\documentclass[a4paper,10pt,polish]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{times} % opcjonalnie, dla �adniejszych czcionek
\usepackage{babel}
%\documentstyle[polski,10pt]{article}
%\prefixing

\def\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\def\init{\setcounter{equation}{0}}

%THEOREMLIKE ENVIRONNEMENTS

\newtheorem{theoreme}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{proposition}[theoreme]{Stwierdzenie}
\newtheorem{lemma}[theoreme]{Lemat}
\newtheorem{definition}[theoreme]{Definicja}
\newtheorem{corollary}[theoreme]{Wniosek}
\newtheorem{remark}[theoreme]{Uwaga}
\newtheorem{example}[theoreme]{Przyk"lad}

%DECLARATION POUR LA FAMILLE DE FONTES DESTINEE AUX
%ENSEMBLES USUELS
%\font\tenblack=msym10 \font\sevenblack=msym7
%\font\fiveblack=msym5
%\font\twelveblack=msym10 at 12pt
%\newfam\blackfam
%\textfont\blackfam=\twelveblack
%\scriptfont\blackfam=\sevenblack
%\scriptscriptfont\blackfam=\fiveblack
%\def\blackboard{\fam\blackfam}

%LES ENSEMBLES USUELS
%\def\rr{{\blackboard R}}
%\def\cc{{\blackboard C}}
%\def\nn{{\blackboard N}}
%\def\zz{{\blackboard Z}}
%\def\qq{{\blackboard Q}}
\def\rr{{\bf R}}
\def\cc{{\bf C}}
\def\nn{{\bf N}}
\def\one{{\bf 1}}
\def\zz{{\bf Z}}
\def\qq{{\bf Q}}
%NOTATIONS MATHEMATIQUES
\def\slim{{\rm s-}\lim}
\def\wlim{{\rm w-}\lim}
\def\srlim{{\rm s-}C_\infty{\rm -}\lim}
\def\rlim{C_\infty{\rm -}\lim}
\def\fld{\to}
\def\dt{\frac{d}{dt}}
\def\schrod{Schr\"odinger}
\def\pdos{pseudodifferential operators}
\def\pdo{pseudodifferential operator}
\def\zbar{\bar{z}}
\def\cinf{C^\infty}
\def\c0inf{C_0^\infty}
\def\bprop{\begin{proposition}}
\def\eprop{\end{proposition}}
\def\B{{\rm B}}
\def\C{{\cal C}}
\def\sgn{{\rm sgn}}
\def\product{\mathop{\Pi}\limits}
\def\Ker{{\rm Ker}}
\def\12{\frac{1}{2}}
\def\Ran{{\rm Ran}}
\def\rot{{\rm rot}}
\def\div{{\rm div}}
\def\Re{{\rm Re}}
\def\Im{{\rm Im}}
\def\i{{\rm i}}
\def\arccos{{\rm arccos}}
\def\arctg{{\rm arctg}}
\def\arch{{\rm arch}}
\def\arsh{{\rm arsh}}
%ABBREVIATIONS DE LETTRES ET SYMBOLES
%ABBREVIATIONS DE COMMANDES
\newcommand{\beq}{\begin{equation}}
\newcommand{\eeq}{\end{equation}}
\newcommand{\bear}[1]{\begin{array}{#1}}
\newcommand{\ear}{\end{array}}






%LARGEUR ET HAUTEUR DU TEXTE
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\textheight}{21cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\addtolength{\footskip}{1cm}
% 1 INCH = 2.54 CM !!!!


%List of macros used specially for the book
\def\coinf{C_0^\infty}
\def\qed{$\Box$\medskip}
\def\s{\langle s \rangle}
\def\arg{{\rm arg}}
\def\P{{\cal P}}
\def\T{{\cal T}}
\def\F{{\cal F}}
\def\A{{\cal A}}
\def\Q{{\cal Q}}
\def\bar{\overline}
\def\bet{\begin{theoreme}}
\def\eet{\end{theoreme}}
\def\bep{\begin{proposition}}
\def\eep{\end{proposition}}
\def\bed{\begin{definition}}
\def\eed{\end{definition}}

\def\bel{\begin{lemma}}
\def\eel{\end{lemma}}
\def\bex{\begin{example}}
\def\eex{\end{example}}

\def\teta{\tilde{\eta}}
\def\ty{\tilde{y}}
\def\tz{\tilde{z}}
\def\tH{\tilde{H}}
\def\tU{\tilde{U}}
\def\tP{\tilde{P}}
\def\tJ{\tilde{J}}
\def\tOmega{\tilde{\Omega}}
\def\tdd{\tilde{\dd}}

\def \p{ \partial}
\def\u{\langle u \rangle}

\def\c{{\scriptstyle\circ}}
\def\t{\langle t \rangle}
\def\x{\langle x \rangle}
\def\xt{\frac{x}{t}}
\def\supp{{\rm supp}}
\def\dd{{\bf D}}
\def\hc{{\rm hc}}
\def\ad{{\rm ad}}
\def\e{{\rm e}}
\def\D{{\cal D}}
\def\tY{{\tilde Y}}
\def\ala{{a\in{\cal A}}}
\def\amin{{a_{\rm min}}}
\def\E{{\rm E}}
\def\Int{{\rm Int}}
\def\d{{\rm d}}
\def\deg{{\rm deg}}
\def\Res{{\rm Res}}
\def\ch{{\rm ch}}
\def\sh{{\rm sh}}
\begin{document}
\def\proof{{\bf Dow"od.}\ \ }

\pagestyle{empty}
\title{\bf Funkcje analityczne. Funkcja Gamma}

\date{}




\author{Jan Derezi"nski\\Katedra Metod Matematycznych Fizyki\\
Wydzia"l Fizyki, Uniwersytet Warszawski\\
Ho"ra 74, 00-682 Warszawa
\\e-mail derezins@fuw.edu.pl}





\maketitle


\begin{center}{\bf \Large Metody Matematyczne
Fizyki B, skrypt I\\[3mm]
 rok 1999}\end{center}

\tableofcontents


\vskip 8cm
\section{Funkcje analityczne}
\subsection{Definicja funkcji analitycznych}




Wprowad"zmy nast"epuj"ace operatory dzia"laj"ace na $\cc$ 
\[\p_z:=\frac{1}{2}(\p_x-i\p_y),\ \ \p_{\bar z}:=\frac{1}{2}(\p_x+i\p_y).\]
i jednoformy:
\[\d z=\d x+\i\d y,\ \ \d \bar z=\d x-\i\d y.\]



Zauwa"rmy, "re
\[\begin{array}{l}
\p_zz=1,\ \p_z\bar z=0,\\[2mm]
\p_{\bar z}z=0,\ \p_{\bar z}\bar z=1,\\[2mm]
\d f=\p_z f\d z+\p_{\bar z} f\d\bar z.
\end{array}\]


\bet {\bf (Definicja funkcji holomorficznej)}.
Niech $\Omega\subset\cc$ b"edzie otwartym podzbiorem
i $\Omega\ni z\mapsto f(z)\in\cc$ funkcj"a. Wtedy nast"epuj"ace warunki s"a
r"ownowa"rne:
\newline
1) {\bf (R"o"rniczkowalno"s"c w sensie zespolonym)}
Dla ka"rdego $z_0\in\Omega$ istnieje
\beq
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.
\label{z3}\eeq
Granic"e t"e nazywamy pochodn"a w sensie zespolonym
funkcji $f$ w $z_0$. Jest ona oznaczana przez
$\p_zf(z_0).$
Stosujemy te"r oznaczenia $f'(z_0)$ i $\frac{\d f(z_0)}{\d z}$.
\newline
2) {\bf(Warunki Cauchy'ego--Riemanna)} Funkcja $f$ jest jednokrotnie
r"ozniczkowalna w sensie rzeczywistym i spe"lnione s"a nast"epuj"ace wzory:
\[\begin{array}{l}
\p_x u=\p_yv,\\[2mm]
\p_xv=-\p_yu,
\end{array}\]

gdzie $u=\Re f$, $v=\Im f$.
\newline
3)  Funkcja $f$ jest jednokrotnie
r"ozniczkowalna w sensie rzeczywistym i zachodzi
\[\p_{\bar z}f=0.\]
\newline
4) {\bf(Analityczno"s"c)} Dla ka"rdego $z_0\in\Omega$ istnieje $r>0$ takie, "re na $K(z_0,r)$
\[f(z)=\sum_0^\infty a_n (z-z_0)^n.\]
\label{zz1}\eet


\bed
 Funkcj"e $f$ spe"lniaj"ac"a jeden, a zatem i wszystkie,
powy"rsze warunki nazywamy funkcj"a holomorficzn"a na $\Omega$
lub, co traktujemy jako synonim, funkcj"a analityczn"a na $\Omega$.
\eed

{\bf Dow"od Twierdzenia \ref{zz1}.}
Udowodnijmy $1)\Rightarrow 2)$.
We wzorze
\[f'(z_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h},\]
gdzie $h=h_x+ih_y$, mo"remy po"lo"ry"c $h_y=0$ i zbiega"c z $h_x\to0$, wtedy
dostajemy
\beq f'(z_0)=\lim_{h_x\to 0}\frac{f(z_0+h_x)-f(z)}{h_x}
=\p_xu(z_0)+i\p_xv(z_0)\label{za1}\eeq
lub mo"remy trzyma"c $h_x=0$, wtedy
\beq f'(z_0)=\lim_{h_y\to 0}\frac{f(z_0+ih_y)-f(z)}{ih_y}
=-i\p_yu(z_0)+\p_yv(z_0)\label{za2}\eeq
Przez por"ownanie (\ref{za1}) i (\ref{za2}) dostajemy wzory
Cauchy'ego--Riemanna.


R"ownowa"rno"s"c 2) i 3) jest oczywista.

Udowodnijmy teraz $2)\Rightarrow 1)$.
R"o"rniczkowalno"s"c w sensie rzeczywistym oznacza, "re
\[f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+R(z_0,h)\]
gdzie $f'(z_0)$ oznacza macierz Jacobiego pochodnej
\[\left[\begin{array}{cc}\p_xu&\p_ yu\\\p_x v&\p_yv\end{array}\right],\]
 $h$ jest wektorem
\[\left[\begin{array}{c}h_x\\h_y\end{array}\right]\]
a
\[\lim_{h\to0}\frac{|R(z_0,h)|}{|h|}=0.\]
Mo"rna to zapisa"c jako
\[\begin{array}{ll}f(z_0+h)-f(z_0)&=\p_xf(z_0)h_x+\p_yf(z_0)h_y+R(z_0,h)\\[2mm]
&=\p_zf(z_0)(h_x+ih_y)+\p_{\bar z}f(z_0)(h_x-ih_y)+R(z_0,h)
\end{array}\]
Z tego wynika istnienie granicy (\ref{z3}) i to, "re jest r"owna $\p_z f(z_0)$.

Dow"od r"ownowa"rno"sci warunku 4) zostawiamy na p"o"zniej.
\qed

\begin{proposition}
Je"sli $f$, $g$ s"a holomorficzne w $\Omega$, to r"ownie"r
$f+g$ i $fg$. Je"sli w dodatku $f\neq0$ na $\Omega$, to
$\frac{1}{f}$ jest holomorficzna na $\Omega$.
Je"sli $f$ jest holomorficzne na $\Omega$ a $g$ na $f(\Omega)$,
to $g{\scriptstyle\circ}f$ jest holomorficzne na $\Omega$.
Je"sli $f$ jest bijekcj"a z $\Omega$ na $f(\Omega)$ i
$f^{-1}$ jest funkcj"a odwrotn"a do $f$, to $f^{-1}$ jest holomorficzne
na $f(\Omega)$.
Zachodz"a wzory
\[\begin{array}{l}\frac{\d}{\d z}(f+g)=
\frac{\d}{\d z}f+\frac{\d}{\d z}g,\\[2mm]
\frac{\d}{\d z}(fg)=(\frac{\d}{\d z}f)g+f\frac{\d}{\d z}g,\\[2mm]
\frac{\d}{\d z}\frac{1}{f}=-\frac{1}{f^{2}}\frac{\d}{\d z}f,\\[2mm]
\frac{\d}{\d z}g{\scriptstyle\circ}f(z)=\frac{\d}{\d w}g(w)\frac{\d}{\d z}f(z)
,\ \hbox{gdzie}\ f(z)=w,\\[2mm]
\frac{\d}{\d w}f^{-1}(w)=
\frac{1}{\frac{\d}{\d z}f(z)},\ \hbox{gdzie}\ f(z)=w.
\end{array}\]
\end{proposition}

\begin{corollary} Funkcja wymierna, czyli funkcja postaci
\[\frac{P(z)}{Q(z)},\]
gdzie $P$, $Q$ s"a wielomianami, 
jest holomorficzna poza zerami $Q(z)$.
\end{corollary}



\subsection{Krzywe}

Krzyw"a sparametryzowan"a nazywamy odwzorowanie ci"ag"le
\beq]0,1[\ni\tau\mapsto\gamma(\tau)\in\cc.\label{kr}\eeq
Na og"o"l b"edziemy milcz"aco zak"ladali, "re $\gamma$ jest kawa"lkami g"ladka.

W zbiorze krzywych wprowadzamy relacj"e: $\gamma_1\sim\gamma_2$, gdy istnieje
kawa"lkami g"ladka rosn"aca bijekcja
$]0,1[\ni\tau\mapsto\kappa(\tau)\in]0,1[$ taka, "re
$\gamma_1=\gamma_2\c\kappa$. Jest to relacja r"ownowa"rno"sci.  
 Klas"e abstrakcji wzgl"edem tej relacji nazywamy krzyw"a zorientowan"a
(niesparametryzowan"a). 

W zbiorze krzywych wprowadzamy te"r 
relacj"e: $\gamma_1\sim\gamma_2$, gdy istnieje
kawa"lkami g"ladka rosn"aca lub malej"aca bijekcja
$]0,1[\ni\tau\mapsto\kappa(\tau)\in]0,1[$ taka, "re
$\gamma_1=\gamma_2\c\kappa$. Jest to r"ownie"r relacja r"ownowa"rno"sci.  
 Klas"e abstrakcji wzgl"edem tej relacji nazywamy krzyw"a niezorientowan"a
(niesparametryzowan"a). 


W definicji (\ref{kr}) mo"rna r"ownie"r zamieni"c $]0,1[$ na $[0,1]$,
$]0,1]$, $[0,1[$ b"ad"z $S^1$ (okr"ag). W ostatnim wypadku mamy do
czynienia z krzyw"a zamkni"et"a.
Za"l"o"rmy, "re brzeg zbioru otwartego sk"lada si"e z krzywych zamkni"etych
kawa"lkami g"ladkich. Wtedy ka"rda z tych krzywych ma naturaln"a
orientacj"e: posuwamy si"e wzd"lu"r niej w dodatnim kierunku,
je"sli zbi"or mamy z lewej strony.

\subsection{Ca"lki wzd"lu"r krzywych}

Niech krzywa $\gamma$ b"edzie sparametryzowana
przez $[0,1]\ni\tau\mapsto \gamma(\tau)\in \Omega$. 
Za"l"o"rmy, "re 
 na $\gamma([0,1])$ okre"slona jest funkcja $f$ (niekoniecznie holomorficzna). 
Zdefiniujmy ca"lk"e z funkcji $f$ po krzywej $\gamma$ wzorem
\beq\int_\gamma f(z)\d z:=\int_0^1f(\gamma(\tau))\frac{\d \gamma
 (\tau)}{\d \tau}\d  \tau.\label{krz1}\eeq
Definicja ta nie zale"ry od parametryzacji zachowuj"acej orientacj"e.

Wprowadzamy r"ownie"r oznaczenie na niezorientowan"a ca"lk"e
wzd"lu"r krzywej $\gamma$:
\[\int_\gamma f(z)|\d z|:=\int_0^1f(\gamma(\tau))\left|\frac{\d \gamma
 (\tau)}{\d \tau}\right|\d  \tau.\]
 Definicja ta nie zale"ry od parametryzacji, r"ownie"r zmieniaj"acej
orientacj"e.
 
Zauwa"rmy, "re
\[\left|\int_\gamma f(z)g(z)\d z\right|\leq
\int_\gamma |f(z)||\d z|\sup_{z\in\gamma[0,1]}|g(z)|.\]

\subsection{Twierdzenie Cauchy'ego i jego konsekwencje} 

\bet {\bf(Twierdzenie Cauchy'ego)}. Niech $f$ b"edzie holomorficzna
na otwartym i ograniczonym zbiorze $\Omega$ i ci"ag"la na
$\bar\Omega$. Wtedy
\beq
\int_{\p\Omega}f(z)\d z=0.
\label{z5}\eeq
\eet

\proof
Korzystamy z twierdzenia Stokesa:
\[\begin{array}{l}
\int_{\p\Omega}f(z)\d z
=\int_\Omega\d f\wedge\d z
=\int_\Omega\p_{\bar z} f\d\bar z\wedge\d z=0.\end{array}\]
\qed

\begin{corollary}
{\bf (Wz"or Cauchy'ego)}
Przy tych samych za"lo"reniach, co powy"rej, je"sli $z_0\in\Omega$, to
\beq
f(z_0)=\frac{1}{2\pi \i}\int_{\p \Omega}
\frac{f(z)}{z-z_0}\d z.
\eeq
\end{corollary}

\proof Funkcja $\frac{f(z)}{z-z_0}$ jest holomorficzna w
$\Omega\backslash K(z_0,r)$. Zatem
\[\begin{array}{ll}0&
=\int_{\p(\Omega\backslash K(z_0,r))}\frac{f(z)}{z-z_0}\d z
\\[2mm]
&=\int_{\p\Omega}\frac{f(z)}{z-z_0}\d z-
\int_{\p K(z_0,r)}\frac{f(z)}{z-z_0}\d z
\end{array}\]
Ale przez podstawienie $z=z_0+r\e^{i\phi}$ dostajemy, "re
\[\lim_{r\to0}\int_{\p K(z_0,r)}\frac{f(z)}{z-z_0}\d z=2\pi \i f(z_0).\]
\qed

\begin{corollary}
Ka"rda funkcja holomorficzna jest r"o"rniczkowalna
niesko"nczenie wiele razy w sensie zespolonym. Zachodzi wz"or
\beq
f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi \i}\int_{\p \Omega}
\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\d z.
\eeq
\end{corollary}


\begin{corollary}
{\bf (Nier"owno"s"c Cauchy'ego)}
Je"sli $f$ jest holomorficzna w $K(z_0,r)$ i ci"ag"la
na $\overline{K(z_0,r)}$, to
\beq
\left|f^{(n)}(z_0)\right|\leq\frac{n!}{r^n}\sup_{z\in K(z_0,r)}|f(z)|
\eeq\label{Cau}
\end{corollary}

\begin{corollary}
{\bf (Twierdzenie Liouville'a)}
Ka"rda funkcja holomorficzna na $\cc$ i ograniczona jest sta"la.
\end{corollary}

\proof
Dla dowolnego $z_0\in\cc$ i $r>0$ z nier"owno"sci Cauchy'ego wynika
 oszacowanie
\[|f'(z_0)|\leq\frac{\sup_{z\in\cc}|f(z)|}{r}.\]
Zatem
$f'=0.$
\qed
\begin{corollary} ({\bf Twierdzenie Gaussa})
 Ka"rdy wielomian r"o"rny od sta"lej
 ma na $\cc$ miejsce zerowe.
\end{corollary}

\proof
Za"l"o"rmy, "re wielomian $P(z)$ stopnia $n\geq1$ nie ma pierwiastka.
Niech
\[f(z):=(P(z))^{-1}.
\]
Wtedy $f$ jest holomorficzna na $\cc$. Poza tym
\[\lim_{|z|\to\infty}f(z)|z|^{-n}=0\]
Zatem, $\lim_{|z|\to\infty}f(z)=0$. Funkcja ci"ag"la zbie"rna do zera w 
niesko"nczono"sci jest ograniczona. A wi"ec
z Twierdzenia Liouville'a wynika, "re $f$ jest  sta"la.
\qed

\bet Niech $\Omega\in\cc$ b"edzie jednosp"ojnym obszarem a 
$\Omega\ni z\mapsto f(z)$ funkcj"a holomorficzn"a. Ustalmy $z_0\in\Omega$.
Zdefiniujmy 
\[F(z):=\int_{\gamma_z}f(w)\d w,\]
gdzie $\gamma_z$ jest dowoln"a krzyw"a le"r"ac"a w $\Omega$
"l"acz"ac"a $z_0$ i $z$. Wtedy $F(z)$ nie zale"ry od wyboru
krzywej i
\[F'(z)=f(z).\]
\eet

\subsection{Szeregi pot"egowe}

Poni"rsze twierdzenie implikuje r"ownowa"rno"s"c warunku 4)
z twierdzenia \ref{zz1} z pozosta"lymi warunkami.

\bet
1) Niech
\beq\rho^{-1}=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1\slash n}.\label{piu}\eeq
Wtedy
\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\]
jest funkcj"a holomorficzn"a w kole $K(0,\rho)$.
Poza tym
\[a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.\]
\newline
2)
Niech $f(z)$ b"edzie holomorficzna w kole $K(0,r)$.
Wtedy je"sli
\[a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!},\]
to
\[\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1\slash n}\leq r^{-1}\]
i w $K(0,r)$ mamy
\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n.\]
\label{zs1}\eet

\proof
Udowodnijmy 1). 
Niech $\rho_2<\rho_1<\rho$. Wtedy dla $n>N_0$, $|a_n|<\rho_1^{-n}$. Zatem
dla $N>N_0$
\[\begin{array}{l}
\left|\sum_{n=N}^\infty a_nz^n\right|
\leq\sum_{n=N}^\infty \rho_1^n|z|^n
=\rho_1^{-N}|z|^N(1-\frac{|z|}{\rho_1})^{-1}.
\end{array}\]
Czyli
\[f_N(z):=\sum_{n=0}^N a_nz^n\]
spe"lnia dla $N_0\leq N_1\leq N_2$ i $z\in K(0,\rho_2)$
\[|f_{N_1}-f_{N_2}|
\leq\rho_1^{-N_1}\rho_2^{N_1}
(1-\frac{\rho_2}{\rho_1})^{-1}.\]
Czyli $f_N$ jest zbie"rny jednostajnie w $K(0,\rho_2)$, a wi"ec niemal jednostajnie
w $K(0,\rho)$ do funkcji $f(z)$.
Podobnie pochodne $f(z)$ s"a granic"a niemal jednostajn"a 
pochodnych tego ci"agu.
Ka"rdy z element"ow tego ci"agu spe"lnia warunki Cauchy'ego--Riemanna.
Zatem i granica spe"lnia te warunki. 


Udowodnijmy teraz 2). 
Z nier"owno"sci Cauchy'ego wynika, "re je"sli $r_1\leq r$, to
istnieje $C$ takie,"re
\[|a_n|\leq C r_1^{-n}\]
Zatem szereg
\[\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\]
jest zbie"rny w kole $K(0,r_1)$.
Korzystaj"ac z jednostajnej zbie"rno"sci przy zamianie kolejno"sci ca"lkowania
i sumowania dla $r_2<r_1$ dostajemy
\[\begin{array}{ll}
f(z)&=\frac{1}{2\pi \i}\int_{\p K(0,r_2)}
\frac{f(\xi)}{\xi-z}\d\xi\\[2mm]
&=\frac{1}{2\pi \i}\int_{\p K(0,r_2)}
\frac{f(\xi)}{\xi}\frac{1}{1-\frac{z}{\xi}}\d\xi\\[2mm]
&=\frac{1}{2\pi \i}\sum_{n=0}^\infty z^n\int_{\p K(0,r_2)}
\frac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}\d\xi\\[2mm]
&=\sum_{n=0}^\infty z^n
\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\end{array}\]
\qed


W praktyce wystarczaj"a prostsze kryteria:
\newline1) {\bf (Kryterium D'Alemberta)}
Je"sli
\[\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\]
istnieje, to jest r"owne (\ref{piu});
\newline 2) {\bf (Kryterium Cauchy'ego)}
Je"sli
\[\lim_{n\to\infty}|a_n|^{1\slash n}\]
istnieje, to jest r"owne (\ref{piu}).

{\bf Przyk"lady rozwini"e"c funkcji analitycznych}
\[(1-z)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty z^n,\ \ |z|<1;\]
\[(1-z)^{-m}=\sum_{n=0}^\infty \frac{m(m+1)\dots(m+n-1)}{n!}z^n,\ \
|z|<1,\ 
 \ \ \ m=1,2,\dots
 ;\]
\[(1+z)^{m}=\sum_{n=0}^m {m\choose n}z^n,\ \ z\in\cc,\ m=0,1,\dots.\]


\bet
{\bf (Rozwini"ecie w szereg Laurent'a)} 
Niech funkcja $f$ b"edzie holomorficzna w pier"scieniu
\[\{z\ :\ r<|z|<R\},\]
 gdzie $0\leq r< R\leq\infty$. Wtedy
na tym pier"scieniu
\beq
f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_nz^n.
\eeq
Wsp"o"lczynniki $b_n$ mo"rna obliczy"c ze wzoru
\[b_n=\frac{1}{2\pi \i}\int_{\p K(0,\rho)}\frac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}\d\xi.\]
gdzie $r<\rho<R$.
\label{laur}
\eet

\proof Niech $r<r_1<|z|<R_1<R$. Wtedy
\[\begin{array}{ll}
f(z)&=\frac{1}{2\pi \i}\int_{\p K(R_1,0)}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\d \xi-
\frac{1}{2\pi \i}
\int_{\p K(r_1,0)}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\d \xi\\[2mm]
&=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2\pi \i}
\int_{\p K(R_1,0)}\frac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}z^n\d \xi+
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2\pi \i}\int_{\p K(r_1,0)}\frac{f(\xi)}{z^{n+1}}\xi^n\d \xi\\[2mm]
&=\sum_{n=-\infty}^\infty b_nz^n.
\end{array}\]
\qed

{\bf Przyk"lad}
Funkcja 
\[\frac{3-2z}{2-3z+z^2}=\frac{1}{1-z}+\frac{1}{2-z}\]
ma nast"epuj"ace rozwini"ecia
\[\sum_{n=0}^\infty(1+2^{-n-1})z^n,\ \ |z|<1;\]
\[-\sum_{n=0}^\infty z^{-n-1}+
\sum_{n=0}^\infty2^{-n-1}z^n,\ \ 1<|z|<2;\]
\[-\sum_{n=0}^\infty(1+2^{n})z^{-n-1},\ \ 2<|z|.\]


\subsection{Funkcja wyk"ladnicza}
\label{s5}
Funkcj"e wyk"ladnicz"a mo"rna zdefiniowa"c przez szereg
\[\e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n,\ \ z\in\cc.\]
Funkcja ta ma nast"epuj"ace w"lasno"sci:
\[\begin{array}{l}
\e^{z_1}\e^{z_2}=\e^{z_1+z_2},\\[2mm]
\e^{-z}=\frac{1}{\e^{z}},\\[2mm]
\frac{\d}{\d z}\e^z=\e^z,\\[2mm]
\overline{\e^z}=\e^{\bar z},\\[2mm]
\e^z=1\ \hbox{wtedy i tylko wtedy gdy}\
z=i2k\pi,\ k\in\zz.
\end{array}\]
Z funkcj"a $\e^z$ zwi"azane s"a funkcje trygonometryczne
\[\cos z:=\frac{\e^{\i z}+\e^{-\i z}}{2},\ 
\sin z:=\frac{\e^{\i z}-\e^{-\i z}}{2i},\]
i hiperboliczne
\[\ch z:=\frac{\e^z+\e^{-z}}{2},\ 
\sh z:=\frac{\e^z-\e^{-z}}{2}\]

Funkcje $\e^z$, $\cos z$, $\sin z$, $\ch z$ i $\sh z$ obci"ete do $\rr$
maj"a warto"sci rzeczywiste. Mo"remy przy ich pomocy wyrazi"c
$\e^z$ jak nast"epuje:
\[\e^{x+iy}=\e^x(\cos y+i\sin y).\]


Funkcje  $\cos z$, $\sin z$, $\ch z$ i $\sh z$ s"a w pewnym sensie
prze"lu"reniami analitycznymi jednej funkcji, na przyk"lad $\ch z$:
\[\begin{array}{l}\sh t=-\i\ch(t-\i\frac{\pi}{2}),\ \ \ \ 
\sin t=\ch(\i t-\i\frac{\pi}{2}).\end{array}\]
Oto w"lasno"sci funkcji $\ch z$:
\[\begin{array}{l}
\ch z=\ch(-z),\ \ \ \ch(z+\i\pi)=-\ch z,\\[3mm]
\i\p_z\ch z=\ch(z+\i\frac{\pi}{2}),\ \ \ \ \ch^2z+\ch^2(z+\i\frac{\pi}{2})=1.
\end{array}\]


\subsection{Funkcja logarytm i funkcja pot"egowa}

Funkcja $\e^z$ przekszta"lca bijektywnie pas $\{z\ :\ -\pi<\Im z<\pi\}$
na $\cc\backslash]-\infty,0]$. 
Funkcj"e odwrotn"a do $\e^z$ 
okre"slon"a na
\beq\cc\backslash]-\infty,0]\label{zq1}\eeq
nazywamy ga"l"ezi"a g"l"own"a logarytmu i oznaczamy
$\log_{(0)} z$. (Dziedzina (\ref{zq1}) zosta"la wybrana do"s"c 
arbitralnie). Ma w"lasno"sci:
\[\begin{array}{l}
\frac{\d}{\d z}\log_{(0)} z=\frac{1}{z}\\[2mm]
\log_{(0)} 1=0.\end{array}\]
Dostajemy zatem wz"or
\[\log_{(0)} z=\int_{\gamma}\frac{\d w}{w}\]
gdzie $\gamma$ jest dowolnym konturem wewn"atrz (\ref{zq1}) zaczynaj"acym
si"e w $1$ i ko"ncz"acym si"e w $z$.


Czasami przydatna jest funkcja argument (kt"ora nie jest holomorficzna)
\[\arg_{(0)} z:=\Im\log_{(0)} z.\]


Wychodz"ac ze wzoru
\[\frac{\d}{\d z}\log_{(0)}(1+z)=\frac{1}{1+z}\]
i ca"lkuj"ac rozwini"ecie dla $\frac{1}{1+z}$ dostajemy
\[\log_{(0)}(1+z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n,\ \ |z|<1.\]

Zauwa"rmy, "re dla zdefiniowanej powy"rej funkcji logarytm nie dla
wszystkich $z_1,z_2\in\cc\backslash]-\infty,0]$ zachodzi
wz"or
\beq
\log_{(0)}(z_1z_2)=\log_{(0)} z_1+\log_{(0)} z_2.\label{zc1}\eeq
(\ref{zc1}) jest spe"lniony,  je"sli $|\arg z_1+\arg z_2|<\pi.$

Funkcja $\log_{(0)} x$ obci"eta do $\rr_+$ ma warto"sci  w $\rr$.
Funkcj"e $\log_{(0)} z$ mo"remy nast"epuj"aco wyrazi"c przez funkcje rzeczywiste:
\[\log_{(0)}\left(r(\cos\phi+i\sin\phi)\right)=\log r+i\phi,\ 
r\in\rr_+,\ \phi\in]-\pi,\pi[.\]



Je"sli $\mu\in\cc$, to definiujemy ga"l"a"z g"l"own"a funkcji pot"egowej jako
\[\cc\backslash]-\infty,0]\ni z\mapsto z_{(0)}^\mu:=\e^{\mu\log_{(0)} z}.\]
Zauwa"rmy, "re gdy $\mu\in\zz$ to powy"rsza definicja sprowadza si"e do
zwyk"lej pot"egi (kt"ora zdefiniowana jest na ca"lym $\cc$,
by"c mo"re z wyj"atkiem $\{0\}$).
Mamy to"rsamo"sci
\[\begin{array}{l}
1_{(0)}^\mu=1,\\[2mm]
\frac{\d}{\d z}z_{(0)}^\mu=\mu z_{(0)}^{\mu-1},\\[2mm]
z_{(0)}^{\mu_1+\mu_2}=z_{(0)}^{\mu_1}z_{(0)}^{\mu_2},
\ \  |\arg z_1+\arg z_2|<\pi.
\end{array}\]
Zdefinujmy 
\[{\mu\choose n}:=
\frac{\mu(\mu-1)\dots(\mu-n+1)}{n!}.\]
Wtedy wychodz"ac ze wzoru Taylora dostajemy nast"epuj"ace rozwini"ecie
funkcji pot"egowej:
\[(1+z)_{(0)}^{\mu}=\sum_{n=0}^\infty {\mu\choose n}
z^n,
\ \ |z|<1.\]
Funkcja $z_{(0)}^\mu$ dla $z\in\rr_+$ i $\mu\in\rr$ ma warto"sci w $\rr_+$. 
Funkcj"e $z_{(0)}^\mu$ mo"remy nast"epuj"aco wyrazi"c przez funkcje rzeczywiste:
\[\left(r(\cos\phi+i\sin\phi)\right)_{(0)}^{\alpha+i\beta}=
r^\alpha\e^{-\beta\phi}\e^{i\alpha\phi+i\beta\log_{(0)} r},\ 
r\in\rr_+,\ \phi\in]-\pi,\pi[.\]


Niech $\theta\in\rr$.
Funkcja $\e^z$ jest bijekcj"a r"ownie"r je"sli
damy jej nast"epuj"ac"a dziedzin"e i przeciwdziedzin"e:
\[\{z\ :\ \theta-\pi<\Im z<\theta+\pi\}\ni z\mapsto 
\e^z\in\cc\backslash\e^{i\theta}]-\infty,0].\]
Odwrotna do niej funkcja te"r b"edzie nazywana logarytmem.
B"edziemy j"a oznacza"c 
\[\Omega_\theta:=\cc\backslash\e^{i\theta}]-\infty,0]\ni
z\mapsto\log_{(\theta)}(z).\]
Zauwa"rmy, ze je"sli $\theta_1<\theta_2<\theta_1+2\pi$, to
na jednej ze sp"ojnych sk"ladowych $\Omega_{(\theta_1)}\cap\Omega_{(\theta_2)}$
 $\log_{\theta_1}(z)=\log_{\theta_2}(z)$
na drugiej za"s,
 $\log_{(\theta_1)}z+\i2\pi=\log_{(\theta_2)}z$.

Podobnie mo"rna zdefiniowa"c
\[\Omega_\theta\ni
z\mapsto z_{(\theta)}^\mu:=\e^{\mu\log_{(\theta)}(z)}.\]
Je"sli $\theta_1<\theta_2<\theta_1+2\pi$, to
na jednej ze sp"ojnych sk"ladowych $\Omega_{\theta_1}\cap\Omega_{\theta_2}$
mamy
 $z_{(\theta_1)}^\mu=z_{(\theta_2)}^\mu$
na drugiej za"s,
 $z_{(\theta_1)}^\mu\e^{\i2\pi\mu}=z_{(\theta_2)}^\mu$

Je"sli $\mu$ jest wymierne i r"owne nieskracalnemu
u"lamkowi $\frac{p}{q}$, to
\[ z_{(\theta)}^\mu=z_{(\theta+q2\pi)}^\mu.\]

W przysz"lo"sci b"edziemy traktowa"c $\log_{(0)}z$ i
$z_{(0)}^\mu$ jako standardowe odmiany funkcji logarytm i
funkcji pot"egowej i b"edziemy pomija"c indeks $(0)$.

\subsection{Punkty osobliwe funkcji analitycznych}


Punkt $z_0$ nazywamy izolowanym 
punktem osobliwym funkcji $f$ je"sli istnieje $r>0$
taki, "re
$f$ jest holomorficzna na $K(z_0,r)\backslash\{z_0\}$ ale $z_0$ nie
nale"ry do dziedziny funkcji $f$.
 Rozr"o"rniamy 
nast"epuj"ace przypadki.
\newline
1) Funkcja $f$ ma w $z_0$ {\em osobliwo"s"c pozorn"a (usuwaln"a)} gdy
istnieje
\[\lim_{z\to z_0}f(z)\neq\infty.\]
\newline
2) Funkcja $f$ ma w $z_0$ {\em biegun rz"edu $k=1,2,\dots$ }gdy
istnieje
\[\lim_{z\to z_0}f(z)(z-z_0)^k\neq 0,\infty.\]
\newline
3) Je"sli  izolowany punkt osobliwy $z_0$
 nie jest ani osobliwo"sci"a pozorn"a ani biegunem, to m"owimy,
"re funkcja $f$ ma w $z_0$ {\em osobliwo"s"c istotn"a}.


W wy"rej opisanej sytuacji wiemy, "re dla pewnego
$R>0$ mo"remy rozwin"a"c funkcj"e $f$ na $K(z_0,R)\backslash\{z_0\}$
w szereg Laurenta:
\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^n.\]
Mo"remy wtedy rozpozna"c typ osobliwo"sci:
\newline
1) Funkcja $f$ ma w $z_0$ osobliwo"s"c pozorn"a (usuwaln"a) gdy
$a_n=0$ dla $n=-1,-2,\dots$
\newline
2) Funkcja $f$ ma w $z_0$ biegun rz"edu $k=1,2,\dots$ gdy
$a_{-k}\neq 0$ i $a_n=0$ dla $n=-k-1,-k-2,\dots$
\newline
3) Funkcja $f$ ma w $z_0$ osobliwo"s"c istotn"a,
je"sli 
\[\inf\{n\  :\ a_n\neq0\}=-\infty.\]

{\bf Przyk"lad}
 \[\frac{\sin z}{z}\] ma w $0$ osobliwo"s"c usuwaln"a.
\[(1+z^2)^{-2}\]
ma w $\pm i$ bieguny drugiego rz"edu.
\[\e^{1\slash z}\]
ma w $0$ osobliwo"s"c istotn"a.

\begin{definition}
Niech $\Omega\subset\cc$ b"edzie otwarty. Funkcja $f$ jest {\em meromorficzna}
na $\Omega$ gdy istniej"a punkty $z_1,z_2,\dots\in\Omega$ takie, "re
$f$ jest holomorficzna na $\Omega\backslash
\{z_1,z_2,\dots\}$ i punkty $z_1,z_2,\dots$
s"a biegunami funkcji $f$.
\end{definition}

{\bf Przyk"lad}
Funkcja
\[(\sin z)^{-1}\]
jest meromorficzna na $\cc$.

\begin{definition}
Residuum funkcji $f$ w punkcie $z_0$ jest zdefiniowane jako
\[\Res f(z_0):=\frac{1}{2\pi \i}\int_{\p K(z_0,R_1)} f(z)\d z,\]
gdzie $0<R_1<R$.
\end{definition}

Zauwa"rmy, "re definicja ta nie zale"ry od wyboru $R_1$.
 Mamy 
 \[\frac{\d}{\d z}\frac{z^{n+1}}{n+1}=z^n,\ \ n\in\zz
 \backslash\{-1\}.\]
Dlatego \[\int_{\p K(z_0,R_1)} z^n\d z=0,\ \ n\in\zz\backslash\{-1\}.\]
 Poza tym
 \[\int_{\p K(z_0,R_1)} z^{-1}\d z=2\pi \i.\]
St"ad wynika wz"or
\beq
\Res f(z_0)= a_{-1}.
\eeq
Je"sli $f$ ma biegun rz"edu najwy"rej $k$, to residuum mo"rna obliczy"c ze
wzoru
\beq
\Res f(z_0)=\lim_{z\to z_0}
\frac{1}{(k-1)!}\frac{\d^{k-1}}{\d z^{k-1}}(z-z_0)^kf(z).
\eeq
Je"sli funkcja $f$ jest holomorficzna na $\Omega\backslash\{z_1,\dots,z_n\}$,
to zachodzi wz"or
\beq
\int_{\p\Omega}f(z)=\sum_{j=1}^n2\pi \i\Res f(z_i).
\eeq

{\bf Przyk"lad}
Je"sli
\[f(z)=\frac{1}{z^2+a^2},\]
to
\[\Res f(i)=-\frac{i}{2a}\]
Zatem
\[\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x^2+a^2}\d x=
\int_{-\infty}^\infty f(z)\d z=2\pi \i\Res f(ia)=\frac{\pi}{a}.\]

\begin{lemma} {\bf (Lemat Jordana)}
Niech $a>0$. Dla $R>0$ oznaczamy
\[\gamma_R:=
[R,R+iR]\cup[R+iR,-R+iR]\cup[-R+iR,-R]\]
Wtedy 
\[\sup_{R>0}\int_{\gamma_R}\left|\e^{iaz}\right||\d z|<\infty.\]
\end{lemma}

\proof Mamy:
\[\begin{array}{rl}
\int_{\gamma_R}\left|\e^{iaz}\right||\d z|&
=2\int_0^R\e^{-ay}\d y+
\e^{-aR}\int_{-R}^R\d x\\[2mm]&
=2a^{-1}(1-\e^{-aR})+2R\e^{-aR}
\leq 2a^{-1}+2a\e^{-1}.
\end{array}\]
\qed

Uwaga: podobne oszacowanie jest s"luszne je"sli zast"apimy $\gamma_R$
g"ornym p"o"lokr"egiem o promieniu $R$.

{\bf Przyk"lad}
Niech 
\[f(z):=\frac{z\e^{i z}}{1+z^2}\]
Wtedy
\[\Res f(i)=\frac{\e^{-1}}{2}.\]
Poza tym,
\[\begin{array}{l}\left|\int_{\gamma_R}f(z)\d z\right|
\leq \sup\limits_{R>0}\int_{\gamma_R}\left|\e^{iaz}\right||\d z|\sup_{z\in\gamma_R}
\left|\frac{z}{1+z^2}\right|
\leq C\sup\limits_{z\in\gamma_R}\left|\frac{z}{1+z^2}\right|,\end{array}\]
co d"a"ry do zera gdy $R\to\infty$. Zatem
\[\int_{-\infty}^\infty\frac{x\sin x}{1+x^2}d x
=\Im\left(\lim_{R\to\infty}\int_{[-R,R]} f(z)\d z\right)
=\Im \left(2\pi \i\Res f(i)\right)=\pi\e^{-1}.\]


\begin{lemma} Niech funkcja holomorficzna $f$ ma w $z_0$ biegun pierwszego
rz"edu. Zdefiniujmy krzyw"a
\[\gamma_r:=\{z_0+r\e^{i\phi}\  :\ \phi_0<\phi<\phi_1\}.\]
Wtedy
\[\lim_{r\to0}\int_{\gamma_r}f(z)\d z=(\phi_1-\phi_0)
i\Res f(z_0).\]
\end{lemma}

\proof
Mamy
\[f(z)=\frac{a_{-1}}{z}+g(z),\]
gdzie $g$ jest holomorficzna w $z_0$. Oczywi"scie,
\[\lim_{r\to0}\int_{\gamma_r}g(z)\d z=0.\]
{\bf Przyk"lad}
Je"sli
\[f(z):=\frac{\e^{\i z}}{z},\]
to 
\[\Res f(0)=1\]
Dlatego
\[\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^R\frac{\sin x}{x}\d x=
\lim_{R\to\infty}\Im\int_{-R}^R f(z)\d z=\Im (\pi \i\Res f(0))=\pi.\]



\subsection{Funkcje analityczne a punkt w niesko"nczono"sci}


Niech $\Omega\subset\bar\cc$. M"owimy, "re  $f$ jest analityczna w $\infty$,
gdy $f(\frac{1}{z})$ jest analityczna w $0$.

Punkt $\infty$ nazywamy izolowanym punktem osobliwym funkcji $f$,
gdy dla pewnego $R$ funkcja 
$f$ jest holomorficzna na $\cc\backslash K(0,R)$ i $\infty$
nie nale"ry do dziedziny $f$. Rozr"o"rniamy nast"epuj"ace przypadki:
 \newline
 1) $f$ ma w $\infty$ osobliwo"s"c pozorn"a, je"sli istnieje
 \[\lim_{z\to\infty}f(z)\neq\infty.\]
 \newline
 2)  $f$ ma w $\infty$ biegun rz"edu $k=1,2,\dots$, gdy
 istnieje
  \[\lim_{z\to\infty}f(z)z^{-k}\neq0,\infty.\]
  \newline
3) $f$ ma w $\infty$ osobliwo"s"c istotn"a w przeciwnym razie.


W wy"rej opisanej sytuacji wiemy, "re dla pewnego
$R>0$ mo"remy rozwin"a"c funkcj"e $f$ na $\cc\backslash K(z_0,R)$
w szereg Laurenta:
\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_nz^n.\]
Mo"remy wtedy rozpozna"c typ osobliwo"sci:
\newline
1) Funkcja $f$ ma w $\infty$ osobliwo"s"c pozorn"a (usuwaln"a) gdy
$a_n=0$ dla $n=1,2,\dots$
\newline
2) Funkcja $f$ ma w $\infty$ biegun rz"edu $k=1,2,\dots$ gdy
$a_{k}\neq 0$ i $a_n=0$ dla $n=k+1,k+2,\dots$
\newline
3) Funkcja $f$ ma w $\infty$ osobliwo"s"c istotn"a,
je"sli 
\[\sup\{n\  :\ a_n\neq0\}=\infty.\]


{\bf Przyk"lad}
Funkcja
$\e^z$
ma w $\infty$ istotny punkt osobliwy.

\bed
Je"sli $\Omega\subset\bar\cc$ jest otwarty
to m"owimy, "re funkcja $f$ jest meromorficzna
 na $\Omega$ gdy istniej"a punkty $z_1,z_2,\dots\in\Omega$ takie, "re $f$
 jest holomorficzna na $\Omega\backslash\{z_1,z_2,\dots\}$
i ma w $\{z_1,z_2,\dots\}$ osobliwo"sci pozorne b"ad"z bieguny. 
\eed


 {\bf Przyk"lad} Punkt $\infty$ nie jest izolowanym punktem osobliwym funkcji
 \[(\sin z)^{-1}.\]
 Zatem, funkcja ta
 nie jest meromorficzna na $\bar\cc$.

 

\begin{definition}
Residuum funkcji $f$ w $\infty$ jest r"owne
\[\Res f(\infty):=\frac{1}{2\pi \i}\int_{\p(\cc\backslash K(0,R_1))}
 f(z)\d z
 =-\frac{1}{2\pi \i}\int_{\p K(0,R_1)}
 f(z)\d z\]
gdzie $R_1>R$.
\end{definition}

Zauwa"rmy, "re definicja ta nie zale"ry od wyboru $R_1$
 Mamy wz"or
\beq
\Res f(\infty)=- a_{-1}.
\eeq
W praktyce mo"remy wylicza"c residuum w niesko"nczono"sci ze wzoru
\beq
\Res f(\infty)=\Res g(0),\ \ g(w):=-f\left(\frac{1}{w}\right)\frac{1}{w^2}
\eeq
Je"sli funkcja $f$ jest holomorficzna na $\Omega\backslash\{z_1,\dots,z_n\}$,
gdzie $\Omega\subset\bar\cc$,
to zachodzi wz"or
\beq
\int_{\p\Omega}f(z)=\sum_{j=1}^n2\pi \i\Res f(z_i).
\eeq


{\bf Przyk"lad}
Niech $f(z):=\frac{z^{99}}{1-z^{100}}$. Wtedy
\[\Res f(\infty)=1.\]
Dlatego,
\[\int_{\p K(2,0)}f(z)\d z=
-2\pi \i\Res f(\infty)=-2\pi \i.\]


\bet
Ka"rda funkcja  meromorficzna na $\bar\cc$  jest wymierna.
Innymi s"lowy, ka"rda funkcja analityczna z $\bar\cc$ w  $\bar\cc$
jest wymierna.
\label{mer}\eet

\proof Niech $f$ b"edzie meromorficzna na $\bar\cc$. Poniewa"r sfera Riemanna
jest zwarta a punkty osobliwe $f$ s"a izolowane, wi"ec jest ich
sko"nczenie wiele.
Niech $\{z_1,\dots,z_m,\infty\}$ b"ed"a punktami osobliwymi
funkcji $f$. Niech
\[\sum_{n=1}^{k_i}a_{n,i}(z-z_i)^{-n}\]
b"ed"a osobliwymi cz"esciami rozwini"e"c w szereg Laurent'a
wok"o"l $z_i$ oraz
\[\sum_{n=1}^{k_\infty}a_{n,\infty}z^{n}\]
niech  b"edzie cz"e"sci"a rozwini"ecia w szereg
 Laurent'a
wok"o"l $\infty$ z dodatnimi pot"egami.
Wtedy 
\[f(z)-\sum_{i=1}^m\sum_{n=1}^{k_i}a_{n,i}(z-z_i)^{-n}
-\sum_{n=1}^{k_\infty}a_{n,\infty}z^{n}\]
jest funkcj"a analityczn"a na $\bar\cc$. Zatem 
na mocy twierdzenia Liouville'a
jest sta"la.
\qed

\subsection{Funkcje analityczne z $\bar \cc$ w $\bar \cc$}


\bed Niech $\Omega\subset\bar\cc$ i $f:\Omega\to\bar\cc$.
M"owimy, "re $f$ jest analityczna w $z_0\in\Omega$, gdy
spe"lnione s"a nast"epuj"ace warunki:
\newline
1) gdy $z_0\neq\infty$, $f(z_0)\neq\infty$, to $f$ jest analityczna
w otoczeniu $z_0$ w zwyk"lym sensie;
\newline 2) gdy $z_0\neq\infty$, $f(z_0)=\infty$, to
$\frac{1}{f(z)}$ jest analityczna w otoczeniu $z_0$ w zwyk"lym sensie;
\newline 
3) gdy $z_0=\infty$ i $f(z_0)\neq\infty$, to $f(\frac{1}{z})$
 jest analityczna w otoczeniu $0$ w zwyk"lym sensie;
 \newline
 4) gdy $z_0=f(z_0)=\infty$, to
 $\frac{1}{f(\frac{1}{z})}$  jest analityczna w otoczeniu $0$ w zwyk"lym sensie.
 \label{qrw}\eed

\bet Niech $f$ b"edzie meromorficzna na $\Omega\subset\bar\cc$.
Rozszerzmy
funkcj"e $f$ na ca"ly $\Omega$ k"lad"ac
\[f(z_j):=\lim_{z\to z_j} f(z),\]
w szczeg"olno"sci w biegunach funkcji $f$ k"ladziemy $f(z_j):=\infty$.
Wtedy funkcja
\[f:\Omega\to\bar\cc,\]
 jest analityczna w sensie definicji (\ref{qrw}).
\eet



\bet
(1) 
Ka"rda funkcja holomorficzna z $\bar\cc$ w $\cc$ jest sta"la.
\newline
(2) Ka"rda bijekcja analityczna $\bar\cc$ w siebie jest homografi"a.
\newline
(3) Ka"rda funkcja analityczna z $\bar\cc$ w  $\bar\cc$
jest wymierna.
\eet

\proof
(1) jest preformu"lowaniem twierdzenia  Liouville'a. (3) jest
preformu"lowaniem Twierdzenia
(\ref{mer}). Aby dowie"s"c (2) korzystamy z (3). \qed


\subsection{Jednoznaczno"s"c przed"lu"rania funkcji analitycznych}
\bet
Niech $f$, $g$ b"ed"a holomorficzne w otwartym sp"ojnym
obszarze $\Omega\subset\cc$. Za"l"o"rmy, "re
istnieje ci"ag $\{z_n\}\subset\Omega$ taki, "re
$\lim_{n\to\infty}z_n=:z_0\in\Omega$ i
$z_n\neq z_0$ dla $n=1,2,\dots$. Niech
\[f(z_n)=g(z_n),\ \ n=0,1,2,\dots.\]
Wtedy $f=g$ na ca"lym $\Omega$.
\label{zs2}
\eet

\proof
Niech
\[\Omega_1:=\{z\in\Omega\ :\ f^{(j)}(z)=g^{(j)}(z),\ j=0,1,\dots\}.\]
Zbi"or $\Omega_1$ jest domkni"ety w $\Omega$ jako przeci"ecie domkni"etych
w $\Omega$
zbior"ow
\[\{z\in\Omega\ :\ f^{(j)}(z)=g^{(j)}(z)\}.\]

Jest on r"ownie"r otwarty, bo dla ka"rdego $\tilde z_0\in\Omega_1$ istnieje
$r>0$ takie, "re na $K(\tilde z_0,r)$
\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty
\frac{f^{(n)}(\tilde z_0)}{n!}(z-\tilde z_0)^n
=\sum_{n=0}^\infty
\frac{g^{(n)}(\tilde z_0)}{n!}(z-\tilde z_0)^n=g(z).\]
Jest on wreszcie niepusty, bo $z_0\in\Omega_1$.
W rzeczy samej,
istnieje $r>0$ takie, "re na $K(z_0,r)$
\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty
a_n(z-z_0)^n\]
i
\[g(z)=\sum_{n=0}^\infty
b_n(z-z_0)^n.\]
Niech $c_j:=a_j-b_j$ i $m$ niech b"edzie najmniejszym
indeksem takim, "re $c_m\neq0$. Wtedy
\[0=\lim_{n\to\infty}\frac{f(z_n)-g(z_n)}{(z_n-z_0)^m}=c_m\neq0\]
co jest sprzeczno"sci"a. \qed


\subsection{Przed"lu"ranie funkcji
 analitycznych wzd"lu"r drogi}





Niech $\Omega\subset\cc$ b"edzie otwartym sp"ojnym zbiorem i
$f:\Omega\to\cc$ funkcj"a analityczn"a. Niech
$[0,1]\ni\tau\mapsto\gamma(\tau)\in\cc$ b"edzie krzyw"a tak"a, "re
$\gamma(0)\in\Omega$. M"owimy, "re mo"rna przed"lu"ry"c $f$ wzd"lu"r
$\gamma$, gdy
dla ka"rdego $\tau\in[0,1]$ istnieje $r_\tau>0$ i funkcja
analityczna $f_\tau: K(\gamma(\tau),r_\tau)\to\cc$ takie, "re
\newline
(1) $f_0=f$ na $K(\gamma(0),r_0)\cap\Omega$;
\newline
(2) Dla ka"rdego $\tau_0\in[0,1]$ istnieje $\epsilon>0$ taki, "re
dla ka"rdego $\sigma\in [0,1]\cap[\tau_0-\epsilon,\tau_0+\epsilon]$
mamy $\gamma(\tau_0)\in K(\gamma(\sigma), r_\sigma)$ oraz
$f_\tau=f_\sigma$ na
$K(\gamma(\tau_0), r_{\tau_0})\cap K(\gamma(\sigma),r_\sigma)$.









\bet
Niech $\sigma\in[0,1]$ i $z_\sigma=\gamma(\sigma)$. Wtedy
$f_\tau(z_\tau)$ zale"ry tylko od funkcji $f:\Omega\to\cc$ i krzywej $\gamma$ (a
nie zale"ry od wyboru  $r_\tau$, $f_\tau$).
\label{put}\eet

\bed
Liczb"e
\[f(z_\sigma)_{z_\sigma=\gamma(\sigma)}:=f_\sigma(z_\sigma)\]
nazywamy warto"sci"a w punkcie $z_\sigma$ 
funkcji $f$ przed"lu"ronej wzd"lu"r krzywej
$\gamma$. \label{wsz}\eed


\proof
Niech $r_\tau,$ $f_\tau$ i $\tilde r_\tau,$ $\tilde f_\tau$ 
s"a dwiema rodzinami spe"lniaj"acymi warunki definicji
przed"lu"renia funkcji.  Za"l"o"rmy, "re istnieje $\tau\in[0,1]$ taki, "re
$f_\tau\neq \tilde f_\tau$ na $K(\gamma(\tau),\min(r_\tau,\tilde
r_\tau))$. Niech
\[\tau_0=\inf\{\tau\in [0,1]\ :\ f_\tau\neq \tilde f_\tau
\hbox{ na }K(\gamma(\tau),\min(r_\tau,\tilde r_\tau)\}.\]
Oczywi"scie, $\tau_0>0$. Niech $\epsilon>0$ spe"lnia warunek (2)
definicji zar"owno dla rodziny z tyld"a jak i bez tyldy. Niech
 $\tau_-\in[\tau-\epsilon,\tau_0[$,
$\tau_+\in[\tau_0,\tau+\epsilon]$. Wtedy
\[\begin{array}{l}
f_{\tau_-}=f_{\tau_+}\hbox{ na }
K(\gamma(\tau_-),r_{\tau_-})\cap K(\gamma(\tau_+),r_{\tau_+});\\[3mm]
\tilde f_{\tau_-}=\tilde f_{\tau_+}\hbox{ na }
K(\gamma(\tau_-),\tilde r_{\tau_-})
\cap K(\gamma(\tau_+),\tilde r_{\tau_+});\\[3mm]
f_{\tau_-}=\tilde f_{\tau_-}\hbox{ na }
K(\gamma(\tau_-),\min(r_{\tau_-},\tilde r_{\tau_-})).
\end{array}\]
Czyli $f_{\tau_+}=\tilde f_{\tau_+}$ na 
\beq K(\gamma(\tau_-),\min( r_{\tau_-}, \tilde r_{\tau_-}))
\cap K(\gamma(\tau_+),\min( r_{\tau_+}, \tilde r_{\tau_+})).
\label{przec}\eeq
Zbi"or (\ref{przec}) jest niepusty, bo $\gamma(\tau_0)$ do niego
nale"ry, jest otwarty i wypuk"ly jako przeci"ecie k"o"l
otwartych. Jest wi"ec sp"ojny. Zatem na mocy jednoznaczno"sci
przed"lu"rania funkcji analitycznych  $f_{\tau_+}=\tilde f_{\tau_+}$ na 
$ K(\gamma(\tau_+),\min( r_{\tau_+}, \tilde r_{\tau_+}))$, co
przeczy definicji $\tau_0$.
\qed

\noindent {\bf Przyk"lad}
Niech krzywa $[0,1]
\ni\tau\mapsto\gamma\subset\cc\setminus\{0\}$ b"edzie zamkni"eta
(czyli $w:=\gamma(0)=\gamma(1))$ i okr"a"ra punkt
$0$ $n\in\zz$ razy. Za"l"o"rmy te"r, "re
$\gamma(0)\in\cc\setminus\e^{\i\theta}]-\infty,0]$. 
Wtedy mo"rna przed"lu"ry"c funkcje $\log_{(\theta)}z$ i
$z_{(\theta)}^\mu$ wzd"lu"r krzywej $\gamma$ i mamy
\[\log_{(\theta)}(w)_{w=\gamma(1))}=n2\pi\i+\log_{(\theta)} w,\
 \ \ \ {w_{(\theta)}^\mu}_{w=\gamma(1)}=\e^{n\mu
2\pi\i}w_{(\theta)}^\mu.\] 


\noindent{\bf Przyk"lad}
W ramach analizy rzeczywistej definiuje si"e osobno funkcje odwrotne do
trygonometrycznych i hiperbolicznych
\[\begin{array}{rl}
\arch t&=\log(\sqrt{t^2-1}+t)\\[2mm]
&=-\log(\sqrt{t^2-1}+t),\ \ \ \ \ t\in[1,\infty[\\[4mm]
\arsh t&=\log(\sqrt{t^2+1}+t)\\[2mm]
&=-\log(-\sqrt{t^2+1}-t),\ \ \ \ \ t\in\rr\\[4mm]
\arccos t&=\frac{1}{\i}\log(\i\sqrt{t^2-1}+t)\\[2mm]
&=-\frac{1}{\i}\log(-\i\sqrt{t^2-1}+t),\ \ \ \ \ t\in[-1,1[.
\end{array}\]


Funkcje te mog"a by"c traktowane jako przed"lu"renia analityczne jednej
z nich, na przyk"lad $\arch t$. Mamy bowiem
\[\begin{array}{l}
\arch(\pm \i s)=\pm\i\frac{\pi}{4}+\arsh s,\ \ \ s\in\rr,
\\[3mm]
\arch t=\pm \i\arccos t,\ \ \ t\in]-1,1[,\\[3mm]
\arch (-t)=\pm\i \pi+\arch t,\ \ \ t\in[1,\infty[,\end{array}\]
gdzie $+$ lub $-$ zale"ry od tego, czy przed"lu"ramy g"or"a czy do"lem.

Zauwa"rmy te"r, "re okr"a"renie punktu $\pm 1$ prowadzi do 
pomno"renia $\arch t$ przez $-1$, za"s okr"a"renie $[-1,1]$ 
prowadzi do dodania $2\pi\i$ do $\arch t$.


{\bf Przyk"lad}
Rozwa"rmy funkcj"e
\[f(z)=z^\alpha(z-1)^\beta.\]
Mo"remy j"a rozumie"c jako iloczyn ga"l"ezi g"l"ownych $z^\alpha$
 i $(z-1)^\beta$, kt"ory jest dobrze okre"slony na
 $\cc\backslash]-\infty,1]$.

Za"l"o"rmy, "re krzywa $\gamma$ zaczyna s"e
w dowolnym punkcie
$\cc\backslash]-\infty,1]$, obiega odcinek $[0,1]$ w kierunku przeciwnym do
ruchu wskaz"owek
i wraca do punktu wyj"scia, np. $\p K(0,R)$, gdzie $R>1$.
Wtedy warto"s"c funkcji $f(z)$ po przed"lu"reniu analitycznym wzd"lu"r
$\gamma$ warto"s"c funkcji $f(z)$ mno"ry si"e przez czynnik 
$\e^{\i2\pi(\alpha+\beta)}$.
W szczeg"olno"sci, je"sli
\beq
\alpha+\beta\in\zz,\label{zz13}\eeq
to wracamy do tej samej warto"sci funkcji $f$. Wtedy mo"remy nasz"a funkcj"e
zdefiniowa"c na
$\cc\backslash[0,1]$ jako jednoznaczn"a funkcj"e analityczn"a.

%W og"olnym przypadku nast"epuj"acy kontur, zwany podw"ojn"a "osemk"a, podnosi si"e do
%zamkni"etej krzywej na powierzchni Riemanna funkcji $z^\alpha(z-1)^\beta$:
%\[[0,1^+,0^-,1^-,0^+].\]

{\bf Przyk"lad}
Policzmy ca"lk"e
\[I=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}(1+x)}\d x\]
Rozwa"rmy
\[f(z)=\frac{1}{\sqrt{z(1-z)}(1+z)}\]
rozumian"a jako funkcj"e analityczn"a na $\cc\backslash[0,1]$
w spos"ob opisany powy"rej.
W $\infty$ residuum jest r"owne $0$. Zatem
\[\int_{[1,0^-,1^-]}f(z)\d z=-\e^{-i\frac{1}{2}\pi}I+\e^{-i\frac{3}{2}\pi}I
=-2\pi \i\Res f(-1),\]
\[\Res f(-1)=\lim_{z\to-1}f(z)(z+1)=
\frac{1}{\sqrt{z(1-z)}}\Bigl|_{z=-1}=-\frac{1}{\sqrt 2}.\]
Zatem
\[I=\frac{\pi}{\sqrt 2}.\]






\newpage
\subsection{Uwagi o notacji}

Teraz opiszemy notacj"e, kt"or"a b"edziemy stosowa"c do
oznaczania krzywych.



Czasami mo"rna stosowa"c "lamane postaci
\vskip 0.5cm

\[[w_0,u,w_1]:=[w_0,u]\cup[u,w_1].\]

\vskip 2.5cm

Osobliwo"s"c funkcji w $u$ 
mo"re prowadzi"c do k"lopot"ow w postaci rozbie"rno"sci ca"lki.
Mo"rna r"ownie"r omija"c punkt $u$ ma"lym "lukiem o promieniu $r$
 i rozwa"ra"c "laman"a postaci:
\beq[w_0,u+ r\e^{i\phi_0}]\cup
\{u+r\e^{i\phi}\ :\ \phi\in[\phi_0,\phi_1]\}
\cup[u+r\e^{i\phi_1},w_1].\label{zn3}\eeq
gdzie
 $w_0:=u+R\e^{i\phi_0}$,
 $w_1:=u+R_1\e^{i\phi_1}$,
  $R_0>r$, $R_1>r$,  $\phi_0<\phi_1$ i
$|\phi_0-\phi_1|<2\pi$.
 Oczywi"scie, ca"lka po takim konturze nie
zale"ry od $r$, dla dostatecznie ma"lego $r$.
Zauwa"rmy, "re punkt rozga"l"ezienia $u$ jest omijany "lukiem
w kierunku przeciwnym do ruch wskaz"owek. 
Krzyw"a powy"rsz"a b"edziemy oznaczali
\vskip 0.5cm

\[[w_0,u^+,w_1].\]
\vskip 3cm

Podobnie, warto mie"c oznaczenie na "laman"a
\beq[w_0,u+ r\e^{i\phi_0}]\cup
\{u+r\e^{i\phi}\ :\ \phi\in[\phi_1,\phi_0]\}
\cup[u+r\e^{i\phi_1},w_1].\label{z4}\eeq
gdzie $R_0>r$, $R_1>r$,  $\phi_1<\phi_0$,
$|\phi_0-\phi_1|<2\pi$.
R"o"rni si"e ona od (\ref{zn3}) tym, "re punkt rozga"l"ezienia $u$ obiegamy
zgodnie
z ruchem wskaz"owek.
Krzyw"a (\ref{z4}) b"edziemy oznacza"c przez
\vskip 0.5cm

\[[w_0,u^-,w_1].\]
\vskip 3cm

$[u^+]$ b"edzie oznacza"lo kontur obiegaj"acy punkt $u$ 
po ma"lym okr"egu w kierunku
przeciwnym do ruchu wskaz"owek.
$[u^-]$ b"edzie oznacza"lo kontur obiegaj"acy punkt $u$ 
po ma"lym okr"egu w kierunku
zgodnym do ruchu wskaz"owek.
\vskip 0.5cm

\[[u^+]\hskip 10cm [u^-].\]


\vskip 3cm


Pisz"ac
$\gamma=[u,w_1,\dots,w_n,u^+]$ b"edziemy mieli na my"sli, "re 
$\gamma$ jest konturem zamkni"etym i po"l"aczonym
ma"lym "lukiem obiegaj"acym $u$ w kierunku przeciwnym do ruchu wskaz"owek.
Podobnie, je"sli
$\gamma=[u,w_1,\dots,w_n,u^-]$, to 
$\gamma$ jest konturem zamkni"etym  po"l"aczonym
ma"lym "lukiem obiegaj"acym $z$ w kierunku zgodnym z ruchem wskaz"owek.
\vskip 0.5cm

\[[u,w_1,w_2,u^+]\hskip 10cm [u,w_1,w_2,u^-].\]

\vskip 3cm


$[u,\e^{i\alpha}\infty[$ b"edzie oznacza"c p"o"lprost"a
$\{u+\e^{i\alpha}t\ :\ t>0\}$ zaczynaj"ac"a si"e w $u$
i biegn"ac"a do niesko"nczono"sci pod k"atem $\alpha$.
\vskip 0.5cm

\[[u,\e^{i\alpha}\infty[.\]

\vskip 3cm

$[(u+\e^{i\phi_0}\cdot 0)^+,w]$ oznacza"c b"edzie
"laman"a
\[[u,u+r\e^{i\phi_0}]\cup\{u+r\e^{i\phi}
\ :\ \phi\in[\phi_0,\phi_1]\}\cup[u+r\e^{i\phi_1},w],\]
gdzie $w=u+R\e^{i\phi_1}$, $r<R$, $\phi_1<\phi_0$,
$|\phi_1-\phi_0|<2\pi$ ("lamana wychodzi z punktu $u$ pod k"atem $\phi_0$,
obiega punkt $u$ ma"lym "lukiem przeciwnie do ruchu wskaz"owek i biegnie
do $w$).
\vskip 0.5cm

\[[(u+\e^{\i \alpha}0)^+,w].\]
\vskip 3cm









\section{Funkcja Gamma Eulera}
\subsection{Funkcja Gamma jako uog"olnienie silni i II ca"lka Eulera}

Przy pomocy tzw. {\bf II ca"lki Eulera} definiujemy funkcj"e Gamma:
\beq\begin{array}{rl}
\Gamma(z)&:=\int_0^\infty\e^{-t}t^{z-1}\d t\\[3mm]
&=2\int_0^\infty\e^{-\xi^2}\xi^{2z-1}\d \xi,\ \ \Re z>0,
\end{array}\label{gam}\eeq
Zak"ladamy, "re w powy"rszym wzorze bierzemy ga"l"a"z g"l"own"a
funkcji $t^{z-1}$.
Zdefiniujmy te"r tzw symbol Pochhammera
\[\begin{array}{ll}(a)_n:=a(a+1)\dots(a+n-1),&\ n=0,1,2,\dots\\[3mm]
(a)_n:=\frac{1}{(a-n)\dots(a-1)},&\ n=\dots,-2,-1.
\end{array}\]
Oczywi"scie, $(1)_n=n!$.

\bet Zachodz"a nast"epuj"ace to"rsamo"sci:
\beq\Gamma(z+1)=z\Gamma(z),\label{g5}\eeq
\beq\Gamma(n+1)=n!,\ \ n=0,1,2,\dots,\label{g5a}\eeq
\[\Gamma(z+n)=(z)_n\Gamma(z),\ \ \ n\in\zz.\]
\eet

\proof
(\ref{g5}) wynika z ca"lkowania przez cz"e"sci.
(\ref{g5a}) wynika z (\ref{g5}) i $\Gamma(1)=1$. 
\qed


Zdefiniujmy  zbi"or
\[\Omega_n:=\{z\ :\ \Re z>-n\}\backslash\{0,-1,\dots,-n+1\}\]
i funkcj"e
\[\Omega_n\ni z\mapsto
\Gamma_n(z):=\frac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)\dots(z+n-1)}.\]
Wtedy je"sli $n>m$, to
\[\Gamma_n(z)=\Gamma_m(z),\ z\in\Omega_m.\]
Wynika to z
to"rsamo"sci
\[\Gamma(z+n)=\Gamma(z+m)(z+m)\dots(z+n-1),\]
b"ed"acej konsekwencj"a wzoru (\ref{g5}).
Ostatecznie, na
\[\bigcup_{n=1}^\infty\Omega_n=\cc\backslash\{0,-1,-2,\dots\}\]
definiujemy 
\[\Gamma(z):=\Gamma_n(z),\ z\in\Omega_n.\]
Tak zdefiniowana funkcja $\Gamma$ jest to
 maksymalnym przed"lu"reniem analitycznym
funkcji
$\Gamma(z)$ zdefiniowanej przy pomocy ca"lki (\ref{gam}). 


Oto inne wzory, kt"ore pozwalaj"a maksymalnie przed"lu"ry"c funkcj"e Gamma:

\bet[Rozk"lad Pryma]
\[\Gamma(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!(n+z)}+\int_1^\infty\e^{-t}
t^{z-1}\d t,\ \ \ \ z\in\cc\backslash\{0,-1,-2,\dots\}.\]
\eet

\bet[Wz"or Cauchy-Saalsch\"utza]
\beq\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}\Big(\e^{-t}-
\sum_{k=0}^n\frac{(-t)^k}{k!}\Big)\d t,\ \ \ \ -1-n< \Re z<-n.\label{saal}\eeq
\eet
 
 \proof Niech $\Gamma_n(z)$ b"edzie praw"a stron"a (\ref{saal}).
 Oczywi"scie
 \[\Gamma_{-1}(z)=\Gamma(z),\ \ \ 0< \Re z.\]
 Ca"lkuj"ac przez cz"e"sci dostajemy
 \[\begin{array}{rl}
 \Gamma_n(z)&=\frac{t^z}{z}\Big(\e^{-t}-\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-t)^k}{k!}\Big)
 \Big|_0^\infty+\frac{1}{z}\int\limits_0^\infty t^z
\Big(\e^{-t}-
\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-t)^k}{k!}\Big)\d t\\[3mm]
&=\frac{1}{z}\Gamma_{n-1}(z+1).\end{array}\]
\qed

\subsection{I ca"lka Eulera i dalsze to"rsamo"sci}

\bet[I ca"lka Eulera]
\beq\begin{array}{rl}
\frac{\Gamma(u)\Gamma(v)}{\Gamma(u+v)}&
=\int_0^1 t^{u-1}(1-t)^{v-1}\d t\\[3mm]
&=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2u-1}\phi\sin^{2v-1}\phi\d\phi,\ \ \Re u>0,\ \Re v>0.
\end{array}\label{b1}\eeq
\beq\begin{array}{rl}\frac{\Gamma(u)\Gamma(v)}{\Gamma(u+v)}\frac{\sin\pi
u}{\sin\pi(u+v)}=
\frac{\Gamma(1-u-v)\Gamma(v)}{\Gamma(1-u)}&
=\int_0^\infty (t+1)^{u-1}t^{v-1}\d t
\\[3mm]
&=2\int_0^\infty\ch^{2u-1}\theta\sh^{2v-1}\theta
,\ \ \Re v>0,\ \Re (1-u-v)>0. \end{array}
\label{b2}\eeq
\label{tw1}
\eet

\proof
Stosuj"ac podstawienie $t=\frac{1}{s}+1$ 
z (\ref{b1}) dostajemy (\ref{b2}), z wyj"atkiem pierwszej
r"owno"sci,  wynikaj"acej z to"rsamo"sci (\ref{g8}), kt"or"a
dowiedziemy p"o"zniej. Udowodnijmy wi"ec (\ref{b1})


Mamy
\beq
\Gamma(u)\Gamma(v)=4\int_0^\infty\int_0^\infty
\e^{-\xi^2-\eta^2}\xi^{2u-1}\eta^{2v-1}\d \xi\d\eta.
\label{g2}\eeq
Przechodzimy do wsp"o"lrz"ednych biegunowych podstawiaj"ac
\[\xi=r\cos\phi,\ \eta=r\sin\phi\]
i otrzymujemy, "re (\ref{g2}) r"owna si"e
\beq\begin{array}{l}
4\int_0^\infty\e^{-r^2}r^{2u+2v-1}\d r\int_0^{\pi\slash 2}
\cos^{2u-1}\phi\sin^{2v-1}\phi\d\phi.
\\[3mm]
=\Gamma(u+v)\int_0^1 t^{u-1}(1-t)^{v-1}\d t,\end{array}
\label{g3}\eeq
(W ostatnim kroku podstawili"smy $t=\cos^2\phi$.
\qed

Wz"or (\ref{b1}) jest uzasadnieniem
tego, "re cz"esto wprowadza si"e tak zwan"a funkcj"e Beta:
\[B(u,v):=\frac{\Gamma(u)\Gamma(v)}{\Gamma(u+v)}.\]


\bet
 Zachodz"a nast"epuj"ace to"rsamo"sci:
 \beq
 \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z},
 \label{g8}\eeq
\beq
\Gamma(1\slash 2)=\sqrt{\pi}\label{g10}\eeq
\eet

\proof
Rozwa"rmy funkcj"e holomorficzn"a
$\cc\backslash[0,1]\ni t\mapsto f(t)=t^{z-1}(t-1)^{-z}$
(Funkcje $t^{z-1}$ i $(t-1)^{-z}$ rozumiemy w sensie ich ga"l"ezi
g"l"ownych zdefiniowanych odpowiednio na
$\cc\backslash[-\infty,0[$ i $\cc\backslash[-\infty,1[$. Zatem
 funkcja $f(t)$ zdefiniowana jest a priori
 na $\cc\backslash[-\infty,1[$,
ale przed"lu"ra si"e analitycznie do funkcji na $\cc\backslash[0,1]$.

Niech $\gamma=[0,1^-,0^-]$ b"edzie konturem zwanym ko"sci"a.
Wtedy bior"ac pod uwag"e, "re w niesko"nczono"sci residuum
funkcji $f$
jest r"owne $-1$, dostajemy
\[\begin{array}{l}
2\i\pi=-2\pi \i\Res f(\infty)=\int_\gamma f(t)\d t\\[2mm]=
(\e^{\i\pi z}-\e^{-\i\pi z})\int_0^1t^{z-1}(1-t)^{-z}\d t
=(2\i\sin\pi z){\rm B}(z,1-z)=(2\i\sin\pi z)\Gamma(z)\Gamma(1-z).
\end{array}\]
St"ad wynika (\ref{g8}).

Podstawiaj"ac w  (\ref{g8}) $z=1\slash 2$ dostajemy
\[\Gamma^2(1\slash 2)=\pi.\]
Wiemy, "re 
\[\Gamma(z)>0, \ z>0.\]
St"ad wynika (\ref{g10}).
\qed



\begin{corollary} Je"sli $\Re a>0$, to ca"lka Gaussa jest r"owna
\beq
\int_{-\infty}^\infty\e^{-at^2}\d t=\sqrt{\frac{\pi}{a}}.
\label{g11}\eeq
\end{corollary}


\proof
Wychodz"ac  z (\ref{g10}) przez zamian"e zmiennych dostajemy
\[\begin{array}{ll}
\sqrt{\pi}=\Gamma(1\slash 2)&=\int_{]-\infty,\infty[}\e^{-t^2}\d t\\[2mm]
&=\int_{]-\sqrt{a}\infty,\sqrt{a}\infty[}\e^{-t^2}\d t\\[2mm]
&=\sqrt{a}\int_{]-\infty,\infty[}\e^{-as^2}\d s.
\end{array}\]
\qed


Zauwa"rmy, "re funkcja $\Gamma(z)$
 ma w $z=0,-1,\dots$ bieguny 1-go rz"edu z residuami
\[\begin{array}{rl}
\Res\Gamma(-n)&=\lim_{z\to-n}\Gamma(z)(z+n)\\[2mm]
&=\frac{(z+n)\pi}{\Gamma(1-z)\sin\pi z}=\frac{(-1)^n}{n!}.
\end{array}\]




\bet Wz"or Legendre'a o podwajaniu:
\[2^{2z-1}\Gamma(z)\Gamma\left(z+1\slash2\right)=
\sqrt{\pi}\Gamma(2z),\]
\eet

\proof
\[\frac{\Gamma(z)^2}{\Gamma(2z)}=\int_0^1t^{z-1}(1-t)^{z-1}\d t=2
\int_0^{1\slash 2}t^{z-1}(1-t)^{z-1}\d t.\]
Podstawiamy $s=4t(1-t)$ i otrzymujemy
\[
2^{1-2z}\int_0^1s^{z-1}(1-s)^{-1\slash2}\d s=
2^{1-2z}\frac{\Gamma(z)\Gamma(\12)}{\Gamma(z+\12)}.\]\qed


Prawdziwe jest te"r nast"epuj"ace uog"olnienie powy"rszego wzoru, zwane
wzorem Gaussa o mno"reniu, kt"ore udowodnimy p"o"zniej:
\beq\begin{array}{l}
\Gamma(nz)=(2\pi)^{\frac{1-n}{2}}n^{nz-\12}\mathop{\Pi}\limits_{k=0}^{n-1}
\Gamma(z+\frac{k}{n})\end{array}\label{gauss}\eeq




\subsection{Funkcja Gamma i ca"lki w dziedzinie zespolonej}

\bet{\bf (Wz"or Hankela)}
\beq
\frac{1}{\Gamma(z+1)}=\frac{1}{2\pi \i}
\int\limits_{[-\infty,0^+,-\infty[}\e^{s}s^{-z-1}\d s.
\label{g17aa}\eeq
\eet

\proof
\[\begin{array}{ll}\int\limits_{[-\infty,0^+,-\infty[}\e^{s}s^{-z-1}\d s&
=\e^{-\i\pi(-z-1)}
\int_{]-\infty,0]}\e^s(-s)^{-z-1}\d s+
\e^{\i\pi(-z-1)}\int_{[0,-\infty[}\e^s(-s)^{-z-1}\d s\\[3mm]
&\left(\e^{-\i\pi(-z-1)}-\e^{\i\pi(-z-1)}\right)\int_0^\infty\e^{-t}t^{-z-1}\d
t\\[3mm]
&=\i 2\sin(-\pi z)\Gamma(-z)=\frac{2\pi \i}{\Gamma(z+1)}\end{array}\]
\qed


\bet
\[\begin{array}{rl}
\frac{\Gamma(u+v+1)}
{\Gamma(u+1)\Gamma(v+1)}&=
\frac{1}{2\pi \i}
\int_{]-\infty,0^+,-\infty[}t^{-u-1}(1-t)^{-v-1}\d t\\[3mm]&=
\frac{1}{2\pi \i}
\int_{]\infty,1^-,\infty[}t^{-u-1}(1-t)^{-v-1}\d t,\ \ \ u+v+1>0.
\end{array}\]
\eet

\proof Zauwa"rmy, "re $]-\infty,0^+,-\infty[$ i $]\infty,1^-,\infty[$
daj"a t"e sam"a ca"lk"e.
\[\begin{array}{rl}\int\limits_{]\infty,0^-,\infty[}t^{-u-1}(1-t)^{-v-1}\d t&
=(-\e^{-\i\pi(v+1)}+\e^{\i\pi(v+1)})
\int_1^\infty t^{-u-1}(t-1)^{-v-1}\d t\\[3mm]
&=-2\i\sin\pi v\frac{
\Gamma(-v)\Gamma(1+u+v)}{\Gamma(1+u)}
=2\i\pi\frac{\Gamma(1+u+v)}{\Gamma(1+u)\Gamma(1+v)}.\end{array}\]
\qed


Je"sli $u+v=\in\zz$, to  p"etla okr"a"raj"aca $1$
i $0$ przeciwnie do ruchu wskaz"owek
le"ry na powierzchni Riemanna funkcji $t^{u-1}(t-1)^{v-1}$
i dostajemy wz"or:


\bet Niech $n\in\zz$. Wtedy
\beq
\frac{\Gamma(u)}{\Gamma(n+1)\Gamma(u-n)}=\frac{(u-1)\dots(u-n)}{ n!}=
\frac{1}{2\pi \i}\int_{[0,1^+,0^+]} t^{u-1}(t-1)^{n-u}\d t,
\label{g21}\eeq
\eet

\proof
Gdy zastosujemy  homografi"e $t=-s^{-1}$
to dostaniemy
\beq\begin{array}{rl}
\frac{1}{2\pi \i}\int_{[0,1^+,0^+]} t^{u-1}(t-1)^{n-u}\d t&
=
\frac{1}{2\pi \i}\int_{[0^+]}s^{n+1}(1-s)^{n-u}\d s\\[2mm]&
=\frac{1}{n!}\left(\frac{\d }{\d s}\right)^n(1-s)^{n-u}\bigl|_{s=0}
=\frac{(u-1)\dots(u-n)}{ n!}.
\end{array}
\eeq
\qed


A oto ca"lka u"rywaj"aca "podw"ojnej "osemki":

\bet 
\beq
\e^{\i\pi(u+v)}\frac{1}{\Gamma(u+v)\Gamma(1-u)\Gamma(1-v)}=
\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{[1,0^-,1^-,0^+,1^+]}
 t^{u-1}(1-t)^{v-1}\d t,
\eeq
(W poni"rszym konturze mamy do czynienia z ga"l"eziami
g"l"ownymi w okolicy ``$1^+$''.)
\eet

\proof
\[\begin{array}{l}
\int_{[1,0^-,1^-,0^+,1^+]}
t^{u-1}(1-t)^{v-1}\d t\\[2mm]
=\left(-1+\e^{-\i\pi(u-1)}-\e^{-\i 2\pi(u-1)-\i2\pi(v-1)}+\e^{-\i2\pi(v-1)}
\right)\int_0^1t^{u-1}(1-t)^{v-1}\d t\\[3mm]
=-\e^{\i \pi(u+v)}(\e^{\i\pi u}-\e^{-\i\pi u})
(\e^{\i\pi v}-\e^{-\i\pi v})B(u,v)\\[3mm]
=-\e^{\i\pi(u+v)}(2\i\sin\pi v)(2i\sin\pi u)\frac{\Gamma(u)\Gamma(v)}
 {\Gamma(u+v)}\\[3mm]
=\e^{\i\pi(u+v)}(2\pi)^2\frac{1}{\Gamma(u+v)\Gamma(1-u)\Gamma(1-v)}
 \end{array}\]
 \qed









\subsection{Asymptotyka w niesko"nczono"sci.}

\bet Niech $\epsilon>0$. 
Dla $|\arg z|<\frac{\pi}{2}-\epsilon$
mamy 
\beq
\lim_{z\to\infty}\frac{\Gamma(z+1)}
{\sqrt{2\pi}\frac{z^{z+1\slash2}}{\e^z}}=1
\label{g14}\eeq
\eet

%\noindent {\bf Uwaga} W rzeczywisto"sci, (\ref{g14}) jest
%s"luszne dla $|\arg z|<\pi-\epsilon$, co udowodnimy p"o"zniej.

\proof
Dow"od jest oparty na metodzie punktu siod"lowego.
Mamy
\[
\Gamma(z+1)=\int_0^\infty\e^{\phi(t)}\d t,\]
gdzie
\[\phi(t)=-t+z\log t.\]
Obliczamy:
\[\p_t\phi(t)=-1+\frac{z}{t},\ \ \ \ \ \ \
\p_t^2\phi(t)=-\frac{z}{t^2}.\]
Zatem $\phi(t)$ ma jedno i tyko jeden punkt stacjonarny: dla $t_0=z$.
Mamy
\[\phi(t_0)=-z+z\log z,\ \ \p_t^2\phi(t_0)=-\frac{1}{z}.\]
Mo"rna zmieni"c kontur ca"lkowania tak, by przechodzi"l przez $z$, na przyk"lad
ca"lkowa"c po p"o"lprostej $[0,z\infty[:$
\[
\Gamma(z+1)=\int_{]0,z\infty[}\e^{\phi(t)}\d t.\]
 Funkcj"e $\phi(t)$
przybli"ramy przez jej rozwini"ecie w okolicy $t_0$ 
\[\phi(t)\sim\phi(t_0)+\frac{1}{2}\phi''(t_0)(t-t_0)^2.\]
To prowadzi do przybli"renia dla funkcji Gamma:
\[
\Gamma(z+1)\sim
\int_{]0,z\infty[}\e^{\phi(t_0)+\frac{1}{2}\phi''(t_0)(t-t_0)^2}\d t,\]
Kontur, po kt"orym ca"lkujemy przed"lu"ramy do ca"lej prostej 
$z]-\infty,\infty[$. 
Dla du"rych $z$ w sektorze $|\arg z|<\frac{\pi}{2}-\epsilon$
te modyfikacje nie wp"lyn"a zbytnio na warto"s"c ca"lki.
Oczekujemy wi"ec, "re $\Gamma(z)$ zachowuje si"e asymptotycznie jak
\[\e^{\phi(t_0)}\int_{-\infty}^\infty
\e^{\frac{1}{2}\p_t^2\phi(t_0)(t-t_0)^2}\d t=
\frac{z^z}{\e^z}\sqrt{2\pi z}.\]


Poka"rmy teraz to w "scis"ly spos"ob. Niech $\Re z>0$. Wtedy
\[\begin{array}{ll}
\Gamma(z+1)=\int_{[0,\infty[}\e^{-t}t^z\d t
&=\int_{[0,z\infty[}\e^{-t}t^z\d t\\[2mm]
&=\e^{-z+z\log z}\int_{[0,z\infty[}\e^{-z\left(\frac{t}{z}-1-\log\frac{t}{z}\right)}
\d t\\[2mm]
&=\e^{-z} z^{z+1}\int_{-1}^\infty\e^{-z\left(s-\log(1+s)\right)}\d s,
\end{array}\]
gdzie dokonali"smy zamiany zmiennych
\[s=\frac{t}{z}-1.\]
Zauwa"rmy, "re
funkcja
\[]-1,\infty[\ni s\mapsto s-\log(1+s)\]
maleje na $]-1,0]$ od $\infty$ do $0$, w $0$ zachowuje si"e jak
$\frac{s^2}{2}$ i na $[0,\infty[$ ro"snie do $\infty$. Zatem funkcja
\[\rr\ni s\mapsto u(s)=\sqrt{2(s-\log(1+s))}\]
(w kt"orej bierzemy ujemny pierwiastek dla  $s<0$ i
dodatni pierwiastek dla $s>0$) jest g"ladka. Mamy
\[\lim_{s\to0}\frac{u(s)}{s}=1,\ \ \ \frac{\d u(s)}{\d
s}=\frac{s}{u(s)(1+s)},\] 
oraz
\[f(u):=\frac{\d s}{\d u}(u)=\frac{(1+s(u))u}{s(u)},\ \ \ \ \ f(0)=1.\]
Mamy zatem
\[\begin{array}{ll}
I&=\int_{-1}^\infty\e^{-z(s-\log(1+s))}\d s\\[2mm]
&=\int_{-\infty}^\infty\e^{-\frac{z}{2}u^2}f(u)\d u.
\end{array}\]
Niech
\[
I_0=\int_{-\infty}^\infty\e^{-\frac{z}{2}u^2}\d u=\sqrt{\frac{2\pi}{z}}.
\]
Wtedy
\[\begin{array}{ll}
\left|\frac{I}{I_0}-1\right|&=\frac
{\int_{-\infty}^\infty\e^{-\frac{z}{2}u^2}\left|
f(u)-1\right|\d u}{\sqrt{\frac{2\pi}{z}}}\\[2mm]
&\leq C\sqrt{z}\int_{-\infty}^\infty\e^{-\frac{z}{2}u^2}|u|\d u
=C_1\frac{1}{\sqrt{z}}.\end{array}\]
To ko"nczy dow"od (\ref{g14})
\qed




Asymptotyk"e dla ${\rm B}(u,v)$ mo"rna dosta"c z
 asymptotyki funkcji $\Gamma(z)$. My jednak
poka"remy j"a bezpo"srednio z metody punktu siod"lowego.


\bet
 Niech $\epsilon>0$. Dla $|\arg u|<\frac{\pi}{2}-\epsilon$,  $|\arg v|<\frac{\pi}{2}-\epsilon$,
mamy
\beq\lim_{u,v\to\infty}\frac{
{\rm B}(u+1,v+1)}{\sqrt{2\pi}\frac{u^{u+1\slash2}v^{v+1\slash2}}
{(u+v)^{u+v+3\slash 2}}}=1.
\label{g15}\eeq
\eet

\proof
Mamy
\[{\rm B}(u+1,v+1)=\int_0^1\e^{\psi(t)}\d t,\]
gdzie \[\psi(t):=u\log t+v\log(1-t).\]
Obliczamy:
\[\p_t\psi(t)=\frac{u}{t}-\frac{v}{1-t},\ \ \ \ \ \ \ \
\p_t^2\psi(t)=-\frac{u}{t^2}-\frac{v}{(1-t)^2}.\]
Zatem $\psi(t)$ ma jedyny punkt stacjonarny: dla
$t_0=\frac{u}{u+v}$ i
\[\psi(t_0)=u\log\left(\frac{u}{u+v}\right)
+v\log\left(\frac{v}{u+v}\right),\ \ 
\p_t^2\psi(t_0)=-\frac{(u+v)^3}{uv}.\]

Je"sli $\Re u>0$ i $\Re v>0$, to $\Re\psi(t)\to-\infty$, gdy $t$ zbli"ra si"e
do $0$ b"adz $1$. "Latwo wi"ec uzasadni"c, "re deformuj"ac kontur $[0,1]$
mo"remy dosta"c krzyw"a $\gamma$ zaczynaj"ac"a si"e w $0$, ko"ncz"ac"a
si"e w $1$ i przechodz"ac"a przez $t_0$ tak, "re $\Re\psi(t)$ osi"aga wzd"lu"r
tej krzywej maksimum w $t_0$. Mamy
\[{\rm B}(u+1,v+1)=\int_\gamma\e^{\psi(t)}\d t.\]
Mo"rna oczekiwa"c, "re przyczynek wok"ol $t_0$ w tej ca"lce b"edzie
dominowa"c. Zatem
\[{\rm B}(u+1,v+1)\sim
\int_\gamma\e^{\psi(t_0)+\frac{1}{2}\psi''(t_0)(t-t_0)^2}\d t.\]
Nast"epnie zast"epujemy krzyw"a $\gamma$ przez prost"a nachylon"a
pod odpowiednim k"atem $\alpha$,
 czyli:
\[\begin{array}{rl}{\rm B}(u+1,v+1)&\sim
\e^{\psi(t_0)}\int\limits_{\e^\alpha]-\infty,\infty[}
\e^{\frac{1}{2}\p_t^2\psi(t_0)t^2}\d t\\[2mm]&
=\left(\frac{u}{u+v}\right)^u
\left(\frac{v}{u+v}\right)^v\left(\frac{2\pi uv}{(u+v)^3}\right)^{1\slash2}
=\sqrt{2\pi}\frac{u^{u+1\slash2}v^{v+1\slash2}}
{(u+v)^{u+v+3\slash2}}.
\end{array}\]
\qed



\subsection{Iloczyny niesko"nczone}

Przypomnijmy najpierw podstawowe fakty dotycz"ace szereg"ow.

Je"sli istnieje sko"nczona granica $I:=\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^nb_j$, to
m"owimy, "re szereg $\sum_{j=1}^\infty b_j$ jest zbie"rny
warunkowo i piszemy $I=\sum_{j=1}^\infty b_j$.

 Je"sli
$\sum_{j=1}^\infty |b_j|<\infty$, to m"owimy, "re szerg $\sum_{j=1}^\infty b_j$
jest
zbie"rny bezwzgl"ednie. Mo"rna pokaza"c, "re zbie"rno"s"c
bezwzgl"edna szeregu poci"aga za sob"a zbie"rno"s"c warunkow"a,
r"ownie"r po zmianie kolejno"sci wyraz"ow w szeregu i jego warto"s"c
 nie zale"ry od tej kolejno"sci.


Je"sli istnieje sko"nczona granica 
$I:=\lim_{n\to\infty}\product_{j=1}^n(1+a_j)$, to
m"owimy, "re iloczyn niesko"nczony $\product_{j=1}^\infty (1+a_j)$
 jest zbie"rny
warunkowo i piszemy $I=\product_{j=1}^\infty (1+a_j)$.


 Je"sli\beq
\sum_{n=1}^\infty|\log(1+a_n)|<\infty,\label{wa2}\eeq
(przy czym w szeregu (\ref{wa2}) usun"eli"smy wyrazy $a_j=-1$),
 to m"owimy, "re iloczyn niesko"nczony $\product_{j=1}^\infty
(1+a_j)$ jest
zbie"rny bezwzgl"ednie.
(W powy"rszym wzorze przez $|\log(1+a)|$ rozumiemy warto"s"c
bezwzgl"edn"a ga"l"ezi g"l"ownej logarytmu rozszerzon"a przez ci"ag"lo"s"c
do funkcji na $\cc\backslash\{-1\}$, kt"ora jest jednoznaczna, mimo "re 
sam $\log(1+a)$ jednoznaczny nie jest).

Oczywi"scie, logarytmuj"ac wyraz po wyrazie iloczyn
bezwzgl"ednie zbie"rny dostajemy szereg bezwzgl"ednie zbie"rny.
Dlatego zbie"rno"s"c
bezwzgl"edna iloczynu niesko"nczonego
 poci"aga za sob"a zbie"rno"s"c warunkow"a,
r"ownie"r po zmianie kolejno"sci wyraz"ow w iloczynie i jego warto"s"c
 nie zale"ry od tej kolejno"sci.





\bel
Za"l"o"rmy  "re $(a_n)$ jest ci"agiem liczb takich, "re $a_n\neq-1$.
Iloczyn niesko"nczony $\product_{j=1}^\infty
(1+a_j)$ jest zbie"rny bezwzgl"ednie wtedy i tylko wtedy gdy
\beq
\sum_{n=1}^\infty|a_n|<\infty,\label{wa1}\eeq
\eel
\proof
 $\cc\backslash\{-1\}\ni t\mapsto \left|\frac{\log(1+t)}{t}\right|$
jest funkcj"a ci"ag"l"a i dodatni"a. Zatem dla $0<A_1\leq |t+1|\leq A_2$
 istniej"a $0<C_1\leq C_2$, 
takie, "re
\[C_1\leq \left|\frac{\log(1+t)}{t}\right|\leq C_2.\]
(\ref{wa1}) poci"aga za sob"a $\lim_{n\to\infty}a_n=0$. Zatem dla $n>N$ mamy
$|a_n|<\12$. Wi"ec dla $n>N$
\[|a_n|<C|\log(1+a_n)|.\]

Podobnie, (\ref{wa2}) poci"aga za sob"a $\lim_{n\to\infty}\log(a_n+1)=0$,
a wi"ec i $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ dla $n>N$. Wi"ec
 dla $n>N$
\[|a_n|>C|\log(1+a_n)|.\]
\qed




\subsection{Funkcje trygonometryczne jako iloczyny niesko"nczone}

\bet Mamy nast"epuj"ace wzory:
\beq\begin{array}{l}
\sum_{j=-\infty}^\infty\frac{1}{(z-j)^2}=\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z},
\end{array}\label{rw1}\eeq
\beq\begin{array}{l}
\frac{1}{z}+2\sum_{j=1}^\infty\frac{z}{z^2-j^2}
=\lim_{n\to\infty}\sum_{j=-n}^{n}\frac{1}{z+j}
=\frac{\pi\cos\pi z}{\sin\pi z},
\end{array}\label{rw2}\eeq
\beq\begin{array}{l}
z\mathop{\Pi}\limits_{j=1}^\infty(1-\frac{z^2}{j^2})
=\frac{\sin\pi z}{\pi}.\end{array}
\label{rw3}\eeq
\eet


\noindent{\bf Uwaga} Iloczyn niesko"nczony wyst"epuj"acy we
wzorze (\ref{rw3}) jest zbie"rny bezwzgl"ednie.

\proof
\[\sum_{j=-\infty}^\infty\frac{1}{(z-j)^2}-\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z}\]
jest funkcj"a ca"lkowit"a. Jest ona okresowa z okresem $1$ i 
d"a"ry do zera dla $|\Im z|\to\infty$. Jest wi"ec ograniczona. Na mocy tw.
Liouville'a jest wi"ec r"owna zero. To dowodzi (\ref{rw1}).

Na mocy (\ref{rw1}) pochodna
\beq\frac{1}{z}+2\sum_{j=1}^\infty\frac{z}{z^2-j^2}
-\frac{\pi\cos\pi z}{\sin\pi z},
\label{rw4}\eeq
jest r"owna zero. (\ref{rw4}) jest funkcj"a nieparzyst"a i sta"l"a, wi"ec
jest r"owne zero.
To dowodzi (\ref{rw2}).

Na mocy (\ref{rw2}) mamy
\[\begin{array}{l}
\frac{\d }{\d
z}\log\Big(z\mathop{\Pi}\limits_{j=1}^\infty(1-\frac{z^2}{j^2})\Big) 
=\frac{\d }{\d
z}\log\Big(\frac{\sin\pi z}{\pi}\Big)
\end{array}\]
Zatem
\beq\begin{array}{l}
z\mathop{\Pi}\limits_{j=1}^\infty(1-\frac{z^2}{j^2})
=C\frac{\sin\pi z}{\pi}.\end{array}
\label{rw5}\eeq
Por"ownuj"ac pochodne obu stron w (\ref{rw5}) w zerze dostajemy $C=1$.
To dowodzi
(\ref{rw3}). \qed
	

\subsection{Funkcja Gamma a iloczyny niesko"nczone}




Zdefiniujmy sta"l"a Eulera-Mascheroniego
\[\begin{array}{l}
\gamma=\lim_{n\to\infty}\Big(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n\Big)
=1+\sum_{j=2}^\infty(\frac{1}{j}+\log(1-\frac{1}{j}))\sim
0,577\dots.\end{array} \]



\bet[Wz"or Gaussa]
\[\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^z}{z(z+1)\cdots(z+n)}\]
{\bf(Wz"or Weierstrassa)}
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{\Gamma(z)}
=z\e^{\gamma
z}\mathop{\Pi}\limits_{n=1}^\infty(1+\frac{z}{n})\exp(-\frac{z}{n}).
\end{array} \]
\label{puy}
\eet

\noindent{\bf Uwaga} Iloczyn niesko"nczony wyst"epuj"acy we
wzorze Weierstrassa jest zbie"rny bezwzgl"ednie.

\bel
Dla $0\leq t\leq n$ mamy
\[\begin{array}{l}
0\leq(1-\frac{t}{n})^n\leq \e^{-t},\ \ \ \ 0\leq\lim_{n\to\infty}
(1-\frac{t}{n})^n= \e^{-t}
.\end{array}\]
\label{qz}\eel

\proof Dla $f_n(t):=\e^t(1-\frac{t}{n})^n$ mamy $f_n(n)=0$, $f_n(0)=1$
\[\begin{array}{l}
f'_n(t)=-\e^t(1-\frac{t}{n})^{n-1}\frac{t}{n}\leq0.\end{array}\]
Zatem $0\leq f_n(t)\leq 1$.
\qed

{\bf Dow"od Twierdzenia \ref{puy}.} Mamy
\[\int_0^1(1-\beta)^n\beta^{z-1}\d \beta
=\frac{\Gamma(n+1)\Gamma(z)}{\Gamma(z+n+1)}
=\frac{n!}{z(z+1)\cdots(z+n)}.\]
Zatem
\[\begin{array}{l}
\int_0^n(1-\frac{t}{n})^nt^{z-1}\d t
=\frac{n!n^z}{z(z+1)\cdots(z+n)}.\end{array}\]
Ale dla $0\leq t\leq n$
\[\begin{array}{l}
\lim_{n\to\infty}\theta(t-n)(1-\frac{t}{n})^nt^{z-1}= \e^{-t}t^{z-1}.\end{array}\]
Na mocy Lematu  \ref{qz} mo"remy zastosowa"c Twierdzenie Lebesgue'a o
zbie"rno"sci majoryzowalnej (z majorant"a r"own"a $\e^{-t}t^{z-1}$). Zatem
\[\begin{array}{l}
\lim_{n\to\infty}\int_0^n(1-\frac{t}{n})^nt^{z-1}\d t=
\int_0^\infty\e^{-t}t^{z-1}\d t.\end{array}\]
To dowodzi wzoru Gaussa.


Aby pokaza"c wz"or Weierstrassa
zauwa"rmy, "re 

\[\begin{array}{l}
z\e^{\gamma
z}\mathop{\Pi}\limits_{n=1}^\infty(1+\frac{z}{n})\exp(-\frac{z}{n}).
\\[3mm]
=z\lim_{n\to\infty}
\exp z(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log
n)\mathop{\Pi}\limits_{k=1}^n(1+\frac{z}{k}) \exp(-\frac{z}{k})\\[3mm]
=\lim_{n\to\infty}n^{-z}z\mathop{\Pi}\limits_{k=1}^n(1+\frac{z}{k})=
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{-z}z(z+1)\cdots(z+n)}{n!}.\end{array}\]
\qed


Wzory Gaussa lub Weierstrassa mog"a by"c wykorzystane do udowodnienia
rezultat"ow z poprzednich rozdzia"l"ow. Na przyk"lad, 
stosuj"ac wz"or Gaussa dostajemy
\[\Gamma(z+1)
=\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^{z+1}}{(z+1)\cdots(z+n+1)}
=z\lim_{n\to\infty}
\Big(\frac{n}{n+1}\Big)^{z+1}
\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!(n+1)^z}{z(z+1)\cdots(z+n+1)}
=z\Gamma(z).\]
Stosuj"ac za"s wz"or
Weierstrassa dostajemy "latwo
\[
\begin{array}{rl}
\frac{1}{\Gamma(z)\Gamma(1-z)}&=\frac{-1}{z\Gamma(z)\Gamma(-z)}\\[3mm]
&=z\mathop{\Pi}\limits_{n=1}^\infty(1-\frac{z^2}{n^2})=\frac{\sin\pi
z}{\pi}. \end{array}\]

{\bf Dow"od wzoru Gaussa o zwielokrotnianiu (\ref{gauss}).}
Niech
\[G(z)=\mathop{\Pi}\limits_{k=0}^{m-1}
\Gamma(z+\frac{k}{m}).\]
Wtedy korzystaj"ac ze wzoru Gaussa dostajemy
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{G(z)}=
\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\mathop{\Pi}\limits_{n=0}^{nm+m-1}(mz+k)}{
(n!)^mn^{mz+\12(m-1)}m^{m(n+1)}},\\[5mm]
\Gamma(mz)=\lim_{n\to\infty}\frac{(mn)!(mn)^{mz}}{\mathop{\Pi}\limits_{k=0}^{mn}(mz+k)}
.\end{array}\]
Zatem
\[\begin{array}{rl}
\frac{\Gamma(mz)}{G(z)}&=
\lim_{n\to\infty}\frac{(mn)!m^{mz-m(n+1)}n^{-\12(m-1)}}{(n!)^m}
\mathop{\Pi}\limits_{k=mn+1}^{mn+m-1}(mz+k)\\[3mm]
&=\lim_{n\to\infty}\frac{(mn)!m^{mz-mn-1)}n^{\12(m-1)}}{(n!)^m}
=(2\pi)^{\12 (m-1)}m^{mz-\12},\end{array}\]
gdzie u"ryli"smy najpierw
\[\lim_{n\to\infty}\mathop{\Pi}\limits_{k=nm+1}^{nm+m-1}\frac{mz+k}{n}=m^{m-1}
,\] a potem skorzystali"smy ze wzory Stirlinga.
\qed


\subsection{Pewne ca"lki z parametrem}


\bep
Niech $f(t)$ b"edzie holomorficzna dla $0\leq\arg t\leq\alpha$ i ci"ag"la 
na domkni"eciu tego zbioru. Za"l"o"rmy, "re dla pewnego $\epsilon>0$
\[|f(z)|\leq C|z|^{-\epsilon},\ \ \ \ |f(z)-f(0)|\leq C|z|^{\epsilon}.\]
Wtedy dla $0\leq\arg z\leq \alpha$
\[\int_0^\infty(f(t)-f(zt))\frac{\d t}{t}=f(0)\log z.\]
\eep

\proof
\[\begin{array}{rl}
\int_r^R(f(t)-f(zt))\frac{\d t}{t}&=\Big(\int_{[r,R]}+\int_{[zR,zr]}\Big)
f(t)\frac{\d t}{t}\\[3mm]
&=\Big(\int_{[r,zr]}+\int_{[zR,R]}\Big)
f(t)\frac{\d t}{t}\\[3mm]
&\to\int_{[r,zr]}
f(0)\frac{\d t}{t}=f(0)\log(z),\end{array}\]
gdzie na ko"ncu $r\to0$, $R\to\infty$.
\qed

Na marginesie wspomnijmy, "re istnieje ``wariant rzeczywisty'' powy"rszego
stwierdzenia:

\bep
Niech $f(t)$ b"edzie funkcj"a mierzaln"a na $[0,\infty[$ tak"a, "re
\[\int_1^\infty |f(t)|\frac{\d t}{t}<\infty,\ \ \ \ \int_0^1
|f(t)-f(0)|\frac{\d t}{t}<\infty.\]
Wtedy dla $z\in[0,\infty[$
\[\int_0^\infty(f(t)-f(zt))\frac{\d t}{t}=f(0)\log z.\]
\eep

\begin{corollary} Zachodzi wz"or
\[\begin{array}{rl}\log z%&=\int_0^1(s^{z-1}-1)\frac{\d s}{\log s}\\[3mm]
&=\int_0^\infty(\e^{-t}-\e^{-z t})\frac{\d t}{t}.
\end{array}\]
\end{corollary}

%\proof Niech $\phi(z):=\int_0^1(s^{z-1}-1)\frac{\d s}{\log s}$. Wtedy
%\[\phi(1)=0,\ \ \ \ \ \phi'(z)=\int_0^1s^{z-1}\d s=\frac{1}{z}.\]\qed

\bep Mamy nast"epuj"ac"a reprezentacj"e ca"lkow"a sta"lej Eulera-Mascheroniego:
\[\begin{array}{rl}
\gamma%&=\int_0^1\Big(\frac{1}{1-s}\frac{1}{\log s}\Big)\d s\\[3mm]
&=\int_0^\infty\Big(\frac{1}{\e^t-1}-\frac{1}{t\e^t}\Big)\d t.
\end{array}\]
\eep

\proof
Mamy\[\begin{array}{l}
\int_0^\infty\frac{1-\e^{-nt}}{1-\e^{-t}}\e^{-t}\d t
=\sum_{j=1}^n\int_0^\infty\e^{-jt}\d t=\sum_{j=1}^n\frac{1}{j},\\[3mm]
\int_0^\infty(\e^{-t}-\e^{-(n+1)t})\frac{\d t}{t}=\log(n+1),\\[3mm]
\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty
(\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t})\e^{-t(n+1)}\d t=0.
\end{array}\]


%\int_0^1\frac{1-s^n}{1-s}\d s=\int_0^1(1+s+\cdots+s^{n-1})\d s=1+\frac{1}{2}+
%\cdots+\frac{1}{n},\\[3mm]\int_0^1\frac{s^n-1}{\log s}\d s=\log(n+1),\\[3mm]
%\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^1s^n\Big(\frac{1}{\logs}-\frac{1}{1-s}\Big)\d s=0.\end{array}\]

St"ad\[\begin{array}{rl}\gamma&=\lim\limits_{n\to\infty}\Big(
1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\log(n+1)\Big)\\[3mm]
&=\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty(\frac{1-\e^{-nt}}{1-\e^{-t}}\e^{-t}
-(1-\e^{-nt})t^{-1}\e^{-t})\d t\\[3mm]
&=\int_0^\infty\Big(\frac{1}{\e^t-1}-\frac{1}{t\e^t}\Big)\d t.
\end{array}\]
%&=\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^1\Big(\frac{1-s^n}{1-s}-\frac{s^n-1}{\log
%s}\Big)\d s\\[3mm]&=\int_0^1\Big(\frac{1}{1-s}+\frac{1}{\logs}\Big)\d s.\end{array}\]\qed
\qed

\bep[Wz"or Pringsheima]
\[\begin{array}{rl}
\12+\12\log\12&=\int_0^\infty\Big(\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}-\12\Big)
\frac{\e^{-\12t}}{t}\d t\\[3mm]&=
\int_0^\infty\Big(\frac{1}{\e^{t}-1}-\frac{1}{t}+\12\Big)
\frac{\e^{-\12t}}{t}\d t
\end{array}
 .\]
\eep

\proof Zauwa"rmy najpierw, "re
\[\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}-\12\sim \frac{1}{12}t.\]
Dlatego powy"rsza ca"lka jest zbie"rna.
\[\begin{array}{l}
\int_0^\infty\Big(\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}-\12\Big)\frac{e^{-\12
t}}{t}\d t\\[3mm]
=\int_0^\infty\Big(\frac{\e^{-\12 t}+1}{2(1-\e^{-\12
t})}-\frac{\e^{-t}}{1-\e^{-t}} -\frac{\e^{-\12 t}}{t}\Big)\frac{\d t}{t}\\[3mm]
=\int_0^\infty\Big(\frac{\e^{-\12 t}+1}{2(1-\e^{-\12t})}
 -\frac{2\e^{-\12 t}}{t}\Big)\frac{\d t}{t}
 +\int_0^\infty\Big(-\frac{\e^{-t}}{1-\e^{-t}} 
 +\frac{\e^{-\12 t}}{t}\Big)\frac{\d t}{t}\\[3mm]
=\int_0^\infty\Big(\frac{\e^{- t}+1}{2(1-\e^{-t})}
 -\frac{\e^{- t}}{t}\Big)\frac{\d t}{t}
 +\int_0^\infty\Big(-\frac{\e^{-t}}{1-\e^{-t}} 
 +\frac{\e^{-\12 t}}{t}\Big)\frac{\d t}{t}\\[3mm]
=\int_0^\infty\Big(\frac{\e^{-\12 t}-\e^{-t}}{t}-\12\e^{-t}
\Big)\frac{\d t}{t}
=-\int_0^\infty\Big(\frac{\d}{\d t}\frac{\e^{-\12 t}-\e^{-t}}{t}\Big)\d t
-\12\int_0^\infty\frac{\e^{-\12 t}-\e^{-t}}{t}\d t
\\[3mm]=\12+\12\log\12.
\end{array}\]
\qed



\subsection{Pochodna logarytmiczna funkcji Gamma}

Ze wzoru Weierstrassa wynika natychmiast, "re
\beq\begin{array}{l}
\log\Gamma(z)=-\gamma z-\log z+\sum_{n=1}^\infty
\big(\frac{z}{n}-\log(1+\frac{z}{n})\big),\\[3mm]
\p_z\log\Gamma(z)=-\gamma+\sum_{n=0}^\infty
\big(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+z}\big),\\[3mm]
\p_z^2\log\Gamma(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+z)^2}.
\end{array}\label{poch}\eeq
Mamy te"r
\[\log\Gamma(1)=0,\ \ \ \log\Gamma(\12)=\12\log\pi,\ \ \ \ 
\p_z\log\Gamma(1)=-\gamma.\]

\bep
\beq\begin{array}{l}
\Gamma(n+1+\epsilon)=n!\Big(1+\epsilon(-\gamma+\sum_{j=1}^n\frac{1}{j})\Big)
+O(\epsilon^2),\
\ \ n=1,2,\dots,\\[3mm]
\Gamma(-n+\epsilon)=
\frac{(-1)^n}{n!}\Big(\epsilon^{-1}-\gamma+\sum_{j=1}^n\frac{1}{j}\Big)
+O(\epsilon),\
\ \ n=1,2,\dots.
\end{array}\eeq
\eep

\proof
Najpierw zauwa"ramy, "re
\[\p_z\log\Gamma(n+1)=-\gamma+\sum_{j=1}^n\frac{1}{j},\ \ \ n=1,2,\dots\]
 Ale $\Gamma'(z)=\Gamma(z)\p_z\log\Gamma(z)$ i
$\Gamma(n+1)=n!$. To pokazuje pierwszy wz"or.

Nast"epnie 
\[\p_z(\log\Gamma(z)+\frac{1}{z+n})\Big|_{z=-n}=-\gamma+\sum_{j=1}^n\frac{1}{j}.\]
Ale
\[\p_z\Gamma(z)(z+n)=(z+n)\Gamma'(z)+\Gamma(z)=
(z+n)\Gamma(z)\p_z\Big(\log\Gamma(z)+(z+n)^{-1}\Big).\]
\qed


\subsection{Szeregi asymptotyczne}

Niech funkcja $f$ b"edzie okre"slona na zbiorze
$K(z_0,r)\cap\{\alpha_1<\arg (z-z_0)<\alpha_2\}$. Piszemy
\[f(z)\sim\sum_{j=0}^\infty a_j (z-z_0)^j,\]
gdy dla ka"rdego $n$ istnieje $C_n$ takie, "re
\[\Big|f(z)-\sum_{j=0}^n a_j (z-z_0)^j\Big|\leq C_n |z-z_0|^{n+1}.\]

Oczywi"scie, je"sli $f(z)=\sum_{j=0}^\infty a_j z^j$ dla $z\in
K(z_0,r)$, to $f(z)\sim\sum_{j=0}^\infty a_j (z-z_0)^j$.

\noindent{\bf Przyk"lad} dla $-\frac{\pi}{2}+\epsilon<\arg
z<\frac{\pi}{2}-\epsilon$ 
\[\e^{-\frac{1}{z}}\sim\sum_{j=0}^\infty 0z^j.\]

\noindent{\bf Przyk"lad} dla $-\frac{\pi}{4}+\epsilon<\arg
z<\frac{\pi}{4}-\epsilon$ i $-\frac{\pi}{4}+\epsilon<\arg
-z<\frac{\pi}{4}-\epsilon$ 
\[\e^{-\frac{1}{z^2}}\sim\sum_{j=0}^\infty 0z^j.\]
W szczeg"olno"sci, wszystkie  pochodne funkcji
 $\rr\ni x\to \e^{-\frac{1}{x^2}}$ w zerze s"a r"owne zero.

\noindent{\bf Przyk"lad -- Funkcja b"l"edu.} \[{\rm
Erf}(z):=\int_0^z\e^{-t^2}\d t.\]
Oczywi"scie, $\lim_{z\to\infty}{\rm
Erf}(z)=\12\sqrt\pi$. Dla $-\frac{\pi}{2}+\epsilon<\arg
z<\frac{\pi}{2}-\epsilon $
\[\12\sqrt\pi-{\rm
Erf}(z)\sim\frac{\e^{-z^2}}{2z}\Big(1+\sum_{k=1}^\infty
(-1)^k\frac{1\cdot3\cdots(2k-1)}{(2z^2)^k}\Big).\]




\subsection{Pierwszy wz"or Bineta}

\bet[Pierwszy wz"or Bineta]
\beq
\begin{array}{l}
\log\Gamma(z)=(z-\12)\log z-z+\12\log 2\pi
+\int_0^\infty\Big(\12+\frac{1}{\e^t-1}-\frac{1}{t}\Big)\e^{-zt}\frac{\d
t}{t} ,\end{array}\label{binet1}\eeq
\beq\begin{array}{l}
\p_z\log\Gamma(z)
=\log z+\int_0^\infty\Big(\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}
\Big)\e^{-zt}\d t.\end{array}\label{binet2}\eeq
\beq\begin{array}{l}
\p_z^2\log\Gamma(z)=\int_0^\infty\frac{t\e^{-tz}}{1-\e^{-t}}\d t.
\end{array}\label{binet3}\eeq
\eet

\noindent{\bf Uwaga} Zwr"o"cmy uwag"e na to, "re powy"rsze
ca"lki s"a sko"nczone. W szceg"olno"sci funkcje podca"lkowe s"a
ci"ag"le w zerze:
\[\begin{array}{l}
\lim_{t\to0}\Big(\12+\frac{1}{\e^t-1}-\frac{1}{t}\Big)\frac{1}{t}
=\frac{1}{12}\\[2mm]
\lim_{t\to0}\Big(\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}
\Big)=\12,\\[2mm]
\lim_{t\to0}\frac{t}{1-\e^{-t}}=1.
\end{array}\]

\proof
Najpierw dowodzimy (\ref{binet3}). Korzystaj"ac z 
(\ref{poch}) dostajemy
\beq\begin{array}{rl}
\p_z^2\log\Gamma(z)&=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+z)^2}\\[3mm]
&=\sum_{n=0}^\infty\int_0^\infty
\e^{-t(z+n)}t\d t\\[3mm]
&=\int_0^\infty\frac{t\e^{-tz}}{1-\e^{-t}}\d t.
\end{array}\label{roq}\eeq
To
 dowodzi (\ref{binet3}). 
Nast"epnie przekszta"lcamy (\ref{roq}) dostaj"ac
\[\begin{array}{l}
\int_0^\infty\Big(
\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}\Big)t\e^{-tz}\d t+\int_0^\infty\e^{-tz}\d t
\\[3mm]
=\int_0^\infty\Big(
\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}\Big)t\e^{-tz}\d t+\frac{1}{z}.
\end{array}\]
Zatem
\beq\begin{array}{rl}
\p_z\log\Gamma(z)&=\p_z\log\Gamma(1)+\int_1^z\p_y^2\log\Gamma(y)\d y\\[3mm]
&=-\gamma+\int_1^z\frac{1}{y}\d y+
\int_1^z\int_0^\infty\Big(
\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}\Big)t\e^{-ty}\d t\d y
\\[3mm]
&
=-\gamma+\log z-
\int_0^\infty\Big(
\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}\Big)\e^{-ty}\d t\Big|_{y=1}^{y=z}
\\[3mm]&
=\log z-
\int_0^\infty\Big(
\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}\Big)\e^{-tz}\d t,
\end{array}\label{qwq}\eeq
gdzie w ostatnim kroku wykorzystali"smy wz"or ca"lkowy na sta"l"a $\gamma$.
To dowodzi (\ref{binet2}).
Nast"epnie przekszta"lcamy (\ref{qwq}) dostaj"ac
\[\begin{array}{l}
\log z-\12\int_0^\infty\e^{-tz}\d t-
\int_0^\infty\Big(
\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}-\12\Big)\e^{-tz}\d t
\\[3mm]
=\log z-\12\frac{1}{z}-
\int_0^\infty\Big(
\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}-\12\Big)\e^{-tz}\d t.
\end{array}\]
St"ad 
\[\begin{array}{rl}
\log\Gamma(z)&=\log\Gamma(\12)+\int_{\12}^z\p_y\log\Gamma(y)\d y\\[3mm]
&=\12\log\pi+\int_{\12}^z\log y\d y-\12\int_{\12}^z\frac{1}{y}\d y
-\int_{\12}^z\int_0^\infty\Big(
\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}-\12\Big)\e^{-ty}\d t\d y\\[3mm]
&=\12\log\pi+z-\log z-\12\log\12+\12-\12\log z+\12\log\12
+\int_0^\infty\Big(
\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}-\12\Big)\e^{-ty}\frac{\d t}{t}
\Big|_{y=\12}^{y=z}\\[3mm]
&=(z-\12)\log z-z+\12\log 2\pi+
\int_0^\infty\Big(
\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}-\12\Big)\e^{-tz}\frac{\d t}{t},
\end{array}\]
gdzie w ostatnim kroku wykorzystali"smy wz"or Pringsheima. To ko"nczy
dow"od (\ref{binet1}).
\qed


\begin{corollary}
Niech $\epsilon>0$ i $|\arg z|<\frac{\pi}{2}-\epsilon$.
\newline(1) Zachodzi {\bf Wz"or Stirlinga}
\[\begin{array}{l}
\lim_{z\to\infty}\Big(\log\Gamma(z)
-\big((z-\12)\log z-z+\12\log2\pi\big)\Big)=0,\\[3mm]
\lim_{z\to\infty}\frac{\Gamma(z)}{z^{z-\12}\e^{-z}\sqrt{2\pi}}=1
\end{array}\]
(2)
Niech
\[f(t)=
\frac{1}{1-\e^{-t}}-\frac{1}{t}-\12.\]
Wtedy $f$ jest ograniczona wraz ze wszystkimi pochodnymi dla $t\in[0,\infty[$
i
\[f(t)=\sum_{n=1}^\infty f_n t^n,\ \ \ |t|<2\pi.\]
Mamy nast"epuj"ace rozwin"ecie funkcji Gamma w szereg asymptotyczny:
\[\begin{array}{l}\Big|\log\Gamma(z)-
\big((z-\12)\log z-z+\12\log2\pi-\sum_{j=1}^n(j-1)!z^{-j}f_j\big)\Big|
\leq C|z|^{-n-1}.\end{array}\]
\end{corollary}




\subsection{Wz"or Plana i drugi wz"or Bineta}

\bet[Wz"or Plana]
Niech $m\leq n$ b"ed"a ca"lkowite, $\phi(z)$ funkcja analityczna,
$|\phi(z)|\leq\e^{1-\epsilon)|\Im z|}$ dla $\epsilon>0$.Wtedy
\[\begin{array}{l}
\12\phi(m)+\phi(m+1)+\dots+\phi(n-1)+\12\phi(m)\\[3mm]
=\int_m^n\phi(z)\d z+\frac{1}{\i}\int_0^\infty\frac{\phi(n+\i y)-\phi(n-\i
y)}{\e^{2\pi y}-1}\d y
-\frac{1}{\i}\int_0^\infty\frac{\phi(m+\i y)-\phi(m-\i
y)}{\e^{2\pi y}-1}\d y
\end{array}\] 
\eet

\proof Wprowad"zmy kontury
\[\begin{array}{l}
\gamma_+=[m^-,(m+1)^-,\dots,(n-1)^-,n^-,n+\i R,m+\i R,m],\\[3mm]
\gamma_-=[m^+,(m+1)^+,\dots,(n-1)^+,n^+,n+\i R,m+\i R,m].\end{array}\]
Nast"epnie odejmujemy wzory
\[\begin{array}{l}
0=\int_{\gamma_+}\frac{\phi(z)}{\e^{2\pi\i z}-1}\d z,\\[3mm]
0=\int_{\gamma_-}\frac{\phi(z)}{\e^{-2\pi\i z}-1}\d z.
\end{array}\]\qed

\bet[Drugi wz"or Bineta]
\beq
\begin{array}{l}
\log\Gamma(z)=(z-\12)\log z-z+\12\log 2\pi
+2\int_0^\infty
\frac{\arctg\frac{t}{z}}{\e^{2\pi t}-1}\d t,
,\end{array}\label{Binet1}\eeq
\beq\begin{array}{l}
\p_z\log\Gamma(z)
=\log z-\frac{1}{2z}-2\int_0^\infty\frac{t\d t}{(z^2+t^2)(\e^{2\pi t}-1)}
,\end{array}\label{Binet2}\eeq
\beq\begin{array}{l}
\p_z^2\log\Gamma(z)=
\frac{1}{2z^2}+\frac{1}{z}
+4\int_0^\infty\frac{zt\d t}{(z^2+t^2)^2(\e^{2\pi t}-1)}
.
\end{array}\label{Binet3}\eeq
\eet

\proof Aby pokaza"c (\ref{Binet3}) stosujemy Wz"or Plana do
$\phi(z)=z^{-2}$. Nast"epnie ca"lkujemy dwukrotnie i dostajemy
\[\log\Gamma(z)=A+Bz+(z-\12)\log z+2\int_0^\infty
\frac{\arctg\frac{t}{z}}{\e^{2\pi t}-1}\d t.
\]
Por"ownuj"ac z pierwszym wzorem Bineta dla $z\sim0$ dostajemy 
$A=\12\log2\pi$, $B=-1$. \qed

\subsection{Jednorodne dystrybucje i ich transformaty Fouriera}

Dla $\lambda\in\cc$ mo"remy zdefiniowa"c dystrybucje temperowane
\[(\pm\i x+0)^\lambda:=\lim_{\epsilon\to0}(\pm\i x+\epsilon)^\lambda.\]
Wzory
\[x_+^\lambda:=x^\lambda\theta(x),\ \ \ x_-^\lambda:=(-x)^\lambda\theta(-x)\]
zadaj"a dystrybucje tylko dla $\Re\lambda>-1$. Mo"remy je
rozszerzy"c na wszystkie $\lambda\in\cc$ pr"ocz $z=-1,-2,\dots$ k"lad"ac
\[\begin{array}{l}
x_+^\lambda:=\frac{1}{2\i\sin\frac{\pi}{2}\lambda}
\Big(-\e^{-\i\frac{\pi}{2}\lambda}(\i x+0)^\lambda
+\e^{\i\frac{\pi}{2}\lambda}(-\i x+0)^\lambda\Big),\\[3mm]
x_-^\lambda:=\frac{1}{2\i\sin\frac{\pi}{2}\lambda}
\Big(-\e^{-\i\frac{\pi}{2}\lambda}(-\i x+0)^\lambda
+\e^{\i\frac{\pi}{2}\lambda}(\i x+0)^\lambda\Big)
\end{array}\]

Wygodnie jest rozwa"ra"c
$\frac{x_\pm^\lambda}{\Gamma(\lambda+1)}$. Mamy wtedy
\[\frac{x_\pm^{-n}}{\Gamma(n+1)}=(\pm1)^n\delta^{(n-1)},\ \ \ n=1,2,\dots.\]
Spe"lniaj"a one zwi"azki rekurencyjne:
\[\p_z\frac{x_\pm^\lambda}{\Gamma(\lambda+1)}=
\pm\frac{x_\pm^{\lambda-1}}{\Gamma(\lambda)}.\]

A oto transformaty Fouriera:
\[\int\e^{-\i\xi x}\frac{x_\pm^\lambda}{\Gamma(\lambda+1)}\d x
=(\pm\i\xi+0)^{-\lambda-1}\]
\[\int\e^{-\i\xi x}(\mp \i \xi+0)^\lambda\d \xi=
2\pi\frac{\xi_\pm^{-\lambda-1}}{\Gamma(-\lambda)}\]



Szczeg"olnie symetryczne wzory na transformaty Fouriera
dostaniemy wprowadzaj"ac
\[\begin{array}{l}
\eta^\lambda(x):=\Gamma(\frac{\lambda}{2}+\12)2^{-\frac{\lambda}{2}}
|x|^{\lambda}
=(2\pi)^{-1}\Gamma(-\frac{\lambda}{2}+\12)
2^{-\frac{\lambda}{2}}\Big(
(\i x+0)^\lambda+(-\i x+0)^\lambda\Big),\\[3mm]
\nu^\lambda(x):=
\Gamma(\frac{\lambda}{2}+1)2^{-\frac{\lambda}{2}-\12}
|x|^{\lambda}\sgn x
=\i(2\pi)^{-1}\Gamma(-\frac{\lambda}{2})
2^{-\frac{\lambda}{2}-\12}\Big(
(\i x+0)^\lambda-(-\i x+0)^\lambda\Big).\end{array}\]
Mamy nast"epuj"ace zwi"azki:
\[\p_x\eta^\lambda =\lambda\nu^{\lambda-1},\ \ \ \ \
\p_x\nu^\lambda=\eta^{\lambda-1} ,\]
\[\widehat{\eta^\lambda}=\sqrt{2\pi}\eta^{-\lambda-1},\ \ \ \ 
\widehat{\nu^\lambda}=\sqrt{2\pi}\nu^{-\lambda-1}.\]

\subsection{Ca"lki wielowymiarowe}

W tym rozdziale rozwa"ramy $d$-wymiarow"a przestrze"n euklidesow"a.
\bet Pole sfery jednostkowej $d-1$-wymiarowej wynosi 
\[S_{d-1}=\frac{2\pi^{\frac{d}{2}}}{\Gamma(\frac{d}{2})}.\]
\eet

\proof Metoda I. Obliczamy 2 sposobami ca"lk"e gaussowsk"a: we
wsp"o"lrz"ednych kartezja"nskich
\[\int\e^{-x_1^2-\cdots-x_d^2}\d x_1\cdots \d x_d=\pi^{\frac{d}{2}},\]
i we wsp"o"lrz"ednych sferycznych
\[\begin{array}{l}
S_{d-1}\int_0^\infty \e^{-r^2}r^{d-1}\d r =\12\Gamma(\frac{d}{2}).\end{array}\]

Metoda II. We wsp"o"lrz"ednych sferycznych pole sfery jest r"owne
\[S_{d-1}=\int_0^\pi\sin^{d-2}\phi_{d-1}\d \phi_{d-1}
\cdots\int_0^\pi\sin \phi_{2}\d \phi_{2}
\int_0^{2\pi}\d \phi_{1}
\]
Nast"epnie stosujemy
\[\int_0^\pi\sin^{k-1}\phi_k\d \phi_k=\frac{\sqrt\pi\Gamma(\frac{k-1}{2})}{
\Gamma(\frac{k}{2})},\ \ k=2,\dots,d-1;\ \ 
 \ \int_0^{2\pi}\d\phi_1=2\pi.\]
\qed



\bet {\bf Ca"lki wyst"epuj"ace w diagramach Feynmanna} W
przestrzeni euklidesowej $d$-wymiarowej mamy
\beq\int (x^2+m^2)^{-\alpha}\d^d x=\pi^{\frac{d}{2}}m^{d-2\alpha}
\frac{\Gamma(\alpha-\frac{d}{2})}{\Gamma(\alpha)},\eeq
\beq\int (x^2+2xy+m^2)^{-\alpha}\d^d x=\pi^{\frac{d}{2}}(m^2-y^2)^{\frac{d}{2}
-\alpha}
\frac{\Gamma(\alpha-\frac{d}{2})}{\Gamma(\alpha)},\eeq
\beq\int x_\mu (x^2+2xy+m^2)^{-\alpha}\d^d x=-\pi^{\frac{d}{2}}y_\mu
(m^2-y^2)^{\frac{d}{2}
-\alpha}
\frac{\Gamma(\alpha-\frac{d}{2})}{\Gamma(\alpha)},\eeq
\beq\begin{array}{rl}\int x_\mu x_\nu
(x^2+2xy+m^2)^{-\alpha}\d^d x&=\pi^{\frac{d}{2}}y_\mu y_\nu(m^2-y^2)^{\frac{d}{2}
-\alpha}
\frac{\Gamma(\alpha-\frac{d}{2})}{\Gamma(\alpha)}\\[2mm]&
-\pi^{\frac{d}{2}}\delta_{\mu\nu}(m^2-y^2)^{\frac{d-1}{2}
-\alpha}
\frac{\Gamma(\alpha-\frac{d}{2}-1)}{\Gamma(\alpha)}
.\end{array}\eeq
\eet

\proof
Stosujemy wz"or na powierzchni"e sfery i 
\[\int_0^\infty(r^2+m^2)^{-\alpha} r^{d-1}\d
r=2^{-1}m^{d-2\alpha}
\frac{\Gamma(\frac{d}{2})\Gamma(\alpha-\frac{d}{2})}{\Gamma(\alpha)}.\]
\qed

\bet
Zdefiniujmy 
\[\eta^\lambda(x):=\frac{1}{\Gamma(\frac{\lambda+d}{2})}
2^{-\frac\lambda2}|x|^\lambda.\]
Wtedy
\[\widehat{\eta^\lambda}=(2\pi)^{\frac{d}{2}}\eta^{-\lambda-d}.\]
\eet

\proof Stosujemy wsp"o"lrz"edne sferyczne.
\[\begin{array}{l}
\int|x|^\lambda\e^{-\i x\xi}\d x=\\[3mm]
\int _0^\infty\d r\int_0^\pi\d \phi_{d-1} r^{\lambda+d-1}\e^{-\i
r|\xi|\cos\phi_{d-1}}  r^{\lambda+d-1}\sin^{d-2}\phi_{d-1} S_{d-2}\\[3mm]
=\Gamma(\lambda+d)\int_0^{\frac{\pi}{2}}
\Big((\i|\xi|\cos\phi_{d-1}+0)^{-\lambda-d}
+(-\i|\xi|\cos\phi_{d-1}+0)^{-\lambda-d}\Big)\sin^{d-2}\phi_{d-1}\d\phi_{d-1}
S_{d-2}\\[3mm]
=\Gamma(\lambda+d)2\cos(\frac{\lambda+d}{2}\pi)|\xi|^{-\lambda-d}
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{-\lambda-d}\phi_{d-1}
\sin^{d-2}\phi_{d-1}\d\phi_{d-1}
S_{d-2}.\end{array}\]
Nast"epnie stosujemy
\[\begin{array}{l}
S_{d-2}=\frac{2\pi^{\frac{d-1}{2}}}{\Gamma(\frac{d-1}{2})},\ \ \
\ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{-\lambda-d}\phi_{d-1}
\sin^{d-2}\phi_{d-1}\d\phi_{d-1}=\12\frac{\Gamma(\frac{-\lambda-d+1}{2})
\Gamma(\frac{d-1}{2})}{\Gamma(-\frac{\lambda}{2})},
\\[3mm]
\Gamma(\lambda+d)=\pi^{-\12}
2^{\lambda+d-1}\Gamma(\frac{\lambda+d}{2})\Gamma(\frac{\lambda+d+1}{2})
\\[3mm]
\Gamma(\frac{\lambda+d+1}{2})\Gamma(\frac{-\lambda-d+1}{2})
\cos\frac{\lambda+d}{2}\pi=\pi,\end{array}\]
i dostajemy
\[\int|x|^\lambda\e^{-\i x\xi}\d^d x=
|\xi|^{-\lambda-d}2^{\lambda+d}\pi^d\frac{\Gamma(\frac{\lambda+d}{2})}{\Gamma(
-\frac{\lambda}{2})}.\]

Pouczaj"ace jest te"r obliczenie tej transformaty we
wsp"o"lrz"ednych dwusferycznych, tzn. dla $p+q=d$
\[\begin{array}{l}
x_1=r\cos\theta\cos\phi_{p-1},\ \ x_2=r\cos\theta\sin\phi_{p-1}\cos\phi_{p-2},
\dots\\[3mm]
 x_{p-1}=r\cos\theta\sin\phi_{p-1}\cdots\sin\phi_2\cos\phi_1,\ \
\ 
x_{p}=r\cos\theta\sin\phi_{p-1}\cdots\sin\phi_2\sin\phi_1,\\[3mm]
x_{p+1}=r\sin\theta\cos\phi_{p-1},
\ \ x_{p+2}=r\sin\theta\sin\phi_{p-1}\cos\phi_{p-2},\dots\\[3mm]
x_{d-1}=r\sin\theta\sin\phi_{p-1}\cdots\sin\phi_2\cos\phi_1,
\ \ \ x_{d}=r\sin\theta\sin\phi_{p-1}\cdots\sin\phi_2\sin\phi_1,\\[3mm]
r\in[0,\infty[,\ \ \theta\in[0,\frac{\pi}{2}
],\\[3mm] \ \
\phi_i,\psi_i\in[0,\pi],\ i>1,\ \ \phi_1\in[0,2\pi];\\[3mm]
\d^d
x=r^{d-1}\cos^{p-1}\theta\sin^{q-1}\theta\d\theta\sin^{p-2}phi_{p-1}\d
\phi_{p-1}\cdots\d \phi_1\sin^{q-2}\psi_{q-1}\d
\psi_{q-1}\cdots\d \psi_1
.\end{array}\]
Mamy wtedy
\[\begin{array}{l}
\int|x|^\lambda\e^{-\i x\xi}\d^d x\\[3mm]=
\int_0^\infty\d r\int_0^{\frac{\pi}{2}}\d\theta\int_0^\pi\phi_{p-1}
r^{\lambda+d-1}\e^{-\i r|\xi|\cos\theta\cos\phi_{p-1}}
\cos^{p-1}\theta\sin^{q-1}\theta\sin^{p-2}\phi_{p-1}S_{p-2}S_{q-1}\\[3mm]
=\Gamma(\lambda+d)2\cos\frac{\lambda+d}{2}\pi|\xi|^{-\lambda-d}
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{-q-1-\lambda}\theta\sin^{q-1}\theta\d\theta
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{-\lambda-d}\phi_{p-1}\sin^{p-2}\phi_{p-1}
S_{p-2}S_{q-1}.\end{array}\]
\qed






\end{document}








\end{document}

