Matematyka I
Javier de Lucas

Ćwiczenia 
    (lista 4)

         

    KMMF

PRZESTRZENI LINIOWE

1. Rozwiązać układy równań (tzn. podać rowiąanie ogólne) bądż pokazać, że rozwiązań nie ma.

ContourPlot3D[{x1+x2+x3==6,-x1+x2+x3==0,x1-x2+x3==2},{x1,-7,7},{x2,-5,5},{x3,-5,5}]

Solve[{x1+x2+x3==6,-x1+x2+x3==0,x1-x2+x3==2},{x1,x2,x3}]

ContourPlot3D[{2 x1+x2+x3==3,-x1+2 x2+x3==0,x1+x2+2 x3==9},{x1,-7,7},{x2,-5,5},{x3,-10,10}]

Solve[{2 x1+x2+x3==3,-x1+2 x2+x3==0,x1+x2+2 x3==9},{x1,x2,x3}]

ContourPlot3D[{x1+2 x2-x3==3,-x1-2 x2+x3==-3,2 x1+4 x2-2 x3==7},{x1,0,2},{x2,0,1},{x3,-1,1}]

Solve[{x1+2 x2-x3==3,-x1-2 x2+x3==-3,2 x1+4 x2-2 x3==7},{x1,x2,x3}]

ContourPlot3D[{2x1+5 x2+3x3==3,x1-2 x2+x3==1,4 x1+ x2+5x3==5},{x1,0,2},{x2,0,1},{x3,-1,1}]

Solve[{2x1+5 x2+3x3==3,x1-2 x2+x3==1,4 x1+ x2+5x3==5},{x1,x2,x3}]

2. Wyznaczyć wielomian f(x) drugiego stopnia o współczynnikach rzeczywistych, dla
którego f(1) = 8, f(−1) = 2, f(2) = 14.

Solve[{64 x2+8 x1+x0==8,x2-x1+x0==2,4 x2+2 x1+x0==14},{x0,x1,x2}]

3. Wyznaczyć wielomian f(x) trzeciego stopnia o współczynnikach rzeczywistych, dla
którego f(−2) = 1, f(−1) = 3, f(1) = 13, f(2) = 33.

Solve[{-8 x3+4x2-2x1+x0==1,-x3+x2-x1+x0==3,x3+x2+x1+x0==13,8 x3+4 x2+2 x1+x0==33},{x3,x2,x1,x0}]

Znaleźć wszytkie wielomiany f(x) drugiego stopnia o współczynnikach rzeczywistych, spełniające warunek f(1)=f’(2).

f(x)=(Subscript[a, 2])(x^2)+(Subscript[a, 1]) x+(Subscript[a, 0])
f'(x)=2 (Subscript[a, 2])x+(Subscript[a, 1])

Więc,

f(1)=(Subscript[a, 2])+(Subscript[a, 1])+(Subscript[a, 0])
f'(2)=4(Subscript[a, 2])+a1

f(1)=f’(2)⟺ (Subscript[a, 2])+(Subscript[a, 1])+(Subscript[a, 0])=4(Subscript[a, 2])+(Subscript[a, 1])⟺ 3(Subscript[a, 2])=(Subscript[a, 0])  i (Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 0]) są dowolne.

Solve[a2 +a1+a0==4 a2+a1,{a1,a2,a0}]

Znaleźć wszystkie wielomiany f(x) trzeciego stopnia o współczynnikach rzeczywistych, spełniające warunki f’’(0)=f(1)=f’(2).

f(x)=(Subscript[a, 2])(x^2)+(Subscript[a, 1]) x+(Subscript[a, 0])
f'(x)=2 (Subscript[a, 2])x+(Subscript[a, 1])
f''(x)=2(Subscript[a, 2])

Więc,

f(1)=(Subscript[a, 2])+(Subscript[a, 1])+(Subscript[a, 0])
f'(2)=4(Subscript[a, 2])+(Subscript[a, 1])
f''(0)=2(Subscript[a, 2])

Wtedy,

f(1)=f'(2)⟺ (Subscript[a, 2])+(Subscript[a, 1])+(Subscript[a, 0])=4(Subscript[a, 2])+(Subscript[a, 1])⟺ (Subscript[a, 0])=3(Subscript[a, 2])
f’(2)=f’’(0)⟺ 4 (Subscript[a, 2])+(Subscript[a, 1])=2 (Subscript[a, 2])⟺ 2(Subscript[a, 2])=-(Subscript[a, 1])

Skoro mamy dwa równania i trzy zmienny, to możemy zakładać, że (Subscript[a, 2]) jest dowolny i

(Subscript[a, 0])=3λ, (Subscript[a, 1])=-2λ.

Solve[{a2+a1+a0==4a2+a1,4 a2+a1==2a2},{a1,a2,a0}]

Czy układy wektorów (f1, f2, f3) są bazami? Jeśli tak, to wyrazić poniższe x w bazach (f1, f2, f3):

(a) x = [1, 5, 7] ; f1 = [1, 0, 0], f2 = [1, 1, 0], f3 = [1, 1, 1];

Trzeba sprawdzić, czy układ równań liniowych λ1 (Subscript[f, 1])+(Subscript[λ, 2]) (Subscript[f, 2])+(Subscript[λ, 3]) (Subscript[f, 3])=0 ma tylko rozwiazanie (Subscript[λ, 1])=λ2=λ3=0. W takim przypadku, mówi się, że wektory (Subscript[f, 1]), (Subscript[f, 2]),(Subscript[f, 3]) są liniowo niezależne. Kiedy liczba wektorów liniowo niezależne równa się wymiaru przestrzenie (tutaj 3), to wektory tworzą bazę.

W tym przypadku, widać, że f1, f2, f3 tworząć bazę. Wtedy, każde wektor x można przedtawić w postaci x=(Subscript[λ, 1])(Subscript[f, 1])+(Subscript[f, 2])(Subscript[λ, 2])+(Subscript[λ, 3])(Subscript[f, 3])  w tylko jednym sposob!!! Wtedy

					(({{1}, {5}, {7}})) =(({{1}, {0}, {0}}))(Subscript[λ, 1])+(({{1}, {1}, {0}}))(Subscript[λ, 2])+ (({{1}, {1}, {1}}))(Subscript[λ, 3])

Solve[(({{1, 1, 1}, {0, 1, 1}, {0, 0, 1}})).(({{λ1}, {λ2}, {λ3}}))==(({{1}, {5}, {7}})),{λ1,λ2,λ3}]

(b) x = [6, 2, −7] ; f1 = [2, 1, −3], f2 = [3, 2, −5], f3 = [1, −1, 1]

Trzeba sprawdzić, czy układ równań liniowych λ1 (Subscript[f, 1])+(Subscript[λ, 2]) (Subscript[f, 2])+(Subscript[λ, 3]) (Subscript[f, 3])=0 ma tylko rozwiazanie (Subscript[λ, 1])=λ2=λ3=0. W takim przypadku, mówi się, że wektory (Subscript[f, 1]), (Subscript[f, 2]),(Subscript[f, 3]) są liniowo niezależne. Kiedy liczba wektorów liniowo niezależne równa się wymiaru przestrzenie (tutaj 3), to wektory tworzą bazę.

W tym przypadku, widać, że f1, f2, f3 tworząć bazę. Wtedy, każde wektor x można przedtawić w postaci x=(Subscript[λ, 1])(Subscript[f, 1])+(Subscript[f, 2])(Subscript[λ, 2])+(Subscript[λ, 3])(Subscript[f, 3])  w tylko jednym sposob!!! Wtedy

					(({{6}, {2}, {-7}})) =(({{2}, {1}, {-3}}))(Subscript[λ, 1])+(({{3}, {2}, {-5}}))(Subscript[λ, 2])+ (({{1}, {-1}, {1}}))(Subscript[λ, 3])

Solve[(({{2, 3, 1}, {1, 2, -1}, {-3, -5, 1}})).(({{λ1}, {λ2}, {λ3}}))==(({{6}, {2}, {-7}})),{λ1,λ2,λ3}]

(c) x = [6, 9, 14]; f1 = [1, 1, 1], f2 = [1, 1, 2], f3 = [1, 2, 3].

Trzeba sprawdzić, czy układ równań liniowych λ1 (Subscript[f, 1])+(Subscript[λ, 2]) (Subscript[f, 2])+(Subscript[λ, 3]) (Subscript[f, 3])=0 ma tylko rozwiazanie (Subscript[λ, 1])=λ2=λ3=0. W takim przypadku, mówi się, że wektory (Subscript[f, 1]), (Subscript[f, 2]),(Subscript[f, 3]) są liniowo niezależne. Kiedy liczba wektorów liniowo niezależne równa się wymiaru przestrzenie (tutaj 3), to wektory tworzą bazę.

W tym przypadku, widać, że f1, f2, f3 tworząć bazę. Wtedy, każde wektor x można przedtawić w postaci x=(Subscript[λ, 1])(Subscript[f, 1])+(Subscript[f, 2])(Subscript[λ, 2])+(Subscript[λ, 3])(Subscript[f, 3])  w tylko jednym sposob!!! Wtedy

					(({{6}, {9}, {14}})) =(({{1}, {1}, {1}}))(Subscript[λ, 1])+(({{1}, {1}, {2}}))(Subscript[λ, 2])+ (({{1}, {2}, {3}}))(Subscript[λ, 3])

Det[(({{1, 1, 1}, {1, 1, 2}, {1, 2, 3}}))]

Solve[(({{1, 1, 1}, {1, 1, 2}, {1, 2, 3}})).(({{λ1}, {λ2}, {λ3}}))==(({{6}, {9}, {14}})),{λ1,λ2,λ3}]

7. Znaleźć kąty w trójkącie o wierzchołkach w punktach: 

(a) (1, 2, 3), (−2, 3, 4), (−3, 0, 1). Jeśli wynik dla cosinusa  będzie niestandardowy to  kąt wyliczyć na kalkulatorze
–  oczywiście takim z f. trygonometrycznymi

Punkty trójkąt to:

A=(1,2,3)
B=(-2,3,4)
C=(-3,0,1)

Trzeba obliczyc wektory miedzy punktami

v=AB=(-3,1,1)
w=BC=(-1,-3,-3)
u=CA=(4,2,2)

Pierwsze kat to

cos(v,-w)= -v w/(| v || w |) = 3/(Sqrt[11])(Sqrt[19])=(3/(Sqrt[209]))=1.4 rad

Piszę się, dlatego, że kąt

cos(u,-w)= -(u w)/(| v || w |)=(16/((Sqrt[24])(Sqrt[19]))) = 0.72 rad
cos(-u,v)= -uv /(| v || u |) = 8/(Sqrt[11] Sqrt[19])=(8/(Sqrt[209]))=0.98 rad

Suma wszystkich kątów ma być π

ListPlot3D[{{1,2,3},{-2,3,4},{-3,0,1}},Mesh->All]

N[ArcCos[(3/(Sqrt[209]))],3]

N[ArcCos[(16/((Sqrt[24]) (Sqrt[19])))],3]

N[ArcCos[(8/(Sqrt[209]))],3]

(b) (1, 2, 3, 2, 1),
(3, 4, 0, 4, 3), (1+ 5/26(Sqrt[78]), 2+ 5/13 (Sqrt[78]), 3+10/13(Sqrt[78]), 2+ 5/13 (Sqrt[78]), 1+ 5/26(Sqrt[78])).

A=(1,2,3,2,1)
B=(3,4,0,4,3)
C=(1+ 5/26(Sqrt[78]), 2+ 5/13 (Sqrt[78]), 3+10/13(Sqrt[78]), 2+ 5/13 (Sqrt[78]), 1+ 5/26(Sqrt[78]))

v=AB=(2,2,-3,2,2)
|v|=5

w=BC=(-2+5/26(Sqrt[78]),-2+ 5/13 (Sqrt[78]),3+10/13(Sqrt[78]),-2+ 5/13 (Sqrt[78]), -2+ 5/26(Sqrt[78]))
|w|=10

u=CA=(-5/26(Sqrt[78]),5/13 (Sqrt[78]),10/13(Sqrt[78]),5/13 (Sqrt[78]), 5/26(Sqrt[78]))
|u|=5(Sqrt[3])

cos(-v,w)= -v w/(| v || w |) =-(-4+(5/13)(Sqrt[78])-4+10/13 (Sqrt[78])-9-30/13 (Sqrt[78])-4+10/13 (Sqrt[78])-4+5/13 (Sqrt[78]))/(| v || w |) = 25/(| v || w |) =(1/2)
cos(u,-w)= -(u w)/(| u || w |) =-[(-(5/26) (Sqrt[78])) 2 + 2 (5/13 (Sqrt[78])) - 3 (10/13 (Sqrt[78])) + 
   2 (5/13(Sqrt[78])) + 2 (5/26 (Sqrt[78]))]/(|u||v|)=10 (Sqrt[6/13])/(50(Sqrt[3]))=((Sqrt[2/13])/5))
cos(-u,v)= uv /(|v||w|)=-10/13 (90 + (Sqrt[78]))/(|v||u|)=-10/13 (90 + (Sqrt[78]))/(25(Sqrt[3])).

FullSimplify[(((-2+5/26 (Sqrt[78])))^2)+(((-2+5/13 (Sqrt[78])))^2)+(((3+10/13 (Sqrt[78])))^2)+(((-2+5/13 (Sqrt[78])))^2)+(((-2+5/26 (Sqrt[78])))^2)]

FullSimplify[(((-5/26 (Sqrt[78])))^2)+(((5/13 (Sqrt[78])))^2)+(((10/13 (Sqrt[78])))^2)+(((5/13 (Sqrt[78])))^2)+(((5/26 (Sqrt[78])))^2)]

FullSimplify[(-2+(5/26)(Sqrt[78])) 2+2(-2+(5/13)(Sqrt[78]))-3(3+(10/13)(Sqrt[78]))+2(-2+(5/13)(Sqrt[78]))+2(-2+(5/26)(Sqrt[78]))]

FullSimplify[(-(5/26)(Sqrt[78])) 2+2((5/13)(Sqrt[78]))-3((10/13)(Sqrt[78]))+2((5/13)(Sqrt[78]))+2((5/26)(Sqrt[78]))]

FullSimplify[(-(5/26)(Sqrt[78])) (-2+(5/26)(Sqrt[78]))+((5/13)(Sqrt[78]))(-2+(5/13)(Sqrt[78]))+((10/13)(Sqrt[78]))(3+(10/13)(Sqrt[78]))+(-2+(5/13)(Sqrt[78]))((5/13)(Sqrt[78]))+(-2+(5/26)(Sqrt[78]))((5/26)(Sqrt[78]))]

Pokazać,  używając rachunku wektorowego, że  przekątne rombu  są prostopadłe.

Niech u1 i u2 beda wektorami boków tego rombu. Skoro boki mają taką samą odleglość to |u1|=|u2|. Przekątne tego rombu są wektorami u1-u2 i u1+u2. Wtedy

(u1-u2)(u1+u2)=|u1((|)^2)-u1 u2+u2 u1 - |u2((|)^2) = |u1((|)^2)-|u2((|)^2)=0.

To u1-u2 i u1+u2 są prostopadły.

Pod jakim kątem przecinają się przekątne szescianu? Jaki kąt tworzy przekątna szescianu z podstawą?

Zakladamy, że wierzchołki szescianu są w punktach (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0),(1,0,1),(1,1,1). Dwa przekątne są

a) od (0,0,0)  do (1,1,1) wektor u=(1,1,1)
b) od (1,0,0) do (0,1,1) wektor v=(-1,1,1)

Więc, kąt α między wektorami to

cos(α) =(uv/(|u||v|))=(1/3)

Mamy wektory x = [1, 2, 3], y = [2, −3, 4], z = [3, −4, −5]. Znaleźć:

(a) Pola powierzchni każdej ze ścian,



(b) Objętość równoległościanu.

ParametricPlot3D[ λ {1,2,3}+μ {2,-3,4}+γ {3,-4,-5},{λ,0,1},{μ,0,1},{γ,0,1}]

ListPlot3D[{{1,2,3},{2,-3,4},{3,-4,-5}},Mesh->All]

(17^2)+4+49

(Sqrt[%])

Det[(({{1, 2, 3}, {2, -3, 4}, {3, -4, -5}}))]

Pokazać dla symbolu zupełnie antysymetrycznego:
(a) (Subscript[Σ, ijk])(Subscript[ϵ, ijk])(Subscript[ϵ, ijk])=6
(b) (Subscript[Σ, k])(Subscript[ϵ, ijk]) (Subscript[ϵ, klm]) = (Subscript[δ, il]) (Subscript[δ, jm])-(Subscript[δ, jl])(Subscript[δ, im])

Pokazać  tożsamość  wektorową:

						x × (y × z) = y(x, z) − z(x, y).

Pokazać tożsamości wektorowe:
(x, y × z) = (z, x × y) = (y, z × x)