\documentclass[a4paper,10pt,polish]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{times} % opcjonalnie, dla �adniejszych czcionek
\usepackage{babel}
%\documentstyle[polski,10pt]{article}




\def\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\def\init{\setcounter{equation}{0}}


%DECLARATION POUR LA FAMILLE DE FONTES DESTINEE AUX
%ENSEMBLES USUELS
%\font\tenblack=msym10 \font\sevenblack=msym7
%\font\fiveblack=msym5
%\font\twelveblack=msym10 at 12pt
%\newfam\blackfam
%\textfont\blackfam=\twelveblack
%\scriptfont\blackfam=\sevenblack
%\scriptscriptfont\blackfam=\fiveblack
%\def\blackboard{\fam\blackfam}

%LES ENSEMBLES USUELS
%\def\rr{{\blackboard R}}
%\def\cc{{\blackboard C}}
%\def\nn{{\blackboard N}}
%\def\zz{{\blackboard Z}}
%\def\qq{{\blackboard Q}}
\def\rr{{\bf R}}
\def\cc{{\bf C}}
\def\nn{{\bf N}}
\def\one{{\bf 1}}
\def\zz{{\bf Z}}
\def\qq{{\bf Q}}
%NOTATIONS MATHEMATIQUES
\def\slim{{\rm s-}\lim}
\def\wlim{{\rm w-}\lim}
\def\srlim{{\rm s-}C_\infty{\rm -}\lim}
\def\rlim{C_\infty{\rm -}\lim}
\def\fld{\to}
\def\dt{\frac{d}{dt}}
\def\schrod{Schr\"odinger}
\def\Tr{{\rm Tr}}
\def\pdos{pseudodifferential operators}
\def\pdo{pseudodifferential operator}
\def\zbar{\bar{z}}
\def\cinf{C^\infty}
\def\c0inf{C_0^\infty}
\def\bprop{\begin{proposition}}
\def\eprop{\end{proposition}}
\def\13{\frac13}
\def\23{\frac23}
\def\lpi{\mathop{\Pi}\limits}
\def\Ai{{\rm Ai}}
\def\B{{\rm B}}
\def\C{{\cal C}}
\def\sgn{{\rm sgn}}
\def\Ker{{\rm Ker}}
\def\12{\frac{1}{2}}
\def\Ran{{\rm Ran}}
\def\rot{{\rm rot}}
\def\div{{\rm div}}
\def\Re{{\rm Re}}
\def\Im{{\rm Im}}
\def\i{{\rm i}}
%ABBREVIATIONS DE LETTRES ET SYMBOLES

%ABBREVIATIONS DE COMMANDES
\newcommand{\beq}{\begin{equation}}
\newcommand{\eeq}{\end{equation}}
\newcommand{\bear}[1]{\begin{array}{#1}}
\newcommand{\ear}{\end{array}}






%LARGEUR ET HAUTEUR DU TEXTE
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\textheight}{21cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\addtolength{\footskip}{1cm}
% 1 INCH = 2.54 CM !!!!


%List of macros used specially for the book
\def\coinf{C_0^\infty}
\def\qed{$\Box$\medskip}
\def\s{\langle s \rangle}
\def\arg{{\rm arg}}
\def\P{{\cal P}}
\def\T{{\cal T}}
\def\F{{\cal F}}
\def\A{{\cal A}}
\def\Q{{\cal Q}}
\def\bar{\overline}
\def\bet{\begin{theoreme}}
\def\eet{\end{theoreme}}
\def\bep{\begin{proposition}}
\def\eep{\end{proposition}}
\def\bed{\begin{definition}}
\def\eed{\end{definition}}

\def\bel{\begin{lemma}}
\def\eel{\end{lemma}}
\def\bex{\begin{example}}
\def\eex{\end{example}}

\def\teta{\tilde{\eta}}
\def\ty{\tilde{y}}
\def\tz{\tilde{z}}
\def\tH{\tilde{H}}
\def\tU{\tilde{U}}
\def\tP{\tilde{P}}
\def\tJ{\tilde{J}}
\def\tOmega{\tilde{\Omega}}
\def\tdd{\tilde{\dd}}

\def \p{ \partial}
\def\u{\langle u \rangle}

\def\c{{\scriptstyle\circ}}
\def\t{\langle t \rangle}
\def\x{\langle x \rangle}
\def\xt{\frac{x}{t}}
\def\supp{{\rm supp}}
\def\dd{{\bf D}}
\def\hc{{\rm hc}}
\def\ad{{\rm ad}}
\def\e{{\rm e}}
\def\D{{\cal D}}
\def\tY{{\tilde Y}}
\def\ala{{a\in{\cal A}}}
\def\amin{{a_{\rm min}}}
\def\E{{\rm E}}
\def\Int{{\rm Int}}
\def\d{{\rm d}}
\def\deg{{\rm deg}}
\def\Res{{\rm Res}}
\def\ch{{\rm ch}}
\def\sh{{\rm sh}}
\begin{document}

%THEOREMLIKE ENVIRONNEMENTS
\def\proof{{\bf Dow"od.}\ \ }
\newtheorem{theoreme}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{proposition}[theoreme]{Stwierdzenie}
\newtheorem{lemma}[theoreme]{Lemat}
\newtheorem{definition}[theoreme]{Definicja}
\newtheorem{corollary}[theoreme]{Wniosek}
\newtheorem{remark}[theoreme]{Uwaga}
\newtheorem{example}[theoreme]{Przyk"lad}


\date{}
\title{\bf R"ownania r"o"rniczkowe fizyki matematycznej}






\author{Jan Derezi"nski\\Katedra Metod Matematycznych Fizyki\\
Wydzia"l Fizyki, Uniwersytet Warszawski\\e-mail derezins@fuw.edu.pl}





\maketitle


\begin{center}{\bf \Large Metody Matematyczne
Fizyki B, skrypt II\\[3mm]
 rok 1999}\end{center}

\tableofcontents
\section{R"ownania r"o"rniczkowe w dziedzinie zespolonej}
\subsection{Punkty regularne}

W tym rozdziale rozwa"ramy r"ownania r"o"rniczkowe 
pierwszego rz"edu w $\cc^n$ i drugiego rz"edu w $\cc$.
W $\cc^n$ b"edziemy pos"lugiwa"c si"e norm"a wektor"ow
\[\|v\|=\left(\sum_{j=0}^n|v_j|^2\right)^{\frac{1}{2}},\ v\in\cc^n.\]
Je"sli $A$ jest odwzorowaniem liniowym na $\cc^n$, to
norma $A$ jest zdefiniowana jako
\[\|A\|:=\sup_{\|x\|=1}\|Ax\|.\]

B"edziemy rozwa"ra"c r"ownanie r"o"rniczkowe
\beq \p_zv(z)=A(z)v(z).
\label{rr1}\eeq
gdzie $v(z)\in\cc^n$.

\bed Je"sli w (\ref{rr1}) funkcja $A(z)$ jest analityczna w
$z_0$, to m"owimy, "re $z_0$ jest regularnym punktem osobliwym
tego r"ownania.\eed

\bet
Niech $\Omega$ b"edzie sp"ojnym jednosp"ojnym zbiorem otwartym w $\cc$. Niech 
\[\Omega\ni z\mapsto A(z)=\left[\begin{array}{ccc}a_{11}(z)&\dots&a_{1n}(z)\\
&\dots&\\a_{n1}(z)&\dots&a_{nn}(z)\end{array}\right]
\]
b"edzie funkcj"a holomorficzn"a o warto"sciach w macierzach $n\times n$
i $w=\left[\begin{array}{c}w_1\\\dots\\w_n\end{array}\right]\in\cc^n$.
Wtedy istnieje jedna i tylko jedna
funkcja holomorficzna 
$\Omega\ni z\mapsto v(z)=
\left[\begin{array}{c}
v_1(z)\\\dots\\v_n(z)\end{array}\right]\in\cc^n$
b"ed"aca rozwi"azaniem zagadnienia
\beq
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\d v(z)}{\d z}=A(z)v(z),\\[2mm]
v(z_0)=w.\label{zd1f}
\end{array}\right.\label{zd4}\eeq
\label{zd3}\eet

\proof
Ograniczmy si"e najpierw do ko"la $K(z_0,r)$ takiego, "re
$\overline{K(z_0,r)}\subset\Omega$. Mo"rna r"ownie"r za"lo"ry"c, "re
$z_0=0$.

Niech
\[A(z)=\sum_{k=0}^\infty A_kz^k\]
Wtedy szereg 
\[v(z):=\sum_{k=0}^\infty v_kz^k,\]
gdzie
\[\left\{\begin{array}{l}
v_0=w\\[2mm]
v_{m+1}:=\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^m A_{m-k}v_{k}.\end{array}\right.\]
jest jedynym szeregiem formalnie spe"lniaj"acym r"ownanie (\ref{zd1f}).

Poka"rmy, "re szereg ten jest zbie"rny w kole $K(0,r)$.
Wiemy z nier"owno"sci Cauchy'ego, "re 
\[\|A_k\|\leq Cr^{-k}.\]
Je"sli po"lo"rymy
\[\left\{\begin{array}{l}
p_0=\|w\|\\[2mm]
p_{m+1}:=\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^m Cr^{-m+k}p_{k},\end{array}\right.\]
to mo"remy dowie"s"c indukcyjnie, "re
\beq\|v_m\|\leq p_m.\label{kk1}\eeq

W rzeczy samej, mamy
\[\|v_0\|=p_0.\]
Za"l"o"rmy, "re
\[\|v_k\|\leq p_k,\ k=0,\dots,m.\]
Wtedy
\[\begin{array}{rl}\|v_{m+1}\|&\leq\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^m\|A_{m-k}v_k\|
\\[2mm]&\leq\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^m\|A_{m-k}\|\|v_k\|
\\[2mm]&
\leq\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^mCr^{k-m}p_k=p_{m+1}.\end{array}\]
To ko"nczy dow"od (\ref{kk1}).


Je"sli odejmiemy wzory
\[\begin{array}{rl}
r(m+1)p_{m+1}&=
\sum_{k=0}^m Cr^{-m+k+1}p_{k},\\[2mm]
mp_{m}&=
\sum_{k=0}^ {m-1}Cr^{-m+k+1}p_{k},
\end{array}\]
to dostaniemy
\[r(m+1)p_{m+1}=(Cr+m)p_m.\]
Wynika st"ad natychmiast
"re
\[\lim_{m\to\infty}\frac{p_{m+1}}{p_m}=r^{-1}.\]
Czyli na mocy kryterium d'Alemberta, szereg 
\[\sum_{k=0}^\infty p_kz^k\]
jest 
zbie"rny w kole $K(0,r)$.
Zatem r"ownie"r  szereg 
\[\sum_{k=0}^\infty v_kz^k\]
jest 
zbie"rny w kole $K(0,r)$.

Powy"rsze rozumowanie mo"remy przeprowadzi"c dla dowolnego ko"la
zawartego w $\Omega$. W ten spos"ob, poniewa"r $\Omega$ jest sp"ojny,
 mo"remy przed"lu"ry"c funkcj"e $v(z)$
na ca"ly obszar $\Omega$. Jego jednosp"ojno"s"c gwarantuje, "re nie
dostaniemy funkcji wieloznacznej.
 \qed

\bex
\[(\p_z -1)v(z)=0,\ \ v(0)=1.\]
Podstawiamy
\[v(z)=\sum_{n=0}^\infty v_nz^n.\]
Dostajemy wz"or rekurencyjny;
\[nv_n=v_{n-1}.\]
Czyli
\[v(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!},\ z\in\cc.\]
Oczywi"scie, $v(z)=\e^z$.
\eex

\bex 
Niech $\mu\in\cc$, $z\neq-1$
\[\left(\p_z-\mu(z+1)^{-1}\right)v(z), \ \ v(0)=1.\]
Podstawiamy
\[v(z)=\sum_{n=0}^\infty v_nz^n.\]
Dostajemy wz"or rekurencyjny;
\[nv_n=(\mu-n+1)v_{n-1}.\]
Czyli
\[v(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{\mu\dots(\mu-n+1)z^n}{n!},\ |z|<1.\]
Oczywi"scie, $v(z)=(1+z)^\mu$.
\eex

Rozwa"rmy teraz r"ownanie skalarne drugiego rz"edu
\beq\left(\p_z^2+c(z)\p_z+d(z)\right)u(z)=0.\label{rr2}\eeq
\bed M"owimy, "re punkt $z_0$ jest regularnym punktem r"ownania (\ref{rr2}),
je"sli $c(z)$ i $d(z)$ s"a analityczne w $z_0$. \eed


\bep
Niech $c(z),$ $d(z)$ b"ed"a holomorficzne w sp"ojnym jednosp"ojnym
zbiorze otwartym
 $\Omega$. Wtedy zagadnienie
\beq\left\{
\begin{array}{l}
\left(\p_z^2+c(z)\p_z+d(z)\right)u(z)=0\\[2mm]
u(z_0)=w_0,\ \p_zu(z_0)=w_1,
\end{array}\right.\label{zd2}\eeq
ma jedno i tylko jedno rozwi"azanie w $\Omega$.
\eep

\proof
Zdefiniujmy
\[v(z):=\left[\begin{array}{c}u(z)\\u'(z)\end{array}\right],\ \ 
w:=\left[\begin{array}{c}w_0\\w_1\end{array}\right]\]
oraz
\[A(z):=\left[\begin{array}{cc}0&1\\
-d(z)&-c(z)\end{array}\right]\]
Wtedy (\ref{zd2}) mo"remy przepisa"c w postaci
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\d v(z)}{\d z}=A(z)v(z),\\[2mm]
v(z_0)=w.\label{zd1c}
\end{array}\right.\]
i zastosowa"c twierdzenie \ref{zd3}.
\qed

Podajmy jeszcze wz"or rekurencyjny na wsp"o"lczynniki
rozwini"ecia
\[u(z):=\sum_{k=0}^\infty u_kz^k.\]
dla rozwi"azania r"ownania
\[\left(b(z)\p_z^2+c(z)\p_z+d(z)\right)u(z)=0,\]
gdzie $b(0)\neq0$.
Mamy:
\[\left\{\begin{array}{l}
u_0=w_0,\ \ u_1=w_1,\\[2mm]
\sum_{k=0}^m k(k-1)u_{k}b_{m-k}+\sum_{k=0}^{m-1} kc_{m-k-1}u_{k}
+\sum_{k=0}^{m-2} d_{m-k-2}u_{k}=0.\end{array}\right.\]


\bex
Za"l"o"rmy, "re $A(z)$ jest macierz"a $2\times2$. Wtedy je"sli
$v(z)$ spe"lnia (\ref{rr1}), to 
wsp"o"lrz"edne $ v_1,v_2$ spe"lniaj"a r"ownanie drugiego stopnia
\beq(\p_z^2-\Tr A(z)\p_z+\det A(z))u(z)=0.
\label{qwerty}\eeq

Za"l"o"rmy na przyk"lad, "re $A(z)=B+Cz$. Wtedy (\ref{qwerty})
przybiera posta"c
\[
(\p_z^2+(b_0+b_1z)\p_z+c_0+c_1z+c_2 z^2)u(z)=0,\]
gdzie
\[\begin{array}{l}
b_0=-\Tr B,\ \ \ \ \ b_1=-\Tr C,\\[2mm]
c_0=\det B, \ \ \ c_1=\det(B+C)-\det B-\det C,\ \ \ c_2=\det C.
\end{array}\]\eex

\subsection{Punkt regularny w niesko"nczono"sci}

\bed Za"l"o"rmy, "re $A(z)$ jest zdefiniowane dla $|z|>R$.
M"owimy, "re $\infty$ jest punktem regularnym r"ownania (\ref{rr1}), gdy po
zamianie zmiennych $w=z^{-1}$ dostajemy punkt regularny w $0$.
\eed

Oczywi"scie, $\p_z=-w^2\p_w$. Dlatego po zamianie zmiennych
(\ref{rr1}) zmienia si"e w r"ownanie
\[\p_wv(w^{-1})=-w^{-2}A(w^{-1})v(w^{-1}).\]
Dlatego $\infty$ jest punktem regularnym wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje granica 
\[\lim_{z\to\infty}z^2A(z).\]

\bet Niech $\infty$ b"edzie regularnym punktem osobliwym. Wtedy
dla zadanego $w\in\cc^n$, istnieje dok"ladnie jedno analityczne
w niesko"nczono"sci rozwi"azanie
zagadnienia
\beq
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\d v(z)}{\d z}=A(z)v(z),\\[2mm]
\lim_{z\to\infty}v(z)=w.
\end{array}\right.\label{zd4c}\eeq
\eet


Rozwa"rmy teraz r"ownania drugiego rz"edu postaci (\ref{rr2}).
\bed Za"l"o"rmy, "re $c(z)$, $d(z)$ s"a zdefiniowane dla $|z|>R$.
M"owimy, "re $\infty$ jest punktem regularnym r"ownania (\ref{rr2}), gdy po
zamianie zmiennych $w=z^{-1}$ dostajemy punkt regularny w $0$.
\eed


Zamiana zmiennych prowadzi do r"ownania
\[\Big(\p_w^2+(2w^{-1}-w^{-2}c(w^{-1}))\p_w+w^{-4}d(w^{-1})\Big)u(w^{-1})=0.\]
Zatem $\infty$ jest punktem regularnym, gdy istniej"a granice
\[\lim_{z\to\infty}(2z-z^2c(z)), \ \ \ \ \lim_{z\to\infty}z^4d(z).\]

\bet Niech $\infty$ b"edzie regularnym punktem r"ownania. Wtedy
dla zadanych $w_0$, $w_{1}$ istnieje dok"ladnie jedno
analityczne w niesko"nczono"sci rozwi"azanie zagadnienia
\beq\left\{
\begin{array}{l}
\left(\p_z^2+c(z)\p_z+d(z)\right)u(z)=0\\[2mm]
\lim_{z\to\infty}u(z)=w_0,\ \lim_{z\to\infty}(u(z)-w_0)z=w_1.
\end{array}\right.\label{zd2c}\eeq
\eet

\subsection{Regularne punkty osobliwe.}
Rozwa"rmy teraz r"ownanie r"o"rniczkowe (\ref{zd4})
dla kt"orego prawa strona  ma osobliwo"sci. 

\begin{definition}
M"owimy, "re r"ownanie 
\beq\frac{\d v(z)}{\d z}=\tilde A(z)v(z)\label{rr3}\eeq
ma
w $z_0$ {\em regularny punkt osobliwy}, gdy $A(z)$ ma w $z_0$
biegun co najwy"rej pierwszego rz"edu. 
\end{definition}

Mo"rna wtedy zapisa"c (\ref{zd4}) w postaci
\[(z-z_0)\p_zv(z)=A(z)v(z),\]
gdzie $A(z)$ jest holomorficzne w otoczeniu $z_0$.
Warto"sci w"lasne macierzy $A(z_0)$ nazywamy indeksami punktu osobliwego
$z_0$. Opiszmy teraz metod"e znajdowania rozwi"aza"n wok"o"l regularnego
punktu osobliwego. Dla uproszczenia przyjmiemy, "re tym punktem jest $0$.

\bet
Niech $\Omega$ b"edzie sp"ojnym jednosp"ojnym zbiorem otwartymn
w $\cc$ zawieraj"acym $0$. Niech 
\[\Omega\ni z\mapsto A(z)=\left[\begin{array}{ccc}a_{11}(z)&\dots&a_{1n}(z)\\
&\dots&\\a_{n1}(z)&\dots&a_{nn}(z)\end{array}\right]
\]
b"edzie funkcj"a holomorficzn"a o warto"sciach w macierzach $n\times n$.
Niech $w\in\cc^n$ i $\lambda\in\cc$ spe"lniaj"a
\beq\begin{array}{l}
(A(0)-\lambda)w=0,\\[2mm]
\lambda+m\ \hbox{nie jest warto"sci"a w"lasn"a $A(0)$ dla }
m=1,2,\dots.\end{array}\eeq
Wtedy istnieje jedna i tylko jedna
funkcja $\tilde v(z)$ holomorficzna na $\Omega$ taka,
"re $v(z):=z^\lambda\tilde v(z)$
jest rozwi"azaniem
r"ownania
\beq
\left\{\begin{array}{l}
z\frac{\d v(z)}{\d z}=A(z)v(z),\\[2mm]
\lim\limits_{z\to0}z^{-\lambda}v(z)=w.
\end{array}\right.\label{zd4a}\eeq
 
\label{zd3a}\eet

\proof
Ograniczmy si"e najpierw do ko"la $K(0,r)$ takiej, "re
$\overline{K(0,r)}\subset\Omega$.

Niech
\[A(z)=\sum_{k=0}^\infty A_kz^k\]
Wtedy szereg 
\[v(z):=z^\lambda\sum_{k=0}^\infty v_kz^k,\]
gdzie
\[\left\{\begin{array}{l}
v_0=w\\[2mm]
v_{m}:=(\lambda+m-A_0)^{-1}\sum_{k=0}^{m-1} A_{m-k}v_{k}.\end{array}\right.\]
jest jedynym szeregiem formalnie spe"lniaj"acym r"ownanie (\ref{zd4a}).

Poka"remy, "re szereg ten jest zbie"rny w kole $K(0,r)$.
Wiemy z nier"owno"sci Cauchy'ego, "re 
\[\|A_k\|\leq Cr^{-k}.\]
Je"sli po"lo"rymy
\[\left\{\begin{array}{l}
p_0=\|w\|\\[2mm]
p_{m}:=\left\|(\lambda+m-A_0)^{-1}\right\|
\sum_{k=0}^{m-1} Cr^{-m+k}p_{k},\end{array}\right.\]
to mo"remy dowie"s"c indukcyjnie, "re
\[\|v_m\|\leq p_m.\]

Je"sli odejmiemy wzory
\[\begin{array}{rl}
r\left\|(\lambda+m+1-A_0)^{-1}\right\|^{-1}p_{m+1}&=
\sum_{k=0}^m Cr^{-m+k}p_{k},\\[2mm]
\left\|(\lambda+m-A_0)^{-1}\right\|^{-1}p_{m}&=
\sum_{k=0}^ {m-1}Cr^{-m+k}p_{k},
\end{array}\]
to dostaniemy
\[r
\left\|(\lambda+m+1-A_0)^{-1}\right\|^{-1}p_{m+1}=\left(C+
\left\|(\lambda+m-A_0)^{-1}\right\|^{-1})\right)p_m.\]
"Latwo si"e przekona"c, "re
\[\lim_{m\to\infty}m\left\|(\lambda+m-A_0)^{-1}\right\|=1.\]
Wynika st"ad natychmiast
"re
\[\lim_{m\to\infty}\frac{p_{m+1}}{p_m}=r^{-1}.\]
Czyli na mocy kryterium d'Alemberta, szereg definiuj"acy $v(z)$ jest
zbie"rny w kole $K(0,r)$. 

Stosuj"ac Twierdzenie \ref{zd3} mo"remy przed"lu"ry"c $\tilde v(z)$ na
ca"ly obszar $\Omega$. \qed


Rozwa"rymy teraz r"ownania drugiego rz"edu.

\begin{definition}
M"owimy, "re r"ownanie 
\[\left(\p_z^2+\tilde b(z)\p_z+\tilde c(z)\right)u(z)=0\]
ma
w $z_0$ {\em regularny punkt osobliwy}, gdy $\tilde b(z)$ ma w $z_0$
biegun co najwy"rej pierwszego rz"edu a $\tilde c(z)$ ma w $z_0$
biegun co najwy"rej drugiego rz"edu
\end{definition}

Dla uproszczenia za"l"o"rmy, "re $z_0=0$. Mo"remy wtedy zapisa"c
powy"rsze r"ownanie w formie:
\[\left(z^2\p_z^2+b(z)z\p_z+c(z)\right)u(z)=0.\]

\bep
Niech $b(z),$ $c(z)$ b"ed"a holomorficzne w jednosp"ojnym
obszarze $\Omega$ zawieraj"acym $0$. 
Niech $\lambda\in\cc$ spe"lnia
\[\begin{array}{l}
\lambda(\lambda-1)+\lambda b(0)+c(0)=0,\\[2mm]
(\lambda+m)(\lambda+m-1)+(\lambda+m) b(0)+c(0)\neq0,\ \ m=1,2,\dots.
\end{array}\]
Wtedy istnieje jedna i tylko jedna funkcja $\tilde u(z)$
holomorficzna  w  $\Omega$,
taka, "re $u(z):=z^\lambda \tilde u(z)$ jest rozwi"azaniem zagadnienia
\beq\left\{
\begin{array}{l}
\left(z^2\p_z^2+b(z)z\p_z+c(z)\right)u(z)=0,\\[2mm]
\lim\limits_{z\to0}z^{-\lambda}u(z)=1,
\end{array}\right.\label{zd2a}\eeq

\label{met1}

\eep

\proof
Zdefiniujmy
\[v(z):=\left[\begin{array}{c}u(z)\\zu'(z)\end{array}\right],\ \ 
w:=\left[\begin{array}{c}1\\ \lambda \end{array}\right]\]
oraz
\[A(z):=\left[\begin{array}{cc}0&1\\
-c(z)&1-b(z)\end{array}\right].\]


Mamy wtedy
\[A(z)v(z)=
\left[\begin{array}{c}zu'(z)\\-c(z)u(z)-b(z)zu'(z)+zu'(z)\end{array}\right],\]
\[z\p_z\left[\begin{array}{c}u(z)\\zu'(z)\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}zu'(z)\\z^2u''(z)+zu'(z)\end{array}\right],\]
\[z^{-\lambda}v(z)=\left[\begin{array}{c}\tilde u(z)\\z\tilde u'(z)
+\lambda\tilde u(z)\end{array}\right].\]

Zatem (\ref{zd2a}) mo"remy przepisa"c w postaci
\[
\left\{\begin{array}{l}
z\frac{\d v(z)}{\d z}=A(z)v(z),\\[2mm]
\lim\limits_{z\to0}z^{-\lambda}v(z)=w.
\end{array}\right.\]
i zastosowa"c twierdzenie \ref{zd3a}.
\qed

Podajmy jeszcze wz"or rekurencyjny na wsp"o"lczynniki
rozwini"ecia
\[u(z):=\sum_{k=0}^\infty u_kz^{\lambda+k}\]
dla r"ownania
\[\left(a(z)z^2\p_z^2+b(z)z\p_z+c(z)\right)u(z)=0,\]
gdzie $a(0)\neq0$.
Mamy:
\[\left\{\begin{array}{rl}
u_0&=1,\\[3mm]u_m&=-
\left((\lambda+m)(\lambda+m-1)a_0+(\lambda+m)b_0+c_0\right)^{-1}\\[3mm]
&\ \times\sum_{k=0}^{m-1} \big(
(\lambda+k)(\lambda+k-1)a_{m-k}
+(\lambda+k)b_{m-k}
+ c_{m-k}\big)u_{k}.\end{array}\right.\]

Czyli, je"sli szukamy rozwi"aza"n r"ownania postaci
\[\left(a(z)z^2\p_z^2+b(z)z\p_z+c(z)\right)u(z)=0,\]
gdzie $a(0)\neq0$, to najpierw powinni"smy znale"r"c pierwiastki $\lambda_1,\lambda_2$
tak zwanego r"ownania wska"znikowego:
\[\lambda(\lambda-1)a(0)+\lambda b(0)+c(0)=0.\]
Je"sli $\lambda_1-\lambda_2\not\in\zz$, to mo"remy znale"r"c
dwa liniowo niezale"rne rozwi"azania zachowuj"ace si"e w zerze jak
$z^{\lambda_1}$ i $z^{\lambda_1}$. Je"sli 
 $\lambda_1-\lambda_2\in\zz$, to w og"olno"sci mo"remy 
 wy"rej opisan"a metod"a znale"r"c tylko rozwi"azanie
 o zachowaniu $z^{\lambda_1}$, gdzie $\lambda_1-\lambda_2\geq0$.
 

\bex Niech $G$, $H$ b"ed"a macierzami $n\times n$. 
Wtedy nast"epuj"ace r"ownanie ma regularny punkt osbliwy w $0$:
\[\p_zv(z)=(Gz^{-1}+H)v(z).\]
Je"sli $n=2$, to r"ownanie na wsp"o"lrz"edne $v_1,$ $v_2$ ma posta"c:
\[
(z^2\p_z^2+(b_1z+b_2z^2)\p_z+c_0+c_1z+c_2 z^2)u(z)=0,\]
gdzie
\[\begin{array}{l}
b_1=-\Tr G,\ \ \ \ \ b_2=-\Tr H,\\[2mm]
c_0=\det G, \ \ \ c_1=\det(G+H)-\det G-\det H,\ \ \ c_2=\det H.
\end{array}\]\eex

\subsection{Regularny punkt osobliwy w niesko"nczono"sci}

\bed Za"l"o"rmy, "re $\tilde A(z)$ jest zdefiniowane dla $|z|>R$.
M"owimy, "re $\infty$ jest  regularnym punktem osobliwym
r"ownania (\ref{rr3}), gdy po
zamianie zmiennych $w=z^{-1}$ dostajemy  regularny punkt osobliwy w $0$.
\eed


?latwo zauwa"ry"c, "re r"ownanie (\ref{rr3})
 ma regularny punkt osobliwy w $\infty$, gdy istnieje granica
\[\lim_{z\to\infty}z\tilde A(z).\]
Wtedy mo"remy przepisa"c r"ownanie (\ref{rr3}) w postaci
\[z\p_zv(z)=A(z)v(z),\]
gdzie $A(z)$ jest analityczne w $\infty$. Warto"sci w"lasne
$-A(\infty)$ nazywamy indeksami punktu $\infty$.


\bet
Niech $\Omega$ b"edzie sp"ojnym jednosp"ojnym zbiorem otwartym
w $\bar\cc$ zawieraj"acym $\infty$. Niech 
\[\Omega\ni z\mapsto A(z)=\left[\begin{array}{ccc}a_{11}(z)&\dots&a_{1n}(z)\\
&\dots&\\a_{n1}(z)&\dots&a_{nn}(z)\end{array}\right]
\]
b"edzie funkcj"a holomorficzn"a o warto"sciach w macierzach $n\times n$.
Niech $w\in\cc^n$ i $\lambda\in\cc$ spe"lniaj"a
\beq\begin{array}{l}
(A(\infty)+\lambda)w=0,\\[2mm]
\lambda+m\ \hbox{nie jest warto"sci"a w"lasn"a $A(\infty)$ dla }
m=1,2,\dots.\end{array}\eeq
Wtedy istnieje jedna i tylko jedna
funkcja $\tilde v(z)$ holomorficzna na $\Omega$ taka,
"re $v(z):=z^{-\lambda}\tilde v(z)$
jest rozwi"azaniem
r"ownania
\beq
\left\{\begin{array}{l}
z\frac{\d v(z)}{\d z}=A(z)v(z),\\[2mm]
\lim\limits_{z\to\infty}z^{\lambda}v(z)=w.
\end{array}\right.\label{zd4aa}\eeq
\eet

\bex  Ka"rde r"ownanie pierwszego rz"edu, kt"ore w $\bar\cc$ ma wy"l"acznie punkty
regularne pr"ocz regularnych punkt"ow osobliwych w $z_1$,
$z_2$ i $\infty$ jest postaci
\beq
\p_zv(z)=\Big(A_1(z-z_1)^{-1}+A_2(z-z_2)^{-1}\Big)v(z)
\label{row5}\eeq

Je"sli $n=1$, $A_1=a_1$, $A_2=a_2$, to ma ono indeksy 
\[z_1:\ \ \ a_1,\ \ \ \ \ \  \ \ z_2:\ \ \ a_2,\ \ \ \ \ \ \ \ \
 \ \infty:\ \ \ -a_1-a_2,\]
i rozwi"azanie $(z-z_1)^{a_1}(z-z_2)^{a_2}$.

Je"sli $n=2$, to wsp"o"lrz"edne spe"lniaj"a r"ownanie
\[\begin{array}{l}
\Big(\p_z^2+\Big(g_1(z-z_1)^{-1}+g_2(z-z_2)^{-1}\Big)\p_z\\[3mm]
+h_1(z-z_1)^{-2}+h_2(z-z_2)^{-2}+h(z-z_1)^{-1}(z-z_2)^{-1}\Big)u(z)=0.
\end{array}
\] gdzie
\[\begin{array}{l}
g_1=-\Tr A_1, \ \ \ g_2=-\Tr A_2\\[3mm]
h_1 =\det A_1,\ \ h=\det(A_1+A_2)-\det A_1-\det A_2,\ \ \ h_2=\det A_2.
\end{array}\]
(Patrz (\ref{row4})).
\eex
 


\bep
Niech $b(z),$ $c(z)$ b"ed"a holomorficzne w jednosp"ojnym
sp"ojnym zbiorze otwartym $\Omega\subset\bar\cc$ zawieraj"acym $\infty$. 
Niech $\lambda\in\cc$ spe"lnia
\[\begin{array}{l}
\lambda(\lambda+1)-\lambda b(\infty)+c(\infty)=0,\\[2mm]
(\lambda+m)(\lambda+m+1)-(\lambda+m) b(\infty)+c(\infty)\neq0,\ \ m=1,2,\dots.
\end{array}\]
Wtedy istnieje jedna i tylko jedna funkcja $\tilde u(z)$
holomorficzna  w  $\Omega$,
taka, "re $u(z):=z^{-\lambda} \tilde u(z)$ jest rozwi"azaniem r"ownania
\beq\left\{
\begin{array}{l}
\left(z^2\p_z^2+b(z)z\p_z+c(z)\right)u(z)=0,\\[2mm]
\lim\limits_{z\to\infty}z^{\lambda}u(z)=1,
\end{array}\right.\label{zd2aa}\eeq
\eep

\bex Ka"rde r"ownanie drugiego rz"edu, kt"ore w $\bar\cc$ ma wy"l"acznie punkty
regularne pr"ocz regularnych punkt"ow osobliwych w $0$ i
$\infty$ jest postaci
\beq(z^2\p_z^2+bz\p_c+c)u(z)=0.\label{row1}\eeq
Bywa ono nazywane {\bf r"ownaniem jednorodnym Eulera}.
Jego r"ownania wska"znikowe maj"a posta"c
\[\begin{array}{l}
0:\ \ \ \ \lambda(\lambda-1)+b\lambda+c=0,\\[2mm]
\infty:\ \ \ \ \lambda(\lambda+1)-b\lambda+c=0.
\end{array}\]
Je"sli $\rho,\tilde\rho$ s"a indeksami r"ownania w $0$, to
 $-\rho,-\tilde\rho$ s"a indeksami w $\infty$. Rozwi"azania s"a
r"owne $z^\rho$, $z^{\tilde\rho}$ je"sli $\rho\neq\tilde\rho$ i
$z^\rho$, $z^\rho\log z$ gdy $\rho=\tilde\rho$. Mo"rna r"ownanie
(\ref{row1})
zapisa"c w postaci
\[(z^2\p_z+(1-\rho-\tilde\rho)z\p_z+\rho\tilde\rho)u(z)=0.\]
\eex

\bex  Ka"rde r"ownanie  drugiego rz"edu, kt"ore w $\bar\cc$ ma wy"l"acznie punkty
regularne pr"ocz regularnych punkt"ow osobliwych w $z_1$ i
$z_2$ jest postaci
\beq
\Big(\p_z^2+\Big(g_1(z-z_1)^{-1}+g_2(z-z_2)^{-1}\Big)\p_z
+h(z-z_1)^{-2}(z-z_2)^{-2}\Big)u(z)=0,\label{row2}\eeq
gdzie $g_1+g_2=2$. Mamy r"ownania wska"znikowe
\[\begin{array}{l}
z_1:\ \ \ \lambda(\lambda-1)+g_1\lambda+h(z_1-z_2)^{-2}=0,\\[3mm]
z_2:\ \ \ \lambda(\lambda-1)+g_2\lambda+h(z_1-z_2)^{-2}=0.\end{array}
\]
Je"sli $\rho,$ $\tilde\rho$ s"a indeksami w $z_1$, to 
 $-\rho,$ $-\tilde\rho$ s"a indeksami w $z_2$. Rozwi"azania
maj"a posta"c
$(z-z_1)^\rho(z-z_2)^{-\rho}$, $(z-z_1)^{\tilde\rho}(z-z_2)^{-\tilde\rho}$,
je"sli $\rho\neq\tilde\rho$ i $(z-z_1)^\rho(z-z_2)^{-\rho}$,
$(z-z_1)^\rho(z-z_2)^{-\rho}\log(z-z_1)(z-z_2)^{-1}$, je"sli $\rho=\tilde\rho$.

Rownanie (\ref{row2}) mo"rna przepisa"c w postaci
\[\begin{array}{l}
\Big(\p_z^2+\Big((1-\rho-\tilde\rho)(z-z_1)^{-1}+
(1+\rho+\tilde\rho)(z-z_2)^{-1}\Big)\p_z\\[3mm]
+\rho\tilde\rho(z_1-z_2)^2(z-z_1)^{-2}(z-z_2)^{-2}\Big)u(z)=0.
\end{array}\]\eex


\bex  Ka"rde r"ownanie drugiego rz"edu, kt"ore w $\bar\cc$ ma wy"l"acznie punkty
regularne pr"ocz regularnych punkt"ow osobliwych w $z_1$,
$z_2$ i $\infty$ jest postaci
\beq\begin{array}{l}
\Big(\p_z^2+\Big(g_1(z-z_1)^{-1}+g_2(z-z_2)^{-1}\Big)\p_z\\[3mm]
+h_1(z-z_1)^{-2}+h_2(z-z_2)^{-2}+h(z-z_1)^{-1}(z-z_2)^{-1}\Big)u(z)=0.
\end{array}
\label{row3}\eeq
Jest to szczeg"olna posta"c {\bf r"ownania Riemanna} (albo {\bf
r"ownania Riemanna-Papperitza})
 Mamy r"ownania wska"znikowe
\[\begin{array}{l}
z_1:\ \ \ \lambda(\lambda-1)+g_1\lambda+h_1=0,\\[3mm]
z_2:\ \ \ \lambda(\lambda-1)+g_2\lambda+h_2=0,\\[3mm]
\infty:\ \ \ \lambda(\lambda+1)-(g_1+g_2)\lambda+h_1+h_2+h=0.
\end{array}
\]
Je"sli $\rho_1$, $\tilde\rho_1$ s"a indeksami w $z_1$,
 $\rho_2$, $\tilde\rho_2$ s"a indeksami w $z_2$
 i  $\rho_3$, $\tilde\rho_3$ s"a indeksami w $\infty$,
 to
 \beq
  \rho_1+\tilde\rho_1+ \rho_2+\tilde\rho_2+ \rho_3+\tilde\rho_3=1.\label{row3b}
  \eeq
  R"ownanie (\ref{row3}) mo"rna zapisa"c w postaci
  \beq
\begin{array}{l}\Big(\p_z^2+\Big((1-\rho_1-\tilde\rho_1)(z-z_1)^{-1}
+(1-\rho_2-\tilde\rho_2)(z-z_2)^{-1}\Big)\p_z\\[3mm]
+\rho_1\tilde\rho_1(z_1-z_2)(z-z_1)^{-2}(z-z_2)^{-1}
+\rho_2\tilde\rho_2(z_2-z_1)(z-z_2)^{-2}(z-z_1)^{-1}\\[3mm]
+\rho_3\tilde\rho_3(z-z_1)^{-1}(z-z_2)^{-1}\Big)u(z)=0.\end{array}
\label{row3a}\eeq
Oznaczmy operator r"o"rniczkowy wyst"epuj"acy w (\ref{row3a}) przez
\[\P\left[\begin{array}{ccc}
z_1,&z_2,&\infty\\ \rho_1,&\rho_2,&\rho_3\\
\tilde\rho_1,&\tilde\rho_2,&\tilde\rho_3\end{array}\right].\]
Wtedy przez podstawienie
$u(z_1(1-t)+z_2t)=t^{\rho_1}(1-t)^{\rho_2}$ r"ownanie
(\ref{row3a}) przechodzi w 
\beq\P\left[\begin{array}{ccc}
0,&1,&\infty\\ 0,&0,&\rho_3-\rho_1-\rho_2\\
\tilde\rho_1-\rho_1,&\tilde\rho_2-\rho_2,&\tilde\rho_3-rho_1-\rho_2
\end{array}\right]w(t)=0.\label{row4}\eeq
R"ownanie (\ref{row4}) mo"rna parametryzowa"c trzema dowolnymi
liczbami $a,b,c$:
\beq\P\left[\begin{array}{ccc}
0,&1,&\infty\\ 0,&0,&a\\
1-c,&c-a-b,&b
\end{array}\right]w(t)=0.\label{row4a}\eeq
Je"sli pomno"rymy (\ref{row4a}) prez $t(1-t)$, to dostajemy
r"ownanie hipergeometryczne (Patrz podrozdzia"l (\ref{hipp})).
\eex


 
 
\subsection{Wro"nskian}



Niech $u_1(z)$, $u_2(z)$ b"edzie par"a rozwi"aza"n r"ownania
\[\big(\p_z^2+b(z)\p_z+c(z)\big)u(z)=0.\]
Wro"nskian tej pary jest zdefiniowany jako
\[W(u_1,u_2)(z)=W(z):=u_1(z)u'_2(z)-u'_1(z)u_2(z).\]
Spe"lnia on r"ownanie
\[\big(\p_z+b(z)\big)W(z)=0.\]
Je"sli \[\tilde u_1(z)=a_{11}u_1(z)+a_{12}u_2(z),\ \ \ \ \ \ \ 
\tilde u_2(z)=a_{21}u_1(z)+a_{22}u_2(z)\]
jest drug"a par"a rozwi"aza"n, to mamy
\[W(\tilde u_1,\tilde u_2)=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})W(u_1,u_2).\]

\section{R"ownania typu hipergeometrycznego} 

\subsection{Klasyfikacja}
Nast"epuj"ace r"ownania stanowi klas"e {\em r"owna"n typu hipergeometrycznego}.
\beq\left(\sigma(z)\p_z^2+\tau(z)\p_z+\lambda\right) u(z)=0
\label{e1}\eeq
gdzie $\sigma(z),\ \tau(z)$ s"a wielomianami takimi, "re
\[{\deg}(\sigma)\leq 2,\ 
{\deg}(\tau)\leq 1.\]

Niech $\rho(z)$ spe"lnia
\beq(\sigma(z)-\tau(z)+\sigma'(z))\rho(z)=0,\label{e1b}\eeq
(co definiuje $\rho(z)$ z dok"ladno"sci"a do czynnika). Wtedy  (\ref{e1})
jest r"ownowa"rne
\beq
\left(\rho^{-1}(z)\p_z\sigma(z)\rho(z)\p_z+\lambda\right) u(z)=0.
\label{e1a}\eeq


Sklasyfikujmy typy (\ref{e1})
przy za"lo"reniu $\sigma(z)\neq0$.



\noindent
{\bf Typ 0.0}\newline
 $\deg \sigma=0$,
  $\deg\tau=0$ (r"ownanie ze sta"lymi wsp"o"lczynnikami).
 \[(\p_z^2+c\p_z+a)u(z)=0,\ \ \ \rho(z)=\e^{cz}.\]

Od tej chwili b"edziemy upraszczali r"ownania dziel"ac przez sta"l"a,
stosuj"ac translacj"e i skalowanie.


\noindent
{\bf Typ 0.1}\newline
 $\deg \sigma=0$, $\deg\tau=1$ (r"ownanie Hermite'a)
 \[(\p_z^2-2 z\p_z+2a)u(z)=0,\ \ \ \rho(z)=\e^{-z^2}.\]

\noindent
{\bf Typ 1.0a}\newline
 $\deg \sigma=1$, $\deg\tau=0$, $\lambda=0$
(redukuje si"e do r"ownania 1-go stopnia)
 \[(z\p_z^2+c\p_z)u(z)=0,\ \ \ \rho(z)=z^{c-1}.\]

\noindent
{\bf Typ 1.0b}\newline
 $\deg \sigma=1$, $\deg\tau=0$, $\lambda\neq0$
  (r"ownanie  hipergeometric typu ${}_0F_1$,
r"ownowa"rne r"ownaniu Bessela).
 \[(z\p_z^2+c\p_z-1)u(z)=0,\ \ \ \rho(z)=z^{c-1}.\]

\noindent
{\bf Typ 1.1}\newline
 $\deg \sigma=1$, $\deg\tau=1$,
  (r"ownanie hipergeometryczne typu ${}_1F_1$, czyli
 r"ownanie konfluentne).
 \[(z\p_z^2+(c-z)\p_z-a)u(z)=0,\ \ \ \rho(z)=\e^{-z}z^{c-1}.\]
 
 
\noindent
{\bf Typ 2.1a}\newline
$\deg\sigma=2$, $\sigma(z)$ ma podw"ojny pierwiastek w  $z_0$,
 $\tau(z_0)=0$ (``r"ownanie jednorodne'' Eulera).
\[\left(z^2\p_z^2+bz\p_z+a\right)u(z)=0,\ \ \ \rho(z)=z^{b-2}.\]

 

\noindent
{\bf Typ 2.1b}\newline
$\deg\sigma=2$, $\sigma(z)$
ma podw"ojny pierwiastek w $z_0$, $\tau(z_0)\neq0$
 (r"ownanie hipergeometryczne typu ${}_2F_0$
r"ownowa"rne r"ownaniu konfluentnemu).
\[\left(z^2\p_z^2+(1+(1+a+b)z)\p_z+ab\right)u(z)=0,\ \ \
 \rho(z)=z^{a+b-1}\e^{-\frac{1}{z}}\]


\noindent
{\bf Typ 2.2}\newline
$\deg\sigma=2$, $\sigma(z)$ ma 2 r"o"rne pierwiastki
 (r"ownanie hipergeometryczne typu ${}_2F_1$,
lub po prostu r"ownanie hipergeometryczne).
\[\left(z(1-z)\p_z^2+(c-(a+b+1)z)\p_z-ab\right)u(z)=0
,\ \ \ \rho(z)=z^{c-1}(1-z)^{a+b-c}.\]

\subsection{Rozwi"azania r"ownania typu ${}_0F_1$}
 
 
 \[(z\p_z^2+c\p_z-1)u(z)=0\] 
 ma w 0 indeksy $0$, $1-c$. R"ownanie na wsp"o"lczynniki szeregu
 \[a_n(n+\lambda)(n+\lambda-1+c)=a_{n-1}.\]
 Rozwi"azania
 \[\begin{array}{l}
 F(-;c;z)=\sum_{n=0}^\infty
 \frac{1}{n!(c)_n}z^n,\\[3mm]
  z^{1-c}F(-;2-c;z)=\sum_{n=0}^\infty
 \frac{1}{n!(2-c)_n}z^{1-c+n}.\end{array}\]

\subsection{Rozwi"azania r"ownania konfluentnego}

 \[(z\p_z^2+(c-z)\p_z-a)u(z)=0,\]
 ma w 0 indeksy $0$, $1-c$. R"ownanie na wsp"o"lczynniki szeregu
 \[a_n(n+\lambda)(n+\lambda-1+c)=(n+\lambda-1+a)a_{n-1}.\]
 Rozwi"azania
 \[\begin{array}{l}
 F(a;c;z)=\sum_{n=0}^\infty
 \frac{(a)_n}{n!(c)_n}z^n,\\[3mm]
  z^{1-c}F(a-c+1;2-c;z)=\sum_{n=0}^\infty
 \frac{(a-c+1)_n}{n!(2-c)_n}z^{1-c+n}.\end{array}\]

\subsection{Rozwi"azania r"ownania hipergeometrycznego}
\label{hipp}
\[\left(z(1-z)\p_z^2+(c-(a+b+1)z)\p_z-ab\right)u(z)=0\]
 ma w 0 indeksy $0$, $1-c$. R"ownanie na wsp"o"lczynniki szeregu
 \[a_n(n+\lambda)(n+\lambda-1+c)=(n+\lambda-1+a)(n+\lambda-1+b)a_{n-1}.\]
 Rozwi"azania
 \[\begin{array}{l}
 F(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^\infty
 \frac{(a)_n(b)_n}{n!(c)_n}z^n,\\[3mm]
  z^{1-c}F(a-c+1,b-c+1;2-c;z)=\sum_{n=0}^\infty
 \frac{(a-c+1)_n(b-c+1)_n}{n!(2-c)_n}z^{1-c+n}.\end{array}\]

 
 \section{R"ownanie Bessela}
\subsection{R"ownanie Bessela i pokrewne r"ownania}



{\bf R"ownanie Bessela} ma posta"c
 \[(z^2\p_z^2+z\p_z+z^2-m^2)v(z)=0.\]

W zastosowaniach cz"esto spotyka si"e  $d$-wymiarowe 
r"ownanie Bessela:
 \[(z^2\p_z^2+(d-1)z\p_z+z^2-l(l+d-2)) u(z)=0.\]
Podstawiaj"ac
 \[ u(z)=z^{1-\frac{d}{2}} v(z)\]
sprowadzamy je do r"ownania Bessela:
 \[\begin{array}{l}(z^2\p_z^2+z\p_z+z^2-(l+\frac{d}{2}-1)^2)v(z)=0.
 \end{array}\]

Podstawienie do r"ownania Bessela
\[ v(z)=z^{m}\tilde v(z)\]
prowadzi do r"ownania
\beq
(z\p_z^2+(1+2m)\p_z+z) \tilde v(z)=0.\label{ww1}\eeq


Podstawienie 
\[\begin{array}{l}
v(z)=(\frac{z}{2})^mu(-\frac{z^2}{4}),\ \ \ \ c=1+m, \ \ \ t=-\frac{z^2}{4}
\end{array}\]
prowadzi do r"ownania typu hipergeometrycznego
\[(t\p_t^2+c\p_t-1)u(t)=0.\]

Podstawienie $\sqrt{z}v(z)=w(z)$ prowadzi do r"ownania Schr\"odingera postaci
\beq\begin{array}{l}\Big(\p_z^2+(\frac{1}{4}-m^2)\frac{1}{z^2}+1\Big)w(z)=0.
\end{array}\label{ww2}\eeq

Bardziej og"olnie: podstawienie 
 $\sqrt{t}v(t^\delta)=w(t)$ prowadzi do r"ownania Schr\"odingera postaci
\beq\begin{array}{l}\Big(\p_t^2+(\delta t^{\delta-1})^2
+(\frac{1}{4}-m^2\delta^2)\frac{1}{t^2}+1\Big)w(t)=0.
\end{array}\label{ww2a}\eeq

Z tego wynika, "re je"sli $v_{\frac{1}{\rho+1}}$ jest
rozwi"azaniem r"ownania Bessela z parametrem $\frac{1}{\rho+1}$, to
\[u(t)=\sqrt{t}v_{\frac{1}{\rho+1}}\left(\frac{2}{\rho+2}t^{1+\frac{\rho}{2}}\right)\]
jest rozwi"azaniem r"ownania 
\[(\p_t^2+t^\rho)u=0.\]
\subsection{Reprezentacje ca"lkowe rozwi"aza"n r"ownania Bessela}
Rozwi"aza"n 
 r"ownania Bessela mo"rna szuka"c w postaci nast"epuj"acych ca"lek.
 
 \bet
{\bf Przedstawienia typu Bessela--Schl\"afli}
 Niech $\gamma$ b"edzie konturem 
 (na powierzchni Riemanna funkcji $t\mapsto t^{-m}$. Za"l"o"rmy,"re
 \beq\left.\left(\frac{z}{2}(t+t^{-1})+m\right)
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{1}{t^{m}}\right|_{\gamma(0)}^{\gamma(1)}=0,\label{war1}\eeq
 Wtedy dla dowolnej sta"lej $C$
 \beq
 C\int_\gamma 
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m+1}}\label{ca3}\eeq
 jest rozwi"azaniem r"ownania Bessela.
\label{repr} \eet
 
 \proof Najpierw stosujemy r"o"rniczkowanie ca"lki po parametrze $z$:
 \beq\begin{array}{l}
 (z^2\p_z^2+z\p_z+z^2-m^2)
 \int_\gamma 
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m+1}}\\[2mm]
 =\int_\gamma\left(\left(\frac{z}{2}\right)^2\left(t-t^{-1}\right)^2
 +\frac{z}{2}\left(t-t^{-1}\right)+z^2-m^2\right)
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m+1}}.
 \end{array}\label{ca1}\eeq
 Z drugiej strony, poniewa"r ca"lka z pochodnej jest r"o"rnic"a
 warto"sci funkcji na ko"ncach konturu, dostajemy
 \beq\begin{array}{ll}
 0&=\left.\left(\frac{z}{2}(t+t^{-1})+m\right)
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{1}{t^{m}}\right|_{\gamma(0)}^{\gamma(1)}\\[2mm]
 &=\int_\gamma\p_t\left(
 \left(\frac{z}{2}(t+t^{-1})+m\right)
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{1}{t^{m}}\right)\d t\\[2mm]
 &=\int_\gamma\left(\left(\frac{z}{2}\right)^2\left(t+t^{-1}\right)^2
 +\frac{z}{2}\left(t-t^{-1}\right)-m^2\right)
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m+1}}.
 \end{array}\label{ca2}\eeq
"Latwo wida"c, "re (\ref{ca1}) jest r"owne (\ref{ca2}). \qed


Istnieje te"r druga nier"ownowa"rna klasa reprezentacji ca"lkowych.
\bet {\bf Przedstawienia typu Poissona}
Niech
\[(1-t^2)^{m+\12}\e^{\i zt}\Big|_{\gamma(0)}^{\gamma(1)}=0.\]
Wtedy
\[v(z)=z^m\int_\gamma(1-t^2)^{m-\12}\e^{\i zt}\d t\]
jest rozwi"azaniem r"ownania Bessela.
\eet
\proof
\[\begin{array}{l}
(z^2\p_z^2+z\p_z+z^2-m^2)v(z)\\[3mm]
=m(m-1)v(z)+2m\i z^{m+1}\int_\gamma (1-t^2)^{m-\12}\e^{\i zt} t\d t
-z^{m+2}\int_\gamma(1-t^2)^{m-\12}\e^{\i zt} t^2\d t\\[3mm]+
mv(z)+\i z^{m+1}\int_\gamma(1-t^2)^{m-\12}\e^{\i zt}t\d t+(z^2-m^2)v(z)\\[3mm]
=2\i(m+\12)z^{m+1}\int_\gamma(1-t^2)^{m-\12}\e^{\i zt}t\d t+
z^{m+2}\int_\gamma(1-t^2)^{m+\12}\e^{\i zt}\d t\\[3mm]
=-z^{m+1}\i\int_\gamma\Big(\p_t(1-t^2)^{m+\12}\e^{\i zt}\Big)\d t=0\end{array}
\]



\subsection{Funkcja Bessela}

 
 R"ownanie Bessela ma w $0$ regularny punkt osobliwy
 z r"ownaniem wska"znikowym
 \[\lambda(\lambda-1)+\lambda-m^2=0.\]
 Indeksy r"ownania Bessela w $0$ s"a r"owne $\lambda_\pm=\pm m$.
 
 
 Metoda opisana w Stwierdzeniu \ref{met1} pozwala na znalezienie rozwi"aza"n
 r"ownania Bessela postaci
 \[v(z)=\sum_{k=0}^\infty v_kz^{k+m},\]
 przynajmniej wtedy, gdy $\lambda_+-\lambda_-=m-(-m)=2m\neq-1,-2,\dots$.
 
 Mamy nast"epuj"ace r"ownanie rekurencyjne na wsp"o"lczynniki
 \[v_{k}\left((m+k)(m+k-1)+(m+k)-m^2\right)+v_{k-2}=0.\]
 Czyli
 \[v_{k}=-\frac{v_{k-2}}{k(2m+k)}.\]
J"sli $m\neq-1,-2,\dots$, to mamy nast"epuj"ace rozwi"azanie rekurencji:
\[\begin{array}{l}
v_{2n+1}=0,\ \ 
v_{2n}=\frac{(-1)^nv_0}{2^{2n}n!(m+1)\dots(m+n)}.
\end{array}\]
(Je"sli dodatkowo $m\neq-\frac12,-\frac32,\dots$, to jest to
jedyne rozwi"azanie).
Tradycyjnie zak"ladamy, "re 
$v_0:=\frac{1}{2^m\Gamma(m+1)}$ i dostajemy
\[v_{2n}=\frac{(-1)^n}{
2^{2n+m}n!\Gamma(m+n+1)}.\]
Zauwa"rmy, "re w ten spos"ob zdefiniowane $v_k$ jest dobrze okre"slone dla
ka"rdego $m$.
Prowadzi to do nast"epuj"acej definicji.



\begin{definition}
 Funkcj"a Bessela $J_m(z)$ nazywamy 
 \[J_m(z)=
 \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n\left(\frac{z}{2}\right)^{2n+m}}
 {n!\Gamma(m+n+1)}.\]
   \end{definition}
   
   Funkcja Bessela $J_m$ jest rozwi"azaniem r"ownania Bessela
   z parametrem $\pm m$. 
   Zauwa"rmy, "re  $\frac{1}{\Gamma(m+1)}\neq0$ dla $m\neq-1,-2,\dots$
  Dla $2m\neq-1,-2,\dots$ funkcja $J_m$
   jest jedynym rozwi"azaniem r"ownania Bessela spe"lniaj"acym
 \[J_m(z)\sim\left(\frac{z}{2}\right)^m\frac{1}{\Gamma(m+1)},\
z\sim0,\]
co mo"re by"c traktowane jako definicja funkcji Bessela.
(Przez $f(z)\sim g(z)$, $z\sim 0$ rozumiemy, "re $\frac{f(z)}{g(z)}$ jest
analityczne w zerze i r"owne w zerze $1$


Je"sli $m\not\in\zz$, to funkcje $J_{-m}(z)$
i $J_m(z)$ s"a liniowo niezale"rne i rozpinaj"a przestrze"n rozwi"aza"n
r"ownania Bessela.
 

 Dla dowolnego $m$ mamy nast"epuj"ac"a reprezentacj"e
 ca"lkow"a funkcji Bessela.
 
 
 
 
 
 
 
\bet Je"sli $\Re z>0$, to
 \beq\begin{array}{ll}
 J_m(z)&=\frac{1}{2\pi \i}\int_{]-\infty,0^+,-\infty[}
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m+1}}\\[2mm]
& =\frac{1}{2\pi \i}\left(\frac{z}{2}\right)^m\int_{]-\infty,0^+,-\infty[}
 \exp\left(s-\frac{z^2}{4s}\right)
 \frac{\d s}{s^{m+1}}
.\end{array} \label{bes}\eeq
\label{rozpi}\eet

\proof
Poniewa"r
\[\lim_{\Re t\to-\infty}\left(\frac{z}{2}(t+t^{-1})+m\right)
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{1}{t^{m}}=0,\]
 zatem spe"lniony jest warunek (\ref{war1})
 dla konturu $]-\infty,0^+,-\infty[$ i 
\[v(z)=C\int_{]-\infty,0^+,-\infty[}
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m+1}}\]
 jest rozwi"azaniem r"ownania Bessela.
 
 Przez podstawienie $s=\frac{zt}{2}$ dostajemy
 \[v(z)=C\left(\frac{z}{2}\right)^m\int_{]-\infty,0^+,-\infty[}
 \exp\left(s-\frac{z^2}{4s}\right)
 \frac{\d s}{s^{m+1}}.\]
 Zatem
 \[\lim_{z\to0}v(z)\left(\frac{z}{2}\right)^{-m}=
C \int_{]-\infty,0^+,-\infty[}
 \e^s
 \frac{\d s}{s^{m+1}}
 =C\frac{2\pi \i}{\Gamma(m+1)}.\]
 Czyli je"sli $C=\frac{1}{2\pi \i}$ i $m\neq-1,-2,\dots$, to
 \[v(z)=J_m(z).\]
Na $m=-1,-2,\dots$ rozszerzamy t"e r"owno"s"c przez ci"ag"lo"s"c.
\qed

Je"sli $0<\arg z<\pi$, to odpowiednim konturem w (\ref{bes}) jest
 $]\i\infty,0^+,\i\infty[$.


Poprzez wyb"or odpowiedniego konturu i jego parametryzacji
 w Twierdzeniu \ref{repr}
dostajemy reprezentacj"e 
Schl\"afli
\[J_m(z)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos(z\sin\phi-m\phi)\d\phi
-\frac{1}{\pi}\sin(m \pi)\int_0^\infty
\e^{-z(\sh\beta+m\beta)}\d\beta,\ \ \ \ \Re z>0.\]





Mamy te"r reprezentacj"e ca"lkow"a Poissona
\[\begin{array}{l}
J_m(z)=\frac{(\frac{z}{2})^m}{\sqrt{\pi}\Gamma(m+\12)}\int_{-1}^1
(1-t^2)^{m-\12}
\e^{\i zt}\d t,\ \ \ \ \ m>-\12.\end{array}\]

A oto konturowe reprezentacje typu Poissona (pochodz"ace od Hankela):
\[
J_m(z)=\frac{1}{2\pi \i\sqrt\pi}
\Gamma(\12-m)(\frac{z}{2})^m
\int_{[1,-1^-,1^+]}
(t-1)^{m-\12}(t+1)^{m-\12},\]
\[
J_{-m}(z)=\e^{-\i\pi m}\frac{1}{2\pi \i\sqrt\pi}
\Gamma(\12-m)(\frac{z}{2})^m
\int_{[\i\infty,-1^+,1^+,\i\infty]}
(t-1)^{m-\12}(t+1)^{m-\12},\]




Funkcja Bessela i funkcje hipergeometryczne ${}_0F_1$ i ${}_1F_1$
 s"a ze sob"a blisko
zwi"azane:
\[\begin{array}{rl}
J_m(z)&=\frac{1}{\Gamma(m+1)}(\frac{z}{2})^m{}_0F_1(-;1+m;-\frac{z^2}{4})\\[3mm]
&=\frac{1}{\Gamma(m+1)}(\frac{z}{2})^m\e^{-\i z}
{}_1F_1(m+\12;2m+1;2\i z).
\end{array}\]



\subsection{Funkcje Bessela dla ca"lkowitych parametr"ow $m$}

 Dla $m\in\zz$ funkcje Bessela s"a liniowo
zale"rne, o czym m"owi 
 nast"epuj"ace twierdzenie.
 
 
 \bet
 \[J_m(z)=(-1)^mJ_{-m}(z),\ m\in\zz.\]
\label{ca4}
 \eet
 
 \proof
 Wystarczy za"lo"ry"c, "re $m=0,1,\dots$ Mamy wtedy
 \[\begin{array}{ll}
 J_m(z)&= \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n\left(\frac{z}{2}\right)^{2n+m}}
 {n!(n+m)!}\\[2mm]
 &=(-1)^m \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+m}\left(\frac{z}{2}\right)^{2(n+m)-m}}
 {(n+m)!(n+m-m)!}\\[2mm]
 &= (-1)^m\sum_{n=m}^\infty\frac{(-1)^n\left(\frac{z}{2}\right)^{2n-m}}
 {n!(n-m)!}\\[2mm]
 &= (-1)^m\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n\left(\frac{z}{2}\right)^{2n-m}}
 {n!\Gamma(n-m+1)}=J_{-m}(z).
 \end{array}\]
 \qed

 Je"sli $m\in\zz$, to funkcja podca"lkowa
w (\ref{ca3}) jest jednoznaczna i ma punkt osobliwy w $0$. Wtedy
ka"rdy kontur zamkni"ety okr"a"raj"acy $0$ (na przyk"lad przeciwnie do
ruchu wskaz"owek) spe"lnia warunek (\ref{war1}). Okazuje si"e,
"re przy odpowiednim wyborze sta"lej $C$ prowadzi on do funkcji $J_m(z)$.

\bet Niech $m\in\zz$. Wtedy
\[\begin{array}{ll}
J_m(z)&=\frac{1}{2\pi \i}\int_{[0^+]}
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m+1}}
  \\[2mm]
& =\frac{1}{2\pi \i}\left(\frac{z}{2}\right)^m\int_{[0^+]}
 \exp\left(s-\frac{z^2}{4s}\right)
 \frac{\d s}{s^{m+1}}.
\end{array} \] 
\label{rep1}\eet

\proof Twierdzenie to wynika z Twierdzenia \ref{rozpi} przez
deformacj"e konturu. Mo"rna je r"ownie"r wykaza"c niezale"rnie
jak nast"epuje.
Wiemy, "re
\[v(z)=C \int_{[0^+]}
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m+1}}\]
 jest rozwi"azaniem r"ownania Bessela.
 Przez podstawienie $s=\frac{zt}{2}$ dostajemy
 \[v(z)=C\left(\frac{z}{2}\right)^m\int_{[0^+]}
 \exp\left(s-\frac{z^2}{4s}\right)
 \frac{\d s}{s^{m+1}}.\]
 Zatem
 \[\lim_{z\to0}v(z)\left(\frac{z}{2}\right)^{-m}=
C\int_{[0^+]}
 \e^s
 \frac{\d s}{s^{m+1}}
 =C\frac{2\pi \i}{m!}.\]
 Czyli je"sli $C=\frac{1}{2\pi \i}$ i $m=0,1,2,\dots$, to
 \[v(z)=J_m(z).\]

Je"sli podstawimy $w=-\frac{1}{t}$ to mamy
$t-t^{-1}=w-w^{-1}$, $\frac{\d t}{t}=-\frac{\d w}{w}$
i kontur $[0^+]$ przechodzi w $[0^-]$. Zatem
\beq\begin{array}{rl}
\int\limits_{[0^+]}
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m+1}}&
 =(-1)^{-m+1}\int_{[0^-]}
 \exp\left(\frac{z}{2}(w-w^{-1})\right)
 \frac{\d w}{w^{-m+1}}\\[2mm]&
 =(-1)^{-m}\int_{[0^+]}
 \exp\left(\frac{z}{2}(w-w^{-1})\right)
 \frac{\d w}{w^{-m+1}}
\end{array}\label{dd}\eeq
Je"sli $m=0,-1,-2,\dots$ to wiemy ju"r, "re prawa strona (\ref{dd})
jest r"owna $(-1)^{-m}J_{-m}(z)$. 
Bior"ac pod uwag"e twierdzenie 
\ref{ca4} widzimy, "re
(\ref{dd}) jest r"owne $J_m(z)$. Zatem
 nasza reprezentacja ca"lkowa jest s"luszna
r"ownie"r dla $m=-1,-2,\dots$.
\qed

\begin{corollary}
Funkcje Bessela dla ca"lkowitych parametr"ow maj"a nast"epuj"ac"a
funkcj"e generuj"ac"a:
 \[\exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)=\sum_{m=-\infty}^\infty
t^mJ_m(z).\] 
 \end{corollary}
 
 \proof
 Funkcja
 \[t\mapsto \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)\]
 jest holomorficzna w pier"scieniu
 $\cc\backslash\{0\}$ i rozwija si"e w szereg Laurenta.
 \qed
  

Bior"ac w Twierdzeniu \ref{repr} 
jako kontur okr"eg o promieniu 1 dostajemy wz"or Bessela
\[J_m(z)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos(z\sin\phi-m\phi)\d\phi
,\ \ \ \ \ \ m\in\zz.\]


\subsection{Funkcje Hankela}

Funkcje Bessela maj"a proste zachowanie blisko zera. Poni"rej
zdefiniujemy par"e rozwi"aza"n r"ownania Bessela,
zwan"a funkcjami Hankela, kt"ore maj"a,
jak si"e p"o"zniej oka"re, proste zachowanie w niesko"nczono"sci.
Przy okazji dostaniemy funkcje, kt"ore rozpinaj"a przestrze"n rozwi"aza"n
r"ownania Bessela r"ownie"r dla $m\in\zz$.

\begin{definition}
Funkcje Hankela (dla $\Re z>0$) s"a zdefiniowane jako
\[H_m^{(1)}(z)=-\frac{1}{\pi \i}\int_{]-\infty,(0+1\cdot0)^-[}
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m+1}},\]
\[H_m^{(2)}(z)=\frac{1}{\pi \i}\int_{]-\infty,(0+1\cdot0)^+[}
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m+1}}\]
Przez $]-\infty,(0+1\cdot0)^-[$ rozumiemy
kontur zaczynaj"acy si"e w $-\infty$, 
 okr"a"raj"acy $0$ zgodnie z ruchem wskaz"owek i
 dochodz"acy do zera z kierunku dodatniego.
   Podobnie, przez $]-\infty,(0+1\cdot0)^+[$ rozumiemy
kontur zaczynaj"acy si"e w $-\infty$, 
 okr"a"raj"acy $0$  przeciwnie do ruchu wskaz"owek i
 dochodz"acy do zera z kierunku dodatniego.
\end{definition}

Zauwa"rmy, "re
\[\lim_{ t\to0+1\cdot 0}\left(\frac{z}{2}(t+t^{-1})+m\right)
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{1}{t^{m}}=0,\]
gdzie przez $ t\to0+1\cdot 0$ oznaczamy zbieganie do zera poprzez
dodatnie warto"sci $t$ (czasem oznacza si"e to przez $t\to 0^+$).
Zatem kontury  $]-\infty,(0+1\cdot0)^+[ $\ \ i\ \  $]-\infty,(0+1\cdot0)^-[$
spe"lniaj"a warunek (\ref{war1}). Zatem funkcje Hankela
s"a rozwi"azaniami r"ownania Bessela.


Je"sli $0<\arg z<\pi$, to dobrym konturem w definicji funkcji
$H_m^{(1)}$ jest $[\i\infty,0]$.
Je"sli $-\pi<\arg<0$, to dla $H_m^{(2)}$ mo"rna u"ry"c
konturu $[-\i\infty,0] $.



\bet
Mamy nast"epuj"ace to"rsamo"sci:
\[\begin{array}{l}
H_{-m}^{(1)}(z)=\e^{m\pi \i}H_{m}^{(1)}(z),\\[2mm]
H_{-m}^{(2)}(z)=\e^{-m\pi \i}H_{m}^{(2)}(z),\\[2mm]
J_m(z)=\frac{1}{2}\left(H_m^{(1)}(z)+H_m^{(2)}(z)\right),\\[2mm]
J_{-m}(z)
=\frac{1}{2}\left(\e^{m\pi \i}H_m^{(1)}(z)+
\e^{-m\pi \i}H_m^{(2)}(z)\right),\\[2mm]
H_m^{(1)}(z)=\frac{\i\e^{-m\pi \i}J_m(z)-\i J_{-m}(z)}
{\sin m\pi},\\[2mm]
H_m^{(2)}(z)=\frac{-\i\e^{m\pi \i}J_m(z)+\i J_{-m}(z)}
{\sin m\pi}.
\end{array}\]
\label{nn1}
\eet
 
 \proof
Aby pokaza"c pierwsz"a i drug"a to"rsamo"s"c
stosujemy podstawienie $t=-\frac{1}{s}$.
 Rozwa"rmy na przyk"lad drugi wz"or. Klasa krzywych $]-\infty,(0+1\cdot
0)^+]$ mo"re by"c reprezentowana przez "laman"a 
$]-\infty,-1]\cup\{-\i\e^{\i\phi},\phi\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\}\cup
[1,0]$. Po zastosowaniu zamiany zmiennych $w=-\frac{1}{t}$
"lamana ta przechodzi w siebie ze zmian"a orientacji.
Dalej: $t-t^{-1}=w-w^{-1}$, $t^{-1}\d t=-w^{-1}\d w$,
$t^{-1}=(-1)^{-m}w^{-m}=\e^{\i\pi m} w^m$. (Pami"etajmy, "re
zamiana zmiennych zachowuje doln"a p"o"lp"laszczyzn"e, w kt"orej
znajduje si"e krzywa).
 
 
 "Latwo przekonamy si"e, "re deformuj"ac
 \[]-\infty,(0+1\cdot0)^+[\ \cup\ ](0+1\cdot0)^+,-\infty[\]
 dostaniemy $]-\infty,0^+,-\infty[$.
 To implikuje trzeci"a to"rsamo"s"c.
 
 To"rsamo"sci czwarta, pi"ata i sz"osta wynikaj"a natychmiast
 z pierwszych trzech. 
 \qed
 
  
\bet
Po obej"sciu punktu $0$ dostajemy
\[\begin{array}{l}
J_m(\e^{\pm\i2\pi}z)=\e^{\pm\i m2\pi} J_m(z),\\[3mm]
H_m^{(1)}(\e^{\i\pi}z)=-\e^{-\i m2\pi} H_m^{(2)}(z),\\[3mm]
  H_m^{(2)}(\e^{\i\pi}z)=-\e^{\i m2\pi} H_m^{(1)}(z).
  \end{array}
  \]
\eet  
  
  Drugi wz"or wynika  z pierwszego:
  \[H_m^{(1)}(\e^{\i\pi}z)=\frac{\i\e^{-m\i
\pi}J_m(\e^{\i\pi}z)-\i J_{-m}(\e^{\i\pi} z)}{\sin m\pi}
=\frac{\i J_m(z)-\i \e^{-\i m\pi}J_{-m}( z)}{\sin m\pi}
=-\e^{-\i m\pi}H_m^{(2)}(z).\]
Mo"rna go te"r dowie"s"c przez zamian"e zmiennych $w=-t$ w
reprezentacji ca"lkowej. \qed
  \bet
  Mamy nast"epuj"ace wzory asymptotyczne s"luszne dla
   $-\pi+\delta<\arg z<2\pi-\delta$,
  $\delta>0$:
  \[\lim_{z\to\infty}\frac{H_m^{(1)}(z)}
  {\left(\frac{2}{\pi z}\right)^{\12}
  \e^{\i z}\e^{-\frac{\i m\pi}{2}-\frac{\i \pi}{4}}}=1,\]
  
  \[\lim_{z\to\infty}\frac{H_m^{(2)}(z)}
  {\left(\frac{2}{\pi z}\right)^{\12}
  \e^{-\i z}\e^{\frac{\i m\pi}{2}+\frac{\i \pi}{4}}}=1.\]
  \eet
  
\proof
Mamy
\[H_m^{(1)}(z)=-\frac{1}{\pi \i}\int_{]-\infty,(0+1\cdot0)^-[}
 \e^{\phi(t)}
 \frac{\d t}{t^{m+1}},\]
gdzie
\[\begin{array}{l}
\phi(t)=\frac{z}{2}(t-t^{-1}),\\[2mm]
\phi'(t)=\frac{z}{2}(1+t^{-2}),\\[2mm]
\phi''(t)=-zt^{-3}.\end{array}\]
Punkty stacjonarne $\phi(t)$ s"a dla $t_\pm=\pm \i$. Mamy
\[\phi(\pm \i)=\pm z\i,\ \ \phi''(\pm \i)=\mp z\i.\]


Mo"remy wybra"c kontur dla $H^{(1)}$ tak, "reby przechodzi"l przez
$t_+=\i$, i pr"ocz $t=t_+$ mie"c $\Re \phi(t)-\phi(t_+)=\Re
\frac{z}{2}\frac{(t-i)^2}{t}<0$.  Dostajemy wtedy
\[\begin{array}{l}H_m^{(1)}(z)\sim-\frac{1}{\pi \i}\frac{\e^{\phi(i)}}{i^{m+1}}
\int_{-\infty}^\infty\e^{\frac{1}{2}\phi''(i)(t-i)^2}\d t\\[3mm]
=-\frac{1}{\pi \i}\frac{\e^{\i
z}}{\e^{i\pi(m+1)"slash2}}\sqrt{\frac{2\pi}{\i z}}
=\left(\frac{2}{\pi z}\right)^{\12}
  \e^{\i z}\e^{-\frac{\i m\pi}{2}-\frac{\i\pi}{4}}.\end{array}\]
(Je"sli $0<\arg z<\pi$, to jako ten kontur mo"rna wzi"a"c $[0,\infty[$;
je"sli $-\pi<\arg z<0$, to 
$[0,-\i]\cup\{\e^{\i\phi},\ :\
\phi\in[-\frac{\pi}{2},-\frac{5\pi}{2}]\}\cup[-\i,-\i\infty[$, je"sli
$\pi<\arg z<2\pi$, to 
$[0,-\i]\cup\{\e^{\i\phi},\ :\
\phi\in[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\}\cup[-\i,-\i\infty[$.
\qed


Wyb"or odpowiednich kontur"ow prowadzi do reprezentacji
\[\begin{array}{l}
H_m^{(1)}(z)=-\frac{\i\e^{-\frac{\i m\pi}{2}}}{\pi}
\int_{-\infty}^\infty\e^{\i z\ch t-mt}\d t,\ \ \ \ 0< \arg z<\pi,
\\[3mm]
H_m^{(2)}(z)=\frac{2\i\e^{\frac{\i m\pi}{2}}}{\pi}\Big(
\int_{0}^\infty
\e^{\i z\ch t}\ch(mt-\i m\pi)\d t-\i
\int_0^\pi\e^{-\i z\cos t}\cos mt\d t\Big)
,\ \ \ \ 0< \arg z<\pi,
\\[3mm]
H_m^{(1)}(z)=-\frac{2\i\e^{\frac{-\i m\pi}{2}}}{\pi}\Big(
\int_{0}^\infty
\e^{-\i z\ch t}\ch(mt+\i m\pi)\d t+\i
\int_0^\pi\e^{\i z\cos t}\cos mt\d t\Big)
,\ \ \ \ -\pi< \arg z<0,
\\[3mm]
H_m^{(2)}(z)=\frac{\i\e^{\frac{\i m\pi}{2}}}{\pi}
\int_{-\infty}^\infty\e^{-\i z\ch t-mt}\d t,\ \ \ \ -\pi< \arg z<0
\end{array}\]


Oto reprezentacje konturowe typu Poissona:
\[H_m^{(1)}(z)
=\frac{\Gamma(\12-m)}{\pi\i\sqrt\pi}(\frac{z}{2})^m\int_{
]\i\infty,1^+,\i\infty[}\e^{\i
zt}(t-1)^{m-\12}(t+1)^{m-\12}\d t,\]
\[H_m^{(2)}(z)
=\frac{\Gamma(\12-m)}{\pi\i\sqrt\pi}(\frac{z}{2})^m\int_{
]\i\infty,-1^-,\i\infty[}\e^{\i
zt}(t-1)^{m-\12}(t+1)^{m-\12}\d t,\]

Mamy te"r reprezentacje typu Poissona prawdziwe je"sli $m\geq-\12$.
\[H_m^{(1)}(z)
=-\frac{2}{\sqrt{\pi}\Gamma(m+\12)}(\frac{z}{2})^m\int_{
]1,\i\infty[}\e^{\i
zt}(1-t^2)^{m-\12}\d t,\]
\[H_m^{(2)}(z)
=\frac{2}{\sqrt{\pi}\Gamma(m+\12)}(\frac{z}{2})^m\int_{
]-1,\i\infty[}\e^{\i
zt}(1-t^2)^{m-\12}\d t,\]

Przez wyb"or odpowiedniego konturu dostaniemy



\[\begin{array}{l}
H_m^{(1)}(z)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}z^m
\frac{\e^{\i(z-\pi\frac{m}{2}-\frac{\pi}{4})}}{\Gamma(m+\12)}
\int_0^\infty\e^{-zt}
t^{m-\12}(1+\frac{\i t}{2})^{m-\12}\d t,\\[3mm]
H_m^{(2)}(z)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}z^m
\frac{\e^{-\i(z-\pi\frac{m}{2}-\frac{\pi}{4})}}{\Gamma(m+\12)}
\int_0^\infty\e^{-zt}
t^{m-\12}(1-\frac{\i t}{2})^{m-\12}\d t.\end{array}\]



\subsection{Dodatkowe reprezentacje ca"lkowe}


Przyjmujemy konwencj"e, "re
\beq\lim_{u\to\infty}\frac{\sqrt{1+u^2}}{u}=1,
\label{war2}\eeq
co ustala ga"l"a"z funkcji $u\mapsto\sqrt{1+u^2}$ na $\cc\backslash[-\i,\i]$.

Rozwa"rmy odwzorowanie
\beq\cc\backslash\{0\}\ni t\mapsto u(t)=\frac{1}{2}(t-t^{-1}).\label{dd1}\eeq
Podzielmy $\cc\backslash\{0\}$ na 3 sektory:
\[\begin{array}{l}
\Omega_+:=\{t\in\cc\ :\ |t|>1\},\\[2mm]
\Omega_0:=\{t\in\cc\ :\ |t|=1\},\\[2mm]
\Omega_-:=\{t\in\cc\ :\ |t|<1\}.
\end{array}\]
Obrazem $\Omega_+$ i $\Omega_-$ 
wzgl"edem funkcji (\ref{dd1}) jest 
$\cc\backslash[-\i,\i]$. Obrazem $\Omega_0$ jest $[-\i,\i]$.
Mamy w szczeg"olno"sci $u(-1)=u(1)=0$, $u(-\i)=-\i$
i $u(\i)=\i$. 

Funkcja odwrotna
\[u\mapsto t(u)\]
jest wieloznaczna. Wyr"o"rnimy w niej dwie jednoznaczne  ga"l"ezie
\[\begin{array}{l}
\cc\backslash[-\i,\i]\ni u\mapsto t_+(u)=u+\sqrt{1+u^2}\in \Omega_+,\\[2mm]
\cc\backslash[-\i,\i]\ni u\mapsto t_-(u)=u-\sqrt{1+u^2}\in \Omega_-,
\end{array}\]
(pami"etajmy o konwencji (\ref{war2})).

Poni"rej om"owimy reprezentacje ca"lkowe kt"ore otrzymujemy z
reprezentacji typu Bessela-Schl\"afli po zastosowaniu zamiany
zmiennych $t\mapsto u(t)$.

\bet Je"sli $\Re z>0$, to
 \[\begin{array}{ll}
 J_m(z)
 & =\frac{1}{2\pi \i}\int_{[-\infty,-\i^+,\i^+,-\infty]}\frac{\e^{zu}\d u}
 {\sqrt{1+u^2}(u+\sqrt{1+u^2})^m}
\end{array} \] 
\eet

\proof Stosujemy zamian"e zmiennych
\[t\mapsto u(t)\]
om"owion"a w dowodzie nast"epnego twierdzenia(Tw. \ref{rep1}). Wtedy kontur
\[]-\infty,-\i]\cup\{\e^{\i\phi}\ :\ \phi\in[-\frac{\pi}{ 2},\frac{\pi}{2}]\}
\cup[i,\infty[,\]
b"ed"acy przyk"ladem konturu typu
$]-\infty,0^+,-\infty[$ przechodzi w kontur
\[]-\infty,-\i^+,\i^+,-\infty[.\]
Zauwa"rmy przy tym, "re osobliwo"s"c funkcji podca"lkowej w $\pm \i$
jest ca"lkowalna.
\qed



\bet Niech $m\in\zz$. Wtedy
\[\begin{array}{ll}
J_m(z)&
 =\frac{1}{2\pi i}\int_{[-\i,
 \i^+,-\i^+]}\frac{\e^{zu}\d u}
 {\sqrt{1+u^2}(u+\sqrt{1+u^2})^m }
\\[2mm]
 & =\frac{1}{2\pi \i}\int_{[-\i,\i^+,-\i^+]}\frac{\e^{zu}\d u}
 {\sqrt{1+u^2}(u-\sqrt{1+u^2})^m}.
\end{array} \] 
\label{rep1a}\eet

\proof
Dla dowolnego $r>0$ mamy
\[J_m(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\p K(0,r)}
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m+1}}
\]

Je"sli $r>1$, to $\p K(0,r)\subset\Omega_+$. 
Zamiana zmiennych $t\mapsto u(t)$ prowadzi od konturu $\p K(0,r)$
do konturu typu $[-\i,\i^+,-\i^+]$. Poza tym, dla $t\in\Omega_+$ mamy
\[\frac{\d u}{\d t}=\frac{u+\sqrt{1+u^2}}{\sqrt{1+u^2}}.\]
St"ad prawdziwa jest pierwsza reprezentacja ca"lkowa.


Je"sli $1>r>0$, to $\p K(0,r)\subset\Omega_-$. 
Zamiana zmiennych $t\mapsto u(t)$ prowadzi od konturu $\p K(0,r)$
do konturu typu $[-\i,\i^-,-\i^-]$. Poza tym, dla $t\in\Omega_-$ mamy
\[\frac{\d u}{\d t}=\frac{u-\sqrt{1+u^2}}{-\sqrt{1+u^2}}.\]
Zamiana konturu  $[-\i,\i^-,-\i^-]$ na  $[-\i,\i^+,-\i^+]$ wprowadza
dodatkowy znak minus.
St"ad prawdziwa jest druga reprezentacja ca"lkowa.
\qed

Podajmy jeszcze dodatkowe reprezentacje funkcji Hankela.

\bet
\[\begin{array}{ll}
H_m^{(1)}&
 =\frac{1}{\pi \i}\int_{[-\infty,\i^+,-\infty]}\frac{\e^{zu}\d u}
 {\sqrt{1+u^2}(u+\sqrt{1+u^2})^m}\\[2mm]
&
 =\frac{1}{\pi \i}\int_{[-\infty,\i^-,-\infty]}\frac{\e^{zu}\d u}
 {\sqrt{1+u^2}(u+\sqrt{1+u^2})^m}\\[2mm]
 &
 =\frac{1}{\pi \i}\int_{[-\infty,\i]}\frac{\e^{zu}\d u}
 {\sqrt{1+u^2}(u+\sqrt{1+u^2})^m}
 +\frac{1}{\pi \i}\int_{[-\infty,\i]}\frac{\e^{zu}\d u}
 {\sqrt{1+u^2}(u-\sqrt{1+u^2})^m},
 \end{array}\]
 
\[\begin{array}{ll}
H_m^{(2)}&
 =-\frac{1}{\pi \i}\int_{[-\infty,-\i^+,-\infty]}\frac{\e^{zu}\d u}
 {\sqrt{1+u^2}(u+\sqrt{1+u^2})^m}\\[2mm]
&
 =-\frac{1}{\pi \i}\int_{[-\infty,-\i^-,-\infty]}\frac{\e^{zu}\d u}
 {\sqrt{1+u^2}(u+\sqrt{1+u^2})^m}\\[2mm]
 &
 =-\frac{1}{\pi \i}\int_{[-\infty,-\i]}\frac{\e^{zu}\d u}
 {\sqrt{1+u^2}(u+\sqrt{1+u^2})^m}
-\frac{1}{\pi \i}\int_{[-\infty,-\i]}\frac{\e^{zu}\d u}
 {\sqrt{1+u^2}(u-\sqrt{1+u^2})^m}
 \end{array}\]
\label{tw2}\eet

\proof Reprezentacje te dostajemy przez zastosowanie zamiany zmiennych
\[t\mapsto u(t).\]
Zauwa"rmy przy tym, "re nie ma znaczenia, czy punkty rozga"l"ezienia
$\pm i$
omijamy zgodnie czy przeciwnie do ruchu wskaz"owek. Mo"remy nawet
przeci"agn"ac kontur przez $\pm \i$,
poniewa"r funkcja podca"lkowa jest w tych punktach ca"lkowalna. 
Musimy jednak zawsze wej"s"c na drug"a ga"l"a"z
funkcji $\sqrt{1+u^2}$. Na tej drugiej ga"l"ezi   $\sqrt{1+u^2}$
zmienia znak na przeciwny, st"ad dostajemy trzeci wz"or na
$H_m^{(1)}(z)$ i $H_m^{(2)}(z)$.

Poni"rej podamy alternatywny dow"od pierwszych dw"och to"rsamo"sci
z Twierdzenia \ref{nn1}, tzn.

\[\begin{array}{l}
H_{-m}^{(1)}(z)=\e^{m\pi \i}H_{m}^{(1)}(z),\\[2mm]
H_{-m}^{(2)}(z)=\e^{-m\pi \i}H_{m}^{(2)}(z).
\end{array}\]

 
 \proof
   Poka"rmy pierwsz"a to"rsamo"s"c.
   Korzystamy z reprezentacji ca"lkowej z Twierdzenia \ref{tw2}.
\beq\begin{array}{ll}
H_{-m}^{(1)}(z)&
 =\frac{1}{\pi \i}\int_{[-\infty,\i^+,-\infty]}
 \frac{\e^{zu}(u+\sqrt{1+u^2})^m\d u}
 {\sqrt{1+u^2}}\\[2mm]
  &
 =\frac{1}{\pi \i}\int_{[-\infty,\i^+,-\infty]}
\left( \frac{-1}{u-\sqrt{1+u^2}}\right)^m
 \frac{\e^{zu}\d u}
 {\sqrt{1+u^2}}.
 \end{array}\label{ca6}\eeq
 Zauwa"rmy, "re w danym wypadku $(-1)^m=\e^{\i\pi m}$.
Funkcj"e  $-\sqrt{1+u^2}$ mo"rna traktowa"c jako przed"lu"renie analityczne
 $\sqrt{1+u^2}$, mo"rna te"r odwr"oci"c kontur 
 $]-\infty,i^+,-\infty[$ startuj"ac z drugiej ga"l"ezi 
 funkcji $\sqrt{1+u^2}$, dostaj"ac kontur  $]-\infty,\i^-,-\infty[$
 i dodatkowy znak minus. Zatem (\ref{ca6}) jest r"owne
 \[\frac{\e^{\i\pi m}}{\pi \i}\int_{[-\infty,\i^-,-\infty]}
 \frac{\e^{zu}\d u}
 {\sqrt{1+u^2}(u+\sqrt{1+u^2})^m}=\e^{\i m\pi}H_m^{(1)}(z).
 \]
 To ko"nczy dow"od pierwszej to"rsamo"sci. Dow"od drugiej
 to"rsamo"sci jest analogiczny.
 \qed
 
  
Oto alternatywny obliczenie asymptotyki funkcji Bessela, tzn.

  
  \[\lim_{z\to\infty}\frac{H_m^{(1)}(z)}
  {\left(\frac{2}{\pi z}\right)^{\12}
  \e^{\i z}\e^{-\frac{\i m\pi}{2}-\frac{\i\pi}{4}}}=1,\   |\arg z|<\frac{\pi}{2}-\delta,\]
  
  \[\lim_{z\to\infty}\frac{H_m^{(2)}(z)}
  {\left(\frac{2}{\pi z}\right)^{\12}
  \e^{-\i z}\e^{\frac{\i m\pi}{2}+\frac{\pi}{4}}}=1\   |\arg z|<\frac{\pi}{2}-\delta.\]
  
  
\proof
Naszkicujmy dow"od pierwszego wzoru.
Podstawiamy 
\[u=i  -\frac{w^2}{2}\]
do reprezentacji ca"lkowej z Twierdzenia \ref{tw2}.
Wtedy kontur $]-\infty,\i^+,-\infty[$ mo"rna "rozgi"a"c" otrzymuj"ac
kontur
$]-\infty,\infty[$. Dlatego
prowadzi do
\[H_m^{(1)}(z)=\frac{1}{\pi \i}\int_{-\infty}^\infty f(w)\e^{z(\i-\frac{w^2}{2}
)}\d w,\]
gdzie
\[f(w):=\frac{1}{\sqrt{-\i+\frac{w^2}{4}}\left(\i-\frac{w^2}{ 2}
+w\sqrt{-\i+\frac{w^2}{4}}
\right)^m}.\]
i ga"l"a"z pierwiastka jest ustalona warunkiem
$\lim_{w\to\infty}\frac{\sqrt{-\i+\frac{w^2}{ 4}}}{w}=\12$.
Mamy
\[f(0)=\frac{1}{\sqrt{\i}\i^m}=\e^{\frac{\i\pi}{4}-\frac{\i m\pi }{2}}.\]
Warto"s"c $H_m^{(1)}(z)$ przybli"ramy przez
\[\frac{1}{\pi \i}f(0)\e^{ \i z}
\int_{-\infty}^\infty \e^{-\frac{zw^2}{2}
2}\d w=
\frac{1}{\pi \i}
\e^{\frac{\i\pi}{ 4}-\frac{\i m\pi}{2}
}\e^{\i z}\left(\frac{2\pi}{z}\right)^{\12}
=\left(\frac{2}{\pi z}\right)^{\12}
  \e^{\i z}\e^{-\frac{\i m\pi}{2}-\frac{\i \pi}{4}}.\]
 \qed  
  

  





\subsection{Funkcja Neumanna}
Funkcj"e Neumanna definiujemy jako
\[\begin{array}{rl}
Y_m(z)&=\frac{1}{2\i}\big(H_m^{(1)}(z)-H_m^{(2)}(z)\big)\\[3mm]
&=\frac{\cos\pi mJ_m(z)-J_{-m}(z)}{\sin \pi m}.\end{array}\]
Mamy wtedy
\[\begin{array}{l}
H_m^{(1)}(z)=J_m(z)+\i Y_m(z),\ \ \ \ \ H_m^{(2)}(z)=J_m(z)-\i Y_m(z).
\end{array}\]
\bet Dla $m\in\zz$ mamy
\[\begin{array}{rl}
Y_m(z)&=\frac{2}{\pi}(\log(\frac{z}{2})+\gamma)J_m(z)\\[3mm]&
-\frac{1}{\pi}\sum\limits_{k=0}^{m-1}\frac{(m-k-1)!}{k!}(\frac{z}{2})^{2k-m}
-\frac{1}{\pi}
\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!(m+k)!}(\frac{z}{2})^{m+2k}
\big(h(k)+h(m+k)\big),\end{array}\]
gdzie $h(k):=\sum_{j=1}^k\frac{1}{k}$.
\eet

   \proof Po"l"o"rmy
\[\phi(z):=\frac{\d}{\d z}\frac{1}{\Gamma(z)}
=-\frac{1}{\Gamma(z)}\p_z\log\Gamma(z).\]
Wtedy
\[\begin{array}{l}\phi(-n)=(-1)^nn!,\ \ n=0,1,2,\dots,\\[3mm]
\phi(n+1)=\frac{\gamma-h(n)}{n!},\ \ n=0,1,2,\dots\end{array}\]
Poza tym
\[ \begin{array}{l}
  \p_m J_m(z)=\log(\frac{z}{2})J_m(z)+\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k\phi(m+k+1)}
  {k!}
  (\frac{z}{2})^{m+2k}.\end{array}\]
  Zatem dla $n=0,1,2,\dots$
  \[\begin{array}{rl}
  \p_mJ_m(z)\Big|_{m=n}&
  =(\log\frac{z}{2}+\gamma)J_n(z)-\sum_{k=0}^\infty
  \frac{(-1)^kh(n+k)}{(n+k)!k!}(\frac{z}{2})^{n+2k},\\[3mm]
  \p_mJ_m(z)\Big|_{m=-n}&
  =(\log\frac{z}{2}+\gamma)J_{-n}(z)
  -(-1)^n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}(\frac{z}{2})^{2k-n}\\[3mm]
  &-\sum_{k=n}^\infty
  \frac{(-1)^kh(-n+k)}{(-n+k)!k!}(\frac{z}{2})^{-n+2k}.
  \end{array}\]
  Ostatni"a sum"e mo"rna zamieni"c na
  \[-(-1)^n\sum_{k=n}^\infty
  \frac{(-1)^kh(k)}{k!(k+n)!}(\frac{z}{2})^{n+2k}
  .\]
  
  Stosuj"ac regu"l"e de l'Hospitala dostajemy
\[\begin{array}{rl}
Y_n(z)&=\frac{\p_m\big(\cos\pi m J_m(z)-J_{-m}(z)\big)}{
\p_m\sin\pi m}\Big|_{m=n}\\[3mm]
&=\frac{\cos\pi m \p_m J_m(z)+\p_{(-m)}J_{-m}(z)}{\pi\cos\pi m}\Big|_{m=n}
=\frac{1}{\pi}\Big(\p_mJ_m(z)\Big|_{m=n}+(-1)^m\p_{m}J_m(z)\Big|_{m=-n}\Big).\end{array}\]
\qed  
  
  
\subsection{Zmodyfikowane r"ownanie Bessela}

Otrzymujemy je przez podstawienie $\tilde z =\i z$ w r"ownaniu Bessela:
\[(z^2\p_z^2+z\p_z-z^2-m^2)u(z).\]

Je"sli $v(z)$ jest rozwi"azaniem r"ownania Bessela, to $v(\i
z)$ jest rozwi"azaniem zmodyfikowanego r"ownania Bessela. W
szczeg"olno"sci wprowadza si"e zmodyfikowan"a funkcj"e Bessela
\[\begin{array}{rl}
I_m(z)&=\i^{-m}J_m(\i z)\\[3mm]
&=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!\Gamma(n+m+1)}(\frac{z}{2})^{2n+m}\\[3mm]
&=\frac{1}{2\pi\i}\int_{]-\infty,0^+,-\infty[}\exp(\frac{z}{2}(t+t^{-1}))
t^{-m-1}\d t\\[3mm]
&=\frac{1}{\Gamma(m+1)}(\frac{z}{2})^m F(m+1;\frac{z^2}{4})\\[3mm]
&=\frac{1}{\Gamma(m+1)}(\frac{z}{2})^m \e^{-z}F(m+\12;2m+1;2z).
\end{array}\]

Wprowadza si"e r"ownie"r funkcj"e Basseta
\[\begin{array}{rl}K_m(z)=K_{-m}(z)&=
\frac{\pi}{2\sin m\pi}(I_{-m}(z)-
I_m(z))\\[3mm]
&=\12\int_0^\infty\exp(-\frac{z}{2}(t+t^{-1}))
t^{-m-1}\d t\\[3mm]
&=\i^{m+1}\frac{\pi}{2}H_m^{(1)}(\i z)
=\i^{-m-1}\frac{\pi}{2}H_m^{(2)}(-\i z).
\end{array}\]

Mamy przy tym
\[\begin{array}{r}
H_m^{(1)}(z)=-\frac{2\i}{\pi}K_m(-\i z),\\[3mm]
H_m^{(2)}(z)=\frac{2\i}{\pi}K_m(\i z).
\end{array}\]

Dla $n=0,1,2,\dots $ mamy
\[I_n(z)=I_{-n}(z),\]
\[\begin{array}{rl}
K_n(z)&=(-1)^{n+1}(\log\frac{z}{2}+\gamma)I_n(z)\\[3mm]
&+\12\sum_{m=0}^{n-1}
(-1)^m(\frac{z}{2})^{2m-n}
\frac{(n-m-1)!}{m!}
+\frac{(-1)^n}{2}\sum_{k=0}^\infty
\frac{h(k)+h(n+k)}{k!(n+k)!}(\frac{z}{2})^{2m+n}.\end{array}\]
 \subsection{Relacje rekurencyjne} 
 
  Funkcje Bessela o parametrach r"o"rni"acych si"e ca"lkowitymi liczbami
  powi"azane s"a zwi"azkami rekurencyjnymi.
 
 \bet Mamy to"rsamo"sci
 \[\begin{array}{l}
 2\p_z J_m(z)=J_{m-1}(z)-J_{m+1}(z),\\[3mm]
  2m J_m(z)=zJ_{m-1}(z)+zJ_{m+1}(z).
 \end{array}\]
 Analogiczne to"rsamo"sci s"a prawdziwe dla $H_m^{(1)}(z)$,
  $H_m^{(2)}(z)$ i $Y_m(z)$.
  \eet
  
  \proof
Obie to"rsamo"sci wynikaj"a z reprezentacji ca"lkowych dla funkcji Bessela
i Hankela. Zak"ladamy, "re $\gamma$ jest odpowiednim konturem.

Aby dowie"s"c pierwszej to"rsamo"sci stosujemy r"o"rniczkowanie ca"lki po
parametrze:
\[\begin{array}{l}
2\p_z\int_{\gamma}
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m+1}}  
  \\[2mm]
=\int_{\gamma}
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m}}  
 -\int_{\gamma}
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m-2}}  .
\end{array}\]

Aby dowie"s"c drugiej to"rsamo"sci korzystamy z tego,
"re dla u"rywanych przez nas kontur"ow funkcja
\[t\mapsto 
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{1}{t^{m}}\]
 ma te same warto"sci na ko"ncach $\gamma$ i dlatego
\[\begin{array}{ll}
0&=2\int_\gamma
\p_t\left(
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{1}{t^{m}}  \right)\d t\\[2mm]
& =-2m\int_{\gamma}
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m+1}}  
+z\int_{\gamma}
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m}}  
 +z\int_{\gamma}
 \exp\left(\frac{z}{2}(t-t^{-1})\right)
 \frac{\d t}{t^{m+2}}  .
 \end{array}\]
\qed

Cz"esto wygodniejsze s"a nast"epuj"ace postaci zwi"azk"ow rekurencyjnych:
\begin{corollary}
\[\frac{1}{z}\p_z\left(z^m J_m(z)\right)=z^{m-1}J_{m-1}(z),
\hbox{ czyli } \left(\p_z+\frac{m}{z}\right)J_m(z)=J_{m-1}(z),\]
\[-\frac{1}{z}\p_z\left(z^{-m} J_m(z)\right)=z^{-m-1}J_{m+1}(z)
,\hbox{ czyli } \left(-\p_z+\frac{m}{z}\right)J_m(z)=J_{m+1}(z).\]
Poza tym
\[\left(\frac{1}{z}\p_z\right)^nz^m J_m(z)=z^{m-n}J_{m-n}(z),\]
\[\left(-\frac{1}{z}\p_z\right)^nz^{-m}J_m(z)=z^{-m-n}J_{m+n}(z).\]
\label{cor1}\end{corollary}

\subsection{Funkcje Bessela po"l"owkowe}


Korzystaj"ac z (\ref{ww1}) lub (\ref{ww2})
sprawdzamy, "re 
je"sli $m=-\12$, to podstawienie $v(z)=\sqrt z \tilde v(z)$
prowadzi do  r"ownania o sta"lych wsp"o"lczynnikach na
$\tilde v$:
\[(\p_z^2+1)\tilde v=0,\]
kt"ore ma rozwi"azania $\e^{\i z}$, $\e^{-\i z}$.
Dlatego
przestrze"n rozwi"aza"n r"ownania Bessela dla $m=\12$
jest rozpi"eta przez funkcje $z^{-\12}\e^{\i z}$,
$z^{-\12}\e^{-\i z}$.
Jedynym rozwi"azaniem zachowuj"acym si"e w zerze jak
$\left(\frac{z}{2}\right)^{\12}\frac{1}{\Gamma(1+\12)}$
jest
\[J_{\12}(z)=
\left(\frac{z}{2}\right)^{\12}\frac{1}{\Gamma(1+\12)}
\frac{\sin z}{z}=\left(\frac{2}{\pi z}\right)^{\12}\sin z
.\]
Mamy poza tym
\[J_{-\12}(z)=
\left(\frac{z}{2}\right)^{-\12}\frac{1}{\Gamma(1-\12)}
\cos z=\left(\frac{2}{\pi z}\right)^{\12}\cos z.\]
\[\begin{array}{l}
H_{\12}^{(1,2)}(z)=\left(\frac{2}{\pi z}\right)^{\12}
\e^{\pm i(z-\frac{\pi}{2})},\\[2mm]
H_{-\12}^{(1,2)}(z)=\left(\frac{2}{\pi z}\right)^{\12}
\e^{\pm \i z}\\[2mm]\end{array}\]
Zatem korzystaj"ac z Wniosku 
\ref{cor1} widzimy, "re  funkcje Bessela z parametrem $m$
b"ed"acym po"low"a liczby nieparzystej daj"a si"e wyrazi"c
przez funkcje elementarne, na przyk"lad
\[H_{n+\12}^{(1)}(z)=
\left(\frac{2}{\pi z}\right)^{\12}
\e^{\i z}p_n\left(\frac{1}{\i z}\right)
,\]
gdzie $p_n$ jest pewnym wielomianem.

\subsection{Wro"nskiany rozwi"aza"n r"ownania Bessela}

Wronskian dw"och rozwi"aza"n r"ownania Bessela spe"lnia r"ownanie
\[\left(\p_z+\frac{1}{z}\right)W(z)=0.\]
Zatem $W(z)$ jest proporcjonalny do $\frac{1}{z}$.
Korzystaj"ac
z
\[\begin{array}{l}
J_{\pm m}(z)\sim \frac{1}{\Gamma(\pm m+1)}(\frac{z}{2})^{\pm m},
\ \ \ \ J_{\pm m}'(z)\sim \frac{1}{\Gamma(\pm m)}(\frac{z}{2})^{\pm m-1},
\end{array}\]
mo"remy policzy"c Wro"nskian $J_m(z)$, $J_{-m}(z)$:
\[\begin{array}{l}
W(J_m,J_{-m})=-\frac{2}{\pi z}\sin\pi m,\\[3mm]
W(H_m^{(1)},H_{m}^{(2)})=-\frac{4\i}{\pi z},\\[3mm]
W(J_m,Y_{m})=\frac{2}{\pi z}.\end{array}\]

\subsection{R"ownanie Helmholtza w 2 wymiarach}


Laplasjan
\[\Delta=\p_x^2+\p_y^2\]
we wsp"o"lrz"ednych biegunowych
\[x=r\cos\phi,\ \ \ \ y=r\sin\phi\]
jest r"owny
\[\p_r^2+\frac{1}{r}\p_r+\frac{1}{r^2}\p_\phi^2.\]
R"ownanie Helmholtza
\[(\Delta+1)f=0\]
mo"rna rozwi"aza"c w postaci fali p"laskiej biegn"acej pod k"atem $\psi$,
kt"ora w uk"ladzie kartezja"nskim jest r"owna
\[f_\psi(x,y):=\e^{\i (x\cos\psi +y\sin\psi)}\]
a w uk"ladzie biegunowym jest r"owna
\[f_\psi(r,\phi)=\e^{\i r\cos(\phi-\psi)}.\]

Wprowad"zmy generator obrot"ow
\[L:=x\p_x-y\p_x,\]
r"owny w uk"ladzie biegunowym
\[L=\p_\phi.\] $L$ komutuje z $\Delta$, dlatego mo"rna jednocze"snie
szuka"c rozwi"azania
\[(\Delta+1)f=0,\ \ \ \  \ Lf=\i mf.\]
Jest to spe"lnione przez
fal"e kolist"a, kt"ora w uk"ladzie biegunowym jest r"owna
\[f_m(r,\phi)=J_m(r)\e^{\i m\phi}
.\]
\bet
Fal"e p"lask"a mo"rna roz"lo"ry"c na koliste:
\beq f_\psi(r,\phi)=
\sum_{m=-\infty}^\infty f_m(r,\phi)\i^m\e^{-\i m\psi}.\label{fal1}\eeq
Fal"e kolist"a mo"rna roz"lo"ry"c na fale p"laskie:
\beq f_m(r,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f_\psi(r,\phi)
(-\i)^m\e^{\i m\psi}\d\psi.\label{fal2}\eeq
\eet

\proof (\ref{fal1}) jest przeformu"lowaniem wzoru  na funkcj"e tworz"ac"a:
\[\e^{\i r\sin\phi}=\sum_{m=-\infty}^\infty \e^{\i m\phi} J_m(r),\]
a (\ref{fal2}) jest przeformu"lowaniem wzoru Bessela
\[J_m(r)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\e^{\i r\psi+\i m\psi}\d\psi.\]\qed


\subsection{Wz"or sk"ladania Grafa}

Poni"rszy wz"or mo"rna zinterpretowa"c nast"epuj"aco: fale kolist"a w
jednym uk"ladzie  biegunowym mo"rna roz"o"ry"cna fale koliste w
drugim przesuni"etym uk"ladzie biegunowym.

\bet
Za"l"o"rmy, "re $R$, $r$, $\rho$ oraz $\Phi$,  $\phi$, $\psi$ s"a
powi"azane relacjami
\[R=\sqrt{(r\e^{\i \phi}+\rho\e^{\i\psi})(r\e^{-\i \phi}+\rho\e^{-\i\psi})},
\ \ \ \ \e^{\i \Phi}=\sqrt{
\frac{r\e^{\i \phi}+\rho\e^{\i\psi}}{r\e^{-\i \phi}+\rho\e^{-\i\psi}}}.\]
Wtedy
\[J_m(R)\e^{\i m\Phi}
=\sum_{n=-\infty}^\infty
J_{m-n}(r)\e^{\i (m-n)\phi} J_n(\rho)\e^{\i n\psi}.\]
Je"sli $m\in\zz$, to nie ma "radnych ogranicze"n na parametry
wyst"epuj"ace w tym wzorze. Je"sli $m$ jest nieca"lkowite a wszystkie
zmienne rzeczywiste, to trzeba za"lo"ry"c, "re $\rho<r$ (lub, r"ownowa"rnie,
$|\Phi-\phi|<\frac{\pi}{2}$).
Mo"rna te"r wtedy zast"api"c funkcje Bessela w $J_m(R)$ i $J_{m-n}(r)$
przez $H_m^{(i)}$ albo $Y_m$

\eet

\proof
K"lad"ac $\tilde\psi=\psi-\phi$, $\tilde\Phi=\Phi-\phi$ mo"rna problem
sprowadzi"c do przypadku $\phi=0$.
\[\begin{array}{l}
\sum_{n=-\infty}^\infty
J_{m-n}(r) J_n(\rho)\e^{\i n\psi}\\[3mm]
=\frac{1}{2\pi \i}\sum_{n=-\infty}^\infty\int_\gamma
\exp\big(\frac{r}{2}(t-t^{-1})\big)
t^{-m-1}J_n(\rho)(t\e^{\i\psi})^n\\[3mm]
=\frac{1}{2\pi \i}\int_\gamma\exp\Big(\frac{r}{2}(t-t^{-1})\big)+\frac{\rho}{2}
\big(t\e^{\i\psi}-(t\e^{\i\psi})^{-1}\big)\Big)t^{-m-1}\d t\\[3mm]
=\frac{1}{2\pi \i}
\int_\gamma\exp\big(\frac{R}{2}(s-s^{-1})\big)s^{-m-1}\d s\e^{\i m\Phi}
=\e^{\i m\Phi}J_m(R),
\end{array}\]
gdzie w ostatnim kroku podstawili"smy $s=t\e^{\i\Phi}$,
skorzystali"smy z $r+\rho\e^{\i\psi}=R\e^{\i\Phi}$ i obr"ocili"smy kontur.
\qed

Podstawiaj"ac
\[\begin{array}{l}
x_1=r\cos\phi,\ \ \ \ \ \ y=r\sin\phi,\\[3mm]
x_2=\rho\cos\psi,\ \ \ \ \ \ y_2=\rho\sin\psi,\\[3mm]
x=R\cos\Phi,\ \ \ \ \ \ y=R\sin\Phi,
\end{array}\]
mamy
\[(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x+y)\]
i wz"or sk"ladania mo"remy przepisa"c jako
\[\begin{array}{l}
J_m(\sqrt{x^2+y^2})\Big(
\frac{x+\i y}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big)^m
=
\sum_{n\in\zz}J_{m-n}(\sqrt{x_1^2+y_1^2})\Big(
\frac{x_1+\i y_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}\Big)^{m-n}
J_n(\sqrt{x_2^2+y_2^2})\Big(
\frac{x_2+\i y_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\Big)^n.\end{array}\]


Zdefiniujmy operator w $L^2(\zz)$ zadany macierz"a
\[\begin{array}{l}U_{m,n}(x,y)
:=J_{m-n}(\sqrt{x^2+y^2})\Big(
\frac{x+\i y}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big)^{m-n}
\end{array}\]
Wtedy $U(x,y)^{-1}=U(-x,-y)$, $U(x,y)$ jest macierz"a unitarn"a, czyli
\[\overline{U_{n,m}(x,y)}=U_{m,n}(-x,-y),\]
oraz $\rr^2\ni(x,y)\mapsto U(x,y)$ jest reprezentacj"a, czyli
\[U_{k,n}(x_2+x_1,y_2+y_1)=\sum_{m=-\infty}^\infty
U_{k,m}(x_2,y_2)U_{m,n}(x_1,y_1).\]


Rozszerzymy teraz t"e reprezentacj"e do afinicznej grupy ortogonalnej w
$\rr^2$. Grup"e t"e mo"remy parametryzowa"c przez $\rr^2\times S^1$.
Dzia"lanie w niej definiujemy jako
\[(x_2,y_2,\theta_2)(x_1,y_1,\theta_1)
=(x_2\cos\theta_1+y_2\sin\theta_1+x_1,
-x_2\sin\theta_1+y_2\sin\theta_1+y_1,\theta_2+\theta_1).\]
Reprezentacj"e definiujemy nast"epuj"aco:
\[\rr^2\times S^1\ni(x,y,\theta)\mapsto U(x,y,\theta),\]
\[\begin{array}{l}U_{m,n,\theta}(x,y)
:=\e^{\i m\theta}J_{m-n}(\sqrt{x^2+y^2})\Big(
\frac{x+\i y}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big)^{m-n}.
\end{array}\]
Wtedy $U(x,y,\theta)$ jest macierz"a unitarn"a i jest to reprezentacja, czyli
\[U_{k,n}\Big((x_2,y_2,\theta_2)(x_1,y_1,\theta_1)\Big)=\sum_{m=-\infty}^\infty
U_{k,m}(x_2,y_2,\theta_2)U_{m,n}(x_1,y_1,\theta_1).\]

\subsection{R"ownanie Airy'ego}

R"ownanie Airy'ego ma posta"c
\[(\p_z^2-z^2)u(z)=0.\]

\bet Je"sli $u(z)$ jest rozwi"azaniem r"ownania Airy'ego, to
$u(\e^{\pm\frac{2\pi\i}{3}}$ jest te"r jego rozwi"azaniem. \eet


\bet Niech krzywa $\gamma$ spe"lnia
\[\e^{\frac{\i}{3}t^3+\i tz}\Big|_{\gamma(0)}^{\gamma(1)}=0.\]
Wtedy
\[C\int_\gamma \e^{\frac{\i}{3}t^3+\i tz}\d t\]
jest rozwi"azaniem r"ownania Airy'ego.
\eet

\proof
\[\begin{array}{r}
(\p_z^2-z)\int_\gamma\e^{\frac{\i}{3}t^3+\i tz}\d t\\[3mm]
=\int_\gamma(-t^2-z)\e^{\frac{\i}{3}t^3+\i tz}\d t=
\int_\gamma\i\p_t\e^{\frac{\i}{3}t^3+\i tz}\d t=0.
\end{array}\]
\qed

Podstawienie $t=\i s$ daje analogiczne twierdzenie z funkcj"a
$\e^{\frac{1}{3}t^3-tz}$.


Funkcja Airy'ego jest zdefiniowana wzorem
\[\begin{array}{rl}\Ai(z)&:=\frac{1}{2\pi}\int_{]-\infty,\infty[}
\e^{\frac{\i}{3}t^3+\i tz}\d t
=\frac{1}{2\i\pi}\int_{]-\i\infty,\i\infty[}
\e^{-\frac{1}{3}t^3+tz}\d t\\[3mm]
&=\frac{1}{\pi}\int_{]-\infty,\infty[}
\cos(-\frac{1}{3}t^3+tz)\d t
\\[3mm]
&=\frac{\e^{\frac{\i\pi}{3}}}{2\pi\i}
\int_0^\infty\e^{-\frac{s^3}{3}-s z\e^{\frac{\i\pi}{3}}}\d s
-\frac{\e^{\frac{-\i\pi}{3}}}{2\pi\i}
\int_0^\infty\e^{-\frac{s^3}{3}-s z\e^{\frac{-\i\pi}{3}}}\d s
\end{array}\]

Punkt $0$ jest regularnym punktem r"ownania. Szukaj"ac
rozwi"azania w postaci $u(z)=\sum_{m=0}^\infty u_mz^m$ dostajemy
r"ownanie rekurencyjne
\[n(n-1)u_n=u_{n-3}.\] 
Zatem og"olne rozwi"azanie jest kombinacj"a liniow"a funkcji
\[\Ai_{(0)}(z):=\sum_{m=0}^\infty\lpi_{j=1}^m\frac{1}{3j(3j-1)}z^{3m},\]
\[\Ai_{(1)}(z):=\sum_{m=0}^\infty\lpi_{j=1}^m\frac{1}{3j(3j+1)}z^{3m+1},\]
gdzie 
\[\begin{array}{r}
\Ai_{(0)}(0)=1,\ \ \ {\Ai_{(0)}}'(0)=0;\\[3mm]
\Ai_{(1)}(0)=0,\ \ \ {\Ai_{(1)}}'(0)=1.\end{array}\]


\bet
\[\Ai(z)=\frac{3^{-\frac{2}{3}}}{\Gamma(\frac{2}{3})}
\Ai_{(0)}(z)+
\frac{3^{-\frac{1}{3}}}{\Gamma(\frac{1}{3})}
\Ai_{(1)}(z).\]
\eet

\proof
\[\begin{array}{rl}\Ai(0)&
=\frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\pi}\int_0^\infty\e^{\frac{s^3}{3}}\d s
=\frac{3^{-\frac{2}{3}}}{\Gamma(\frac{2}{3})},\\[3mm]
\Ai'(0)&
=-\frac{\sin\frac{2\pi}{3}}{\pi}\int_0^\infty\e^{\frac{s^3}{3}}s\d s
=\frac{3^{-\frac{1}{3}}}{\Gamma(\frac{1}{3})}.\end{array}\]
\qed

Zwi"azki z funkcjami Bessela:
\[\begin{array}{rl}
\Ai_{(0)}(z)&=I_{-\frac13}(\23 z^\frac{3}{2})z^\12(\23)^\frac13\Gamma(\23)\\[3mm]
&=J_{-\frac13}(\23 (-z)^\frac{3}{2})(-z)^\12(\23)^\frac13\Gamma(\23),\\[3mm]
\Ai_{(1)}(z)&=I_{\frac13}(\23 z^\frac{3}{2})z^\12(\23)^{-\frac13}\Gamma(\frac43)\\[3mm]
&=-J_{\frac13}(\23 (-z)^\frac{3}{2})(-z)^\12(\23)^{-\frac13}\Gamma(\frac43),\\[3mm]
\Ai(z)&=\pi^{-1}(\frac{z}{3})^\frac13 K_\frac13(\23 z^\frac{3}{2})
=\frac13 z^\12\Big(I_{-\frac13}(\23 z^\frac{3}{2})-I_\frac13(\23 z^\frac32)\Big)\\[3mm]
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac13 (-z)^\12\Big(J_{-\frac13}(\23 (-z)^\frac{3}{2})+J_\frac13(\23 (-z)^\frac32)\Big)
\end{array}\]

\end{document}

\section{Laplasjan w dowolnej liczbie wymiar"ow}

\subsection{Wielomiany harmoniczne}

Rozwa"ramy $\cc^d$ (b"ad"r $\rr^d$). Laplasjan definiujemy jako
\[\Delta=\p_{z_1}^2+\cdots+\p_{z_d}^2.\]
Generator dylatacji jest r"owny
\[A:=z_1\p_{z_1}+\cdots+z_d\p_{z_d}.\]
Sfera jednostkowa $S^{d-1}$ jest r"owna
\[S^{d-1}:=\{(z_1,\dots,z_d)\ :\ z_1^2+\cdots+z_d^2=1\}.\]
B"edziemy pisali
\[r^2:=z_1^2+\cdots+z_d^2.\]


Wielomian na $\cc^d$ stopnia co najwy"rej $l$
 jest to funkcja postaci
\[w(z_1,\cdots,z_d)=\sum_{j_1+\cdots+j_d\leq l}
w_{j_1,\dots,j_d}z_1^{j_1}\cdots z_d^{j_d}.\]
Jest on jednorodny stopnia $l$, gdy $j_1+\cdots+j_d\neq l$ poci"aga za
sob"a $w_{j_1,\dots,j_d}=0$.
R"ownowa"rne warunki:
\[w(\lambda z_1,\cdots,\lambda z_d)=\lambda^lw(z_1,\cdots,z_d),\]
\[Aw=lw.\]



M"owimy, "re wielomian $w$ jest harmoniczny, gdy
\[\Delta w=0.\]

Funkcja $Y:S^{d-1}\to\cc$ nazywa si"e harmonik"a sferyczn"a stopnia $l$,
gdy istnieje wielomian harmoniczny $w$ stopnia $l$ taki, "re
\[Y=w\Big|_{S^{d-1}}.\]



\bet
(1) Wymiar przestrzeni wielomian"ow jednorodnych  stopnia $l$ wynosi
\[\frac{(d+l-1)!}{l!(d-1)!}.\]
(2) Wymiar przestrzeni wielomian"ow harmonicznych stopnia $l$ wynosi
\[\frac{2l+d-2}{(l+d-3)!}{l!(d-2)!}=
\frac{(d+l-1)!}{l!(d-1)!}-
\frac{(d+l-3)!}{(l-2)!(d-1)!}.\]
\eet


W wymiarze $1$  wielomiany harmoniczne s"a rozpi"ete przez $1$, $z$.

W wymiarze $2$  wielomiany harmoniczne stopnia $l$ s"a  rozpi"ete przez 
\[(z_1+\i z_2)^l,\ \ \ \ (z_1-\i z_2)^l.\]

W dowolnym wymiarze nast"epuj"acy wielomian jest harmoniczny stopnia $l$:
\[\Big(\sum_{j=0}^d v_jz_j\Big)^l,\ \ \ \ \ \hbox{je"sli}\ \ \ 
\sum_{j=0}^d v_j^2=0.\]
\subsection{Algebra Liego $so(n)$}

Dla $i\neq j$ definiujemy generator obrotu w p"laszczy"znie $(i,j)$:
\[L_{i,j}:=z_1\p_{z_j}-z_j\p_{z_i}.\]
Oczywi"scie 
\[L_{i,j}=-L_{j,i}.\]
Mamy relacje komutacyjne
\[[L_{i,j},\Delta]=0\]
\[[L_{i,j},L_{k,l}]
=\delta_{i,k}L_{j,l}+\delta_{j,l}L_{i,k}
-\delta_{i,l}L_{j,k}-\delta_{j,k}L_{i,l}.\]

Definujemy operator Casimira (kwadrat momentu p"edu)
\[\C:=\sum_{i\neq j}A_{i,j}^2.\]
Operatory $L_{i,j}$ i $\C$ mo"rna ograniczy"c do funkcji okre"slonych na
$S^{d-1}$. Obci"ecie $\C$ do takich funkcji jest nazywane operatorem
Laplace'a-Beltramiego. 

\bet
\[[L_{i,j},\C]=0.\]
\eet

\proof
Mamy
\[[L_{i,j},L_{i,k}^2]
=[L_{i,j}.L_{i,k}]L_{i,k}+L_{i,k}[L_{i,j}.L_{i,k}]
=L_{j,k}L_{i,k}+L_{i,k}L_{j,k},\]
\[[L_{i,j},L_{j,k}^2]=-[L_{j,i}L_{j,k}^2]=
-L_{j,k}L_{i,k}-L_{i,k}L_{j,k}.\]
W sumie daje to zero. \qed

\bet
\[\Delta=\frac{1}{r^2}(A^2+(d-2)A+\C).\]
\eet

\proof Poka"remy, "re
\[\C=r^2\Delta-A^2-(d-2)A.\]
Mamy
\[A_{i,j}^2=z_i^2\p_{z_j}^2+z_j^2\p_{z_i}^2
-2z_iz_j\p_{z_i}\p_{z_j}-z_i\p_{z_i}-z_j\p_{z_j}.\]
Wi"ec
\[\begin{array}{rl}
\C&=\sum_{i\neq j}z_i^2\p_{z_j}^2-\sum_{i\neq j}z_iz_j\p_{z_i}\p_{z_j}-2A\\[3mm]
&=\sum_iz_i^2\sum_i\p_{z_i}^2-\sum_{i,j}z_iz_j\p_{z_i}\p_{z_j}-2A
\\[3mm]
&=r^2\Delta-A^2-dA-2A.\end{array}\]
\qed



\begin{corollary} Je"sli $Y$ jest harmonik"a sferyczn"a stopnia $l$, to
\[\C Y=-l(l+d-1)Y.\]
\end{corollary}


\subsection{Wsp"o"lrz"edne ultrasferyczne}

Wprowad"zmy nast"epuj"ace wsp"o"lrz"edne
\[\begin{array}{lll}
z_1=r\cos\theta_1&= rq_1&= \sqrt{\rho}\sqrt{p_1}\\[3mm]
z_2=r\sin\theta_1\cos\theta_2& =r\sqrt{1-q_1^2}q_2& =
\sqrt{\rho}\sqrt{1-p_1}\sqrt{p_2}\\[3mm]
z_3=r\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3&= r\sqrt{1-q_1^2}\sqrt{1-q_2^2}
q_3 &=
\sqrt{\rho}\sqrt{1-p_1}\sqrt{1-p_2}\sqrt {p_3}\\[3mm]
\dots&&\\[3mm]
z_{d-1}=r\sin\theta_1\cdots
\sin\theta_{d-2}\cos\theta_{d-1}&= r\sqrt{1-q_1^2}\cdots\sqrt{1-q_{d-2}^2}
q_{d-1}& =
\sqrt{\rho}\sqrt{1-p_1}\cdots\sqrt{1-p_{d-2}}\sqrt {p_{d-1}}\\[3mm]
z_{d}=r\sin\theta_1\cdots
\sin\theta_{d-2}\sin\theta_{d-1}&= r\sqrt{1-q_1^2}\cdots\sqrt{1-q_{d-2}^2}
\sqrt{1-q_{d-1}^2}& =
\sqrt{\rho}
\sqrt{1-p_1}\cdots\sqrt{1-p_{d-2}}\sqrt {1-p_{d-1}}.\end{array}\]

W pierwszym i drugim  uk"ladzie wsp"o"lrz"ednych generator skalowania
 jest r"owny
$A=r\p_r$, w trzecim $A=2\rho\p_\rho$.
Laplasjan w tych wsp"o"lrz"ednych jest r"owny
\[\begin{array}{rl}
\Delta&=\p_r^2+(d-1)\frac{1}{r}\p_r\\[3mm]
&+\frac{1}{r^2}\Big(\p_{\theta_1}^2+(d-2)\ctg\theta_{1}
\p_{\theta_{1}}\Big)\\[3mm]
&+\frac{1}{r^2\sin^2\theta_1}\Big(\p_{\theta_2}^2+(d-3)\ctg\theta_{2}
\p_{\theta_{2}}\Big)\\[3mm]
&\cdots\\[3mm]
&+\frac{1}{r^2\sin^2\theta_1\cdots\sin^2\theta_{d-1}}
\p_{\theta_{d-1}}^2.\end{array}\]
\[\begin{array}{rl}
\Delta&=\p_r^2+(d-1)\frac{1}{r}\p_r\\[3mm]
&+\frac{1}{r^2}\Big((1-q_1^2)\p_{q_1}^2-(d-1)q_1\p_{q_1}
\Big)\\[3mm]
&+\frac{1}{r^2(1-q_1^2)}\Big((1-q_2^2)\p_{q_2}^2-(d-2)
q_2\p_{q_{2}}\Big)\\[3mm]
&\cdots\\[3mm]
&+\frac{1}{r^2(1-q_1^2)\cdots(1-q_{d-1}^2)}
\Big((1-q_{d-1}^2)\p_{q_{d-1}}^2-q_{d-1}\p_{q_{d-1}}\Big)
.\end{array}\]

\[\begin{array}{rl}
\Delta&=4\rho\p_\rho^2+(2d-1)\p_\rho\\[3mm]
&+\frac{1}{\rho}\Big(4(1-p_1)\p_{p_1}^2-(1-(2d-1)p_1)\p_{p_1}
\Big)\\[3mm]
&+\frac{1}{\rho(1-p_1)}\Big(4(1-p_2)p_2\p_{p_2}^2+(1-(2d-3)
p_2\p_{p_{2}}\Big)\\[3mm]
&\cdots\\[3mm]
&+\frac{1}{\rho(1-p_1)\cdots(1-p_{d-1})}
\Big(4(1-p_{d-1})\p_{p_{d-1}}^2-(1-p_{d-1})\p_{p_{d-1}}\Big)
.\end{array}\]








\subsection{R"ownanie Helmholtza we wsp"o"lrz"ednych sferycznych}


R"ownanie Helmholtza  ma posta"c
\[(\Delta+1)f=0\]
We wsp"o"lrz"ednych sferycznych dostajemy
\[\big(\p_r^2+(d-1)\frac{1}{r}\p_r+1+\frac{1}{r^2}\C\big)f=0.\]
Po podstawieniu $f=u(r)Y_l(\theta_1,\cdots,\theta_d)$, gdzie $Y_l$ jest
harmonik"a sferyczn"a stopnia $l$ dostajemy $d$-wymiarowe r"ownanie Bessela
 \[(z^2\p_z^2+(d-1)z\p_z+z^2-l(l+d-2)) u(z)=0.\]
 
Wsz"edzie analitycznymi rozwi"azaniami r"ownania Helmholtza s"a zatem 
\[r^{1-\frac{d}{2}}J_{l+\frac{d}{2}-1}(r)Y_l(\theta_1,\dots,\theta_{d-1}).\]



\end{document}

\section{R"ownanie Hermita}

Niech $\nu\in\cc$. R"ownaniem Hermite'a nazywamy r"ownanie
\beq
\L_\nu u(z)=(\p_z^2-2z\p_z+2\nu)u(z)=0
\label{her}\eeq
Inna posta"c:
\[\L_\nu=\e^{z^2}\p_z\e^{-z^2}\p_z+2\nu.\]
Je"sli podstawimy $u=\e^{z^2"slash2}v(z)$, to dostajemy r"ownanie
oscylatora harmonicznego:
\[(\p_z^2-z^2+2\nu+1)v(z)=0.\]

\bet a)
Je"sli \[\L_\nu u(z)=0,\]
to
 \[\L_\nu u(-z)=0,\]
\newline b) Je"sli
\[\L_{-\nu-1}u(z)=0,\]
to
\[\L_\nu\e^{z^2}u(\i z)=0.\]
\eet

\proof Aby pokaza"c b) sprawdzamy, "re podstawienie
\[u(z)=\e^{z^2}\tilde u(\tilde z),\ \ \tilde z=\pm \i z\]
prowadzi do 
\beq(\p_{\tilde z}^2-2{\tilde z}\p_{\tilde z}-2(\nu+1))\tilde u({\tilde z})=0
.\label{osc}\eeq
\qed

\begin{remark} Podstawienie $z=\frac{x}{\sqrt2} $ (i pomno"renie przez 2) 
r"ownania (\ref{osc}) prowadzi do 
\beq\begin{array}{l}
(\p_x^2-\frac{x^2}{4}+\nu+\12)
w(x)=0\end{array}\label{para}\eeq
zwanego w literaturze r"ownaniem cylindra parabolicznego.
\end{remark}

\bet Je"sli $u(z)$ spe"lnia  (\ref{her}), to
\[\begin{array}{rl}
u(z)&=u(0)\sum_{j=0}^\infty \frac{(-\frac{\nu}{2})(-\frac{\nu}{2}+1)\cdots
(j-1-\frac{\nu}{2})}{(2j)!}(2z)^{2j}\\[3mm]
&+\12 u'(0)\sum_{j=0}^\infty \frac{(-\frac{\nu}{2}+\12) 
(-\frac{\nu}{2}+\frac{3}{2})\cdots
(j-\12-\frac{\nu}{2})}{(2j+1)!}(2z)^{2j+1}
\end{array}\]
\eet

\proof
Je"sli
\[u(z)=\sum_{n=0}^\infty u_mz^m\]
spe"lnia (\ref{her}), to
\[(m+2)(m+1)u_{m+2}=2(m-\nu)u_m.\]
\qed


\bet  Niech $\gamma$ b"edzie krzyw"a
tak"a, "re 
\[\left.\e^{-s^2-2zs}s^{-\nu}\right|_\gamma=0. \]Wtedy
\beq
\int_\gamma\e^{-s^2-2zs}s^{-\nu-1}\d s
\eeq
jest rozwi"azaniem (\ref{her}).
\label{integ}\eet

\proof
\[\begin{array}{rl}0&=\int_\gamma
\p_s\big( \e^{-s^2-2zs}s^{-\nu}\big)\d s\\[3mm]
&=-\int_\gamma(2s^2+2zs+\nu)\e^{-s^2-2zs}s^{-1-\nu}\d s\\[3mm]
&=-\12\L_\nu\int_\gamma \e^{-s^2-2zs}s^{-\nu-1}\d s.\end{array}\]
\qed









\subsection{Funkcja Hermita}




Funkcja Hermite'a jest zdefiniowana jako jedyne rozwi"azanie
(\ref{her}) spe"lniaj"ace w zerze warunki pocz"atkowe:
\[\begin{array}{l}
H_\nu(0)=
\frac{\Gamma(-\nu"slash2)}{2\Gamma(-\nu)}=\frac{2^\nu\sqrt{\pi}}
{\Gamma((1-\nu)"slash2)},
%=\frac{sin\pi\nu\Gamma(\nu+1)}{2\sin\pi\nu"slash2\Gamma((\nu"slash2)+1)}
\\[3mm]
H'_\nu(0)
=-\frac{\Gamma((1-\nu)"slash2)}{\Gamma(-\nu)}=-\frac{2^{\nu+1}\sqrt{\pi}}
{\Gamma(-\nu"slash2)}.
%=\frac{sin\pi\nu\Gamma(\nu+1)}{2\sin\pi(\nu-1)"slash2\Gamma(((\nu-1)"slash2)+1)}
\end{array}\]






Opr"ocz tego definiujemy ``do"l"aczon"a funkcj"e Hermita''
$\tH_\nu(z)$ spe"lniaj"ac"a
\[\begin{array}{l}
\tH_\nu(0)=
\frac{2^{-\nu-1}\sqrt{\pi}}
{\Gamma((2+\nu)"slash2)},
\\[3mm]
\tH'_\nu(0)
=-\i\frac{2^{-\nu}\sqrt{\pi}}
{\Gamma((\nu+1)"slash2)}.
\end{array}\]

\begin{remark}
W literaturze stosowane s"a r"ownie"r tzw. funkcje cylindra parabolicnego
albo funkcje Webera-Hermite'a
\[D_\nu(x)=\e^{-\frac{x^2}{4}}\frac{1}{\sqrt{2^\nu}}H_\nu\Big(
\frac{x}{\sqrt2}\Big),\]
b"ed"ace rozwi"azaniem r"ownania (\ref{para}).
\end{remark}

Mamy
\[H_\nu(z)=\sum_{m=0}^\infty
\12\frac{\Gamma(\frac{m-\nu}{2})}{m!\Gamma(-\nu)} (-2z)^m.\]

\bet 
Funkcje $H_\nu(z)$ i $\tH_\nu(z)$ s"a liniowo niezale"rne.
\eet

\proof
Liczymy Wro"nskian uk"ladu $H_\nu(z)$, $\tH_\nu(z)$ w zerze:
\[W(H_\nu,\tilde H_\nu)(0)=
\det\left[\begin{array}{cc}\frac{2^\nu\sqrt{\pi}}
{\Gamma((1-\nu)"slash2)}
&
-\frac{2^{\nu+1}\sqrt{\pi}}
{\Gamma(-\nu"slash2)}
\\ \frac{2^{-\nu-1}\sqrt{\pi}}
{\Gamma((2+\nu)"slash2)}
&
-\i\frac{2^{-\nu}\sqrt{\pi}}
{\Gamma((\nu+1)"slash2)}
\end{array}\right]=-\i\e^{\i\pi\nu"slash2}\neq0.\]
\qed



\bet
\[
\begin{array}{l}
H_\nu(z)=\frac{2^\nu\Gamma(\nu+1)}{\sqrt{\pi}}\left(
\e^{i\pi\nu"slash2}\tH_{\nu}(z)+\e^{-i\pi\nu"slash2}\tH_{\nu}(-z)
\right)\\[2mm]
\tH_{\nu}(iz)=\frac{\Gamma(-\nu)2^{-\nu-1}}{\sqrt{\pi}}
\left(\e^{i\pi(\nu+1)"slash2}H_\nu(z)+
\e^{-i\pi(\nu+1)"slash2}H_\nu(-z)\right)
\end{array}\]
\eet

\proof Udowodnijmy drug"a to"rsamo"s"c.
Niech \[\tilde H_\nu(z)=a_+ H_\nu(z)+a_-H_\nu(-z).\]
Wtedy
\[\begin{array}{l}
\tilde H_\nu(0)=a_+ H_\nu(0)+a_-H_\nu(0),\\[3mm]
\tilde H'_\nu(0)=a_+ H'_\nu(0)+a_-H'_\nu(0),
\end{array}\]
Zatem
\[\begin{array}{l}
a_+\frac{2^\nu\sqrt\pi}{\Gamma(\frac{1-\nu}{2})}+
a_-\frac{2^\nu\sqrt\pi}{\Gamma(\frac{1-\nu}{2})}=
\frac{2^{-\nu-1}\sqrt\pi}{\Gamma(\frac{2+\nu}{2})},\\[3mm]
-a_+\frac{2^{\nu+1}\sqrt\pi}{\Gamma(\frac{-\nu}{2})}+
a_-\frac{2^\nu\sqrt\pi}{\Gamma(\frac{-\nu}{2})}=
-\i\frac{2^{-\nu}\sqrt\pi}{\Gamma(\frac{1+\nu}{2})}.
\end{array}\]
Wyliczamy
\[\begin{array}{l}a_\mp=2^{-2\nu-2}\big(\frac{\Gamma(\frac{1-\nu}{2})}
{\Gamma(\frac{2+\nu}{2})}\mp\i\frac{\Gamma(-\frac{\nu}{2})}
{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}\big)=\frac{2^{-\nu-1}}{\sqrt\pi}
\Gamma(-\nu)\e^{\mp\i\frac{\pi}{2}(\nu+1)}\end{array}\]
\qed

\bet
Mamy relacj"e
\[\tH_\nu(z)=\e^{z^2}H_{-\nu-1}(\i z).\]
\eet
\proof Sprawdzamy, "re
$\e^{z^2}H_{-\nu-1}(\i z)$ spe"lnia warunki pocz"atkowe $\tH(z)$.
\qed


\bet
a) Niech $\Re\nu<0$. Wtedy
\[H_\nu(z):=\frac{1}{\Gamma(-\nu)}\int_{[0,\infty[}
\e^{-s^2-2zs}s^{-\nu-1}\d s\]
\newline
b) Je"sli $\Re\nu>-1$, to mamy reprezentacj"e
\[
H_\nu(z)=
\frac{1}{2\i\Gamma(\nu+1)\sin\frac{\pi}{2}(\nu+1)}
%\frac{2^\nu}{i\sqrt{\pi}}
\int_{]-\i\infty,0^+,\i\infty[}\e^{(s+z)^2}s^\nu\d s
\]
c) Je"sli $\nu\neq\dots,-2,-1,$ to
\[
H_\nu(z):=\frac{\Gamma(\nu+1)}{2\pi i}\int_{]-\infty,0^+,-\infty[}
\e^{-s^2+2zs}s^{-\nu-1}\d s
\]
\eet

\proof
Z Twierdzenia \ref{integ} wynika, "re ca"lki te spe"lniaj"a r"ownanie
Hermite'a. Nast"epnie sprawdzamy, "re spe"lnione s"a odpowiednie warunki
pocz"atkowe.  
Korzystamy ze wzor"ow
\[\begin{array}{l}\int_0^\infty\e^{-t^2}t^\mu\d
t=\12\Gamma(\frac{\mu+1}{2}),\end{array}\] 
\[\begin{array}{l}
\int_{]-\i\infty,0^+,\i\infty[}\e^{s^2}s^\mu\d s
=\i\sin\frac{\pi}{2}(\mu+1)\Gamma(\frac{1+\mu}{2})
=\frac{\i\pi}{\Gamma(\frac{1-\mu}{2})}.\end{array}\]


c) mo"rna te"r wyprowadzi"c z a), korzystaj"ac z
\[(-\e^{i\pi\nu}+\e^{-i\pi\nu})
H_\nu(z):=\frac{1}{\Gamma(-\nu)}\int_{\gamma_3}
\e^{-s^2+2zs}s^{-\nu-1}\d s\]
\qed




\bet
Reprezentacje ca"lkowe innych rozwi"aza"n r"ownania Hermite'a:
\[\begin{array}{l}
H_\nu(-z):=\frac{\e^{\pm i\pi(\nu+1)}}{\Gamma(-\nu)}\int_{]-\infty,0\pm\i 0[}
\e^{-s^2-2zs}s^{-\nu-1}\d s,\\[2mm]
\tH_{\nu}(\pm z)
=\frac{\e^{\pm i\pi(\nu+1)"slash2}}
{2\Gamma(\nu+1)\sin\frac{\pi}{2}(\nu+1)}
\int_{-\infty,0^\pm,\infty[}
\e^{-s^2-2zs}s^{-\nu-1}\d s.\end{array}\]
\eet


\bet Zwi"azki rekurencyjne
\[\begin{array}{l}
\p_zH_\nu(z)=2\nu H_{\nu-1}(z),\\[2mm]
(\p_z-2z)H_\nu(z)=-H_{\nu+1}(z),\\[3mm]
H_\nu(z)=2zH_{\nu-1}(z)-2(\nu-1)H_{\nu-2}(z).
\end{array}
\]
\eet





\subsection{Wielomiany Hermite'a}



W tym podrozdziale om"owimy wielomiany Hermite'a. Przynajmniej na
pocz"atku, nasze rozwa"rania b"ed"a niezale"rne od materia"lu z poprzednich
podrozdzia"l"ow.



Wielomiany Hermite'a mo"rna zdefiniowa"c jednym z nast"epuj"acych
r"ownowa"rnych wzor"ow.
 (1) Wz"or Rodrigueza
\[
H_n(z)=(-1)^n\e^{z^2}\p_z^n\e^{-z^2}.
\]
(2) Reprezentacja ca"lkowa
\[
H_n(z):=\frac{n!}{2\pi i }\int_{[0^+]}
\e^{-s^2+2zs}s^{-n-1}\d s.
\]
(3) Funkcja tworz"aca.
\beq
\sum_{n=0}^\infty
H_n(z)\frac{t^n}{n!}=\exp(2zt-t^2).
\label{gen}\eeq



 Parzysto"s"c wielomian"ow Hermite'a:
\[
H_{n}(-z)=(-1)^nH_{n}(z)\]
Korzystaj"ac z tego i 
(\ref{gen}) dostajemy:

\bet Funkcje tworz"ace parzystych i nieparzystych wielomian"ow Hermite'a
\[\begin{array}{rl}
\sum_{m=0}^\infty(-1)^mH_{2m}(x)\frac{z^{2m}}{(2m)!}
&=\exp(z^2)\cos(\sqrt{2}xz),\\[2mm]
\sum_{m=0}^\infty(-1)^mH_{2m+1}(x)\frac{z^{2m+1}}{(2m+1)!}
&=\exp(z^2)\sin(\sqrt{2}xz).
\end{array}\]
\eet


\bet
\[\begin{array}{l}
\p_zH_\nu(z)=2\nu H_{\nu-1}(z),\\[2mm]
(\p_z-2z)H_\nu(z)=-H_{\nu+1}(z),\\[3mm]
H_\nu(z)=2zH_{\nu-1}(z)-2(\nu-1)H_{\nu-2}(z),\\[3mm]
(\p_z^2-2z\p_z+2n)H_n(z)=0.
\end{array}
\]
\eet
\proof
Zwi"azki rekurencyjne wynikaj"a z tego co nast"epuje:
\[\begin{array}{rl}\p_z\e^{z^2}\p_z^n\e^{-z^2}&
=2z\e^{z^2}\p_z^n\e^{-z^2}+\e^{z^2}\p_z^{n+1}\e^{-z^2}\\[2mm]
&
=2z\e^{z^2}\p_z^n\e^{-z^2}-\e^{z^2}\p_z^{n}2z\e^{-z^2}\\[2mm]
&=-2n\e^{z^2}\p_z^{n-1}\e^{-z^2}.\end{array}\]
\qed




\bet
Niech $n=0,1,\dots$. Wtedy funkcja Hermite'a
 $H_n(z)$  zdefiniowana w poprzednim podrozdziale
jest r"owne wielomianowi Hermite'a $H_n(z)$ zdefiniowanemu w tym podrozdziale
\eet
\proof
\[\12\frac{\Gamma(\frac{m-\nu}{2})}{\Gamma(-\nu)}=
\frac{\Gamma(1+\nu)\sin\pi\nu}{\Gamma(1+\frac{\nu-m}{2})
2\sin\frac{\pi(\nu-m)}{2}}.\]
Mamy
\[\lim_{\eta\to n}\frac{\sin\pi\eta}{2\sin\frac{\pi(\eta-m)}{2}}
=\left\{\begin{array}{ll}
0&\frac{n-m+1}{2},\in\zz\\
(-1)^{-n}(-1)^{\frac{n-m}{2}},&\frac{n-m}{2}\in\zz.\end{array}\right.
\]
Zatem
\[H_n(z)=
\sum_{\frac{n-m}{2}\in\zz}(-1)^{\frac{n-m}{2}}
\frac{\Gamma(1+\frac{n-m}{2})}{m!\Gamma(1+n)}
(2z)^m.\]





\bet
Jawny wz"or:\[H_n(z)=
\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\frac{n!(-1)^k}{k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k}.\]
  Warunki pocz"atkowe
\[\begin{array}{ll}
H_{2m}(0)=(-1)^{m}\frac{(2m)!}{m!}=(-1)^m2^{2m}(\12)_m,\ \ &H'_{2m}(0)=0,\\[2mm]
H_{2m+1}(0)=0,& H'_{2m+1}(0)=(-1)^{m}2\frac{(2m+1)!}{m!}
=(-1)^m2^{2m+1}(\frac{3}{2})_m.\end{array}\]
\eet




\bet
\[\int_{-\infty}^\infty\e^{-x^2}H_n(x)H_m(x)\d x=\delta_{n,m}n!2^n\sqrt{\pi}.
\]
\eet

\proof
\[\begin{array}{rl}
2n\int_{-\infty}^\infty
\e^{-x^2}H_n(x)H_m(x)\d x&=-\int_{-\infty}^\infty\e^{-x^2}\big(
\p_x\e^{-x^2}\p_x
H_n(x)\big)H_m(x)\d x=\\[3mm]&
=-\int_{-\infty}^\infty\e^{-x^2}\big(
\p_x\e^{-x^2}\p_x
H_m(x)\big)H_n(x)\d x=\\[3mm]&
=2m\int_{-\infty}^\infty
\e^{-x^2}H_n(x)H_m(x)\d x\end{array}\]
To dowodzi wzoru dla $n\neq m$.



Niech
\[c_n=\int_{-\infty}^\infty\e^{-x^2}(H_n(x))^2\d x.\]
Mamy $c_0=\sqrt\pi$. Korzystaj"ac z
\[\p_z\e^{-z^2}H_n(z)=-H_{n+1}(z)\]
dostajemy
\[c_n=-\int_{-\infty}^\infty\p_x(\e^{-x^2}(H_n(x))^2\d x=2nc_{n-1}.\]
\qed

Rozwa"rmy przestrze"n Hilberta ${\cal H}:=L^2(\rr^2,\e^{-x^2}\d x)$
z iloczynem skalarnym i norm"a
\[(f|g):=\int_{-\infty}^\infty\bar f(x)g(x)\e^{-x^2}\d x,\ \ \ \ 
\|f\|:=|(f|f)|^{\12}.\]
Wtedy
\[\frac{1}{\sqrt{n!2^n\sqrt\pi}}H_n(x)\]
jest baz"a ortonormaln"a.

\bet
\[x^n=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\frac{n! H_{n-2k}(x)}{2^nk!(n-2k)!}.\]
\eet

\proof
\[\begin{array}{rl} x^n&=\sum_{m=0}^\infty\frac{(H_m|x^n)H_m}{\|H_m\|^2}\\[3mm]
&=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\frac{(H_{n-2k}|x^n)H_{n-2k}}{\|H_{n-2k}\|^2}
\end{array}\]
\[\begin{array}{rl}(H_{n-2k}|x^n)&=\int_{-\infty}^\infty
x^n(-1)^{n-2k}\p_x^{n-2k}\e^{-x^2}\d x\\[3mm]
&=(2k+1)\cdots n\int_{-\infty}^\infty
x^{2k}\e^{-x^2}\d x=(2k+1)\cdots n\Gamma(\frac{2k+1}{2})\\[3mm]
&=(2k+1)\cdots n\Gamma(\12)\12\frac{3}{2}\cdots\frac{2k-1}{2}=
\frac{n!\sqrt\pi}{2^{2k}k!}
\end{array}\]
\[\frac{(H_{n-2k}|x^n)}{\|H_{n-2k}\|^2}
=\frac{n!\sqrt\pi}{k!2^{2k}\sqrt{\pi}(n-2k)!2^{n-2k}}
=\frac{n! }{2^nk!(n-2k)!}
\]\qed



