%% Local IspellDict: polish
\documentclass
[
12pt,      
a4paper,    % rozmiar papieru
%intlimits, % z amsmath
%titlepage, % strona tytułowa generowana automatycznie
twoside     % drukowanie dwustronne
]
{article}
%{report}


%% P A C K A G E S

\usepackage[T1]{fontenc}         % (polskie) fonty w kodowaniu T1
\usepackage[latin2]{inputenc}    % kodowanie polskich liter w pliku
\usepackage{polski}              % polskie nazwy jak Rozdział itp.
\usepackage{indentfirst}         % pierwszy akapit rozdziału wcięty jak reszta
\usepackage[scriptsize,tight]{subfigure} % podrysunki

\usepackage{ae,aecompl}          % dla lepszych fontów w PDF

% UKŁAD STRONY I PAGINA
%\usepackage{a4p}                % a4p z dina4p - rozmiar strony A4 (-> vmargin)
\usepackage[A4]{vmargin}         % rozmiar strony A4
\usepackage{fancyhdr}            % do żywej paginy

% MATEMATYKA
\usepackage{amsmath}             % AMS-LaTeX (AMS-Math)
\usepackage{amsfonts}            % ekstra fonty matematyczne
\usepackage{amssymb}             % ekstra symbole matematyczne
\usepackage{bm}                  % pogrubione symbole matematyczne (bold math)

% GRAFIKA
%\usepackage{feynmp}             % automatycznie diagramy Feynmanna (METAPOST)
\usepackage{epic,eepic}          % rozszerzenie możliwości otoczenia picture
\usepackage{graphicx}            % do wstawiania obrazków PostScriptowych (także EPS)
\usepackage{psfrag}              % podmienianie napisów w~obrazkach EPS na LaTeX-owe

% DRAFT
\usepackage{syntonly}            % daje komendę \syntaxonly, dla sprawdzania składni
\usepackage{comment}             % do robienia komentarzy w pliku

% REFERENCJE
\usepackage[polish]{varioref}    % np. 'Rys. N na poprzedniej stronie'
\def\eob{\k{e}}
\def\aob{\k{a}}
\def\zkb{\.{z}}

% INNE
\usepackage{enumerate}           % otoczenie enumerate z (opcjonalnym) wyborem stylu
%\usepackage{enumitem}           % lepsze otoczenia enumerate i itemize
\usepackage{url}                 % do wypisywania URL itp. bez łamania (jak \verb)
\usepackage{slashed}             % 'kreślone' litery - zwężenia czterowektorów 
                                 % z macierzami gamma Diraca

% HIPERŁĄCZA (powinien być ostatnim pakietem)
\usepackage[dvips,a4paper]{hyperref}  % hiperłącza


%% P R E A M B L E %%

%\syntaxonly                     % bez produkowania plików wynikowych (szybciej)
\numberwithin{equation}{section} % numeryjemy równania wewnątrz section
%\pagestyle{headings}            % pełne nagłowki i stopki
\pagestyle{fancy}                % pagina kontrolowana przez fancyhdr
%%\bibliographystyle{ieeetr}     % styl bibliografii (unsrt)
\bibliographystyle{makebst-num}  % styl bibliografii (własny)
%\def\BIBand{i}                  % BibTeX polonizacja
%\def\BIBand{,}                  % BibTeX polonizacja


\hfuzz=5pt % linia musi wystawac więcej niż 5 pt poza mrgines by się tym martwić
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}  % podwójna interlinia 

% ŻYWA PAGINA
\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markboth{\thesection.\ #1}{\thesection.\ #1}}
\renewcommand{\subsectionmark}[1]{\markright{\thesubsection.\ #1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}}
%\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markboth{\chaptername \ \thesection.\ #1}{}}
%\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{thesection\ #1}}
\fancyhf{} % usuń bieżące ustawienia pagin
\fancyhead[LE,RO]{\small\bfseries\thepage}
\fancyhead[LO]{\small\bfseries\rightmark}
\fancyhead[RE]{\small\bfseries\leftmark}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.pt}
%\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}
%\fancyfoot[C]{\small Wydrukowane\ \today}
%\addtolength{\footheight}{0.5pt}  %pion odstep na kreske
\fancypagestyle{plain}{
  \fancyhead{}
  %\fancyfoot{}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
  %\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
}

% AMSMATH
%\allowdisplaybreaks[4]               % łamanie równań na strony (1-4)
\newcommand{\MM}{\ensuremath{\tilde{M}}}
%%\newcommand{\kk}{\ensuremath{\tilde{k}}}
\newcommand{\GeV}{\text{GeV}}

\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\id}{id}     % ewentualnie blackboard bold 1 z REVTeX-a
\DeclareMathOperator{\erf}{erf}   % \erf(z)  = 2/\sqrt(\pi) \int_0^z \exp(-t^2) dt
\DeclareMathOperator{\erfc}{erfc} % \erfc(z) = 1 - \erf(z)
\DeclareMathOperator{\idxmin}{idxmin} 
\def\grad{\nabla}

% FEYNMF
%\fmfset{wiggly_len}{2 mm}

% DZIELENIE WYRAZÓW
%\hyphenation{czyn-ni-ki re-gu-la-tor} 


%% GDZIE ZNAJDOWAĆ RYSUNKI %%
\graphicspath{{.}{rysunki/}}

%% SKALE WYKRESÓW %%

\def\spinfigscale{0.38}
\def\minscale{0.55}
\def\scanscale{0.45}

\def\2scale{0.47}   %% dla wykresow jeden obok drugiego
\def\scale{0.8}      
\def\1scale{\scale} %% dla pojedynczych wykresow

%% INNE DEFINICJE %%

%% sprzężenie hermitowskie itp.
% P R A W D Z I W E
\newcommand{\hc}[1]{{#1}^{\dagger}}                   % sprzężenie hermitowskie (krzyż)
\newcommand{\hci}[2]{{#1}_{#2}^{\dagger}}             % sprzężenie hermitowskie z indeksem
\newcommand{\cc}[1]{{#1}^{\ast}}                      % sprzężenie zespolone (gwiazdka)
\newcommand{\cci}[2]{{#1}_{#2}^{\ast}}                % sprzężenie zespolone z indeksem
%\newcommand{\cc}[1]{\overline{#1}}                   % sprzężenie zespolone (kreska)
% F A K E sprzężenia (do uzyskania takiego samego wyrównania jak w.w.)
\newcommand{\fhc}[1]{{#1}^{\vphantom{\dagger}}}       % jak sprzężenie hermitowskie
\newcommand{\fhci}[2]{{#1}_{#2}^{\vphantom{\dagger}}} % jak sprzężenie hermitowskie z indeksem
\newcommand{\fcc}[1]{{#1}^{\vphantom{\ast}}}          % jak sprzężenie zespolone
\newcommand{\fcci}[2]{{#1}_{#2}^{\vphantom{\ast}}}    % jak sprzężenie zespolone z indeksem  

%% oznaczenia wektorów, macierzy...
\newcommand{\vect}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}       % wektor (np. mathbf)
\newcommand{\matr}[1]{\ensuremath{#1}}                % macierz

%% wartość bezwzględna i norma
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}                 % wartość bezwzględna
\newcommand{\norm}[1]{\lVert#1\rVert}                % norma

%% ZMIENNE
\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}

%% oznaczenia postaci czynników spinowych w hybrydzie
\def\uev{\ensuremath{\bar{u} \slashed{\varepsilon} v}}
\def\uGPv{\ensuremath{\bar{u} G P v}}
\def\ugPv{\ensuremath{\bar{u} \tilde{G} P v}}
\def\uGpv{\ensuremath{\bar{u} G \tilde{P} v}}
\def\ugpv{\ensuremath{\bar{u} \tilde{G} \tilde{P} v}}
\def\fxx{$N \neq 1$}
\def\nofxx{$N = 1$}
\def\A{\ensuremath{\cal A}}

\def\e#1{\ensuremath{\null \cdot 10^{#1}}}
\def\m#1{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\def\M#1{\ensuremath{\mathbf{#1}}}

%\newcommand{\qqg}{\ensuremath{\lvert q_{\lambda} \bar{q}_{\lambda} g_{\lambda} \rangle}}
%\newcommand{\gg}{\ensuremath{\lvert g_{\lambda} g_{\lambda} \rangle}}
%\newcommand{\Gg}{\ensuremath{\lvert G_{h\lambda} g_{\lambda} \rangle}}
%\newcommand{\G}{\ensuremath{G_{h\lambda}}}

% ped bozonu (w~rozpadzie hybrydy)
\newcommand{\kk}{\ensuremath{k_5}}
\newcommand{\kr}{\ensuremath{\tilde{k}}}

%% KONTROLA OBIEKTÓW PŁYWAJĄCYCH (FLOAT), JAK RYSUNKI I TABELE %%
\renewcommand{\textfraction}{0.05}
\renewcommand{\topfraction}{0.97}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.97}
\setcounter{topnumber}{3}
\setcounter{bottomnumber}{3}
\setcounter{totalnumber}{5}

\setlength{\fboxsep}{0pt}

%\providecommand*{\affiliation}{\address}
%\providecommand*{\pacs}{\PACS}


\begin{document}

%\frontmatter
\begin{titlepage}
\begin{center}
  \hbox{}
  \vfill
  \vspace{1.cm}
  % Uniwersytet Warszawski
  {\bfseries \huge 
    Przybliżony opis układów kwarkowo--gluonowych w~chromodynamice kwantowej}\\
   \vspace{2.cm}
  {\Large \bfseries
    Jakub Narębski} \\
   \vspace{0.5cm}
  {\large 
     praca doktorska} \\
   \vspace{2.5 cm}
   \includegraphics[width=4 cm]{uw.eps}\\
   %\includegraphics[width=.3 \linewidth]{orzelek.ps}\\
   %\vspace{4 cm}
   \vspace{2.5 cm}
   { \large 
     {\bfseries Promotor: prof. dr hab. Stanisław Głazek} \\
   }
   \vspace{2.cm}
   \large{Warszawa, 2010}
   \vfill
\end{center}
\end{titlepage}

\newpage
\thispagestyle{empty}
\null
\vfill
\parbox[b]{0.8\linewidth}{%%
  Promotorowi za inspirującą pomoc i~opiekę w~czasie wykonywanej
  pracy, oraz za cierpliwość w~oczekiwaniu na jej wyniki serdecznie
  dziękuję.
%%
}
\vspace*{20ex}
\null
\newpage

\begin{abstract}
  Tematem niniejszej pracy jest przybliżony opisu stanów związanych
  kwarków i~gluonów według zasad opartych na chromodynamice kwantowej
  (QCD). Rozważany jest najprostszy stan, w~którym oprócz kwarku
  i~antykwarku istotnym elementem struktury są gluony. Stan ten oznaczany jest
  symbolem $\lvert h \rangle$ i~nazwany mezonem hybrydowym,
  albo w~skrócie hybrydą.

  Punktem wyjścia do skonstruowanego tutaj opisu hybrydy była metoda renormalizacji za
  pomocą cząstek efektywnych, zastosowana do hamiltonianu QCD.
  Obliczenia prowadzono w~ramach dynamiki na froncie świetlnym,
  umożliwiającej koncepcyjnie reprezentację stanów związanych w~QCD
  jako stanów złożonych z~minimalnej liczby cząstek efektywnych.  
  W~ramach tej reprezentacji założono,
  że stan hybrydy $\lvert h \rangle$ można przybliżyć stanem $\lvert
  q_\lambda \bar{q}_\lambda g_\lambda \rangle$, w~którym kwarki
  $q_\lambda$ i~$\bar{q}_\lambda$ oraz gluon $g_\lambda$ charakteryzują się parametrem skali
  $\lambda$ rzędu masy hybrydy.  Badano warunki jakie muszą być
  spełnione przez funkcje falowe stanu $\lvert q_\lambda
  \bar{q}_\lambda g_\lambda \rangle$ w~skonstruowanym opisie.

  Uzyskane wyniki wskazały, że warunki symetrii szczególnej teorii
  względności dla amplitud rozpadu hybrydy na dwa mezony, poruszające
  się z~relatywistycznymi prędkościami, mogą być spełnione gdy
  funkcja falowa stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
  przyjmuje szczególną postać.  Postać ta charakteryzuje się tym, że
  szerokość pędowej funkcji falowej pary kwark--antykwark w~hybrydzie
  jest rzędu szerokości pędowej czynnika kształtu $f_{\lambda}$ w~wierzchołkach
  oddziaływania w~zrenormalizowanym hamiltonianie QCD, który QCD wyliczono w~pierwszym rzędzie
  w~efektywnej stałej sprzężenia $g_{\text{QCD}\lambda}$, odpowiadającej
  skali $\lambda$.  Innymi słowy, przestrzenna funkcja falowa pary
  opisuje układ kwark--antykwark o~rozmiarach znacznie mniejszych niż
  odległość między parą a~gluonem.  Otrzymana
  relatywistyczna struktura stanu $\lvert q_\lambda \bar{q}_\lambda
  g_\lambda \rangle$ różni się od postaci stanów $\lvert h \rangle$
  rozważanych w~typowych nierelatywistycznych modelach hybrydy, 
  w~których gluon lub struna gluonowa znajdują się między kwarkami.

  W~poszukiwaniu dynamicznego mechanizmu powstawania
  otrzymanej relatywistycznej struktury $\lvert q_\lambda
  \bar{q}_\lambda g_\lambda \rangle$ zauważono, że para
  kwark-antykwark o~rozmiarach rzędu $1/\lambda$ może powstawać ze
  stanu $\lvert g_\lambda g_\lambda \rangle$ w~wyniku działania
  członu $H_{I\lambda}$ w~hamiltonianie QCD, zamieniającego
  gluon na parę kwark-antykwark w~rozpadzie hybrydy.  Człon $H_{I\lambda}$
  zawiera czynnik kształtu o~pędowej szerokości $\lambda$
  i~ta szerokość mogłaby dawać dużą pędową szerokość funkcji
  falowej ruchu względnego w~parze, rzędu $\lambda$.
  Żeby sprawdzić racjonalność tej hipotezy,
  zbadane zostały uproszczone modele dynamiczne mieszania stanu $\lvert
  q_\lambda \bar{q}_\lambda g_\lambda \rangle$ ze stanem $\lvert
  g_\lambda g_\lambda \rangle$, uwzględniające jakościowo cechy
  dynamiki kwarków i~gluonów w~QCD.  Modelowe uproszczenia pełnej
  dynamiki QCD były konieczne z~powodu współczesnych braków 
  w~zrozumieniu wyników doświadczalnych i~braku teorii niezbędnych struktur.

  W~szczególności, rozważano modele jednowymiarowe, gdyż liczba stanów
  niezbędnych do rachunków w~2 lub 3 wymiarach okazała się za duża
  do ich wykonania.
  Przejście od najprostszego, analitycznego modelu mieszania
  w~jednym wymiarze do modeli bardziej zbliżonych
  swoją strukturą do struktury hamiltonianu QCD dla skali $\lambda$
  rzędu masy hybrydy związane jest ze znacznymi trudnościami
  numerycznymi.  Pełna analiza QCD jest poza zasięgiem obecnie
  dostępnych metod analitycznych i~numerycznych.  Przedstawiona w~pracy analiza
  uproszczonych modeli numerycznych pozwoliła jedynie stwierdzić, że
  dynamiczne mieszanie stanów $\lvert q_\lambda \bar{q}_\lambda
  g_\lambda \rangle$ i $\lvert g_\lambda g_\lambda \rangle$ może
  prowadzić do powstawania składowej $\lvert
  q_\lambda \bar{q}_\lambda g_\lambda \rangle$ o~strukturze zbliżonej
  do otrzymanej z~warunków
  relatywistycznej symetrii dla procesów rozpadu hybrydy na dwa
  mezony.

  Jednak otrzymane wyniki nie dają się 
  zastosować wprost do opisu hybrydy jako stanu zdominowanego przez
  składową $\lvert q_\lambda \bar{q}_\lambda g_\lambda \rangle$.
  Potrzebna w~tym mechanizmie stała sprzężenia $g_\lambda$
  musi być rzędu jedności, a~wtedy prawdopodobieństwo składowej
  $\lvert g_\lambda g_\lambda \rangle$ jest porównywalne
  lub nawet większe od prawdopodobieństwa składowej
  $\lvert q_\lambda \bar{q}_\lambda g_\lambda \rangle$.  Otrzymane wyniki,
  zakładające sprzężenie z~parą gluonów efektywnych,
  nie stosują się do hybrydy
  o~niezerowym izospinie, mimo, że z~opisanych badań rozpadów wynika
  tego samego typu struktura relatywistyczna dla hybryd o~dowolnym izospinie.

  Obejście tych trudności polega na założeniu, że
  dynamiczne mieszanie sektora $\lvert q_\lambda \bar{q}_\lambda
  g_\lambda \rangle$ ze wszystkimi pozostałymi sektorami Focka kwarków
  i~gluonów efektywnych w~hybrydzie można przybliżyć za pomocą
  mieszania sektora $\lvert q_\lambda \bar{q}_\lambda g_\lambda
  \rangle$ ze stanami $\lvert g_\lambda G_\lambda \rangle$.  Cząstka
  $G_\lambda$ jest (hipotetycznym) rezonansowym stanem oktetowym w~kolorze,
  odpowiadającym wewnętrznie wzbudzonemu gluonowi
  efektywnemu.  Rozpad hybrydy za pośrednictwem $H_{I\lambda}$ zachodzić może
  tylko ze składowej $\lvert q_\lambda \bar{q}_\lambda g_\lambda
  \rangle$, ponieważ element macierzowy $\langle q_\lambda \bar{q}_\lambda |
  H_I | G_\lambda \rangle$ znika.  Hipoteza powstawania
  rezonansów $G_\lambda$ nie napotyka na trudności z~jakimi nie radzi
  sobie hipoteza mieszania dynamicznego ze stanem
  $|g_{\lambda} g_{\lambda} \rangle$.  Można więc powiedzieć, że
  hipoteza formowania $G_{\lambda}$ wyróżnia nowy kierunek 
  w~przestrzeni stanów kwarków i~gluonów efektywnych, w~zupełnie
  nie znanym obszarze nieperturbacyjnym.   Dochodzimy do wniosku,
  że właśnie w~tym kierunku mogą iść przyszłe
  próby konstrukcji przybliżonych rozwiązań QCD
  dla hybryd, w~zgodzie z~zasadami szczególnej teorii względności
  i~procedury grupy renormalizacji dla hamiltonianów w~kwantowej
  teorii pola.
\end{abstract}

%\vspace{3.cm}
%\vfill
%\vfill
%\hbox{}

\newpage
%%\cleardoublepage


\tableofcontents

\cleardoublepage

\cleardoublepage

%\mainmatter

\section{Wprowadzenie}
\label{sec:wstep}

Chromodynamika kwantowa (QCD) jest kwantową teorią pola z~nieabelową
grupą cechowania.  Z~niezmienniczości względem cechowania wynika brak
członu masowego dla kwantów pola cechowania $A$, czyli gluonów,
w~lagranżjanie.  Nieabelowość grupy cechowania QCD powoduje, że gluony
oddziałują nie tylko z~kwarkami, ale także z~innymi gluonami.  Fakt
ten daje możliwość istnienia złożonych stanów związanych, zawierających jako
istotną część składową gluonową.  Przykładem takiego stanu jest stan
kwarkowo--gluonowy złożony z~kwarku, antykwarku i~gluonu, zwany dalej
hybrydowym mezonem, albo w~skrócie hybrydą.

Niektóre z~nowych stanów ze składnikiem gluonowym mają egzotyczne
liczby kwantowe, to znaczy takie jakich nie można uzyskać składając
wyłącznie kwark z~antykwarkiem.  Precyzyjne przewidywania dotyczące
cząstek zbudowanych z~udziałem gluonów stanowiłyby podstawę do testu
QCD za pomocą doświadczeń.
%%
Niniejsza praca dotyczy poszukiwania teoretycznego obrazu hybrydy
w~przestrzeni Minkowskiego, który to obraz mógłby służyć jako pierwsze
przybliżenie, spełniające wymagania symetrii i~zasad dynamiki.

Efektywna stała sprzężenia QCD maleje wraz ze wzrostem przekazu pędu (asymptotyczna swoboda).  
Za pomocą rachunku zaburzeń (w~skrócie zwanego dalej ``perturbacyjną
QCD'') można zatem opisywać procesy charakteryzujące się dużymi
przekazami pędu między kwarkami i~gluonami.  Podstawą opisu hadronów,
biorących udział w~procesach wysokoenergetycznych, w~których znajduje
zastosowanie rachunek zaburzeń QCD, jest model partonowy~\cite{Feynman:parton_model:1969ej}.
W~modelu tym hadrony opisywane są za pomocą funkcji rozkładu kwarków
i~bezmasowych gluonów.

Z~drugiej strony efektywna stała sprzężenia QCD rośnie wraz
ze~zmniejszaniem przekazu pędu.  Fakt ten powoduje, że
wiązanie kwarków i~gluonów w~hadrony nie jest opisywane przez
perturbacyjną QCD.  Opis hadronów za pomocą niewielkiej liczby
składników w~ramach perturbacyjnej QCD jest niemożliwy.

W~modelu kwarków konstytuentnych (CQM) hadrony opisywane są natomiast jako stany
związane 2 lub 3 kwarków składnikowych~\cite{Lipkin:CQM:1973nt}.  Model ten powstał w~celu
wyjaśnienia systematyki hadronów zanim powstała QCD i~posługuje się
minimalną liczbą cząstek potrzebnych by opisać niskoenergetyczne
własności hadronów.  Klasyfikacja znanych hadronów w~tablicach cząstek
elementarnych~\cite{PDBook2006} oparta jest na liczbach kwantowych
kwarków używanych w~modelu konstytuentnym.  Mezony opisywane są jako układy
kwark--antykwark ($q\bar{q}$), a~bariony jako układy trzech kwarków
($qqq$).
%%
Kwarki w~tym modelu mają duże masy, rzędu 1/3
masy nukleonu (rzędu 300 MeV).   Oddziaływania między kwarkami 
opisywane są za pomocą odpowiednio dobranego potencjału.
%% dobranego tak aby dać uwięzienie i~masy hadronów
Strukturę kolorową potencjału wybiera się taką samą jak
struktura kolorowa wymiany pojedynczego gluonu~\cite{Greenberg:V_color:1981xn}. %% ???

Gluonów jako takich nie ma w~modelu kwarków konstytuentnych.
Przy ich uwzględnianiu w~ramach rozszerzeń modelu trzeba byłoby wyjaśnić
dlaczego gluony są mało widoczne w~spektrum zwykłych mezonów i~barionów. 
Ażeby gluony można było wyeliminować, należałoby na przykład
nadać im duże masy efektywne.
Efekty relatywistyczne w~modelu CQM uwzględniane są (między innymi) wprowadzając
dodatkowe człony do potencjału wiązania~\cite{StanleyRobson:mesons:1980zm,GodfreyIsgur:mesons:1985xj};
pozwala to opisać wszystkie mezony, od $\pi$ do $\Upsilon$, w~ramach jednego modelu.

Nie jest znany poprawny relatywistycznie opis hadronów, który obejmowałby
kwarkowo--gluonowe stany związane i~ich rozpady.  Nie są znane również
potrzebne rozwiązania QCD, z~wyjątkiem symulacji sieciowych~\cite{Wilson:lattice:2004de,%%
Durr:lattice-results:2008zz,Wilczek:lattice:2008zza}. %% ???
Obliczenia na sieci dają bardzo dobre wyniki na masy hadronów, z~dokładnością do $1 \%$,
ale nie określają ich funkcji falowych w~przestrzeni Minkowskiego.  

Powstaje zatem pytanie, jaki obraz
fizyczny układów kwarkowo--gluonowych może spełniać żądania symetrii,
których oczekuje się od rozwiązań QCD.

\medskip

Niniejsza praca opisuje wyniki analizy rozpadu i~dynamiki tworzenia
układów typu hybryda, w~postaci jak najprostszego obrazu fizycznego.
Taki obraz mógłby być pomocny w~odpowiedzi na aktualne pytanie
jak uwzględniać gluony jako składniki hadronów (jako cząstki
konstytuentne) na poziomie funkcji falowych.

Poszukiwany obraz i~metoda jego wyprowadzenia powinny spełniać podstawowe warunki,
których spełnienia oczekujemy od kandydatów na pierwsze przybliżenie w~opisie stanów
kwarkowo--gluonowych.  Opis ten ma być zdefiniowany w~ramach
konkretnego sformułowania QCD, z~jasną ścieżką możliwości rozszerzania
i~udoskonalania w~sensie zwiększania precyzji.
Ważnym wymaganiem jest aby opis stanów związanych i~ich rozpadów 
był relatywistyczny, bowiem interesujące nas procesy fizyczne zachodzą
z~udziałem cząstek poruszających się z~dużymi prędkościami.
Uzyskany obraz powinien być zgodny
z~fenomenologią hadronów, która opiera się na
klasyfikacji hadronów w~modelu konstytuentnym.  Potrzebna jest więc
metoda, za pomocą której będzie można powiązać chromodynamikę kwantową
z~modelem kwarków konstytuentnych.

Metoda, na której oparte jest rozumowanie w~tej pracy to procedura
grupy renormalizacji dla cząstek
efektywnych (RGPEP = Renormalization Group Procedure for Effective
Particles)~\cite{Glazek:1993rc,Glazek:1994qc,Glazek:1997sd}. 
Procedura RGPEP stwarza możliwość teoretycznego połączenia
obrazu rozciągłych cząstek konstytuentnych modelu kwarkowego
z~punktowymi kwarkami i~gluonami kanonicznej QCD.  Powiązanie
z~kanoniczną QCD daje ścieżkę udoskonalania otrzymanego opisu, a~powiązanie
z~modelem kwarków konstytuentnych wykorzystuje jego zgodność z~fenomenologią
hadronów.

Aby mógł istnieć prosty opis struktury hadronów, podobny do tego
w~modelu kwarków konstytuentnych, musi istnieć prosty opis stanu
podstawowego całej teorii, którego wzbudzenia nazwalibyśmy hadronami.
Niestety nie jest znany stan podstawowy QCD, zwany ,,próżnią''.
Z~tego powodu pomocna byłaby metoda, pozwalająca 
odseparować problem opisu hadronu od problemu opisu próżni.

Użycie dynamiki na froncie świetlnym daje możliwość zastosowania
ograniczenia (obcięcia), które powoduje,
że próżnia składa się wyłącznie ze stanu zerocząstkowego. 
Metoda ta jest bardzo krótko przedstawiona
w~rozdziale~\ref{sec:light-front}.

Za zastosowaniem dynamiki na froncie świetlnym przemawia ponadto fakt,
że w~tym sformułowaniu pewne pchnięcia Lorentza są transformacjami
kinematycznymi, tzn. nie zależą od oddziaływania.  
Dla modelu partonowego naturalnym układem odniesienia jest układ 
nieskończonego pędu, 
który stosujemy w~rachunkach QCD.  Z~kolei statyczne własności
hadronów rozważane są zazwyczaj w~układzie ich środka masy.  Układ
środka masy jest naturalnym układem dla modelu kwarkowego.
To, że w~dynamice na froncie świetlnym operatory pchnięcia nie
zależą od oddziaływania, pozwala połączyć
opis w~układzie środka masy (model kwarków konstytuentnych) z~opisem
w~układzie nieskończonego pędu (model partonowy).  Do opisu
przejścia od energii, dla których używa się kwarków
prądowych (model partonowy), do~energii w~stanach związanych
(model kwarków konstytuentnych) można użyć metody RGPEP. 

\medskip

Dotychczasowe próby teoretycznego opisu mezonów hybrydowych były
wykonywane za pomocą wielu różnych metod.  

Obliczeniom za pomocą modeli, na przykład poprzez próby rozszerzenia
modelu kwarków konstytuentnych o~gluony~\cite{Kalashnikova:exotics:1993xb,%%
Iddir:charmoniumhybrids:1998yc,IddirSemlala:massesinmodels:2002rf}
brakuje często związku z~QCD, w~sensie drogi wyprowadzenia modelu z~pierwszych zasad.  Gluony
konstytuentne zależą w~takich modelach od tego jak traktuje się symetrię cechowania.  Modele nie
tłumaczą także dlaczego gluonów nie widać w~zwykłych mezonach
i~ograniczają się zazwyczaj do przybliżenia nierelatywistycznego.
Obliczenia za pomocą modeli pozwalają jednak na zasugerowanie postaci
funkcji falowej hybrydy~\cite{HornMandula:1977rq}, oraz na obliczanie
własności jej rozpadu.  

W~obliczeniach przeprowadzonych w~niniejszej pracy postać stanu 
i~funkcji falowej hybrydy oparta jest na modelu kwarków
konstytuentnych.  Niniejsza praca korzysta z~metody procedury grupy
renormalizacji dla cząstek efektywnych, za pomocą której można by
próbować wyprowadzić obraz typu modelu kwarków konstytuentnych
z~gluonem konstytuentnym w~QCD~\cite{Wilson:weak_coupling:1994fk}.
Sprawdzamy, czy założenie minimalnej liczby składników efektywnych jest
zgodne z~warunkami narzucanymi przez QCD, w~szczególności
z~symetriami szczególnej teorii względności.

Obliczenia na sieci~\cite{Lacock:hybrid-lattice:1996ny,%%
Bernard:hybrid-lattice:1997ib,McNeile:hybrid-lattice:2002az,McNeile:hybrid-lattice:2006bz}
pozwalają na wyliczanie mas
hybryd w~QCD.  Pozwalają one także
wyliczyć bardzo dokładnie wartości elementów macierzowych, na podstawie których
wyznaczyć można szerokości rozpadu i~inne jego charakterystyki.
Obliczenia na sieci nie pozwalają jednak na wyliczenie funkcji falowej
w~przestrzeni Minkowskiego, acz można w~obliczeniach na sieci
wyliczać funkcje Greene'a (w~przestrzeni euklidesowej)
i~znajdować wybrane właściwości funkcji falowych na podstawie
elementów macierzowych.
%% ciężkie masy kwarków ekstrapolowane do lekkich

Na podstawie postaci hamiltonianu QCD na sieci w~granicy silnego oddziaływania
wyprowadza się hamiltonian modelu ,,flux tube'', służący do opisu stanów
hybrydowych mezonów~\cite{IsgurPaton:PP1:flux_tube:1984bm}.
Za pomocą tego modelu można budować fenomenologię
rozpadów hybrydy~\cite{KokoskiIsgur:PP2:flux_tube:1985is,%%
ClosePage:PP2:flux_tube:1994hc,SwansonSzczepaniak:PP2:flux_tube:1997wy,Page:PP2:flux_tube:1998gz}.

Obliczenia w~niniejszej pracy nie korzystają z~wielkości wyliczonych
za pomocą obliczeń na sieci, acz jeden z~modeli części spinowej
funkcji falowej hybrydy inspirowany jest postacią operatorów używanych
w~obliczeniach na sieci do reprezentowania stanu hybrydy.  Niniejsza
praca przedstawia tylko pierwszy krok na drodze do wyprowadzenia modelu hybrydy
z~QCD, w~przeciwieństwie do obliczeń z~pierwszych zasad z~QCD dla
obliczeń na sieci.  Nie osiągamy także tutaj, i~nie zamierzamy
osiągać, poziomu dokładności obliczeń na 
sieci~\cite{Durr:lattice-results:2008zz,Wilczek:lattice:2008zza}.

Obliczenia za pomocą hamiltonianu QCD w~cechowaniu 
Coulomba~\cite{SzczepaniakSwanson:CG:2001rg,PoplawskiSzczepaniak:2004qj} 
wymagają znajomości własności stanu próżni, które zazwyczaj przybliża się za pomocą
wielkości obliczonych w~QCD na sieci.  Podział na gluony oddziaływania
i~gluony konstytuentne zależy od wyboru cechowania.  Prowadzenie 
obliczeń za pomocą dynamiki równoczasowej zamiast dynamiki
na froncie świetlnym powoduje, że pchnięcia zależą od oddziaływania;
wymagane jest zatem narzucenie warunków symetrii ze względu na pchnięcia,
w~porównaniu do konieczności narzucenia warunku symetrii obrotowej
w~obliczeniach na froncie świetlnym.

Analiza stanu hybrydy za pomocą wzbudzonego potencjału adiabatycznego
między ciężkimi kwarkami~\cite{JugeKutiMorningstar:hybrids_lattice:1997nc,%%
JugeKutiMorningstar:hybrid_BBbar:1999ie} ogranicza się do
przypadku nierelatywistycznego.  Postać wzbudzenia potencjału,
reprezentującego konstytuentny gluon, wyliczana jest za pomocą
obliczeń odpowiednich elementów macierzowych na sieci.

Niniejsza praca ma na celu przedstawienie metody
oraz~wyników poszukiwania relatywistycznego obrazu hybrydy.  
Analizę rozpoczynamy od jak najprostszego przypadku,
dla którego spodziewany wynik jest znany i~dla którego można kontrolować
wszystkie kroki analizy.  Dlatego też analiza przeprowadzona
jest dla skalarnej hybrydy (bez egzotycznych liczb kwantowych).
Dla tego przykładu niepewność, jak wygląda
(jak wyglądać może) stan podstawowy hybrydy, i~jak powinna wyglądać
amplituda rozpadu hybrydy na skalarne mezony, jest minimalna.

%% Założenie w~niniejszej pracy: minimalna liczba składników
W~niniejszej pracy założono, że
stan hybrydy może być reprezentowany za pomocą minimalnej liczby
składników efektywnych, jako stan $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.
Przeprowadzone obliczenia wskazały, że przy tym założeniu
warunki spełnienia symetrii szczególnej teorii
względności na amplitudy rozpadów hybrydy na dwa mezony, za
pośrednictwem zrenormalizowanego hamiltonianu QCD,
wymuszają specjalną strukturę tego stanu.
Struktura ta różni się od struktury stanów rozważanych w~typowych modelach
nierelatywistycznych, w~których wszystkie charakterystyczne
szerokości pędowej funkcji falowej są tego samego 
rzędu~\cite{HornMandula:1977rq,Kalashnikova:exotics:1993xb,IddirSemlala:massesinmodels:2002rf}.
Otrzymana struktura hybrydy może być zwięźle opisana następująco: ciasna
(w~przestrzeni położeniowej) para kwark--antykwark, o~szerokości pędowej
funkcji falowej pary rzędu szerokości czynnika podobieństwa $\lambda$,
luźno związana z~gluonem. 

\begin{figure}[!htbp]
  \centering
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:hybrid_shape:small-beta_hq}%%
    \includegraphics[scale=0.8]{momenta_arrangements.v2.eps}}%%
  \hfill
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:hybrid_shape:medium-beta_hq}%%
    \includegraphics[scale=0.8]{momenta_arrangements.v1.eps}}%%
  \hfill
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:hybrid_shape:large-beta_hq}%%
    \includegraphics[scale=0.8]{momenta_arrangements.v3.eps}}%%
  \caption{Różne możliwe postacie struktury hybrydy: od szerokiej
    (w~przestrzeni położeniowej) pary kwark--antykwark, z~gluonem
    leżącym pomiędzy kwarkami, do wąskiej pary kwark--antykwark, luźno
    związanej z~gluonem.}
  \label{fig:hybrid_shape}
\end{figure}


W~hybrydzie para kwark--antykwark jest w~stanie oktetu
kolorowego (aby hybryda jako całość była singletem kolorowym).  
Wymiana gluonu w~oktecie daje oddziaływanie odpychające
między kwarkiem i~antykwarkiem.  Gdy uwzględni się natomiast efekt oddziaływania kwarków
z~gluonem konstytuentnym, otrzymuje się względnie słabe efektywne oddziaływanie przyciągające
między kwarkiem i~antykwarkiem.  Tym bardziej wyjaśnienia wymaga
mała odległość kwark--antykwark w~hybrydzie, otrzymana z~analizy symetrii
amplitudy rozpadu hybrydy.


%% W~jaki sposób może powstać taka nietypowa struktura stanu hybrydy?
Możliwym wyjaśnieniem egzotycznej struktury hybrydy jest to,
że może ona powstawać
w~wyniku mieszania stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
z~innymi sektorami Focka.  Pełna analiza takiego mieszania jest
aktualnie poza zasięgiem znanych metod analitycznych i~numerycznych.
Na podstawie badań przedstawionych w~niniejszej pracy można jedynie wnioskować, że
uproszczone modele dynamiczne, uwzględniające jakościowe cechy
dynamiki kwarków i~gluonów w~QCD, mogą prowadzić do takiej struktury.
Do powstawania takich właśnie
specjalnych struktur mogłoby dochodzić w~wyniku formowania się
rezonansowych oktetów kolorowych w~oddziaływaniach składowej
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ z~pozostałymi sektorami
Focka w~hybrydzie.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\subsection{Organizacja pracy}
%\label{sec:organizacja-pracy}

%\medskip

W~rozdziale~\ref{sec:metoda} została opisana krótko forma dynamiki na froncie świetlnym,
oraz metoda renormalizacji za pomocą cząstek efektywnych (RGPEP).  Metoda RGPEP 
została wybrana przede wszystkim w~celu wyjaśnienia jak wyobrażamy sobie związek
modeli konstytuentnych z~QCD.
Pozwala ona sformułować opis hybrydy i~mezonów jako stanów o~minimalnej
liczbie cząstek efektywnych.  Użyta metoda renormalizacji wprowadza do
efektywnego hamiltonianu, poza efektywnymi masami kwarków i~gluonów
oraz efektywną siłą oddziaływania, czynniki podobieństwa $f_{\lambda}$. 
Czynniki te tłumią oddziaływania o~zmianie energii
dużo większej od szerokości $\lambda$ skali renormalizacji.
Opisane zostało także znaczenie czynnika podobieństwa $f_{\lambda}$.


W~rozdziale~\ref{sec:rozpad} opisany jest rozpad hybrydy na dwa mezony.
Ponieważ nie są znane ścisłe rozwiązania QCD na stany związane,
zwłaszcza na stan hybrydowego mezonu (który jest stanem
trójcząstkowym, trudniejszym do opisu niż relatywistyczne stany
mezonów),
należało, 
na podstawie ogólnej wiedzy o~stanach związanych w~QCD,
zbudować modele stanów cząstek biorących udział w~rozpadzie.

Opisane zostały modele hybrydowego mezonu, z~uwzględnieniem różnych możliwości
dobrania szczegółów i~przy różnych liczbach kwantowych hybrydy.
Przeanalizowane zostały efekty narzucenia warunku relatywistycznie poprawnej
struktury amplitudy rozpadu hybrydy na dwa mezony.  Ustalono, że wymaganie
minimalnej liczby cząstek jest zgodne z~wymaganiem spełnienia symetrii
Lorentza pod warunkiem odpowiedniego (nietypowego) dobrania parametrów
modelu.  Szerokość pary kwark--antykwark $\beta_{hq}$
w~funkcji falowej hybrydy (w~przestrzeni pędowej) musi być rzędu
szerokości $\lambda$ czynnika podobieństwa (w~zrenormalizowanym
hamiltonianie QCD), aby amplituda rozpadu była relatywistycznie symetryczna.
Otrzymana postać stanu hybrydy, wymagana do spełnienia
warunków symetrii, jest jakościowo taka sama dla wszystkich
rozważanych przypadków.

W~rozdziale~\ref{sec:mieszanie} analizowany jest możliwy mechanizm
dynamiczny jaki mógłby być odpowiedzialny za jakościową cechę badanych
funkcji falowych widoczną w~rozpadach.
Wynik taki mógłby być naturalny, gdyby para $q\bar{q}$ powstawała
w~wyniku rozpadu gluonu z~tym samym czynnikiem podobieństwa $f_{\lambda}$
jak w~wierzchołku oddziaływania~$H_{I\text{QCD}\lambda}$. %% ???

W~celu uzyskania jakościowego obrazu dynamiki mieszania,
w~rozdziale~\ref{sec:mix-sep} przeanalizowany został
prosty matematyczny model mieszania stanów o~różnej liczbie cząstek
z~oddziaływaniem separowalnym.  Jest on ściśle rozwiązywalny analitycznie.
Wnioski z~tego modelu matematycznego zostały następnie użyte do analizy
mieszania stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
ze stanem $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
w~bardziej złożonych modelach za pomocą obliczeń numerycznych. 

Przeprowadzone obliczenia numeryczne modelu sprzężenia stanu
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
ze stanem $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$,
opisane w~rozdziale~\ref{sec:mixing-model},
dały wyniki podobne do tych otrzymanych z~analizy symetrii rozpadu.
Efektywna szerokość pary kwark--antykwark $\beta_{hq}$ 
(średnia szerokość w~kierunku $k_{hq}$ stanu własnego otrzymanego
w~wyniku mieszania) jest proporcjonalna do szerokości czynnika
podobieństwa $\lambda$, ze współczynnikiem rzędu jedności.

Uzyskany stan hybrydy zawiera jednak duży wkład składowej $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$. 
Składowa ta powinna być widoczna w~rozpadzie hybrydy,
w~wyniku działania tego samego hamiltonianu oddziaływania 
$H_{I\text{QCD}\lambda}$ dwukrotnie na stan $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$. 
Model sprzężenia stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
ze stanem $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
nie może także wyjaśnić wyników dla stanów hybrydy, które
nie sprzęgają się do stanów czysto gluonowych, jak np. hybrydy
o~niezerowym izospinie.  

Gdyby wynik otrzymany z~analizy symetrii rozpadu
hybrydy pokrywał się z~rozwiązaniami równania własnego dla $H_{\text{QCD}}$,
to postać stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
mogłaby być wynikiem jego oddziaływania (mieszania)
z~pozostałymi sektorami Focka.  Pełna analiza tego zagadnienia jest jednak
poza zasięgiem niniejszej pracy.  Niemniej, nasuwa się hipoteza,
przedstawiona w~rozdziale~\ref{sec:G_hl},
że efekt pozostałych sektorów Focka
da się efektywnie przybliżyć za pomocą oddziaływania ze stanem $|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$ złożonym
z~gluonu $g_{\lambda}$ i~rezonansowego oktetu kolorowego, oznaczonego $G_{h\lambda}$.  Rezonansowy oktet
kolorowy może mieć niezerowy izospin.  Zatem hipoteza rezonansu oktetowego
pozwala na wytłumaczenie otrzymanej postaci funkcji falowej hybrydy
także dla hybrydy o~niezerowym izospinie.
Duży wkład składowej gluon--oktet do stanu hybrydy
nie stanowi problemu w~opisie rozpadu hybrydy, bo stan oktetu kolorowego 
nie daje wkładu do rozpadu na dwa mezony za pośrednictwem $H_{I\text{QCD}\lambda}$.
W~analizie rozpadu hybrydy widać
zatem tylko wpływ mieszania na funkcję falową składowej $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$,
a~składowa $|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$ nie daje wkładu do amplitudy rozpadu.

Rozdział~\ref{sec:podsumowanie} stanowi podsumowanie niniejszej pracy.
Przedstawia on przegląd otrzymanych wyników, oraz wnioski nasuwające się autorowi.
Wskazane zostały także możliwe kierunki przyszłych badań, 
w~celu testowania hipotezy rezonansu oktetowego $G_{h\lambda}$ jako przybliżenia do QCD
dla skal pędów rzędu mas hadronów.


\cleardoublepage



\section{Metoda cząstek efektywnych}
\label{sec:cz-eff}\label{sec:metoda}

Rozdział ten opisuje, w~jaki sposób można by, wychodząc z~QCD,
uzyskać model w~którym hybrydę można reprezentować za pomocą 
o~minimalnej liczby składników.  Cząstki, z~których budować będziemy
stan hybrydy, to cząstki efektywne.  Opisana dalej metoda przedstawia
w~jaki sposób hamiltonian QCD można by zapisać za pomocą takich stopni
swobody.



\subsection{Dynamika hamiltonowska na froncie świetlnym}
\label{sec:light-front}

Do pełnego opisu kwarków i~gluonów w~hadronach potrzebna jest relatywistyczna teoria
kwantowa, w~ramach której możliwy jest opis stanów związanych.  Metodę
połączenia mechaniki kwantowej i~szczególnej teorię względności
zaproponował Dirac~\cite{Dirac:1949cp}.  Zbudowanie relatywistycznej 
teorii kwantowej wymaga konstrukcji 10 generatorów
grupy Poincar\'{e}.  Są to cztery generatory przesunięć
w~czasoprzestrzeni $P^\mu (\mu = 0, 1, 2, 3)$, trzy generatory obrotów
$L^i = \frac{1}{2} \epsilon^{ijk} M^{jk}$ oraz trzy generatory pchnięć
$K^i = M^{0i} (i = 1, 2, 3)$.  Generatory te muszą spełniać
następujące relacje komutacyjne:
\begin{subequations}
  \label{eq:algebra-Poincare}
  \begin{align}
    \left[ P^{\mu}          , P^{\nu}     \right] & = 0\,, \\
    \left[ M^{\mu\nu}       , P^{\lambda} \right] & = 
    i \left( P^{\mu} g^{\nu\lambda} - P^{\nu} g^{\mu\lambda} \right)\,, \\
    \left[ M^{\kappa\lambda}, M^{\mu\nu}  \right] & =
    i \left( 
      g^{\lambda\mu} M^{\kappa \nu} -
      g^{\lambda\nu} M^{\kappa \mu} +
      g^{\kappa \nu} M^{\lambda\mu} -
      g^{\kappa \mu} M^{\lambda\nu} 
    \right)\,.
  \end{align}
\end{subequations}

Powszechnie stosowany opis stanów fizycznych zakłada kwantowanie na
hiperpłaszczyźnie stałego czasu $t = x^0 = 0$.  Możliwe są jednak
odmienne sformułowania dynamiki hamiltonowskiej, które sklasyfikował
Dirac~\cite{Dirac:1949cp,Brodsky:1997de}.  Jednym z~nich jest
sformułowanie teorii na froncie świetlnym (LF).  Należy przez to
rozumieć kwantowanie na hiperpłaszczyźnie stycznej do powierzchni stożka
świetlnego, gdzie rolę czasu $t$ pełni $x^+ = x^0 + x^3$.  

Notacja używana w~niniejszej pracy podana została
w~przypisie~\ref{sec:LF}.

Sformułowanie QCD na froncie świetlnym wnosi uproszczenia w~opisie
dynamiki.  Główne zalety korzystania z~tego sformułowania są
według~\cite{Wilson:weak_coupling:1994fk} następujące: 
\begin{itemize}
\item Oddziaływania natychmiastowe w~$x^+$ obecne w~hamiltonianie nie łamią
  zasady przyczynowości, bo są lokalne w~$x^{\perp}$ i~odpowiadają
  rozchodzeniu się oddziaływań z~prędkością światła.  W~cechowaniu $A^+ = 0$, w~wyrażeniu
  na potencjał natychmiastowy pojawiają się jedynie odwrotności
  operatora $\partial^+$, a~nie odwrotności laplasjanu jak to ma
  miejsce w~wyrażeniu na potencjał Coulomba w~cechowaniu $A^0 = 0$
  w~sformułowaniu standardowym.
  %% pozwala to na wyeliminowanie niefizycznych stopni swobody

\item W oddziaływaniach zawierających wyłącznie operatory kreacji bądź
  wyłącznie operatory anihilacji w~hamiltonianie na froncie świetlnym
  wszystkie cząstki muszą mieć indywidualne pędy $p^+ = 0$.  Dzieje
  się tak dzięki niezmienniczości translacyjnej $H_{\text{QCD}}$ 
  i~nieujemności zmiennej $p^+$.  Oznacza to, że za pomocą
  prostego obcięcia pędów $p^+ > \delta$ można się pozbyć członów
  próżniowych.  Dzięki temu uzyskujemy prostą strukturę stanu próżni.

\item Rolę energii w~sformułowaniu na froncie świetlnym gra składowa
  $p^-$, która dla cząstek swobodnych o~masie $m$ ma postać
  \begin{equation}
    \label{eq:p-}
    p^- = \frac{p^{\perp\,2} + m^2}{p^+}\,.
  \end{equation}
  Jest zatem wyrażeniem nie zawierającym pierwiastków.  
  Fakt ten ułatwia opis procesów kreacji i~anihilacji cząstek,
  ponieważ nie ma potrzeby identyfikacji i~interpretacji stanów o~ujemnych energiach.
  %%
  Ponadto można spełnić relacje komutacyjne~\eqref{eq:algebra-Poincare}
  bez potrzeby konstruowania pierwiastka z~operatora.

\item W sformułowaniu na froncie świetlnym ruch układu zawsze można
  rozłożyć na ruch całości i~ruch względny.  Rozkład taki nie istnieje
  w~relatywistycznym przypadku w~sformułowaniu równoczasowym.
  Istnienie takiego rozkładu w~sformułowaniu na froncie świetlnym jest
  istotne, ponieważ umożliwia regularyzację przez ograniczenia narzucone tylko na
  pędy względne.

\item Równie ważne w~przypadku rozważania stanów trójcząstkowych (takich jak
  stan hybrydy) jest to, że na froncie świetlnym można stosować rozkład klastrowy.
  Przez rozkład klastrowy rozumiemy tutaj,
  że można rozłożyć pęd cząstki na część pędu całości i~pęd
  względny względem reszty cząstek, a~następnie zastosować tę samą
  metodę do pozostałych cząstek.  Można tego dokonać także w~przypadku
  relatywistycznym.

\item Opis na froncie świetlnym powiązany jest z~opisem cząstek
  w~układzie nieskończonego pędu.  Pozwala to nawiązać do
  modelu partonowego.

%\item Dzięki kinematyczności generatora $M^{+-}$ i~regularyzacji
%  respektującej symetrie kinematyczne możliwe jest pchnięcie dowolnego
%  stanu do układu nieskończonego pędu. Pozwala to wykorzystać
%  osiągnięcia modelu partonowego do opisu procesów niskoenergetycznych
%  i~wyskokoenergetycznych procesów rozpraszania w~jednym sformułowaniu
%  teorii.
\end{itemize}


\subsection{Grupa renormalizacji dla cząstek efektywnych}
\label{sec:RGPEP}


\subsubsection{Potrzeba regularyzacji i~renormalizacji hamiltonianu}
\label{sec:regular}

%% # konieczność regularyzacji
Hamiltonian kanoniczny jest operatorem źle zdefiniowanym.  Działając
na stany z~przestrzeni Hilberta, hamiltonian wyprowadza je z~tej
przestrzeni.  Objawia się to między innymi przy obliczaniu operatora
ewolucji.  Napotykamy na problem już przy wyliczaniu $H^2$, które
okazuje się nieskończone.  Przy obliczaniu wielkości fizycznych, np.
przy rozwiązywaniu zagadnienia własnego, pojawiają się nieskończoności
wynikające stąd, iż stany pośrednie mogą mieć dowolnie wysoką energię.
Nieskończoności pojawiają się także przy wyliczaniu efektywnego
hamiltonianu.  Problem jest jeszcze bardziej poważny niż ten, jaki wynika
jedynie z~nieskończonego zakresu energii oddziaływań.  Mianowicie, w~kanonicznej QCD
oddziaływanie rośnie, gdy rośnie wirtualna różnica energii między
stanami oddziałujących cząstek przed i~po oddziaływaniu.

%% # czynniki regularyzujące
Potrzebne jest zatem wprowadzenie czynników regularyzujących.  Aby
ograniczyć oddziaływania, żądamy by przekazy pędów w~wierzchołkach
były ograniczone.  Robimy to wprowadzając wierzchołkowe czynniki
regularyzujące związane z~operatorami kreacji i~anihilacji~\cite{Glazek:1997sd}.  Dla
każdego operatora kreacji i~anihilacji wprowadzamy czynnik
ograniczający w~danym wierzchołku 
energię kinetyczną cząstki związanej z~tym operatorem
w~ruchu względem pozostałych cząstek w~tym samym wierzchołku.  Zamiast
cząstek swobodnych posługujemy się zatem efektywnymi cząstkami,
które nie oddziałują gdy masa inwariantna stanu biorącego udział
w~oddziaływaniu jest dużo większa od arbitralnie ustalonej skali
$\Delta$.

%% # regulator UV
Wybrany w~ten sposób regulator daje ograniczenie wyłącznie na
pędy względne.  Dzięki temu nie jest naruszana niezmienniczość dynamiki na
froncie świetlnym względem pchnięć~\cite{Glazek:1997sd,Glazek:1999fy}.  Do celów regularyzacji
nadfioletowej używana jest funkcja wykładnicza tłumiąca oddziaływania dla
wysokich energii. 

%% # regulator IR
Ponieważ QCD jest teorią z~cechowaniem, zawierającą cząstki bezmasowe,
pojawiają się rozbieżności dla małych pędów podłużnych.
Rozbieżności te występują w~wektorach polaryzacji gluonów oraz
w~członach oddziaływania natychmiastowego, powstałych z~wyeliminowania
niefizycznych stopni swobody. Potrzebny jest dodatkowy czynnik
regularyzujący~\cite{Wilson:weak_coupling:1994fk,Glazek:GQCD:2000dc}.

%% # Kontrczłony
Dzięki wprowadzeniu regularyzacji otrzymuje się wyniki
skończone.  Aby zregularyzowany hamiltonian opisywał tę samą
teorię co hamiltonian wyjściowy, nie wystarczy jednakże samo wprowadzenie
obcięć.  W~wyniku eliminacji stanów o~energii większej niż $\Delta$
w~hamiltonianie zregularyzowanym pojawiają się kontrczłony:
$H_{\text{eff}} = H_{\Delta} + X_{\Delta}$.  Wyznacza się je przez
żądanie, by wyniki fizyczne nie zależały od regularyzacji, używając
silnego warunku by niskoenergetyczne elementy macierzowe hamiltonianu
nie zależały od obcięcia~\cite{Glazek:1997sd}.


\subsubsection{Procedura grupy renormalizacji za pomocą transformacji podobieństwa}
\label{sec:renorm}

Zależność hamiltonianu od obcięcia (regularyzacji) można
przeanalizować badając co dzieje się przy zmianie parametru obcięcia
$\Delta$ czynnika regularyzującego.


Metoda renormalizacji za pomocą transformacji podobieństwa polega na
znalezieniu transformacji unitarnej $\mathcal{U}_{\lambda}$, która
działając na hamiltonian powoduje jego częściową diagonalizację~\cite{Glazek:1993rc}.
Ta częściowa diagonalizacja objawia się w~postaci
czynnika $f_{\lambda}$, ograniczającego przekaz
pędów w~oddziaływaniach między cząstkami.
Wprowadzony do teorii parametr $\lambda$ o~wymiarze pędu lub energii ($c = 1$)
opisuje szerokość takiego przekształconego hamiltonianu
jako macierzy w~bazie stanów własnych $H_0 = H - H_I$.
Ze względu na użycie transformacji unitarnej, w~metodzie tej
ten sam hamiltonian wyrażany jest za pomocą innych stopni swobody.

Kontrczłony w~tym ujęciu wyznacza się z~żądania, aby niskoenergetyczne elementy
macierzowe hamiltonianu efektywnego $H_\lambda$ były niezależne od
obcięcia~\cite{Glazek:1993rc}.

Ponieważ transformację podobieństwa wylicza się zazwyczaj w~rachunku
zaburzeń, nie można uczynić szerokości hamiltonianu $\lambda$
dowolnie małą.  Baza przestrzeni stanów zbudowana ze stanów swobodnych
i~baza zbudowana ze stanów będących ścisłymi
rozwiązaniami zagadnienia własnego są powiązane zależnością
nieperturbacyjną.  Wiadomo też, że efektywna stała sprzężenia $g_\lambda$
rośnie w~QCD, gdy $\lambda \to 0$ i~rachunek zaburzeń stosować można
do obliczenia hamiltonianu efektywnego
tylko dla $\lambda$ większych niż pewna skala nieperturbacyjna.


Jeśli hamiltonian można zapisać za pomocą kombinacji iloczynów operatorów
kreacji i~anihilacji cząstek, działanie transformacji podobieństwa
$\mathcal{U}_{\lambda}$ można rozumieć jako operację zmiany bazy
w~przestrzeni operatorów
z~bazy operatorów kreacji i~anihilacji $q_{\infty}$ do bazy operatorów
kreacji i~anihilacji $q_{\lambda}$ cząstek 
efektywnych~\cite{Glazek:1994qc,Glazek:1997sd},
\begin{equation}
  \label{eq:qlambda}
  q_{\lambda} = \mathcal{U}_{\lambda} q_{\infty} \hci{\mathcal{U}}{\lambda}\,.
\end{equation}
Zapisanie hamiltonianu za pomocą operatorów $q_{\lambda}$
nie zmienia $H$ jako operatora, więc
\begin{equation}
  \label{eq:Hlambda-qlambda}
  H_{\lambda}(q_{\lambda}) = H_{\text{kanon}}(q_{\infty}) \;.
\end{equation}
Hamiltonian zapisany w~bazie cząstek efektywnych opisuje oddziaływania
o~przekazie pędów ograniczonym przez czynnik wierzchołkowy $f_{\lambda}$.

W~renormalizacji za pomocą transformacji podobieństwa zakłada się
zatem, że cząstki efektywne mają te same liczby kwantowe co cząstki
występujące w~niezrenormalizowanym hamiltonianie
wyjściowym.  Założenie to zgodne jest z~obserwacją, 
że kwarki w~lagranżjanie QCD i~kwarki w~modelu kwarków konstytuentnych
opisywane są przez te same liczby kwantowe.

Przy obliczaniu transformacji podobieństwa za pomocą równania
różniczkowego grupy renormalizacji czynnik wierzchołkowy $f_{\lambda}$ powinien być
funkcją gładką.  Powinien on także zachowywać symetrie frontu
świetlnego, co oznacza, że należy wyrazić go za pomocą niezmienników
lorentzowskich.  Ponadto, aby w~rachunku zaburzeń nie pojawiały się
małe mianowniki energetyczne, zarówno $1 - f_{\lambda}$, jak
i~$df_{\lambda}/d\lambda$ powinny znikać szybciej niż liniowo
w~funkcji zmiany energii przez oddziaływanie~\cite{Glazek:1999fy}.

W~niniejszej pracy przyjęty został czynnik podobieństwa $f_{\lambda}$
dany przez funkcję wykładniczą zanikającą jak kwadrat różnicy mas
inwariantnych cząstek przed i~po oddziaływaniu~\cite{Glazek:1999fy},
który spełnia przedstawione powyżej wymagania:
\begin{equation}
  \label{eq:f_lambda}
   f_{\lambda}(u,v) = \exp\left[ 
    - \frac{({\cal M}_{uv}^2 - {\cal M}_{vu}^2)^2}{\lambda^4},
  \right]
\end{equation}
${\cal M}^2_{uv}$ w~wyrażeniu~\eqref{eq:f_lambda} oznacza masę
niezmienniczą układu cząstek~$u$ biorących udział w~oddziaływaniu
z~układem cząstek~$v$:
\begin{equation}
  \label{eq:M_uv}
  \mathcal{M}^2_{uv} = \biggl[ \sum_{i \in u(v)} k_i \biggr]^2\,.
\end{equation}


\subsection{Rola czynników podobieństwa $f_{\lambda}$}
\label{sec:f_lambda}

Powstaje pytanie w~jaki sposób wierzchołkowy czynnik podobieństwa
$f_\lambda$ w~hamiltonianie efektywnym pozwala na usunięcie zależności
wyników od skali regularyzacji, i~jaką rolę odgrywa ten czynnik 
w~obliczeniach i~analizie amplitudy rozpadu hybrydy. 

\setlength{\unitlength}{3.2 ex}
\newsavebox{\Hmatr}
\savebox{\Hmatr}(9.3,8){
\begin{picture}(10,8)
  \put(0,0){\framebox(8,8){}}
  \put(8.3,0){\makebox(0,0)[lc]{$0$}}
  \put(8.3,8){\makebox(0,0)[lc]{$\Delta$}}
\end{picture}}
\newsavebox{\Hvect}
\savebox{\Hvect}(2,8){
\begin{picture}(2,8)
  \put(0.5,0){\framebox(1,8){}}
\end{picture}}
\def\freeH{\savebox{\Hmatr}{} \savebox{\Hvect}{}}
\begin{figure}[!htbp]
  \centering
  \begin{equation*}
    \vcenter{\hbox{%
        \begin{picture}(9,10)(0,-1)
          \put(0,0){\usebox{\Hmatr}}
        \end{picture}%
      }}
    %& 
    \xrightarrow{\quad \displaystyle \mathcal{U}_{\lambda} \quad} \kern 1 em
    \vcenter{\hbox{%
        \begin{picture}(10,10)(0,-1)
          %\put(0,0){\framebox(8,8){}}
          \put(0.25,0){\usebox{\Hmatr}}
          \put(0,7.5){\line(1,-1){7.5}}
          \put(0.5,8){\line(1,-1){7.5}}
          \put(2,6){
            \put(1.5,0){\makebox(0,0)[cc]{\ensuremath{\lambda}}}
            \put(-1.5,-1.5){\line( 1, 1){1.25}}
            \put( 1.5, 1.5){\line(-1,-1){1.25}}
            \put(-0.25,-0.25){
              \put(0,0){\line(-1,0){0.5}}
              \put(0,0){\line(0,-1){0.5}}
            }
            \put( 0.25, 0.25){
              \put(0,0){\line( 1,0){0.5}}
              \put(0,0){\line(0, 1){0.5}}
            }
          }
          \put(6,2){
            \thicklines
            \linethickness{0.4 mm}
            \put(-1.5,-1.5){\framebox(3,3){}}
          }
        \end{picture}%
      }}
  \end{equation*}
  \caption{Transformacja podobieństwa dla macierzy hamiltonianu w
    procedurze RGPEP.}
  \label{fig:sim+window}
\end{figure}
\freeH

%% # "window" Hamiltonians
Czynniki podobieństwa $f_{\lambda}$, występujące w~zrenormalizowanym
hamiltonianie, powodują, że macierz hamiltonianu w~bazie cząstek
efektywnych odpowiadających skali renormalizacji $\lambda$ jest
macierzą przydiagonalną, tzn. jej elementy macierzowe znikają
między stanami, które różnią się masą inwariantną o~znacznie więcej
niż $\lambda$.  Dla
znalezienia wartości i~stanów własnych takiego ,,wąskiego''
zrenormalizowanego hamiltonianu zwykle\footnote{%%
Z~wyjątkiem sytuacji, gdy elementy macierzowe hamiltonianu rosną
zbyt szybko wraz ze wzrostem energii.} %% (przykłady ref.)
nie potrzeba diagonalizować jego pełnej, 
nieskończonej macierzy.  Wystarczy wybrać okno (patrz rysunek~\ref{fig:sim+window}) 
w~macierzy hamiltonianu.  Diagonalizacja takiego małego okna jest dużo prostsza
niż diagonalizacja pełnej macierzy.  Jeśli rozmiar okna jest
odpowiednio duży w~porównaniu do szerokości $\lambda$, centralne wartości własne
okna zwykle zgadzają się z~wartościami własnymi pełnej macierzy.
W~pracach~\cite{GlazekMlynik:2002iw,GlazekMlynik:2003xr} pokazano, że dla
prostego ściśle rozwiązywalnego modelu macierzowego z~asymptotyczną
swobodą, wartości własne okna wyliczonego w~drugim rzędzie rachunku
zaburzeń dla transformacji podobieństwa zgadzają się z~dokładnością
$10 \%$ z~rozwiązaniem dla całej macierzy, z~dokładnością $1 \%$ dla 6 rzędu.

%% # "window" Hamiltonians: obcięcie przestrzeni stanów
Wybór okna (podhamiltonianu) otrzymuje się przez ograniczenie
rozważań do wybranych sektorów Focka i~ustalonego zakresu pędów.
Przy założeniu, że pominięte
sektory odseparowane są przerwą energetyczną (np. związaną z~masą
efektywną dodatkowych cząstek), ten wybór okna pozwala na wyprowadzenie
przybliżenia minimalnej liczby składników.  Ograniczenie to wymaga jednak
odpowiednio małej szerokości $\lambda$ zrenormalizowanego hamiltonianu,
tak, aby przerwa energetyczna pomiędzy sektorem o~minimalnej liczbie
cząstek a~pozostałymi sektorami Focka, które mają być ignorowane,
była większa niż $\lambda$.  Z~drugiej jednak strony nie można
za pomocą rachunku zaburzeń wyliczyć transformacji podobieństwa dla
$\lambda$ zbyt małych, gdyż natrafia się wtedy na obszar zagadnień
nieperturbacyjnych. 
Zmniejszenie $\lambda$ do zera oznaczałoby diagonalizację macierzy
hamiltonianu, czyli rozwiązanie równania własnego (równania
Schroedingera), zaś zagadnienia własnego nie można rozwiązać za pomocą
rachunku zaburzeń.  Istnieje zatem granica minimalnej wielkości
$\lambda$, dla której można prowadzić obliczenia za pomocą
transformacji podobieństwa wyliczonej w~rachunku zaburzeń do
określonego rzędu.


%% # f_lambda w rozpadzie
Okazuje się (patrz rozdziały~\ref{sec:hybrid-decay} i~\ref{sec:hybrid-result}),
że czynnik $f_{\lambda}$ odgrywa znaczącą rolę
w~spełnianiu symetrii relatywistycznych przez amplitudę rozpadu hybrydy
na dwa mezony.  Dla rozpadu hybrydy dużo powyżej
progu rozpadu, tzn. gdy produkty rozpadu poruszają się z~dużymi
prędkościami, niezbędną symetrię amplitudy rozpadu otrzymuje się dla
$\lambda$ rzędu $4-8$ GeV.  Dla hybrydy o~minimalnej liczbie
składników amplituda relatywistycznego rozpadu łamie symetrię obrotową również jeśli
$\lambda$ jest bardzo duża. 
Wynik ten nie jest nieoczekiwany; spodziewamy się, że przybliżenie
minimalnej liczby składników łamie się gdy $\lambda$ jest duże
i~cząstki $q_\lambda$ zachowują się bardziej jak cząstki prądowe
niż jak w~modelu cząstek konstytuentnych.

%% # f_lambda w mieszaniu
Rozdział~\ref{sec:mieszanie} pokazuje, że mieszanie sektora 
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ z~innymi sektorami
przestrzeni Focka może być odpowiedzialne za otrzymaną nietypową
postać stanu hybrydy.  Szerokość $\lambda$ czynnika podobieństwa,
rzędu 5 GeV, mogłaby być odpowiedzialna za dużą szerokość pędową
$\beta_{hq}$ funkcji falowej ruchu względnego 
kwarku i~antykwarku w~hybrydzie ze względu na
to, że para ta miesza się za pomocą oddziaływania $H_{I\text{QCD}\lambda}$ z~czynnikiem
podobieństwa $f_{\lambda}$ z~innymi stanami w~przestrzeni Focka, np.
ze stanem $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$, gdy para nie ma izospinu (zapachu).



\cleardoublepage

\section{Rozpad hybrydy}
\label{sec:decay}\label{sec:rozpad}

W~rozdziale tym hybrydą (mezonem hybrydowym) nazywać będziemy
jedynie stany złożone z~kwarku, antykwarku i~gluonu.
%Przewidywania dotyczące takich
%stanów stanowiłyby test teorii QCD, gdyby teoria pozwalała na precyzyjne obliczenia.
Podjęta analiza jakościowa i~ilościowa mają na celu uzyskanie
przybliżonego obrazu, który może stanowić jedynie punkt wyjścia do dalszych,
bardziej precyzyjnych obliczeń.  W~podjętych badaniach szukamy pierwszego przybliżenia
niezbędnego w~przyszłych próbach rozwiązania teorii.

%% # Stan dzisiejszej wiedzy o hybrydach
Oczekuje się, że amplitudy rozpadu wzbudzeń gluonowych w~hybrydowych
mezonach z~egzotycznymi liczbami kwantowymi różnią się od tych 
charakteryzujących rozpad zwykłych rezonansów 
mezonowych~\cite{Kalashnikova:exotics:1993xb,Iddir:charmoniumhybrids:1998yc,
IddirSafir:hybrid-candidates:2000yb}. 
Przewidywania te oparte są jednak na nierelatywistycznym obrazie kwarków
konstytuentnych.

Obliczenia stanów podstawowych hybrydowych mezonów o~liczbach kwantowych $J^{PC}
= 0^{-+}, 1^{-+}, 1^{--}, 2^{-+}$ przewidują masy rzędu 1.7 do 1.9
GeV~\cite{Isgur:hybrids:1985vy,CloseLipkin:exotics-exp:1987aw}.  Obliczenia na
sieci dla hybrydy $J^{PC} = 1^{-+}$ przewidują masę 1.9
GeV~\cite{Lacock:hybrid-lattice:1996ny,Bernard:hybrid-lattice:1997ib} hybrydy.
Znalezione doświadczalnie stany $\pi_1(1400)$ oraz $\pi_1(1600)$ mogą być
stanami egzotycznej hybrydy $1^{-+}$ (nie mogą być one gluonium, ale mogą być
stanem czterokwarkowym)~\cite{Amsler:nonqqbar-mesons:2004ps}. 
Zaobserwowany stan $\pi(1800)$ może być stanem hybrydy $0^{-+}$, lub wzbudzonym
radialnie stanem pionu~\cite{Amelin:pi(1800):1995gu}.

Rozpad ciężkiej hybrydy produkuje lekkie mezony,
poruszające się z~prędkościami bliskimi prędkości światła. 
Fenomenologiczne modele rozpadu winny zatem przestrzegać symetrii
szczególnej teorii względności.  

Przy opracowywaniu modelu rozpadu hybrydy należało spełniać
wymagania szczególnej teorii względności w~klasie
prostych modeli konstytuentnych ze spinem, skonstruowanych 
w~zgodzie z~oczekiwaniami teorii na podstawie odpowiedniego
hamiltonianu efektywnego w~QCD.
W~opracowanym modelu zachowana została
symetria względem pchnięć Lorentzowskich, ponieważ został on
zbudowany w~zgodzie z~zasadami
niezmienniczej ze względu na pchnięcia procedury grupy renormalizacji
dla cząstek efektywnych w~QCD na froncie świetlnym.

Efektywny człon
oddziaływania w~hamiltonianie, odpowiedzialny za rozpad hybrydy, ma tę
samą strukturę co człon kwark--antykwark--gluon 
otrzymany przez rozwiązanie równania grupy renormalizacji dla
hamiltonianów w~pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń.

Należy zauważyć, że w~zastosowanym tutaj podejściu symetria obrotowa
w~rozpadzie hybrydy nie jest zachowywana jawnie.  
W~dynamice na froncie świetlnym operatory obrotu zawierają człon
zależny od oddziaływania.  Jak można będzie zobaczyć w~dalszych obliczeniach, 
parametry modelowej funkcji falowej muszą przyjmować specjalne
wartości aby symetria ta była zachowana.  Nie znajduje natomiast zastosowania
nierelatywistyczny obraz hybrydy jako układu złożonego z~kwarku,
antykwarku i~ciężkiego gluonu leżącego pomiędzy kwarkami.  
Podkreślić jednak należy, że istnieje alternatywny obraz, który zachowuje wymagania
szczególnej teorii względności w~rozpadach hybryd.  W~obrazie tym odległość pomiędzy
kwarkiem i~antykwarkiem jest dużo mniejsza niż odległość pomiędzy
gluonem a~parą kwarków.  Jest to tak jak gdyby hybryda była podobna do gluonium,
w~którym gluon jest zastąpiony przez parę kwark--antykwark o~małych rozmiarach.


\subsection{Opis rozpadu skalarnej hybrydy na dwa mezony}
\label{sec:hybrid}

Opracowany w~niniejszej pracy model rozpadu hybrydy, jako możliwe
do rozważenia pierwsze przybliżenia, jest rozszerzeniem
skalarnego modelu z~pracy~\cite{GlazekSzczepaniak:2002iq}.  W~cytowanej pracy dla
uproszczenia gluony były traktowane jako cząstki skalarne.  

Nowym elementem w~obecnej pracy jest uwzględnienie spinu gluonu
konstytuentnego~\cite{GlazekNarebski:2005jb}. 

Hamiltonian oddziaływania $H_{I \lambda}$, opisujący
rozpad konstytuentnego gluonu, jest wzięty bezpośrednio z~LF QCD,
z~parametrem szerokości grupy renormalizacji $\lambda$ wziętym równym
skali mas hadronowych:
\begin{equation}
  \label{eq:H_int}
  \mathcal{H}_{I \lambda} = 
  %%g f_\lambda \bar \psi_\lambda \slashed{A}^a_\lambda t^a \psi_\lambda \quad .
  g f_\lambda \bar \psi_\lambda \gamma^\mu A^a_{\mu,\lambda} t^a \psi_\lambda \quad .
\end{equation}

Równanie~\eqref{eq:H_int} przedstawia składnik hamiltonianu, który kreuje parę
kwark--antykwark z~efektywnego konstytuentnego gluonu.  Jest
to jedyny człon, który daje wkład do obliczeń amplitudy rozpadu
hybrydy.  Człon oddziaływania zawiera wierzchołkowy czynnik
kształtu $f_\lambda$~\cite{Glazek:1997sd}
\begin{equation}
  \label{flambda}
  %f_\lambda =  e^{- ({\cal M}_{q \bar q}^2 - {\cal M}_g^2)^2/\lambda^4} \, . 
  f_\lambda =  e^{- ({\cal M}_{q \bar q}^2 - m_{0g}^2)^2/\lambda^4} \, . 
\end{equation}
Niezmiennicza masa pary kwark--antykwark została oznaczona przez
przez ${\cal M}_{q \bar q}$, zaś~masa gluonu w~hamiltonianie
kanonicznym przez $m_{0g}$.  W~hamiltonianie kanonicznym QCD,
z~którego wychodzimy, gluony są bozonami cechowania
i~są cząstkami bezmasowymi.  Przyjmuje się zatem
%${\cal M}_g = m_{0g} = 0$.
$m_{0g} = 0$.
Wyniki otrzymane w~tej pracy okazują sie nieczułe na wartość
masy gluonu wstawioną do wzoru~\eqref{flambda}, w~badanym
zakresie $\lambda$. 


\subsubsection{Funkcje falowe mezonów}
\label{sec:mezony}

Funkcja falowa mezonu $q\bar{q}$ jest założona w~postaci
\begin{equation}
  \label{eq:|meson>}
  | p \rangle = \sum_{12} \int [12]
  \: p^+ \tilde \delta(1 + 2 - p) \Psi^p_{J^{PC}}(1,2)
  \: b^\dagger_{\lambda 1} d^\dagger_{\lambda 2} | 0 \rangle \; ,
\end{equation}
gdzie czynnik $\Psi^p_{J^{PC}}(1,2)$ jest iloczynem czynników kolorowych,
zapachowych (izospinowych), spinowych i~zależnych od pędu
\begin{equation}
  \label{eq:Psi_meson}
  \Psi^p_{J^{PC}}(1,2) =
  \chi^\dagger_{c_1} C_p \fhc{\chi}_{c_2} \,\, 
  \chi^\dagger_{i_1} I_p \fhc{\chi}_{i_2} \,\, 
  \chi^\dagger_{s_1} S_p(1,2) \fhc{\chi}_{s_2}\: 
  \psi_p(1,2) \; .
\end{equation}
W~wyrażeniu~\eqref{eq:Psi_meson} $C_p = 1/\sqrt{3}$ (singlet kolorowy), zaś $S_p(1,2)$ jest
macierzą 2 na 2 pomiędzy dwu--komponentowymi spinorami.
Dla najprostszego przypadku mezonu o~zerowym izospinie czynnik
izospinowy $I_p$ wynosi $I_p = 1/\sqrt{2}$ (singlet izospinowy).
Dla neutralnego ładunkowo mezonu izowektorowego czynnik izospinowy $I_p$
jest równy $I_p = \sigma^3/\sqrt{2}$,
zaś dla naładowanego dodatnio (ujemnie) składnika
izowektora $I_p = \sigma^+/\sqrt{2}$ (odpowiednio $I_p = \sigma^-/\sqrt{2}$).
Symbole $\sigma^i$ oznaczają macierze Pauliego.
Symbol $\tilde{\delta}(k)$ oznacza $16\pi^3$ razy funkcja
$\delta$ (delta Diraca) składowych prostopadłych ($\perp$) i~podłużnych ($+$)
pędu cząstek;
\begin{equation}
  \label{eq:delta-tilde}
  \tilde{\delta}(k) = 16 \pi^3\, \delta(k^+)\,\delta^{(2)}(k^\perp)\,.
\end{equation}

Funkcję falową $\psi_p(1,2)$ wybieramy jako funkcję gaussowską
\begin{equation}
  \label{eq:psi_p}
  \psi_p(1,2) = 
  \mathcal{N}_p \, N_{pm}({\vec k}_{12}) \, N_{ps}({\vect k}_{12}) \,\,
  \exp{\left[\frac{-{\vect k}_{12}^{\, 2}}{2 \beta_p^2}\right]}\, .
\end{equation}
Wektor $\vect k_{12}$ jest trójpędem względnym kwarków w~układzie 
środka masy pary kwark--antykwark.  Jest on zdefiniowany za pomocą następującego
warunku~\cite{DanielewiczNamyslowski:k_12:1978mk}: 
\begin{equation}
  \label{eq:vec_k_12}
  \begin{aligned}
    {\vect k}_{12}^{\, \perp} &= \kappa_{12}^{\perp}\,, \\
    4 ({\vect k}_{12}^{\, 2} + m_q^2) &= \mathcal{M}^2_{12}\,.
  \end{aligned}
\end{equation}
Szczegóły obliczeń ${\vect k}_{12}$ opisano w~przypisie~\ref{sec:decay-details}.
%% ??? Wyjaśnienie: jak \vect{k}_{12} wiąże się z~p_1^+ itp.

Funkcje pędów $N_{pm}$ i $N_{ps}$ w~\eqref{eq:psi_p} są
dodane arbitralnie.  Jedną z~możliwości jest przyjęcie ich
tożsamościowo równych jedności.  W~tym przypadku całki po pędach zawierają
pełną relatywistyczną miarę całkowania i~pełną strukturę czynników
spinowych.  W~szczególności, normalizacja stanu mezonu dana jest przez
iloczyn kwadratu gaussowskiej funkcji falowej, czynnika powstałego
z~relatywistycznej miary całkowania w~przestrzeni pędów oraz złożonego
czynnika zależnego od spinu.  

Alternatywnym rozwiązaniem jest
przyjęcie takich funkcji $N_{pm}$ i~$N_{ps}$ aby skasować wspomniane
złożone czynniki, przynajmniej w~mierze całkowania mezonu.  Warunek
normalizacji ma postać 
\begin{equation}
  \label{eq:meson-norm}
  \langle p|p'\rangle = p^+ \tilde \delta(p-p') \,.
\end{equation}
Kiedy zarówno czynnik związany z~miarą całkowania jak
i~czynnik związany ze spinem są kasowane odpowiednio przez $N_{pm}$
(miara) i $N_{ps}$ (spin), czynnik normalizacji sprowadza się do
zwykłej całki funkcji gaussowskiej w~nierelatywistycznej mechanice
kwantowej.  

Należało ustalić jak silnie więzy symetrii relatywistycznych
nałożone na amplitudę rozpadu hybrydy zależą od postaci czynników
$N_{pm}$ i~$N_{ps}$  (wyrażenia na wszystkie czynniki $N$ są podane
w~przypisie~\ref{sec:decay-details}).  Przypadki, które będą rozważane,
są oznaczone odpowiednio jako $N=1$ (w~pełni relatywistyczna,
skomplikowana funkcja falowa modelu) oraz $N \neq 1$ (z~uwzględnieniem
podanych tutaj postaci czynników $N$, prowadzących do prostych
całek w~warunku normalizacji~\eqref{eq:meson-norm}).

Dla mezonów o~liczbach kwantowych $J^{PC} = 0^{++}$ użyto
następującego czynnika spinowego:
\begin{equation}
\label{uv}
  \chi^\dagger_{s_1} S_p(1,2) \fhc{\chi}_{s_2} =   
  {\bar u}_1 v_2 \, ,
\end{equation}
gdzie $u_1$ i $v_2$ oznaczają spinory Diraca dla kwarków.

Dla mezonów pseudoskalarnych o~liczbach kwantowych $J^{PC} = 0^{-+}$
czynnik spinowy ma postać:
\begin{equation}
\label{u5v}
  \chi^\dagger_{s_1} S_p(1,2) \fhc{\chi}_{s_2} =   
  \bar{u}_1 \gamma^5 v_2 \, .
\end{equation}
Występujące w~\eqref{uv} i~w~\eqref{u5v} spinory frontowe opisane są
w~przypisie~\ref{sec:LF-spinors} (wzory~\eqref{eq:u-and-v-mpl}).

Opracowany tutaj model stanów mezonowych wymaga komentarzy dotyczących
użytych oznaczeń i~parametrów modelu.  Po pierwsze, użyte 
określenie mezon $b$ oznacza, że mezon jest względnie ciężki
(o~masie porównywalnej z~masami mezonu $b_1$ lub
$\eta(1295)$).  Spin mezonu $b$ przyjęty został równy zero; uwzględnione zostały
tylko najprostsze przypadki skalara i~pseudoskalara.  Nie opisywany był
zatem spin prawdziwych mezonów $b_1$.  W~rozważanym modelu parametry
mezonu $b$ nie są ograniczone przez konieczność przyjęcia parametrów
jakiegokolwiek prawdziwego mezonu.  Parametry te pozostawiamy swobodne
(w~sensownym zakresie wartości) aby zbadać jakie, jeśli w~ogóle,
wartości parametrów mogą dać amplitudę rozpadu zachowującą odpowiednie
symetrie obrotowe.

Ta sama uwaga dotyczy stanu lekkiego mezonu, oznaczonego tutaj jako
mezon $p$, który może mieć masę tak małą jak pion (mezon $\pi$).


\subsubsection{Funkcja falowa hybrydy}
\label{sec:hybryda}

W~opracowywanym modelu stanu hybrydy o~liczbach kwantowych 
\mbox{$J^{PC} = 0^{++}$} przyjęto jako 
\begin{equation}
  \label{eq:|hybrid>}
  | h \rangle = \sum_{123} \int[123] 
  \, h^+ \tilde \delta(1+2+3 - h) \Psi^h_{J^{PC}}(1,2,3) 
  \, b^\dagger_{\lambda 1} d^\dagger_{\lambda 2} a^\dagger_{\lambda 3} | 0 \rangle \, .
\end{equation}
Operator kreacji $a_{\lambda 3}^\dagger$ dla efektywnego
(konstytuentnego) gluonu, odpowiadającego skali $\lambda$, niesie spin, a~funkcja
falowa $\Psi^h_{J^{PC}}(1,2,3)$ zależy od tego spinu.  Gluon
konstytuentny ma efektywną masę $m_g$.  Funkcja falowa hybrydy jest
iloczynem czynników kolorowych, zapachowych oraz gaussowskiej funkcji
pędu względnego trzech cząstek:
\begin{equation}
  \label{eq:Psi_h}
  \begin{split}
  \Psi_{J^{PC}}(1,2,3) &= 
  \,\, \chi^\dagger_{c_1}C_h^{c_3} \chi^{\vphantom{\dagger}}_{c_2}
  \,\, \chi^\dagger_{i_1}I_h       \chi^{\vphantom{\dagger}}_{i_2}
  \,\, \chi^\dagger_{s_1}S_h(1,2,3)\chi^{\vphantom{\dagger}}_{s_2} %%\\
  %%& \times  
  \psi_h(1,2,3) \; .
  \end{split}
\end{equation}
W~\eqref{eq:Psi_h} czynnik kolorowy wynosi $C^{c_3}_h = t^{c_3}/2$.  Czynnik
izospinowy dla najprostszego przypadku izoskalarnej hybrydy
jest równy $I_h = 1/\sqrt{2}$ (jak dla mezonu).  Dla hybrydy
będącej składnikiem wektora izospinowego, czynnik izospinowy $I_h$ w~\eqref{eq:Psi_h} 
dany jest takim wyrażeniem jak odpowiedni czynnik izospinowy $I_p$ dla mezonu w~\eqref{eq:Psi_meson}.

Zakładamy, że czynnik zależny od pędu (funkcja falowa hybrydy) daje się
przedstawić w~postaci klastrowej~\cite{HornMandula:1977rq}
\begin{equation}
  \label{eq:psi_h}
  \begin{split}
    \psi_h(1,2,3) &= 
    \mathcal{N}_h \,\, 
    N_{hm}(\vec{k}_q, \vec{k}_g) \,\,
    N_{hs}(\vec{k}_q, \vec{k}_g) %%\\
    %%& \times 
    \,\, \exp{\left[\frac{-\vec{k}_q^{\, 2}}{2 \beta_{hq}^2}\right]} 
    \,\, \exp{\left[\frac{-\vec{k}_g^{\, 2}}{2 \beta_{hg}^2}\right]} \, ,
  \end{split}
\end{equation}
z~gaussowską funkcją pędów względnych.  Tutaj $\vec k_q$ oznacza
trójpęd względny~\cite{DanielewiczNamyslowski:k_12:1978mk} kwarku względem
antykwarku w~układzie środka masy pary kwark--antykwark, 
zaś $\vec k_g$ jest trójpędem względnym gluonu względem pary kwark--antykwark
(zobacz przypis~\ref{sec:decay-details}).  Konstrukcja użyta
w~niniejszej pracy opiera się na własnościach dynamiki na froncie świetlnym;
na froncie świetlnym rozdział pędów na pęd całości
i~pęd względny oraz rozkład klastrowy pędów względnych jest dobrze
zdefiniowany także w~przypadku relatywistycznym. 

Opcjonalne dodatkowe czynniki $N_{hm}$ i $N_{hs}$ mogą, jak dla mezonów,
być przyjęte równe jedności lub wybrane tak, iż równanie normalizacji hybrydy
przyjmuje znaną postać nierelatywistyczną.  
Przypadek oznaczony za pomocą symbolu $N=1$ odnosi się do wyboru $N_{pm}$,
$N_{ps}$, $N_{bm}$, $N_{bs}$ w~funkcjach falowych mezonów, oraz $N_{hm}$
i~$N_{hs}$ w~funkcji falowej hybrydy tożsamościowo równych jedności.  Przypadek $N \neq 1$ oznacza
$N_{pm}$, $N_{ps}$, $N_{bm}$, $N_{bs}$, $N_{hm}$ i~$N_{hs}$ dobrane tak
by odpowiednio równania normalizacji stanu mezonu i~równanie normalizacji
stanu hybrydy przyjęły znana postać nierelatywistyczną.

Najprostszy czynnik spinowy dla skalarnej hybrydy, który mógł być rozważany
w~teorii relatywistycznej, ma postać:
\begin{equation}
\label{uev}
  \chi_1^\dagger S_h(1,2,3) \chi_2  =   
  {\bar u}_1 \gamma_\mu {\varepsilon}^\mu_3 v_2 \, ,
\end{equation}
gdzie ${\varepsilon}_3$ jest czterowektorem polaryzacji gluonu.
Przypadek ten będzie oznaczany jako 'uev'.  Dla efektywnego gluonu 
w~cechowaniu frontowym $A^+ \equiv 0$, wektor polaryzacji przedstawia
się następująco:
\begin{equation}
  \label{eq:eps}
  \varepsilon_{k\sigma}^\mu =
  \left(
    \varepsilon_{k\sigma}^+ = 0,
    \varepsilon_{k\sigma}^- = \frac{2 k^\perp \varepsilon_{\sigma}^\perp}{k^+},
    \varepsilon_{k\sigma}^\perp = \varepsilon_{\sigma}^\perp
  \right)\:.
\end{equation}
Suma po wszystkich polaryzacjach (2 stanach spinowych) gluonu
jest równa:
\begin{equation}
  \label{eq:sum:ee}
  \begin{split}
    \sum_{\sigma} \varepsilon_{k_3\sigma}^\mu \varepsilon_{k_3\sigma}^{\ast\,\nu} 
    &=
    - g^{\mu\nu} + \frac{k_3^\mu g^{+\nu} + g^{+\mu} k_3^\nu}{k_3^+} \, .
  \end{split}
\end{equation}
W~powyższym wyrażeniu składowa $k_3^-$ pędu gluonu jest taka sama jak
dla gluonów bezmasowych, tzn. $k_3^- = k_3^{\perp \, 2}/k_3^+$.

Alternatywnym wyrażeniem na czynnik spinowy, uwzględniającym
nieabelowość grupy cechowania, ale niekoniecznie lepszym z~punktu
widzenia teorii dynamicznej niż czynnik dany równaniem~\eqref{uev}, jest
\begin{equation}
  \label{P123}
  \chi^\dag_{s_1}\, S_h(1,2,3)\, \fhc{\chi}_{s_2} = 
  \bar{u}_1 \gamma_\mu v_2\, G^{\mu\nu} P_\nu \, ,
\end{equation}
gdzie 
\begin{math}
  G^{\mu \nu} = k_3^\mu \varepsilon_{k\sigma}^\nu - k_3^\nu \varepsilon_{k\sigma}^\mu  
\end{math},
zaś $P=k_1 + k_2 + k_3$.  Wyrażenia takie występują przy opisie gluonu 
w~obliczeniach na sieci dla hybrydy, zobacz 
np.~\cite{Lacock:hybrid-lattice:1996vy,Bernard:hybrid-lattice:1997bg,%%
McNeile:hybrid-lattice:2006bz}.

Czterowektor $\varepsilon_{k\sigma}^\nu$ jest wektorem polaryzacji
bezmasowego bozonu cechowania.  Ale $k_3^-$ może być wyliczana jak
gdyby masa gluonu wynosiła 0, lub używając parametru $m_g$ (efektywnej
masy gluonu); nie wiemy która z~tych możliwości jest bardziej
realistyczna w~teorii dynamicznej.  Przypadek dla którego do wzoru 
\begin{math}
  k_3^- = (k_3^{\perp \, 2} + m_g^2)/k_3^+
\end{math}
została wstawiona nieznana efektywna masa gluonu $m_g$ oznaczamy jako
$\uGPv$.

Rozważane zostały także alternatywne wersje czynnika
spinowego~\eqref{P123}, w~których obliczamy $k_3^-$ (składową $-$ pędu
gluonu) jak gdyby masa gluonu powinna być wstawiona 0 w~$G^{\mu \nu}$
i/lub w~$P^\nu$.  Przypadki te zostały oznaczone odpowiednio jako 
$\ugpv$, $\uGpv$, i~$\ugPv$.  Znak tyldy nad odpowiednim symbolem
oznacza że wstawiamy $m_g = 0$ w~obliczaniu $k_3^-$ w~czynniku
oznaczonym za pomocą tyldy.

Należy przy tym zauważyć, że składowa
\begin{math}
  k_3^- = (k_3^{\perp \, 2} + m_g^2)/k_3^+
\end{math}
pędu gluonu nie daje wkładu do iloczynu $k_3\varepsilon_{k\sigma}$ dla
wybranego cechowaniu, oraz że podgrupa transformacji Poincar\'{e}, która zachowuje
hiperpłaszczyznę frontu świetlnego, zachowuje także warunek cechowania 
$A^+ \equiv 0$.  Oznacza to, że nadanie masy efektywnemu gluonowi
w~stanie hybrydy nie jest sprzeczne z~wyborem cechowania.  Jest to
ważne spostrzeżenie, gdyż inaczej rozpatrywany w~niniejszej pracy
model hybrydy nie miałby sensu.


\subsection{Obliczenia numeryczne amplitudy rozpadu hybrydy}
\label{sec:hybrid-decay-num}

Zbadane zostały symetrie relatywistyczne amplitudy rozpadu hybrydy dla różnych
przypadków wyboru szczegółów modelu.  Obliczenia zostały przeprowadzone
z~uwzględnieniem różnych czynników spinowych mezonów (rozpad na skalary~\eqref{uv}
lub pseudoskalary~\eqref{u5v}), różnego wyboru czynnika spinowego
dla hybrydy (najprostszy~\eqref{uev} albo alternatywny~\eqref{P123}),
oraz dla różnego wyboru ekstra czynników $N$.  Zbadano czy
wyniki analizy symetrii rozpadu zależą od podanych szczegółów modelu
i~określono charakterystyki, które są uniwersalne (nie zależą od tych
szczegółów).  Szczegóły obliczeń są podane w~przypisie~\ref{sec:decay-details}.

Postać czynników spinowych we wzorze na amplitudę rozpadu hybrydy,
oraz postaci opcjonalnych dodatkowych czynników normalizujących
$N_{ps}$, $N_{bs}$, $N_{hs}$ zostały wyliczone za pomocą dwóch różnych
metod: za pomocą spinorów dwuskładnikowych z~przypisu~\ref{sec:LF-spinors}
i~za pomocą śladów macierzy 4 x 4.  Sprawdzono, że obie metody dają
takie same wyniki.

Sześciowymiarowe całkowanie, potrzebne do wyliczenia amplitudy
rozpadu, zostało wyliczone za pomocą całkowania Monte Carlo (używając
procedury \emph{vegas}~\cite{Lepage:vegas:1977sw,Lepage:vegas:1980dq}).  Obliczenia
amplitudy rozpadu zostały wykonane za pomocą dwu osobnych programów:
jeden w~Fortranie, drugi w~C korzystający z~GNU Scientific Library
(GSL)~\cite{GSL}.  Dają one takie same wyniki, z~dokładnością do oszacowania
błędu obliczeń metody vegas (odchylenia standardowego podawanego
przez tą metodę), które jest rzędu $10^{-3}$.

Minimalizacja zależności amplitudy rozpadu od kąta $\theta$ została
wykonana za pomocą procedury lokalnej minimalizacji wielowymiarowej
Powella~\cite{Numerical_Recipes_in_C:1992}, lub za pomocą metody
globalnej minimalizacji wielowymiarowej za pomocą procedury
adaptywnego symulowanego wyżarzania (Adaptive Simulated Annealing --
ASA)~\cite{Ingber:ASA:1988,Ingber:ASA:1993}.





\subsection{Relatywistyczna niezmienniczość amplitudy rozpadu hybrydy}
\label{sec:hybrid-decay}

Amplituda rozpadu skalarnej hybrydy, o~liczbach kwantowych
\mbox{$J^{PC} =
0^{++}$} na dwa (pseudo)skalarne mezony (o~liczbach
kwantowych $J^{PC}
= 0^{++}$ lub $J^{PC} = 0^{-+}$) powinna być sferycznie symetryczna.
Model konstytuentny na froncie świetlnym wprowadza jednakże
zależność amplitudy rozpadu od kąta $\theta$ (kąta pomiędzy osią $z$
a~kierunkiem ruchu lekkiego mezonu).  Ten efekt jest ceną jaką płaci się
za niezmienniczość ze względu na pchnięcia Lorentza.  Został on odkryty
i~zbadany dla skalarnych gluonów w~\cite{GlazekSzczepaniak:2002iq}.

\begin{figure}[!tbp]
\centering
\includegraphics[scale=\spinfigscale,trim=20  0  0  10]{fig-uev.eps}%%
\includegraphics[scale=\spinfigscale,trim=20  0 10  10]{fig-P123_mg.eps}%%
\caption{\label{fig:scan}\label{fig:scan:first}
  Zależność amplitudy rozpadu hybrydy z~uwzględnieniem różnych mas lekkiego mezonu
  $m_p$.  Na wykresie a) czynnik spinowy jest równy 
  $\bar{u}\gamma^\mu v \varepsilon_\mu$ (ozn. \uev), zaś na wykresie
  b) czynnik spinowy jest dany wzorem
  $\bar{u}\gamma^\mu v G_{\mu\nu} P^\nu_{123}$ (ozn. \uGPv).
  %%
  W~obydwu przypadkach hybryda rozpada się na dwa skalarne mezony
  o~liczbach kwantowych $J^{PC} = 0^{++}$ (o~czynnikach spinowych
  $\bar{u}v$).
  %%
  Funkcja falowa modelu zawiera czynniki $N_{ps}$, $N_{pm}$, $N_{bs}$,
  $N_{bm}$ i $N_{hs}$, $N_{hm}$ które zapewniają iż funkcje podcałkowe,
  pojawiające się w~warunkach normalizacji, mają nierelatywistyczną
  postać prostych funkcji gaussowskich (przypadek $N \neq 1$).
  %%
  Parametry funkcji falowych są podane w~pierwszej kolumnie
  tabeli~\ref{tab:scan-and-hsmin} na stronie~\pageref{tab:scan-and-hsmin}.} 
\end{figure}
%%
%%
\begin{figure}[!tbp]
\centering
\includegraphics[scale=\spinfigscale,trim=20  0  0  10]{fig-uev-nofxx.eps}%%
\includegraphics[scale=\spinfigscale,trim=20  0 10  10]{fig-P123_mg-nofxx.eps}
\caption{\label{fig:nofxx:scan}
  Jak na rysunku~\ref{fig:scan}; wartość czynnika $N = 1$.}
\end{figure}
%%
\begin{figure}[tbp]
\centering
\includegraphics[scale=\spinfigscale,trim=20  0  0  10]{fig-uev_m5.eps}%%
\includegraphics[scale=\spinfigscale,trim=20  0 10  10]{fig-P123_mg_m5.eps}%%
\caption{\label{fig:u5v:scan}
  Jak na rysunku~\ref{fig:scan}, przy założeniu rozpadu hybrydy na
  dwa pseudoskalarne mezony o $J^{PC} = 0^{-+}$ (o~czynnikach
  spinowych $\bar{u}\gamma^5 v$).}
\end{figure}
%%
\begin{figure}[tbp]
\centering
\includegraphics[scale=\spinfigscale,trim=20  0  0  10]{fig-uev_m5-nofxx.eps}%%
\includegraphics[scale=\spinfigscale,trim=20  0 10  10]{fig-P123_mg_m5-nofxx.eps}
\caption{\label{fig:nofxx-u5v:scan}\label{fig:scan:last} 
  Jak na rysunku~\ref{fig:scan}, z~uwzględnieniem łącznego efektu
  zmian z~wykresu~\ref{fig:nofxx:scan} i~\ref{fig:u5v:scan}, tzn.
  $N=1$ i~przy założeniu rozpadu hybrydy na dwa mezony
  pseudoskalarne.}
\end{figure}


Rysunek~\ref{fig:scan} ilustruje jak silnie łamana jest symetria
obrotowa w~obliczeniach rozpadu na dwa skalarne mezony
(czynniki spinowe $\bar{u}v$), gdy masa lekkiego mezonu zmienia się
od 664~MeV do 138~MeV.  Na tym rysunku, występujące w~funkcjach falowych czynniki
$N_{hm}$, $N_{hs}$, $N_{bm}$, $N_{bs}$, $N_{pm}$, i $N_{ps}$
są dobrane tak, aby dać nierelatywistyczną
postać całek w~warunkach normalizacji.  W~przypadku gdy masa lekkiego
mezonu jest równa 664~MeV, masa hybrydy $m_h$ jest tuż powyżej progu
$m_b+m_p$ i~produkty rozpadu prawie nie poruszają się.  Model
konstytuentny na froncie świetlnym daje wtedy amplitudę, która nie zależy od
kąta $\theta$.

W~przypadku gdy masa lekkiego mezonu równa jest 138~MeV, co odpowiada masie
mezonów $\pi$, masa hybrydy jest wysoko powyżej progu, i~lekki mezon
osiąga prędkości relatywistyczne.  W~tym przypadku wyliczona amplituda
zależy od kąta $\theta$ w~nieakceptowalnym stopniu.  Efekt ten jest
spowodowany faktem, że kiedy wylatujący lekki mezon leci wzdłuż
osi $z$ z~prędkością bliską prędkości światła, musi on
być zbudowany z~kwarków, które mają bardzo mały pęd podłużny $k^+$,
a~takie kwarki są tłumione w~przypadku funkcji falowych hybrydy przyjętych
w~obliczeniach.

Wartości użytych do obliczeń parametrów są podane w~pierwszej kolumnie
tabeli~\ref{tab:scan-and-hsmin} na stronie~\pageref{tab:scan-and-hsmin}.
Rysunki~\ref{fig:nofxx:scan} do~\ref{fig:nofxx-u5v:scan} ilustrują ten
sam efekt co rysunek~\ref{fig:scan}, lecz z~wszystkimi czynnikami
$N_{hm}$, $N_{hs}$, $N_{bm}$, $N_{bs}$, $N_{pm}$, i~$N_{ps}$ równymi 1,
lub dla rozpadu na dwa mezony pseudoskalarne ($J^{PC} = 0^{-+}$),
lub też dla przypadku gdy obydwa te warunki występują razem.
Aby spełnić więzy szczególnej teorii względności, amplituda
rozpadu powinna być niezależna od kąta $\theta$.

Ogólnie, łamanie symetrii obrotowej jest rezultatem tego, że
modelowe funkcje falowe nie są ograniczone dynamicznie przez teorię
relatywistyczną, leżącą u~podstaw obliczeń.  Opracowany model jest
rozsądny, przez co rozumie się, że:
\begin{enumerate}[(1)]
\item stany mezonów są opisane za pomocą dobrze zdefiniowanych
  stopni swobody, pojawiających się w~zrenormalizowanym hamiltonianie
  $H_\lambda$ w~QCD na froncie świetlnym z~małym parametrem $\lambda$
  grupy renormalizacji za pomocą transformacji podobieństwa dla cząstek efektywnych,

\item symetria ze względu na pchnięcia Lorentzowskie jest zachowana
  ściśle,

\item rozpad hybrydy jest powodowany przez człon oddziaływania
  w~zrenormalizowanym hamiltonianie QCD.
\end{enumerate}
Najbardziej wątpliwe w~modelu jest założenie, że mała liczba
składników wystarczy do zbudowania rozwiązania na podłożu teorii
relatywistycznej.  W~opracowanym modelu liczba składników jest
najmniejsza z~możliwych.  

Można byłoby przypuszczać, że zachowanie 
symetrii obrotowej w~przedstawionym modelu nie
będzie możliwe.  Byłoby to wynikiem faktu, że w~dynamice na froncie
świetlnym symetria obrotowa jest symetrią dynamiczną, 
tzn. zależy od oddziaływania.  Oddziaływania mogą
zatem zmienić liczbę cząstek (składników).

Na rysunkach~\ref{fig:scan} do~\ref{fig:nofxx-u5v:scan} jest widoczne,
że wszystkie testowane modele bardzo dobrze zachowują
symetrię obrotową w~przypadku rozpadów nierelatywistycznych (na dwa
ciężkie mezony).  Natomiast w~przypadku rozpadów relatywistycznych,
wszystkie modele zawodzą.  (Rozpady na pseudoskalary
łamią symetrię odrobinę mniej.  Wynika to stąd, że pseudoskalary są
zdominowane w~funkcjach falowych przez czynniki
nierelatywistyczne, to znaczy niezależne od pędu).

Nasuwało się zatem pytanie, czy wyniki te oznaczają, że wszystkie modele
oparte na założeniu najmniejszej możliwej liczby składników nie mogą
spełniać symetrii relatywistycznych?  

Odpowiedź na to ważne pytanie brzmi nie.  Model konstytuentny z~minimalną
liczbą składników nie musi być błędny.  Ze względu na to, że symetria
obrotowa w~rozważanym podejściu jest symetrią dynamiczną, nie jest
jednoznacznie wiadome czy parametry podane w~pierwszej kolumnie
tabeli~\ref{tab:scan-and-hsmin} (strona~\pageref{tab:scan-and-hsmin})
odpowiadają rozwiązaniu teorii relatywistycznej.

Załóżmy, że inny zestaw parametrów powinien być użyty w~rozsądnym
modelu, który przybliża rozwiązanie teorii relatywistycznej.
Czy można znaleźć zestaw wartości parametrów
funkcji falowych modelu konstytuentnego, dla których otrzymamy wymaganą
symetrię obrotową?  Odpowiedź jest pozytywna.  Równocześnie jednak znaleziony zestaw
wartości parametrów wskazuje na nowy obraz hybryd.  Obraz ten
wygląda na ogólny, w~tym znaczeniu, że jego dominujące
własności nie zależą od tego w~jaki sposób uwzględniamy spin gluonu
i~spiny kwarków.  Przeprowadzone badania numeryczne dostarczają
przykładów modeli z~najmniejszą liczbą składników, w~których symetria
obrotowa jest zachowana z~dobrą dokładnością.  Zachodzi to wówczas, gdy
pozwolimy by wartości parametrów w~funkcjach falowych i~wartość czynnika
skali $\lambda$ RGPEP w~hamiltonianie ulegały zmianie.  Bezwzględnie
należy jednak pamiętać, że liczba zmiennych parametrów w~rozważanej
klasie modeli wynosi 7, co daje dużą liczbę przypadków do sprawdzenia.
Każdy z~tych przypadków wymaga 6--wymiarowego całkowania dla każdej wartości kąta
$\theta$.

%%{\samepage
%%\begin{samepage}
\begin{figure}[!tbp] 
\centering 
\includegraphics[scale=\minscale,trim=95 0 0 245]{min-results.eps}%%
\caption{\label{fig:hsmin}
  Amplituda rozpadu hybrydy w~funkcji kąta $\theta$ dla czterech
  przypadków:
  %%
  a) $\uev$, $N \neq 1$ 
  (druga kolumna tabeli~\vref{tab:scan-and-hsmin}),
  %%
  b) $\uev$, $N = 1$
  (trzecia kolumna tabeli~\ref{tab:scan-and-hsmin}),
  %%
  c) $\uGPv$, $N \neq 1$
  (czwarta kolumna tabeli~\ref{tab:scan-and-hsmin}),
  %%
  d) $\uGPv$, $N = 1$
  (piąta kolumna tabeli~\ref{tab:scan-and-hsmin}).
  Rozpad na dwa skalarne mezony $J^{PC} = 0^{++}$.}
\end{figure}
%% 
%%
\begin{table}[!tbp]
\def\v{\multicolumn{1}{c}{\textit{zmienne}}}
\centering 
%\begin{ruledtabular} 
\begin{tabular}{lllllll}
\hline 
\hline 
Rys. \# 
%% a,b może być numerem podrysunku, lub numerem krzywej
& \ref{fig:scan:first}--\ref{fig:scan:last}a,b
& \ref{fig:hsmin}a & \ref{fig:hsmin}b & \ref{fig:hsmin}c & \ref{fig:hsmin}d
& hs 
\\ 
\hline 
$m_h$        & 1.9    & $s$    & $s$  & $s$  & $s$  &  $s$   \\ 
$m_b$        & 1.235  & $s$    & $s$  & $s$  & $s$  &  $s$   \\ 
$m_p$        & \v     & 0.1375 & $s$  & $s$  & $s$  &  $s$   \\ 
$m_q$        & 0.3    & 0.68   & 0.75 & 0.67 & 0.87 &  0.365 \\ 
$m_g$        & 0.8    & 2.6    & 1.4  & 3.7  & 1.3  &  1.63  \\ 
$\beta_p$    & 0.4    & 0.19   & 0.34 & 0.14 & 0.21 &  0.375 \\
$\beta_b$    & 0.4    & 0.77   & 1.2  & 1.0  & 0.96 &  0.719 \\
$\beta_{hg}$ & 1.0    & 0.28   & 0.31 & 0.31 & 0.52 &  0.60  \\
$\beta_{hq}$ & 1.0    & 3.8    & 4.4  & 3.8  & 7.5  &  4.61  \\ 
$\lambda$    & 10000  & 4.8    & 4.4  & 4.4  & 4.4  &  4.49  \\ 
\hline 
\hline
\end{tabular} 
% \end{ruledtabular}
\caption{\label{tab:scan-and-hsmin}
  Parametry funkcji falowych (w~GeV), użyte w~obliczeniach
  przedstawionych na rysunkach~\ref{fig:scan:first}--\ref{fig:hsmin}
  (posłużono się tą samą notacją co w~pracy~\cite{GlazekSzczepaniak:2002iq}).
  %%
  Symbol $s$ oznacza że parametr ma tę samą wartość co w~sąsiedniej kolumnie
  z~lewej strony.
  %%
  Kolumny~\ref{fig:hsmin}a--d zawierają wyniki lokalnej minimalizacji
  za pomocą metody Powella~\cite{Numerical_Recipes_in_C:1992}, obliczone startując z~wartości danych
  w~ostatniej kolumnie (oznaczonej ,,hs''); jest ona taka sama jak
  odpowiednia kolumna w~tabeli~I~w~pracy~\cite{GlazekSzczepaniak:2002iq}.}
\end{table}
%%\end{samepage}
%%}

Na~rysunku~\ref{fig:hsmin} widoczne jest jak dobrze może być odtworzona
symetria obrotowa przez wybranie innego zestawu wartości parametrów
w~funkcjach falowych (parametry odpowiadające
rys.~\ref{fig:hsmin} są podane w~kolumnach~\ref{fig:hsmin}a--d
tabeli~\ref{tab:scan-and-hsmin}).  Krzywe ,,a'' i~,,b''
przedstawiają amplitudę rozpadu hybrydowego mezonu z~czynnikiem
spinowym danym równaniem~\eqref{uev} (przypadek oznaczony $\uev$).
Krzywe ,,c'' i~,,d'' na tym samym rysunku przedstawiają amplitudę
rozpadu dla hybrydy z~czynnikiem spinowym danym
równaniem~\eqref{P123} (przypadek oznaczony $\uGPv$).  Wartości
parametrów zestawione są w~trzeciej kolumnie
tabeli~\ref{tab:scan-and-hsmin}.  Krzywe ,,a'' i~,,c'' są wynikiem
obliczeń przy $N \neq 1$, zaś krzywe ,,b'' i~,,d'' dla $N=1$.

%%%% PION
Optymalny wybór parametrów uzyskanych z~wymagania warunku
symetrii obrotowej zawiera $\beta_p$ około dwa razy mniejsze niż startowa
wartość 0.4~GeV. % w~pierwszej kolumnie tabeli~\ref{tab:scan-and-hsmin}.
Wielkość $\beta_p$ rzędu 0.4~GeV odpowiada rozmiarowi prawdziwego mezonu
$\pi$ (powrócimy do tego zagadnienia później).  Możliwe jest zatem
znalezienie innych zestawów wartości parametrów z~jeszcze mniejszymi
$\beta_p$ i~znacząco mniejszymi masami kwarków.  Tę własność odkryto już
w~pracy~\cite{GlazekSzczepaniak:2002iq}.  Przypadki pokazane tutaj zostały uzyskane
przez zastosowanie lokalnej metody minimalizacji wielowymiarowej
Powella~\cite{Numerical_Recipes_in_C:1992}, startując z~zestawu
parametrów oznaczonego jako $hs$ (od ,,heavy-scalar'') znalezionego w~modelu
skalarnym w~pracy~\cite{GlazekSzczepaniak:2002iq}.  Wprowadzone oznaczenie odpowiada
względnie ciężkim cząstkom skalarnym, które odgrywały rolę kwarków
w~\cite{GlazekSzczepaniak:2002iq}.

Wyniki badań opisane w~niniejszej pracy charakteryzują się
względnie dobrym zachowaniem symetrii sferycznej, w~porównaniu
z~innymi lokalnymi minimami, które byliśmy w~stanie zidentyfikować.
Wybierając minimum optymalne z~różnych możliwych minimów lokalnych, kierowaliśmy
się warunkiem aby sferycznie symetryczna amplituda rozpadu hybrydy
w~danym minimum nie była wiele rzędów mniejsza niż amplituda
dla przypadku parametrów podanych w~pierwszej kolumnie
tabeli~\ref{tab:scan-and-hsmin}.  Należy jednak zauważyć, że amplitudy
na rysunku~\ref{fig:hsmin} są w~rzeczywistości o~pełen rząd 
mniejsze niż na rysunkach~\ref{fig:scan:first}--\ref{fig:scan:last}.
Fakt ten wskazuje jak ważne mogą być więzy szczególnej teorii
względności dla analizy danych doświadczalnych.  Należy także zaznaczyć, że wielkość
stałej sprzężenia w~hamiltonianie oddziaływania 
jest ustalona jak w~\cite{GlazekSzczepaniak:2002iq} i~nie ulegała
zmianom przy znajdywaniu wartości parametrów.

\begin{table}[!htbp]
  \centering
  %\begin{ruledtabular}
%%  \def\horizorvertical{1}         % 0 - vertical, 1 - horizontal 
%%  \ifcase\horizorvertical
%%  \begin{tabular}{llll}
%%    \hline
%%    \hline
%%    parametr     & min   & max   \\
%%    \hline
%%    $m_q$        &0.1    &0.6    \\
%%    $m_g$        &0.5    &2.0    \\
%%    $\beta_p$    &0.1    &0.8    \\
%%    $\beta_b$    &0.1    &1.6    \\
%%    $\beta_{hg}$ &0.1    &2.0    \\
%%    $\beta_{hq}$ &0.1    &8.0    \\
%%    $\lambda$    &0.1    &8.0    \\         
%%    \hline
%%    \hline
%%  \end{tabular}
%%  \or
  \begin{tabular}{c*{7}l}
    \hline
    \hline
    parametr     &
    $m_q$        &
    $m_g$        &
    $\beta_p$    &
    $\beta_b$    &
    $\beta_{hg}$ &
    $\beta_{hq}$ &
    $\lambda$    \\
    %%
    \hline
    min    &
    0.1    &
    0.5    &
    0.1    &
    0.1    &
    0.1    &
    0.1    &
    0.1    \\
    %%
    max    &
    0.6    &
    2.0    &
    0.8    &
    1.6    &
    2.0    &
    8.0    &
    8.0    \\         
    \hline
    \hline
  \end{tabular}
%%  \fi
  %\end{ruledtabular}
  \caption{\label{tab:limits}
    Ograniczenia na wartości parametrów funkcji falowych (w~GeV),
    użytych następnie w~procedurze minimalizacji globalnej za pomocą
    adaptatywnego symulowanego wyżarzania ASA (Adaptive Simulated
    Annealing)~\cite{Ingber:ASA:1988,Ingber:ASA:1993}.}
\end{table}

Jest oczywiste, że nieukierunkowana i~nieograniczona co do wartości
parametrów minimalizacja łamania symetrii jest uproszczonym
podejściem.  Minimalizacja powinna uwzględniać znane więzy, w~tym
ograniczenia takie jak średnica mezonu $p$, oraz możliwie jak
najwięcej ograniczeń dynamicznych.  Ale nie znamy dynamiki minimalnej
liczby składników i~naszym celem jest jej oszacowanie. 
Należy uważać na to, w~jaki sposób wyliczane są te ograniczenia,
w~tym czy wyliczenia spełniają ograniczenia szczególnej teorii względności.


\bgroup\samepage
%%\begin{samepage}
%% ######################################################################
%% ======================================================================
%% ASA: uev, uGPv -> uv+uv
%%
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[scale=\minscale,trim=95 0 5 75]{min-ASA.eps}%%
\caption{\label{fig:ASA:devsqrp-1}\label{fig:ASA:first}
  Amplituda rozpadu hybrydy na dwa skalarne mezony $J^{PC} = 0^{++}$
  w~funkcji kata $\theta$ dla przypadków:
  %%
  a) \uev, $N \neq 1$ (pierwsza kolumna
  tabeli~\ref{tab:ASA:devsqrp-1}),
  %%
  b) \uev, $N=1$ (druga kolumna
  tabeli~\ref{tab:ASA:devsqrp-1}),
  %%
  c) \uGPv, $N \neq 1$ (trzecia kolumna
  tabeli~\ref{tab:ASA:devsqrp-1}),
  %%
  d) \uGPv, $N=1$ (czwarta kolumna
  tabeli~\ref{tab:ASA:devsqrp-1}).}
\end{figure}
%%
%%
\begin{table}[p]
\def\c#1{\multicolumn{1}{c}{#1}}
\centering
%\begin{ruledtabular}
\begin{tabular}{lllll}
\hline
\hline
  Fig. \#     &\ref{fig:ASA:devsqrp-1}a 
              &\ref{fig:ASA:devsqrp-1}b 
              &\ref{fig:ASA:devsqrp-1}c 
              &\ref{fig:ASA:devsqrp-1}d \\
  \hline
  \c{spin}    &\uev    &\uev     &\uGPv   &\uGPv    \\
  \c{$N$}     &\fxx    &\nofxx   &\fxx    &\nofxx  \\
  \hline
  $m_h$       &1.9     &$s$      &$s$     &$s$     \\
  $m_b$       &1.235   &$s$      &$s$     &$s$     \\ 
  $m_p$       &0.1375  &$s$      &$s$     &$s$     \\
  $m_q$       &0.152   &0.21     &0.17    &0.155   \\
  $m_g$       &1.28    &1.07     &1.70    &1.90    \\
  $\beta_p$   &0.132   &0.219    &\m{0.1} &\m{0.1} \\
  $\beta_b$   &0.320   &0.536    &0.321   &0.371   \\
  $\beta_{hg}$&0.766   &1.05     &0.267   &0.263   \\
  $\beta_{hq}$&\M{8.0} &7.83     &4.59    &5.73    \\
  $\lambda$   &7.68    &6.13     &2.86    &7.98    \\
  \hline
%%atzero      &$2.6\e{-3}$&$0.9\e{-2}$&$1.6\e{-3}$&$6.1\e{-6}$\\
%%\bfdevsqrp  &$3.5\e{-3}$&$1.3\e{-3}$&$1.9\e{-2}$&$1.1\e{-2}$\\
%%\maxabsp    &$9.2\e{-3}$&$2.6\e{-3}$&$3.9\e{-2}$&$2.2\e{-2}$\\
%%\mean       &$2.6\e{-3}$&$9.9\e{-3}$&$2.4\e{-3}$&$5.2\e{-5}$\\
%%\ratio      &$6.0\e{-3}$&$1.6\e{-2}$&$4.7\e{-3}$&$4.9\e{-4}$\\
%%\hline
  \hline
\end{tabular}
%\end{ruledtabular}
\caption{\label{tab:ASA:devsqrp-1}
  Optymalne wartości parametrów funkcji falowych w~GeV dla rozpadu
  hybrydy na dwa mezony $J^{PC} = 0^{++}$.  Są to wyniki globalnej
  minimalizacji za pomocą procedury ASA.
  Minimalizowane było względne standardowe odchylenie od średniej wartości
  amplitudy, dla parametrów z~zakresów danych
  w~tabeli~\ref{tab:limits}.  Uzyskane amplitudy są przedstawione na
  rysunku~\ref{fig:ASA:devsqrp-1}.
  %%
  Liczby zapisane pogrubionym fontem odpowiadają granicy dozwolonego
  zakresu zmienności parametrów.}
\end{table}
%%\end{samepage}
\egroup
%% ======================================================================
%% ----------------------------------------------------------------------
%% ASA: uGPv, ugPv, ugpv -> uv+uv
%%
\begin{figure}[tbp!]
\centering
\includegraphics[scale=\minscale,trim=95 0 5 75]{min-uGPv-ASA.eps}
\caption{\label{fig:ASA:uGPv:devsqrp-1} 
  Amplituda rozpadu hybrydy na dwa skalarne mezony $J^{PC} = 0^{++}$ w~funkcji kąta $\theta$, dla przypadków:
  %%
  a) $\bar{u} G P v$ z $N \neq 1$,
  b) $\bar{u} G P v$ z $N  =   1$,
  c) $\bar{u} \tilde{G} P v$ z $N \neq 1$,
  d) $\bar{u} \tilde{G} P v$ z $N  =   1$,
  e) $\bar{u} \tilde{G} \tilde{P} v$ z $N \neq 1$,
  f) $\bar{u} \tilde{G} \tilde{P} v$ z $N  =   1$.
  %%
  Wartości parametrów są podane w~tabeli~\ref{tab:ASA:uGPv:devsqrp-1}.}
\end{figure}
%%
%%
\begin{table}[tbp!]
\def\c#1{\multicolumn{1}{c}{#1}}
\centering
%\begin{ruledtabular}
\begin{tabular}{lllllll}
\hline
\hline
  Rys. \#     &\ref{fig:ASA:uGPv:devsqrp-1}a 
              &\ref{fig:ASA:uGPv:devsqrp-1}b 
              &\ref{fig:ASA:uGPv:devsqrp-1}c 
              &\ref{fig:ASA:uGPv:devsqrp-1}d 
              &\ref{fig:ASA:uGPv:devsqrp-1}e 
              &\ref{fig:ASA:uGPv:devsqrp-1}f \\
% \hline
  \c{spin}    &\uGPv   &\uGPv   &\ugPv   &\ugPv   &\ugpv   &\ugpv   \\
  \c{$N$}     &\fxx    &\nofxx  &\fxx    &\nofxx  &\fxx    &\nofxx  \\
  \hline
  $m_h$       &1.9     &$s$     &$s$     &$s$     &$s$     &$s$     \\
  $m_b$       &1.235   &$s$     &$s$     &$s$     &$s$     &$s$     \\
  $m_p$       &0.1375  &$s$     &$s$     &$s$     &$s$     &$s$     \\
  $m_q$       &0.17    &0.155   &0.373   &\m{0.1} &0.214   &0.268   \\
  $m_g$       &1.70    &1.90    &1.82    &\M{2.0} &1.82    &1.46    \\
  $\beta_p$   &\m{0.1} &\m{0.1} &0.286   &\m{0.1} &0.211   &0.411   \\
  $\beta_b$   &0.321   &0.371   &0.209   &1.23    &0.365   &0.470   \\
  $\beta_{hg}$&0.267   &0.263   &0.565   &1.02    &0.244   &0.434   \\
  $\beta_{hq}$&4.59    &5.73    &4.44    &\M{8.0} &7.60    &3.22    \\
  $\lambda$   &2.86    &7.98    &3.57    &\M{8.0} &4.11    &3.86    \\
  \hline
  \hline
\end{tabular}
%\end{ruledtabular}
\caption{\label{tab:ASA:uGPv:devsqrp-1} 
  Optymalne wartości parametrów funkcji
  falowych w~GeV dla rozpadu hybrydy na dwa mezony $J^{PC} = 0^{++}$.
  Są to wyniki globalnej minimalizacji za pomocą procedury
  ASA.  Minimalizowane było względne standardowe
  odchylenie od średniej wartości amplitudy, dla parametrów z~zakresów
  danych  w~tabeli~\ref{tab:limits}.  Uzyskane amplitudy są pokazane
  na rysunku~\ref{fig:ASA:uGPv:devsqrp-1}.
  %%
  Różne kolumny odpowiadają różnym wyborom alternatywnego czynnika
  spinowego dla hybrydy.
  %%
  Liczby zapisane pogrubionym fontem odpowiadają granicy dozwolonego zakresu
  zmienności parametrów.}
\end{table}

%% ======================================================================
%% ----------------------------------------------------------------------
%% ASA: uev, uGPv -> u5v+u5v
%%
\begin{figure}[tbp!]
\centering
\includegraphics[scale=\minscale,trim=95 0 5 75]{min-ASA_m5.eps}
\caption{\label{fig:ASA:u5v:devsqrp-1} 
  Amplituda rozpadu hybrydy na dwa pseudoskalarne mezony
  $J^{PC} = 0^{-+}$, o~czynnikach spinowych $\bar{u}\gamma^5 v$,
  w~funkcji kąta $\theta$ (oznaczenia jak na
  rysunku~\ref{fig:ASA:devsqrp-1}).  Optymalne wartości parametrów
  funkcji falowych zestawione są w~odpowiednio oznaczonych kolumnach
  tabeli~\ref{tab:ASA:u5v:devsqrp-1}.}
\end{figure}
%%
%%
\begin{table}[tbp!]
\def\c#1{\multicolumn{1}{c}{#1}}
\centering
%\begin{ruledtabular}
\begin{tabular}{lllll}
  \hline
  \hline
  Fig. \#     &\ref{fig:ASA:u5v:devsqrp-1}a 
              &\ref{fig:ASA:u5v:devsqrp-1}b 
              &\ref{fig:ASA:u5v:devsqrp-1}c 
              &\ref{fig:ASA:u5v:devsqrp-1}d \\
  \hline
  \c{spin}    &\uev    &\uev     &\uGPv    &\uGPv    \\
  \c{$N$}     &\fxx    &\nofxx   &\fxx    &\nofxx  \\
  \hline
  $m_h$       &1.9     &$s$      &$s$     &$s$     \\
  $m_b$       &1.235   &$s$      &$s$     &$s$     \\ 
  $m_p$       &0.1375  &$s$      &$s$     &$s$     \\
  $m_q$       &0.15    &0.16     &0.18    &0.19    \\
  $m_g$       &1.08    &0.88     &1.69    &1.79    \\
  $\beta_p$   &0.21    &0.25     &0.16    &0.22    \\
  $\beta_b$   &0.59    &0.59     &0.42    &0.30    \\
  $\beta_{hg}$&0.59    &0.72     &0.68    &0.47    \\
  $\beta_{hq}$&2.40    &2.62     &6.96    &6.80    \\
  $\lambda$   &3.97    &3.71     &2.29    &2.39    \\
%%  \hline
%%  \bfdevsqrp  &$8.2\e{-3}$&$4.8\e{-3}$&$7.7\e{-3}$&$2.9\e{-3}$\\
%%  \maxabsp    &$1.4\e{-2}$&$1.1\e{-2}$&$1.2\e{-2}$&$6.7\e{-3}$\\
%%  \mean       &$1.2\e{-1}$&$1.7\e{-1}$&$1.2\e{-2}$&$2.5\e{-4}$\\
%%  \ratio      &$1.6\e{-1}$&$2.2\e{-1}$&$1.3\e{-2}$&$1.6\e{-3}$\\
  \hline
  \hline
\end{tabular}
%\end{ruledtabular}
\caption{\label{tab:ASA:u5v:devsqrp-1}
  Optymalne wartości parametrów funkcji falowych (w~GeV) dla rozpadu
  hybrydy na dwa mezony pseudoskalarne $J^{PC} = 0^{-+}$.  Są to wyniki
  minimalizacji globalnej za pomocą procedury
  ASA.  Minimalizowane zostało względne odchylenie
  standardowe od średniej wartości amplitudy rozpadu, dla parametrów
  z~zakresu podanego w~tabeli~\ref{tab:limits}.
  %%
  Amplitudy rozpadu są przedstawione na
  rysunku~\ref{fig:ASA:u5v:devsqrp-1}.}
\end{table}

%% ======================================================================
%% ----------------------------------------------------------------------
%% ASA: uGPv, ugPv, ugpv -> u5v+u5v
%%
\begin{figure}[tbp!]
\centering
\includegraphics[scale=\minscale,trim=95 0 5 75]{min-uGPv_m5-ASA.eps}
\caption{\label{fig:ASA:uGPv_m5:devsqrp-1}
  Amplituda rozpadu hybrydy na dwa pseudoskalarne mezony $J^{PC} =
  0^{-+}$ w~funkcji kąta $\theta$, dla przypadków: 
  %%
  a) $\bar{u} G P v$ z $N \neq 1$,
  b) $\bar{u} G P v$ z $N  =   1$,
  c) $\bar{u} \tilde{G} P v$ z $N \neq 1$,
  d) $\bar{u} \tilde{G} P v$ z $N  =   1$,
  e) $\bar{u} \tilde{G} \tilde{P} v$ z $N \neq 1$,
  f) $\bar{u} \tilde{G} \tilde{P} v$ z $N  =   1$.
  %%
  Wartości parametrów podano w~tabeli~\ref{tab:ASA:uGPv_m5:devsqrp-1}.}
\end{figure}
%%
%%
\begin{table}[tbp!]
\def\c#1{\multicolumn{1}{c}{#1}}
\centering
%\begin{ruledtabular}
\begin{tabular}{lllllll}
\hline
\hline
  Rys. \#     &\ref{fig:ASA:uGPv_m5:devsqrp-1}a 
              &\ref{fig:ASA:uGPv_m5:devsqrp-1}b 
              &\ref{fig:ASA:uGPv_m5:devsqrp-1}c 
              &\ref{fig:ASA:uGPv_m5:devsqrp-1}d 
              &\ref{fig:ASA:uGPv_m5:devsqrp-1}e 
              &\ref{fig:ASA:uGPv_m5:devsqrp-1}f \\
% \hline
  \c{spin}    &\uGPv   &\uGPv   &\ugPv   &\ugPv   &\ugpv   &\ugpv   \\
  \c{$N$}     &\fxx    &\nofxx  &\fxx    &\nofxx  &\fxx    &\nofxx  \\
  \hline
  $m_h$       &1.9     &$s$     &$s$     &$s$     &$s$     &$s$     \\
  $m_b$       &1.235   &$s$     &$s$     &$s$     &$s$     &$s$     \\
  $m_p$       &0.1375  &$s$     &$s$     &$s$     &$s$     &$s$     \\
  $m_q$       &0.26    &0.42    &0.29    &0.18    &0.31    &0.31    \\
  $m_g$       &1.34    &1.85    &1.21    &1.62    &1.22    &0.61    \\
  $\beta_p$   &0.21    &0.21    &0.25    &0.19    &0.28    &0.54    \\
  $\beta_b$   &0.48    &0.21    &0.59    &0.40    &0.58    &0.56    \\
  $\beta_{hg}$&0.57    &1.40    &0.47    &0.57    &0.43    &0.96    \\
  $\beta_{hq}$&7.53    &6.88    &7.80    &4.75    &7.99    &4.58    \\
  $\lambda$   &2.26    &7.66    &2.41    &2.71    &2.37    &2.61    \\
  \hline
  \hline
\end{tabular}
%\end{ruledtabular}
\caption{\label{tab:ASA:uGPv_m5:devsqrp-1} 
  Optymalne wartości parametrów funkcji falowych (w~GeV) dla rozpadu
  hybrydy na dwa mezony $J^{PC} = 0^{-+}$.  Są to wyniki minimalizacji
  globalnej metodą ASA, dla funkcji
  minimalizowanej będącej stosunkiem odchylenia standardowego do
  średniej amplitudy, dla parametrów z~zakresu danego 
  w~tabeli~\ref{tab:limits}.
  %%
  Odpowiednie amplitudy są przedstawione na
  rysunku~\ref{fig:ASA:uGPv_m5:devsqrp-1}.}
\end{table}
%%
%% ######################################################################
%%

Najprostszą i~najmniej ograniczającą metodą zadania ograniczeń
w~testowanych modelach jest po prostu ograniczenie wartości
każdego z~parametrów do ustalonego zakresu wokół wartości, które
uznajemy za rozsądne.  Takie najsłabsze ograniczenia wartości
parametrów zaadoptowane do opisanych minimalizacji są podane
w~tabeli~\ref{tab:limits}.

Dokonana została globalna minimalizacja odstępstw symetrii obrotowej,
przy użyciu różnych oszacowań na odstępstwo amplitudy rozpadu od funkcji
sferycznie symetrycznej (stałej w~funkcji kąta~$\theta$).  Jednym
z~tych oszacowań jest odchylenie standardowe od wielkości średniej,
czyli suma kwadratów odległości od średniej (oznaczona symbolem ,,stddev''
na rysunkach w~przypisie~\ref{sec:examples}).  Drugim kryterium oszacowania
było maksimum z~wartości bezwzględnej odchylenia od wartości średniej (oznaczone ,,maxdev''
w~przypisie~\ref{sec:examples}).  Obydwa te kryteria były mierzone
względem średniej amplitudy rozpadu.
Globalna minimalizacja w~założonym zakresie parametrów
(tabela~\ref{tab:limits}) wykonana została za pomocą metody adaptatywnego
symulowanego wyżarzania ASA~\cite{Ingber:ASA:1988,Ingber:ASA:1993} (Adaptive Simulated
Annealing).

Rysunek~\ref{fig:ASA:devsqrp-1} przedstawia wyniki uzyskane przy użyciu
czynnika spinowego hybrydy danego równaniem~\eqref{uev}: krzywa ,,a''
dla przypadku $N \neq 1$ i~krzywa ,,b'' dla przypadku $N = 1$; oraz
czynnika spinowego danego równaniem~\eqref{P123}: krzywa
,,c'' dla przypadku $N \neq 1$ i~krzywa ,,d'' dla przypadku $N = 1$.
Wszystkie obliczenia dotyczą rozpadu na dwa mezony skalarne
(o~czynnikach spinowych $\bar{u} v$).  Czynniki $N$ mają znaczący
wpływ na rząd wielkości amplitud i~mogą skompensować lub dramatycznie
zwiększyć efekt zmiany czynników spinowych.  Oznacza to że
najprawdopodobniej nie powinno się ufać modelom hybryd opartym
wyłącznie na intuicjach nierelatywistycznych.

Wyniki rozpadu na dwa pseudoskalarne mezony $J^{PC} = 0^{-+}$
(o~czynniku spinowym $\bar{u}\gamma^{5}v$ są przedstawione na
rysunku~\ref{fig:ASA:u5v:devsqrp-1}.  Odpowiednie wartości parametrów
funkcji falowych są podane w~tabeli~\ref{tab:ASA:u5v:devsqrp-1}.
Analogicznie, rysunki~\ref{fig:ASA:uGPv:devsqrp-1}
i~\ref{fig:ASA:uGPv_m5:devsqrp-1} ilustrują wyniki uzyskane przy alternatywnych
wyborach czynnika spinowego hybrydy danego równaniem~\eqref{P123}
(przypadki oznaczone jako $\uGPv$, $\ugPv$ i~$\ugpv$, patrz 
rozdział~\ref{sec:hybryda}).

W~pracy~\cite{GlazekSzczepaniak:2002iq} znaleziono dwa zestawy najlepszych
wartości parametrów dla dwóch przypadków: jednego z~wszystkimi
cząstkami składowymi będącymi skalarami, i~drugiego z~kwarkami o~spinie 1/2 i~gluonem
modelowanym przez cząstkę skalarną.  Te zestawy dobrych wartości
parametrów charakteryzują się albo lekką, albo ciężką masą kwarków.
W~obecnych badaniach, uwzględniających spin gluonu, pełny algorytm
ASA, który jest metodą minimalizacji globalnej, znajduje tylko jeden
najlepszy zestaw wartości parametrów.  Znalezione zestawy
charakteryzują się małymi masami kwarków $m_q$ i~małą szerokością
funkcji falowej lekkiego mezonu $\beta_p$.  Takie małe $\beta_p$
odpowiada zbyt wielkiemu rozmiarowi mezonu $p$, pozornie
odpowiadającemu zbyt słabemu wiązaniu zbyt lekkich kwarków.  Można byłoby
zatem wnioskować, że liczba takich lekkich składników nie może być
wyłącznie minimalna.  Można jednak znaleźć inne minima, jeśli
narzucone będą dodatkowe ograniczenia: masa kwarku $m_q$ jest ,,ciężka'',
tzn. większa niż 300~MeV.  Inne wartości parametrów pozostają
ograniczone do zakresów podanych w~tabeli~\ref{tab:limits}.

%%{\samepage
%%\begin{samepage}
%%
%% Minimization for heavy quarks
%%
\begin{figure}[!tbp]
\centering
\includegraphics[scale=\minscale,trim=95 0 5 75]{min-ASA-devsqrp-limited-2.eps}
\caption{\label{fig:ASA:devsqrp-2}\label{fig:ASA:last}
  Amplituda rozpadu hybrydy dla rozpadu na dwa skalarne mezony
  w~funkcja kąta $\theta$, jak na rysunku~\ref{fig:ASA:devsqrp-1}.
  Wartości parametrów są podane w~odpowiednich kolumnach
  tabeli~\ref{tab:ASA:devsqrp-2}; dolne ograniczenie na masę kwarku
  $m_q \geq 300\;\text{MeV}$.}
\end{figure}
%%
%%
\begin{table}[!tbp]
\def\c#1{\multicolumn{1}{c}{#1}}
\centering
%\begin{ruledtabular}
\begin{tabular}{lllll}
\hline
\hline
Rys. \#   &\ref{fig:ASA:devsqrp-2}a &\ref{fig:ASA:devsqrp-2}b & 
           \ref{fig:ASA:devsqrp-2}c &\ref{fig:ASA:devsqrp-2}d \\
\hline
\c{spin}  &\uev    &\uev     &\uGPv    &\uGPv    \\
\c{$N$}   &\fxx    &\nofxx   &\fxx    &\nofxx  \\
\hline
$m_h$       &1.9     &$s$      &$s$     &$s$     \\
$m_b$       &1.235   &$s$      &$s$     &$s$     \\ 
$m_p$       &0.1375  &$s$      &$s$     &$s$     \\
$m_q$       &\m{0.3} &0.459    &\m{0.31}&\m{0.31}\\
$m_g$       &\M{1.95}&1.37     &1.90    &1.89    \\
$\beta_p$   &0.211   &0.353    &0.344   &\m{0.1} \\
$\beta_b$   &0.295   &0.722    &0.263   &0.169   \\
$\beta_{hg}$&0.894   &0.754    &0.450   &1.21    \\
$\beta_{hq}$&5.83    &7.75     &7.69    &\M{8.0} \\
$\lambda$   &4.67    &7.75     &4.44    &7.96    \\
%\hline
%minfunc     &$1.0\e{-2}$&$3.2\e{-2}$&$2.0\e{-2}$&$2.6\e{-2}$\\
%\bfdevsqrp  &$1.0\e{-2}$&$3.3\e{-2}$&$1.4\e{-2}$&$4.3\e{-2}$\\
%\maxabsp    &$3.5\e{-2}$&$9.8\e{-2}$&$2.7\e{-2}$&$9.4\e{-2}$\\
%\mean       &$6.4\e{-3}$&$3.5\e{-2}$&$1.0\e{-2}$&$2.9\e{-6}$\\
\hline
\hline
\end{tabular}
%\end{ruledtabular}
\caption{\label{tab:ASA:devsqrp-2} 
  Optymalne wartości parametrów funkcji falowych (w~GeV) uzyskane za
  pomocą globalnej minimalizacji metodą ASA,
  przy minimalizacji odchylenia standardowego względem średniej amplitudy
  rozpadu, z~wszystkimi parametrami w~zakresie podanym
  w~tabeli~\ref{tab:limits}, z~wyjątkiem ograniczenia od dołu na masę
  kwarku $m_q \geq 300\;\text{MeV}$.
  %%
  Uzyskane amplitudy zestawione są na rysunku~\ref{fig:ASA:devsqrp-2}.}
\end{table}
%%\end{samepage}
%%}

%%% PION
Przykład takiej minimalizacji z~ograniczonym zakresem parametrów dla
,,ciężkich'' efektywnych kwarków konstytuentnych zestawiony został na
rysunku~\ref{fig:ASA:devsqrp-2}.  Odpowiednie optymalne wartości
parametrów są zestawione w~tabeli~\ref{tab:ASA:devsqrp-2}.  We wszystkich
przypadkach, z~wyjątkiem przypadku oznaczonego ,,d,'', rozmiar lekkiego
mezonu $p$ jest dużo bliższy rozmiarowi prawdziwych mezonów
$\pi$.  Pozwala to wnioskować, że rozmiar lekkiego mezonu może nie stanowić
tak wielkiego problemu, jak można byłoby sądzić opierając się na wynikach
minimalizacji, gdy zezwoliliśmy aby kwarki mogły być dużo lżejsze niż 300~MeV
(przypadek omówiony wcześniej).


\subsection{Analiza wyników badania symetrii amplitudy rozpadu hybrydy}
\label{sec:hybrid-result}

Uwzględnienie spinu konstytuentnego
gluonu nie zmienia jakościowo otrzymanych wcześniej 
w~\cite{GlazekSzczepaniak:2002iq} wyników dla
gluonów skalarnych.  Symetria obrotowa jest
zachowana gdy szerokość pary kwark--antykwark w~przestrzeni pędów,
$\beta_{hq}$, jest tego samego rzędu co szerokość $\lambda$ czynnika
podobieństwa $f_{\lambda}$ w~zrenormalizowanym hamiltonianie
QCD.  Ponadto symetria jest zachowana gdy obydwie te wielkości są rzędu
4-5~GeV, to jest: są dużo większe niż pozostałe parametry modelu.  Na podstawie
niniejszych badań wielu przypadków uwzględniających spin gluonu na różne
sposoby (patrz dodatek~\ref{sec:hybrid-decay-examples}),
z~różnymi czynnikami spinowymi mezonów, można wnioskować, że
wymagana struktura w~przestrzeni pędów względnych wydaje się być
jakościowo niezależna od spinu cząstek składników hybrydy.  Ogólnie,
parametry $\beta_{hq}$ i~$\lambda$ okazują się być około czterokrotnie
większe niż pozostałe parametry (patrz tabele~\ref{tab:scan-and-hsmin}
i~\ref{tab:ASA:devsqrp-1}--~\ref{tab:ASA:devsqrp-2}).  Te wyniki
sugerują, że para kwark--antykwark powinna być mała w~przestrzeni
położeń w~porównaniu z~rozmiarem hybrydy.  Sugerują one także, że para
ta mogłaby pochodzić z~gluonu pochodzącego z~gluonium zanim
oddziaływanie zmieniło jeden z~gluonów w~parę kwark--antykwark.

Pewne wątpliwości nasuwać może fakt, że wynik ten został otrzymany przy minimalizacji
tylko jednej wielkości w~przestrzeni siedmiu parametrów.  Wychodzi
tutaj jednak na jaw siła narzucania warunku spełnienia ciągłej symetrii
w~rozsądnych modelach.  Szczególna teoria względności dostarcza
nieskończenie wielu warunków zamiast tylko jednego, którym
w~wykonanych badaniach była niezależność amplitudy rozpadu
skalarnej hybrydy na skalarne mezony od kąta $\theta$.  Było wątpliwe, że jest
możliwe osiągnięcie funkcji niezależnej od kąta (nawet w~przybliżeniu),
zanim dokonane zostały przedstawione tu wyniki badań,
uwzględniające czynniki spinowe dla gluonu.  Istotnym jest to, że
symetria nie może być spełniona w~modelu z~minimalną liczbą składników,
o~ile w~modelu tym hybryda nie jest zbudowana w~szczególny sposób.
Ten specjalny sposób budowy stanu hybrydy
wygląda inaczej niż można byłoby się spodziewać, przy założeniu, że
gluony podążają za kwarkami.  Obraz ten nie wydaje się zależny od
żadnego konkretnego szczegółu poza ogólnym założeniem, że model
z~minimalną liczbą składników może przybliżać efektywną dynamikę na
froncie świetlnym.

Następnym wnioskiem z~badań jest mały rozmiar przestrzenny pary
kwark--antykwark.  Jest on około 4 do 5 razy mniejszy niż odległość
między gluonem a~parą.  Rozmiar ten jest skorelowany z~$\lambda$,
oba rzędu 3 lub nawet 5~GeV.  Pytaniem jest dla jakich wartości
$\lambda$ konstytuentny obraz hybrydy może 
spełniać wymagania szczególnej teorii względności.

W~zasadzie, gdyby
równania RGPEP i~równania własne na funkcje falowe hadronów były rozwiązane ściśle,
uzyskane wielkości fizyczne nie powinny zależeć od $\lambda$.
Wówczas niezależnie od użytego $\lambda$ powinniśmy otrzymać sferycznie
symetryczną amplitudę rozpadu hybrydy.  Wiadome jest %% !!! referencja
jednak, że w~celu przybliżenia pełnej dynamiki
w~teorii z~asymptotyczną swobodą, $\lambda$ powinno mieć wartość
około dwa razy większą niż skala opisywanych wartości własnych. 
Nie możliwe jest jednak obniżenie $\lambda$ do mniejszych wartości, używając
RGPEP w~rachunku zaburzeń.  W~tym przypadku bowiem zrenormalizowany hamiltonian
$H_{\lambda}$ zawierałby zbyt duże błędy (patrz rozważania
w~rozdziale~\ref{sec:f_lambda}).  Zatem skala, którą otrzymujemy z~naszego
heurystycznego dopasowania jest rozsądna.

Istnieją niewielkie różnice pomiędzy przypadkiem rozpadu na dwa skalarne,
a~rozpadem na dwa pseudoskalarne mezony, oraz pomiędzy wynikami uzyskanymi
przy różnym modelowaniu spinu konstytuentnego gluonu
w~hybrydzie.  We wszystkich tych przypadkach zwraca jednak uwagę
fakt, że $\beta_{hq}$ jest zawsze tego samego rzędu co $\lambda$, oraz że
obydwa te parametry są większe niż pozostałe.  Inną cechą wspólną jest
to, że efektywna masa gluonu, $m_g$, wydaje się być dużo większa niż
efektywna masa kwarku, $m_q$.

Alternatywny człon spinowy funkcji falowej hybrydy
z~równania~\eqref{P123}, lecz z~czteropędem masywnego gluonu, daje
minima z~dużo mniejszą amplituda rozpadu $\A$ niż najprostsza możliwa
postać czynnika spinowego~\eqref{uev}.  Ten rezultat wskazuje, że
należy być bardzo ostrożnym w~wyborze metody uwzględniania spinu
gluonu przy tworzeniu modelu.

Należy podkreślić, że w~przedstawionych obliczeniach bezwzględna
wartość amplitudy rozpadu hybrydy nie jest w~pełni kontrolowana.
Wynika to stąd, że nie zostały w~nich uwzględnione dynamiczne więzy pomiędzy
stałą sprzężenia $g_\lambda$ (siłą oddziaływania), parametrem $\lambda$
procedury grupy renormalizacji RGPEP i~parametrami funkcji falowych.

Wyjaśnienia wymaga fakt zmniejszania się amplitudy rozpadu przy
przejściu do parametrów, dla których symetria jest zachowana.  Kiedy
jeden z~parametrów funkcji falowej zmienia się od zestawu wartości
podanych w~pierwszej kolumnie tabeli~\ref{tab:scan-and-hsmin}, do
zestawu wartości narzuconych przez wymaganie symetrii obrotowej, jak
w~kolumnach 2--5 w~tabeli~\ref{tab:scan-and-hsmin}, lub wartości
w~tabelach~\ref{tab:ASA:devsqrp-1}--\ref{tab:ASA:devsqrp-2},
wówczas wielkość amplitudy rozpadu zmienia się od
wartości 0.9 do 0.1 (na
rysunkach~\ref{fig:scan:first}--\ref{fig:scan:last}) do dużo
mniejszych wartości $10^{-2}$ lub $10^{-3}$ (na
rysunku~\ref{fig:hsmin}), lub $10^{-2}$ do $10^{-4}$ (na
rysunkach~\ref{fig:ASA:first} to~\ref{fig:ASA:last}).

Są to znaczące zmiany wielkości amplitudy rozpadu.  Jest mało
prawdopodobne, aby stała sprzężenia zmieniała się tak bardzo by
skompensować tę zmianę.  Sądzić należy, że zmiana ta jest tak duża wyłącznie ze
względu na relatywistyczny ruch lekkiego mezonu, będącego produktem
rozpadu hybrydy.  Jeśli mezony powstałe z~rozpadu hybrydy
są powolne, symetria obrotowa w~naszym modelu jest zachowana bardzo
dokładnie.  Zachodzi to nawet dla typowych, standardowych wartości parametrów,
których przykładem jest pierwsza kolumna
tabeli~\ref{tab:scan-and-hsmin}.  Nasuwa się zatem wniosek, że
relatywistyczny rozpad hybrydy (zawierający szybki mezon $p$) może
być zależny od relatywistycznych efektów, których nie widać w~przypadku
nierelatywistycznej fenomenologii.

Celowe jest również omówienie zaobserwowanej prawidłowości, że minima dla
przypadku czynnika spinowego hybrydy danego równaniem~\eqref{P123} są węższe niż
w~przypadku równania~\eqref{uev}. 
Jeśli zakres parametrów, dla których symetria obrotowa jest spełniona,
jest bardzo wąski, rozważania symetrii same w~sobie stają się ważnym źródłem informacji
na temat doboru ich wartości (nawet jeśli dynamiczne równania
trudno rozwiązać z~porównywalną dokładnością).  Konsekwencją jest
bardzo ścisłe kryterium spełniania symetrii relatywistycznych,
którego można używać do oceny modeli.

Prosty model opisany w~tej pracy sugeruje, że parametry funkcji
falowych dla cząstek biorących udział w~relatywistycznym rozpadzie 
hybrydy muszą być silnie skorelowane.  Ta korelacja jest konieczna, aby amplituda
rozpadu spełniała wymagania szczególnej teorii względności.  
W~prowadzonych obliczeniach, dzięki
użyciu dynamiki na froncie świetlnym, symetria ze względu na pchnięcia
jest spełniona dokładnie, a~parametry funkcji falowych są ograniczone przez
wymaganie symetrii obrotowej.  W~rozważanych przykładach 
parametry przybierają wartości, które nie odpowiadają obrazowi
opartemu na~intuicji nierelatywistycznej, że gluon znajduje się głównie 
pomiędzy dwoma kwarkami.  \emph{Zamiast tego relatywistyczny obraz
efektywnych składników (konstytuentów) prowadzi w~prawie uniwersalny
sposób do struktury, w~której ciężki gluon towarzyszy parze
kwark--antykwark o~małych rozmiarach}.  

Jest to niespodziewany, zaskakujący wynik.
Sugeruje on, że obraz z~gluonami grającymi rolę struny pomiędzy
względnie ciężkimi kwarkami może nie być tak realistyczny, jak 
można byłoby oczekiwać korzystając z~intuicji nierelatywistycznej.

Alternatywna struktura hybrydy pojawia się w~szerokim zakresie
przypadków różniących się czynnikami spinowymi dla
gluonów i~kwarków.  Jednakże wymagania symetrii relatywistycznej
okazują się mocno ograniczające, jeśli założymy, że tylko sektory
z~najmniejszą liczbą cząstek są ważne.  Wnioskujemy zatem, że
przy rozważaniu dynamiki konstytuentnych cząstek efektywnych w~QCD
powinny zawsze być uwzględniane więzy szczególnej teorii względności.
Te więzy okazują się zdolne do zmiany rozumienia hadronów ze znaczącym
wkładem gluonowym.  Nie musi bowiem być tak, jak gdyby gluony były po prostu dodane do
kwarków i~antykwarków.  Może być tak, że gluony dominują w~dynamice
hybryd i~zmuszają kwarki do podążania za nimi.

Parametry funkcji falowych, które znajdujemy przez wymaganie
spełniania symetrii obrotowej amplitudy rozpadu modelowej hybrydy, mogą
okazać się niewłaściwe gdy uwzględnimy w~analizie dynamikę cząstek.
Może się okazać, że przybliżenie, iż wystarczy użyć sektorów Focka
z~najmniejszą możliwą liczbą cząstek nie jest poprawne.  Jest natomiast
jasne, że więzy szczególnej teorii względności nie mogą być ignorowane
w~poszukiwaniu wiodącego obrazu konstytuentnego.

Dyskusja przedstawiona tutaj jest ograniczona (dla prostoty) do hybryd
$J^{PC} = 0^{++}$, podczas gdy najbardziej interesującą z~praktycznego
punktu widzenia jest struktura hybryd o~egzotycznych liczbach
kwantowych 
(liczbach kwantowych, które nie mogą być uzyskane przez zwykłe mezony).  
Aby modelować taką egzotyczną hybrydę, w~przyszłych obliczeniach można byłoby
zmienić czynniki w~funkcjach falowych hybrydy.  Na przykład można byłoby
zamienić kolorowe pole elektryczne na kolorowe pole magnetyczne,
albo wprowadzić funkcje falowe stanu $P$.  Proste użycie fali $P$ dla
gluonu (dodając czynnik $\vec k_g$ w~funkcji falowej hybrydy) zmienia
rozważany stan hybrydy do egzotycznego mezonu hybrydowego o~liczbach
kwantowych $J^{PC} = 1^{-+}$, najbardziej interesującego
doświadczalnie.  W~takich modelach amplituda rozpadu wyliczona
w~schemacie na froncie świetlnym powinna dawać wymaganą zależność od
kąta w~układzie środka masy egzotycznej hybrydy.  

Otrzymany z~analizy symetrii relatywistycznych amplitudy rozpadu obraz
hybrydy, z~rozmiarem pary kwark--antykwark
rzędu odwrotności szerokości $\lambda$ hamiltonianu
efektywnego, sugeruje, że para kwark--antykwark mogłaby pochodzić
z~rozpadu jednego z~gluonów konstytuentnych w~gluonium (zob.
rysunek~\fullref{fig:mix}).  Nasuwa się wniosek, że odległość
pomiędzy wspomnianą parą a~gluonem w~hybrydzie, reprezentowana przez
$\beta_{hg}$, byłaby rzędu odległości między gluonami w~stanie gluon--gluon,
reprezentowanej przez $\beta_{gg}$.  W~naturalny sposób rozpad jednego
z~gluonów w~stanie $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ na parę kwark--antykwark za pomocą 
oddziaływania o~szerokości $\lambda$ dawałby szerokość $\beta_{hq}$
tej pary także rzędu $\lambda$.  Parametr $\lambda$, będąc parametrem
grupy renormalizacji dla hamiltonianu efektywnego, powinien być rzędu
wielokrotności energii rozważanych stanów.  Pozwoliłoby to otrzymać ustalone
wartości parametrów, co daje uzasadnienie, że $\lambda$ powinno być rzędu 3-5~GeV.

%%% izospin
Rozszerzając analizę wyników należy jednak zauważyć, że mieszanie
stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ ze
stanem $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ może zachodzić tylko jeśli kwark i~antykwark
w~hybrydzie mają ten sam zapach i~mogą anihilować tworząc gluon,
czyli dla hybrydy będącej skalarem izospinowym.  Nasuwa się pytanie, jak
się rozpada na dwa mezony hybryda nie będąca izoskalarem.
Obliczenia dla różnych stanów izospinowych sprowadzają się do
podstawienia odpowiedniego czynnika izospinowego $I_x$, co daje
odpowiedni czynnik numeryczny dla amplitud $A$ i~$B$. %% ??? ostatnie zdanie

I~tak, na przykład, hybryda będąca składową neutralną izowektora
może rozpadać się na dwa mezony, z~których jeden jest izoskalarem
a~drugi także składową neutralną izowektora.  Zatem mogą istnieć mezony
hybrydowe o~niezerowym całkowitym izospinie, które rozpadają się na dwa
mezony, ale nie sprzęgają się do stanu gluon--gluon.


%\cleardoublepage{}
\clearpage{}

\section[Dynamika mieszania hybrydy z~innymi sektorami Focka]
{Dynamika mieszania hybrydy z~innymi sektorami przestrzeni Focka}
\label{sec:mixing}\label{sec:mieszanie}

Wymaganie, aby amplituda rozpadu hybrydy na dwa mezony spełniała relatywistyczne
warunki symetrii, wymusza w~rozważanych w~tej pracy modelach nietypowy kształt
funkcji falowej hybrydy.  Szerokość pary kwark--antykwark
$\beta_{hq}$ w~przestrzeni pędów jest rzędu szerokości $\lambda$ czynnika
podobieństwa w~hamiltonianie efektywnym,
\begin{equation}
  \label{eq:b_hq=l}
  \beta_{hq} \simeq \lambda\,
\end{equation}
przy $\lambda$ rzędu 5~GeV: patrz tabele~\ref{tab:scan-and-hsmin},
\ref{tab:ASA:devsqrp-1}--\ref{tab:ASA:devsqrp-2}.  Oznacza to małą
w~przestrzeni położeniowej, tzn. ciasno związaną parę kwark--antykwark, która razem
z~gluonem krąży wokół wspólnego środka.  W~typowym modelu hybrydy wartości 
$\beta_{hq}$ i~$\beta_{hg}$ są tego samego 
rzędu~\cite{Kalashnikova:exotics:1993xb,IddirSemlala:massesinmodels:2002rf},
lub gluon (bądź wzbudzenie gluonowe) występuje
pomiędzy kwarkiem i~antykwarkiem~\cite{IsgurPaton:PP1:flux_tube:1984bm,
JugeKutiMorningstar:hybrids_lattice:1997nc}. 

W~niniejszej pracy wymaganie nietypowego kształtu hybrydy
otrzymane zostało z~jej relatywistycznego rozpadu.
Oznacza to, że przynajmniej jeden z~mezonów porusza
się z~relatywistycznymi prędkościami.  Jest to przypadek, który zachodzi dużo powyżej %% ??
progu rozpadu.  Rozpad nierelatywistyczny, na progu rozpadu, gdzie
mezony są ciężkie i~poruszają się z~niewielkimi prędkościami, nie
narzuca szczególnych wymagań na parametry funkcji falowej hybrydy.
W~obliczeniach założono także, iż rozpad daje się opisać za pomocą stanów
o~najmniejszej możliwej liczbie efektywnych cząstek konstytuentnych
(założenie możliwe dzięki użyciu metody renormalizacji dla cząstek
efektywnych).  Ponadto w~jakościowych obliczeniach w~niniejszej pracy
założono, że stany hybrydy i~mezonów, na które hybryda się rozpada,
dają się opisać prostymi stanami gaussowskimi.  Amplituda rozpadu
była wyliczana przy założeniu, że rozpad ten daje się opisać
w~pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń dla hamiltonianu efektywnego w~RGPEP.

Powstaje pytanie jaki mógłby być dynamiczny mechanizm powstawania takiego
nietypowego kształtu funkcji falowej hybrydy.

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=1.0]{mix.eps}%%  
    \caption{Mieszanie stanu złożonego z~kwarku, antykwarku i~gluonu
    (podstawowego składnika hybrydy) ze stanem gluon -- gluon
    (podstawowy składnik gluonium).  Mieszanie zachodzi za pomocą rozpadu jednego z~gluonów
    w~stanie gluon -- gluon na parę kwark -- antykwark.  Wierzchołek
    oddziaływania %% $H_{\lambda}$
    był wyliczony w~pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń grupy
    renormalizacji w~QCD na froncie świetlnym dla $\lambda \sim 3-5\ \text{GeV}$.}
  \label{fig:mix}
\end{figure}

Otrzymany z~analizy symetrii relatywistycznych amplitudy obraz hybrydy
sugeruje, że para kwark--antykwark w~hybrydzie mogłaby pochodzić
z~rozpadu jednego z~gluonów konstytuentnych w~stanie $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
za pośrednictwem członu $H_{I\lambda}$ w~Hamiltonianie efektywnym, zobacz
rysunek~\ref{fig:mix}.
Człon $H_{I\lambda}$ zawiera czynnik podobieństwa o~szerokości $\lambda$.

Na rysunku~\ref{fig:mix} widać, że gdy oddziaływanie mieszające stan
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ ze stanem
$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ jest przybliżone przez $H_{I\text{QCD}\lambda}$
z~RGPEP, to człon oddziaływania wprowadza czynnik $f_{\lambda}$ do funkcji
falowej składowej $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.
Można więc przypuszczać, że takie mieszanie
prowadzi do kształtu hybrydy z~$\beta_{hq} \simeq \lambda$. 

Nasuwa się również wniosek, że odległość pomiędzy parą $q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}$ a~gluonem
w~stanie $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$,
reprezentowana przez $\beta_{hg}$, byłaby rzędu odległości
między gluonami w~stanie $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$, reprezentowanej przez $\beta_{gg}$.
W~naturalny sposób rozpad jednego z~gluonów w~stanie $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ na parę
kwark--antykwark za pomocą oddziaływania o~szerokości $\lambda$ dawałby
szerokość $\beta_{hq}$ tej pary także rzędu $\lambda$.  Parametr
$\lambda$, będąc parametrem renormalizacji hamiltonianu efektywnego,
powinien być rzędu mas i~energii rozważanych 
stanów~\cite{GlazekWilson:matrix_model:1997gt,GlazekMlynik:2002iw,GlazekMlynik:2003xr}
aby móc zastosować metodę wycinania ,,okna'' w~hamiltonianie efektywnym 
(rozdział~\ref{sec:f_lambda}), co w~rozważanym przypadku oznacza możliwość
stosowania przybliżenia minimalnej liczby cząstek.
Daje to uzasadnienie, że $\lambda$ powinno być rzędu 3-5~GeV.

Można postawić pytanie, czy taki prosty obraz dynamicznego uzasadnienia
obrazu hybrydy opisanego w~części~\ref{sec:decay} znajduje potwierdzenie w~obliczeniach.
W~tym celu należy zbadać jaki wpływ na funkcję falową hybrydy ma
mieszanie stanu kwark--antykwark--gluon ze stanem gluon--gluon.

Jakościowy obraz hybrydy, uzyskany z~obliczeń przedstawionych w~części~\ref{sec:decay}, 
nie zależy od przyjętego sposobu uwzględniania spinu gluonu
ani spinów kwarków.  Nie zależy nawet od tego czy spin jest uwzględniony~\cite{GlazekNarebski:2005jb}.
W~pierwszym przybliżeniu wystarczy więc zbadać
mieszanie stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
ze stanem $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ dla kwarków i~gluonów reprezentowanych
przez cząstki skalarne.  Na tym przybliżeniu skupiamy się w~tej pracy.

To uproszczenie pozwala uniknąć
trudności związanych z~czynnikami spinowymi w~funkcjach falowych,
w~tym szczegółów ich zależności od pędów.  Należało
jednak zachować w~pamięci istnienie w~wyjściowej lokalnej teorii kanonicznej
rozbieżności ultrafioletowych powodowanych zależnością
czynników spinowych od pędu, usuwanych czynnikiem $f_{\lambda}$.
Po uproszczeniu czynników spinowych efekty związane z~tymi czynnikami
będą musiały być uwzględnione za pomocą dodatkowych czynników zależnych
od pędu, zachowujących rolę $f_{\lambda}$.


\subsection{Zagadnienie mieszania różnych sektorów Focka}
\label{sec:mix-H_to_M2}

Aby zbadać, jaki wpływ na funkcje falową hybrydy ma mieszanie stanu
kwark--antykwark--gluon ze stanem gluon--gluon, należy rozwiązać
zagadnienie własne dla zrenormalizowanego hamiltonianu
$H_{\text{QCD}}$ ograniczone do wymienionych sektorów Focka
\begin{equation}
  \label{eq:H-eig}
  H_{\text{QCD}\lambda} | \Psi \rangle = E | \Psi \rangle \,,
\end{equation}
lub przynajmniej znaleźć przybliżone rozwiązanie modelu tego sektora
w~QCD.  Zakłada się, że dzięki temu, że używana jest
procedura grupy renormalizacji za pomocą transformacji podobieństwa,
można zagadnienie mieszania różnych sektorów Focka rozwiązywać
w~pierwszym przybliżeniu po prostu za pomocą wycięcia ,,okna''
złożonego tylko z~tych dwóch sektorów Focka (patrz
rozdział~\ref{sec:f_lambda}).

W~formie dynamiki na froncie świetlnym rolę hamiltonianu pełni
składowa $\mathcal{P}^-$ operatora pędu.  Pozostałe składowe operatora
pędu są kinematyczne, tzn. nie zależą od oddziaływania.  Na froncie
świetlnym hamiltonian jest powiązany z~operatorem
$\hat{\mathcal{M}}^2$ masy niezmienniczej 
danym jako kwadrat operatora pędu: 
\begin{math}
  \hat{\mathcal{P}}^\mu \hat{\mathcal{P}}_\mu = \hat{\mathcal{M}}^2\,:  
\end{math}
\begin{equation}
  \label{eq:P-_i_M2}
  \hat{\mathcal{P}}^- = \frac{\hat{\mathcal{P}}^{\perp\,2} + \hat{\mathcal{M}}^2}{\mathcal{P}^+}\,.
\end{equation}

Kiedy rozpatruje się zbiór stanów o~ustalonych wartościach własnych
$P^+$ i $P^\perp$, jak widać z~równania~\eqref{eq:P-_i_M2} stany własne
$P^-$ maja ustalona wartość $M^2$.  Wartości
własne $P^+$ i~$P^\perp$ można wyeliminować z~równania na wartość
własna $P^-$, otrzymując równanie własne na $M^2$.
\begin{equation}
  \label{eq:M2-eig}
  \hat{\mathcal{M}}^2 | \Psi \rangle = M^2 | \Psi \rangle \,.
\end{equation}
W~układzie środka masy całkowity pęd prostopadły jest równy zeru,
a~pęd $P^+$ jest stały i~dany przez $M$, czyli masę hybrydy
(w~wierzchołku oddziaływania zachowane są składowa $p^+$
i~$p^\perp$).  W~równaniu własnym dla $M^2$ na funkcje falowe
stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
oraz $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ występują tylko pędy
względne.


\subsection{Ściśle rozwiązywalny model mieszania stanów o~różnej liczbie cząstek}
\label{sec:mix-sep}

Ponieważ nie istnieje ścisłe rozwiązanie zagadnienia stanów związanych
w~QCD, ani tym bardziej zagadnienia mieszania pomiędzy stanami
związanymi (jak np. pomiędzy stanem kwark--antykwark--gluon
a~stanem gluon--gluon), konieczne było
zastosowanie obliczeń przybliżonych.  Aby wstępnie oszacować 
własności i~konsekwencje sprzężenia między składowymi hybrydy,
użyty został ściśle rozwiązywalny model matematyczny
mieszania stanów $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
z~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.  Ścisłe rozwiązanie
uproszczonego modelu matematycznego pomaga w~analizie
rozwiązań otrzymanych numerycznie w~bardziej realistycznych modelach.

W~celu otrzymania ściśle rozwiązywalnego i~prostego do analizy modelu
założono, że oddziaływanie, które jest odpowiedzialne za mieszanie pomiędzy 
stanami reprezentującymi $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
z~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$, wybrano w~postaci separowalnej.  Taka postać członu
mieszania została wybrana ze względu na to, że rozwiązanie modeli z~użyciem
rozwiązań separowalnych jest proste. 
Oddziaływania bardziej ogólnego typu dają się przybliżać za pomocą
sumy oddziaływań separowalnych.

Punktem wyjścia był model, w~którym stan $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
reprezentowany jest przez stan ,,zerocząstkowy'' (stała razy stan
próżni), zaś stan $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
przez stan jednocząstkowy (ruch względny $q_\lambda$ i~$\bar{q}_\lambda$
w~parze).

Operator masy niezmienniczej tego modelu dla wymiaru $d$ (gdzie $d$ wynosi 1,
2 lub 3), zapisany za pomocą operatorów rzutowych na stan jednocząstkowy $\lvert k \rangle$
o~pędzie $k$, oraz operatorów rzutowych na zerocząstkowy stan próżni $\lvert \Omega \rangle$,
ma postać:
\begin{equation}
  \label{eq:H:oper-d}
  \begin{split}
    \hat{\mathcal{M}}^2 &= 
    \int [k]\, 4(m^2 + k^2) \, |k \rangle \langle k|
    + \frac{g m_Y}{m_{I}^{d-2}} \int [k]\, f(k) \bigl(|k \rangle \langle \Omega| + |\Omega \rangle \langle k|\bigr) \\
    &\null -
    \frac{\alpha}{m_{\alpha}^{d-2}} \int [k k']\, h(k) h(k')\, \bigl(|k' \rangle \langle k| + |k \rangle \langle k'|\bigr)
    + m_g^2 \lvert \Omega \rangle \langle \Omega \rvert
  \end{split}
\end{equation}
Symbol $[k]$ oznacza w~tym wzorze niezmienniczą miarę całkowania po
pędach.  Pęd $k$ odpowiada w~tym modelu pędowi względnemu w~układzie
$\bar{q}q$, czyli $k_{hq}$.

Wybór operatora $\hat{\mathcal{M}}^2$ upraszcza postać równania własnego,
oraz pozwala na wyciągnięcie wniosków dotyczących zarówno obliczeń
w~dynamice na froncie świetlnym, jak i~dla obliczeń równoczasowych.

Równanie własne
\begin{equation}
  \label{eq:H-eig:gen}
  \hat{\mathcal{M}}^2 \lvert \Psi \rangle = M^2 \lvert \Psi \rangle 
\end{equation}
w~tym modelu odpowiada równaniu własnemu operatora masy niezmienniczej
dla zagadnienia mieszania stanu kwark--antykwark--gluon ze stanem
gluon--gluon.

Czynnik $m_Y$ w~członie mieszania jest potrzebny aby zgadzały się
wymiary masowe.  Czynniki $m_{I}^{2-d}$ oraz
$m_{\alpha}^{2-d}$ (zależne od wymiaru) potrzebne są natomiast, aby współczynniki $\alpha$
i~$g$ były bezwymiarowe.  Dla uproszczenia założono, że
\mbox{$m_{\alpha} = m_{I} = m$}.  Oddziaływanie wewnątrz stanu
jednocząstkowego $V(k,k') = h(k) h(k')$ jest oddziaływaniem
separowalnym.

Badany stan jest superpozycją stanów 1-- i~0--cząstkowych.
\begin{equation}
  \label{eq:psi:state}
  \lvert \Psi \rangle 
  = \int [k]\, \psi(k) \,\lvert k \rangle
  + \phi \lvert \Omega \rangle \,.
\end{equation}
Modeluje on stan zbudowany z~sektorów $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ (modelowany przez
stan 1--cząstkowy w~tym modelu) i~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ (modelowany przez stan
0--cząstkowy).

Równanie własne~\eqref{eq:H-eig:gen} ma następującą postać:
\begin{equation}
  \def\v{\vphantom{\displaystyle\int}}
  \label{eq:H-eig:matrix}
  \begin{bmatrix}
    4(m^2 + k^2) - \alpha' \displaystyle\int [k'] h(k) h(k')    & g' m_Y f(k) \v\\
    g' m_Y \displaystyle\int [k'] f(k')                         & m_g^2       \v
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    \psi(k) \v\\
    \phi    \v
  \end{bmatrix}
  = M^2
  \begin{bmatrix}
    \psi(k) \v\\
    \phi    \v
  \end{bmatrix}\,.
\end{equation}
Dla skrócenia zapisu wprowadzono oznaczenia $\alpha' =
\alpha/m_{\alpha}^{d-2}$, $g' = g/m_{I}^{d-2}$.  
Powyższe równanie własne zapisane jako układ równań ma postać:
\begin{subequations}%equation
  \label{eq:H-eig:eqn}
  %\left\{
    \begin{align}%aligned
      \label{eq:H-eig:eqn:1}
      4(m^2 + k^2)\psi(k) - \alpha' \int [k'] h(k) h(k') \psi(k')  +  g' m_Y f(k) \phi  &=  M^2 \psi(k) \\
      \label{eq:H-eig:eqn:2}
      g' m_Y \int [k'] f(k') \psi(k')                              +  m_g^2 \phi        &=  M^2 \phi
    \end{align}
  %\right.
\end{subequations}

Z~równania~\eqref{eq:H-eig:eqn:2} wyliczyć można składową
zerocząstkową $\phi$
\begin{equation}
  \label{eq:phi-sol:f!=h}
  \phi = - \frac{g'\, m_Y}{m_g^2 - M^2} \int [k'] f(k') \psi(k')
\end{equation}
Podstawiając ten wynik do równania w~\eqref{eq:H-eig:eqn:1}, dostaje
się następujące wyrażenie na $\psi(k)$
\begin{equation}
  \label{eq:psi-sol:f!=h}
  \begin{split}
    \psi(k) = \frac{1}{4(k^2 + m^2) - M^2}
    \Biggl[
      \alpha' 
      &h(k) \int [k'] h(k') \psi(k') + \null \\
      \null +
      \frac{g'^2\, m_Y^2}{m_g^2 - M^2}
      &f(k) \int [k'] f(k') \psi(k')
    \Biggr] \,.
  \end{split}
\end{equation}
Zakładamy, że funkcje $h(k)$ i~$f(k)$ są takie, że całki
występujące w~tym równaniu dają skończone wyniki, oznaczone
odpowiednio
\begin{subequations}
\label{eq:H+F}
\begin{align}
  \label{eq:H}
  H &= \int [k] h(k) \psi(k)\,, \\
  \label{eq:F}
  F &= \int [k] f(k) \psi(k)\,.
\end{align}
\end{subequations}
Podstawienie wyrażenia~\eqref{eq:psi-sol:f!=h} na $\psi(k)$ do układu
równań~\eqref{eq:H-eig:eqn} daje następujące warunki samozgodności na
stałe $F$ i $H$:
\begin{subequations}
\label{eq:H+F-eq}
\begin{align}
  \label{eq:H-eq}
  H &= \alpha H I_{hh} + \xi F I_{fh}\,, \\
  \label{eq:F-eq}
  F &= \alpha H I_{fh} + \xi F I_{ff}\,, 
\end{align}
\end{subequations}
gdzie wprowadzone zostało oznaczenie
\begin{equation}
  \label{eq:xi}
  \xi = \frac{g^2\, m_Y^2}{m_g^2 - M^2}\,.
\end{equation}
Symbole $I_{ff}$, $I_{fh}$ oraz $I_{hh}$ oznaczają odpowiednio całki
\begin{subequations}
\label{eq:I_xx}
\begin{align}
  \label{eq:I_hh}
  I_{hh} &= m^{2-d} \int [k]\, \frac{h^2(k)}{4(k^2 + m^2) - M^2}\,, \\
  \label{eq:I_ff}
  I_{ff} &= m^{2-d} \int [k]\, \frac{f^2(k)}{4(k^2 + m^2) - M^2}\,, \\
  \label{eq:I_fh}
  I_{fh} &= m^{2-d} \int [k]\, \frac{f(k) h(k)}{4(k^2 + m^2) - M^2}\,.
\end{align}
\end{subequations}
Wymaganie by istniało rozwiązanie na $F$ i~$H$ (skończone i~nie równe tożsamościowo zero)
sprowadza się do warunku na $M^2$, czyli na masę własną rozwiązania.
Wymaganie to można zapisać w~postaci
\begin{equation}
  \label{eq:M-eq:f!=h}
  1 = \alpha I_{hh} + \xi I_{ff} - \alpha \xi (I_{ff} I_{hh} - I_{fh}^2)\,.
\end{equation}
Należy pamiętać, że wielkość $\xi$ zdefiniowana w~\eqref{eq:xi}
oraz wielkości $I_{ff}$, $I_{fh}$ i $I_{hh}$ zdefiniowane w~\eqref{eq:I_xx} zależą od $M^2$.
Równanie~\eqref{eq:M-eq:f!=h} to skomplikowane nieliniowe równanie własne, 
którego rozwiązanie można znajdować numerycznie.  Można też zauważyć, że przy założeniu $m_g > 2 m$
oraz założeniu dodatniości parametrów równanie to ma tylko jeden pierwiastek.

Po znalezieniu masy własnej $M^2$, będącej rozwiązaniem~\eqref{eq:M-eq:f!=h}, należy wstawić ją do
równań~\eqref{eq:H+F-eq} na stałe $F$ i~$H$.  Równania~\eqref{eq:H+F-eq}
są jednorodne (dla $M^2$ będącej rozwiązaniem równania własnego)
i~nie wyznaczają wielkości $F$ i~$H$, a~jedynie ich stosunek.
Za pomocą tego układu równań można wyrazić jedną z~tych stałych przez drugą
i~wstawić do równania~\eqref{eq:psi-sol:f!=h} na
funkcję falową $\psi(k)$ w~stanie własnym~\eqref{eq:psi:state}.
Wartość odpowiedniej stałej ($F$ lub $H$) znajduje się z~warunku
normalizacji stanu $\lvert \Psi \rangle$.

Jedną z~możliwości wyrażenia $\psi(k)$ (równoważnych dla $M$
spełniającego równanie~\eqref{eq:M-eq:f!=h}) jest
\begin{equation}
  \label{eq:psi-fin:f!=h}
  %\label{eq:psi-fin:f!=h:3}
  \psi(k) = 
  \left[
    \alpha \frac{1 - \xi I_{ff}}{\alpha I_{fh}} h(k) +
    \xi f(k)
  \right]
  \frac{F}{4(k^2 + m^2) - M^2} \,.
\end{equation}
Podstawiając ten wynik do wzoru~\eqref{eq:phi-sol:f!=h} na $\phi$,
dostaje się
\begin{equation}
  \label{eq:phi-fin:f!=h}
  \phi = - \frac{g'\, m_Y}{m_g^2 - M^2} F \,.
\end{equation}
Warunek na normalizację stanu $\lvert \Psi \rangle$ daje równanie
na stałą $F$:
\begin{equation}
  %% J_{xx} == I^{(2)}_{xx}
  \label{eq:Psi:norm:F}
  \begin{split}
    1 &= \langle \Psi \lvert \Psi \rangle 
    \\
    &=
    \frac{\xi}{m_g^2 - M^2} F^2 +
    \left[ 
      \left(\frac{1 - \xi I_{ff}}{I_{fh}}\right)^2 J_{hh} +
      \xi^2 J_{ff} +
      2 \xi \frac{1 - \xi I_{ff}}{I_{fh}} J_{fh}
    \right] F^2 \,,
  \end{split}
\end{equation}
gdzie $J_{hh}$, $J_{ff}$, $J_{fh}$ są zdefiniowane jako
\begin{subequations}
\label{eq:ozn:I2_xx}
\begin{align}
  \label{eq:ozn:I2_hh}
  J_{hh} &= m^{2-d} \int [k]\, \frac{h^2(k)}{\bigl[4(k^2 + m^2) - M^2\bigr]^2} \,,\\
  \label{eq:ozn:I2_ff}
  J_{ff} &= m^{2-d} \int [k]\, \frac{f^2(k)}{\bigl[4(k^2 + m^2) - M^2\bigr]^2} \,,\\
  \label{eq:ozn:I2_fh}
  J_{fh} &= m^{2-d} \int [k]\, \frac{f(k) h(k)}{\bigl[4(k^2 + m^2) - M^2\bigr]^2} \,.
\end{align}
\end{subequations}
Całki typu $J_{fh}$ różnią się od całek typu $I_{fh}$ we wzorach~\eqref{eq:I_xx} potęgami
mianownika energetycznego.

Dla uproszczenia dalszej analizy założono, że
funkcje $h(k)$ i~$f(k)$ są tego samego kształtu, to znaczy że są dane takim samym
wzorem, ale różnią się tylko parametrem szerokości.  Szerokość
funkcji $h(x)$, która opisuje stan związany 1--cząstkowy w~tym modelu,
oznaczona została przez $\beta_{hq}$, bo odpowiada $\beta_{hq}$ 
szerokości stanu bazowego w~stanie 
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ w~mieszaniu sektorów Focka w~QCD.  Szerokość
funkcji $f(k)$, która opisuje szerokość wierzchołka mieszania stanu
1--cząstkowego i~0--cząstkowego w~tym modelu, oznaczona została przez
$\lambda$, bo odpowiada szerokości czynnika podobieństwa $\lambda$
w~zrenormalizowanym hamiltonianie QCD.

Rozważane były następujące postaci funkcji $h(k)$ (funkcja $f(k)$ dana
jest takim samym wzorem jak $h(k)$, tylko z~$\beta_{hq}$ zastąpionym
przez $\lambda$):
\begin{subequations}
\label{eq:h(k)}
\begin{align}
  \label{eq:h=theta}
  h(k) &= \Theta(\beta_{hq} - k) \\
  \label{eq:h=lapl}
  h(k) &= \frac{\beta_{hq}^2}{\beta_{hq}^2 + k^2} \\
  \label{eq:h=gauss}
  h(k) &= \exp\left[-\frac{k^2}{2 \beta_{hq}^2}\right]
\end{align}
\end{subequations}
Dla wszystkich tych postaci wartości $I_{hh}$,
$I_{fh}$ oraz $I_{ff}$ dają się wyliczyć analitycznie.

Rozwiązanie~\eqref{eq:psi-sol:f!=h} na funkcję falową $\psi(k)$ można
przedstawić jako
\begin{equation}
  \label{eq:psi(k):ozn}
  \psi(k) = 
  \left[h_c h(k) + f_c f(k)  \right]
  \frac{C}{4(k^2 + m^2) - M^2}\,,
\end{equation}
gdzie $C$ jest stałą normalizacji.  Wyrażenie to mówi, że otrzymana
funkcja falowa $\psi(k)$ jest
kombinacją funkcji $h(k)$ o~szerokości $\beta_{hq}$, i~funkcji $f(k)$
o~szerokości $\lambda$.  Wnioskować stąd można, że wynik mieszania
sektorów $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
i~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ w~modelowym hamiltonianie inspirowanym
przez zrenormalizowany hamiltonian QCD będzie zawierał składową
o~szerokości $\beta_{hq}$, odpowiadającej szerokości potencjału $\omega_{hq}$, oraz
składową o~szerokości czynnika podobieństwa, $\lambda$.
%%
Wniosek ten jest zgodny z~oczekiwaniami na podstawie znajomości rachunku
zaburzeń dla stanów związanych w~mechanice kwantowej, gdy stała $g$ jest bardzo
mała ($g$ oznacza $g_{\lambda}$).

\def\mixscale{0.55}
\begin{figure}[htbp!]
  \centering
  %\psfrag{ 0}{$0$}
  %\psfrag{ 0.1}{$0.1$}
  %\psfrag{ 0.2}{$0.2$}
  %\psfrag{ 0.3}{$0.3$}
  %\psfrag{ 0.4}{$0.4$}
  %\psfrag{ 0.5}{$0.5$}
  %\psfrag{ 0.6}{$0.6$}
  \psfrag{M/m}{$M/m$}
  \psfrag{fc/hc}{$f_{c}/h_{c}$}
  \psfrag{g}{$g$}
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:mix-sep:M-vs-g}%%
    \includegraphics[scale=\mixscale]{model2d-h=lapl-m=0.3-mg=1.2-rho=1-l=5-a=0.3-g=scan-M=root.angles.eps}}%%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:mix-sep:fchc-vs-g}%%
    \includegraphics[scale=\mixscale]{model2d-h=lapl-m=0.3-mg=1.2-rho=1-l=5-a=0.3-g=scan-M=root-fchc.angles.eps}}%%
  \caption{Wykres zależności wartości własnej $M$, będącej
    rozwiązaniem równania~\eqref{eq:M-eq:f!=h} (wykres po lewej
    stronie, oznaczony (a)), oraz wykres zależności stosunku $f_c/h_c$
    z~równania~\eqref{eq:psi(k):ozn} (wykres po prawej stronie,
    oznaczony (b)) od parametru $g$ (stałej sprzężenia odpowiedzialnej
    za mieszanie)
    %%
    dla $m = 0.3\ \GeV$, $m_g = 1.2\ \GeV$, $\beta_{hq} = 1.0\ \GeV$, 
    $\lambda = 5.0\ \GeV$, $\alpha = 0.3$, $m_Y = 1.0\ \GeV$.}
  \label{fig:mix-sep:vs-g}
\end{figure}
Na wykresach na rysunku~\ref{fig:mix-sep:vs-g} widać, że ze wzrostem
$g$ maleje $M$, aż do $M=0$ dla $g_c$.  Ze wzrostem $g$ 
rośnie też w~przybliżeniu liniowo stosunek $f_c/h_c$, czyli stosunek
współczynnika przy $f(k)$ do współczynnika przy $h(k)$ w~$\psi(k)$,
patrz oznaczenia~\eqref{eq:psi(k):ozn}.
Prawy wykres na rysunku~\ref{fig:mix-sep:vs-g} urywa się gdy $g$
dochodzi do wartości dla której $M^2 = 0$.

Spodziewamy się, że podobna zależność zachodzi także
dla superpozycji stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
z~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ w~QCD,
bo oba problemy własne są jakościowo podobne, chociaż różnią się
wieloma szczegółami.  Wraz ze wzrostem $g$ rośnie
wkład składowej o~szerokości $\lambda$ (a~zatem rośnie efektywna 
szerokość stanu $\beta_{hq}^{\text{eff}}$).

\begin{figure}[htbp!]
  \psfrag
  {phi^2 vs g, beta_hq = 1 GeV, lambda = 5 GeV}[Bc][Bc]
  {Zależność $\phi^2$ od $g$, dla $\beta_{hq} = 1\ \text{GeV}$, $\lambda = 5\ \text{GeV}$}
  %%
  \psfrag{phi^2}{$\phi^2$}
  \psfrag{g}{$g$}
  %%
  \psfrag{ 0}{$0$}
  \psfrag{ 0.1}{$0.1$}
  \psfrag{ 0.2}{$0.2$}
  \psfrag{ 0.3}{$0.3$}
  \psfrag{ 0.4}{$0.4$}
  \psfrag{ 0.5}{$0.5$}
  \psfrag{ 0.6}{$0.6$}
  \psfrag{ 0.6}{$0.6$}
  \psfrag{ 0.8}{$0.8$}
  \psfrag{ 1}{$1$}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.75]{model2d-h=lapl-m=0.3-mg=1.2-rho=1-l=5-a=0.3-g=scan-M=root-plotdetails-phi2.angles.eps}%%
  \caption{Wykres zależności znormalizowanej wartości $\phi^2$ ze wzoru~\eqref{eq:psi:state}
    (odpowiednika prawdopodobieństwa $P_{gg}$ stanu $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
    w~hybrydzie) od parametru $g$
    %%
    dla $m = 0.3\ \GeV$, $m_g = 1.2\ \GeV$, $\beta_{hq} = 1.0\ \GeV$, 
    $\lambda = 5.0\ \GeV$, $\alpha = 0.3$, $m_Y = 1.0\ \GeV$.
    % $h(k)=\beta_{hq}^2/(k^2 + \beta_{hq}^2)$.
  }
  \label{fig:mix-sep:phi2_vs_g}
\end{figure}
Na wykresie z~rysunku~\ref{fig:mix-sep:phi2_vs_g} widać, że ze wzrostem
$g$ (i~ze wzrostem stosunku $f_c/h_c$, jak widać na
rysunku~\ref{fig:mix-sep:fchc-vs-g}) rośnie wkład składowej o~mniejszej
liczbie cząstek (rośnie $\phi^2$ ze wzoru \eqref{eq:psi:state}).  Wkład składowej
sektora 1--cząstkowego, czyli odpowiadającego stanowi 
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$, określony jest stosunkiem
\begin{math}
  ||\phi(k)||^2 / \bigl\lVert \lvert \Psi \rangle \bigl\rVert^2  \,.
\end{math}
Stosunek ten maleje od 1 dla $g=0$, przy braku mieszania, zbliżając się w~okolice $1/2$
dla $g$ dla którego $M^2 = 0$.

Otrzymujemy wniosek, że zwiększenie wkładu składnika o~szerokości
$\lambda$, zawierającego $f(k)$, do funkcji falowej stanu 1--cząstkowego,
odpowiadającego stanowi $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$,
okupione jest zwiększeniem prawdopodobieństwa sektora 0--cząstkowego,
odpowiadającego stanowi $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$,
w~stanie będącym wynikiem mieszania sektorów.  Można wysunąć
wniosek, że fakt ten jest uniwersalny w~klasie modeli mieszania sektorów
o~różnej liczbie cząstek za pomocą oddziaływania o~szerokości $\lambda$.
Oznaczałoby to, że dla dynamicznego mieszania sektora 
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ z~sektorem 
$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$, zwiększenie efektywnej szerokości $\beta_{hq}$
sektora $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
do wielkości $\lambda$ oznacza także zwiększenie prawdopodobieństwa $P_{gg}$
sektora $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ w~stanie hybrydy, będącym wynikiem podobnego mieszania dynamicznego.

Na podstawie tego prostego modelu oddziaływania stanów o~różnych liczbach cząstek,
rozwiązywalnego analitycznie, można spodziewać się, że w~wyniku mieszania
stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ ze stanem
$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ za pomocą oddziaływania $H_{I\text{QCD}\lambda}$,
stan hybrydy uzyska domieszkę składowej o~szerokości $\lambda$,
tzn. takiej samej jak szerokość pędowa czynnika podobieństwa.
Okupione to będzie jednak zwiększonym prawdopodobieństwem składowej $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
w~tym stanie.

\subsection{Hamiltoniany efektywne w~sektorach 
  $q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}$ i~$g_{\lambda}g_{\lambda}$}
\label{sec:Ham-sektory}

Do analizy mieszania stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
ze stanem $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ potrzeba, oprócz
członu rozpadu gluonu na parę kwark--antykwark (identycznego jak
w~analizie rozpadu hybrydy na dwa mezony), także znajomości członów
wiążących w~hamiltonianie.  Procedura grupy renormalizacji dla
cząstek efektywnych umożliwia powiązanie
członu odpowiedzialnego za rozpad oraz~członu odpowiedzialnego za wiązanie
(tzn. za istnienie i~postać cząstek takich jak hybryda czy gluonium)
z~członem oddziaływania $H_{I\text{QCD}\lambda}$ w~hamiltonianie QCD.
Przykłady wyprowadzeń efektywnych oddziaływań za pomocą procedury RGPEP
są znane 
dla teorii Yanga--Millsa~\cite{Glazek:1999fy},
oraz dla przypadku ciężkiego (nierelatywistycznego)
kwarkonium~\cite{Brisudova:1996hv,Glazek:QQbar-harmonic:2003ky,GlazekMlynik:2006cu}.
Nie istnieją jednak obliczenia efektywnego potencjału wiążącego w~pełnej
teorii dla przypadku relatywistycznego kwarku, antykwarku i~gluonu.

Obliczenia mieszania ograniczają się do przybliżenia, polegającego
na ograniczeniu do minimalnej liczby jawnie uwzględnionych
sektorów Focka.  Uwzględniono sektor Focka złożony ze stanów
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
w~singlecie kolorowym, oraz sektor złożony ze stanów 
$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ także
w~singlecie kolorowym.  

Dla cząstek skalarnych (dla przypadku, gdy gluony i~kwarki są reprezentowane przez cząstki
skalarne) człon odpowiedzialny za mieszanie stanu
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ ze
stanem $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
w~hamiltonianie efektywnym dany jest wyrażeniem
\begin{equation}
  \label{eq:q-ab}
  V_{q\bar{q}g} = g \int [123] \, f_{\lambda}(12,3) \, (\hc{b}_1 \hc{d}_2 \fhc{a}_3 + h.c.)
\end{equation}
gdzie $f_{\lambda}$ jest czynnikiem podobieństwa w~procedurze grupy
renormalizacji dla hamiltonianów.
Jest to ten sam człon jaki użyty był przy analizie amplitudy rozpadu
hybrydy na mezony, przy założeniu, że gluony i~kwarki są reprezentowane
za pomocą cząstek skalarnych~\cite{GlazekSzczepaniak:2002iq}. %% ???

Obliczenie efektywnego Hamiltonianu QCD (ograniczonego do sektora
$q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}$)
na froncie świetlnym za pomocą RGPEP daje w~pierwszych rzędach
potencjał efektywny między kwarkiem
i~antykwarkiem z~czynnikiem kolorowym jak dla wymiany
jednogluonowej, przynajmniej dla przypadku nierelatywistycznego, 
np.~\cite{Narebski:cvdW:2002tj}.
Wynik ten ma taką samą strukturę, jak w~od dawna
używanych modelach fenomenologicznych potencjału kolorowego~\cite{Greenberg:V_color:1981xn}:
\begin{equation}
  \label{eq:H_I:potential-model}
  V_{xx} = 
  - \sum_{i < j} F_i \cdot F_j\,\,
  V(\abs{\vect{x}_i - \vect{x}_j})
\end{equation}

Przyjęto, że oddziaływanie efektywne pomiędzy kwarkiem i~gluonem, oraz
oddziaływanie między gluonami me tę samą postać potencjału kolorowego,
z~czynnikiem kolorowym jak dla wymiany jednogluonowej.

W~powyższym wyrażeniu sumowanie rozciąga się na
wszystkie pary cząstek ($q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}$,
$q_{\lambda}g_{\lambda}$, $\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}$).  
We wzorze~\eqref{eq:H_I:potential-model} $F_{i}$
oznacza odpowiedni czynnik kolorowy, zaś  
$V(\abs{\vect{x}_i - \vect{x}_j})$  jest efektywnym potencjałem
wiążącym.

Czynniki kolorowe $C_F = F_i \cdot F_j$ są równe~\cite{Lipkin:V_color:1973prl}
\begin{subequations}
\label{eq:C_F}
\begin{align}
  \label{eq:C_F:singlet}
  C_F &=  3 
  &&\text{dla $g_{\lambda}g_{\lambda}$ (singlet kolorowy)} \\
  %% 
  \label{eq:C_F:oktet}
  C_F &= -\frac{1}{6}
  &&\text{dla $q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}$ (oktet kolorowy)} \\
  %% 
  \label{eq:C_F:triplet}
  C_F &= \frac{3}{2}
  &&\text{dla $g_{\lambda}q_{\lambda}$ (tryplet kolorowy)} \\
  %% 
  \label{eq:C_F:antitriplet}
  C_F &= \frac{3}{2}
  &&\text{dla $g_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}$ (antytryplet kolorowy)}
\end{align}
\end{subequations}
Czynnik kolorowy~\eqref{eq:C_F:oktet} jest ujemny, co oznacza, że oddziaływanie
kolorowe między kwarkiem i~antykwarkiem w~oktecie (który występuje w~stanie
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$) jest odpychające.  Odpychanie to jest kompensowane
przez oddziaływanie przyciągające między kwarkiem i~gluonem oraz
antykwarkiem i~gluonem.

Oddziaływanie wiążące $V(\abs{\vect{x}_i - \vect{x}_j})$ we wzorze~\eqref{eq:H_I:potential-model}
można przyjąć (w~pierwszym przybliżeniu)
w~postaci potencjału harmonicznego~\cite{Feynman:rel_osc:1971wr}.
Wybór takiej postaci potencjału jest dodatkowo uzasadniony przez
obliczenia za pomocą procedury RGPEP, które dają, przynajmniej 
w~przybliżeniu nierelatywistycznym, potencjał efektywny między
(ciężkimi) kwarkami który dla małych odległości zachowuje się
jak oscylator harmoniczny~\cite{Glazek:QQbar-harmonic:2003ky,GlazekMlynik:2006cu}.
%% z~\cite{IddirSemlala:massesinmodels:2002rf}
Użycie potencjału kwantowego oscylatora harmonicznego daje proste
obliczenia, 
% i~jest jakościowo w~dobrej zgodności z~danymi doświadczalnymi.
a~przeprowadzone w~niniejszej pracy obliczenia są tylko pierwszym
krokiem na drodze badania, jak może dynamicznie powstawać relatywistyczny
stan hybrydy.

Odpowiedni człon oddziaływania w~sektorze $q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}$, uwzględniający
czynniki kolorowe jak w~równaniu~\eqref{eq:H_I:potential-model},
zapisuje się następująco:
%% H_{q\bar{q}g} ... V(r) + V(r) + V(r) = ...
%% H_I \int [12,34] V(12,34) a1a2b3b4
\begin{multline}
  - \frac{1}{6} r_{q\bar{q}}^2 
  + \frac{3}{2} r_{qg}^2 
  + \frac{3}{2} r_{\bar{q}g}^2 = \\
  =
  - \frac{1}{6} r_{hq}^2 
  + \frac{3}{2} (r_{hg} + r_{hq}/2)^2 
  + \frac{3}{2} (r_{hg} - r_{hq}/2)^2 = \\
  = 
  3 r_{hg}^2 + \frac{7}{12} r_{hq}^2
\end{multline}
Ten przykład wskazuje, że efektywne oddziaływanie wiążące w~hybrydzie można
reprezentować jako słabe \emph{przyciąganie} pomiędzy kwarkiem
i~antykwarkiem, oraz silne przyciąganie pomiędzy parą kwark--antykwark
a~gluonem, pomimo obecności ujemnego znaku w~\eqref{eq:C_F:oktet}.  

Oznacza to, że oczekiwanym wynikiem na postać funkcji falowej hybrydy,
jest luźno (w~porównaniu do oddziaływania pary z~gluonem) związana para
kwark--antykwark, czyli małe $\beta_{hq}$.
Jest to zupełnie inna postać od tej wymaganej przez symetrie
relatywistyczne amplitudy rozpadu hybrydy, z~dużym $\beta_{hq}$.
W~powyższych rozważaniach pominięto efekty sektorów Focka innych
niż $q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}$,
oraz wyższe rzędy rachunku zaburzeń.

Obliczenia wyższego rzędu oraz efekty nieperturbacyjne mogłyby zredukować,
bądź nawet wyeliminować odpychanie między kwarkiem i~antykwarkiem będącymi
jako całość w~oktecie wewnątrz stanu kwark--antykwark--gluon.  Tak założono
na przykład w~\cite{HornMandula:1977rq}.  Wówczas szerokość $\beta_{hq}$
w~funkcji falowej hybrydy nie musiała by być mała, a~mogłaby być porównywalna
z~innymi szerokościami (być tej samej wielkości co $\beta_{hg}$ i~$\beta_{gg}$).
Należy pamiętać o~tej możliwości, gdyby mieszanie z~innymi sektorami Focka
nie dałoby dużych $\beta_{hq}$ startując z~małego $\beta_{hq}$.


\subsection{Hamiltonian efektywny mieszania stanu 
  $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ ze
  stanem $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$}
\label{sec:Ham-mieszania}


Jedną z~metod jakie można zastosować do obliczenia efektów wpływu
mieszania stanu $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ ze stanem
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ na stan hybrydy jest
rozwiązanie (numeryczne) równania Schr\"{o}dingera dla Hamiltonianu
efektywnego obciętego (ograniczonego) do sektorów $q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}$ oraz
$g_{\lambda}g_{\lambda}$.  Hamiltonian ten rozpisany na sektory Focka
ma postać (opuszczamy $\lambda$ we wzorach do~\eqref{eq:|gluonium>}):
\begin{equation}
  \label{eq:mix-Hmatr}
  \begin{bmatrix}
    H_{0h} & H_I    \\
    H_I    & H_{0g}
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    qqg \\
    gg
  \end{bmatrix}
  =
  E
  \begin{bmatrix}
    qqg \\
    gg
  \end{bmatrix}
\end{equation}

Hamiltonian w~sektorze $g_{\lambda}g_{\lambda}$ jest postaci
\begin{equation}
  \begin{split}
    H_{0g} &= \int [k] \, \frac{k^{\perp\,2} + m_g^2}{k^+} \, \hc{a}_k \fhc{a}_k \\
    &\null + \int [1234] \, V_{gg}(12,34) \, \hc{a}_1 \hc{a}_2 \fhc{a}_3 \fhc{a}_4 
  \end{split}
\end{equation}
gdzie $V_{gg}(12,34)$ jest potencjałem wiążącym pomiędzy dwoma
gluonami konstytuentnymi w~gluonium. 

Potencjał $V_{gg}(12,34)$ w~powyższym wzorze zależy tylko
od różnicy pędów i~można go zapisać jako
\begin{equation}
  \label{eq:V_gg}
  V_{gg} = - \alpha_{gg} \grad_{\vec{k}_{gg}}^2 = \alpha_{gg} \vec{r}_{gg}^2  \;.
\end{equation}
Współczynnik $\alpha_{gg}$, określający siłę potencjału między gluonami,
zawiera odpowiedni czynnik kolorowy.  Trójwektor $\vec{k}_{gg}$ w~powyższym
równaniu jest sposobem zapisu pędu względnego na froncie
świetlnym~\cite{DanielewiczNamyslowski:k_12:1978mk}
(patrz dodatek~\ref{sec:mixing-momenta}); nie oznacza on przejścia do obliczeń
równoczasowych.  Użycie bazy stanów własnych oscylatora harmonicznego
powoduje, że działanie tej składowej hamiltonianu efektywnego na stan bazy
jest proste.

Hamiltonian w~sektorze $q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}$ jest nieco
bardziej złożony.  Gdy zapiszemy go za pomocą operatorów kreacji
i~anihilacji, przybiera następującą postać
\begin{equation}
  \begin{split}
    H_{0h} 
    &= \int [k] \, \frac{k^{\perp\,2} + m_g^2}{k^+}  \, \hc{a}_k \fhc{a}_k 
    +  \int [k] \, \frac{k^{\perp\,2} + m_q^2}{k^+} \, (\hc{b}_k \fhc{b}_k + \hc{d}_k \fhc{d}_k) \\
    &\null + \int [1234] \, V_{q\bar{q}}(12,34) \, \hc{b}_1 \fhc{d}_2 \fhc{b}_3 \hc{d}_4 \\
    &\null + \int [1234] \, V_{qg}(12,34)       \, \hc{b}_1 \fhc{a}_2 \fhc{b}_3 \hc{a}_4 \\
    &\null + \int [1234] \, V_{\bar{q}g}(12,34) \, \hc{a}_1 \fhc{d}_2 \fhc{a}_3 \hc{d}_4 
  \end{split}
\end{equation}
W~zapisie tym $V_{q\bar{q}}(12,34)$ jest potencjałem efektywnym pomiędzy kwarkiem
i~antykwarkiem, $V_{qg}(12,34)$ pomiędzy kwarkiem i~gluonem, oraz
$V_{\bar{q}g}(12,34)$ pomiędzy antykwarkiem i~gluonem.

Dla potencjału harmonicznego można było wyrazić człon oddziaływania
w~hybrydzie jako funkcję pędów względnych kwarku względem antykwarku,
oraz gluonu względem pary kwark--antykwark, tak jak zostało to zrobione
w~funkcji falowej hybrydy~\eqref{eq:psi_h}:
\begin{equation}
  \label{eq:V_qqg}
  V_{qqg} 
  =
  - \alpha_{hq} \grad_{\vec{k}_{hq}}^2  
  - \alpha_{hg} \grad_{\vec{k}_{hg}}^2
  =   
  \alpha_{hq} \vec{r}_{hq}^2 +
  \alpha_{hg} \vec{r}_{hg}^2 
  \,.
\end{equation}
Trójwektory $\vec{k}_{hq}$ i~$\vec{k}_{hg}$ są sposobem zapisu (frontowych)
pędów względnych w~stanie kwark--antykwark--gluon.
W~ogólnym przypadku obliczenie działania tej składowej na funkcję falową
byłoby trudne.  Unika się komplikacji przez zastosowanie bazy oscylatora
harmonicznego.

Fakt, że stany dla których szukamy rozwiązania równania Schroedingera
zawierają mieszaninę stanów o~różnych liczbach cząstek ogranicza możliwe do zastosowania metody
numeryczne.  Wybrana została metoda zapisu Hamiltonianu w~bazie
stanów ortogonalnych, a~następnie numerycznego znalezienia wartości i~wektorów
(stanów) własnych w~obciętej bazie.  Wybrana została baza stanów
własnych kwantowego oscylatora harmonicznego.  Szerokości
pędowe funkcji falowych stanów bazy
mogą, ale nie muszą być równe odpowiednim szerokościom harmonicznego
potencjału wiążącego.

Jako stany bazowe w~przestrzeni $q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}$
wybrano stany używane do opisu rozpadu hybrydy,
gdzie zamiast funkcji Gaussa występują funkcje
własne oscylatora harmonicznego.

Stan $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ dany jest wzorem analogicznym
do wzoru na stan mezonu~\eqref{eq:|meson>}, tzn. wzorem
\begin{equation}
  \label{eq:|gluonium>}
  | g_{\lambda} g_{\lambda} \rangle = \sum_{12} \int [12]
  \: p^+ \tilde \delta(1 + 2 - p) \Psi^g_{J^{PC}}(1,2)
  \: a^\dagger_{\lambda 1} a^\dagger_{\lambda 2} | 0 \rangle \; ,
\end{equation}
gdzie czynnik $\Psi^g_{J^{PC}}(1,2)$ jest iloczynem czynników kolorowych,
spinowych i~zależnych od pędu.  Funkcję falową 
$\psi_g(1,2)$ w~sektorze $g_{\lambda}g_{\lambda}$ można zapisać jako
kombinację funkcji bazowych oscylatora harmonicznego. 

\subsection{Trudności matematyczne i~numeryczne modelowania mieszania}
\label{sec:problemy-mieszania}

Nawet przy uproszczeniu zakładającym, że kwarki i~gluony są opisywane jako cząstki skalarne
oraz przy założeniu, że potencjał wiążący daje się przybliżyć jako potencjał harmoniczny,
rozwiązanie pełnego trójwymiarowego modelu nie jest osiągalne za pomocą dostępnych mocy
obliczeniowych.  Jest to spowodowane przez fakt, że liczba (istotnych) stanów rośnie
w~przypadku trójwymiarowym bardzo szybko ze wzrostem wielkości obcięcia bazy,
a~to obcięcie musi rosnąć, gdy zwiększamy $\lambda$.

Stany bazowe trójwymiarowego oscylatora harmonicznego charakteryzują się trzema
liczbami kwantowymi.  W~przypadku użycia współrzędnych sferycznych dla trójpędów
względnych są to liczby kwantowe $n_r$, $l$, $-l \leq m_l \leq l$.  Ze względu na fakt,
że obliczenia prowadzone są na froncie świetlnym, a~zatem zachowaną składową pędu w~wierzchołku
rozpadu gluonu na parę kwark antykwark (w~wierzchołku mieszania stanów 
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ i~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$)
jest składowa $P^+$ a~nie $P_z$, składowa $k_{gg}^z$ pędu względnego między dwoma
gluonami w~stanie $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ nie zależy wyłącznie od
składowych $k_{hq}^z$ i~$k_{hg}^z$, ale także od składowych poprzecznych
pędów względnych $\vec k_{hq}$ i~$\vec k_{hg}$.  Oznacza to, że mieszanie nie
ogranicza się do stanów o~tych samych radialnych liczbach kwantowych.  Nawet
zakładając, że stany o~różnych liczbach kwantowych $m_l$ odprzęgają się,
ze wzoru na energię trójwymiarowego izotropowego oscylatora harmonicznego
(używamy notacji $\hbar = 1$)
\begin{equation}
  \label{eq:Eosc_sph_full}
  E_{n_r,l,m_l} = \omega \left( 2 n_r + l + \frac{3}{2} \right)\;,
\end{equation}
oraz z~tego, że bazowa funkcja falowa w~stanie $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
jest iloczynem funkcji falowych oscylatora, dostajemy, że liczba stanów o~energii poniżej zadanego
progu obcięcia rośnie jak czwarta potęga energii obcięcia.

Dla rozwiązania numerycznego równania Schroedingera 
potrzebne było zatem wprowadzenie dalszych
uproszczeń.  Użyto dalej modelu stanów $|q_\lambda\bar{q}_\lambda g_\lambda\rangle$
i~$|g_\lambda g_\lambda\rangle$ w~jednym wymiarze, zamiast w~trzech wymiarach.
Poszukiwane zależności są wówczas prostsze, gdyż unikamy
trudności związanych z~pędami poprzecznymi.  Ponadto obliczenia
numeryczne są szybsze ze względu na to, iż całki są obliczane po najwyżej
dwu zmiennych, a~nie po sześciu.  Najważniejsze jest jednak, 
że (jak zobaczymy dalej) potrzeba znacznie mniej stanów do
uzyskania niezależności wyników od obcięcia liczby stanów bazy
do skończonej i~względnie małej liczby.  Dla iloczynu dwu oscylatorów
jak w~stanie $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
w~modelu jednowymiarowym liczba stanów bazowych o~energii mniejszej
niż zadana energia obcięcia rośnie jak kwadrat obcięcia, zamiast
co najmniej jak czwarta potęga dla przypadku trójwymiarowego.  
Należy przy tym pamiętać, że czas obliczania wartości i~wektorów
własnych rośnie jak kwadrat wielkości macierzy.

Dzięki temu uproszczeniu można rozwiązać numerycznie zagadnienie mieszania
stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ ze stanem
$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$, dla wielu różnych wartości parametrów modelu.

% Nie bez znaczenia jest ponadto fakt, że dla modelu jednowymiarowego
% możemy względnie łatwo zwizualizować funkcje falową hybrydy, zarówno w~zmiennych
% $\vect{k}_{hq}, \vect{k}_{hg}$, jak i~w~$\vect{k}_{hq},
% \vect{k}_{gg}$.

Równanie własne rozwiązujemy w~bazie jednowymiarowego oscylatora
harmonicznego.  Wówczas funkcje falowe elementów bazy maja następujące
postaci:
\begin{subequations}
\label{eq:wavefunc}
\begin{align}
  \phi^h_{n_{hq}, n_{hg}}(k_{hq}, k_{hg}) &= 
  N_{n_{hq}} 
  H_{n_{hq}}\left(\frac{k_{hq}}{\beta_{hq}}\right)
  \exp\left[-\frac{k_{hq}^2}{2 \beta_{hq}^2}\right] \\
  &\null\times
  N_{n_{hg}} 
  H_{n_{hg}}\left(\frac{k_{hg}}{\beta_{hg}}\right)
  \exp\left[-\frac{k_{hg}^2}{2 \beta_{hg}^2}\right] \notag \\
  %%
  \phi^g_{n_{gg}}(k_{gg}) &= 
  N_{n_{gg}} 
  H_{n_{gg}}\left(\frac{k_{gg}}{\beta_{gg}}\right)
  \exp\left[-\frac{k_{gg}^2}{2 \beta_{gg}^2}\right] 
\end{align}
\end{subequations}

Rachunki pilotażowe pokazały, że największy wpływ na stan
własny rozwiązania zagadnienia mieszania sektorów o~najmniejszej
wartości własnej ma mieszanie ze stanem bazowym $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
o~liczbie kwantowej $n_{gg} = 0$.  Sprawdzono dla $\lambda = 2\ \text{GeV}$,
że kształt zależności najniższej wartości własnej i~efektywnej szerokości
stanu własnego o~najniższej wartości własnej jest jakościowo taki
sam dla przypadku przybliżenia dominacji jednego stanu $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$,
jak dla rozwiązania pełnego problemu, gdy $n_{gg}$ zmienia się aż
do wartości obcięcia.  Przybliżenie to skraca znacznie obliczenia;
na przykład dla $\lambda = 2\ \text{GeV}$ (dla której to obcięcie
$M^2_{\text{lim}} = 30\ \text{GeV}$ jest wystarczające) czas wyliczenia
wykresu zależności wartości własnych i~kształtu stanów własnych od
siły mieszania $g$ zmniejszył się z~36 minut do 5 minut, kiedy przechodzimy
do sytuacji $n_{gg} = 0$.  W~dalszej części pracy obliczenia
są zatem prowadzone dla przybliżenia, że tylko stan
$n_{gg} = 0$ ma znaczenie.



\subsection{Model numeryczny mieszania stanów 
  $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ z~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$}
\label{sec:mixing-model}

\subsubsection{Oznaczenia}
\label{sec:mixing-ozn}

Hamiltonian kwantowego oscylatora harmonicznego, dla jednej cząstki
o~masie $m$ umieszczonej w~polu siły harmonicznej o~częstości $\omega$
dany jest następującym wzorem w~reprezentacji położeniowej (jeśli 
przyjmie się notację w~której $\hbar = 1$):
\begin{equation}
  \label{eq:H_osc:1d-x}
  H_{\text{osc}} = 
  - \frac{1}{2 m}\; \frac{\hfill d^2}{d x^2}
  + \frac{\omega^2 m}{2} x^2 \,.
\end{equation}
W~reprezentacji pędowej, bardziej naturalnej dla problemu rozpadu hybrydy,
wzór~\eqref{eq:H_osc:1d-x} sprowadza się do
\begin{equation}
  \label{eq:H_osc:1d-k}
  H_{\text{osc}} = 
    \frac{1}{2 m}\; k^2
  - \frac{\omega^2 m}{2} \frac{\hfill d^2}{d k^2} \,.
\end{equation}
Współczynnik przy potencjale harmonicznym oznaczono symbolem $\alpha$,
tzn.
\begin{equation}
  \label{eq:alpha}
  \alpha = \frac{\omega^2 m}{2}\,.
\end{equation}

Stanem podstawowym rozwiązania równania Schr\"{o}dingera dla
kwantowego oscylatora harmonicznego jest funkcja:
\begin{equation}
  \label{eq:psi_osc-x}
  \phi_{\text{osc}} 
  = N \exp \left[ - \frac{m \tilde{\omega}}{2} x^2 \right] \,,
\end{equation}
którą można zapisać w~reprezentacji pędowej jako
\begin{equation}
  \label{eq:psi_osc-k}
  \psi_{\text{osc}} 
  = N \exp \left[ - \frac{k^2}{2 \beta^2} \right] \,.
\end{equation}

W~przypadku dwu cząstek oddziałujących ze sobą za pomocą
efektywnego potencjału harmonicznego, składnik hamiltonianu,
odpowiadający temu oddziaływaniu, można zapisać jak w~\eqref{eq:H_osc:1d-x}
lub~\eqref{eq:H_osc:1d-k}.  Masa $m$ w~tym zapisie zastąpiona jest
zredukowaną masą $\mu$ pary cząstek.

Wielkości $\beta$, $\omega$ i~$\alpha$ występujące 
w~\eqref{eq:H_osc:1d-x}--\eqref{eq:psi_osc-k}
powiązane są następującymi zależnościami:
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \label{eq:omega_from_beta}
    \beta^2 &= \mu \omega \,,
    \\
    \label{eq:Omega_from_alpha}
    \alpha &= \frac{\mu \omega^2}{2} \,.
  \end{align}
\end{subequations}

Zagadnienie mieszania pomiędzy stanami 
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ i~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ było
rozwiązywane poprzez wyliczanie macierzy hamiltonianu układu w~obciętej bazie
oscylatora harmonicznego.  Dla przypadku, gdy częstości funkcji bazy są
wybrane różne od częstości potencjałów harmonicznych w~hamiltonianie,
częstości bazy będą oznaczane przez $\omega$, zaś częstości
potencjału harmonicznego przez $\Omega$.

Jeśli założyć, że wszystkie potencjały w~efektywnym hamiltonianie
mają to samo wspólne podstawowe źródło, stosunki między
współczynnikami przy różnych potencjałach typu $x^2$ dane są za pomocą
czynników kolorowych.  Swobodnym parametrem pozostaje tylko jeden
współczynnik sprężystości dla wszystkich oscylatorów. 


\subsubsection{Elementy macierzowe hamiltonianu}
\label{sec:mixing-matrix}

Elementy macierzowe hamiltonianu efektywnego, obciętego do przestrzeni
stanów $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
i~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$, patrz~\eqref{eq:mix-Hmatr}, były wyliczane w~bazie
oscylatora harmonicznego.  Stosujemy przybliżenie jednowymiarowe,
patrz rozdział~\ref{sec:problemy-mieszania}.  Stany bazy charakteryzowane są przez
liczby kwantowe $n_{hq}, n_{hg}$ dla stanów $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$,
oraz~$n_{gg}$ dla stanów $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.

Elementy macierzowe hamiltonianu oddziaływania
harmonicznego~\eqref{eq:H_osc:1d-k} o~częstości $\Omega$, w~bazie
stanów własnych jednowymiarowego oscylatora harmonicznego
$|\psi^{\text{osc}}_n\rangle$ o~częstości $\omega$, wyrazić można w~następujący
sposób:
\begin{equation}
  \label{eq:H_osc:matrix-elems}
  \langle \psi_k | H_\text{osc} | \psi_l \rangle
  =
  \frac{\Omega^2 - \omega^2}{2 \omega} h^{(2)}_{k,l}
  +
  \frac{(2 l + 1) \omega}{2} h^{(0)}_{k,l} \;,
\end{equation}
gdzie $\tilde{h}^{(2)}_{k,l}$ oznacza element macierzowy $k^2$,
zaś $\tilde{h}^{(0)}_{k,l}$ oznacza element macierzowy $k^0$
w~bazie $|\psi_n\rangle$.  $h^{(2)}_{k,l}$ oraz
$h^{(2)}_{k,l}$ sprowadzają się do całek
\begin{align}
  \label{eq:h^{(2)}:def}
  h^{(2)}_{k,l} 
  &= \int_{-\infty}^{\infty} dz z^2 \; \psi^{\text{osc}}_k(z) \psi^{\text{osc}}_l(z) \; ,\\ 
  \label{eq:h^{(0)}:def}
  h^{(0)}_{k,l} 
  &= \int_{-\infty}^{\infty} dz \psi^{\text{osc}}_k(z) \psi^{\text{osc}}_l(z) \;.
\end{align}
Te całki (te elementy macierzowe) można wyliczyć analitycznie
(przypis~\ref{sec:h2_kl}):
\begin{align}
  \label{eq:h^{(2)}:sol}
  h^{(2)}_{k,l} 
  &= \frac{1}{2} (1 + 2 k) \delta_{k,l}
  + \frac{1}{2}\sqrt{k (k+1)} \left[ \delta_{k-1,k+1} + \delta_{k+1,k-1} \right] \;, \\
  \label{eq:h^{(0)}:sol}
  h^{(0)}_{k,l} 
  &= \delta_{k,l} \;.
\end{align}

Elementy diagonalne macierzy hamiltonianu efektywnego z~oddziaływaniem
harmonicznym, w~bazie stanów własnych oscylatora harmonicznego, dane są
zatem następującymi wzorami:
\begin{subequations}
  \label{eq:Hosc-diag}
  \begin{align}
    H_{n_{hq}n_{hg},n_{hq}n_{hg}} &= 
    T_{q\bar{q}g}
    + \omega^{\text{eff}}_{hq}\left(n_{hq} + \frac{1}{2}\right)
    + \omega^{\text{eff}}_{hg}\left(n_{hg} + \frac{1}{2}\right)\,,\\
    H_{n_{gg},n_{gg}} &=
    T_{gg}
    + \omega^{\text{eff}}_{gg}\left(n_{gg} + \frac{1}{2}\right)\,.
  \end{align}
\end{subequations}
%% Do wzorów~\eqref{eq:omega^eff} 
W~powyższych wzorach $T_{q\bar{q}g}$ oznacza człon kinetyczny
hamiltonianu w~sektorze $q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}$,
wyrażony przez pędy względne,
zaś $T_{gg}$ oznacza odpowiedni człon kinetyczny w~sektorze $g_{\lambda}g_{\lambda}$.
We wzorze~\eqref{eq:Hosc-diag} wprowadzone zostało oznaczenie $\omega^{\text{eff}}$
na \emph{efektywną} częstość w~macierzy hamiltonianu
\begin{equation}
  \label{eq:omega^eff}
  \omega^{\text{eff}} = \frac{\Omega^2 + \omega^2}{2 \omega}
\end{equation}

Elementy pozadiagonalne macierzy hamiltonianu pomiędzy stanami
$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ (dla hamiltonianu w~przestrzeni pędowej)
można przedstawić jako:
\begin{equation}
  H_{n_{gg}-1,n_{gg}+1} = H_{n_{gg}+1,n_{gg}-1} =
  - \omega^{\text{adiag}} \frac{1}{2} \sqrt{n_{gg} (n_{gg} + 1)}\,.
\end{equation}
Pozostałe pozadiagonalne elementy macierzowe są równe zeru.
Wprowadzono oznaczenie
\begin{equation}
  \label{eq:omega^adiag}
  \omega^{\text{adiag}} = \frac{\Omega^2 - \omega^2}{2 \omega}\,.
\end{equation}
Analogiczne wyrażenia zapisać można także dla sektora
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$, zastępując
$n_{gg}$ przez $n_{hg}$ lub $n_{hq}$.  Widać zatem, że
wewnątrz pojedynczego sektora macierz hamiltonianu jest diagonalna
jeśli $\omega = \Omega$. 
Elementy macierzowe hamiltonianu pomiędzy stanami tego
samego typu można zatem wyliczyć analitycznie, nawet jeśli częstość
potencjału harmonicznego w~hamiltonianie jest różna od częstości
wybranych funkcji bazowych.  

Elementy macierzowe członu mieszania pomiędzy
stanem $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ 
i~stanem $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ można przedstawić
w~następującej postaci (patrz przypis~\ref{sec:mixing-momenta})
\begin{equation}
  \label{eq:H_nn,n-mixing}
  H_{n_{hq}n_{hg},n_{gg}} =
  g_{\lambda} \int [k_{hq} k_{hg}] f_{\lambda}(k_{hq},k_{hg}) \phi_{n_{hq}n_{hg}}(k_{hq},k_{hg})
  \phi_{n_{gg}}(k_{gg}) / (1 - x_{gg}) \,.
\end{equation}
Wartości te trzeba wyliczać numerycznie.  We wzorze tym
$[k_{hq} k_{hg}]$ oznacza niezmienniczą miarę całkowania
po pędach względnych, zaś $\phi_{n_{hq}n_{hg}}$ i~$\phi_{n_{gg}}$
jest funkcją falową bazy odpowiednio w~sektorze 
$q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}$ i~w~sektorze $g_{\lambda}g_{\lambda}$,
zaś $f_{\lambda}$ jest czynnikiem podobieństwa grupy renormalizacji.  
Obliczenia są prowadzone na froncie świetlnym; zachowaną składową
pędu jest $P^+$.  Wzór na $x_{gg} = x_3$ i~uzasadnienie czynnika
$1 / (1 - x_{gg})$ podane są w~przypisie~\ref{sec:mixing-momenta}.

Zależności pomiędzy pędami względnymi zapisanymi w~postaci $k_{hq}$,
$k_{hg}$ i~$k_{gg}$, oraz w~postaci $x_{gg}$ podane są
w~przypisie~\ref{sec:mixing-momenta}.

Wszystkie pędy obliczone zostały na froncie świetlnym (LF), korzystając
z~następującego zapisu na pędy względne $k$:
\begin{equation}
  \label{eq:k_xx}
  \sqrt{k^2 + m_1^2} + \sqrt{k^2 + m_2^2} = \mathcal{M}
\end{equation}
W~przypadku wyliczania $k_{gg}$ oraz $x_g$ z~pędów względnych $k_{hq}$
(pomiędzy kwarkiem i~antykwarkiem w~$q\bar{q}g$) i~$k_{hg}$ (pomiędzy parą
kwark--antykwark i~gluonem konstytuentnym) używana jest następująca
sekwencja wzorów:
\begin{subequations}
\begin{align}
  \mathcal{M}_{12} 
  &= 2 \sqrt{k_{hq}^2 + m_q^2}\,, 
  \\
  \mathcal{M}_{123} 
  &=  \sqrt{k_{hg}^2 + m_g^2} + \sqrt{k_{hg}^2 + \mathcal{M}_{12}^2}\,, 
  \\
  %%
  x_{gg} = x_3 
  &= \frac{k_{hg} + \sqrt{k_{hg}^2 + m_g^2}}{\mathcal{M}_{123}}\,, 
  \\
  %%
  \mathcal{M}_{43}^2 
  &= \frac{m_g^2}{x_{gg} (1 - x_{gg})}\,, 
  \\
  %%
  k_{gg} 
  &= \left(x_{gg} - \frac{1}{2}\right) \mathcal{M}_{43}\,.
\end{align}
\end{subequations}
gdzie 1,2,3 są odpowiednio pędami kwarku, antykwarku i~gluonu
w~$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$,
zaś 3 i~4 są pędami gluonów w~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.


\subsection{Obliczenia numeryczne mieszania stanu
  $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ ze stanem
  $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$}
\label{sec:mixing-num}


Dla przypadku modelu
jednowymiarowego obliczenia elementów macierzowych hamiltonianu
pomiędzy stanami bazowymi $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ i~stanami bazowymi
$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ wymagają całki dwuwymiarowej.  Zostało zatem użyte
wielokrotne całkowanie za pomocą kwadratur
Gaussa--Kronroda~\cite{Numerical_Recipes_in_C:1992,QUADPACK} (używając
procedur z~GNU Scientific Library~\cite{GSL}).  Przy porównywaniu elementów
macierzowych dla uproszczonego przypadku jednowymiarowego z~elementami
macierzowymi w~przypadku trójwymiarowym zostało użyte całkowanie Monte
Carlo za pomocą procedury vegas~\cite{Lepage:vegas:1977sw,Lepage:vegas:1980dq}.  

Jako test
poprawności całkowania zostały przeprowadzone obliczenia za
pomocą różnych metod całkowania: iteracyjne (wielokrotne) całkowanie
metodą Gaussa--Kronroda i~całkowanie wielowymiarowe Monte Carlo, oraz
sprawdzono, że całkowanie przy różnych wyborach zmiennych całkowania
daje takie same wyniki.

Elementy macierzowe między stanami w~tym samym sektorze zostały
wyliczone analitycznie (znane wzory dla oscylatora harmonicznego).

Po wyliczeniu elementów macierzowych hamiltonianu w~bazie oscylatora
harmonicznego, wartości i~wektory własne macierzy hamiltonianu zostały
wyliczone za pomocą metody \texttt{DSYEVR} z~pakietu
LAPACK~\cite{LAPACK}.  Poprawność diagonalizacji sprawdzono
przeprowadzając testowe obliczenia za pomocą różnych metod znajdowania
wartości (i~wektorów) własnych macierzy symetrycznej o~elementach
rzeczywistych z~pakietu LAPACK (\texttt{DSYEV}, \texttt{DSYEVD},
\texttt{DSYEVR}, \texttt{DSYEVX}), za pomocą procedury z~GNU
Scientific Library (GSL), oraz sprawdzając że znaleziony wektor własny
spełnia równanie własne.


\subsubsection{Analiza członu mieszania}
\label{sec:mixing-f_l}

Na podstawie wzorów na poprawki do stanów własnych
w~rachunku zaburzeń dla stanów związanych w~mechanice kwantowej, można się
spodziewać, że mieszanie stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
ze stanem $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ da poprawkę
o~szerokości rzędu szerokości członu mieszania.  Podobne jakościowo
wyniki otrzymać można za pomocą rachunku wariacyjnego.  Obliczenia
w~rozdziale~\ref{sec:mix-sep}, dla ściśle rozwiązywalnego modelu
mieszania stanów o~różnej liczbie cząstek poza rachunkiem zaburzeń, również pozwalają spodziewać
się składnika o~szerokości rzędu szerokości czynnika mieszania.

Na podstawie zależności elementu macierzowego członu mieszania $H_I$
między stanami podstawowymi $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
i~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
(tzn. $\langle h_{0,0} \rvert H \lvert g_{0} \rangle = H_{00,0}$)
od parametrów $\beta_{hq}$, $\beta_{hg}$, $\beta_{gg}$ stanów
i~od skali renormalizacji $\lambda$, widać, że dla 
$f_{\lambda}(k_{hq},k_{hg}) = \exp[-(\mathcal{M}_{hq}^2)^2/\lambda^4]$
elementy macierzowe członu mieszania $H_I$
mają maksimum przy szerokości pędowej rzędu szerokości
stanów podstawowych (patrz wykres~\subref{fig:V-vs-params.1d.std}
na rysunku~\ref{fig:V-vs-params:1d-vs-3d}).

\begin{figure*}[htbp!]
  \psfrag{value of variable parameter [GeV]}{\scriptsize wartość parametru [GeV]}
  \psfrag{mixing 1d}{\scriptsize $\langle 0 | H_I | 0; 0\rangle$}
  \psfrag{mixing 3d}{\scriptsize $\langle 0 | H_I | 0; 0\rangle$}
  \psfrag{d = 1}{\scriptsize $d = 1$}
  \psfrag{d = 3}{\scriptsize $d = 3$}
  \centering
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-params.1d.std}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_1d-RELATxM2-std.param.l=2.eps}}%%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-params.3d.std}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_3d-RELATxM2-std.param.l=2.eps}}\\
  %%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-params.1d.khq2}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_1d-RELATxM2-khq2.param.l=2.eps}}%%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-params.3d.khq2}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_3d-RELATxM2-khq2.param.l=2.eps}}\\
  %%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-params.1d.M12^4}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_1d-RELATxM2-M12^4.param.l=2.eps}}%%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-params.3d.M12^4}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_3d-RELATxM2-M12^4.param.l=2.eps}}\\
  \caption{Zależność członu mieszania $H_I = \langle q\bar{q}g \rvert
    H \lvert gg \rangle$ od wartości podanego w~legendzie parametru w~funkcji bazowej, przy
    pozostałych parametrach ustalonych.  Wartości parametrów:
    $m_q = 0.3 \GeV$, $m_g = 1.2 \GeV$, $\beta_{hq} = \beta_{hg} =
    \beta_{gg} = 0.4 \GeV$, $\lambda = 2 \GeV$.  
    %%
    Rysunki po lewej stronie: \subref{fig:V-vs-params.1d.std},
    \Subref{fig:V-vs-params.1d.khq2} i~\subref{fig:V-vs-params.1d.M12^4} są
    wynikiem obliczeń dla przypadku jednowymiarowego (1d), zaś rysunki po prawej
    stronie, \subref{fig:V-vs-params.3d.std},
    \subref{fig:V-vs-params.3d.khq2} i~\subref{fig:V-vs-params.3d.M12^4},
    dotyczą przypadku trójwymiarowego (oryginalnego problemu).
    %%
    Rysunki \subref{fig:V-vs-params.1d.std} oraz
    \subref{fig:V-vs-params.3d.std} dotyczą obliczeń prowadzonych dla
    $f_{\lambda}$ określonych równaniem~\eqref{eq:fl-std}, rysunki
    \subref{fig:V-vs-params.1d.khq2} oraz
    \subref{fig:V-vs-params.3d.khq2} dotyczą obliczeń prowadzonych dla
    $f_{\lambda}$ z~równania~\eqref{eq:fl-khq2}, zaś rysunki
    \subref{fig:V-vs-params.1d.M12^4} oraz
    \subref{fig:V-vs-params.3d.M12^4} obliczeń prowadzonych
    dla $f_{\lambda}$ z~równania~\eqref{eq:fl-M12^4}.}
  \label{fig:V-vs-params:1d-vs-3d}
\end{figure*}

Badanie kształtu nawet tylko \emph{jednego} elementu macierzowego członu mieszania
pomiędzy stanami $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
i~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ nasuwa sugestie co do tego jaką
postać mogą przybrać wyniki mieszania.  Następnym krokiem jest
analiza wielkości elementów macierzowych członu mieszania
w~hamiltonianie między różnymi stanami, dla ustalonych parametrów bazowych %% ??? lub 'funkcji falowych bazy'
funkcji falowych.  Należało się spodziewać, że aby uzyskać wynik mieszania
na stan hybrydy o~szerokości $\beta_{hq}$ rzędu $\lambda$
(czyli ten sam wynik co z~analizy rozpadu), mieszanie powinno dodać składnik o~większej
szerokości, czyli o~większych liczbach kwantowych $n_{hq}$.
Oczekiwano zatem maksimum w~elementach macierzowych dla pewnego 
$n_{hq} \neq 0$.
Na rysunku~\ref{fig:V-vs-nr.1d.std} jednak maksimum takiego nie widać.

%%\def\2scale{0.5}
\begin{figure*}[htbp!]
  \psfrag{xn}{\scriptsize $n$}
  \psfrag{xnr}{\scriptsize $nr$}
  \psfrag{mixing 1d}[cB]{\scriptsize \null\hspace{2.0 em}$\langle n_{gg}  | H_I | n_{hq};  n_{hg} \rangle$}
  \psfrag{mixing 3d}[cB]{\scriptsize \null\hspace{2.3 em}$\langle nr_{gg} | H_I | nr_{hq}; nr_{hg}\rangle$}
  \psfrag{d = 1}{\scriptsize $d = 1$}
  \psfrag{d = 3}{\scriptsize $d = 3$}
  \centering
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-nr.1d.std}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_1d-RELATxM2-std.nr.l=2.eps}}%%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-nr.3d.std}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_3d-RELATxM2-std.nr.l=2.eps}}\\
  %%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-nr.1d.khq2}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_1d-RELATxM2-khq2.nr.l=2.eps}}%%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-nr.3d.khq2}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_3d-RELATxM2-khq2.nr.l=2.eps}}\\
  %%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-nr.1d.M12^4}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_1d-RELATxM2-M12^4.nr.l=2.eps}}%%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-nr.3d.M12^4}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_3d-RELATxM2-M12^4.nr.l=2.eps}}
  %% !!! Jak rys 15?
  \caption{Zależność członu mieszania $H_I = \langle q\bar{q}g \rvert
    H \lvert gg \rangle$ od liczby kwantowej odpowiednio $n_{hq}$,
    $n_{hg}$ oraz $n_{gg}$ dla pozostałych
    liczb kwantowych równych 0 (dla przypadku trójwymiarowego
    przedstawiona liczba kwantowa, np. $n_{hq}$,
    oznacza radialną liczbę kwantową).
    %%
    Rysunki po lewej stronie: \subref{fig:V-vs-nr.1d.std},
    \Subref{fig:V-vs-nr.1d.khq2} i~\subref{fig:V-vs-nr.1d.M12^4} są
    wynikiem obliczeń dla przypadku jednowymiarowego (1d), zaś rysunki po prawej
    stronie, \subref{fig:V-vs-nr.3d.std},
    \subref{fig:V-vs-nr.3d.khq2} i~\subref{fig:V-vs-nr.3d.M12^4},
    dotyczą przypadku trójwymiarowego (oryginalnego problemu).
    %%
    Rysunek \subref{fig:V-vs-nr.1d.std} oraz
    \subref{fig:V-vs-nr.3d.std} dotyczy obliczeń prowadzonych dla
    $f_{\lambda}$ określonych równaniem~\eqref{eq:fl-std}, rysunek
    \subref{fig:V-vs-nr.1d.khq2} oraz \subref{fig:V-vs-nr.3d.khq2}
    obliczeń prowadzonych dla $f_{\lambda}$
    z~równania~\eqref{eq:fl-khq2}, zaś rysunek
    \subref{fig:V-vs-nr.1d.M12^4} obliczeń prowadzonych dla
    $f_{\lambda}$ z~równania~\eqref{eq:fl-M12^4}.}
  \label{fig:V-vs-n_hq:1d-vs-3d}
\end{figure*}


\begin{figure*}[htbp!]
  \psfrag{xn}{\scriptsize $n$}
  \psfrag{xnr}{\scriptsize $nr$}
  \psfrag{mixing 1d}[cB]{\scriptsize \null\hspace{2 em}$\langle n_{gg}  | H_I | n_{hq};  n_{hg} \rangle$}
  \psfrag{mixing 3d}[cB]{\scriptsize \null\hspace{2 em}$\langle nr_{gg} | H_I | nr_{hq}; nr_{hg}\rangle$}
  \psfrag{d = 1}{\scriptsize $d = 1$}
  \psfrag{d = 3}{\scriptsize $d = 3$}
  \centering
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-nr.1d.1.std}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_1d-RELATxM2-std.nr.l=2.1.eps}}%%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-nr.3d.1.std}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_3d-RELATxM2-std.nr.l=2.1.eps}}\\
  %%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-nr.1d.1.khq2}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_1d-RELATxM2-khq2.nr.l=2.1.eps}}%%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-nr.3d.1.khq2}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_3d-RELATxM2-khq2.nr.l=2.1.eps}}\\
  %%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-nr.1d.1.M12^4}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_1d-RELATxM2-M12^4.nr.l=2.1.eps}}%%
  \subfigure[]{%%
    \label{fig:V-vs-nr.3d.1.M12^4}%%
    \includegraphics[scale=\2scale]{mix_3d-RELATxM2-M12^4.nr.l=2.1.eps}}
  \caption{
    Jak na rysunku~\ref{fig:V-vs-n_hq:1d-vs-3d}, ale wyłącznie zależność
    od jednej liczby kwantowej $n_{hq}$ / $nr_{hq}$, i~wykresy przeskalowane
    w~taki sposób, aby uwidocznić maksimum dla $n \neq 0$.  Dla obliczeń
    w~przypadku jednowymiarowym, wykresy \subref{fig:V-vs-nr.1d.1.std},
    \Subref{fig:V-vs-nr.1d.1.khq2} i~\subref{fig:V-vs-nr.1d.1.M12^4} po
    lewej stronie pominięte zostały dodatkowo elementy macierzowe które są
    tożsamościowo równe zeru ze względu na symetrię.}
  \label{fig:V-vs-n_hq:1d-vs-3d.1}
\end{figure*}

Analizę mieszania przeprowadzono dla kwarków i~gluonów zastąpionych
cząstkami skalarnymi.  Pozwoliło to uniknąć dodatkowych trudności technicznych
związanych z~obecnością wielu członów spinowych i~ich zależnością od pędów (kątów).  Należy
jednak pamiętać, że człony spinowe wprowadzają dodatkowe czynniki
w~hamiltonianie.  

Nie było wiadome jednak, jaką dokładnie postać powinien mieć modelowy czynnik zależny od
pędu, który należy uwzględnić w~członie mieszania w~modelu $1+1$ wymiarowym.
Dodatkowo redukcja wymiarów z~3 do 1 wymaga czynnika o~wymiarze pędu.  Efekt ten można było zauważyć
w~analizie ściśle rozwiązywalnego modelu mieszania stanów o~różnej
liczbie cząstek, przedstawionego w~rozdziale~\ref{sec:mix-sep}.
Porównanie elementów macierzowych hamiltonianu efektywnego pomiędzy stanami
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ i~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
dla trzech wymiarów i~dla jednego wymiaru na wykresach odpowiednio po lewej
i~po prawej stronie rysunków~\ref{fig:V-vs-params:1d-vs-3d}--~\ref{fig:V-vs-n_hq:1d-vs-3d.1}
także sugeruje konieczność dodania takiego czynnika.
Wobec braku wiedzy jak dokładnie powinien zostać zdefiniowany człon mieszania,
rozważono różne definicje tego członu.

Sumaryczny efekt czynnika spinowego w~oryginalnym zagadnieniu
mieszania sektora $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
z~sektorem $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ można sprowadzić do modyfikacji czynnika
podobieństwa $f_{\lambda}$, według podanych niżej wzorów:
\begin{subequations}
\label{eq:fl}
\begin{align}
  \label{eq:fl-std}
  f_{\lambda} &= \exp\left[ - \frac{(\mathcal{M}_{12}^2 - m_{g0}^2)^2}{\lambda^4} \right] \\
  \label{eq:fl-khq2}
  f_{\lambda} &= \frac{\mathbf{k}_{hq}^2}{m_d^2} \exp\left[ - \frac{(\mathcal{M}_{12}^2 - m_{g0}^2)^2}{\lambda^4} \right] \\
  \label{eq:fl-M12^4}
  f_{\lambda} &= \frac{(\mathcal{M}_{12}^2)^2}{m_d^4} \exp\left[ - \frac{(\mathcal{M}_{12}^2 - m_{g0}^2)^2}{\lambda^4} \right]
\end{align}
\end{subequations}


Na wykresach od (c) do (f) elementu macierzowego mieszania na
rysunkach~\ref{fig:V-vs-params:1d-vs-3d}
i~\ref{fig:V-vs-n_hq:1d-vs-3d}, widoczne jest, że dla podanych
w~\eqref{eq:fl} modyfikacji $f_{\lambda}$, następuje silne mieszanie
między stanem bazowym $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ o~$n_{gg} = 0$,
a~stanami bazowymi $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
o~$n_{hq} \neq 0$.  Oznacza to, że w~wyniku mieszania tych sektorów
stan hybrydy uzyskać może wkład stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
o~$n_{hq} > 0$, a~zatem o~efektywnej szerokości większej od $\beta_{hq}^{\text{bazy}}$.
Zatem efektem mieszania $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
z~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ może być zwiększanie efektywnej
szerokości $\beta_{hq}$ w~funkcji falowej będącej rozwiązaniem zagadnienia
własnego mieszania.

Dodatkowy czynnik zależny od pędu w~członie mieszania powoduje, że
stan podstawowy $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ miesza się silnie ze stanem
wzbudzonym $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.
Na podstawie drugiego rzędu rachunku zaburzeń dla
stanów własnych hamiltonianu, można
zauważyć, że dodatkowy czynnik prowadzić powinien
do domieszki stanu wzbudzonego $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
o~większej szerokości niż szerokość stanu podstawowego
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.



\subsubsection{Wyniki analizy mieszania}
\label{sec:mixing-wyniki}

Metoda wyliczania macierzy Hamiltonianu w~obciętej bazie (tutaj
w~bazie stanów własnych oscylatora harmonicznego) i~rozwiązywania
zagadnienia własnego dla wyliczonej macierzy, daje wynik
na stany własne w~postaci kombinacji liniowych stanów 
bazy:
\begin{equation}
  \label{eq:psi_eig_sol}
  \lvert \psi_{\text{eig}} \rangle =
  \sum_{n_{hq},n_{hg}} c_{n_{hq},n_{hg}} \lvert q\bar{q}g (n_{hq}, n_{hg}) \rangle +
  \sum_{n_{gg}}        c_{n_{gg}}        \lvert gg        (n_{gg})         \rangle \,,
\end{equation}
gdzie $\lvert q\bar{q}g (n_{hq}, n_{hg}) \rangle$ oznacza stan bazy
w~sektorze $|q\bar{q}g\rangle$ o~liczbach kwantowych $n_{hq}$ i~$n_{hg}$, zaś
$\lvert gg (n_{gg}) \rangle$ oznacza stan bazy w~sektorze $|gg\rangle$
o~liczbie kwantowej $n_{gg}$.

%% wzór na |qqg(n,n)> i~wzór na |gg(n)>
Stan bazowy $\lvert gg (n_{gg}) \rangle$ w~sektorze $|gg\rangle$ wybieramy
w~następującej postaci:
\begin{equation}
  \label{eq:|gg(n_gg)>}
  \lvert gg (n_{gg}) \rangle = \sum_{12} \int [12]
  \: p^+ \tilde \delta(1 + 2 - p) \Psi^g_{n_{gg}}(1,2)
  \: a^\dagger_{\lambda 1} a^\dagger_{\lambda 2} | 0 \rangle \; ,
\end{equation}
Funkcja falowa $\Psi^g_{n_{gg}}(1,2)$ stanu bazowego wyraża się za
pomocą pędu względnego $k_{gg}$ jako funkcja falowa jednowymiarowego
oscylatora harmonicznego o~liczbie kwantowej $n_{gg}$
\begin{equation}
  \label{eq:phi^g_n_gg}
  \Psi^g_{n_{gg}}(k_{gg}) = 
  N_{n_{gg}} 
  H_{n_{gg}}\left(\frac{k_{gg}}{\beta_{gg}}\right)
  \exp\left[-\frac{k_{gg}^2}{2 \beta_{gg}^2}\right] \;,
\end{equation}
gdzie $H_n(k)$ jest odpowiednim wielomianem Hermite'a, zaś $N_n$
czynnikiem normalizującym.  Analogicznie zdefiniowany jest
stan bazowy $\lvert q\bar{q}g (n_{hq},n_{hg}) \rangle$.

Aby sprawdzić czy otrzymane rozwiązanie dla 
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ ma oczekiwane charakterystyki,
potrzebna była metoda oszacowania szerokości otrzymanego stanu
w~przestrzeni pędów.  Jednym ze sposobów szacowania tej szerokości byłaby
minimalizacja odległości pomiędzy otrzymanym stanem $|\psi_{\text{eig}}\rangle$
będącym rozwiązaniem równania własnego dla zagadnienia mieszania,
a~stanem próbnym o~znanych szerokościach $|\psi_\beta\rangle$, ze względu na
szerokości $\beta$:
\begin{equation*}
  \beta = \idxmin_\beta \lVert \psi_{\text{eig}} - \psi_\beta \rVert \;.
\end{equation*}
$\idxmin_\beta$ oznacza położenie minimum przy minimalizacji ze względu
na parametr $\beta$.
Model stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ 
w~analizie rozpadu hybrydy w~rozdziale~\ref{sec:decay}
zakłada rozkład klastrowy (faktoryzowalność funkcji falowej),
tzn. funkcję falową postaci $\psi(k_{hq}) \psi(k_{hg})$ (patrz wzór~\eqref{eq:psi_h})
ale odległość w~sensie normy mówi,
jaki kształt funkcji falowej jest bardziej prawdopodobny.

Prostszym i~szybszym rozwiązaniem jest jednak wyliczenie szerokości
stanu $\beta_{hq}$, $\beta_{hg}$, $\beta_{gg}$ na podstawie
wartości średniej operatorów $k_{hq}^2$, 
$k_{hg}^2$, $k_{gg}^2$ w~tym stanie.  Szerokość otrzymanego
stanu szacujemy jako:
\begin{equation}
  \label{eq:beta_hq}
  \beta_{hq}^{\text{eff}} = 
  \sqrt{2 \frac{\langle \psi | \hat{k}_{hq}^2 \hat{P}_{q\bar{q}g} | \psi \rangle}%%
               {\langle \psi | \hat{P}_{q\bar{q}g} | \psi \rangle}} \,,
\end{equation}
gdzie $\hat{P}_{q\bar{q}g}$ jest operatorem rzutowym na przestrzeń stanów
złożonych z~kwarku, antykwarku i~gluonu, którego wartością oczekiwaną jest
prawdopodobieństwo stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
w~stanie hybrydy.  Czynnik $2$ pojawia się ze względu na to, że wartość
średnia operatora $\hat{k}^2$ w~stanie podstawowym o~szerokości $\beta$
wynosi $\frac{1}{2} \beta$.

Wielkość $\langle \psi | \hat{k}_{hq}^2 \hat{P}_{q\bar{q}g} | \psi \rangle$ można
obliczyć dla znalezionego stanu własnego $| \psi_{\text{eig}} \rangle$
na podstawie czynników rozkładu $c_{n_{hq},n_{hg}}$ i~$c_{n_{gg}}$ na
stany bazowe, oraz macierzy $h^{(2)}_{m,n}$ operatora $\hat{k}^2$ w~bazie
jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o~szerokości 1~\eqref{eq:h^(2):def}.
\begin{equation}
  \label{eq:h^(2):def}
  \begin{split}
     h^{(2)}_{m,n} 
     &= \int_{-\infty}^{\infty} dz z^2 \; \text{osc}_m(z) \text{osc}_n(z) = \\
     &= \int_{-\infty}^{\infty} dz z^2 \; e^{-z^2} \, N_m H_m(z) \, N_n H_n(z)
  \end{split}
\end{equation}
Macierz $h^{(2)}_{m,n}$ można wyliczyć analitycznie.  Jest ona dana
następującym wzorem:
\begin{equation}
  \label{eq:h^(2)}
  \begin{cases}
     h^{(2)}_{n,n} 
     &= \frac{1}{2} (1 + 2 n)
     \\
     h^{(2)}_{n-1,n+1} = h^{(2)}_{n+1,n-1} 
     &= \frac{1}{2}\sqrt{n (n+1)}
  \end{cases}
\end{equation}
Pozostałe elementy macierzowe $h^{(2)}_{m,n}$ operatora $\hat{k}^2$ są równe
zero.

Zależność na $\langle \psi | \hat{k}_{hq}^2 \hat{P}_{q\bar{q}g} | \psi \rangle$ wyraża się za
pomocą $c_{n_{hq},n_{hg}}$ i~$c_{n_{gg}}$ oraz $h^{(2)}_{m,n}$
następująco:
\begin{equation}
  \label{eq:k_hq^2:mat}
  \langle \psi | \hat{k}_{hq}^2 \hat{P}_{q\bar{q}g} | \psi \rangle  =
  \beta_{hq}^2 \sum_{n_{hq},n'_{hq}} \sum_{n_{hg}}
  c_{n_{hq},n_{hg}} h^{(2)}_{n_{hq},n'_{hq}} c_{n'_{hq},n_{hg}}
\end{equation}

W~podobny sposób można napisać wzory na $\langle \psi | \hat{P}_{q\bar{q}g}
| \psi\rangle$ (składowa $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$)
oraz $\langle \psi | \hat{P}_{gg} | \psi \rangle$
(składowa $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$) za pomocą $c_{n_{hq},n_{hg}}$ i~$c_{n_{gg}}$:
\begin{align}
  \label{eq:P_qqg:mat}
  \langle \psi | \hat{P}_{q\bar{q}g} | \psi \rangle &=
  \sum_{n_{hq},n_{hg}} c^2_{n_{hq},n_{hg}} 
  \\
  \label{eq:P_gg:mat}
  \langle \psi | \hat{P}_{gg} | \psi \rangle &=
  \sum_{n_{gg}} c^2_{n_{gg}} 
\end{align}

\begin{figure}[!htbp]
  \def\psfsize{\footnotesize}
  \psfrag{g}{\psfsize $g$}
  \psfrag{b_xx [GeV]}{\psfsize $\beta_{hq}$ $[\text{GeV}]$}
  \psfrag{Najnizsza wartosc wlasna [GeV^2]}{\psfsize \null\hspace{-1 em}Najniższa wartość własna $M^2$ $[\text{GeV}^2]$}
  \psfrag{Emax=20}{\psfsize $20\ \text{GeV}^2$}
  \psfrag{Emax=30}{\psfsize $30\ \text{GeV}^2$}
  \psfrag{Emax=40}{\psfsize $40\ \text{GeV}^2$}
  \psfrag{Emax=50}{\psfsize $50\ \text{GeV}^2$}
  \psfrag{Emax=60}{\psfsize $60\ \text{GeV}^2$}
  \centering
  \includegraphics[scale=\scale]{mix_1d-RELATxM2-f_l-M12s^2.mg0=0.a_s.g_scan.l=3-g_delta=0-Elim=var-nr_gg_max=0.eps}
  \caption{Zależność najniższej wartości własnej 
    w~rozwiązaniu problemu mieszania (krzywe ciągłe zaczynające się od góry z~lewej strony) oraz
    efektywnej szerokości najniższego stanu własnego (krzywe przerywane
    zaczynające się od dołu z~lewej strony) od wielkości stałej sprzężenia $g$, dla
    $\lambda = 3\ \text{GeV}$, przy różnych wartościach obcięcia masy własnej
    przestrzeni stanów.  Obydwa typy krzywych (krzywe dla wartości własnej i~krzywe dla
    efektywnej szerokości stanu) zbiegają do odpowiednich krzywych (wartości)
    granicznych przy zwiększaniu energii obcięcia (zwiększaniu liczby
    stanów bazowych).}
  \label{fig:M2_lim:vs-g}
\end{figure}
\begin{figure}[!htbp]
  \def\psfsize{\footnotesize}
  \psfrag{M^2 limit [GeV^2]}[cB][cB]{\psfsize Obcięcie przestrzeni stanów $[\text{GeV}^2]$}
  \psfrag{b_hq [GeV]}{\psfsize $\beta_{hq}$ $[\text{GeV}]$}
  \psfrag{najnizsza wartosc wlasna [GeV^2]}{\psfsize \null\hspace{-1 em}Najniższa wartość własna $M^2$ $[\text{GeV}^2]$}
  \psfrag{E_0  <- (l=3,g=1.5)}[r][r]{\scriptsize $M^2        \longleftarrow  (g=1.5)$}
  \psfrag{b_hq -> (l=3,g=1.5)}[r][r]{\scriptsize $\beta_{hq} \longrightarrow (g=1.5)$}
  \psfrag{E_0  <- (l=3,g=1.0)}[r][r]{\scriptsize $M^2        \longleftarrow  (g=1.0)$}
  \psfrag{b_hq -> (l=3,g=1.0)}[r][r]{\scriptsize $\beta_{hq} \longrightarrow (g=1.0)$}
  \centering
  \includegraphics[scale=\scale]{mix_1d-RELATxM2-12^4-a_s.Emax_scan.g=misc-l=3-Nlim=128-nr_gg_max=0.eps}
  \caption{Zależność najniższej wartości własnej $M^2$
    w~rozwiązaniu problemu mieszania, oraz efektywnej szerokości $\beta_{hq}$ stanu własnego
    o~najniższej energii, od energii obcięcia przestrzeni
    stanów (czyli największej energii własnej oscylatora wśród stanów
    bazowych), przy różnych wielkościach stałej sprzężenia $g$, dla $\lambda
    = 3 \text{GeV}$.  Jest widoczne, że powyżej pewnej granicznej wielkości energii
    obcięcia wyniki nie zmieniają się, czyli przestają zależeć od obcięcia bazy.}
  \label{fig:M2_lim:vs-M2_lim}
\end{figure}

Aby można było znaleźć numerycznie wartości własne i~wektory (stany) własne
macierzy Hamiltonianu w~zadanej bazie ortonormalnej, potrzeba było 
opisanego wcześniej obcięcia
przestrzeni stanów.  Jak widać z~analizy zależności elementów
macierzowych od liczb kwantowych stanów bazy, oddziaływanie
mieszające jest ograniczonej szerokości (na przykład patrz 
rysunek~\ref{fig:V-vs-n_hq:1d-vs-3d}
zależności $\langle
n_{hq} n_{hg} | H_I | n_{gg} \rangle$ od $n_{hq}$).
Oznacza to, że wynik nie
zależy od obcięcia przestrzeni stanów, pod warunkiem, że obcięcie to jest
wystarczająco wysokie, powyżej pewnej wartości progowej.

Obcięcie przestrzeni stanów było zadane
przez ograniczenie na niezmienniczą masę własną stanów bazowych
w~języku liczb kwantowych bazy $n_{hq}$, $n_{hg}$, $n_{gg}$.
Jak widać na rysunkach~\ref{fig:M2_lim:vs-g} oraz~\ref{fig:M2_lim:vs-M2_lim},
powyżej pewnej wielkości ograniczenia
przestrzeni stanów bazowych wyniki rzeczywiście nie zależą od obcięcia.  
Obliczenia zależności $\beta_{hq}$ od $\lambda$ zostały wyliczone dla
$\lambda$ w~zakresie $\lambda = 2 - 5\ \text{GeV}$.  Dolna granica wynika z~potrzeby
odizolowania zależności od pozostałych parametrów masowych: $m_q$,
$m_g$.  Górną granicę wyznaczają ograniczenia możliwości obliczeń
numerycznych, jako że duże $\lambda$ wymaga dużej liczby stanów 
bazowych do uzyskania niezależności od obcięcia.

\begin{figure}[!htbp]
  \def\psfsize{\footnotesize}
  \psfrag{g}{\psfsize $g$}
  \psfrag{Najmniejsza wartosc wlasna [GeV^2]}{\psfsize \null\hspace{-1 em}Najniższa wartość własna $M^2$ $[\text{GeV}^2]$}
  %
  \psfrag{E_i (l=2.0)}[Br][Br]{\scriptsize $\lambda = 2.0\ \text{GeV}$}
  \psfrag{E_i (l=3.5)}[Br][Br]{\scriptsize $\lambda = 3.5\ \text{GeV}$}
  \psfrag{E_i (l=5.0)}[Br][Br]{\scriptsize $\lambda = 5.0\ \text{GeV}$}
  %
  \centering
  \includegraphics[scale=\scale]{mix_1d-RELATxM2-f_l-M12s^2.mg=1.9.a_s.Eeig-g_scan.l=var-Elim=90-nr_hq_step=2.eps}%%
  \caption{Zależność najmniejszej wartości własnej 
    od wielkości stałej sprzężenia $g$, dla
    różnych wartości szerokości czynnika podobieństwa $\lambda$.
    Wykres demonstruje konieczność renormalizacji $g$, to
    znaczy doboru $g_{\lambda}$ w~zależności od $\lambda$,
    aby porównywać wyniki dla różnych $\lambda$, z~tą samą wartością
    własną $M^2_{\text{eigenv}(g_{\lambda})}$.
    %%
    Strzałki w~legendzie wskazują na której osi jest zaznaczona dana
    wielkość.}
  \label{fig:M2-vs-g}
\end{figure}

Z~wyników obliczeń przedstawionych na rysunku~\ref{fig:M2-vs-g}
widać, że obszar wielkości stałej sprzężenia $g$, dla których efekt mieszania
sektorów jest znaczący, zmienia się wraz z~$\lambda$,

Wraz ze wzrostem stałej sprzężenia $g$ następuje przejście od
stanu, w~którym najniższy stan własny jest głównie zbudowany ze stanu podstawowego
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$,
do stanu, w~którym następuje mieszanie i~zwiększa się
$\beta_{hq}$.
Jest to efekt, którego należało się spodziewać.  

Wyniki są zależne od wielkości skali $\lambda$, 
o~ile nie przeprowadzi się renormalizacji.
Teoretyczne wyliczenie zależności $g$ od $\lambda$ wymagałoby obliczeń
nieperturbacyjnych w~tym zakresie $\lambda$.
W~szacunkowych rachunkach zamiast pełnych obliczeń można
jednak zażądać aby energia stanu
własnego miała zadaną wielkość.  Dla zadanego $\lambda$ dobieramy
$g_{\lambda}$ w~ten sposób,
by energia stanu własnego dla tej wielkości $g_{\lambda}$ była równa
zadanej wielkości: $M^2_{\text{eigenv}} (g_{\lambda}) = \text{const}$.
Jest to nieperturbacyjny warunek normalizacji.

W~celu wyliczenie zależności $\beta_{hq}$ od $\lambda$
najpierw znajdujemy $g_{\lambda}$, dla którego energia stanu własnego
ma zadaną ustaloną wartość.  Następnie znajdujemy
postać stanu własnego (funkcji
falowej) dla znalezionego $g_{\lambda}$, a~następnie na podstawie
wielkości średniej $\hat{k}_{hq}^2$ w~tym stanie wyliczamy
$\beta_{hq}^{\text{eff}}$ (patrz~\eqref{eq:k_hq^2:mat}).


\begin{figure}[!htbp]
  \def\psfsize{\footnotesize}
  \psfrag{g}{\psfsize $g$}
  \psfrag{b_xx [GeV]}{\psfsize $\beta_{hq}$ $[\text{GeV}]$}
  %
  \psfrag{b_hq (l=2.0)}[Br][Br]{\scriptsize $\lambda = 2.0\ \text{GeV}$}
  \psfrag{b_hq (l=3.5)}[Br][Br]{\scriptsize $\lambda = 3.5\ \text{GeV}$}
  \psfrag{b_hq (l=5.0)}[Br][Br]{\scriptsize $\lambda = 5.0\ \text{GeV}$}
  \centering
  \includegraphics[scale=\scale]{mix_1d-RELATxM2-f_l-M12s^2.mg=1.9.a_s.b_hq-g_scan.l=var-Elim=90-nr_hq_step=2.eps}%%
  \caption{Efektywna szerokość $\beta_{hq}^{\text{eff}}$ stanu
    własnego o~najmniejszej masie, wyliczona za pomocą
    wzoru~\eqref{eq:beta_hq}, w~zależności od stałej sprzężenia $g$,
    przy różnych wartościach szerokości czynnika podobieństwa $\lambda$.}
  \label{fig:beta_hq-vs-g}
\end{figure}

Na rysunku~\ref{fig:beta_hq-vs-g} przedstawiona została zależność
szerokości $\beta_{hq}^{\text{eff}}$ stanu własnego o~najmniejszej
masie (stanu podstawowego) 
przy różnych szerokościach czynnika podobieństwa $\lambda$.


\begin{figure}[!htbp]
  \def\psfsize{\footnotesize}
  \psfrag{lambda [GeV]}{\psfsize $\lambda$ [GeV]}
  \psfrag{b_hq_max [GeV]}{\psfsize $\beta_{hq}^{\text{max}}$ [GeV]}
  \psfrag{Emax=20.0}[Br][Br]{\scriptsize $M^2_{\text{max}} = 20.0\ \text{GeV}^2$}
  \psfrag{Emax=30.0}[Br][Br]{\scriptsize $M^2_{\text{max}} = 30.0\ \text{GeV}^2$}
  \psfrag{Emax=40.0}[Br][Br]{\scriptsize $M^2_{\text{max}} = 40.0\ \text{GeV}^2$}
  \psfrag{Emax=50.0}[Br][Br]{\scriptsize $M^2_{\text{max}} = 50.0\ \text{GeV}^2$}
  \psfrag{Emax=60.0}[Br][Br]{\scriptsize $M^2_{\text{max}} = 60.0\ \text{GeV}^2$}
  \psfrag{Emax=70.0}[Br][Br]{\scriptsize $M^2_{\text{max}} = 70.0\ \text{GeV}^2$}
  \psfrag{ax + b}[Br][Br]{\scriptsize $ax + b$ (liniowe)}
  \centering
  \includegraphics[scale=\scale]{mix_1d-RELATxM2-f_l-M12^4.b_hq-vs-lambda.eps}%%
  \caption{Efektywna szerokość $\beta_{hq}^{\text{eff}}$ stanu
    własnego o~najmniejszej masie w~zależności od szerokości $\lambda$
    czynnika podobieństwa, przy różnych wielkościach parametru obcięcia
    przestrzeni stanów bazowych.  Wartość parametru obcięcia zmienia
    się od 20 $\text{GeV}^2$ (dolna krzywa) do 70 $\text{GeV}^2$ (górna krzywa).
    Ekstrapolacja liniowa zależności $\beta_{hq}^{\text{eff}}$ od $\lambda$
    dla parametru obcięcia rosnącego do nieskończoności, daje współczynnik
    proporcjonalności około $\frac{1}{2}$.}
  \label{fig:beta_hq-vs-lambda}
\end{figure}

Na rysunku~\ref{fig:beta_hq-vs-lambda} przedstawiono zależność
szerokości $\beta_{hq}^{\text{eff}}$ stanu hybrydy od
szerokości czynnika podobieństwa $\lambda$, przy różnych wielkościach
parametrów obcięcia.  Widać, że wraz ze wzrostem
parametru obcięcia przestrzeni stanów, zależność
$\beta_{hq}^{\text{eff}}$ od $\lambda$ zbliża się do zależności
liniowej.

Narzucenie wymagania spełnienia symetrii relatywistycznych amplitudy rozpadu
hybrydy daje zatem $\beta_{hq} \simeq \lambda$.  Obydwie wielkości są rzędu $5-8\ 
\text{GeV}$, t.j. są dużo większe od pozostałych parametrów.  Model
mieszania stanów $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
oraz stanu $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ daje
$\beta_{hq}^{\text{eff}}$ proporcjonalne do $\lambda$, z~czynnikiem
proporcjonalności rzędu $1/2$.
Na rysunku~\ref{fig:beta_hq-vs-lambda} ten fakt jest oznaczony jako $a=0.5$,
gdzie $a$ jest współczynnikiem proporcjonalności między 
$\lambda$ i~$\beta_{hq}^{\text{eff}}$ we wzorze
\begin{equation}
  \label{eq:beta_hq-vs-lambda:linear}
  \beta_{hq}^{\text{eff}} = a \lambda \;.
\end{equation}
Analiza wyników dynamicznych nie określa jednak jaka powinna być wielkość
parametru $\lambda$.  Ponadto wyliczanie mieszania dla dużych
$\lambda$ nie jest łatwe, co wynika z~szybkiego wzrostu liczby stanów
potrzebnych do uzyskania niezależności wyników od obcięcia. 

Poza omawianym kształtem (szerokością $\beta_{hq}$) funkcji falowej stanu
otrzymanego w~wyniku mieszania sektorów Focka, ważną wielkością jest
wkład stanu $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ do stanu hybrydy $|h\rangle$.  
Wartości średnie operatorów rzutowych $\hat{P}_{gg}$ oraz $\hat{P}_{q\bar{q}g}$ oznaczono jako
$P_{gg}$ oraz $P_{q\bar{q}g}$; są to prawdopodobieństwa
występowania odpowiednich sektorów w~stanie hybrydy $|h\rangle$.

\begin{figure}[!tbp]
  \def\psfsize{\footnotesize}
  \psfrag{b_hq(gQCD) [GeV]}{\psfsize $\beta_{hq}(g)$ [GeV]}
  \psfrag{glue2(gQCD)}{\psfsize $P_{gg}(g)$}
  %
  \psfrag{(mg=1.9, l=2.0, Elim=90.0)}[Bl][Bl]{\null\hspace{-3 em}\psfsize $\lambda = 2.0$ GeV}
  \psfrag{(mg=1.9, l=3.5, Elim=90.0)}[Bl][Bl]{\null\hspace{-3 em}\psfsize $\lambda = 3.5$ GeV}
  \psfrag{(mg=1.9, l=5.0, Elim=90.0)}[Bl][Bl]{\null\hspace{-3 em}\psfsize $\lambda = 5.0$ GeV}
  \centering
  \includegraphics[scale=\scale]{mix_1d-RELATxM2-f_l-M12^4.P_gg-vs-b_hq.eps}%%
  %%
  \caption{Korelacja pomiędzy efektywną szerokością
    $\beta_{hq}^{\text{eff}}$ stanu własnego o~najmniejszej masie,
    a~wkładem $P_{gg}$ składnika $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ w~tym stanie.  Krzywe uzyskane przy różnych
    szerokościach $\lambda$ czynnika podobieństwa i~różnych
    wielkościach parametru obcięcia przestrzeni stanów bazowych.}
  \label{fig:beta_hq-vs-P_gg}
\end{figure}

Przy analizie symetrii relatywistycznych rozpadu hybrydy na dwa mezony
stan hybrydy był modelowany jako prosty stan $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.  Jeśli zatem
stan hybrydy 
będzie zawierał więcej składowej $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
niż składowej $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
($P_{q\bar{q}g} > 0.5$), to trudno będzie uważać, że odpowiada on
stanowi użytemu w~analizie rozpadu.  Nawet jeśli stan ten ma oczekiwany
kształt funkcji falowej, pozostaje pytanie dlaczego widzimy (i~liczymy) rozpad stanu
hybrydy złożonego tylko z~sektora $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.
Stan o~dominującej składowej $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
odpowiadać powinien gluonium, a~nie hybrydzie.


Na rysunku~\ref{fig:beta_hq-vs-P_gg} przedstawiona została zależność
(korelacja) pomiędzy szerokością funkcji falowej
$\beta_{hq}^{\text{eff}}(\lambda)$ a~wielkością prawdopodobieństwa $P_{gg}(\lambda)$
składowej $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.  
Ten wykres ilustruje fakt, że aby
$\beta_{hq}^{\text{eff}}$ rosło znacząco z~$\lambda$, wymagany jest 
duży wkład składowej $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.  Wraz ze wzrostem
$\beta_{hq}^{\text{eff}}$ z~rosnącym $\lambda$, także $P_{gg}$ rośnie
z~$\lambda$ (przynajmniej w~zakresie zilustrowanym na wykresie; wartości
$P_{gg}$ są ograniczone do przedziału $0 \leq P_{gg} \leq 1$).

Wynika stąd, że oczekiwany wzrost $\beta_{hq}^{\text{eff}}$ okupiony jest wzrostem
prawdopodobieństwa $P_{gg}$ składowej $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ w~stanie hybrydy $|h\rangle$.



\subsection{Model mieszania $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
  z~pozostałymi sektorami Focka}
\label{sec:mix-Gg}


Rozwiązując numerycznie model mieszania stanów $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
i~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$, otrzymano stan hybrydy o~efektywnej szerokości funkcji
falowej $\beta_{hq}^{\text{eff}}$ proporcjonalnej do $\lambda$.
Mieszanie stanów $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
z~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ może więc służyć
jako dynamiczny mechanizm uzasadnienia 
dla wyników otrzymanych z~analizy rozpadu hybrydy.
Pozostały jednak do rozważenia następujące problemy.

Po pierwsze, dla $\lambda$ rzędu $4-5\ \text{GeV}$, czyli rzędu
wielkości $\lambda$ otrzymanych z~analizy % symetrii amplitudy
rozpadu hybrydy, wynikiem mieszania jest duże prawdopodobieństwo 
składowej $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.  Co więcej, 
wielkość prawdopodobieństwa $P_{gg}$ jest skorelowana z~$\beta_{hq}^{\text{eff}}$
(patrz rysunek~\ref{fig:beta_hq-vs-P_gg}). %% !!!
Próby zmniejszenia $P_{gg}$ dają zatem
także mniejsze $\beta_{hq}^{\text{eff}}$.  Wyklucza to najprostszą
wersję mechanizmu mieszania, przedstawioną wcześniej. 
%%, zbadaną w~modelach ze strony~\pageref{sec:mixing-wyniki}.
Tę niechcianą korelację można zaobserwować także w~ściśle rozwiązywalnym
modelu mieszania z~oddziaływaniami separowalnymi (przedstawionym
w~rozdziale~\ref{sec:mix-sep}).  W~tym modelu zwiększenie szerokości funkcji
falowej jest również okupione zwiększeniem wkładu sektora typu $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.
Można więc oczekiwać, że efekt ten jest ogólny i~nie zależy od poczynionych
uproszczeń i~wybranej metody rozwiązania zagadnienia.

Aby stan otrzymany w~wyniku mieszania odpowiadał stanowi z~analizy symetrii rozpadu,
w~dalszych poszukiwaniach należało znaleźć model, 
zapewniający, że rozpad znalezionego stanu będzie zdominowany
przez składową kwark--antykwark--gluon.   %% ???
Jeśli składowa gluon--gluon dominuje, oznacza to, że w~wyniku mieszania
otrzymano gluonium raczej niż mezon hybrydowy (hybrydę).  Natomiast 
przeprowadzona wcześniej analiza
symetrii rozpadu zakłada, że stan hybrydy
daje się reprezentować w~dobrym przybliżeniu za pomocą stanu
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ (cząstek efektywnych).

%%\medskip

Po drugie znaleziono, że istnieją stany skalarnej hybrydy, rozpadającej się na dwa 
skalarne mezony, które nie sprzęgają się z~sektorem $g_{\lambda}g_{\lambda}$.
Analiza rozpadu skalarnej hybrydy w~rozdziale~\ref{sec:decay}
była prowadzona dla izoskalarnej hybrydy rozpadającej
się na dwa izoskalarne mezony.  Jest to najprostszy możliwy przypadek
konfiguracji zapachów kwarków w~hybrydzie, ale nie jedyny możliwy.  Analiza roli
czynnika izospinowego w~rozpadach wskazuje, że podane poniżej
kombinacje izospinów dają takie same (z~dokładnością do stałego
czynnika) wzory na amplitudy rozpadów
\begin{equation}
\label{eq:hybrid-with-izospin}
\begin{aligned}
  h^s 
  &\to b^s + p^s \\
  &\to b^+ + p^- \\
  &\to b^- + p^+ \\
  &\to b^0 + p^0 \\[0.5ex]
  h^+
  &\to b^+ + p^s \\
  &\to b^s + p^+ \\[0.5ex]
  h^0
  &\to b^s + p^0 \\
  &\to b^0 + p^s
\end{aligned}
\end{equation}
Symbol $h^s$ oznacza izoskalarną hybrydę z~czynnikiem izospinowym
$I_h \simeq \sigma^0 = 1_{2 x 2}$ (przypadek rozważany w~\cite{GlazekSzczepaniak:2002iq}
i~\cite{GlazekNarebski:2005jb}), $h^0$ oznacza nienaładowaną (neutralną
ładunkowo) hybrydę izowektorową z~$I_h \simeq \sigma^3$, $h^\pm$ oznacza
naładowaną hybrydę izowektorową z~$I_h \simeq \sigma^\pm$.
Analogiczna notacja $b^0, b^s, b^\pm$ i~$p^0, p^s, p^\pm$
była  zastosowana także dla mezonów
$p$ i~$b$, na które hybryda się rozpada.

Izoskalarna hybryda, rozważana wcześniej, składa się z~kwarku i~antykwarku o~tym samym
zapachu, zatem może zawierać składową $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ przez anihilację pary
kwark--antykwark w~gluon.  Natomiast naładowana hybryda izowektorowa 
składa się z~kwarku i~antykwarku o~różnych zapachach, zatem
nie sprzęga się do stanu $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.  Jak pokazano powyżej, 
wzór na amplitudę rozpadu hybrydy z~izospinem różni się
tylko o~stały czynnik od wzoru na amplitudę rozpadu dla hybrydy izoskalarnej.  Tak więc
wymagania symetrii amplitudy rozpadu narzucają takie same warunki na
parametry funkcji falowych jak w~pracach~\cite{GlazekSzczepaniak:2002iq,GlazekNarebski:2005jb}.
Mieszanie stanów sektora $q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}$
i~sektora $g_{\lambda}g_{\lambda}$ nie jest 
w~stanie zatem wytłumaczyć kształtu hybrydy z~niezerowym izospinem.

Po trzecie, sektor $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ nie jest jedynym sektorem Focka, który oddziaływać może
z~sektorem kwark--antykwark--gluon.
Można rozważać także inne sektory Focka, które mają (jako całość) konfigurację singletu
kolorowego.  Dla różnych liczb kwantowych hybrydy różny może być zestaw sektorów
Focka, które sprzęgają się z~sektorem $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.

Uwzględnienie efektów sprzęgania sektora $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
z~innymi sektorami przestrzeni Focka
pozwala, jak opisano dalej, wskazać drogę wyjścia w~kierunku rozwiązania
wszystkich przedstawionych w~tym rozdziale problemów. 
Pełne rozwiązanie tego zagadnienia nie jest znane i~z~pewnością jest bardzo trudne.  Można jednak
zaproponować sposób modelowania sprzężenia 
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ z~innymi sektorami
Focka.  



\subsection{Hipoteza rezonansu oktetowego $G_{h\lambda}$}
\label{sec:G_hl}


\begin{figure}[!tbp]
  \centering
  \includegraphics[scale=1.0,trim=-10  -30  -10  -20]{mix_Gg.eps}
  \caption{Modelowanie sprzężenia (mieszania) sektora $q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}$
    z~pozostałymi sektorami Focka jako (w~pierwszym rzędzie)
    sprzężenie z~modelowym stanem złożonym z~gluonu $g_{\lambda}$
    i~efektywnego oktetu kolorowego $G_{h\lambda}$ (efektywnego rezonansu oktetowego).}
  \label{fig:Gg}
\end{figure}

Najprostszym możliwym opisem stanów, sprzęgających się z~sektorem
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$, i~mechanizmu sprzężenia jest opis za pomocą stanu 
dwucząstkowego $|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$ będącego singletem kolorowym, 
złożonego z~gluonu $g_{\lambda}$ i~efektywnego
rezonansu oktetowego $G_{h\lambda}$.  Oktet ten sprzęga się z~kwarkiem
i~antykwarkiem za pomocą efektywnego modelowego oddziaływania trójcząstkowego.
Oddziaływanie to wprowadzić można do~równania własnego dla hybrydy, zapisanej
w~postaci $|h\rangle = |q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle + |g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$.
Na rysunku~\ref{fig:Gg} została przedstawiona koncepcja tego modelu. 

Liczby kwantowe efektywnego oktetu kolorowego $G_{h\lambda}$ nie są ograniczone do liczb
kwantowych gluonu.  W~szczególności oktet kolorowy może się sprzęgać
z~parą kwark--antykwark w~stanie $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ nawet jeśli para ta
nie jest singletem izospinowym.  Oznacza to, między innymi, że stan $|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$
może się sprzęgać z~hybrydą o~niezerowym izospinie, co nie było możliwe
dla stanu $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.

Efektywny oktet kolorowy może mieć inną
masę niż gluon, a~sprzężenie efektywnego oktetu kolorowego z~parą
kwark--antykwark może mieć różną postać efektywnego
czynnika $f_{\lambda}$.  Jako punkt startowy najprościej jednak
przyjąć takie same parametry dla efektywnego oktetu kolorowego
jak dla gluonu.  Należy jednak pamiętać, że efektywny czynnik $f_{\lambda}$
dla mieszania efektywnego oktetu kolorowego $G_{h\lambda}$ w~modelowym stanie
z~parą kwark--antykwark może mieć szerokość większą od
$\lambda$.

Przy tych założeniach można wykorzystać wprost przeprowadzone
obliczenia mieszania sektora $q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}$
z~sektorem $g_{\lambda}g_{\lambda}$ (sektorem
dwucząstkowym), zmieniając interpretację stanu dwucząstkowego
ze stanu gluon--gluon ($g_{\lambda}g_{\lambda}$) na
gluon--rezonans oktetowy (oznaczany $g_{\lambda}G_{h\lambda}$).

Najważniejszą różnicą pomiędzy obliczeniami dla stanu dwu gluonów,
a~obliczeniami dla stanu gluon--oktet,
jest to, że stan $g_{\lambda}G_{h\lambda}$ 
może nie sprzęgać się do stanu dwu mezonów za pomocą oddziaływania 
$H_{I\,\text{QCD}\lambda}$. % używanego w~analizie amplitudzie rozpadu hybrydy.
Rozpad rezonansu oktetowego $G_{h\lambda}$ na parę kwark--antykwark
następuje za pomocą składnika w~modelowym hamiltonianie, który
nie występuje w~hamiltonianie QCD, ponieważ $G_{h\lambda}$ jest
jedynie przybliżonym opisem efektywnym innych sektorów Focka niż
$q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}$ w~równaniu własnym dla stanu
$|h\rangle$.  O~rezonansie oktetowym
$G_{h\lambda}$ można również myśleć jako o~wzbudzeniu stanu efektywnego
gluonu $g_{\lambda}$.  Wzbudzenie może wiązać się z~niezerowym izospinem.
Zatem naturalne wydaje się założenie, że
stany te są ortogonalne, czyli że $\langle G_{h\lambda} | g_{\lambda} \rangle = 0$.
Dzięki temu duża (większa niż 1/2) wartość $P_{Gg}$ dla dużych
$\lambda$ nie stanowi problemu, jako że stan gluon--rezonans oktetowy
nie daje wkładu do rozpadu hybrydy
na dwa mezony za pośrednictwem $H_{I\,\text{QCD}\,\lambda}$.

\bigskip

Patrząc na wykres zależności efektywnej szerokości
$\beta_{hq}^{\text{eff}}$ od $\lambda$ stanu hybrydy otrzymanego
w~wyniku mieszania na rysunku~\ref{fig:beta_hq-vs-lambda}, widzimy
jednak, że co prawda $\beta_{hq}^{\text{eff}} \sim \lambda$, ale
czynnik proporcjonalności jest mniejszy od 1, bliski $1/2$.  
Z~analizy amplitudy rozpadu hybrydy parametrów
modelu dostajemy, że łamanie symetrii obrotowej jest minimalne dla
$\beta_{hq}$ tej samej wielkości co $\lambda$, rzędu 4-8 GeV.
Ponieważ ze względów technicznych została użyta redukcja wymiarów modelu mieszania z~trzech do
jednego, nie można użyć stanu będącego rozwiązaniem
na stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
do wyliczenia rozpadu hybrydy na dwa mezony.  Nie można zatem
bezpośrednio sprawdzić, czy istnieje takie $\lambda$, dla którego
amplituda rozpadu otrzymanego stanu hybrydy spełnia żądania symetrii
relatywistycznych.

Można jednak sprawdzić, czy w~okolicach znalezionego minimum
parametrów, stan hybrydy dla którego $\beta_{hq} = \frac{1}{2}\lambda$
spełnia z~wystarczającą dokładnością wymagania symetrii.

\begin{figure*}[!tbp]
  \def\psfsize{\small}
  \psfrag{beta_hq [GeV]}[][]{\psfsize $\beta_{hq}$ [GeV]}
  \psfrag{lambda [GeV]}[][]{\psfsize $\lambda$    [GeV]}
  \psfrag{b = l}    [Br][Br]{\psfsize $\beta_{hq} = \lambda$}
  \psfrag{b = 0.5 l}[Bl][Bl]{\psfsize\null\hspace{-2 ex}$\beta_{hq} = \frac{1}{2}\lambda$}
  \psfrag{b = 1.3 l}[Br][Br]{\psfsize $\beta_{hq} = 1.3 \lambda$}
  \centering
  \includegraphics[scale=1.0,trim=65 0 0 0]{uev-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_hq+lambda.stddevrel.eps}
  \caption{\label{fig:ASA:uev-2d}
  Zmiana stopnia łamania symetrii obrotowej jako funkcja parametru
  $\beta_{hq}$ funkcji falowej hybrydy oraz parametru $\lambda$ dla
  przypadku a) na wykresie~\ref{fig:ASA:devsqrp-1}, tzn. dla $S_h =
  \bar{u}\slashed{\eps} v$, z~czynnikami $N \neq 1$, rozpad na dwa
  skalarne mezony $J^{PC} = 0^{++}$.
  %% 
  Optymalne wartości parametrów są dane w~pierwszej kolumnie
  tabeli~\ref{tab:ASA:devsqrp-1}. 
  %%
  Punkt oznaczony ,,min'' wskazuje optymalne wartości parametrów.
  Oszacowanie łamania symetrii obrotowej, pokazane jako stopień
  szarości oraz za pomocą poziomic, określone jest na podstawie
  stosunku odchylenie standardowego (,,stddev'') zależności amplitudy
  rozpadu hybrydy od kąta $\theta$ do amplitudy uśrednionej po kącie
  $\theta$ (,,mean'').}
\end{figure*}

Na rysunku~\ref{fig:ASA:uev-2d} pokazano przykładowe oszacowanie stopnia
odchylenia od symetrii obrotowej w~zależności od $\beta_{hq}$ (oś pozioma)
i~$\lambda$ (oś pionowa) jednocześnie.  Patrząc na linie oznaczone
$\beta_{hq} = \lambda$ oraz $\beta_{hq} = \frac{1}{2}\lambda$ na tym
wykresie widzimy, że wymagania symetrii relatywistycznych można spełnić
także dla $\beta_{hq}^{\text{eff}} \simeq \frac{1}{2}\lambda$.
Okupione jest to jednak koniecznością znacznego zwiększenia $\lambda$.

Jeśli $\lambda$ jest dużo większe od skal energii w~rozważanym
zagadnieniu, wątpliwe staje się przybliżenie wycinania ,,okna''
w~hamiltonianie, patrz rozdział~\ref{sec:f_lambda}.  Trudniej zatem
uzasadnić przybliżenie minimalnej liczby składników na stany hybrydy
i~mezonów.  Powstaje zatem pytanie, czy możliwe są alternatywne
rozwiązania zamiast zwiększenia $\lambda$.

Należy zauważyć, że człon $H_{I\,G\,\lambda}$ w~hamiltonianie
modelowym, odpowiedzialny za mieszanie stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ ze stanem
$|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$, nie musi być dokładnie tej samej postaci co człon
$H_{I\,\text{QCD}\,\lambda}$ w~zrenormalizowanym hamiltonianie QCD,
który jest odpowiedzialny za rozpad hybrydy.

W~szczególności rozważmy efektywny czynnik $f_{G\lambda}$ w~$H_{I\,G\,\lambda}$
postaci
\begin{equation}
  \label{eq:f_l=osc}
  f_{G\lambda} = \exp\left[ - \frac{k_{hq}^2}{2 \lambda^2} \right]
\end{equation}
\begin{figure}[!htbp]
  \def\psfsize{\footnotesize}
  \psfrag{lambda [GeV]}{\psfsize $\lambda$    [GeV]}
  \psfrag{b_hq [GeV]}  {\psfsize $\beta_{hq}$ [GeV]}
  \psfrag{A=1.3}{\psfsize $a = 1.3$}
  \centering
  \includegraphics[scale=\scale]{mix_1d-RELATxM2-f_l=osc-M12^4.b_hq-vs-lambda.eps}%%
  \caption{Efektywna szerokość $\beta_{hq}^{\text{eff}}$ stanu
    własnego o~najniższej energii, dla czynnika $f_{G\lambda}$ danego
    wzorem~\eqref{eq:f_l=osc}, w~zależności od szerokości $\lambda$
    czynnika podobieństwa, przy różnych wyborach wielkości energii
    renormalizacji $E(g) = E^*$.  Ekstrapolacja
    liniowa~\eqref{eq:beta_hq-vs-lambda:linear} daje współczynnik
    proporcjonalności rzędu 1.3.}
  \label{fig:f_l=osc:beta_hq-vs-lambda}
\end{figure}
Na rysunku~\ref{fig:f_l=osc:beta_hq-vs-lambda} przedstawiono zależność
$\beta_{hq}^{\text{eff}}$ od $\lambda$ dla czynnika $f_{G\lambda}$
danego wzorem~\eqref{eq:f_l=osc}.  Widać, że dopasowanie funkcji liniowej do
ekstrapolacji dla dużych wartości parametru obcięcia, daje zależność
liniową o~stosunku bliskim jedności.  Na~rysunku~\ref{fig:f_l=osc:beta_hq-vs-lambda}
można odczytać wartość 1.3 stosunku $\beta_{hq}$ do $\lambda$.
Na rysunku~\ref{fig:ASA:uev-2d} widać, że dla $\beta_{hq}/\lambda \sim 1.3$
można otrzymać zachowanie symetrii z~dobrą dokładnością, nawet przy
$\lambda$ mniejszych niż otrzymano z~minimalizacji.

Takie proste podstawienie funkcji gaussowskiej jako czynnika
podobieństwa $f_{G\lambda}$ w~hamiltonianie modelowym nie ma
(dotychczas) uzasadnienia wynikającego z~QCD.  Ponadto użycie takiego
czynnika podobieństwa wymaga, ze względu na wolniejszy zanik elementów
macierzowych modelowego hamiltonianu z~różnicą energii mieszanych
stanów, dużo większych wartości obcięcia przestrzeni stanów niż wymaga
czynnik podobieństwa~\eqref{eq:fl} używany w~procedurze grupy
renormalizacji.  Zależność $\beta_{hq}^{\text{eff}}$ od $\lambda$ dla
tej postaci czynnika podobieństwa w~modelu została uzyskana dla małych
$\lambda$ i~tylko ekstrapolowana do $\lambda = 5\ \text{GeV}$.

Inną możliwością rozwiązania problemu, że w~wyniku mieszania dostajemy
$\beta_{hq}^{\text{eff}} \simeq \frac{1}{2}\lambda$ raczej niż
$\beta_{hq}^{\text{eff}} \simeq \lambda$, jest zauważenie, że
oddziaływanie $H_{G,q\bar{q}\,\lambda}$ z~czynnikiem $f_{G\lambda}$
w~modelu mieszania z~innymi sektorami Focka, powstaje w~wyniku
złożenia co najmniej dwu oddziaływań z~$f_{\lambda}$
w~zrenormalizowanym hamiltonianie QCD.  ,,Splot'' dwu czynników
podobieństwa $f_{\lambda}$
\begin{equation}
  \label{eq:f_Gl=flxfl}
  f_{G\lambda} \sim f_\lambda \star f_\lambda
\end{equation}
tworzyć mógłby efektywnie czynnik o~szerokości $2\lambda$
\begin{equation}
  \label{eq:f_Gl=f_2l}
  f_{G\lambda} \sim f_{2\lambda}
\end{equation}
Gdyby taka zależność zachodziła, co jest prawdopodobne, to
$\beta_{hq}^{\text{eff}} \simeq \frac{1}{2}\lambda_G$ w~modelu
oznaczałoby $\beta_{hq} \simeq \lambda$ w~stanie hybrydy używanym do
analizy rozpadu.



%% ......................................................................
%% ......................................................................
%% ......................................................................

\cleardoublepage
\section{Podsumowanie i~wnioski}
\label{sec:sum}\label{sec:podsumowanie}




Procedura grupy renormalizacji dla cząstek efektywnych
(RGPEP) otwiera drogę do systematycznej analizy stanów
związanych kwarków i~gluonów w~QCD.  
W~tej pracy oceniamy perspektywy zastosowania tej metody
do wyprowadzenia hamiltonianu efektywnego dla stanu
związanego złożonego z~kwarku, antykwarku i~gluonu, zwanego hybrydą.
Wcześniej znane wyniki~\cite{GlazekSzczepaniak:2002iq,GlazekNarebski:2005jb}
sugerują, że metoda RGPEP może pozwoli w~przyszłości znaleźć
zastosowanie w~rozwiązywaniu problemu hybrydy
i~powiązać QCD z~jej modelami konstytuentnymi.  
Niniejsza praca jest pierwszym znanym autorowi krokiem w~tym kierunku.

Obliczenia zostały przeprowadzone przy użyciu dynamiki hamiltonowskiej
w~sformułowaniu Diraca na froncie świetlnym.  Ten wybór formy dynamiki
pozwolił ominąć problem znalezienia stanu
próżni, czyniąc możliwym opis hadronów za
pomocą niewielkiej liczby cząstek.
Ponadto symetria ze względu na pchnięcia Lorentza jest w~tym podejściu
symetrią ściśle spełnioną.  Daje to możliwość opisu stanów cząstek
poruszających się z~wielkimi prędkościami, w~tym
produktów rozpadu hybrydy przy rozpadzie dużo powyżej progu.

Amplituda rozpadu skalarnej hybrydy na skalarne
mezony, jako wielkość fizyczna, musi być sferycznie
symetryczna.  Symetria obrotowa jest jednak w~dynamice na
froncie świetlnym symetrią dynamiczną.  Wynika stąd, że oddziaływania
nie mają jawnej symetrii obrotowej.    
Żądanie sferycznej symetrii amplitudy rozpadu hybrydy
narzuca zatem warunki na stany cząstek biorących udział w~rozpadzie.

W~przedstawionych badaniach założono, że stan hybrydy i~stany mezonów
w~rozpadzie hybrydy można przedstawić jako
stany o~minimalnej liczbie cząstek efektywnych.  W~tym ujęciu hybryda
zawiera stan $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_\lambda\rangle$, zaś mezony 
stany $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}\rangle$.  
Brak symetrii obrotowej
zachodzi wówczas, gdy przynajmniej jedna z~cząstek biorących udział w~rozpadzie
porusza się z~relatywistycznymi prędkościami.  Można jednak tak dobrać
parametry funkcji falowych hybrydy i~mezonów, aby sferyczna symetria
amplitudy rozpadu hybrydy była zapewniona.  Jakościowym warunkiem do spełnienia jest aby szerokość 
pary kwark--antykwark w~przestrzeni pędów, charakteryzowana
parametrem $\beta_{hq}$, była tego samego rzędu co szerokość
$\lambda$ czynnika kształtu w~zrenormalizowanym hamiltonianie
oddziaływania QCD.  Ponadto zarówno $\beta_{hq}$ jak i~$\lambda$ muszą być
rzędu 4-5 GeV, czyli dużo większe niż pozostałe szerokości
w~rozważanych funkcjach falowych.

Badania wielu przypadków wieloma różnymi metodami uwzględniania spinu gluonu
i~różnych czynników spinowych mezonów dały taki sam obraz hybrydy.
Oznacza to, że znaleziona struktura stanu hybrydy jest
niezależna od spinu składników hybrydy i~szczegółów
funkcji falowych modelu.

Otrzymany obraz hybrydy, w~którym gluon i~ciasno związana para
kwark--antykwark krążą wokół siebie, różni się od typowego wyobrażenia stanu
hybrydy, gdzie gluon tworzy wzbudzoną strunę pomiędzy kwarkiem
i~antykwarkiem~\cite{IsgurPaton:PP1:flux_tube:1984bm,KokoskiIsgur:PP2:flux_tube:1985is,
ClosePage:PP2:flux_tube:1994hc,SwansonSzczepaniak:PP2:flux_tube:1997wy}.  Różni się on także od
postaci funkcji falowych hybrydy, używanych w~modelach konstytuentnych, gdzie
szerokość $\beta_{hq}$ jest tego samego rzędu co
szerokość $\beta_{hg}$~\cite{Kalashnikova:exotics:1993xb,IddirSemlala:massesinmodels:2002rf}.
Wobec przedstawionych różnic w~budowie między hybrydą znalezioną w~niniejszej pracy
i~jej typowym obrazem,
nasuwa się pytanie, jaki efekt
dynamiczny może być odpowiedzialny za tę nową postać hybrydy.

Jak można było przypuszczać,
taki nietypowy obraz hybrydy mógłby powstawać dynamicznie według
mechanizmu, w~którym jeden z~gluonów w~stanie $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ zamienia
się w~parę kwark--antykwark przez oddziaływanie o~szerokości
$\lambda$.  Rachunek zaburzeń sugeruje, że powstała w~ten sposób para
kwark--antykwark w~hybrydzie będzie miała szerokość rzędu szerokości tego
oddziaływania.
Oczekiwano, że 
badania dynamicznego modelu mieszania stanu
$q_\lambda \bar{q}_\lambda g_\lambda\rangle$ ze stanem $|g_\lambda g_\lambda\rangle$
pozwolą wyjaśnić w~jaki sposób powstaje nowa postać hybrydy.

Przed przeprowadzeniem zaawansowanych obliczeń numerycznych, 
modelujących mechanizm mieszania, należało
uzyskać jakościowy wgląd w~możliwe efekty mieszania stanu $|q_\lambda \bar{q}_\lambda g_\lambda\rangle$
ze stanem $|g_\lambda g_\lambda\rangle$.  W~tym celu został stworzony i~przeanalizowany prosty
model matematyczny mieszania stanów $0$-- i~$1$--cząstkowego
z~oddziaływaniem separowalnym.  Przedstawiony on został w~rozdziale~\ref{sec:mix-sep}.
Model ten daje się rozwiązać ściśle
w~postaci analitycznej.  O~ile niektóre właściwości rozwiązania tego
modelu są charakterystyczne tylko dla niego, część właściwości jest
ogólna i~przenosi się na analizę mieszania stanów 
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ i~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.
W~szczególności spodziewać się można było, że korelacja pomiędzy
zwiększaniem szerokości pędowej funkcji falowej w~podukładzie
$1$--cząstkowym, a~wielkością wkładu składowej $0$--cząstkowej, jest
ogólnym wnioskiem dla problemów mieszania różnych sektorów.

Obliczenia mieszania zostały przeprowadzone dla
najprostszego przypadku cząstek skalarnych,
co wynikało stąd, że relatywistyczne symetrie amplitudy rozpadu
hybrydy są jakościowo niezależne od spinów cząstek i~postaci czynników
spinowych.   Uproszczenie takie było
konieczne w~obliczeniach nieperturbacyjnych ze względów praktycznych.  Sumaryczne efekty czynników spinowych
zostały uwzględnione za pomocą dodatkowych efektywnych czynników
zależnych od pędu.

W~obliczeniach szczegółowych oddziaływania wiążące pomiędzy kwarkami oraz kwarkiem a~gluonem
przybliżono za pomocą potencjału oscylatora harmonicznego z~czynnikiem
kolorowym.
Oddziaływanie mieszające
zostało wyliczone w~sposób relatywistyczny, na froncie świetlnym.
Znalezione numeryczne rozwiązanie modelu
mieszania stanu kwark--antykwark--gluon ze stanem gluon--gluon
potwierdza możliwość dynamicznego wygenerowania stanu hybrydy
o~kształcie wymaganym przez symetrie relatywistyczne (amplitudy
rozpadu).  Stan własny będący rozwiązaniem modelu mieszania
sektora $|q_\lambda \bar{q}_\lambda g_\lambda\rangle$ z~sektorem
$|g_\lambda g_\lambda\rangle$ ma (w~podukładzie $q\bar{q}g$) szerokość $\beta_{hq}$ stanu rosnącą
wraz ze wzrostem $\lambda$. 


Równocześnie przeprowadzone obliczenia ujawniły dwa problemy.  
%%
Po pierwsze, aby uzyskać duże
$\beta_{hq}$, otrzymany w~wyniku mieszania stan musi zawierać dużą
domieszkę stanu $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.
Oznaczałoby to, że w~stanie hybrydy nie dominuje
składowa $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$,
jak założone zostało przy analizie rozpadu
hybrydy.  
%%
Po drugie, mieszanie 
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
z~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ nie zachodzi dla stanów
hybrydy, w~których para $q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}$ ma liczby kwantowe niemożliwe
do uzyskania przez gluony.  Przykładem takiego stanu hybrydy, który nie
miesza się ze stanem $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$, jest stan hybrydy o~niezerowym izospinie,
na który warunki symetrii rozpadu także narzucają nietypową postać.

Powyższe zastrzeżenia powodują, że wyjaśnienia powstawania znalezionego kształtu
hybrydy nie można szukać wyłącznie za pomocą mieszania stanu
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ ze stanem $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$.
Pozostając przy idei, że wymagany
nietypowy obraz hybrydy powstaje w~wyniku dynamicznego mieszania
sektorów Focka, wymagany nietypowy obraz hybrydy
mógłby być jednak generowany 
przez sprzężenie z~innymi sektorami.  Pełne
rozwiązanie problemu mieszania jest poza możliwościami współczesnej
matematyki i~metod numerycznych.

Dla przybliżonego rozwiązania tego problemu, w~rozdziale~\ref{sec:G_hl}
sprzężenie z~pozostałymi sektorami Focka modelowano za
pomocą sprzężenia z~dwucząstkowym stanem związanym 
$|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$, złożonym z~gluonu
$g_{\lambda}$ i~z~efektywnego rezonansu oktetowego $G_{h\lambda}$.  
Stan efektywnego kolorowego rezonansu oktetowego mógłby pełnić
rolę podobną np. do rezonansu $\sigma$ w~efektywnej teorii pola 
(patrz np.~\cite{GellMann:sigma:1960np,Weinberg:sigma:1966fm}). 

Obliczenia przeprowadzone w~modelu sprzęgania przy użyciu
$|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$ sugerują,
że mieszanie z~pozostałymi sektorami Focka może generować stan
hybrydy spełniający symetrie rozpadu.  Mieszanie stanu 
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
ze~stanem $|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$
daje $\beta_{hq}$ rzędu $\lambda$
w~stanie własnym.  Postulowany stan rezonansu oktetowego $G_{h\lambda}$
może mieć inne liczby kwantowe niż gluon.  Oznacza to między innymi,
że mieszanie zachodzi także dla hybrydy o~niezerowym izospinie.

Oddziaływanie mieszające stan $G_{h\lambda}$ z~parą kwark--antykwark,
odpowiedzialne za mieszanie stanu 
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
ze stanem $|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$,
jest efektywnym oddziaływaniem pojawiającym się w~modelowym
hamiltonianie mieszania.  Zatem stan $G_{h\lambda}$ nie
sprzęga się do stanu $g_{\lambda}$ za pośrednictwem $H_{I\,\text{QCD}\,\lambda}$.
Przy braku tego sprzęgania $G_{h\lambda}$ do $g_{\lambda}$, stan złożony z~gluonu
i~efektywnego oktetu kolorowego $|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$
jest ,,niewidoczny'' w~rozpadzie
hybrydy.  Rozpad hybrydy jest zatem zdominowany
przez sektor $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$,
nawet jeśli prawdopodobieństwo $P_{gG}$ sektora
$|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$ w~stanie hybrydy jest większe niż 1/2.

W~modelu sprzęgania przy użyciu $|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$
można także uzyskać stosunek $\beta_{hq}^{\text{eff}}$ do $\lambda_G$
około 1, zamiast jak w~przypadku mieszania z~$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
około 0.5 (co wymaga zwiększenia $\lambda$, aby pozostać w~obszarze
parametrów dla których symetria amplitudy rozpadu jest dobrze zachowana).
Jest to efektem uwzględnienie czynnika kształtu rezonansu oktetowego
w~postaci $f_{\lambda} \star f_{\lambda} = f_{2\lambda} = f_{G\lambda}$
w~modelowym hamiltonianie mieszania.  ($f_{\lambda} \star f_{\lambda}$
oznacza tutaj ,,splot'' dwu czynników podobieństwa.)

Powyżej opisane wyniki sugerują, że hybryda o~kształcie zadanym przez wymagania
symetrii relatywistycznych amplitudy rozpadu może być generowana
przez mieszanie stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
z~pozostałymi sektorami Focka.


%% Możliwe alternatywne wyjaśnienia
%
% * założenie o~minimalnej liczbie składników nie spełnione przez x_l
% * założenie, że hybryda i~mezony są skalarne (stany własne J^2)
% * przybliżenie 1-go rzędu na H_I
% * zamiast mieszania: niesymetryczny potencjał

%% Kierunki przyszłych badań
%
% + hybryda 1^-+
% + lepsze mieszanie, czy rzeczywiście G
% + rozw. równania Schroedingera w~qqg
% + wykrywanie G (jeśli możliwe)


\bigskip

%# możliwe kierunki przyszłych obliczeń
Obliczenia w~niniejszej pracy przeprowadzone zostały dla najprostszego
przypadku skalarnej hybrydy, rozpadającej się na dwa skalarne mezony,
lub na dwa pseudoskalarne mezony.  Z~doświadczalnego punktu widzenia
interesująca jest hybryda o~egzotycznych liczbach kwantowych
$J^{PC} = 1^{-+}$.  Zastosowana metoda analizy symetrii amplitudy
rozpadu mogłaby być zastosowana także i~do tego przypadku.
Dla hybrydy $1^{-+}$ należałoby zapewne minimalizować
odstępstwo amplitudy rozpadu hybrydy od kształtu
wymaganego przez liczby kwantowe cząstek biorących udział w~rozpadzie.
Analiza taka byłaby jednak dużo trudniejsza, chociaż możliwa.

Hipoteza efektywnego rezonansu oktetowego jako
ansatzu modelującego oddziaływanie z~innymi sektorami Focka wymaga
dalszych badań.  W~szczególności należałoby wyjaśnić, czy hipoteza ta
może być zastosowana do innych zagadnień oddziaływania
pomiędzy wieloma sektorami Focka w~QCD.  Zagadnienie, czy teoretyczne
rezonanse oktetowe mogłyby być zauważone
eksperymentalnie, wymaga zbadania.


%% BIBLIOGRAFIA
\clearpage
\section{Spis literatury}

%%\bibliography{J_Narebski-praca_doktorska-literatura}

%% J_Narebski-praca_doktorska.bbl
\begin{thebibliography}{10}
\providecommand{\selectlanguage}[1]{\relax}
\providecommand{\bibAnnoteFile}[1]{%
  \IfFileExists{#1}{\begin{quotation}\noindent\textsc{Key:} #1\\
  \textsc{Annotation:}\ \input{#1}\end{quotation}}{}}
\providecommand{\bibAnnote}[2]{%
  \begin{quotation}\noindent\textsc{Key:} #1\\
  \textsc{Annotation:}\ #2\end{quotation}}

\bibitem{Feynman:parton_model:1969ej}
R.~P. Feynman.
\newblock \emph{Phys. Rev. Lett.}, \textbf{23}, 1415 (1969).
\bibAnnoteFile{Feynman:parton_model:1969ej}

\bibitem{Lipkin:CQM:1973nt}
H.~J. Lipkin.
\newblock \emph{Phys. Rept.}, \textbf{8}, 173 (1973).
\bibAnnoteFile{Lipkin:CQM:1973nt}

\bibitem{PDBook2006}
W.-M. {Yao}, C.~{Amsler}, D.~{Asner}, R.~{Barnett}, \emph{et~al.}
\newblock \emph{{Journal of Physics G}}, \textbf{33}, 1 (2006).
\bibAnnoteFile{PDBook2006}

\bibitem{Greenberg:V_color:1981xn}
O.~W. Greenberg, H.~J. Lipkin.
\newblock \emph{Nucl. Phys.}, \textbf{A370}, 349 (1981).
\bibAnnoteFile{Greenberg:V_color:1981xn}

\bibitem{StanleyRobson:mesons:1980zm}
D.~P. Stanley, D.~Robson.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D21}, 3180 (1980).
\bibAnnoteFile{StanleyRobson:mesons:1980zm}

\bibitem{GodfreyIsgur:mesons:1985xj}
S.~Godfrey, N.~Isgur.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D32}, 189 (1985).
\bibAnnoteFile{GodfreyIsgur:mesons:1985xj}

\bibitem{Wilson:lattice:2004de}
K.~G. Wilson.
\newblock \emph{Nucl. Phys. Proc. Suppl.}, \textbf{140}, 3 (2005).
\bibAnnoteFile{Wilson:lattice:2004de}

\bibitem{Durr:lattice-results:2008zz}
S.~Durr, \emph{et~al.}
\newblock \emph{Science}, \textbf{322}, 1224 (2008).
\bibAnnoteFile{Durr:lattice-results:2008zz}

\bibitem{Wilczek:lattice:2008zza}
F.~Wilczek.
\newblock \emph{Nature}, \textbf{456}, 449 (2008).
\bibAnnoteFile{Wilczek:lattice:2008zza}

\bibitem{Glazek:1993rc}
S.~D. G{\l}azek, K.~G. Wilson.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D48}, 5863 (1993).
\bibAnnoteFile{Glazek:1993rc}

\bibitem{Glazek:1994qc}
S.~D. G{\l}azek, K.~G. Wilson.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D49}, 4214 (1994).
\bibAnnoteFile{Glazek:1994qc}

\bibitem{Glazek:1997sd}
S.~D. G{\l}azek.
\newblock \emph{Acta Phys. Polon.}, \textbf{B29}, 1979 (1998).
\bibAnnoteFile{Glazek:1997sd}

\bibitem{Kalashnikova:exotics:1993xb}
Y.~S. Kalashnikova.
\newblock \emph{Z. Phys.}, \textbf{C62}, 323 (1994).
\bibAnnoteFile{Kalashnikova:exotics:1993xb}

\bibitem{Iddir:charmoniumhybrids:1998yc}
F.~Iddir, S.~Safir, O.~Pene.
\newblock \emph{Phys. Lett.}, \textbf{B433}, 125 (1998).
\bibAnnoteFile{Iddir:charmoniumhybrids:1998yc}

\bibitem{IddirSemlala:massesinmodels:2002rf}
F.~Iddir, L.~Semlala (2002).
\newblock \mbox{hep-ph/0211289}.
\bibAnnoteFile{IddirSemlala:massesinmodels:2002rf}

\bibitem{HornMandula:1977rq}
D.~Horn, J.~Mandula.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D17}, 898 (1978).
\bibAnnoteFile{HornMandula:1977rq}

\bibitem{Wilson:weak_coupling:1994fk}
K.~G. Wilson, \emph{et~al.}
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D49}, 6720 (1994),
\newblock {i referencje tam{\.z}e}.
\bibAnnoteFile{Wilson:weak_coupling:1994fk}

\bibitem{Lacock:hybrid-lattice:1996ny}
P.~Lacock, C.~Michael, P.~Boyle, P.~Rowland.
\newblock \emph{Phys. Lett.}, \textbf{B401}, 308 (1997).
\bibAnnoteFile{Lacock:hybrid-lattice:1996ny}

\bibitem{Bernard:hybrid-lattice:1997ib}
C.~W. Bernard, \emph{et~al.}
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D56}, 7039 (1997).
\bibAnnoteFile{Bernard:hybrid-lattice:1997ib}

\bibitem{McNeile:hybrid-lattice:2002az}
C.~McNeile, C.~Michael, P.~Pennanen.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D65}, 094505 (2002).
\bibAnnoteFile{McNeile:hybrid-lattice:2002az}

\bibitem{McNeile:hybrid-lattice:2006bz}
C.~McNeile, C.~Michael.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D73}, 074506 (2006).
\bibAnnoteFile{McNeile:hybrid-lattice:2006bz}

\bibitem{IsgurPaton:PP1:flux_tube:1984bm}
N.~Isgur, J.~E. Paton.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D31}, 2910 (1985).
\bibAnnoteFile{IsgurPaton:PP1:flux_tube:1984bm}

\bibitem{KokoskiIsgur:PP2:flux_tube:1985is}
R.~Kokoski, N.~Isgur.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D35}, 907 (1987).
\bibAnnoteFile{KokoskiIsgur:PP2:flux_tube:1985is}

\bibitem{ClosePage:PP2:flux_tube:1994hc}
F.~E. Close, P.~R. Page.
\newblock \emph{Nucl. Phys.}, \textbf{B443}, 233 (1995).
\bibAnnoteFile{ClosePage:PP2:flux_tube:1994hc}

\bibitem{SwansonSzczepaniak:PP2:flux_tube:1997wy}
E.~S. Swanson, A.~P. Szczepaniak.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D56}, 5692 (1997).
\bibAnnoteFile{SwansonSzczepaniak:PP2:flux_tube:1997wy}

\bibitem{Page:PP2:flux_tube:1998gz}
P.~R. Page, E.~S. Swanson, A.~P. Szczepaniak.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D59}, 034016 (1999).
\bibAnnoteFile{Page:PP2:flux_tube:1998gz}

\bibitem{SzczepaniakSwanson:CG:2001rg}
A.~P. Szczepaniak, E.~S. Swanson.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D65}, 025012 (2002).
\bibAnnoteFile{SzczepaniakSwanson:CG:2001rg}

\bibitem{PoplawskiSzczepaniak:2004qj}
N.~J. Poplawski, A.~P. Szczepaniak, J.~T. Londergan.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D71}, 016004 (2005).
\bibAnnoteFile{PoplawskiSzczepaniak:2004qj}

\bibitem{JugeKutiMorningstar:hybrids_lattice:1997nc}
K.~J. Juge, J.~Kuti, C.~J. Morningstar.
\newblock \emph{Nucl. Phys. Proc. Suppl.}, \textbf{63}, 326 (1998).
\bibAnnoteFile{JugeKutiMorningstar:hybrids_lattice:1997nc}

\bibitem{JugeKutiMorningstar:hybrid_BBbar:1999ie}
K.~J. Juge, J.~Kuti, C.~J. Morningstar.
\newblock \emph{Phys. Rev. Lett.}, \textbf{82}, 4400 (1999).
\bibAnnoteFile{JugeKutiMorningstar:hybrid_BBbar:1999ie}

\bibitem{Dirac:1949cp}
P.~A.~M. Dirac.
\newblock \emph{Rev. Mod. Phys.}, \textbf{21}, 392 (1949).
\bibAnnoteFile{Dirac:1949cp}

\bibitem{Brodsky:1997de}
S.~J. Brodsky, H.-C. Pauli, S.~S. Pinsky.
\newblock \emph{Phys. Rept.}, \textbf{301}, 299 (1998).
\bibAnnoteFile{Brodsky:1997de}

\bibitem{Glazek:1999fy}
S.~D. G{\l}azek.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D60}, 105030 (1999).
\bibAnnoteFile{Glazek:1999fy}

\bibitem{Glazek:GQCD:2000dc}
S.~D. G{\l}azek.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D63}, 116006 (2001).
\newblock {i referencje tam{\.z}e}.
\bibAnnoteFile{Glazek:GQCD:2000dc}

\bibitem{GlazekMlynik:2002iw}
S.~D. G{\l}azek, J.~M{\l}ynik.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D67}, 045001 (2003).
\bibAnnoteFile{GlazekMlynik:2002iw}

\bibitem{GlazekMlynik:2003xr}
S.~D. G{\l}azek, J.~M{\l}ynik.
\newblock \emph{Acta Phys. Polon.}, \textbf{B35}, 723 (2004).
\bibAnnoteFile{GlazekMlynik:2003xr}

\bibitem{IddirSafir:hybrid-candidates:2000yb}
F.~Iddir, A.~S. Safir.
\newblock \emph{Phys. Lett.}, \textbf{B507}, 183 (2001).
\bibAnnoteFile{IddirSafir:hybrid-candidates:2000yb}

\bibitem{Isgur:hybrids:1985vy}
N.~Isgur, R.~Kokoski, J.~E. Paton.
\newblock \emph{Phys. Rev. Lett.}, \textbf{54}, 869 (1985).
\bibAnnoteFile{Isgur:hybrids:1985vy}

\bibitem{CloseLipkin:exotics-exp:1987aw}
F.~E. Close, H.~J. Lipkin.
\newblock \emph{Phys. Lett.}, \textbf{B196}, 245 (1987).
\bibAnnoteFile{CloseLipkin:exotics-exp:1987aw}

\bibitem{Amsler:nonqqbar-mesons:2004ps}
C.~Amsler, N.~A. Tornqvist.
\newblock \emph{Phys. Rept.}, \textbf{389}, 61 (2004).
\bibAnnoteFile{Amsler:nonqqbar-mesons:2004ps}

\bibitem{Amelin:pi(1800):1995gu}
D.~V. Amelin, \emph{et~al.}
\newblock \emph{Phys. Lett.}, \textbf{B356}, 595 (1995).
\bibAnnoteFile{Amelin:pi(1800):1995gu}

\bibitem{GlazekSzczepaniak:2002iq}
S.~D. G{\l}azek, A.~P. Szczepaniak.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D67}, 034019 (2003).
\bibAnnoteFile{GlazekSzczepaniak:2002iq}

\bibitem{GlazekNarebski:2005jb}
S.~D. G{\l}azek, J.~Nar\k{e}bski.
\newblock \emph{Acta Phys. Polon.}, \textbf{B37}, 389 (2006).
\bibAnnoteFile{GlazekNarebski:2005jb}

\bibitem{DanielewiczNamyslowski:k_12:1978mk}
P.~Danielewicz, J.~M. Namys{\l}owski.
\newblock \emph{Phys. Lett.}, \textbf{B81}, 110 (1979).
\bibAnnoteFile{DanielewiczNamyslowski:k_12:1978mk}

\bibitem{Lacock:hybrid-lattice:1996vy}
P.~Lacock, C.~Michael, P.~Boyle, P.~Rowland.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D54}, 6997 (1996).
\bibAnnoteFile{Lacock:hybrid-lattice:1996vy}

\bibitem{Bernard:hybrid-lattice:1997bg}
C.~W. Bernard, \emph{et~al.}
\newblock \emph{Nucl. Phys. Proc. Suppl.}, \textbf{53}, 228 (1997).
\newblock Talk given at Lattice 96: 14th International Symposium on Lattice
  Field Theory, St. Louis, MO, 4--8 Jun 1996.
\bibAnnoteFile{Bernard:hybrid-lattice:1997bg}

\bibitem{Lepage:vegas:1977sw}
G.~P. Lepage.
\newblock \emph{J. Comput. Phys.}, \textbf{27}, 192 (1978).
\bibAnnoteFile{Lepage:vegas:1977sw}

\bibitem{Lepage:vegas:1980dq}
G.~P. Lepage.
\newblock \emph{{{VEGAS}: An Adaptive Multi-dimensional Integration Program}}.
\newblock CLNS-80/447, March 1980.
\bibAnnoteFile{Lepage:vegas:1980dq}

\bibitem{GSL}
M.~Galassi, J.~Davies, J.~Theiler, B.~Gough, \emph{et~al.}
\newblock \emph{{GNU} Scientific Library: Reference Manual}.
\newblock Network Theory Limited (2009).
\newblock \url{http://www.gnu.org/software/gsl/}.
\bibAnnoteFile{GSL}

\bibitem{Numerical_Recipes_in_C:1992}
W.~Press, B.~Flannery, S.~Teukolsky, W.~Vetterling.
\newblock \emph{Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing}.
\newblock Cambridge University Press (1992).
\bibAnnoteFile{Numerical_Recipes_in_C:1992}

\bibitem{Ingber:ASA:1988}
L.~Ingber.
\newblock \emph{Math. Comput. Modelling}, \textbf{11}, 457 (1988).
\newblock \url{http://www.ingber.com/asa89\_vfsr.pdf}.
\bibAnnoteFile{Ingber:ASA:1988}

\bibitem{Ingber:ASA:1993}
L.~Ingber.
\newblock \emph{Math. Comput. Modelling}, \textbf{18}, 29 (1993).
\newblock \url{http://www.ingber.com/asa93\_savpt.pdf}.
\bibAnnoteFile{Ingber:ASA:1993}

\bibitem{GlazekWilson:matrix_model:1997gt}
S.~D. Glazek, K.~G. Wilson.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D57}, 3558 (1998).
\bibAnnoteFile{GlazekWilson:matrix_model:1997gt}

\bibitem{Brisudova:1996hv}
M.~Brisudov\'{a}, R.~J. Perry.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D54}, 1831 (1996).
\bibAnnoteFile{Brisudova:1996hv}

\bibitem{Glazek:QQbar-harmonic:2003ky}
S.~D. G{\l}azek.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D69}, 065002 (2004).
\bibAnnoteFile{Glazek:QQbar-harmonic:2003ky}

\bibitem{GlazekMlynik:2006cu}
S.~D. G{\l}azek, J.~M{\l}ynik.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D74}, 105015 (2006).
\bibAnnoteFile{GlazekMlynik:2006cu}

\bibitem{Narebski:cvdW:2002tj}
J.~Nar\k{e}bski.
\newblock \emph{Mod. Phys. Lett.}, \textbf{A19}, 307 (2004).
\bibAnnoteFile{Narebski:cvdW:2002tj}

\bibitem{Lipkin:V_color:1973prl}
H.~J. Lipkin.
\newblock \emph{Phys. Lett.}, \textbf{B45}, 267 (1973).
\bibAnnoteFile{Lipkin:V_color:1973prl}

\bibitem{Feynman:rel_osc:1971wr}
R.~P. Feynman, M.~Kislinger, F.~Ravndal.
\newblock \emph{Phys. Rev.}, \textbf{D3}, 2706 (1971).
\bibAnnoteFile{Feynman:rel_osc:1971wr}

\bibitem{QUADPACK}
R.~Piessens, E.~de~Doncker-Kapenga, C.~Ueberhuber, D.~Kahaner.
\newblock \emph{{QUADPACK}: A Subroutine Package for Automatic Integration}.
\newblock Springer Verlag (1983).
\bibAnnoteFile{QUADPACK}

\bibitem{LAPACK}
E.~Anderson, Z.~Bai, C.~Bischof, S.~Blackford, \emph{et~al.}
\newblock \emph{{LAPACK} Users' guide (third ed.)}.
\newblock Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, USA
  (1999).
\newblock \url{http://www.netlib.org/lapack/lug/}.
\bibAnnoteFile{LAPACK}

\bibitem{GellMann:sigma:1960np}
M.~Gell-Mann, M.~Levy.
\newblock \emph{Nuovo Cim.}, \textbf{16}, 705 (1960).
\bibAnnoteFile{GellMann:sigma:1960np}

\bibitem{Weinberg:sigma:1966fm}
S.~Weinberg.
\newblock \emph{Phys. Rev. Lett.}, \textbf{18}, 188 (1967).
\bibAnnoteFile{Weinberg:sigma:1966fm}

\end{thebibliography}


%% ======================================================================
%% ======================================================================
%% ======================================================================

%%\end{document}
\cleardoublepage{}
\appendix{}

%\section{Przypisy}
%\label{sec:przypisy}

\section{Notacja położeń i~pędów na froncie świetlnym}
\label{sec:LF}

Współrzędne frontu świetlnego zdefiniowane są następująco:
\begin{align}
  \label{eq:x-LF}
  x^+ &= x^0 + x^3, & 
  x^- &= x^0 - x^3, &
  x^\perp &= (x^1, x^2)
\end{align}
Jak można łatwo zauważyć, $p^+$ zdefiniowane analogicznym wzorem jest
nieujemne, $p^+ > 0$.

Niezerowe składowe tensora metrycznego $g^{\mu\nu}$ na froncie
świetlnym to $g^{+-} = g^{-+} = 2$ oraz $g^{11} = g^{22} = 1$.
Metryka na froncie świetlnym 
\begin{equation}
  \label{eq:metryka-LF}
  g_{\mu\nu} = \bordermatrix{
    &+ &- &1 &2 \cr
    + &0 &\tfrac{1}{2} &0 &0 \cr
    - &\tfrac{1}{2} &0 &0 &0 \cr
    1 &0 &0 &-1 &0 \cr
    2 &0 &0 &0 &-1 \cr
    },
  \qquad
  g^{\mu\nu} = \bordermatrix{
      &+ &- &1 &2 \cr
    + &0 &2 &0 &0 \cr
    - &2 &0 &0 &0 \cr
    1 &0 &0 &-1 &0 \cr
    2 &0 &0 &0 &-1 \cr
    }.
\end{equation}
Iloczyn skalarny dwu czterowektorów $a$ i $b$ określony jest więc wzorem
\begin{equation}
  \label{eq:iloczyn-skalarny-LF}
  ab = \frac{1}{2} a^{+}b^{-} + \frac{1}{2} a^{-}b^{+} 
  - \vect{a}^{\perp} \vect{b}^{\perp}.
\end{equation}
Pochodne cząstkowe
\begin{equation}
  \label{eq:pochodne-pm}
  \partial^\pm = 2 \partial_\mp = 2 \frac{\partial}{\partial x^\pm}.
\end{equation}

Dla dowolnych dwóch pędów cząstek $p_1$ i $p_2$ możemy wprowadzić
rozkład na pęd całości $P^\mu$ oraz pęd względny $x, \kappa^\perp$:
\begin{align}
  \label{eq:momenta}
  P^{+,\perp} &= p_1^{+,\perp} + p_1^{+,\perp} \\
  x_1 &= \frac{p_1^+}{P^+} \\
  \kappa^\perp &= \frac{p_2^+ p_1^\perp - p_1^+ p_2^\perp}{P^+}
\end{align}
Zmiana ta wiąże się ze zmianą całkowania z~$[p_1 p_2]$ na 
$[P] [x \kappa]$, co pozwala zazwyczaj na rozdzielenie zmiennych
\begin{equation}
  \label{eq:[p1p2]}
  [p_1 p_2] = [P] [x \kappa]
\end{equation}
gdzie $[x \kappa]$ jest dane przez
\begin{equation}
  \label{eq:[xkappa]}
  [x \kappa] = \frac{d^2 \kappa^\perp \, dx}{16 \pi^3 x (1 - x)} 
  \, \Theta(x) \Theta(1 - x)
\end{equation}


\section{Spinory na froncie świetlnym}
\label{sec:LF-spinors}

Spinory których używano w~niniejszej pracy, zdefiniowane są wzorami
%%\begin{subequations}
%%  \label{eq:u-and-v-mpl}
  \begin{align}
  \label{eq:u-and-v-mpl}
%%  \label{eq:u-mpl}
    u_{mp\lambda} &= B(p,m)\, u_{0\lambda}, &%\\
%%  \label{eq:v-mpl}
    v_{mp\lambda} &= B(p,m)\, v_{0\lambda},
  \end{align}
%%\end{subequations}
gdzie operator $B(p,m)$
\begin{equation}
  \label{eq:Bkm}
  B(p,m) = \frac{1}{\sqrt{m p^{+}}}
  \bigl[ \Lambda_+ p^+ 
  + \Lambda_- (m + \alpha^{\perp} p^{\perp}) \bigr]
\end{equation}
jest reprezentacją pchnięcia, które zmienia masę $m$ w~stanie spoczynku
w~czteropęd $p$.  Spinory kwarków w~stanie spoczynku $u_{0\lambda}$
dane są przez
%%\begin{subequations}
%%  \label{eq:u}
  \begin{align}
  \label{eq:u}
%%  \label{eq:u-up}
    u_{0\uparrow} &= \sqrt{2m}
    \begin{pmatrix}
      \chi_{+} \\ 0 
    \end{pmatrix} \, , &%\\
%%  \label{eq:u-down}
    u_{0\downarrow} &= \sqrt{2m}
    \begin{pmatrix}
      \chi_{-} \\ 0 
    \end{pmatrix} \, ,  
  \end{align}
%%\end{subequations}
a~dla antykwarków w~stanie spoczynku $v_{0\lambda}$ przez
%%\begin{subequations}
%%  \label{eq:v}
  \begin{align}
    \label{eq:v}
%%  \label{eq:v-up}
    v_{0\uparrow} &= \sqrt{2m}
    \begin{pmatrix}
       0 \\ \chi_{-}  
    \end{pmatrix} \, , &%\\
%%  \label{eq:v-down}
    v_{0\downarrow} &= \sqrt{2m}
    \begin{pmatrix}
      0 \\ - \chi_{+} 
    \end{pmatrix} \, , 
  \end{align} 
%%\end{subequations}
gdzie $\chi_{\pm}$ są dwuskładnikowymi spinorami,
$\chi_{+} = (1, 0)$ i $\chi_{-} = (0, 1)$.
Używamy notacji w~której $\Lambda_\pm = \frac{1}{2}\gamma_0 \gamma^\pm$, 
gdzie $\gamma^{\pm} = \gamma^0 \pm \gamma^3$.

\clearpage
\section{Szczegóły obliczeniowe wyliczania rozpadu hybrydy}
\label{sec:hybrid-decay-eqs}\label{sec:decay-details}

%% MESON
Miara całkowania po pędach mezonu, oznaczona przez
$[k_1 k_2]$ albo po prostu $[1 2]$, wynosi 
\begin{equation}
  \label{eq:dk1dk2}
  \frac{d\!k^+_1 d^2\!k^\perp_1}{2 (2 \pi)^3 k^+_1}
  \frac{d\!k^+_2 d^2\!k^\perp_2}{2 (2 \pi)^3 k^+_2}
  = 
  \frac{d\!x_{12}   d^2\!k^\perp_{12}}{2 (2 \pi)^3 x_{12}(1-x_{12})} 
  \frac{d\!P^+_{12} d^2\!P^\perp_{12}}{2 (2 \pi)^3 P^+_{12}} \, .
\end{equation}
Jako funkcja trójpędu względnego $\vec k_{12}$, miara całkowania 
dla dwu składników z~tą samą masą $m_q$ dana jest przez
\begin{equation}
  \label{eq:dveck}
  \frac{d\!x_{12} d^2\!k^\perp_{12}}{2 (2 \pi)^3 x_{12}(1-x_{12})} 
  =
  \frac{4 d^3\!\vec{k}_{12}}{2 (2 \pi)^3 \mathcal{M}_{12}} \; .
\end{equation}
Zatem, 
\begin{equation}
  \label{eq:f_pm}
  N_{pm}({\vec k}_{12}) =
  \sqrt{\frac{\mathcal{M}_{12}}{2 m_q}} \, .
\end{equation}
Podobnie,
\begin{equation}
  \label{eq:f_ps}
  N_{ps}({\vec k}_{12}) =
  \sqrt{\frac{1}{\Tr\left[S_p^\dag(1,2) S_p(1,2)\right]}} \;.
\end{equation}

%% HYBRID
W~równaniu normalizacji dla hybrydy mamy następującą miarę całkowania
po trzech cząstkach
\begin{equation}
  \label{eq:dvkqdvkg}
  \prod_{i=1}^3 \frac{dk^+_i d^2k^\perp_i}{16\pi^3 k^+_i} 
  = 
  \frac{4 d^3\!k_q}{2 (2 \pi)^3 \mathcal{M}_q}
  \frac{d^3\!k_g \mathcal{M}_{qg}}%%
  {2 (2 \pi)^3 \sqrt{m_g^2 + k_g^2} \,
  \sqrt{\mathcal{M}_q^2 + k_g^2}} \; .
\end{equation}
Zatem,
\begin{equation}
  \label{eq:f_hm}
  \begin{split}
    N_{hs}(\vec{k}_q, \vec{k}_g)
    =%&=
    \sqrt{\frac{\mathcal{M}_q}{2 m_q}} \,\,
    \sqrt{\frac{2 m_q + m_g}{\mathcal{M}_{qg}}} \,%\,\\
    %& \times
    \sqrt{\frac{\sqrt{m_g^2 + \vec{k}^{\,2}_g}}{m_g}} \,\,
    \sqrt{\frac{\sqrt{\mathcal{M}_q^2 +
          \vec{k}^{\,2}_g}}{2 m_q}} \, ,
  \end{split}
\end{equation}
oraz
\begin{equation}
  \label{eq:N_hs}
  N_{hs}(\vec{k}_q, \vec{k}_g) =
  \sqrt{\frac{1}{\sum\limits_{\text{pol}}\Tr\left[S_h^\dag(1,2,3) S_h(1,2,3)\right]}} \; ,
\end{equation}
gdzie $\sum_{\text{pol}}$ oznacza sumę po dwu poprzecznych (po dwu
fizycznych) polaryzacjach gluonu.

%% DECAY
\begin{figure}[!htb]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.43,viewport=0  110 630 430]{decay_arrangements.eps}
  \caption{\label{fig:decay} 
    Amplituda rozpadu hybrydy na dwa mezony $p$ (lekki) i $b$ (ciężki).}
\end{figure}
Amplituda rozpadu hybrydy na dwa mezony wynosi
%%\begin{widetext}
\begin{align*}
%%% light-front variables
  &\mathcal{A}(p,b,h) = 
  (-1) \frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{g_\lambda}{(16 \pi^3)^2} 
  \int \frac{dx_{14} d^2\kappa^\perp_{14}}{x_{14}(1-x_{14})}
  \int \frac{dx_{52} d^2\kappa^\perp_{52}}{x_{52}(1-x_{52})} 
  %%\frac{1}{x_3}  
  \\ 
  & \times N_p N_b N_h \psi^*_p(1,4) \psi^*_b(5,2) 
  %%T(1,2,3,4,5)
  \left[ \mathfrak{A}(1,2,3,4,5) + \mathfrak{B}(1,2,3,4,5) \right]  
  \\
  %%% three-vector variables
  &= 
  - \frac{16}{3} \frac{g_\lambda}{(16 \pi^3)^2} 
  \int \frac{d^3 k_{52}}{{\cal M}_b} 
  \int \frac{d^3 k_{14}}{{\cal M}_p} 
  %%\frac{1}{x_3} 
  N_p N_b N_h \psi^*_p(\vec k_{14}) \psi^*_b(\vec k_{52}) \\
  %%T(1,2,3,4,5) 
  & \times \left[ \mathfrak{A}(1,2,4,5) + \mathfrak{B}(1,2,4,5) \right] \; ,
\end{align*}
%%\end{widetext}
gdzie
\begin{align}
  \label{eq:AA(1,2,4,5)}
  \mathfrak{A}(1,2,4,5) &= \left.
  \frac{1}{x_3} T_A(1,2,3,4,5) A(1,2,3,4,5)
  \right\rvert_{k_3 = k_4 + k_5} \, ,
  \\
  \label{eq:BB(1,2,4,5)}
  \mathfrak{B}(1,2,4,5) &= \left.
  \frac{1}{x_3} T_B(1,2,3,4,5) B(1,2,3,4,5)
  \right\rvert_{k_3 = k_1 + k_2} \, ,
\end{align}
\begin{align}
  \label{eq:A(1,2,3,4,5)}
  A(1,2,3,4,5) &= 
  \psi_h(1,2,3) f_\lambda({\cal M}^2_{45}) \; ,
  \\
  \label{eq:B(1,2,3,4,5)}
  B(1,2,3,4,5) &= 
  \psi_h(5,4,3) f_\lambda({\cal M}^2_{12}) \; ,
\end{align}
zaś czynniki spinowe w~amplitudzie rozpadu są dane przez
\begin{align}
  \label{eq:T_A(1,2,3,4,5)}
  T_A(1,2,3,4,5) &=
  \Tr\left[ S^\dagger_p(1,4) S_h(1,2,3)
            S^\dagger_b(5,2) S_{QCD}(5,4,3) \right] \, ,
  \\
  \label{eq:T_B(1,2,3,4,5)}
  T_B(1,2,3,4,5) &=
  \Tr\left[ S^\dagger_p(1,4) S_{QCD}(1,2,3)
            S^\dagger_b(5,2) S_h(5,4,3) \right] \, .
\end{align}
Części A~i~B odnoszą się do dwu możliwych ustawień kwarków pokazanych
na rysunku~\ref{fig:decay}. $S_{QCD}$ jest czynnikiem spinowym
pochodzącym z~członu oddziaływania w~hamiltonianie QCD:
\begin{equation}
  \label{eq:S_QCD}
  \chi^\dag_{s_1} S_{QCD}(1,2,3) \chi^{\vphantom{\dag}}_{s_2} 
  = \bar{u}_1 \varepsilon^\mu_3 \gamma_{\mu} v_2 \, .
\end{equation}

%%% KINEMATICS aka. MOMENTA, MASSES etc.
%%\vskip.1in
\smallskip
W~obu częściach amplitudy, $A$ i~$B$, mamy $x_p = p^+/h^+$, $x_b = b^+/h^+ = 1 - x_p$.
Dla mezonu $p$, mamy $\vec{k}_{14} \equiv \vec{k}_p$, 
tak więc ${\cal M}_{14} \equiv {\cal M}_p = 2 \sqrt{m_q^2 + \vec{k}_p^{\,2}}$,
i~zachodzą następujące związki:
\begin{gather}
  x_{14} = (\sqrt{m_q^2 + \vec{k}^{\,2}_p} + k_p^3)/{\cal M}_p,\\
  \begin{aligned}
    x_1   &= x_{14} x_p, &
    k_1^+ &= x_{14} p^+, &
    k_1^\perp &=    x_{14}  p^\perp + k_p^\perp, 
    \\
    x_4   &= (1-x_{14}) x_p, &
    k_4^+ &= (1-x_{14}) p^+, &
    k_4^\perp &= (1-x_{14}) p^\perp - k_p^\perp.  
  \end{aligned}
\end{gather}
W~mezonie $b$, mamy $\vec{k}_{52} \equiv \vec{k}_b$, 
zatem ${\cal M}_b \equiv {\cal M}_{52} = 2 \sqrt{m_q^2 + \vec{k}_b^{\,2}} $,
i~analogicznymi zależnościami są:
\begin{gather}
  x_{52} = (\sqrt{m_q^2 + \vec{k}^{\,2}_b} + k_b^3)/{\cal M}_b,\\
  \begin{aligned}
    k_5^+ &= x_{52} b^+, &
    x_5   &= x_{52} x_b, &
    k_5^\perp &=    x_{52}  b^\perp + k_b^\perp, 
    \\
    k_2^+ &= (1-x_{52}) b^+, &
    x_2   &= (1-x_{52}) x_b, &
    k_2^\perp &= (1-x_{52}) b^\perp - k_b^\perp.  
  \end{aligned}
\end{gather}

Wyliczając masę niezmienniczą kwarków w~hybrydzie i~w~wierzchołku
oddziaływania odpowiedzialnym za rozpad hybrydy, dostajemy
\begin{equation}
  \label{eq:M12s}
  \begin{split}
    {\cal M}^2_{12} &= (x_1 + x_2)
    \left[
      \frac{k_1^{\perp \, 2} + m^2_q}{x_1} +
      \frac{k_2^{\perp \, 2} + m^2_q}{x_2}
    \right] 
    - 
    (k_1^\perp + k_2^\perp)^2  \, ,
  \end{split}
\end{equation}
oraz
\begin{equation}
  \label{eq:M54s}
  \begin{split}
    {\cal M}^2_{54} &= (x_5 + x_4)
    \left[
      \frac{k_5^{\perp \, 2} + m^2_q}{x_5} +
      \frac{k_4^{\perp \, 2} + m^2_q}{x_4}
    \right] 
    -
    (k_5^\perp + k_4^\perp)^2 \, .
  \end{split}
\end{equation}

Trójwektory pędu względnego: $\vec k_{12}$ dla mezonów, oraz $\vec k_{hq}$ i
$\vec k_{hg}$ dla hybrydy są zdefiniowane przy użyciu następującego warunku:
\begin{subequations}
  \label{eq:qvec:def}
  \begin{align}
    \label{eq:qvec:def:M_12^2}
    \left(\sqrt{\vec{k}^2 + m_1^2} + \sqrt{\vec{k}^2 + m_2^2}\: \right)^2
    &= 
    \frac{\kappa^2 + m_1^2}{x} + \frac{\kappa^2 + m_2^2}{1 - x}
    = \mathcal{M}^2 \, ,
    \\
    \label{eq:qvec:def:perp}
    \vec{k}^\perp 
    &= 
    \kappa \, .
  \end{align}
\end{subequations}
Dla $m_1 = m_2 = m$, otrzymujemy
\begin{subequations}
  \label{eq:qvec:def:simpl}
  \begin{align}
    \label{eq:qvec:def:M_12^2:simpl}
    4 \left(\vec{k}^2 + m^2\right)
    &= 
    \frac{\kappa^2 + m^2}{x (1 - x)}
    = \mathcal{M}^2 \, ,
    \\
    \label{eq:qvec:def:perp:simpl}
    \vec{k}^\perp 
    &= 
    \kappa \, .
  \end{align}
\end{subequations}

W~części $A$ amplitudy rozpadu, uzyskujemy
\begin{equation}
  \label{eq:A:kqs}
  \vec{k}^{\,2}_q = {\cal M}^2_{12}/4 - m_q^2 \; ,
\end{equation}
oraz
\begin{equation}
  \label{eq:A:kgs}
  \vec{k}^{\, 2}_g = 
  \frac{
    \left[{\cal M}^2_{123} - \left({\cal M}_{12} + m_g \right)^2\right]   
    \left[{\cal M}^2_{123} - \left({\cal M}_{12} - m_g \right)^2\right]
  }{
    4{\cal M}^2_{123} 
  } \; ,
\end{equation}
gdzie
\begin{equation}
  \label{eq:M123s}
  \begin{split}
    {\cal M}^2_{123} 
    &=
    \frac{k_1^{\perp \, 2} + m^2_q}{x_1} + 
    \frac{k_2^{\perp \, 2} + m^2_q}{x_2} 
    + 
    \frac{(k_1 + k_2)^{\perp \, 2} + m^2_g}{1 - x_1 - x_2}  
    - (k_1 + k_2 + k_3)^{\perp \, 2} \; . 
  \end{split}
\end{equation}  
Podobnie w~części $B$:
\begin{equation}
  \label{eq:B:kqs}
  \vec{k}^{\,2}_q = {\cal M}^2_{54}/4 - m_q^2 \; ,
\end{equation}
oraz
\begin{equation}
  \label{eq:B:kgs}
  \vec k^{\,2}_g = 
  \frac{
    \left[{\cal M}^2_{543} - \left({\cal M}_{54} + m_g \right)^2\right]   
    \left[{\cal M}^2_{543} - \left({\cal M}_{54} - m_g \right)^2\right]
  }{
    4{\cal M}^2_{543} 
  } \; ,
\end{equation}
gdzie
\begin{equation}
  \label{eq:M543s}
  \begin{split}
    {\cal M}^2_{543} 
    &=
    \frac{k_5^{\perp \, 2} + m^2_q}{x_5} + 
    \frac{k_4^{\perp \, 2} + m^2_q}{x_4} 
    + 
    \frac{(k_5 + k_4)^{\perp \, 2} + m^2_g}{1 - x_5 - x_4}  
    - (k_5 + k_4 + k_3)^{\perp \, 2} \; . 
  \end{split}
\end{equation}  

\clearpage
\section{Wybrane przykłady analizy rozpadu hybrydy}
\label{sec:hybrid-decay-examples}\label{sec:examples}

Ten przypis przestawia przykłady numerycznych dowodów które
zgromadziliśmy dla wszystkich studiowanych przypadków (wiele więcej
niż podane tutaj).  Wykresy wskazują jak oszacowania stopnia łamania
symetrii obrotowej: ,,stddev'' (odchylenie standardowe) oraz
,,maxdev'' (maksymalna wartość bezwzględna odchylenia), oba w~stosunku
do amplitudy uśrednionej po kącie $\theta$, zmieniają się w~okolicach
globalnego minimum gdy zmieniamy tylko jeden z~parametrów funkcji
falowych lub szerokość efektywnego hamiltonianu $\lambda$.  Zmieniany
parametr pokazany jest na osi poziomej, zaś oszacowanie odstępstwa od
symetrii na osi pionowej, ,,stddev'' na osi po prawej stronie
(wykreślone za pomocą czarnych kwadratów), ,,maxdev'' po lewej stronie
(wykreślone za pomocą okręgów).

Przykład ten ilustruje dominującą cechę, to jest że parametry $\beta_{hq}$
i~$\lambda$ są silnie ze sobą skorelowane i~dużo większe niż pozostałe
parametry.  Przykład ten ilustruje nasze uzasadnienie dla wniosku, że
parametry $\beta_{hq}$ i $\lambda$ muszą oba być większe niż wszystkie
pozostałe parametry: minimum w~tych parametrach wygląda jak szeroka
dolina otwarta w~kierunku wysokich wartości tych parametrów.  Pozostałe cztery
przykłady pokazują przypadki z~różnymi czynnikami spinowymi, zawsze
dla $N=1$.

\begin{figure*}[p]
  \centering
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev-ASA-devsqrp-limited-1.scan-mass_q.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev-ASA-devsqrp-limited-1.scan-mass_g.eps}\\
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_p.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_b.eps}\\
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_hg.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_hq.eps}\\
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev-ASA-devsqrp-limited-1.scan-lambda.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=45 0 -40 0]{uev-ASA-devsqrp-limited-1.eps}%%
  %%
  \caption{\label{fig:ASA:uev}\label{fig:ASA:a}\label{fig:scanmin:first}
    %%
    Zmiana stopnia łamania symetrii obrotowej jako funkcja parametrów
    funkcji falowych dla przypadku a) na
    wykresie~\ref{fig:ASA:devsqrp-1},
    tzn. dla $S_h = \bar{u}\slashed{\eps} v$, z~czynnikami $N \neq 1$,
    rozpad na dwa skalarne mezony $J^{PC} = 0^{++}$.
    %%
    Optymalne wartości parametrów są dane w~pierwszej kolumnie
    tabeli~\ref{tab:ASA:devsqrp-1}. 
    %%
    Strzałka oznaczona ,,ASA'' wskazuje optymalne wartości
    parametrów.  Ostatni wykres pokazuje amplitudę rozpadu dla
    parametrów z~minimum.}
\end{figure*}
\begin{figure*}[p]
  \centering
  %% 
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-mass_q.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-mass_g.eps}\\
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_p.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_b.eps}\\
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_hg.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_hq.eps}\\
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-lambda.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=45 0 -40 0]{uev-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.eps}
  %% 
  \caption{\label{fig:ASA:uev-nofxx}\label{fig:ASA:b}
    Jak na rysunku~\ref{fig:ASA:uev}, ale z~czynnikami $N = 1$,
    jak dla przypadku b) na wykresie~\ref{fig:ASA:devsqrp-1},
    %%
    tzn. $S_h = \bar{u}\slashed{\eps} v$, $N = 1$, 
    rozpad na $J^{PC} = 0^{++}$.
    %%
    Optymalne wartości parametrów są dane w~drugiej kolumnie
    tabeli~\ref{tab:ASA:devsqrp-1}.}
\end{figure*}
\begin{figure*}[p]
  \centering
  %% 
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-mass_q.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-mass_g.eps}\\
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_p.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_b.eps}\\
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_hg.eps}
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_hq.eps}\\%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{uev_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-lambda.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=45 0 -40 0]{uev_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.eps}%%
  %% 
  \caption{\label{fig:scan:uev_m5-nofxx}\label{fig:scan:ASA:u5v:b}
    Jak na rysunku~\ref{fig:ASA:uev-nofxx}, ale rozpad na dwa
    pseudoskalarne mezony $J^{PC} = 0^{-+}$,
    jak dla przypadku b) na wykresie~\ref{fig:ASA:u5v:devsqrp-1},
    %%
    tzn. $S_h = \bar{u}\slashed{\eps} v$, $N = 1$, 
    rozpad na $J^{PC} = 0^{-+}$.
    %%
    Optymalne wartości parametrów są dane w~drugiej kolumnie
    tabeli~\ref{tab:ASA:u5v:devsqrp-1}.}
\end{figure*}
\begin{figure*}[p]
  \centering
  %% 
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{qqE_P123-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-mass_q.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{qqE_P123-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-mass_g.eps}\\
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{qqE_P123-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_p.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{qqE_P123-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_b.eps}\\
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{qqE_P123-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_hg.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{qqE_P123-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_hq.eps}\\
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{qqE_P123-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-lambda.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=45 0 -40 0]{qqE_P123-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.eps}%%
  %% 
  \caption{\label{fig:ugpv-nofxx}\label{fig:ASA:uGPv:f}%%
    Jak na rysunku~\ref{fig:ASA:uev-nofxx}, ale dla czynnika
    spinorowego hybrydy danym wzorem $S_h = \bar{u} \tilde{G} \tilde{P} v$,
    jak dla przypadku f) na wykresie~\ref{fig:ASA:uGPv:devsqrp-1},
    %%
    tzn. $S_h = \bar{u} \tilde{G} \tilde{P} v$, $N = 1$, 
    rozpad na $J^{PC} = 0^{++}$.
    %%
    Optymalne wartości parametrów są dane w~szóstej kolumnie
    tabeli~\ref{tab:ASA:uGPv:devsqrp-1}.}
\end{figure*}
%% 
\begin{figure*}[p]
  \centering
  %% 
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{qqE_P123_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-mass_q.eps}
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{qqE_P123_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-mass_g.eps}\\
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{qqE_P123_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_p.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{qqE_P123_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_b.eps}\\
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{qqE_P123_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_hg.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{qqE_P123_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-beta_hq.eps}\\
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=5 0 0 0]{qqE_P123_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.scan-lambda.eps}%%
  \includegraphics[scale=\scanscale, trim=45 0 -40 0]{qqE_P123_m5-nofxx-ASA-devsqrp-limited-1.eps}%%
  %% 
  \caption{\label{fig:ugpv_m5-nofxx}\label{fig:ASA:uGPv_m5:f}%%
    Jak na rysunku~\ref{fig:scan:uev_m5-nofxx}, ale dla czynnika
    spinorowego hybrydy danym wzorem $S_h = \bar{u} \tilde{G} \tilde{P} v$,
    jak dla przypadku f) na wykresie~\ref{fig:ASA:uGPv_m5:devsqrp-1},
    %%
    tzn. $S_h = \bar{u} \tilde{G} \tilde{P} v$, $N = 1$, 
    rozpad na $J^{PC} = 0^{-+}$.
    %% 
    Optymalne wartości parametrów są dane w~szóstej kolumnie
    tabeli~\ref{tab:ASA:uGPv_m5:devsqrp-1}.}
\end{figure*}

\clearpage
\section[Ściśle rozwiązywalny model mieszania]
{Szczegóły rozwiązania ściśle rozwiązywalnego modelu
  separowalnego mieszania}

Oznaczenia (pojawiają się przy wyjaśnianiu postaci modelu, a~wynikają z~jego
rozwiązywania i~analizy):
\begin{align}
  \label{eq:app:ozn:I_hh}
  I_{hh} &= m^{2-d} \int [k]\, \frac{h^2(k)}{4(k^2 + m^2) - M^2} \\
  \label{eq:app:ozn:I_ff}
  I_{ff} &= m^{2-d} \int [k]\, \frac{f^2(k)}{4(k^2 + m^2) - M^2} \\
  \label{eq:app:ozn:I_fh}
  I_{fh} &= m^{2-d} \int [k]\, \frac{f(k) h(k)}{4(k^2 + m^2) - M^2} \\[0.1 ex]
  %%
  \label{eq:app:ozn:MM}
    \MM^2 &= 4 m^2 - M^2 \\
  \label{eq:app:ozn:kk}
  4 \kk^2 &= 4 m^2 - M^2 \\[0.1ex]
  %%
  \label{eq:app:ozn:H}
  H &= \int [k]\, h(k) \psi(k) \\
  \label{eq:app:ozn:F}
  F &= \int [k]\, f(k) \psi(k) \\[0.1ex]
  %%
  \label{eq:app:ozn:xi}
  \xi &= \frac{g^2\, m_Y^2}{m_g^2 - M^2} \\
  \label{eq:app:ozn:xi_0}
  \xi_{0}  &= \frac{g^2\, m_Y^2}{m_g^2}  \\
  \label{eq:app:ozn:xi_2m}
  \xi_{2m} &= \frac{g^2\, m_Y^2}{m_g^2 - 4 m^2} 
\end{align}
$\MM$ można nazwać ,,energią wiązania'', zaś $\kk$ ,,pędem
charakterystycznym''.  

Zakładamy, że $m_g \geq 2 m \geq M$ (jak w~przypadku wyników dla opracowanego
modelu rozpadu hybrydy), zatem $\xi \geq 0$; mamy także $\alpha \geq 0$.  
W~powyższych oznaczeniach mamy $I_{xx} > 0$ dla $M \in [0, 2 m]$, przy czym
$I_{hh}$ zależy tylko od stosunku $\rho/m$ (i~odpowiednio dla pozostałych
całek).

Całkowanie uwzględnia także całkę po kątach; gdy funkcje nie zależą od kątów
(jak zakładamy) dostajemy dodatkowo powierzchnię sfery $d$--wymiarowej.
\begin{subequations}
\label{eq:app:[k]}
\renewcommand{\theequation}{\theparentequation-\arabic{equation}}
\begin{align}
  \label{eq:app:[k]:d=1}
  [k] &= dk               &\text{dla $d=1$} \\
  \label{eq:app:[k]:d=2}
  [k] &= 2 \pi\,k\, dk    &\text{dla $d=2$} \\
  \label{eq:app:[k]:d=3}
  [k] &= 4 \pi\,k^2\, dk  &\text{dla $d=3$}
\end{align}
\end{subequations}

Hamiltonian opracowanego modelu zapisany za pomocą operatorów kreacji
i~anihilacji oraz stanu próżni ma postać:
\begin{equation}
  \label{eq:app:H:oper-d}
  \begin{split}
    H &= 
    \int [k]\, a^\dag_k \fhc{a}_k \, 4(m^2 + k^2)
    + \frac{g m_Y}{m_{\xi}^{d-2}} \int [k]\, f(k) \bigl(a^\dag_k + \fhc{a}_k\bigr) \\
    &\null -
    \frac{\alpha}{m_{\alpha}^{d-2}} \int [k k']\, h(k) h(k')\, a^\dag_k \fhc{a}_{k'}
    + m_g^2 \lvert 0 \rangle \langle 0 \rvert
  \end{split}
\end{equation}
Dodanie $m_Y$ do członu mieszania jest potrzebne aby wymiary (masowe)
zgadzały się.  Dla uproszczenia możemy założyć że $m_{\alpha} =
m_{\xi} = m$.  Wtedy całki $I_{hh}$ zależą tylko od stosunku $\rho/m$.

Stan który badamy
\begin{equation}
  \label{eq:app:psi:state}
  \lvert \Psi \rangle = \phi \lvert 0 \rangle 
  + \int [k]\, \psi(k) a^\dag_k \lvert 0 \rangle 
\end{equation}

Równanie własne dla przestrzeni ograniczonej do powyższego stanu:
\begin{equation}
  \label{eq:app:H-eig:eqn}
  \left\{
    \begin{aligned}
      4(m^2 + k^2)\psi(k) - \alpha' \int [k'] h(k) h(k') \psi(k')  +  g' m_Y f(k) \phi  &=  M^2 \psi(k) \\
      g' m_Y \int [k'] f(k') \psi(k')                              +  m_g^2 \phi        &=  M^2 \phi
    \end{aligned}
  \right.
\end{equation}

Równanie na $\phi$
\begin{equation}
  \label{eq:app:phi-sol:f!=h}
  \phi = - \frac{g'\, m_Y}{m_g^2 - M^2} \int [k'] f(k') \psi(k')
\end{equation}
Równanie na $\psi(k)$
\begin{equation}
  \label{eq:app:psi-sol:f!=h}
  \begin{split}
    \psi(k) = \frac{1}{4(k^2 + m^2) - M^2}
    \Biggl[
      \alpha' 
      &h(k) \int [k'] h(k') \psi(k') + \null \\
      \null +
      \frac{g'^2\, m_Y^2}{m_g^2 - M^2}
      &f(k) \int [k'] f(k') \psi(k')
    \Biggr]
  \end{split}
\end{equation}
sprowadza się do
\begin{subequations}
\label{eq:app:H+F-eq}
\begin{align}
  \label{eq:app:H-eq}
  H &= \alpha H I_{hh} + \xi F I_{fh} \\
  \label{eq:app:F-eq}
  F &= \alpha H I_{fh} + \xi F I_{ff} 
\end{align}
\end{subequations}
Wymaganie by $F$ i~$H$ były skończone sprowadza się do równania
\begin{equation}
  \label{eq:app:M-eq:app:f!=h}
  1 = \alpha I_{hh} + \xi I_{ff} - \alpha \xi (I_{ff} I_{hh} - I_{fh}^2) 
\end{equation}
Jest to równanie własne na $M$.

Rozwiązanie na $\psi(k)$ można zapisać za pomocą jednego z~czterech
poniższych wzorów, które są równoważne dla $M^2$ spełniającego równanie
własne~\eqref{eq:app:M-eq:app:f!=h}):
\begin{subequations}
\label{eq:app:psi-fin:f!=h:1-4}
\begin{align}
  \label{eq:app:psi-fin:f!=h:1}
  \psi(k) &= 
  \left[\alpha h(k) +
    \xi \frac{1 - \alpha I_{hh}}{\xi I_{fh}} f(k)
  \right]
  \frac{H}{4(k^2 + m^2) - M^2}\,
  \\
  \label{eq:app:psi-fin:f!=h:2}
  &= 
  \left[\alpha h(k) +
    \xi \frac{\alpha I_{fh}}{1 - \xi I_{ff}} f(k)
  \right]
  \frac{H}{4(k^2 + m^2) - M^2}\,
  \\[0.1ex]
  \label{eq:app:psi-fin:f!=h:3}
  &= 
  \left[\alpha \frac{1 - \xi I_{ff}}{\alpha I_{fh}} h(k) +
    \xi f(k)
  \right]
  \frac{F}{4(k^2 + m^2) - M^2}\,
  \\
  \label{eq:app:psi-fin:f!=h:4}
  &= 
  \left[\alpha \frac{\xi I_{fh}}{1 - \alpha I_{hh}} h(k) +
    \xi f(k)
  \right]
  \frac{F}{4(k^2 + m^2) - M^2}\,.
\end{align}
\end{subequations}

Zależności~\eqref{eq:app:psi-fin:f!=h:1-4} można przedstawić
w~następującej postaci
\begin{equation}
\label{eq:app:psi(k):ozn}
  \psi(k) = 
  \left[h_c h(k) + f_c f(k)
  \right]
  \frac{C}{4(k^2 + m^2) - M^2}\,,
\end{equation}

\clearpage

\section[Wyliczanie $h^{(2)}_{k,l}$]{Wyliczanie elementów macierzowych
  $h^{(2)}_{k,l}$ operatora $\hat{k}^2$ w~bazie stanów własnych
  jednowymiarowego oscylatora harmonicznego}
\label{sec:h2_kl}

Wprowadźmy oznaczenie $\psi^{\text{osc}}_n(z)$ na funkcję falową stanu
własnego jednowymiarowego kwantowego oscylatora harmonicznego
o~jednostkowej szerokości:
\begin{equation}
  \label{eq:psi_osc}
  \psi^{\text{osc}}_n(z) = \frac{H_n(z) e^{-z^2 / 2}}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} \;.
\end{equation}
$H_n(x)$ oznacza tutaj wielomian Hermite'a $n$--tego rzędu.

Wielomiany Hermite'a można zdefiniować za pomocą następującej
wykładniczej funkcji tworzącej:
\begin{equation}
  \label{eq:H_n:genfunc}
  \exp\left( 2 x t - t^2 \right) 
  \equiv
  \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n(x) t^n}{n!}
\end{equation}

Elementy macierzowe $h^{(2)}_{k,l}$ operatora $\hat{k}^2$ w~bazie
stanów własnych jednowymiarowego oscylatora harmonicznego
przedstawiają się w~postaci następującej całki:
\begin{equation}
  \label{eq:h2_kl:int}
  \begin{split}
     h^{(2)}_{k,l} 
     &= \int_{-\infty}^{\infty} dz z^2 \; \text{osc}_k(z) \text{osc}_l(z) = \\
     &= \int_{-\infty}^{\infty} dz z^2 \; e^{-z^2} \, N_k H_k(z) \, N_l H_l(z) \;,
  \end{split}
\end{equation}
gdzie
\begin{equation}
  \label{eq:N_k}
  N_k = \left( 2^n n! \sqrt{\pi} \right)^{-1/2}
\end{equation}
jest czynnikiem normalizującym dla wielomianów Hermite'a, jak we
wzorze~\eqref{eq:psi_osc}.  

Wprowadźmy oznaczenie $\tilde{h}^{(2)}_{k,l}$ na analogiczną
do~\eqref{eq:h2_kl:int} całkę dla nieznormalizowanych $H_n(z)$:
\begin{equation}
  \label{eq:H2_kl:int}
  \tilde{h}^{(2)}_{k,l} 
  = \int_{-\infty}^{\infty} dz z^2 \; e^{-z^2} \, H_k(z) \, H_l(z) \;,
\end{equation}

Do znalezienia wzoru na $\tilde{h}^{(2)}_{k,l}$, a~zatem i~na
$h^{(2)}_{k,l}$, dogodnie jest wprowadzić następująca funkcję
tworzącą:
\begin{equation}
  \label{eq:J_2(s,t):def}
  J_2(s,t) = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{l=0}^{\infty}
  \left( \int_{-\infty}^{\infty} dz z^2 \; e^{-z^2} \, H_k(z) \, H_l(z) \right)
  \frac{t^k}{k!} \, \frac{s^l}{l!} \;.
\end{equation}
Zamieniając kolejność sumowania i~całkowania oraz korzystając
z~rozwinięcia funkcji tworzącej~\eqref{eq:H_n:genfunc} dostajemy, że
\begin{equation}
  \label{eq:J_2(s,t):sol}
  \begin{split}
    J_2(s,t) 
    &=
    \int_{-\infty}^{\infty} dz z^2 e^{2 z t - t^2} e^{2 z s - s^2} \\
    &=
    \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{2 s t} \bigl( 1 + 2(s + t)^2 \bigr)
  \end{split}
\end{equation}
Porównując rozwinięcie prawej strony związku~\eqref{eq:J_2(s,t):sol}
i~przyrównania jej do~\eqref{eq:J_2(s,t):def}, dostajemy następujący wzór na
$h^{(2)}_{k,l}$:
\begin{equation}
  \label{eq:h2_kl:sol}
  h^{(2)}_{k,l} 
  = \frac{1}{2} (1 + 2 k) \delta_{k,l}
  + \frac{1}{2}\sqrt{k (k+1)} \left[ \delta_{k-1,k+1} + \delta_{k+1,k-1} \right] \;.
\end{equation}


\clearpage
\section[Szczegóły obliczeniowe mieszania
 $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
 z~$|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$] 
{Szczegóły obliczeniowe wyliczania mieszania stanu trójcząstkowego
  $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ ze stanem
  dwucząstkowym $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ lub
  $|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$}
\label{sec:mixing-momenta}

%% Diagram(y)
\begin{figure}[!tbp]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.83,trim=-10  -30  -10  -20,clip=true]{mix-momenta.eps}
  \hfill
  \includegraphics[scale=0.83,trim=-10  -30  -10  -20,clip=true]{mix_Gg-momenta.eps}
  \caption{Mieszanie stanu $|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ ze
    stanem $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ (po lewej) lub ze stanem
    $|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$ (po prawej).}
  \label{fig:qqg-mix-gg,Gg}
\end{figure}


%% Element macierzowy
Elementy macierzowe członu mieszania pomiędzy stanem kwark--antykwark--gluon
$|q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ o~liczbach kwantowych
$n_{hq}$,$n_{hg}$, oraz stanem gluon--gluon $|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$
lub stanem gluon--rezonans oktetowy $|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$,
można przedstawić w~następującej postaci
\begin{equation}
  \label{eq:mix:H_nn,n-mixing}
  \begin{split}
    H_{n_{hq}n_{hg},n_{gg}} &=
    g_{\lambda} \int [x_{12} x_3] 
    f_{\lambda}(x_{12}, x_3) 
    \phi^h_{n_{hq}n_{hg}}(x_{12}, x_3)
    \phi^g_{n_{gg}}(x_4(x_{12}, x_3)) \frac{1}{x_4} \,.
    \\ 
    &=
    g_{\lambda} \int [k_{hq} k_{hg}] 
    f_{\lambda}(k_{hq},k_{hg}) 
    \phi^h_{n_{hq}n_{hg}}(k_{hq},k_{hg})
    \phi^g_{n_{gg}}(k_{gg}) / (1 - x_3) \,.
  \end{split}
\end{equation}
We wzorze tym $[k_{hq} k_{hg}]$ oznacza niezmienniczą miarę całkowania po pędach
względnych w~stanie kwark--antykwark--gluon,
%%
$\phi_{n_{hq}n_{hg}}$ i~$\phi_{n_{gg}}$ jest odpowiednio funkcją falową bazy
w~sektorze $q_{\lambda}\bar{q}_{\lambda}g_{\lambda}$ i~w~sektorze
$g_{\lambda}g_{\lambda}$ lub $g_{\lambda}G_{h\lambda}$,
zaś $f_{\lambda}$ jest czynnikiem podobieństwa grupy
renormalizacji i~zawiera dodatkowe czynniki zależne od pędu związane m.in.
z~redukcją wymiarów z~trzech do jednego.  Wzory na $k_{gg}$ oraz
$x_3$ wyrażone za pomocą $k_{hq}$ i~$k_{hg}$ zostały przedstawione
dalej.

Równanie~\eqref{eq:mix:H_nn,n-mixing} przedstawione jest dla uproszczonego
przypadku modelu jednowymiarowego; dla pełnego przypadku trójwymiarowego wzór na
element mieszania stanów w~różnych sektorach wygląda podobnie, ale elementy
bazy charakteryzują się odpowiednio 6 i~3 liczbami kwantowymi, a~nie 2 i~1.

%% Miara całkowania
Niezmiennicza miara całkowania $[k_{hq} k_{hg}]$ (jedna z~możliwości wyboru
zmiennych całkowania) przedstawia się wzorem analogicznym do
wzoru~\eqref{eq:dvkqdvkg} na miarę całkowania w~hybrydzie dla rozpadu hybrydy
% \begin{equation}
%   \label{eq:mix:dvkqdvkg:d=3}
%   \prod_{i=1}^3 \frac{dk^+_i d^2k^\perp_i}{16\pi^3 k^+_i} 
%   = 
%   \frac{4 d^3\!k_{hq}}{2 (2 \pi)^3 \mathcal{M}_{12}}
%   \frac{  d^3\!k_{hg} \mathcal{M}_{123}}%%
%   {2 (2 \pi)^3 \sqrt{k_{hg}^2 + m_g^2} \,
%                \sqrt{k_{hg}^2 + \mathcal{M}_{12}^2}} \; .
% \end{equation}
\begin{equation}
  \label{eq:mix:dvkqdvkg:d=1}
  \int [k_{hq} k_{hg}] 
  = 
  \frac{4 d\!k_{hq}}{2 (2 \pi) \mathcal{M}_{12}}
  \frac{  d\!k_{hg} \mathcal{M}_{123}}%%
  {2 (2 \pi) \sqrt{k_{hg}^2 + m_g^2} \,
             \sqrt{k_{hg}^2 + \mathcal{M}_{12}^2}} \; .
\end{equation}

Wszystkie pędy obliczone zostały na froncie świetlnym (LF), korzystając
z~następującego zapisu na pędy względne $k$:
\begin{equation}
  \label{eq:mix:k_xx}
  \sqrt{k^2 + m_1^2} + \sqrt{k^2 + m_2^2} = \mathcal{M}\,,
\end{equation}
gdzie $k$ jest pędem względnym dwu cząstek o~masach $m_1$ i~$m_2$ o~całkowitej
masie niezmienniczej $\mathcal{M}$.

%% Pędy Jacobiego w~hybrydzie vs. notacja k_{hq}, k_{hg}
Wyliczając masę niezmienniczą kwarków w~stanie kwark--antykwark--gluon, oraz
masę niezmienniczą całego układu, dostajemy
\begin{align}
  \label{eq:mix:M12}
  \mathcal{M}_{12}  &= 2 \sqrt{k_{hq}^2 + m_q^2}\,, \\
  \label{eq:mix:M123}
  \mathcal{M}_{123} &= \sqrt{k_{hg}^2 + m_g^2} + \sqrt{k_{hg}^2 + \mathcal{M}_{12}^2}\,.
\end{align}
Dla pędów względnych w~stanie kwark--antykwark--gluon zachodzą następujące
związki:
\begin{align}
  \label{eq:mix:x12}
  x_{12} &= \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{k_{hq}}{\sqrt{k_{hq}^2 + m_q^2}} \right]\,, \\
  \label{eq:mix:x3}
  x_3    &= \frac{k_{hg} + \sqrt{k_{hg}^2 + m_g^2}}{\mathcal{M}_{123}}\,.
\end{align}

%% Pędy w~gg/gG
Z~zachowania pędów frontowych w~wierzchołku mieszania, tzn. w~wierzchołku
rozpadu gluonu lub rezonansu oktetowego na parę kwark--antykwark, dostajemy
następujące wyrażenie na masę niezmienniczą układu dwucząstkowego
$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ lub $|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$
\begin{subequations}
\label{eq:mix:M43s}
\begin{align}
  \label{eq:mix:M43s:d=3}
  \mathcal{M}_{43}^2 
  &= \frac{\kappa_{43}^{\perp\,2} + m_g^2}{x_3 (1 - x_3)} 
  &&\text{d = 3} \\
  \label{eq:mix:M43s:d=1}
  &= \frac{m_g^2}{x_3 (1 - x_3)} 
  &&\text{d = 1} 
\end{align}
\end{subequations}
Wektor pędu względnego $k_{gg}$ dany jest
\begin{equation}
  \label{eq:mix:kgg}
  k_{gg} = \left( x_3 - \frac{1}{2} \right) \mathcal{M}_{43} \,.
\end{equation}

%% Stany bazy qqg i~gg/gG
Funkcja falowa stanu bazowego oscylatora harmonicznego o~liczbie kwantowej
$n_{gg}$ dana jest wzorem
\begin{equation}
  \label{eq:mix:phi_ngg}
  \phi^g_{n_{gg}}(k_{gg}) =
  \mathcal{N}_{n_{gg}} \,
  H_{n_{gg}}\left(\frac{k_{gg}}{\beta_{gg}}\right)
  \exp\left[-\frac{k_{gg}^2}{2 \beta_{gg}^2}\right] \,,
\end{equation}
gdzie $H_{n}$ jest $n$--tym wielomianem Hermite'a.  Wzór~\eqref{eq:mix:phi_ngg}
jest podobny do wzoru na funkcje falową mezonu~\eqref{eq:psi_p} przy obliczaniu
rozpadu hybrydy; dla analizy dynamicznego mieszania zakładamy, że możliwy do
dodania ekstra czynnik normalizacji $N_{m}$ związany z~miarą całkowania jest
równy 1 (przypadek oznaczany $N=1$ w~analizie rozpadu hybrydy).

Funkcja falowa stanu bazowego w~sektorze kwark--antykwark--gluon o~liczbach
kwantowych $n_{hq}$, $n_{hg}$ dana jest wzorem
\begin{equation}
  \label{eq:mix:phi_nhq,nhg}
  \begin{split}
    \phi^h_{n_{hq}, n_{hg}}(k_{hq}, k_{hg}) &= 
    \mathcal{N}_{n_{hq}} 
    H_{n_{hq}}\left(\frac{k_{hq}}{\beta_{hq}}\right)
    \exp\left[-\frac{k_{hq}^2}{2 \beta_{hq}^2}\right] \\
    &\null\times
    \mathcal{N}_{n_{hg}} 
    H_{n_{hg}}\left(\frac{k_{hg}}{\beta_{hg}}\right)
    \exp\left[-\frac{k_{hg}^2}{2 \beta_{hg}^2}\right] 
  \end{split}
\end{equation}

W~obliczeniach zakładano dominację stanu $n_{gg} = 0$ w~sektorze 
$|g_{\lambda}g_{\lambda}\rangle$ / $|g_{\lambda}G_{h\lambda}\rangle$ .


\clearpage
\section{Spis treści załączonego CD-ROM}
\label{sec:CD-ROM}

Na załączonej do tej pracy płytce CD-ROM znajdują się:
\begin{itemize}
\item Źródła do tej pracy w~\LaTeX-u, bibliografia i~plik stylu do tworzenia
  bibliografii oraz wersja gotowa do wydruku w~Postscripcie i~w~PDF.
  Wszystko to znajduje się w~głównym katalogu płytki.

\item Niestandardowe pakiety \LaTeX-owe wymagane do kompilacji źródeł
  znajdują się w~podkatalogu \texttt{texmf/}.  Należy zapewnić, że \LaTeX,
  Metapost / Metafont i~Bib\TeX znajdą je, przez odpowiednią modyfikację
  zmiennych środowiskowych \texttt{TEXINPUTS}, \texttt{MPINPUTS},
  \texttt{BSTINPUTS} aby z~nich korzystać.

\item Rysunki do pracy (w~formacie EPS) znajdują się w~podkatalogu
  \texttt{rysunki/}.

\item Dane do rysunków (pliki \texttt{*.dat}) i~pliki z~poleceniami dla
  programu Gnuplot służące do wygenerowania w.w. rysunków znajdują się
  w~podkatalogu \texttt{dane/}.

\item Programy które posłużyły do wygenerowania danych znajdują się
  w~katalogu \texttt{programy/}, w~podkatalogu \texttt{rozpad-hybrydy/}
  program do wyliczania amplitudy rozpadu (i~programy testowe),
  a~w~podkatalogu \texttt{mieszanie/} znajdują się programy służące do
  rozwiązania zagadnienia mieszania.  

\item Katalog \texttt{lib/} zawiera dodatkowe, zewnętrzne biblioteki
  potrzebne do skompilowania programu.
\end{itemize}


\end{document}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
