ y= ((-4 ±(Sqrt[16 - (-4) 4 15]))/(-8))=((1 ±(Sqrt[1 +15]))/2)=((1±4)/2),  (Subscript[y, 1])=-3/2, (Subscript[y, 2])= 5/2.... => x=25/4

Widać, że xϵ (1,(25/4)].

a=Plot[{(1/(x-(Sqrt[x]))),(4/15)},{x,0.01,0.9},PlotRange->{-8,2}]

b=Plot[{(1/(x-(Sqrt[x]))),(4/15)},{x,1.1,8},PlotRange->{-8,2}]

Show[a,b]

Czy istnieją takie A i B, aby zachodziała równosc 

						(1/(3 (x^2)-5x -2))= (A/(3x+1))+(B/(x-2)).

(1/(3 (x^2)-5x-2))=((A(x-2))/((3x+1)(x-2)))+((B (3x+1))/((x-2)(3x+1)))⟺1 = (A+3B)x-2A+B 

A+3B=0, -2A+B=1 => 7B=1 => B=1/7=> A=-3/7.

W pewnym laboratorium zaobserwowano, że ilosc bakteroo rozwija sie zgodnie ze wzorem

					N(t)=150 (2^t)
					
gdzie N(t) to licz ba bakteroo a t jest liczba godzin mierozona od poczatku eksperymentu. Zanlez: ilosc bakterii na poczatku eksperymentu, iulost bakterii po trzech godzinach, czas, po ktorym ilosc bakterii przekroczy 19200.

Gdy t=0, N(0)=150 
gdy t=3, N(3)=150 8=1200
gdy N(t)=19200=150 2^t, to

128=2^t => t=8.

Plot[150 (2^t),{t,0,10}]

Niech f(x)=(3^(cos(x)))+(1/6), xϵ R. Zbadać czy funkcja f jest surjekcją lub injekcją.

f(x)=f(y)⟺ (3^(cos x))=((3 )^(cos(y))) dla x=0 i y= 2π mamy, ze f(0)=f(2π), wiec funkcja nie jest injekcja. Ponadto, funkcja jest okresowa i zadna funkcja okresowa jest injekcją.

widac, że (3^(cos(x)))≥0, wiec, nie jest surjekcją poniewaz nie istnieje x taki, że f(x)<(1/6)

Plot[(3^(Cos[x]))+(1/6),{x,-10,10},PlotRange->{0,5}]

Wiedząc, że (Subscript[log, 5])x=y, wyrażić przez y wyrazenia: (Subscript[log, 5])(x^2), (Subscript[log, 5])((1/x)), (Subscript[log, 25 ])x.

(Subscript[log, 5])(x^2)=2(Subscript[log, 5])x=2y
 (Subscript[log, 5])((1/x))= (Subscript[log, 5])(x^(-1))=-(Subscript[log, 5])x=-y
(Subscript[log, 25 ])x=(Subscript[log, (5^2) ])x=(1/2)(Subscript[log, 5])x=y/2

Niech a=log x, b=log y i c=log z. Wyrazić log((((x^2) (Sqrt[y]))/(z^3))) poprzez a,b i c.

log((((x^2) (Sqrt[y]))/(z^3)))=log (x^2)+log (Sqrt[y])-log (z^3)=2log x+(1/2)log y-3 log z=2a+(1/2)b-3c.

Udowodnic, że dla dowolnej liczby N>0 i N≠1,
(1/((Subscript[log, 2])N))+(1/((Subscript[log, 3])N))+...+(1/((Subscript[log, 10])N))=(1/((Subscript[log, 10!])N))

(Subscript[log, a])b=c ⟺ (a^c)=b⟺ (b^(1/c))=a⟺ (Subscript[log, b])a=(1/((Subscript[log, a])b))

(1/((Subscript[log, 2])N))+(1/((Subscript[log, 3])N))+...+(1/((Subscript[log, 10])N))=(Subscript[log, N])2+(Subscript[log, N])3+...+(Subscript[log, N])10=(Subscript[log, N])10!=(1/((Subscript[log, 10!])N))

Narysować zbiór punktów płaszczyzny, (x,y), dla ktorych (Subscript[log, y])(Subscript[log , x])y≤0.

a=RegionPlot[Log[y,Log[x,y]]≥0,{x,0.1,0.9},{y,0.1,0.9}]

b=RegionPlot[Log[y,Log[x,y]]≥0,{x,1.1,2.9},{y,1.1,2.9}]

Show[a,b]