%& --translate-file il2-t1
%% Local IspellDict: polish
\documentclass
[
12pt,      
a4paper,    % rozmiar papieru
%intlimits  % z amsmath
%titlepage  % strona tytu�owa
]
{article}
%{report}

%% P A C K A G E S

\usepackage[T1]{fontenc}         % (polskie) fonty w kodowaniu T1
%\usepackage[latin2]{inputenc}   % zast�pione przez mechanizm TCX (pierwsza linia)
\usepackage{polski}              % polskie nazwy jak Rozdzia� itp.
\usepackage{indentfirst}         % pierwszy akapit rozdzia�u wci�ty jak reszta
%\usepackage{subfigure}          % podrysunki

% UK�AD STRONY I PAGINA
%\usepackage{a4p}                % a4p z dina4p - rozmiar strony A4 (-> vmargin)
\usepackage{fancyhdr}            % do �ywej paginy

% GRAFIKA
% \usepackage{axodraw}           % diagramy Feynmanna i wykresy (nie u�ywane)
\usepackage{feynmp}              % automatycznie diagramy Feynmanna (METAPOST)
%\usepackage{epic,eepic}         % rozszerzenie mo�liwo�ci otoczenia picture
\usepackage{epsfig,epsf}         % do w��czania rysunk�w (EPS); DO POPRAWIENIA !!!
\usepackage{graphicx}            % do wstawiania obrazk�w PostScriptowych (tak�e EPS)

% DRAFT
\usepackage{syntonly}            % daje komend� \syntaxonly, dla sprawdzania sk�adni
\usepackage{comment}             % do robienia komentarzy w pliku
%\usepackage{showkeys,showtags}  % do pokazywania ref�w i labelek
%\usepackage[dvips]{changebar}   % oznaczanie za pomoc� kresek na marginesach

% dla lepszej obs�ugi b�ed�w przez AUCTeXa
% mozna spokojnie wyrzuci� je�li niepotrzebny
\usepackage{warn} 

% W�ASNE PAKIETY
\usepackage{renorm}              % komendy, skr�ty itp. W��cza troch� pakiet�w
\usepackage{kinematyka}          % kinematyka pojedynczej wymiany

%% P R E A M B L E %%

%\syntaxonly                     % bez produkowania plik�w wynikowych (szybciej)
\numberwithin{equation}{section} % numeryjemy r�wnania wewn�trz section
%\pagestyle{headings}            % pe�ne nag�owki i stopki
\pagestyle{fancy}                % pagina kontrolowana przez fancyhdr
\bibliographystyle{ieeetr}       % styl bibliografii (unsrt)

\hfuzz=5pt % linia musi wystawac wi�cej ni� 5 pt poza mrgines by si� tym martwi�
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}  % podw�jna interlinia 

% ROZMIAR STRONY
%\setlength{\topmargin}{-12mm}
%\setlength{\headheight}{0mm}
%\setlength{\headsep}{0mm}
%\setlength{\textwidth}{16 cm}
%\setlength{\textheight}{24 cm}
%\setlength{\oddsidemargin}{-0.51 cm} % -1.8 cm
%\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
%\setlength{\evensidemargin}{-5mm}

% �YWA PAGINA
\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markboth{\thesection.\ #1}{\thesection.\ #1}}
\renewcommand{\subsectionmark}[1]{\markright{\thesubsection.\ #1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}}
%\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markboth{\chaptername \ \thesection.\ #1}{}}
%\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{thesection\ #1}}
\fancyhf{} % usu� bie��ce ustawienia pagin
\fancyhead[LE,RO]{\small\bfseries\thepage}
\fancyhead[LO]{\small\bfseries\rightmark}
\fancyhead[RE]{\small\bfseries\leftmark}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.pt}
%\addtolength{\footheight}{0.5pt}  %pion odstep na kreske
\fancypagestyle{plain}{\fancyhead{}\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

% AMSMATH
%\allowdisplaybreaks[4]               % �amanie r�wna� na strony (1-4)

% FEYNMF
\fmfset{wiggly_len}{2 mm}

% DZIELENIE WYRAZ�W
%\hyphenation{czyn-ni-ki re-gu-la-tor} 

% ======================================================================

\newcommand{\dx}{d^3 \negthinspace x \medspace}

%% Komendy \fhc* (fake h.c.) zmodyfikowane by zostawiac takze
%% odstep poziomy (dla lepszego wyrownania wzorkow)
%% MODYFIKACJA: \phantom zamiast \vphantom

%% zachowujemy stare

\let\ffhc=\fhc
\let\ffhci=\fhci
\let\ffcc=\fci
\let\ffcci=\fcci

%% modyfikujemy

\renewcommand{\fhc}[1]{{#1}^{\phantom{\dagger}}}    
\renewcommand{\fhci}[2]{{#1}_{#2}^{\phantom{\dagger}}}
\renewcommand{\fcc}[1]{{#1}^{\phantom{\ast}}}       
\renewcommand{\fcci}[2]{{#1}_{#2}^{\phantom{\ast}}}       

% ======================================================================

\begin{document}


\begin{titlepage}
\begin{center}
  \hbox{}
  \vfill
  \vspace{1.cm}
%%{\large 
%%  Uniwersytet Warszawski \\
%%  Wydzia� Fizyki \\
%%  Instytut Fizyki Teoretycznej }\\
%%\vspace{2.cm}
  {\bfseries \huge 
    Hamiltonowski opis kwark�w efektywnych w~QCD }\\
%   \vspace{1.cm}       
%  {\bf \Huge z niskoenergetycznym �amaniem supersymetrii \proc} \\
   \vspace{1.cm}
  {\large 
    Jakub Nar�bski} \\
   \vspace{2.5 cm}
   %\includegraphics{uw.eps} \\
   \epsfig{file=uw.eps,width=4 cm}\\
%\psfig{file=orzelek.ps,width=.3 \linewidth}\\
   \vspace{3 cm}
   { \large 
     praca magisterska napisana pod kierunkiem \\
     {\bfseries dra hab. Stanis�awa G�azka} \\
     w Instytucie Fizyki Teoretycznej \\
     Uniwersytetu Warszawskiego} \\
   \vspace{1.cm}
   \large{Warszawa, 2000}
   \vfill
\end{center}
\end{titlepage}

% \title{Hamiltonowski opis kwark�w efektywnych w QCD.\\
%   Wersja do sprawdzania}
% \author{Jakub Nar�bski}
% \date{\today}
%
% \maketitle

\newpage

\thispagestyle{empty}

\hbox{}
\vfill
\begin{abstract}
  Wyra�amy w~drugim rz�dzie rachunku zaburze� hamiltonian QCD w~bazie
  cz�stek efektywnych, u�ywaj�c grupy renormalizacji przez
  podobie�stwo dla operator�w. Uzyskane cz�stki efektywne pozwalaj�
  opisywa� hadrony jako stany zwi�zane kilku kwark�w. Obliczamy
  efektywne masy kwark�w i~oddzia�ywania mi�dzy nimi w~przybli�eniu
  nierelatywistycznym (dla ci�kich kwark�w). Wykorzystuj�c mechanizm
  redukcji przestrzeni Focka do sektora kwark--antykwark zaproponowany
  w~pierwotnej wersji przez przez Perry'ego otrzymujemy logarytmiczny
  potencja� uwi�zienia. Wa�n� rol� pe�ni skracanie si� rozbie�no�ci
  w~obszarze ma�ych p�d�w pomi�dzy~efektywnymi masami fermion�w
  i~potencja�em, zapewniaj�ce ograniczenie przestrzeni stan�w
  fizycznych do stan�w b�d�cych singletami kolorowymi. Otrzymujemy
  kolorowe si�y van der Waalsa, kt�rych ilo�ciowe por�wnanie z~danymi
  do�wiadczalnymi wymaga rozwi�zania dynamiki efektywnej, co wychodzi
  poza zakres tej pracy.
\end{abstract}
\vspace{3.cm}
\vfill
\vfill
\hbox{}

\newpage
\cleardoublepage

\thispagestyle{empty}

\tableofcontents
\cleardoublepage

%% !!! Powinna by� pusta strona. Ale mo�na to osi�gn�� na etapie
%% !!! drukowania 
% \thispagestyle{empty}
% \mbox{strona do wyrzucenia}

% \cleardoublepage

%% !!! UWAGA !!! !!! UWAGA !!! !!! UWAGA !!!
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}  % podw�jna interlinia 

\section{Wst�p}
\label{sec:wstep}

%% ### Wst�p do wst�pu
%% !!! UWAGI: cz�stki efektywne te� wyliczamy t� metod�
Praca ta dotyczy metody opisu hadron�w za pomoc� kilku efektywnych
kwark�w. Transformacj� do kwark�w efektywnych oraz oddzia�ywania
mi�dzy nimi wyliczamy renormalizuj�c hamiltonian QCD za pomoc�
transformacji podobie�stwa. Wyniki por�wnujemy z~w�a�ciwo�ciami
fenomenologicznego modelu potencjalnego.

\smallskip

%% ### Przegl�d literatury
%% !!! TO DO:

%% ### QCD 
Fundamentaln� teori� oddzia�ywa� silnych jest chromodynamika kwantowa
(QCD), kwantowa teoria pola z~nieabelow� grup� cechowania.
Z~niezmienniczo�ci wzgl�dem cechowania wynika, �e gluony s� w~niej
bezmasowe.  Poniewa� efektywna sta�a sprz�enia maleje wraz ze
wzrostem przekazu p�du, za pomoc� rachunku zaburze� potrafimy opisywa�
procesy charakteryzuj�ce si� du�ymi przekazami p�du. Podstaw� opisu
hadron�w w~perturbacyjnej QCD jest model partonowy, w~kt�rym hadrony
opisuje si� za pomoc� wielkiej ilo�ci kwark�w i~gluon�w. Wzrost sta�ej
sprz�enia dla du�ych odleg�o�ci (rozmiary hadronu s� du�e) powoduje
produkcj� par kwark--antykwark oraz mi�kkich gluon�w, co wyklucza opis
hadron�w za pomoc� niewielkiej ilo�ci sk�adnik�w w~ramach kanonicznej
QCD. Struktura pr�ni jest skomplikowana. Hadrony w~QCD opisujemy jako
skomplikowan� struktur� sk�adaj�c� si� z~wielu cz�stek.

%% ### CQM 
W~modelu kwarkowym hadrony opisywane s� jako stany zwi�zane kilku
kwark�w sk�adnikowych. Powsta� on w~celu wyja�nienia systematyki
hadron�w, zanim powsta�a QCD, i~pos�uguje si� minimaln� ilo�ci�
cz�stek potrzebnych by opisa� niskoenergetyczne w�asno�ci hadron�w.
Kwarki w~tym modelu maj� du�e masy, rz�du po�owy masy mezon�w.
Oddzia�ywania mi�dzy kwarkami opisujemy za pomoc� danego \emph{ad hoc}
potencja�u, dobranego by da� uwi�zienie.  Struktur� kolorow�
potencja�u wybieramy zgodn� ze struktur� kolorow� wymiany pojedynczego
gluonu. Gluon�w w~tym modelu nie ma.  Przy ich uwzgl�dnianiu potrzeba
nada� im wysokie masy efektywne.  Model ten opisuje bardzo dobrze
zachowanie hadron�w przy niskich energiach.  Trudno jednak wprowadza�
do niego poprawki kwantowe, gdy� brakuje mu po��czenia z~teori�
fundamentaln�. Nie mo�emy stosowa� perturbacyjnej QCD do opisu stan�w
zwi�zanych, gdy� przy ma�ych energiach efektywna sta�a sprz�enia
staje si� bardzo du�a. M�wimy, �e pr�nia w~tym modelu jest trywialna,
gdy� nie ma potrzeby uwzgl�dniania efekt�w pr�niowych.
%% !!! UWAGI: troch� niezr�cznych sformu�owa�

%% ### EFF
Model kwark�w konstytuentnych podpowiada nam, �e opis za pomoc� kilku
cz�stek jest w~stanie dobrze opisywa� w�a�ciwo�ci hadron�w.  W~QCD
hadrony opisujemy jako stany zwi�zane wielu cz�stek. Musimy uwzgl�dni�
w~opisie wszystkie sektory Focka. Ponadto mamy skomplikowan� pr�ni�.
Trudno jest w~takim opisie wyznacza� w�asno�ci hadron�w. Powstaje
pytanie, jak to mo�liwe, �e QCD redukuje si� do modelu niewielu
oddzia�uj�cych cz�stek efektywnych. Do wyprowadzenia cz�stek
efektywnych i~oddzia�ywa� mi�dzy nimi w~QCD b�dziemy u�ywa� grupy
renormalizacji w~nowym uj�ciu\cite{Glazek:1997sd}.

%% ### LF
Aby dosta� prosty opis struktury hadron�w, podobny do tego w~modelu
kwark�w konstytuentnych, musimy odci�� si� od problemu pr�ni, by mie�
prosty stan podstawowy teorii. W~tym celu stosujemy kwantyzacj� na
froncie �wietlnym.  Dzi�ki temu, �e pod�u�na sk�adowa p�du jest
nieujemna, za� pr�nia musi mie� p�d ca�kowity r�wny zeru, proste
obci�cie $k^{+} > \delta^{+}$ wycina diagramy pr�niowe, czyni�c
pr�ni� trywialn�. Zale�no�� teorii od parametru $\delta$ obci�cia
p�d�w pod�u�nych mo�e prowadzi� do efekt�w, kt�re w~normalnym
sformu�owaniu wi��e si� z~w�asno�ciami pr�ni.

Za zastosowaniem dynamiki na froncie �wietlnym przemawia ponadto fakt,
�e pchni�cia Lorentza w~tym sformu�owaniu s� transformacjami
kinematycznymi, tzn. nie zale�� od oddzia�ywania. Dla modelu
partonowego naturalnym uk�adem odniesienia jest uk�ad niesko�czonego
p�du, kt�ry stosujemy w~rachunkach QCD.  Z kolei statyczne w�asno�ci
hadron�w zazwyczaj rozwa�amy w uk�adzie ich �rodka masy. Uk�ad �rodka
masy jest naturalnym uk�adem dla modelu kwarkowego. Niezmienniczo��
frontu �wietlnego wzgl�dem pchni�� pozwala po��czy� opis w~uk�adzie
�rodka masy z~opisem w~uk�adzie niesko�czonego p�du.
%% !!! UWAGI: niezr�czno�� je�li chodzi o ten model partonowy

%% ### H_eff i q_eff  
Naturalnym sposobem opisu stan�w zwi�zanych jest uj�cie
hamiltonowskie. Chcemy opisa� hadrony przy pomocy niewielkiej ilo�ci
cz�stek. R�wnanie w�asne daje stany zawieraj�ce niesko�czon� liczb�
sektor�w Focka, o~dowolnych energiach kinetycznych. Rozwi�zywanie
zagadnienia w�asnego gdy hamiltonian ��czy wiele stan�w o~dowolnych
r�nicach energii jest trudne. ��damy wi�c by hamiltonian wyra�ony
w~bazie cz�stek efektywnych mia� sko�czon� skal� energii.
%% !!! UWAGA: do poprawienia     ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Macierz hamiltonianu w~tej bazie powinna by� wi�c przydiagonalna.
Poniewa� zmiana bazy jest transformacj� unitarn�, wi�c hamiltonian
kanoniczny i~hamiltonian efektywny powi�zane s� ze sob� transformacj�
podobie�stwa. 

Wskutek eliminacji oddzia�ywa� mi�dzy stanami o~du�o r�ni�cych si�
energiach kinetycznych, w~hamiltonianie pojawiaj� si� nowe cz�ony
oddzia�ywania typu oddzia�ywania potencjalnego. Je�li szeroko�� macierzy
hamiltonianu w~bazie cz�stek efektywnych jest dostatecznie ma�a,
a~cz�stki przenosz�ce oddzia�ywanie s� masywne, to oddzia�ywanie
odbywa si� g��wnie za pomoc� tych w�a�nie potencja��w. 
%% !!! UWAGA: pierwsze "za pomoc�" jest zb�dne (bez nowych poprawek)

\smallskip

%% ### Spis rozdzia��w
W~rozdziale~pierwszym przedstawiamy metod� wyprowadzenia efektywnych
cz�stek i~efektywnego hamiltonianu z~hamiltonianu QCD. Aby dosta�
sko�czone wyniki regularyzujemy hamiltonian i~znajdujemy kontrcz�ony.
Hamiltonian efektywny wyprowadzamy przez odca�kowanie r�wna�
r�niczkowych dla grupy renormalizacji przez podobie�stwo.

W~rozdziale~drugim stosujemy metod� z~rozdzia�u~pierwszego do
wyliczenia efektywnych oddzia�ywa� mi�dzy efektywnymi kwarkami
w~mezonie. Dostajemy potencja� sk�adaj�cy si� z~cz�ci coulombowskiej
oraz potencja�u wi���cego. Potencja� wi���cy obliczony do~drugiego
rz�du nie ma symetrii obrotowej, za� dla du�ych odleg�o�ci zachowuje
si� jak potencja� logarytmiczny. Wa�n� rol� odgrywa upraszczanie si�
rozbie�no�ci podczerwonych mi�dzy efektywnym wyrazem masowym dla
fermionu, a~potencja�em wi���cym. 

Nast�pnie, w~rozdziale~trzecim analizujemy efektywne potencja�y
wewn�trz mezon�w oraz oddzia�ywania van der Waalsa mi�dzy dwoma
mezonami.

Podsumowania wynik�w dokonujemy w~rozdziale czwartym.

\section{Metoda oblicze�}
\label{sec:metoda}

%% ### H^can_QCD
\subsection{Hamiltonian kanoniczny {QCD}}
\label{sec:Hcan}
Opr�cz standardowej, r�wnoczasowej formy dynamiki, gdzie ewoluujemy
stany od jednej podprzestrzeni ustalonego czasu do drugiej, mo�na
stosowa� dynamik� na froncie �wietlnym. Potrzeb� jej stosowania
wyja�nili�my we wst�pie. W~dynamice na froncie �wietlnym rol�
podprzestrzeni ustalonego czasu przejmuje powierzchnia styczna do
sto�ka �wietlnego, a rol� czasu pe�ni $x^+ = x^0 + x^3$. Ta forma
dynamiki zosta�a wprowadzona przez Diraca\cite{Dirac:1949cp},
om�wienie jej znajdziemy tak�e w przegl�dowej
pracy~\cite{Brodsky:1997de}.

Z~lagran�janu QCD 
\begin{equation}
  \label{eq:L_QCD}
  \Ld_{\text{QCD}} = 
  - \frac{1}{4} G^a_{\mu\nu} G^{a\,\mu\nu}
  + \fermb ( i \slashed{D} - m ) \fermn
\end{equation}
mo�emy wyprowadzi� kanoniczny hamiltonian QCD w~tym sformu�owaniu
dynamiki. U�ywamy cechowania na froncie �wietlnym, t.j. \(A^{+} \equiv
\frac{1}{2}A_{-} = 0\), gdzie \(A^{\pm} = A^0 \pm A^3\) (z czego
wynika, �e \(\partial_{-} A^{+} = 0\)). R�wnanie Diraca na froncie
�wietlnym (patrz dodatek~\ref{sec:Dirac-LF}) w~tym cechowaniu pozwala
wyrazi�
%% !!! BY�O: algebraicznie 
dynamicznie zale�ne stopnie swobody przez niezale�ne zmienne,
i~wyeliminowa� je z hamiltonianu. Eliminacja zale�nych stopni swobody
prowadzi do cz�on�w typu oddzia�ywania natychmiastowego.  Zale�ne
stopnie swobody dla gluon�w wyra�amy przez niezale�ne za pomoc�
kolorowego analogu prawa Gaussa.

Hamiltonian QCD na froncie �wietlnym ma zatem posta�
\begin{equation}
  \label{eq:Hcan}
  H = H_0 + V_1 + V_2 + V_3 + V_4,
\end{equation}
gdzie $H_0$ oznacza cz�� swobodn� hamiltonianu, $V_1$ oddzia�ywanie
tr�jcz�stkowe, $V_2$ wierzcho�ek czterogluonowy (teoria nieabelowa),
$V_3$ cz�on z~wymian� natychmiastowego gluonu (eliminacja zale�nych
stopni swobody za pomoc� r�wnania Gaussa), za� $V_4$ to cz�on powsta�y
z~wyeliminowania zale�nych stopni swobody fermion�w.

Zgodnie z~\cite{Brodsky:1997de} mo�na te cz�ony zapisa� jako:
\begin{subequations}
  \label{eq:Hcan:pola}
  \begin{align}
    H_0 &= \frac{1}{2} \int d^3 x 
    \bigl( \tilde{\fermb} \gamma^{+} 
    \frac{m^2 + (i \nabla_{\perp})^2}{i \partial^{+}} \tilde{\fermn}
    + \tilde{A}^{a\mu} \frac{(i \nabla_{\perp})^2}{i \partial^{+}} \tilde{A}^{a}_{\mu} \bigr),
    \label{eq:Hcan:H_0} \\
    V_1 &= g \int d^3 x \tilde{J}_a^{\mu} \tilde{A}^a_{\mu}, 
    \label{eq:Hcan:3_vertex} \\
    V_2 &= \frac{g^2}{4}
    \int d^3 x \tilde{B}_a^{\mu\nu} \tilde{B}^a_{\mu\nu}, 
    \label{eq:Hcan:four-gluon_vertex} \\
    V_3 &= \frac{g^2}{2}
    \int d^3 x \tilde{J}^{+}_{a} \frac{1}{(i \partial^{+})^2} \tilde{J}_{a}^{+},
    \label{eq:Hcan:instant_gluon} \\
    V_4 &= \frac{g^2}{2}
    \int d^3 x 
    \tilde{\fermb} \gamma^{\mu} T^a \tilde{A}^{a}_{\mu}
    \frac{\gamma^{+}}{i \partial^{+}}
    \,( \gamma^{\nu} T^b \tilde{A}^b_{\nu} \tilde{\fermn} ),
    \label{eq:Hcan:instant_fermion}
  \end{align}
\end{subequations}
gdzie pr�d $\tilde{J}$ jest zdefiniowany jako
\begin{subequations}
  \label{eq:prady}
  \begin{align}
    \tilde{J}_{a}^{\nu} &= \tilde{j}_{a}^{\nu} + \tilde{\chi}_{a}^{\nu},
    \label{eq:prady:J} \\
    \tilde{j}_{a}^{\nu} &= \tilde{\fermb} \gamma^{\nu} T^a \tilde{\fermn},
    \label{eq:prady:j}
  \end{align}
\end{subequations}
za� $B^{\mu\nu}$ oraz $\chi^{\nu}$ dane s� wzorami
\begin{subequations}
  \label{eq:B,chi}
  \begin{align}
    B^{\mu\nu}_{a} &= f^{abc} A^{\mu}_b A^{\nu}_c, 
    \label{eq:B} \\
    \chi^{\nu}_{a} &= f^{abc} \partial^{\nu} A^{\nu}_b A^c_{\nu}.
    \label{eq:chi}
  \end{align}
\end{subequations}

Dostali�my hamiltonian wyra�ony za pomoc� operator�w pola. Rozpisujemy
je zgodnie ze wzorami
\begin{subequations}
  \label{eq:ferm,A}
  \begin{gather}
    \tilde{\fermn}_{\alpha c f} (x)
    = \sum_{\lambda} \int \dkshort[p]
    \bigl( 
      \tilde{b}(p)      u_{\alpha}(p,\lambda)\, e^{-i p x}  +
      \hc{\tilde{d}}(p) v_{\alpha}(p,\lambda)\, e^{+i p x}
    \bigr), 
    \label{eq:fermn} \\
    \tilde{A}^{a}_{\mu} (x)
    = \sum_{\lambda} \int \dkshort[p]
    \bigl( 
      {\tilde{a}}(p) T^a \fhci{\epsilon}{\mu}(p,\lambda)\, e^{-i p x} + 
      \hc{\tilde{a}}(p)  T^a  \hci{\epsilon}{\mu}(p,\lambda)\, e^{+i p x} 
    \bigr).
    \label{eq:A}
  \end{gather}
\end{subequations}

Korzystaj�c z~kanonicznych regu� komutacyjnych wyra�amy hamiltonian za
pomoc� odpowiednich operator�w kreacji i~anihilacji. Ma on bardzo
skomplikowan� struktur�. B�dziemy wypisywa� tylko te cz�ony
w~hamiltonianie, kt�re b�d� nam potrzebne. Pe�n� list� wyraz�w mo�na
znale�� m.in. w~\cite{Brodsky:1997de}.

%% ### H^Dd_QCD
\subsection{Regularyzacja}
\label{sec:regularyzacja}

%% # konieczno�� regularyzacji
Hamiltonian kanoniczny jest operatorem �le zdefiniowanym. Dzia�aj�c na
stany z~przestrzeni Hilberta, hamiltonian wyprowadza je z~tej
przestrzeni. Objawia si� to mi�dzy innymi przy obliczaniu operatora
ewolucji. Napotykamy na problem ju� przy wyliczaniu przy $H^2$, kt�re
okazuje si� niesko�czone. Zatem $\exp(-i H x^{+}/2)$ rozbiega. Przy
obliczaniu wielko�ci fizycznych, np. przy rozwi�zywaniu zagadnienia
w�asnego pojawiaj� si� niesko�czono�ci wynikaj�ce z~tego, �e stany
po�rednie mog� mie� dowolnie wysok� energi�. Niesko�czono�ci pojawiaj�
si� tak�e przy wyliczaniu efektywnego hamiltonianu. Problem jest
jeszcze powa�niejszy ni� niesko�czony zakres energii oddzia�ywa�:
w~go�ej, kanonicznej QCD oddzia�ywanie ro�nie, gdy ro�nie r�nica
energii mi�dzy oddzia�uj�cymi cz�stkami.

%% # czynniki regularyzuj�ce
Potrzebne jest zatem wprowadzenie czynnik�w regularyzuj�cych. Aby
ograniczy� oddzia�ywania, ��damy by przekazy p�d�w w~wierzcho�kach
by�y ograniczone. Robimy to wprowadzaj�c wierzcho�kowe czynniki
regularyzuj�ce zwi�zane z~operatorami kreacji i~anihilacji. Dla
ka�dego operatora kreacji i anihilacji wprowadzamy czynnik
ograniczaj�cy p�d poprzeczny albo (co wygodniejsze w obliczeniach)
energi� cz�stki w~danym wierzcho�ku zwi�zanej z tym operatorem.
Zamiast cz�stek swobodnych pos�ugujemy si� zatem cz�stkami
,,obci�tymi'', kt�re nie oddzia�uj�, gdy energia stanu bior�cego udzia�
w~oddzia�ywaniu jest du�o wi�ksza od arbitralnie ustalonej skali
$\Delta$.

%% # regulator UV

Regulator powinni�my wybra� tak, by dawa� ograniczenie wy��cznie na
p�dy wzgl�dne. Dzi�ki temu nie naruszamy niezmienniczo�ci dynamiki na
froncie �wietlnym wzgl�dem pchni��. Do cel�w regularyzacji
nadfioletowej u�yjemy funkcji wyk�adniczej t�umi�cej oddzia�ywania dla
wysokich energii. Z~ka�dym operatorem kreacji i~anihilacji cz�stki
wchodz�cej do oddzia�ywania zwi�zujemy ,,energi�'' okre�lon� wzorem
\begin{equation}
  \label{eq:daughter-energy}
  e_i = \frac{\kappa_i^2}{x_i},
\end{equation}
gdzie $\kappa_i$ oraz $x$ oznaczaj� odpowiednie p�dy wzgl�dne dla
danego wierzcho�ka oddzia�ywania. Wprowadzaj�c czynnik regularyzuj�cy
postaci $\exp(-e_i/\Delta^2)$ dostajemy dla wierzcho�ka, w~kt�rym
cz�stki~1~i~2 zamieniaj� si� z~cz�stk�~3 (lub odwrotnie), czynniki
postaci:
\begin{equation}
  \label{eq:regulator-UV}
  \begin{split}
    r_{\Delta}(12,3) 
    &= 
    \exp\left( -\frac{\kappa_1^2}{x_1 \Delta}\right)
    \exp\left( -\frac{\kappa_2^2}{x_2 \Delta}\right) \\
    &= \exp\left( -\frac{\kappa_{1 2}^2}{x(1 - x)}\frac{1}{\Delta^2} \right)
    = \exp\left( -\frac{\mathcal{M}^2_{1 2}}{\Delta^2} \right)
  \end{split}
\end{equation}

Wprowadzili�my tutaj oznaczenie na mas� niezmiennicz�
\begin{align}
  \label{eq:M,p-}
  \mathcal{M}^2_{1 2} &= (p_1 + p_2)^2
  &
  \text{, gdzie}\quad
  p_i^{-} = \frac{{p_i^{\perp}}^2}{p_i^{+}}
\end{align}

%% # regulator IR
Poniewa� QCD jest teori� z cechowaniem, zawieraj�c� cz�stki bezmasowe,
wi�c pojawiaj� si� rozbie�no�ci dla ma�ych p�d�w pod�u�nych.
Odwrotno�ci $k^{+}$ pojawiaj� si� w~wektorach polaryzacji gluon�w oraz
w~cz�onach oddzia�ywania natychmiastowego, powsta�ych z wyeliminowania
niefizycznych stopni swobody. Potrzebny jest zatem dodatkowy czynnik
regularyzuj�cy.

Dla ka�dej cz�stki wchodz�cej do oddzia�ywania wprowadzamy regulator
obcinaj�cy p�dy pod�u�ne, na przyk�ad w~postaci 
\(\Theta\left( \dfrac{x_1}{x_3} - \delta \right) 
\Theta\left( \dfrac{x_2}{x_3} - \delta \right) \) 
dla wierzcho�ka typu \(12 \leftrightarrow 3\), gdzie
$\dfrac{x_1}{x_3} = \dfrac{p^+_1}{p^+_3}$, $\dfrac{x_2}{x_3} =
\dfrac{p^+_2}{p^+_3}$ oznaczaj� odpowiednie u�amki (frakcje) p�du
pod�u�nego $(+)$ cz�stki 3.

%% ### H^Dd_QCD + X^Dd
\subsection{Kontrcz�ony}
\label{sec:kontrczlony}

Dzi�ki wprowadzeniu regularyzacji otrzymujemy sko�czone wyniki. Jednak
aby zregularyzowany hamiltonian opisywa� t� sam� teori� co hamiltonian
wyj�ciowy nie wystarczy samo wprowadzenie obci��. W~wyniku eliminacji
stan�w o~energii wi�kszej ni� $\Delta$ w~hamiltonianie
zregularyzowanym pojawiaj� si� kontrcz�ony: $H_{\text{eff}} =
H_{\Delta} + X_{\Delta}$. Wyznaczamy je przez ��danie, by wyniki
fizyczne, np. elementy macierzowe hamiltonianu nie zale�a�y od
regularyzacji.



%% !!! UWAGA: jedno z~poni�szych jest do wyci�cia, mo�e oba

\subsection[Renormalizacja w~podej�ciu Wilsona]{Renormalizacja
  w~podej�ciu Wilsona\cite{Wilson:1970tp}}
\label{sec:Wilson-renorm}

Zale�no�� hamiltonianu od obci�cia (regularyzacji) mo�emy
przeanalizowa� badaj�c co si� dzieje przy zmianie parametru obci�cia
$\Delta$.

Aby m�c rozwi�za� problem stanu zwi�zanego musimy sprowadzi�
zagadnienie do zagadnienia niskich energii i niewielu cz�stek. W tym
celu musimy umie� wyra�a� wyj�ciowe zagadnienie w ten spos�b, by
energie cz�stek/oddzia�ywa� by�y ograniczone.

% -------------------------------------------------------------------
% SAVEBOXES

\setlength{\unitlength}{2 ex}

\newsavebox{\Hmatr}
\savebox{\Hmatr}(9.3,8){
\begin{picture}(10,8)
  \put(0,0){\framebox(8,8){}}
  \put(8.3,0){\makebox(0,0)[lc]{$0$}}
  \put(8.3,8){\makebox(0,0)[lc]{$\Delta$}}
\end{picture}}

\newsavebox{\Hvect}
\savebox{\Hvect}(2,8){
\begin{picture}(2,8)
  \put(0.5,0){\framebox(1,8){}}
\end{picture}}

\def\freeH{\savebox{\Hmatr}{} \savebox{\Hvect}{}}

\begin{figure}[htbp!]
  \begin{center}
    \def\h{3} % wielko�� klatki 0 -- \lambda (renormalizacja Wilsona)
    \begin{align*}
      \vcenter{\hbox{%
      \begin{picture}(10,10)(0,-1)
        \put(0,0){\usebox{\Hmatr}}
        \put(8,0){
          \multiput(-\h,\h)(0.86, 0){\h}{\line(1, 0){.43}}
          \multiput(-\h,\h)(0,-0.86){\h}{\line(0,-1){.43}}
          \put(-\h,0){\line( 0,1){.43}}
          \put(0, \h){\line(-1,0){.43}}
              \put(0.3,\h){\makebox(0,0)[lc]{\ensuremath{\lambda}}}
          }
      \end{picture}%
      }}
      & 
      \xrightarrow{\quad \displaystyle R \quad} \kern 1 em
      \vcenter{\hbox{%
      \begin{picture}(5,\h)
        \put(0,0){\framebox(\h,\h){}}
        \put(\h,0){
          \put(0.3, 0){\makebox(0,0)[lc]{\ensuremath{0}}}
          \put(0.3,\h){\makebox(0,0)[lc]{\ensuremath{\lambda}}}
        }
      \end{picture}%
      }} 
      \\
      \vcenter{\hbox{%
      \begin{picture}(10,10)(0,-1)
        \put(0,0){\usebox{\Hmatr}}
      \end{picture}%
      }}
      & 
      \xrightarrow{\quad \displaystyle S \quad} \kern 1 em
      \vcenter{\hbox{%
      \begin{picture}(10,10)(0,-1)
        \put(0,0){\framebox(8,8){}}
        \put(0,6.5){\line(1,-1){6.5}}
        \put(1.5,8){\line(1,-1){6.5}}
        \put(3,5){
          \put(0,0){\makebox(0,0)[cc]{\ensuremath{\lambda}}}
          \put(-2,-2){\line( 1, 1){1.25}}
          \put( 2, 2){\line(-1,-1){1.25}}
          \put(-0.75,-0.75){
            \put(0,0){\line(-1,0){0.5}}
            \put(0,0){\line(0,-1){0.5}}
          }
          \put( 0.75, 0.75){
            \put(0,0){\line( 1,0){0.5}}
            \put(0,0){\line(0, 1){0.5}}
          }
        }
      \end{picture}%
    }}
    \end{align*}
    \caption{Por�wnanie renormalizacji Wilsona i renormalizacji przez podobie�stwo}
    \label{fig:Wilson vs. similarity}
  \end{center}
\end{figure}


Idea renormalizacji Wilsona polega na obni�aniu obci�cia od skali
$\Delta$ do pewnej sko�czonej skali $\lambda$. Podej�cie to wi��e si�
z~eliminacj� stopni swobody. W~procesie renormalizacji do hamiltonianu
wprowadzane s� efektywne oddzia�ywania kompensuj�ce zmian� skali w~ten
spos�b, �e najni�sze warto�ci w�asne hamiltonianu efektywnego
(obci�tego) s� takie same jak hamiltonianu pe�nego. Transformacj�
przeprowadzaj�c� hamiltonian do hamiltonianu efektywnego znajdujemy
w~rachunku zaburze�. W~pobli�u granicy energii pojawia si� problem
ma�ych mianownik�w energetycznych. Ponadto w~kwantowej teorii pola
mamy wysok� degeneracj� stan�w, wi�c potrzebowaliby�my rachunku
zaburze� dla stan�w zdegenerowanych, co wymaga rozwi�zania zagadnienia
z~uwzgl�dnieniem stan�w wysokoenergetycznych. Metoda ta ma zatem ograniczone
zastosowania w~kwantowej teorii pola.


%% ### H^ld_QCD (1)
\subsection[Renormalizacja przez podobie�stwo dla macierzy]%
  {Renormalizacja  przez podobie�stwo dla
   macierzy\cite{Glazek:1993rc}}
\label{sec:similarity-for-matrices}

Musimy zatem zastosowa� inne podej�cie. Zamiast eliminowa� stany
o~energiach wi�kszych ni� parametr $\lambda$, mo�emy za��da�, by
znika�y elementy macierzowe hamiltonianu mi�dzy stanami r�ni�cymi si�
bardziej ni� $\lambda$ energi� kinetyczn�. Dostajemy macierz
hamiltonianu, kt�ra ma znikaj�ce wyrazy poza elementami
przydiagonalnymi. Posta� ta ma t� zalet�, �e jest niewra�liwa na
obci�cie $\Delta$ w~rachunku zaburze� dla warto�ci w�asnych lub
amplitud przej�cia a� do rz�du $n \sim \Delta/(2 \lambda)$, poniewa�
osi�gni�cie skali $\Delta$ wymaga wielu oddzia�ywa�.

Przy obliczaniu hamiltonianu efektywnego o~szeroko�ci $\lambda$ nie
eliminujemy �adnych stopni swobody. Dobieraj�c odpowiednio czynnik
podobie�stwa mo�emy spowodowa�, �e nie b�dziemy mieli problem�w
z~ma�ymi mianownikami energetycznymi. W~renormalizacji tej wyra�amy
ten sam hamiltonian za pomoc� innych stopni swobody. Hamiltonian w�ski
i~hamiltonian wyj�ciowy s� wi�c powi�zane ze sob� transformacj�
podobie�stwa.

Kontrcz�ony w~tym podej�ciu wyznaczamy, ��daj�c, by elementy
macierzowe hamiltonianu efektywnego $H_\lambda$ by�y niezale�ne od
obci�cia.

Poniewa� transformacj� podobie�stwa wyliczamy zazwyczaj w~rachunku
zaburze�, nie mo�emy uczyni� szeroko�ci hamiltonianu $\lambda$
dowolnie ma��. Przestrze� stan�w swobodnych i~stan�w b�d�cych �cis�ym
rozwi�zaniem zagadnienia w�asnego s� powi�zane zale�no�ci�
nieperturbacyjn�. Wiemy te�, �e efektywna sta�a sprz�enia $g_\lambda$
ro�nie w~QCD, gdy $\lambda \to 0$ i~rachunek zaburze� stosowa� mo�na
tylko dla $\lambda$ wi�kszych ni� pewna skala nieperturbacyjna.


%% ### H^ld_QCD (2)
\subsection[Renormalizacja przez podobie�stwo dla cz�stek]%
  {Renormalizacja  przez podobie�stwo dla cz�stek\cite{Glazek:1997sd}}
\label{sec:similarity-particles}

Metoda renormalizacji za pomoc� transformacji podobie�stwa, poniewa�
podlega na wyra�aniu tego samego hamiltonianu w~innej bazie stan�w,
pozwala nam zatem zdefiniowa� cz�stki efektywne o~,,sko�czonej
szeroko�ci'', kt�re mog� wymienia� p�d tylko ograniczony przez
$\lambda$. Szeroko�� hamiltonianu w~uj�ciu macierzowym przechodzi
w~odpowiedni czynnik wierzcho�kowy w~hamiltonianie oddzia�ywania
cz�stek efektywnych.
%% !!! UWAGA: przeformu�owa� "tylko ograniczony przez \lambda"

%%
\begin{comment}
  Wygodnie jest pos�ugiwa� si� obrazem operatorowym, a~nie tylko
  elementami macierzowymi hamiltonianu. Zrenormalizowany hamiltonian
  mo�emy stosowa� w~wielu modelach, redukuj�c stosownie do problemu
  przestrze� stan�w.
\end{comment}
%% !!! UWAGA: wyci�te

��damy, aby oddzia�ywania mi�dzy cz�stkami efektywnymi z~wi�kszym
przekazem energii kinetycznej ni� $\lambda$ by�y zaniedbywalne. Dla
ka�dego wierzcho�ka oddzia�ywania wprowadzamy czynnik, kt�ry nam to
zapewnia.  Przy obliczaniu transformacji podobie�stwa za pomoc�
r�wnania r�niczkowego grupy renormalizacji czynnik podobie�stwa
powinien by� funkcj� g�adk�. Powinien on tak�e zachowywa� symetrie
frontu �wietlnego, wi�c nale�y wyrazi� go za pomoc� niezmiennik�w
lorentzowskich. Aby w~rachunku zaburze� nie pojawia�y si� ma�e
mianowniki energetyczne zar�wno $1 - f_{\lambda}$, jak
i~$df_{\lambda}/d\lambda$ powinny zanika� szybciej ni� liniowo
w~r�nicy energii. W~naszej pracy przyjmiemy czynnik podobie�stwa dany
przez czynnik wyk�adniczy zanikaj�cy jak kwadrat r�nicy mas
inwariantnych cz�stek przed i~po oddzia�ywaniu\cite{Glazek:1999fy}:
\begin{equation}
  \label{eq:f_lambda}
   f_{\lambda}(u,v) = \exp\left[ 
    - \frac{({\cal M}_{uv}^2 - {\cal M}_{vu}^2)^2}{\lambda^4},
  \right]
\end{equation}
gdzie ${\cal M}^2_{uv}$ oznacza mas� niezmiennicz� uk�adu cz�stek~$u$
bior�cych udzia� w oddzia�ywaniu z~uk�adem cz�stek~$v$:
\begin{equation}
  \label{eq:M_uv}
  \mathcal{M}^2_{uv} = \biggl[ \sum_{i \in u(v)} k_i \biggr]^2\,.
\end{equation}
Dla skr�cenia zapisu b�dziemy pisali 
\(uv = \mathcal{M}^2_{uv} - \mathcal{M}^2_{vu}\),
oraz wprowadzimy $f_{uv}$ jako oznaczanie na $f_{\lambda}(u,v)$
  

W~renormalizacji za pomoc� transformacji podobie�stwa zak�adamy, �e
cz�stki efektywne maj� te same liczby kwantowe co cz�stki ,,go�e''
(wyst�puj�ce w~hamiltonianie wyj�ciowym). Za�o�enie to oparte jest na
tym, �e kwarki w~lagran�janie QCD i~kwarki w~modelu kwark�w
sk�adnikowych s� opisane przez te same liczby kwantowe.
%% !!! UWAGA: powtarza si� 'maj� liczby kwantowe' 

Transformacja podobie�stwa zmienia operatory kreacji i anihilacji
go�ych cz�stek w operatory kreacji i anihilacji cz�stek efektywnych
odpowiadaj�cych szeroko�ci $\lambda$ (t.j. oddzia�uj�cych ze sob�
tylko dla r�nic energii mniejszych od $\lambda$). Mamy
\begin{equation}
  \label{eq:qlambda}
  q_{\lambda} = \mathcal{U}_{\lambda} q_{\infty} \hci{\mathcal{U}}{\lambda},
\end{equation}
gdzie $q$ oznacza odpowiedni operator kreacji lub anihilacji.
Transformacja $\mathcal{U}_{\lambda}$, jako operacja zmiany bazy, jest
unitarna z konstrukcji.

Przepisanie hamiltonianu za pomoc� innych stopni swobody nie zmienia
go, zatem hamiltoniany wyj�ciowy (wyra�ony za pomoc� cz�stek go�ych),
i~hamiltonian ,,w�ski'' (wyra�ony za pomoc� cz�stek efektywnych) s�
sobie r�wne jako operatory:
\(\Ham_{\lambda}(q_{\lambda}) = \Ham_{\infty}(q_{\infty})\). 
Zak�adaj�c, ze hamiltonian zawiera tylko sko�czone iloczyny
operator�w kreacji i anihilacji, mo�emy wprowadzi� operator
\(\mathcal{H}_{\lambda} \equiv \Ham_{\lambda}(q_{\lambda}) =
\hci{\mathcal{U}}{\lambda} H_{\infty}(q_{\infty}) \mathcal{U}_{\lambda}\),
kt�ry ma takie same wsp�czynniki przed iloczynami $q_{\infty}$, jak
$\Ham_{\lambda}$ przed iloczynami $q_{\lambda}$. R�niczkuj�c
wyra�enie na $\mathcal{H}_{\lambda}$ dostajemy
\begin{subequations}
  \label{eq:similarity-Hlambda}
  \begin{align}
    \label{eq:Hlambda_eq}
    \DiffOP{\lambda} \mathcal{H}_{\lambda} &= 
    - \bigl[ \mathcal{T}_{\lambda}, \mathcal{H}_{\lambda} \bigr], \\
    \label{eq:Tlambda_eq}
    \mathcal{T}_{\lambda} &= 
    \hci{\mathcal{U}}{\lambda} \DiffOP{\lambda} \mathcal{U}_{\lambda}.
  \end{align}
\end{subequations}

Hamiltonian efektywny dany jest przez cz�� diagonaln� pewnego
operatora $G_{\lambda}$ tzn. $H_{\lambda} = F_{\lambda}
[G_{\lambda}]$.  Operator $F_{\lambda}$ odpowiedzialny jest za to, by
hamiltonian $H_{\lambda}$ by� w�ski. Wprowadza on odpowiedni czynnik
podobie�stwa do operatora $G_{\lambda}$. Jego dzia�anie dane jest
wzorem \(F_{\lambda} [ G_{\lambda} ]_{uv} = f_{uv} g_{uv}\), gdzie
$f_{uv}$ jest dane wzorem~\eqref{eq:f_lambda}.

Wprowadzamy oznaczenie \(\mathcal{G}_{\lambda} =
\hci{\mathcal{U}}{\lambda} G_{\lambda} \fhci{\mathcal{U}}{\lambda}\),
i~analogiczne dla innych operator�w.  R�wnanie na operator
$\mathcal{T}_{\lambda}$, generuj�cy transformacj� podobie�stwa,
zapisuje si� nast�puj�co:
\begin{equation}
  \label{eq:H,G}
  \bigl[ \mathcal{T}_{\lambda}, \mathcal{H}_{0\lambda} \bigr ] =
  \DiffOP{\lambda} (1 - F_{\lambda}) [ \mathcal{G}_{\lambda} ]
\end{equation}
Struktura komutatorowa zapewnia, �e hamiltonian efektywny zawiera
tylko oddzia�ywania po��czone, spe�niaj�c warunek rozk�adu
gronowego\cite{Glazek:1997sd}.

Dzielimy operator $\mathcal{G}_{\lambda}$ na dwie cz�ci: cz��
,,swobodn�'' i cz�� oddzia�ywania.  
\( \mathcal{G}_{\lambda} = \mathcal{G}_{0} + \mathcal{G}_{I\lambda} \).
$\mathcal{G}_{I\lambda}$ spe�nia nast�puj�ce r�wnanie r�niczkowe
\begin{equation}
  \label{eq:G2}
  \DiffOP{\lambda} {\cal G}_{I\lambda} =
  \left[ f {\cal G}_{I\lambda}, 
    \left\{ 
      \DiffOP{\lambda}\bigl[ (1 - f) {\cal G}_{I\lambda} \bigr] 
    \right\}_{{\cal G}_0}
  \right]
\end{equation}
gdzie wprowadzili�my oznaczenie
\begin{equation}
  \label{eq:curly-bracket-notation}
  A = \{ B \}_{C} \quad \iff \quad [A, C] = B
\end{equation}

Hamiltonian efektywny liczymy w~rachunku zaburze�. Zapisujemy
${\cal G}_{I\lambda}$ jako
\begin{equation}
  \label{eq;G_I-rozbicie}
  \mathcal{G}_{I} = \sum_{n = 1}^{\infty} \tau_n
\end{equation}
gdzie $\tau_n$ oznacza wszystkie operatory rz�du $n$ w~wybranej sta�ej
sprz�enia, w~$\mathcal{G}_I$. Z r�wnania \eqref{eq:G2} dostajemy
wyra�enie na $\mathcal{G}_{I\lambda}$ rz�d po rz�dzie w~rachunku
zaburze�:
\begin{subequations}
  \label{eq:tau-eq}
  \begin{align}
    \tau'_1 &= 0,
    \label{eq:tau_1-eq} \\
    \tau'_2 &= \bigl[ \{ f' \tau_1 \}, f \tau_1 \bigr],
    \label{eq:tau_2-eq} \\
    &\dots \notag \\
    \tau'_n &= \sum_{k = 1}^{n-1} \bigl[ \tau_k, \{ (1 - f) \tau_{n-k} \}' \bigr].
    \label{eq:tau_n-eq} 
  \end{align}
\end{subequations}

Pierwsze r�wnanie~\eqref{eq:tau_1-eq} oznacza, �e $\tau_1$ jest
niezale�ne od $\lambda$, zatem $\tau_{\lambda 1} = \tau_{\infty 1}$. 
Zatem wyrazy pierwszego rz�du w~hamiltonianie efektywnym dostajemy
mno��c odpowiednie wyrazy w~hamiltonianie wyj�ciowym przez czynnik
podobie�stwa i~zast�puj�c operatory kreacji i~anihilacji cz�stek
go�ych przez efektywne.


%% ### H^ld_QCD (3)
\subsection{Rodzaje wyraz�w w transformacji podobie�stwa}
\label{sec:Heff-czlony}

Poniewa� interesowa� nas b�d� g��wnie oddzia�ywania w sektorze kwark
-- antykwark, kt�re s� dosy� z�o�one, wprowadzamy wi�c pewien spos�b
oznaczania cz�on�w w hamiltonianie. W wyniku stosowania procedury
renormalizacji, w~hamiltonianie powstaj� nowe cz�ony w~stosunku do
hamiltonianu wyj�ciowego. Dla uproszczenia b�dziemy oznacza� je
w~spos�b dobrze zilustrowany przyk�adem: $f^{(2)}_{121,301}$ b�dzie
oznacza� cz�on 2--go rz�du w~sta�ej sprz�enia, z~1~operatorem kreacji
fermionu, 2~operatorami kreacji antyfermionu, 1~operatorem kreacji
gluonu. Liczby na prawo od przecinka oznaczaj� liczb� operator�w
anihilacji, w~tym samym porz�dku, tzn. 3~anihilatory fermionowe,
0~antyfermionowych i~1~bozonu cechowania.


Rozwa�any przez nas hamiltonian QCD ma skomplikowan� struktur�. Podzielmy
go na cz�ci dzia�aj�ce w~okre�lonych sektorach Focka
\begin{equation*}
  \Ham = \Ham_0 + \Ham_{qgg} + \Ham_{qqqq} + \dots,
\end{equation*}
gdzie (pami�taj�c o cz�onach oddzia�ywania natychmiastowego powsta�ych
z eliminacji zale�nych stopni swobody)
\begin{align*}
  \Ham_0 &= H_{100,100} + H_{010,010} + H_{001,001} \\
  \Ham_{qgg} 
  &= H_{101,100} + H_{100,101} + \\
  &\null+ H_{011,010} + H_{010,011} + \\
  &\null + H_{001,110} + H_{110,001} \\
  \Ham_{qqqq}
  &= H_{200,200} + H_{020,020} + H_{110,110}
\end{align*}

Podobny podzia� (ze wzgl�du na liczb� operator�w kreacji i anihilacji)
mo�emy wprowadzi� w operatorach $\tau_i$. Nale�y pami�ta� o~tym, �e
obliczenie $\tau_2$ b�dzie wymaga�o obliczenia kontrcz�on�w.
Interesuj�ce nas czynniki w~$\tau_1$ i~$\tau_2$ maj� struktur�
\begin{subequations}
  \label{eq:tau:struktura}
  \begin{gather}
    \label{eq:tau_1:struktura}
    \tau_1 = \alpha_{101,100} + \alpha_{100,101} 
    + \alpha_{011,010} + \alpha_{010,011} + \dots \\
    \label{eq:tau_2:struktura}
    \tau_2 = \beta_{200,200} + \beta_{020,020} + \beta_{110,110} 
    + \beta_{100,100} + \beta_{010,010} + \dots
  \end{gather}
\end{subequations}
gdzie przez $\alpha$ oznaczyli�my cz�ony pierwszego rz�du stoj�ce przy
odpowiednich operatorach, za� przez $\beta$ odpowiednie cz�ony drugiego
rz�du.

R�wnania~\eqref{eq:tau-eq} i struktura hamiltonianu QCD implikuj�, �e
\begin{subequations}
  \label{eq:beta-eq}
  \begin{align}
    \beta'_{200,200} &= f_2 [ \alpha_{100,101} \alpha_{101,100} ]_{200,200} \\  
    \beta'_{020,020} &= f_2 [ \alpha_{010,011} \alpha_{011,010} ]_{020,020} \\  
    \beta'_{110,110} &= f_2 [ \alpha_{110,001} \alpha_{001,110} + \notag \\
                    &\quad\null+ \alpha_{100,101} \alpha_{011,010} + \\
                    &\quad\null+ \alpha_{010,011} \alpha_{101,100} ]_{110,110} \notag\\
    \beta'_{100,100} &= f_2 [ \alpha_{100,101} \alpha_{101,100} ]_{100,100} \\
    \beta'_{010,010} &= f_2 [ \alpha_{010,011} \alpha_{011,010} ]_{010,010} 
  \end{align}
\end{subequations}

Nawiasy kwadratowe oznaczaj� zast�pienie odpowiednich iloczyn�w
$\anihi{i} \creati{j}$ przez komutatory $\aici{i}{j}$. Indeks dolny
przy zamykaj�cym nawiasie kwadratowym oznacza, �e bierzemy tylko
cz�ony odpowiedniej postaci, t.j. o okre�lonej ilo�ci operator�w
danego rodzaju. Czynnik $f_2$, pojawiaj�cy si� pod ca�k� po p�dach,
pochodzi od funkcji podobie�stwa i~wynosi
\begin{equation}
  \label{eq:f2:def}
  \begin{split}
    f_2 
    &= \{f'\}f - f\{f'\},  \\
    f_{2\,uv}
    &= \left( \frac{f'_{u\pi} f^{\vphantom{'}}_{\pi v}}{E_\pi - E_u} 
      + \frac{f^{\vphantom{'}}_{u\pi} f'_{\pi v}}{E_\pi - E_v} \right). 
  \end{split}
\end{equation}
gdzie $\pi$ oznacza stan po�redni, za� $f'$ pochodn� po parametrze
$\lambda$.

Czynnik $f_2$ jest jedynym czynnikiem zale�nym od $\lambda$ po prawej
stronie r�wna�~\eqref{eq:beta-eq}. Mo�emy zatem w prosty spos�b
odca�kowa� te r�wnania po parametrze~$\lambda$. Uwzgl�dniaj�c
wszystkie czynniki rz�du $g$ oraz rz�du $g^2$ o~odpowiedniej
strukturze w~wyj�ciowym hamiltonianie (w��czaj�c w to cz�ony
natychmiastowe) dostajemy nast�puj�ce rozwi�zania:
\begin{subequations}
  \label{eq:beta-solutions}
  \begin{align}
    \beta_{\lambda200,200} 
    &= {\cal F}_{\lambda 2} [ \alpha_{100,101} \alpha_{101,100} ]_{200,200} 
    + \beta_{\infty200,200} \\  
    %%%%%%%%%%%
    \beta_{\lambda020,020} 
    &= {\cal F}_{\lambda 2} [ \alpha_{010,011} \alpha_{011,010} ]_{020,020} 
    + \beta_{\infty020,020} \\  
    %%%%%%%%%%%
    \beta_{\lambda110,110} 
    &= {\cal F}_{\lambda 2} [ \alpha_{110,001} \alpha_{001,110} + \notag \\
    &\qquad\null+ \alpha_{100,101} \alpha_{011,010} + \\
    &\qquad\null+ \alpha_{010,011} \alpha_{101,100} ]_{110,110} 
    + \beta_{\infty110,110} \notag \\
    %%%%%%%%%%%
    \beta_{\lambda100,100} 
    &= {\cal F}_{\lambda 2} [ \alpha_{100,101} \alpha_{101,100} ]_{100,100} 
    + \beta_{\infty100,100} + x_{\infty100,100} \\
    %%%%%%%%%%%
    \beta_{\lambda010,010} 
    &= {\cal F}_{\lambda 2} [ \alpha_{010,011} \alpha_{011,010} ]_{010,010} 
    + \beta_{\infty010,010} + x_{\infty100,100}
  \end{align}
\end{subequations}
gdzie przez $x_{\infty 100,100}$ oznaczyli�my odpowiednie kontrcz�ony.

Potrzebujemy zatem wyliczy� ile wynosi czynnik ${\cal F}_{2\lambda} =
\int_{\infty}^{\lambda} f_2$, kt�ry nazywamy wewn�trznym czynnikiem
podobie�stwa. Zgodnie ze wzorem~\eqref{eq:f2:def} na $f_2$, oraz
definicj� funkcji podobie�stwa~\eqref{eq:f_lambda}, czynnik 
${\cal F}_{2\lambda}$ dany jest przez nast�puj�ce
wyra�enie\cite{Glazek:1999fy}.
\begin{equation}
  \label{eq:F2lambda}
  \mathcal{F}_{2\lambda}(a, b, c)
  = \frac{P^+_{ba} ba + P^+_{bc} bc}{(ba)^2 + (bc)^2}
  \left( f_{\lambda}(a,b) f_{\lambda}(b,c) - 1 \right),
\end{equation}
gdzie argumenty $a$, $b$, $c$ oznaczaj� kolejne konfiguracje p�du
pojawiaj�ce si� w nawiasach w wyra�eniu~\eqref{eq:beta-eq}.
Konfiguracja $b$ odpowiada konfiguracji po�redniej. Wprowadzili�my
oznaczenie $P^+_{uv}$ na p�d--rodzica dla ca�ej po��czonej sekwencji
oddzia�ywa� mi�dzy uk�adami $u$ i $v$ (sum� p�d�w wszystkich cz�stek
bior�cych udzia� w~oddzia�ywaniu podzielon� przez 2). 
Symbole $ba$ oznaczaj� odpowiednie r�nice mas inwariantnych, jak
w~oznaczeniach we wzorze~\eqref{eq:f_lambda} na $f_{ba}$.


%% ======================================================
%% =========================================================
%% ============================================================


\section[Zastosowanie]{Zastosowanie: opis ci�kich mezon�w przy pomocy kwark�w efektywnych}
\label{sec:obliczenia}


Zastosujmy teraz powy�sz� metod� do hamiltonianu QCD, podanego w
rozdziale~\ref{sec:Hcan}. Interesowa� nas b�d� oddzia�ywania wewn�trz
mezonu oraz mi�dzy dwoma mezonami. Potrzebna nam wi�c b�dzie posta�
oddzia�ywania w sektorze dwucz�stkowym (kwark -- antykwark), a dla
wyliczania oddzia�ywa� van der Waalsa w sektorze dwumezonowym.  Mo�emy
zatem pomin�� wszelkie cz�ony z gluonami w stanie ko�cowym lub
pocz�tkowym, tzn. wszystkie wyra�enia z operatorami kreacji b�d�
anihilacji gluonu.


\subsection{Efektywny wyraz masowy dla fermionu}
\label{sec:fermion-mass}

Jednym z wa�nych wyraz�w w hamiltonianie, istotnym dla struktury
mezon�w, jest wyraz masowy dla kwark�w. Obok cz�onu pochodz�cego
z~hamiltonianu swobodnego, pojawia si� cz�on uwzgl�dniaj�cy efekty
wyeliminowania oddzia�ywa� mi�dzy cz�stkami o~r�nicy energii wi�kszej
ni� $\lambda$. Przy renormalizacji wyrazu masowego pojawia si�
potrzeba uwzgl�dnienia kontrcz�onu, gdy� te efekty s� czu�e na
regularyzacj� wyj�ciowego hamiltonianu.

\begin{fmffile}{kinem_masa}

\setlength{\unitlength}{1 ex}
\begin{figure}[htbp!]
  \begin{center}
    \fmfframe(1,3)(1,0.5){
      \begin{fmfgraph*}(50,23)
        \fmfpen{thin}
        \fmfleft{pl}
        \fmfright{pr}
        \fmflabel{$p_2$}{pl} 
        \fmflabel{$p_1$}{pr} 
        \fmf{boson,left,label=$k_2; 1-x$}{v1,v2}
        \fmf{plain,tension=3}{v1,pl}
        \fmf{plain,label=$k_1; x$,label.side=left}{v2,v1}
        \fmf{plain,tension=3}{pr,v2}
      \end{fmfgraph*}
      }
    \caption{Kinematyka dla poprawki do masy fermionu}
    \label{fig:kinem_masa}
  \end{center}
\end{figure}
\end{fmffile}

Oznaczmy przez $k_1$ odpowiedni p�d fermionu, za� przez $k_2$ p�d
gluonu. Z~zasady zachowania p�du dostajemy, �e
\begin{equation*}
  p_1 + p_2 = k_1 + k_2 \oznequ P 
  \quad \text{dla sk�adowych $+$ i $\perp$}
\end{equation*}
Mo�emy zatem p�dy $k_1$ i $k_2$ rozpisa� za pomoc� p�d�w wzgl�dnych
(p�d�w Jacobiego na froncie �wietlnym):
\begin{subequations}
  \label{eq:pedy-Jacobiego}
  \begin{align}
    k_1^+ &= x P^+, \\
    k_1^\perp &= \kappa^\perp + x P^{\perp};\\[2 mm]
    k_2^+ &= (1 - x) P^+, \\
    k_1^\perp &= - \kappa^\perp + (1 - x) P^{\perp}, 
  \end{align}
\end{subequations}
Niezmienniczo�� wzgl�dem pchni�� Lorentza pozwala nam po�o�y� w tych wzorach
$P^{\perp} = 0$, nie zmniejszaj�c og�lno�ci rozumowania.

Zewn�trzny czynnik podobie�stwa $f_{ac}$ dla wyrazu masowego
w~efektywnym hamiltonianie jest to�samo�ciowo r�wny $1$ z~powodu
zachowania p�du. Pozostaje wi�c obliczy� wewn�trzny czynnik
podobie�stwa.

\begin{fmffile}{masa_fermionu}
\setlength{\unitlength}{1 ex}
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \fmfframe(1,1)(1,4){
      \begin{fmfgraph*}(30,15)
        \fmfpen{thick}
        \fmfleft{pl}
        \fmfright{pr}
        \fmf{boson,left}{v1,v2}
        \fmf{plain,tension=3}{v1,pl}
        \fmf{plain}{v2,v1}
        \fmf{plain,tension=3}{pr,v2}
        \fmffreeze
        \fmfpen{thin}
        \fmfshift{(0,-.25h)}{pl,v1,v2,pr}
        \fmfipair{au,ad,bu,bd,cu,cd}
        \fmfiequ{au}{(0.5*(xpart vloc(__pl) + xpart vloc(__v1)),0)}
        \fmfiequ{ad}{(0.5*(xpart vloc(__pl) + xpart vloc(__v1)),h)}
        \fmfiequ{bu}{(0.5*(xpart vloc(__v1) + xpart vloc(__v2)),0)}
        \fmfiequ{bd}{(0.5*(xpart vloc(__v1) + xpart vloc(__v2)),h)}
        \fmfiequ{cu}{(0.5*(xpart vloc(__v2) + xpart vloc(__pr)),0)}
        \fmfiequ{cd}{(0.5*(xpart vloc(__v2) + xpart vloc(__pr)),h)}
        \fmfi{plain}{au--ad}
        \fmfi{plain}{bu--bd}
        \fmfi{plain}{cu--cd}
        \fmfiv{label=$a$,label.angle=-90,label.dist=0.1h}{au}
        \fmfiv{label=$b$,label.angle=-90,label.dist=0.1h}{bu}
        \fmfiv{label=$c$,label.angle=-90,label.dist=0.1h}{cu}
      \end{fmfgraph*}
      }    
    \caption{Energia w�asna fermionu}
    \label{fig:energia wlasna fermionu}
  \end{center}
\end{figure}

\end{fmffile}

%% nowa wersja w��czaj�ca plik masa_fermionu.ps
\newsavebox{\ffdiagrambox}
\savebox{\ffdiagrambox}{\includegraphics{masa_fermionu.ps}}
\def\ffdiagram{\usebox{\ffdiagrambox}}

Dzi�ki temu, �e konfiguracje pocz�tkowa i ko�cowa s� identyczne,
mo�emy w prosty spos�b znale�� wewn�trzny czynnik podobie�stwa dla
cz�onu masowego. Nie potrzebujemy korzysta� z~og�lnego wzoru na
$\mathcal{F}_{\lambda}$. Ze wzoru na transformacj� podobie�stwa
\begin{equation}
  \label{eq:G_I:diffeq}
  \DiffOP{\lambda} {\cal G}_{I\lambda} =
  \left[ f {\cal G}_{I\lambda}, 
    \left\{ 
      \DiffOP{\lambda}\bigl[ (1 - f) {\cal G}_{I\lambda} \bigr] 
    \right\}_{{\cal G}_0}
  \right]
\end{equation}
dostajemy nast�puj�cy wz�r na wyrazy drugiego rz�du w ${\cal G}_I$:
\begin{equation}
  \label{eq:tau_2'}
  \tau'_2 = \bigl[ \{ f' \tau_1 \}, f \tau_1 \bigr]
\end{equation}
(gdzie $\tau_2$ jest wyrazem drugiego rz�du w~${\cal G}_I$, zgodnie ze
wzorem~\eqref{eq;G_I-rozbicie}).

Dla wyrazu drugiego rz�du b�d�cego poprawk� do masy fermionu,
zauwa�aj�c �e stany wej�ciowy i~wyj�ciowy s� takie same, dostajemy
\begin{equation}
  \label{eq:beta-ff}
  \begin{split}
    \beta'_{100,100} 
    &= \bigl[ \{ f' \tau_1 \}, f \tau_1 \bigr]_{100,100} 
    = \bigl( \{f'\} f - f \{f'\} \bigr) 
    [ \alpha_{100,101} \alpha_{101,100} ]_{100,100} = \\
    &= (f^2)' \bigl( \{\} 1 - 1 \{\} \bigr) 
    [ \alpha_{100,101} \alpha_{101,100} ]_{100,100} = \\
    &= (f^2)' \left[ \frac{1}{E_k - E_i} 1 - 1 \frac{1}{E_i - E_k} \right] 
    [ \alpha_{100,101} \alpha_{101,100} ]_{100,100} = \\
    &= (f^2)' 
    \frac{2 [ \alpha_{100,101} \alpha_{101,100} ]_{100,100} }%
    {E_k - E_i}
  \end{split}
\end{equation}
%% !!! UWAGA: trzeba zobaczy�, czy r�wnanie nie wystaje na margines

Poniewa� wyrazy pierwszego rz�du $\tau_1$ nie zale�� od $\lambda$, a
zale�� od niej tylko funkcje $f_{ab}$, zatem mo�emy �atwo odca�kowa�
to r�wnanie r�niczkowe na mas� efektywn�
\begin{equation}
  \label{eq:qmass:beta-rysunkowo}
  \begin{split}
    \beta_{\lambda\,100,100} 
    &= \beta_{\infty\,100,100} + \int_{\infty}^{\lambda} d s\, 
    2 (f_s^2)' \frac{\ffdiagram}{\mathcal{M}_{ba} - \mathcal{M}_{ab}} =\\
    &= \beta_{\infty\,100,100} +  
    2 (f_{\lambda}^2 - 1) \frac{\ffdiagram}{\mathcal{M}_{ba} - \mathcal{M}_{ab}}
  \end{split}
\end{equation}

Z~faktu i� stany ko�cowy i~pocz�tkowy s� identyczne wynika, �e $ba =
bc$ (patrz oznaczenia z rysunku~\ref{fig:energia wlasna fermionu}).
Obliczmy r�nic� mas inwariantnych $ba$ dla tego przypadku:
\begin{equation*}
  \begin{split}
    ba 
    &= (k_1 + k_2)^2 - p_1^2 = (k_1 + k_2 - p_1)^- p_1^+\\
    &= \left[
      \frac{\kappa_\perp^2 + m^2}{x P^+} + 
      \frac{\kappa_\perp^2}{(1 - x) P^+} 
    \right] P^+ - m^2
  \end{split}
\end{equation*}
Skorzystali�my tutaj z tego, �e $k_1^{+,\perp} + k_2^{+,\perp} = p_1^{+,\perp}$,
oraz ze wzoru, �e $p^- = \frac{k_\perp^2 + m^2}{k^+}$.

Mo�emy ten wz�r zapisa� w innej postaci:
\begin{equation*}
  \begin{split}
    \left[ \frac{\kappa_{\perp}^2 + m^2}{x} + 
    \frac{\kappa_{\perp}^2}{(1 - x)} \right] - m^2 
    &=
    \frac{\kappa_{\perp}^2}{x(1 - x)} + \frac{m^2}{x} 
    - m^2 =\\
    &= 
    \frac{\kappa_{\perp}^2}{x(1 - x)} + \frac{m^2(1 - x)}{x} 
  \end{split}
\end{equation*}

Oznaczmy mas� niezmiennicz� stanu po�redniego z�o�onego z fermionu i
gluonu $(k_1 + k_2)^- p_1^+ = \frac{\kappa^2 + m^2}{x(1-x)}$ jako
$\mathcal{M}^2$. Wypiszmy za jej pomoc� funkcj� podobie�stwa dla
cz�onu masowego:
\begin{equation}
  \label{eq:qmass:f_ab}
  f_{ab} = \exp\left[-\frac{(ab)^2}{\lambda^4}\right]
  = \exp\left[ -\frac{(\mathcal{M}^2 - m^2)^2}{\lambda^4} \right]
\end{equation}


Cz�on daj�cy wk�ad do masy efektywnej dany jest wzorem
\begin{equation*}
  {\cal G}_{1,1}
  = \int \dkshort[P] 
  \beta_{100,100} \left(
  \hci{b}{P} \fhci{b}{P} +
  \hci{d}{P} \fhci{d}{P} 
  \right)
\end{equation*}

Czynnik $\beta_{100,100}$ otrzymujemy w~nast�puj�cej postaci
\begin{equation*}
  {\cal G}_{1,1}
  = \int \dkshort[k] 
  \frac{k_\perp^2 + m_{\lambda}^2}{k^+}
  \left(
    \hci{b}{k} \fhci{b}{k} +
    \hci{d}{k} \fhci{d}{k} 
  \right).
\end{equation*}

Wsp�czynnik $\beta_{100,100}$ spe�nia r�wnanie grupy
renormalizacji~\eqref{eq:beta-ff}.  Zapiszmy r�wnanie na
$\mathcal{G}_{1,1}$ korzystaj�c z r�wnania na $\beta_{100,100}$ i
oznaczaj�c kontrcz�on (ca�k� z~$\beta_{\infty 100,100}$) przez
$X_{1,1}^{(2)}(k)\mathstrut$:
\begin{equation*}
  \begin{split}
    {\cal G}_{1,1} &= 
    \int \! \dkshort[p_1 p_2] \hci{a}{p_1} \fhci{a}{p_2} \!\!
    \int \! \dkshort[k_1 k_2] \deltashort(p_1 - k_1 - k_2)\deltashort(k_1 + k_2 - p_1)
    \times\\
    &\quad\times
    \frac{2 g^2(f^2_{ab} - 1)}{k_1^{-} + k_2^{-} - p_1^{-}}
    \sum_{\sigma_1 \sigma_2} 
    \bar{u} {\slashed{\eps}}^{\ast a}_{1} u_2 
    \bar{u}_2  {\slashed{\eps}}^{a}_{1} u\,\,
    r_{\Delta}(ab) r_{\Delta}(bc) r^2_{\delta} + \\
    &\quad\mbox{}+ \int \! \dkshort[k] X_{1,1}^{(2)} (k) \hci{a}{k} \fhci{a}{k} = \\
    &=
    \int \dkshort[P] \frac{1}{P^+} \hci{a}{P} \fhci{a}{P}\!
    \biggl[ 
      g^2 \! \int \dkshort[x \kappa] \frac{1}{P^+} 
      \frac{2(f_{ab}^2 - 1)}{k_1^{-} + k_2^{-} - p_1^{-}} \times\\
      &\quad\times \sum_{\sigma} 
      \bigl (\bar{u} {\slashed{\eps}}^{\ast a}_{\sigma} 
      (\slashed{k_1} + m) {\slashed{\eps}}^{a}_{\sigma} u\bigr)\,
      r^2_{\Delta} r^2_{\delta} 
      +
      P^+ \,X_{1,1}^{(2)}(P)
    \biggr]
  \end{split}
\end{equation*}
Obliczaj�c ${\cal G}_{1,1}$ skorzystali�my z zachowania p�du $P = p_1
= p_2$, wyra�aj�c p�dy za pomoc� p�d�w wzgl�dnych (p�d�w Jacobiego),
oraz skorzystali�my ze wzoru $\sum_{\text{spin}} u \bar{u} =
\slashed{p} + m$.
 
Zatem z postaci ${\cal G}_{1,1}$ widzimy, �e zrenormalizowana masa 
fermionu dana jest wzorem:
\begin{equation*}
  m^2_{\lambda} = m^2_{\infty} + g^2 \!\sum_a \! \int \dkshort[x \kappa] 
  \frac{ \exp\left[-2 (\mathcal{M}^2 - m^2)^2/\lambda^4\right] - 1}%
  {\mathcal{M}^2 - m^2}\,
  r^2_{\Delta}r^2_{\delta}\, 
  \bar{u} \slashed{\eps}^{\ast\,a} (\slashed{k}_1 + m) \slashed{\eps}^a u
\end{equation*}
gdzie $m_{\infty}^2$ (wyraz dla $\lambda$ r�wnego niesko�czono�ci)
zawiera kontrcz�on masowy.

Suma po polaryzacjach gluon�w daje znane wyra�enie
\begin{equation}
  \label{eq:polaryz-gluonu}
  \sum_{\varsigma} \epsilon^{\mu}(k,\varsigma) \epsilon^{\ast\nu}(k,\varsigma)
  = - g^{\mu\nu} + \frac{k^{\mu} g^{+\nu} + g^{+\mu}k^{\nu}}{k^+},
\end{equation}
za� czynnik spinorowy wynosi
\begin{equation}
  \label{eq:qmass:spinorowy}
  \begin{gathered}
    \bar{u}_{m\sigma p} \gamma_\alpha \left(\slashed{k}_{1m} + m\right) 
    \gamma_\beta u_{m\sigma p} 
    \left[
      - g^{\alpha\beta} 
      + \frac{k_2^{\alpha} g^{+\beta} + g^{+\alpha}k_2^{\beta}}{k_2^+}
    \right] \\
    =
    \frac{2}{x} \left[ (1 - x)^2 m^2 + \kappa^2 \frac{1 + x^2}{(1 - x)^2} \right].
  \end{gathered}
\end{equation}


Korzystaj�c z~tych wzor�w dostajemy nast�puj�ce r�wnanie na efektywn�
mas� fermionu 
\begin{equation}
  \label{eq:eff-qmass}
  \begin{split}
    m_{\lambda}^2 &= m_{\infty}^2 
    + \frac{g^2 C_2(F)}{2 (2 \pi)^3} \int 
    \frac{d x\,d^2\!\kappa^{\perp}}{x (1 - x)} 
    \frac{\exp\bigl[-2(\mathcal{M}^2 - m^2)^2/\lambda^4\bigr] - 1}%
    {\mathcal{M}^2 - m^2} \\
    &\quad \times \frac{2}{x} 
    \left[ (1 - x)^2 m^2 + \kappa^2 \frac{1 + x^2}{(1 - x)^2} \right]
    r^2_{\Delta} r^2_{\delta}
  \end{split}
\end{equation}
gdzie \(\delta_{ij} C_2(F) = T^a_{ik} T^a_{kj})\) jest odpowiednim
operatorem Casimira. B�dziemy go oznacza� dla skr�cenia zapisu przez
$C_F \equiv C_2(F)$. Niech \(m_{\lambda}^2 = m^2 + \delta m_{\infty}^2
+ \delta m_{\lambda}^2\).


Zak�adaj�c regularyzacj� nadfioletow� za pomoc�
czynnika~\eqref{eq:regulator-UV}, oraz przeprowadzaj�c odpowiedni�
zamian� zmiennych, dostajemy, �e ca�ka ta dzieli si� na dwie cz�ci:
jedn� gdzie odca�kowujemy funkcj� typu $\displaystyle e^{-z}$ i~drug�
gdzie mamy ca�k� typu \(\frac{1}{z} {\displaystyle e^{-z}}\).

Rozpatrzmy najpierw przypadek masy fermionu r�wnej zero, dla kt�rej
wszystkie ca�ki daje si� wykona� analitycznie. Dzi�ki rozpatrzeniu
tego przypadku poznamy struktur� cz�onu masowego. Dostajemy
nast�puj�ce r�wnanie na poprawk� do wyrazu masowego
\begin{equation}
  \label{eq:qmass:mq-zero}
  \delta m_{\lambda}^2 = 
  \frac{g^2 C_F}{2 (2\pi)^3} \!
  \int \!\!\frac{d^2\!\kappa\,dx}{x(1-x)}
  \frac{\exp\left[ \frac{2 \,\kappa^2}{x(1-x)} \right]^2 
    \!\!\!\Bigm/\!\! \lambda^4 - 1}%
  {\frac{\kappa^2}{x(1-x)}}
  \dfrac{\kappa^2}{x(1-x)}\dfrac{1+x^2}{(1-x)}
  e^{-\frac{\scriptstyle 2 \kappa^2}{\scriptstyle x(1-x)\,\Delta^2}} r_{\delta}^2 
\end{equation}

Obliczmy najpierw cz�� nie zawieraj�c� czynnika podobie�stwa, t.j.
cz�� z $1$, pochodz�c� od $\lambda = \infty$. Zamieniaj�c zmienne na
biegunowe, a~nast�pnie podstawiaj�c
\begin{equation}
  \label{eq:qmass:zamiana-zmiennych}
  z = \frac{\kappa^2}{x(1 - x)},
\end{equation}
i~odca�kowuj�c po $z$ dostajemy:
\begin{equation}
  \label{eq:qmass:mq-zero:1:rdelta}
  \delta m^2_{\lambda} = \frac{\alpha_s C_F}{2 \pi}\frac{\Delta^2}{4} 
  \int_0^1 dx \frac{1+x^2}{1-x} \,r^2_{\delta},
\end{equation}
gdzie $\alpha_s = g^2 / 4 \pi$.

Wida� wi�c, �e ca�ka jest nieokre�lona dla $x \to 1$. Dlatego
wyj�ciowy hamiltonian wymaga� regularyzacji w~obszarze ma�ych x--�w. W
najprostszym przypadku regularyzacji przez obci�cie, przy pomocy
czynnika regularyzuj�cego w~postaci \(r_{\delta}(x) = \Theta(\delta - x)\),
dostajemy wyra�enie
\begin{equation}
  \label{eq:qmass:mq-zero:1:obciecie}
  \delta m^2_{\lambda} = \frac{\alpha_s C_F}{2 \pi}\frac{\Delta^2}{4} 
  \int_0^{1 - \delta} \negthickspace dx\, \frac{1 + x^2}{1 - x}
  = \frac{\alpha_s C_F}{2 \pi} \frac{\Delta^2}{2} \,
  \left( \ln\frac{1}{\delta} - \frac{3}{4} + \dots \right)
\end{equation}
gdzie po�o�yli�my r�wne zero te wyrazy, kt�re maj� granic� $0$ przy
$\delta \to 0$. Wynik~\eqref{eq:qmass:mq-zero:1:obciecie} zale�y od
parametru $\Delta$, nie zale�y za� od szeroko�ci $\lambda$. Jest wi�c
usuwany przez kontrcz�on. Widzimy tutaj mieszanie rozbie�no�ci
nadfioletowej (tylko kwadratowa dla cz�stek bezmasowych) oraz
rozbie�no�ci ma�ych x--�w.

Dla sk�adnika z czynnikiem podobie�stwa dostajemy
\begin{equation}
  \label{eq:qmass:mq-zero:ff}
  \begin{split}
    \delta m^2_{\lambda} &= 
    \frac{\alpha_s C_F}{4 \pi} \int_0^1 dx\, \frac{1+x^2}{1-x} r_{\delta}^2(1-x) 
    \int_0^{\infty} \! dz\: e^{- 2z^2/\lambda^4} e^{-2z/\Delta^2} = \\
    &=
    \frac{\alpha_s C_F}{4 \pi} e^{\frac{1}{2}\frac{\lambda^4}{\Delta^2}}
    \int_0^1 dx \frac{1+x^2}{1-x} r^2_{\delta}(1 - x)
    \frac{\lambda^2}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}} 
    \left(1 - \erf\frac{1}{\Delta^2}\right)
  \end{split}
\end{equation}

Cz�on ten ma sko�czon� granic� przy $\Delta \to \infty$. W tej
granicy dostajemy:
\begin{equation}
  \label{eq:qmass:mq-zero:ff:obciecie}
  m^2_{\lambda} = m^2_{\infty} 
  + \frac{\alpha_s C_F}{2 \pi}\frac{\lambda^2 \sqrt{\pi}}{2 \sqrt{2}}
  \left( \ln\frac{1}{\delta} - \frac{3}{4} \right)
\end{equation}
Widzimy ponadto, �e cz�on ten zale�y od szeroko�ci energetycznej
$\lambda$, a jednocze�nie jest rozbie�ny dla ma�ych x--�w.  Zatem
podanie postaci kontrcz�onu nie jest proste. Efektywna masa fermionu
zawiera� b�dzie rozbie�no�ci podczerwone, gdy� nie da si� usun��
kontrcz�onem (kt�ry zale�e� mo�e tylko od $\Delta$ i~$\delta$)
zale�no�ci od $\delta$, b�d�cej jednocze�nie nietrywialn� funkcj�
$\lambda$.

Zobaczmy, jak wygl�da cz�on z $1$ w og�lnym przypadku masy
fermionu r�nej od zera. Mamy
\begin{equation}
  \label{eq:qmass:mianownik}
  \mathcal{M}^2 - m^2 = 
  \frac{\kappa^2}{x(1 - x)} + \frac{m^2}{x} - m^2
\end{equation}
Wprowadzamy oznaczenie
\begin{equation*}
% \label{eq:qmass:M}
  M(x) = \frac{m^2(1-x)}{x}
\end{equation*}
Dostajemy po zamianie zmiennych jak w~\eqref{eq:qmass:zamiana-zmiennych},
�e ca�kowanie rozpada si� na dwie cz�ci. Pierwsza z nich, postaci
\begin{equation}
  \label{eq:eq:qmass:1:log}
  \int_0^1 \! dx \int_0^{\infty} \! dz \frac{A(x)}{z + M(x)} e^{-2 z/\Delta^2}
  \qquad \text{gdzie} \quad A(x) = \frac{2 \pi m^2}{2 (2 \pi)^3}
\end{equation}
daje rozbie�no�� logarytmiczn� w $\Delta$ oraz cz�on sko�czony, ale
nie zawiera rozbie�no�ci ma�ych x--�w. Druga, takiej samej postaci
jak dla przypadku z mas� fermionu r�wn� zero, jest kwadratowa
w~$\Delta$, i~zawiera rozbie�no�� ma�ych x--�w.

Zatem dostajemy cz�on z nadfioletow� rozbie�no�ci� logarytmiczn�
(plus wyrazy sko�czone), ale bez rozbie�no�ci ma�ych x--�w, oraz cz�on
rozbie�ny kwadratowo w~$\Delta$, b�d�cy jednocze�nie rozbie�nym
podczerwono. Sk�adniki te usuwane s� przez odpowiedni kontrcz�on.

Dla pe�nego wyznaczenia kontrcz�onu nadfioletowego, usuwaj�cego
zale�no�� od regularyzacji $r_{\Delta}$, ��dajmy, by dla szeroko�ci
$\lambda = \lambda_0$ efektywna masa kwarku mia�a zadan� warto��,
r�wn� $m^2_{\lambda_0} \textequ{ozn} m^2_0$. Warto�� $m_0^2$ ustalimy
tak, jak nale�a�oby to zrobi� w~QED.

%% !!! UWAGA: wzory ze strony 2021 G�azek, Acta Phys. Pol.

Widzimy, �e obliczaj�c wyraz masowy dla kwark�w w hamiltonianie
efektywnym $H^{\delta}_{\lambda}$, napotykamy na rozbie�no�ci du�ych
p�d�w prostopad�ych (du�ych energii w�asnych), oraz na rozbie�no�ci
ma�ych p�d�w pod�u�nych. Rozbie�no�ci nadfioletowe usuwamy za pomoc�
kontrcz�onu. Rozbie�no�ci ma�ych x--�w, charakterystyczne dla bozon�w
cechowania, nie daj� si� usun�� w prosty spos�b, gdy� czynnik rozbie�ny
zale�y od szeroko�ci $\lambda$. Nawet gdyby�my dobrali kontrcz�on
w~taki spos�b, by $m^2_0$ by�o wolne od rozbie�no�ci ma�ych x--�w, to
dla innych wielko�ci parametru $\lambda$ nadal mieliby�my
rozbie�no�ci.

% Skoro nie wiemy jak ustali� wielko�� $m_0^2$ (gdy� powinna ona
% zawiera� rozbie�no�� ma�ych x--�w), wi�c musimy ustali� j� wyra�aj�c j�
% pomoc� jakiej� wielko�ci fizycznej. 
Popatrzmy na przypadek elektrodynamiki kwantowej.  W~QED ustalamy
warto�� $m_0^2$ rozwi�zuj�c zagadnienie w�asne dla hamiltonianu
efektywnego przy skali $\lambda_0$ dla swobodnego elektronu
\newcommand{\electronp}{\ket{\text{e}(p)}} % tylko w trybie matematycznym
\begin{equation}
  \label{eq:emass:eigeneq}
  H^{\text{eff}}_{\lambda_0} \electronp 
  = \frac{p_{\perp}^2 + \tilde{m}^2}{p^{+}} \electronp ,
\end{equation}
gdzie $\tilde{m}$ oznacza sko�czon�, fizyczn� mas� elektronu, nie
zawieraj�c� rozbie�no�ci.

Wyprowadzaj�c hamiltonian efektywny musimy uwzgl�dni� istnienie innych
sektor�w Focka poza jednoelektronowym. Robimy to za pomoc�
transformacji $R$ Blocha, podanej przez Wilsona. Transformacj� $R$,
sprowadzaj�c� r�wnanie w�asne do sektora jednego elektronu
(eliminuj�c� inne sektory Focka, z~efektywnymi elektronami, pozytonami
i~fotonami) wyliczamy w rachunku zaburze�. W drugim rz�dzie (dla
dostatecznie ma�ego $\lambda_0$) jedynym dodatkowym sektorem, kt�ry
daje wk�ad do problemu jednoelektronowego, jest sektor z dodatkowym
fotonem. Obliczamy hamiltonian efektywny ze wzoru
\begin{equation}
  \label{eq:Heff}
  H_{\text{eff}} = 
  \frac{1}{\sqrt{P + \hc{R}R}}
  (P + \hc{R}) H_{\lambda} (P + R)
  \frac{1}{\sqrt{P + \hc{R}R}}
\end{equation}
w~kt�rym $P$ jest operatorem rzutowym na stany o~jednym elektronie
efektywnym, a~operator $R$ wyliczamy z r�wnania
\begin{equation}
  \label{eq:R-komutator}
  \commutator{R}{\Ham_0} =
  Q \Ham_I P + Q \Ham_I R - R \Ham_I P - R \Ham R.
\end{equation}
Dominuj�cym wyrazem (najni�szego rz�du) jest wyraz $Q \Ham_I P$.

W rachunku zaburze� do drugiego rz�du w~sta�ej sprz�enia dostajemy
nast�puj�c� posta� r�wnania w�asnego dla elektronu (wyra�aj�c
hamiltonian modelowy za pomoc� operacji $R$ i~pisz�c $H_{AB} = A H�B$).
\begin{equation}
  \label{eq:emass:effeigeneq}
  \begin{split}
    \frac{p_{\perp}^2 + \tilde{m}^2}{p^{+}} \electronp 
    &= \Ham_{PP} \electronp 
    + \Ham_{PQ} \frac{1}{\Ham_0 - \Ham_{QQ}} \Ham_{QP} \electronp \\
    &= \frac{p_{\perp}^2 + m^2_{\lambda_0}}{p^{+}} \electronp 
    - H^{\lambda_0}_{100,101} 
    \frac{1}{H^{\lambda_0}_{101,101} - H_0}
    H^{\lambda_0}_{101,100} \electronp  
  \end{split}
\end{equation}
Poniewa� masa elektronu, jako wielko�� fizyczna, jest sko�czona, wi�c
rozbie�no�ci w~masie efektywnej musz� si� kasowa� z niesko�czono�ciami
pochodz�cymi z~redukcji przestrzeni stan�w do sektora
jednoelektronowego. Niesko�czono�ci te pochodz� z~oddzia�ywania
z~niskoenergetycznymi (mi�kkimi) fotonami.

Mo�emy zastosowa� taki sam schemat w~celu zaproponowania nadfioletowo
sko�czonej cz�ci kontrcz�onu dla wyrazu masowego dla kwarku
efektywnego w QCD. Tym razem jednak rozpatrywane zagadnienie jest
fikcyjne, nie wyst�puj� bowiem swobodne kwarki. Dobrze przeprowadzone
post�powanie musi ten fakt wyja�ni�. Jak dla QED, musimy rozwa�y�
obecno�� dodatkowych sektor�w. Ale w przeciwie�stwie do QED,
chromodynamika kwantowa jest teori� z cechowaniem nieabelowym. Du�a
efektywna sta�a sprz�enia potrzebna w~opisie hadron�w (asymptotyczna
swoboda) powoduje, �e nie mo�emy stosowa� rachunku zaburze� do
wyliczania operacji $R$. Jest to zatem procedura, kt�ra proponuje
posta� kontrcz�onu a~la QED, i~dopiero analiza problemu w�asnego
$H_{\lambda}$ powie nam, do jakich konsekwencji prowadzi ten
wyb�r. W~oryginalnym podej�ciu
Perry'ego\cite{Perry:1995hlc,Brisudova:1996hv} podobny wyb�r
sko�czonej cz�ci kontrcz�onu by� oparty na argumencie, �e
odpowiadaj�ca mu masa efektywna rozwi�zuje r�wnanie grupy
renormalizacji, co oczywi�cie jest i~tutaj prawdziwe w~rachunku
zaburze�\cite{Glazek:1997sd}.
 

% Oznacza to, �e gluony sprz�gaj� si� do
% siebie. Gluony mog� sprz�ga� si� z kwarkami tworz�c stan
% zwi�zany. Ponadto gluony po renormalizacji s� masywne, a w ich masie
% pojawia si� tak samo jak dla kwark�w rozbie�no�� ma�ych x--�w. Zatem
% obliczanie transformacji $R$ w rachunku zaburze� obarczone jest du�ym
% b��dem. Zak�adamy, �e oddzia�ywania nieperturbacyjne zwi�zane
% z~nieliniowo�ci� QCD prowadz� do tego, �e mo�na zastosowa� proste
% obci�cie przestrzenie Focka, wyrzucaj�c sektory zawieraj�ce
% gluony. Podej�cie to uzasadnia fakt, �e model kwark�w konstytuentnych
% (CQM), dobrze opisuj�cy w�asno�ci hadron�w, opisuje hadrony bez u�ycia
% gluon�w. M�wimy, �e gluony odprz�gaj� si� w spos�b nieperturbacyjny od
% sektora kwark--antykwark.

Musimy jeszcze powiedzie�, jakiej wielko�ci powinien by� parametr
$\tilde{m}$. M�wimy, �e jest to masa konstytuentna (dana
w~przybli�eniu przez model kwark�w konstytuentnych).

Ostatecznie przy skali $\lambda_0$ dostajemy nast�puj�cy wz�r na warto�� wyrazu
masowego (zgodnie z~\eqref{eq:emass:effeigeneq}):
\begin{equation}
  \label{eq:qmass:m_0}
  \begin{split}
    m_0^2 &= \tilde{m}^2 
    + \frac{\alpha_s C_F)}{4 \pi} \int 
    \frac{d x}{x(1 - x)} \int dz \\
    &\quad\times \exp\left[-\frac{(\mathcal{M}^2 - m^2)^2}{\lambda_0^4}\right]
    \frac{1}{\mathcal{M}^2 - m^2} 
    \exp\left[-\frac{(\mathcal{M}^2 - m^2)^2}{\lambda_0^4}\right] \\
    &\quad\times \frac{2}{x} \!
    \left[ (1 - x)^2 m^2 + \kappa^2 \frac{1 + x^2}{(1 - x)^2} \right]
    r^2_{\delta},
  \end{split}
\end{equation}
gdzie pomin�li�my cz�on regularyzuj�cy zachowanie dla du�ych p�d�w,
gdy� dla sko�czonego $\lambda$ ca�ka jest sko�czona nadfioletowo.
Usun�li�my zatem w~ten spos�b zale�no�� wyrazu masowego od
regularyzacji $r_{\Delta}$.

\subsection{Efektywne oddzia�ywanie fermion--antyfermion}
\label{sec:kwark-antykwark}

Do rozwa�ania struktury mezon�w oraz oddzia�ywa� van der Waalsa mi�dzy
mezonami potrzebna jest nam znajomo�� postaci oddzia�ywania 
kwark--antykwark (oraz, analogiczne, kwark--kwark) w~hamiltonianie
efektywnym.

\begin{fmffile}{kinem}

\setlength{\unitlength}{1 ex}
\begin{figure}[htbp!]
  \begin{center}
    \fmfframe(1,3)(1,1){
      \begin{fmfgraph*}(60,20)
        \fmfpen{thin}
        \fmfleft{pbl,ptl}
        \fmfright{pbr,ptr}
        \fmflabel{2,\:\pbl}{pbl} \fmflabel{4,\:\pbr}{pbr}
        \fmflabel{1,\:\ptl}{ptl} \fmflabel{3,\:\ptr}{ptr}
        \fmf{plain,label=$1-x$}{pbl,vb} 
        \fmf{plain,tension=3,label=$1-y$}{vb,pbr}
        \fmf{plain,tension=3,label=$x$,label.side=left}{ptl,vt} 
        \fmf{plain,label=$y$,label.side=left}{vt,ptr}
        \fmffreeze
        \fmf{boson,label={$\tilde{k}$,,$\;x-y$},label.side=right}{vb,vt}
      \end{fmfgraph*}
      }
    \caption{Kinematyka dla pojedynczej wymiany}
    \label{fig:kinem}
  \end{center}
\end{figure}
\end{fmffile}

Wprowad�my nast�puj�ce oznaczenia dla p�d�w poprzecznych:
oznaczmy p�d prostopad�y dla p�d�w o indeksie 1 przez $\kappa^{\perp}$,
za� dla p�d�w o indeksie 2 przez $\rho^{\perp}$. P�dy 
$\pp{1}, \pp{3}$ oraz $\pp{2}, \pp{4}$ s� p�dami na pow�oce masy, za� p�d
$\tilde{k}$ jest p�dem wirtualnego bozonu cechowania (gluonu).

Poniewa� mamy zachowany tr�jp�d: $\pp{1}^+ + \pp{2}^+ = \pp{3}^+ + \pp{4}^+$
oraz $\pp{1}^{\perp} + \pp{2}^{\perp} = \pp{3}^{\perp} + \pp{4}^{\perp}$,
mo�emy p�dy zapisa� za pomoc� p�d�w Jacobiego na froncie �wietlnym,
\begin{align*}
  \pp{1}^+ &= x P^+, \\
  \pp{1}^{\perp} &= x P^{\perp} + \kappa^{\perp}, \\[2 mm]
  \pp{2}^+ &= (1 - x) P^+, \\
  \pp{2}^{\perp} &= (1 - x) p^{\perp} - \kappa^{\perp},
\end{align*}
i analogicznie dla pozosta�ych zmiennych (z zachowania tr�jp�du wynika
�e $P$ jest to samo dla p�d�w o indeksach 2, co dla p�d�w o indeksach
1), tylko zamiast $x$ jest $y$, za� zamiast $\kappa^{\perp}$:
$\rho^{\perp}$. Dla uproszczenia wybierzemy uk�ad, dla kt�rego
$P^{\perp} = 0$ (niezmienniczo�� dynamiki wzgl�dem pchni�� Lorentza
powoduje, �e to uproszczenie nie traci nic z~og�lno�ci rozumowania).

Warunek, �e p�dy fermion�w s� na pow�oce masy ($\pp{1}^2 = m_1^2$
itp.)  oznacza, �e np. (dla uproszczenia za��my, �e obie oddzia�uj�ce
cz�stki maj� te same masy, $m_1 = m_2 = m$)
\begin{equation*}
  \pp{1}^{-} 
  = \frac{\pp{1}^{\perp\,2} + m^2}{\pp{1}^+} 
  = \frac{\kappa^{\perp\,2} + m^2}{x P^+}
\end{equation*}

Oznaczmy $\tilde{k}_1 = \pp{1} - \pp{3}$. Wtedy
(uwaga: zazwyczaj $\pp{1}^- - \pp{3}^- \neq \pp{2}^- - \pp{4}^-$) 
\begin{align*}
  \tilde{k}_1^{+} &= (x - y) P^{+} \\
  \tilde{k}_1^{\perp} &= \kappa^{\perp} - \rho^{\perp} \\
  \tilde{k}_1^{-} 
  &= \frac{\kappa^{\perp\,2} + m^2}{x P^+} - \frac{\rho^{\perp\,2} + m^2}{y P^+} 
  = (y - x) \mathcal{M}_1^2 \frac{1}{P^+}
\end{align*}
gdzie przez $\mathcal{M}_1^2$ oznaczyli�my niezmiennicz� mas� uk�adu 
fermion�w 1:
\begin{equation*}
  \mathcal{M}_1^2 = (\pp{1} + \pp{2})^2 = \frac{\kappa^{\perp\,2} + m^2}{x (1 - x)}
\end{equation*}

Przez $k$ oznaczamy czterowektor p�du bozonu na pow�oce masy
t.j. $k^{+,\perp} = \tilde{k}_1^{+,\perp} = \tilde{k}_2^{+,\perp}$,
natomiast 
\begin{equation*}
  k^- 
  = \frac{k^{\perp\,2}}{k^+} 
  = \frac{(\kappa^{\perp} - \rho^{\perp})^2}{(x - y) P^+},
\end{equation*}

%% Opr�niamy pude�ko aby nie zajmowa� pami�ci
\savebox{\ffdiagrambox}{}

Efektywne oddzia�ywanie kwark--antykwark ma struktur�
\begin{equation*}
  {\cal G}_{110,110}
  = \int \dkshort[P] \frac{1}{P^+}
  \sum_{\text{spiny}} \int \dkshort[x\kappa] \, \dkshort[y\rho]
    \beta_{110,110} \,\,
    \hci{b}{xP + \kappa} \hci{b}{(1-x)P - \kappa}
    \fhci{b}{yP + \rho} \fhci{d}{(1-y)P - \rho}
\end{equation*}
gdzie wsp�czynnik $\beta_{110,110}$ spe�nia r�wnanie (patrz
rozdzia�~\ref{sec:metoda}) 
\begin{equation*}
  \begin{split}
    \beta'_{110,110} &= f_2 [ \alpha_{110,001} \alpha_{001,110}
    + \alpha_{100,101} \alpha_{011,010} 
    + \alpha_{010,011} \alpha_{101,100} ]_{110,110}
  \end{split}
\end{equation*}
Po prawej stronie tylko czynnik $f_2$ zale�y od $\lambda$, wi�c
r�wnania te �atwo si� rozwi�zuje. Nale�y pami�ta� jednak o~wyrazach
natychmiastowych w~wyj�ciowym hamiltonianie (z natychmiastow� wymian�
gluonu mi�dzy kwarkiem i antykwarkiem), pochodz�cych z eliminacji
zale�nych stopni swobody, kt�re to wyrazy maj� struktur� $110,110$.
Daj� one warunek pocz�tkowy (w $\lambda = \infty$) dla r�wnania na
$\beta$.

Z pojedynczej wymiany gluonu dostaniemy czynnik
\begin{equation}
  \label{eq:beta_110,110:przed}
  \beta_{110,110} =  
  \frac{-g^2 \mathcal{F}_{2\lambda}}{(x - y)P^+} r_{\Delta\delta}
  \sum_{\sigma} 
  \bar{u}_1 \slashed{\varepsilon}^a_{k_5\,\sigma} u_2
  \bar{v}_4 \slashed{\varepsilon}^{\ast a}_{k_5\,\sigma} v_3
  %+ \dots
  %% !!! co tutaj mia�o by�?
\end{equation}

Suma po polaryzacjach gluonu dana jest wyra�eniem
\begin{equation}
  \label{eq:gluon-polarisations-sum}
  \sum_{\varsigma} \epsilon^{\mu}(k,\varsigma) \epsilon^{\ast\nu}(k,\varsigma)
  = - g^{\mu\nu} + \frac{k^{\mu} g^{+\nu} + g^{+\mu}k^{\nu}}{k^+}.
\end{equation}
Korzystamy tutaj z zapisu lorentzowskiego, aby m�c z�o�y� ten czynnik z
cz�onem natychmiastowej wymiany.

Mamy $k = k_1 - k_2$ dla sk�adowych przestrzennych. Zatem korzystaj�c
z~r�wnania Diraca mo�emy zapisa�
\begin{equation}
  \label{eq:ubar-kslash-u}
  \begin{split}
    \bar{u}(k_1) \slashed{k} u(k_2) 
    &= \bar{u}_1 \left[ 
      \slashed{\tilde{k}}_2 - \slashed{\tilde{k}}_1 + 
      \frac{\gamma^{+}}{2} \bigl[ (k_2 - k_1)_{0}^{-} - \tilde{k}_2^- + \tilde{k}_1^- \bigr]
    \right] u_2 \\
    &= \bar{u}_1 \gamma^{+} u_2 \frac{-(\tilde{k}_2 - \tilde{k}_1)^2}{2(k_2^+ - k_1^+)}
  \end{split}
\end{equation}

Korzystaj�c z~powy�szego wzoru dostajemy, �e
\begin{equation}
  \label{eq:beta_110,110:conf}
  \begin{split}
    \beta_{110,110} &=  
    - g^2 r_{\Delta\delta} \frac{\mathcal{F}_{2\lambda}}{(x - y)P^+} \\
    &\quad \times \left[
      -g^{\mu\nu} - g^{\mu+}g^{\nu+} 
      \frac{\tilde{k}_2^2 + \tilde{k}_1^2}{2 (x - y)^2 P^{+\,2}}
    \right]
    \bar{u}_1 \gamma_{\mu} T^a u_2
    \bar{v}_4 \gamma_{\nu} T^a v_3 + \\
    &+ (x \leftrightarrow y)
  \end{split}
\end{equation}
Musimy uwzgl�dni� jeszcze cz�on natychmiastowy kt�ry ma posta�
\begin{equation}
  \label{eq:beta_110,110:seagull}
  \beta_{\text{seagull}} = -g^2 r_{\Delta\delta}
  \frac{1}{(x - y)^2 P^{+\,2}}
  \bar{u}_1 \gamma^+ u_2 \bar{v}_4 \gamma^+ v_3
\end{equation}


Aby upro�ci� rozwa�ania i~m�c jak najwi�cej powiedzie�
o~oddzia�ywaniach mi�dzy kwarkami, b�dziemy prowadzi� obliczenia
w~przybli�eniu nierelatywistycznym, t.j. dla ci�kich kwark�w. Dzi�ki
temu, �e hamiltonian jest przydiagonalny w~energiach, to je�li jego
szeroko�� jest du�o mniejsza od energii spoczynkowej cz�stek kt�re
rozwa�amy, mo�emy obci�� przestrze� stan�w do stan�w
nierelatywistycznych, t.j. o~energii kinetycznej du�o mniejszej od
energii spoczynkowej.  Dzi�ki temu, �e hamiltonian jest w�ski wyj�cie
z~macierzy hamiltonian, okna o~szeroko�ci du�o wi�kszej od szeroko�ci
hamiltonianu nie powoduje znacz�cych poprawek.  Sprz�enie do stan�w
o~wy�szych energiach jest ma�e (rysunek~\ref{fig:nierelat}).  Szersze
rozwa�ania n.t. redukcji dynamiki do obszaru nierelatywistycznego
znale�� mo�na w~\cite{Wieckowski:97MTh}.

\setlength{\unitlength}{3 ex}

\begin{figure}[htbp!]
  \begin{center}
    \begin{picture}(10,10)(0,-1)
      \put(0,0){\framebox(8,8){}}
      \put(0,7){\line(1,-1){7}}
      \put(1,8){\line(1,-1){7}}
      \linethickness{0.5 pt} % standardowa 0.4 pt
      \put(8,0){
        \put(-3.5,0){\line( 0,1){3.5}}
        \put(0, 3.5){\line(-1,0){3.5}}
        }
      \thinlines
      \put(8.3,3.5){\makebox(0,0)[lc]{\ensuremath{m c^2}}}
    \end{picture}
    \caption{Przybli�enie nierelatywistyczne w renormalizacji przez podobie�stwo}
    \label{fig:nierelat}
  \end{center}
\end{figure}


Aby m�c prowadzi� przybli�enie nierelatywistyczne szeroko��
hamiltonianu powinna by� du�o mniejsza od $m c^2$. Potrzebne s�
ci�kie kwarki, aby $\lambda$ nie musia�o by� zbyt ma�e i~mog�o by�
du�e w~por�wnaniu z~$\Lambda_{\text{QCD}}$. Przy bardzo
ma�ym $\lambda$ nie mo�emy stosowa� rachunku zaburze�, gdy� efektywna
sta�a sprz�enia $g_{\lambda}$ ro�nie, gdy $\lambda$ d��y do zera. 


Aby zdefiniowa� przybli�enie nierelatywistyczne wprowadzamy zmienn�
$k_3$, tak by niezmiennicza masa uk�adu dwu fermion�w dana by�a wzorem
\begin{equation*}
  \mathcal{M} = 2 E_{\text{nrel}} = 2 \sqrt{\vect{k}^2 + m^2}
\end{equation*}
gdzie $\vect{k} = (k^{\perp},k_3)$. Zak�adamy, �e $k^{\perp} =
\kappa^{\perp}$, i~powy�szy wz�r s�u�y nam do zdefiniowania
$k_3$. Znaj�c $\vect{k}$ b�dziemy mogli powiedzie�, co oznacza �e p�d
jest ma�y w por�wnaniu z mas�.

Dostajemy
\begin{subequations}
  \label{eq:nrel:kinet}
  \begin{gather}
    \label{eq:nrel:mass2}
    \frac{\kappa^{\perp\,2} + m^2}{x(1 - x)} =
    \mathcal{M}^2 = 4 ({\kappa^{\perp}}^2 + k_3^2 + m^2) \\
    \intertext{zatem}
    \label{eq:nrel:k3}
    k_3 = \bigl( x - \frac{1}{2} \bigr) \mathcal{M} \\
    \label{eq:nrel:x}
    x = \frac{1}{2} + \frac{k_3}{\mathcal{M}} 
    = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{k_3}{\sqrt{\vect{k}^2 + m^2}} \right)
  \end{gather}
\end{subequations}

M�wimy, �e p�dy fermion�w s� nierelatywistyczne, gdy wszystkie
sk�adowe tr�jwektora $\vect{k}$ s� ma�e w por�wnaniu z $m c$. Oznacza
to, mi�dzy innymi, �e $x$ jest bliskie $\frac{1}{2}$:

\begin{equation*}
  x \approx \frac{1}{2} \left(
    1 + \frac{k_3}{m} - \frac{1}{2} \frac{k_3}{m} \frac{\vect{k}^2}{m^2}
    + o \left( \frac{k^5}{m^5} \right) 
  \right)
\end{equation*}

Wzory te mo�na uog�lni� na przypadek r�nych mas obu fermion�w
tworz�cych rozwa�any przez nas stan\cite{Brisudova:1996hv}. 

Ostatecznie dostajemy 
\begin{equation}
  \label{eq:nrel:x-eta}
  x = \dfrac{1}{2} + \eta
\end{equation}
gdzie $\eta$ w przybli�eniu nierelatywistycznym jest ma�e.

%% !!! UWAGA: wyci�ty wewn�trzny czynnik podobie�stwa
%% !!!!!! WA�NE, WR�CI�

Do wyliczenia hamiltonianu efektywnego potrzebna nam jest znajomo��
wewn�trznego czynnika podobie�stwa. W drugim rz�dzie rachunku zaburze�
dany jest on wzorem~\eqref{eq:F2lambda}:
\begin{equation*}
% \label{eq:F2lambda2}
  \mathcal{F}_{2\lambda}(a, b, c)
  = \frac{P^+_{ba} ba + P^+_{bc} bc}{(ba)^2 + (bc)^2}
  \left( f_{\lambda}(a,b) f_{\lambda}(b,c) - 1 \right)
\end{equation*}

W naszej notacji (patrz rysunek~\ref{fig:kinem}) mamy
\begin{align*}
  P^+_{ab} = P^+_{ba} &= \pp{1}^+ 
  & {\cal M}^2_{ab} &= \pp{1}^2 \\
  && {\cal M}^2_{ba} &= (\pp{3} + k)^2 \\
  P^+_{bc} = P^+_{cb} &= \pp{4}^+
  & {\cal M}^2_{bc} &= (k + \pp{2})^2 \\
  && {\cal M}^2_{cb} &= \pp{4}^2 
\end{align*}
gdzie, zgodnie z definicj� energii na froncie �wietlnym, p�d gluonu $k$ ma
wsp�rz�dn� $k^-$ dan� wzorem
\begin{equation*}
  k^- = \frac{(\kappa^{\perp} - \rho^{\perp})^2}{(x - y) P^+}.
\end{equation*}

Obliczamy ile wynosz� r�nice energii w�asnych $ba$ oraz $bc$,
potrzebne do wyliczenia wewn�trznego czynnika podobie�stwa
\begin{subequations}
  \label{eq:ba,bc:pedy}
  \begin{align}
    \label{eq:ba:pedy}
    ba = {\cal M}^2_{ba} - {\cal M}^2_{ab} 
    &= (\pp{3} + k)^2 - \pp{1}^2 
    = (\pp{3} + k - \pp{1})(\pp{3} + k + \pp{1}) \\
    \label{eq:bc:pedy}
    bc = {\cal M}^2_{bc} - {\cal M}^2_{cb} 
    &= (k + \pp{2})^2 - \pp{4}^2 = (k + \pp{2} - \pp{4})(k + \pp{2} + \pp{4}) 
  \end{align}
\end{subequations}

Korzystaj�c z~w�asno�ci p�du $k$ oraz wyra�aj�c p�dy cz�stek za
pomoc� p�d�w wzgl�dnych, dostajemy
\begin{subequations}
  \label{eq:ba,bc}
  \begin{gather}
    \label{eq:ba}
    ba = 
    x \left[ 
      \frac{\rho^{\perp\,2} + m^2}{y} + 
      \frac{(\kappa^{\perp} - \rho^{\perp})^2 }{x - y} -
      \frac{\kappa^{\perp\,2} + m^2}{x}
    \right] \\
    \label{eq:bc}
    bc = 
    (1 - y) \left[
      \frac{(\kappa^{\perp} - \rho^{\perp})^2}{x - y} +
      \frac{\kappa^{\perp\,2} + m^2}{1 - x} - 
      \frac{\rho^{\perp\,2} + m^2}{1 - y}
    \right]
  \end{gather}
\end{subequations}


W przybli�eniu nierelatywistycznym, charakterystyczn� r�nic� energii
pojawiaj�c� si� przy wyliczaniu $ab$ i $ba$,
\begin{equation}
  \label{eq:nrel:DM_q}
  -\DM_p \oznequ P^+ \tilde{k}_1^{-} 
  = \frac{\kappa^{\perp\,2} + m^2}{x} - \frac{\rho^{\perp\,2} + m^2}{y},
\end{equation}
rozwijamy, u�ywaj�c wzoru~\eqref{eq:nrel:x-eta} (i~analogicznego dla
$y$), otrzymuj�c
\begin{equation*}
  \frac{\kappa^{\perp\,2} + m^2}{\frac{1}{2} - \eta_x}
  - \frac{\rho^{\perp\,2} + m^2}{\frac{1}{2} - \eta_y}
\end{equation*}
Poniewa� $\kappa^{\perp}, \rho^{\perp}$ i~$\eta_i$ s� ma�e 
(przy czym $\eta_i \ll 1$)
\begin{equation}
  \label{eq:nrel:DM_p}
  -\DM_p \simeq 4 m^2 (\eta_x - \eta_y) + o(\vect{k}^2).
\end{equation}

Wypisali�my tylko wyrazy najni�szego rz�du w p�dach.  Dok�adnie taki
sam rezultat dostaniemy dla $\DM_q$, czyli dla analogicznej r�nicy
energii, pojawiaj�cej si� wzorze~\eqref{eq:bc} na $bc$. Korzystaj�c
z~powy�szego wzoru i~wstawiaj�c go do~\eqref{eq:ba,bc} dostajemy:
\begin{equation}
  \label{eq:nrel:ba:long}
  \begin{split}
    \frac{ba}{x} &= \left[ 
      \frac{\rho^{\perp\,2} + m^2}{y}  
      - \frac{\kappa^{\perp\,2} + m^2}{x}
      + \frac{(\kappa^{\perp} - \rho^{\perp})^2}{x - y} 
    \right] = \\
    &= \left[ 4 m^2 (\eta_y - \eta_x) 
      + \frac{(\kappa^{\perp} - \rho^{\perp})^2}{\eta_y - \eta_x}
    \right] = \\
    &= \frac{1}{\eta_y - \eta_y} ( q_z^2 + q^{\perp\,2} ),
  \end{split}
\end{equation}
gdzie $q^{\perp} = \kappa^{\perp} - \rho^{\perp}$ 
oraz $q_z = 2 m (\eta_x - \eta_y) = 2 m (x - y)$.

Zatem, wyra�aj�c $ba$ i~$bc$ za pomoc� tr�jwektora $\vect{q}$ 
otrzymujemy
\begin{subequations}
  \label{eq:nrel:ba,bc}
  \begin{gather}
    \label{eq:nrel:ba}
    ba = x \, \frac{\vect{q}^2}{x - y} \\
    \label{eq:nrel:bc}
    bc = (1 - y) \, \frac{\vect{q}^2}{x - y}
  \end{gather}
\end{subequations}

Dostajemy wi�c nast�puj�cy wz�r na wewn�trzny czynnik podobie�stwa
\begin{equation}
  \label{eq:nrel:F2lambda}
  {\cal F}_{2\lambda}
  = \frac{(x - y) P^{+}}{\vect{q}^2} 
  \left( f_{ab} f_{bc} - 1 \right)
\end{equation}

Dla $f_{\lambda}(ab)$ danego wzorem~\eqref{eq:f2:def}, przyjmuj�c �e
$ab$ oraz $bc$ s� zdefiniowane przez~\eqref{eq:ba,bc}, dostajemy
\begin{equation}
  \label{eq:ba2+bc2}
  (ba)^2 + (bc)^2 = \bigl( x^2 + (1 - y)^2 \bigr)
  \left[ \frac{(\kappa^{\perp} - \rho^{\perp})^2}{x - y} + \DM \right]
\end{equation}
Zgodnie z przybli�eniem nierelatywistycznym na $ba$ i $bc$, danym
r�wnaniem~\eqref{eq:nrel:ba,bc}, mo�emy napisa�
\begin{equation}
  \label{eq:nrel:ba2+bc2}
  (ba)^2 + (bc)^2 = \bigr( x^2 + (1 - y)^2 \bigl) 
  \left[ \frac{\vect{q}^2}{x - y} \right].
\end{equation}
Uwzgl�dniaj�c zatem tylko wyrazy najni�szego rz�du w p�dach,
otrzymujemy
\begin{equation}
  \label{eq:nrel:f_ab-f_bc}
  f_{\lambda}(ab) f_{\lambda}(bc) = 
  \exp \left[ - \frac{\vect{q}^4}{q_z^2} \frac{4 m^2}{2 \lambda^4} \right]
\end{equation}



Do wyliczenia postaci cz�onu oddzia�ywania w~hamiltonianie efektywnym
potrzebna jest nam tak�e posta� zewn�trznego czynnika podobie�stwa,
mno��cego operator $\mathcal{G}_{\lambda}$. Poniewa� stan przed i~po
oddzia�ywaniu zawiera te same cz�stki, a~w~przybli�eniu
nierelatywistycznym dominuje energia spoczynkowa, wi�c mo�emy przyj��, 
�e zewn�trzny czynnik podobie�stwa jest w~wiod�cym rz�dzie r�wny 1, bo
ro�ni�cie energii kinetycznych dla fermion�w jest ma�e w~por�wnaniu
z~$\lambda$ w~dominuj�cych konfiguracjach kwark�w.
%% !!! UWAGA: do poprawienia

Aby wyliczy� efektywne oddzia�ywanie mi�dzy kwarkami musimy zna�
posta� czynnik�w spinorowych $\bar{u} \gamma^+ u$ oraz $\bar{u}
\gamma^{\mu} u$. W~og�lnym przypadku daj� one skomplikowan� zale�no��
od spinu. Jednak w~przybli�eniu nierelatywistycznym wzory na czynniki
spinorowe upraszczaj� si�.

Potrzebny nam b�d� czynniki $\bar{u} \gamma^+ u$ oraz $\bar{v}
\gamma^+ v$, pojawiaj�ce si� w~oddzia�ywaniu efektywnym. 
% Z definicji $\bar{u} = \hc{u} \gamma^0$. 
%% !!! UWAGA: ostatnie zdanie chyba do usuni�cia
                                
Mamy \( \bar{u} \gamma^+ u = \hc{u} \gamma^0 \gamma^+ u 
= \hc{u} 2 \Lambda_{+} u\). Rozpisuj�c wzorki na spinory~\eqref{eq:u-mpl}
dostajemy
\begin{equation*}
  \bar{u}_{p_1 m \lambda_1} \gamma^+ u_{p_2 m \lambda_2} 
  = \hci{u}{p_1 m \lambda_1} 2 \Lambda^+ \, \ffhci{u}{p_2 m \lambda_2}  
  = \hci{\zeta}{\lambda_1} 4 \sqrt{p_1^+ \, p_2^+} \Lambda_+ \ffhci{\zeta}{\lambda_2}
\end{equation*}

Analogicznie dostajemy wz�r dla $\bar{v} \gamma^+ v$.  Z~postaci
macierzy $\Lambda_{\pm} = \frac{1}{2}(1 \pm \alpha^3)$ w~reprezentacji
Diraca dostajemy, �e
\begin{align*}
  \hci{u}{\uparrow} \Lambda_{\pm} \ffhci{u}{\uparrow}    
  &=
  \hci{u}{\downarrow} \Lambda_{\pm} \ffhci{u}{\downarrow}    
  = \dfrac{1}{2}\, 2m \\
  \hci{u}{\uparrow} \Lambda_{\pm} \ffhci{u}{\downarrow} 
  &= 
  \hci{u}{\downarrow} \Lambda_{\pm} \ffhci{u}{\uparrow} 
  = 0 
\end{align*}
i~podobnie dla antykwark�w.

Zatem wyra�enie $\bar{u} \gamma^+ u \, \bar{v} \gamma^+ v$ redukuje
si� do $2 \sqrt{x (1 - x) y (1 - y)} P^{+\,2}$


\medskip

Pozostaje obliczy� ile wynosi $\bar{u} \gamma^{\mu} u \, \bar{v} \gamma_{\mu} v$.
Rozpisujemy iloczyn skalarny macierzy $\gamma$:

% = \hc{u} \Lambda_- u$:
Rozpisuj�c $\bar{u} \gamma^- u$ dostajemy
\begin{equation*}
  \bar{u}_{p_1 m \lambda_1} \gamma^- \ffhci{u}{p_2 m \lambda_2} 
  = \hci{u}{p_1 m \lambda_1} 2 \Lambda^- \, \ffhci{u}{p_2 m \lambda_2}  
  \approx \frac{4 m^2}{\sqrt{p_1^+ \, p_2^+}} 
  \hci{\zeta}{1} \Lambda_- \ffhci{\zeta}{2},
\end{equation*}
gdy� w przybli�eniu nierelatywistycznym dominuje cz�on z $m^2$. 
Natomiast
\begin{equation*}
  \bar{u}_{p_1 m \lambda_1} \gamma^i u_{p_2 m \lambda_2} 
  = \hci{u}{p_1 m \lambda_1} \alpha^i \ffhci{u}{p_2 m \lambda_2}  
  \approx \frac{2 m}{\sqrt{p_1^+ \, p_2^+}}
  \hci{\zeta}{1} \alpha^i\,( p_1^+ \Lambda_- + p_2^+ \Lambda_+ ) \ffhci{\zeta}{2}
\end{equation*}
gdzie w przybli�eniu nierelatywistycznym pozostawili�my cz�on
dominuj�cy w~p�dach. Macierze $\alpha^i \Lambda_{\pm}$ maj� niezerowe
elementy, gdy cz�stki maj� przeciwny spin.  

Korzystaj�c z faktu, �e \(\hci{\zeta}{1} \alpha^{\perp} \Lambda_-
\zeta_2 = - \hci{\zeta}{1} \alpha^{\perp} \Lambda_+ \zeta_2\),
dostajemy �e cz�onu ten jest proporcjonalny do r�nicy p�d�w 
\(p_1^+ - p_2^+\). Cz�on zmieniaj�cy spin jest zatem pomijalnie ma�y
w przybli�eniu nierelatywistycznym.

Zatem $\bar{u} \gamma^{\mu} u \bar{v} \gamma_{\mu} v \approx 
\sqrt{x (1 - x) y (1 - y)} 4 m^4$. Oddzia�ywanie nie zmienia spinu cz�stek.


Pomijaj�c czynnik $\sqrt{x (1 - x) y (1 - y)}$ kt�ry si� skraca z
analogicznym czynnikiem w potencjale, przy definicji funkcji falowej
mezonu wzorem
\begin{equation}
  \label{eq:ffalowa-def}
  \ket{P} = \int 
  \frac{d^2 \kappa \, dx}%
  {2 (2 \pi)^3 \tsqrt{x(1 - x)}} \medspace
  \phi(\kappa,x) \hc{b} \hc{d} \vacz,
\end{equation}
dostajemy, �e w~przybli�eniu nierelatywistycznym struktura spinorowa
wyrazu oddzia�ywania dana jest nast�puj�cymi wzorami:
\begin{subequations}
  \label{eq:nrel:spinory}
  \begin{align}
    \label{eq:nrel:spinory+}
    \bar{u} \gamma^+ u \bar{v} \gamma^+ v \quad
    &\longrightarrow \quad 4 p^{+\,2} \\
    \label{eq:nrel:spinory-mu}
    \bar{u} \gamma^{\mu} u \bar{v} \gamma_{\mu} v \quad
    &\longrightarrow \quad 4 m^2
  \end{align}  
\end{subequations}


\subsection{Potencja�y efektywne w~przybli�eniu nierelatywistycznym}
\label{sec:nierel-ff}

W~drugim rz�dzie rachunku zaburze� dostajemy tak�e cz�on anihilacyjny,
ale poniewa� macierze kolorowe s� bez�ladowe, wi�c nie daje on wk�adu
do oddzia�ywania dla uk�adu $q\bar{q}$, b�d�cego singletem kolorowym.
Nie zawiera on r�wnie� czynnika rozbie�nego. Cz�on ten m�g�by mie�
znaczenie przy rozwa�aniu oddzia�ywa� van der Waalsa mi�dzy dwoma
mezonami, ale daje on potencja� kr�tkozasi�gowy, wi�c mo�na go pomin��
w~rozwa�aniach.

Rozpatrzmy teraz pe�n� posta� oddzia�ywania kwark--antykwark w
przybli�eniu nierelatywistycznym.

Cz�on coulombowski przybiera posta�
\begin{equation*}
    \beta_{c} = -g^2 {\cal F}_{2\lambda} \frac{\theta(x - y)}{(x - y)P^+}
    \bar{u}_1 \gamma^{\mu} u_2 \bar{v}_1 \gamma_{\mu} v_2 
    + (\text{analogiczny z~} x \leftrightarrow y) 
\end{equation*}

Korzystaj�c z przybli�enia nierelatywistycznego na wewn�trzny czynnik
podobie�stwa oraz na struktur� spinorow� otrzymujemy
\def\FF{\ensuremath{\mathsf{FF}}}
\begin{equation}
  \label{eq:pot-coulomb:beta}
  h_{c} = \beta_c f_{ac} 
  = \frac{g_{\lambda}^2 4 m^2 \FF}{\vect{q}^2} 
  \bigl( f_{ab} f_{bc} - 1 \bigr) f_{ac}
\end{equation}
gdzie $\FF$ oznacza czynnik kolorowy dla wymiany.  Poniewa� zewn�trzny czynnik
podobie�stwa w~granicy nierelatywistycznej jest w~przybli�eniu r�wny
jeden, wi�c b�dziemy go pomija� w~dalszych wzorach.

U�ywaj�c operatora Casimira
\begin{equation}
  \label{eq:Casimir-mezon}
  C_2(\stan) = (F_{q} + F_{\bar{q}})^2 = 
  F^2_{q} + 2 F_{q} \cdot F_{\bar{q}} + F^2_{\bar{q}} =
  C_2(3) + 2 F_{q} \cdot F_{\bar{q}} + C_2(3^{\ast}))
\end{equation}
dostajemy, �e czynnik kolorowy daje si� zapisa� w~postaci
\begin{equation}
  \label{eq:czynnik-kolorowy}
  2 \FF = 2 F_{q} \cdot F_{\bar{q}} = 
  C(\stan) - 2 C(3),
\end{equation}
w~zale�no�ci od stanu kolorowego w~kt�rym znajduje si� mezon.  Dla
mezonu w~singlecie kolorowym dostajemy identyczny czynnik kolorowy jak
ten, kt�ry mamy w~masie efektywnej.

Kolorowe oddzia�ywanie Coulomba zawiera obci�cie przekaz�w
p�d�w od do�u (przez czynnik pochodz�cy z~transformacji podobie�stwa),
zapewniaj�ce, �e p�d niesiony przez gluon jest dostatecznie
du�y. Wyraz ten pojawia si� w hamiltonianie jako rezultat
wyeliminowania oddzia�ywa� mi�dzy stanami r�ni�cymi si� energi�
swobodn� o~wi�cej ni� $\lambda$.

Je�li pomin�� czynnik podobie�stwa obcinaj�cy p�dy od do�u to, �e
oddzia�ywanie w przestrzeni p�d�w, zachowuj�ce si� jak $1/\vect{q}^2$,
daje potencja� coulombowski. W~naszym przypadku wewn�trzny czynnik
podobie�stwa zapewnia, �e energia gluonu przenosz�cego oddzia�ywanie
jest du�a, $\sim \abs{\vect{q}}$, w~por�wnaniu z~energi� kinetyczn�
kwark�w $\sim \vect{q}^2/m$ (jest tak w~przypadku nierelatywistycznym,
gdzie $\abs{\vect{q}} \ll m$).
%% !!! UWAGA: powy�szego nie jestem pewien i~nie mog� znale�� uzasadnienia

Cz�on coulombowski nie jest jedynym wyrazem typu oddzia�ywania
potencjalnego w~$H_{\lambda}$. W oddzia�ywaniu efektywnym mamy poza
nim dwa wyra�enia, ze struktur� spinorow� typu $\bar{u} \gamma^+ u
\bar{v} \gamma^+ v$.

Wypiszmy najpierw cz�on pochodz�cy z wymiany gluonu, zwi�zany z drugim
sk�adnikiem wzoru na sum� po polaryzacjach gluonu:
\begin{equation*}
  \begin{split}
    \beta_{w1} &= -g^2 \FF \mathcal{F}_{2\lambda} \frac{\theta(x - y)}{(x - y)P^+}
    \frac{\tilde{k}_p^2 + \tilde{k}_q^2}{2 (x - y)^2 P^{+\,2}}
    \bar{u}_1 \gamma^+ u_2 \bar{v}_1 \gamma^+ v_2
    + (x \leftrightarrow y)
  \end{split}
\end{equation*}

W przybli�eniu nierelatywistycznym $\tilde{k}_p^2 \approx
\tilde{k}_q^2$. Wtedy $\tilde{k}_p^2 = \tilde{k}_q^2 = \vect{q}^2$.
Korzystaj�c z nierelatywistycznego wzoru na
$\mathcal{F}_{2\lambda}$~\eqref{eq:nrel:F2lambda} dostajemy
\begin{equation*}
  \begin{split}
    \mathcal{F}_{2\lambda} &\frac{\FF}{(x - y) P^+}
    \frac{\tilde{k}_p^2 + \tilde{k}_q^2}{2 (x - y)^2 {P^{+}}^2} \approx \\
    &\approx
    \frac{(x - y)P^+}{\vect{q}^2} \bigl[ f_{ab} f_{bc} - 1 \bigr]
    \frac{\FF}{(x - y) P^+} \frac{\vect{q}^2}{(x - y)^2 P^{+ 2}} = \\
    &= \frac{\FF}{(x - y)^2 {P^{+}}^2} ( f_{ab} f_{bc} - 1 )
  \end{split}
\end{equation*}

Pomijaj�c czynniki, kt�re skracaj� si� z odpowiednimi czynnikami
wynikaj�cymi z~definicji funkcji falowej mo�emy w~przybli�eniu
nierelatywistycznym spinorowe czynniki $\bar{u} \gamma^+ u \bar{v}
\gamma^+ v$, zgodnie z~wzorem~\eqref{eq:nrel:spinory+}, zast�pi� przez
$P^{+\,2}$:
\begin{equation*}
  \begin{split}
    \beta_{w1} 
    &= \FF \frac{-g^2}{(x - y)^2} \bigl[ f_{ab} f_{bc} - 1 \bigr] =\\
    &= \FF \frac{-g^2 4 m^2}{q_z^2} \bigl[ f_{ab} f_{bc} - 1 \bigr],
  \end{split}
\end{equation*}
gdzie $q_z \defequ 2 m (x - y)$.

Pozostaje do rozwa�enia cz�on oddzia�ywania natychmiastowego.  Ma on
posta�
\begin{equation*}
  \beta_{w2} = -g^2 \frac{\FF}{(x - y)^2 P^{+\,2}}
  \bar{u}_1 \gamma^+ u_2 \bar{v}_1 \gamma^+ v_2.
\end{equation*}

Gdy dodamy do siebie te dwa cz�ony, to oddzia�ywanie
natychmiastowe skasuje jedynk� w wyra�eniu $[ f_{ab} f_{bc} - 1 ]$.
Dostajemy zatem
\begin{equation}
  \label{eq:pot-confining:beta}
  \beta_{w} = \frac{-g^2 4 m^2 \FF}{q_z^2} f_{ab} f_{bc}.
\end{equation}

Cz�on ten prowadzi do logarytmicznego potencja�u wi���cego, nie
zachowuj�cego symetrii obrotowej, co wyja�nimy p�niej. �cis�e
wyliczenie potencja�u dla funkcji podobie�stwa w postaci funkcji
schodkowej znajduje si� w~\cite{Brisudova:1996hv}, a~jako�ciowe
wyt�umaczenie, dlaczego jest on logarytmiczny dla du�ych odleg�o�ci
jest podane w~\cite{Perry:1997uv} i~\cite{Wilson:1995cqm}.


Cz�on~\eqref{eq:pot-confining:beta} jest rozbie�ny dla $q_z \to 0$.
Wydzielamy cz�� rozbie�n� w potencjale wi���cym, aby por�wna� j� z
rozbie�no�ci� napotkan� w wyrazie masowym. W tym celu obliczamy
elementy macierzowe cz�ci hamiltonianu odpowiadaj�cej za uwi�zienie
(zobacz te�~\cite{Perry:1997uv}) mi�dzy funkcjami falowymi danymi
wzorem~\eqref{eq:ffalowa-def}, gdzie stany $\ket{P}$ s� unormowane do
\(\braket{P}{P'} = 2 (2 \pi)^3 P^+ \delta^3(P - P') \braket{0}{0} \):
\begin{equation}
  \label{eq:Hconf-mm}
  \begin{split}
    &\braOPket{\ffalowa(P)}{\Hd_{\text{conf}}}{\ffalowa(P')} 
    = - 2(2 \pi)^3 P^+ \delta^3(P - P') g^2 C_F \\
    &\qquad\times \int 
    \frac{d y_1 \, d^2 \kappa_1}{2 (2 \pi)^3}\,
    \frac{d y_2 \, d^2 \kappa_2}{2 (2 \pi)^3} 
    \frac{\FF}{(y_1 - y_2)^2} \, f_{ab} f_{bc} r_{\delta} \,\,
    \cc{\phi}(\kappa_2,y_2) \phi(\kappa_1,y_1)
  \end{split}
\end{equation}

Rozbie�no�� pochodzi z obszaru, gdzie $y_1 \sim y_2$. Mo�emy zatem
za�o�y�, dzi�ki czynnikowi podobie�stwa, �e $(\kappa_1 - \kappa_2)^2
\ll \lambda^2$. Zamieniamy zmienne na $K = (\kappa_1 + \kappa_2)/2$,
$k = \kappa_1 - \kappa_2$; analogicznie definiujemy $Y$ i $y$ dla
p�d�w pod�u�nych. Ograniczamy si� w ca�kowaniu do ma�ych $y$.
Podstawiaj�c czynnik podobie�stwa w przybli�eniu nierelatywistycznym
zgodnie ze wzorem~\eqref{eq:nrel:f_ab-f_bc}, dostajemy tak� sam�
posta� cz�ci rozbie�nej (rozbie�no�� logarytmiczn�) jak dla mas
efektywnych.  Wyliczaj�c czynniki kolorowe (dla mas jest to $C_F$, dla
potencja�u $\FF$) dla mezonu w~singlecie, dostajemy �e niesko�czono�ci
te si� skracaj� wzajemnie. Pozosta�a sko�czona cz�� daje potencja�
mi�dzy kwarkami, kt�re maj� masy konstytuentne.
%% !!! UWAGA: rozwin��
%% !!! UWAGA: DO WPISANIA


Do znajdowania si� van der Waalsa potrzebujemy zna� posta� potencja�u
na du�ych odleg�o�ciach.  Poniewa� potencja� zawiera sta�y cz�on
rozbie�ny, kasowany przez masy efektywne, wi�c dla uproszczenia
obliczmy pochodn�, kt�ra nie zawiera rozbie�no�ci, a~opisuje
potencja�\cite{Perry:1997uv}. Przechodzimy do przestrzeni po�o�e� za
pomoc� transformaty Fouriera. Pochodna po wsp�rz�dnej $z$ potencja�u
w~przybli�eniu nierelatywistycznym dana jest wzorem
\begin{equation}
  \label{eq:DVconf-z:1}
  \pDiffOP{z} V(z) =
  \int \frac{d^3 q}{(2 \pi)^3}
  \exp \left[ - \frac{\vect{q}^4}{q_z^2} \frac{2 m^2}{\lambda^4} \right]
  \frac{-g^2 4 m^2}{q_z^2} (i q_z) e^{i q_z z}
\end{equation}
Znacz�cy wk�ad do tej ca�ki pochodzi z obszaru ma�ych $q_z$, tak ze
wzgl�du na to, �e funkcja podca�kowa ma osobliwo�� w $q_z = 0$, jak i
dlatego, �e dominuj�cy wk�ad do transformaty Fouriera dla du�ych~$z$
pochodzi z obszaru gdzie $q_z z \lesssim 1$. Mo�emy zatem za�o�y�, �e
dla du�ych $z$ mamy $q_z \ll q_{\perp}$, w~miejsce $\vect{q}$ po�o�y�
$q_{\perp}$, i~odca�kowa� po p�dach prostopad�ych. Dostajemy,
pami�taj�c �e za�o�yli�my i� $q_z$ jest ma�e, wi�c jest ograniczone
$q_z \leq P_z$.
\begin{equation}
  \label{eq:DVconf-z:2}
  \begin{split}
    \pDiffOP{z} V(z) 
    &\simeq
    \frac{-i g^2 4 m^2}{(2 \pi)^3} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2 \pi \lambda^4}{4 m^2}}
    \int_0^{P_z} \! \frac{q_z}{\abs{q_z}}\, e^{i q_z z} \\
    &\sim
    \frac{1}{z} - \frac{\cos(P_z z)}{z}
  \end{split}
\end{equation}
Pierwszy cz�on jest pochodn� logarytmu. Drugi po odca�kowaniu daje
cosinus ca�kowy, czyli potencja� kr�tkozasi�gowy. Gdyby�my pomin�li
ograniczenie na $q_z$ dostaliby�my $\delta(z)$ zamiast $\cos(P_z
z)/z$, jako dodatkowy, obok logarytmicznego, cz�on oddzia�ywania.
Daje on potencja� kt�ry jest ograniczony dla du�ych $z$.


W~podobny spos�b mo�na pokaza�, �e w~kierunku prostopad�ym, dla du�ych
odleg�o�ci, te� dostajemy potencja� logarytmiczny, ale o~innym
wsp�czynniku liczbowym. Dlatego nie jest on sferycznie symetryczny.
Zwi�zane jest to z~tym, �e prowadzimy obliczenia na froncie �wietlnym,
dla kt�rego obroty zale�� od oddzia�ywania, symetria obrotowa mo�e
wi�c by� �amana przy obliczeniach w~rachunku zaburze�.


\subsection{Problem uwi�zienia}
\label{sec:uwiezienie}

Warto zauwa�y� �e czynniki podobie�stwa przy cz�onie coulombowskim
oraz przy cz�onie wi���cym s� nawzajem komplementarne (sk�adaj� si� do
jedno�ci). Dzi�ki temu, gdy w QED prowadzimy redukcj� za pomoc�
transformacji $R$ z przestrzeni tr�jcz�stkowej (z fotonem) wyst�puj�
w~niej cz�ony kasuj�ce cz�on $f_{ab} f_{bc}$ w cz�onie coulombowskim
odtwarzaj�c pe�ne oddzia�ywanie coulombowskie, i~jednocze�nie kasuje
si� potencja� wi���cy. Zatem w QED, gdzie nie mo�emy zaniedba� stan�w
z~jednym fotonem nie dostajemy uwi�zienia --- zgodnie z~oczekiwaniami.
Fotony s� bezmasowe i nie mo�na pomin�� ich wp�ywu.


Z kolei gluony oddzia�uj� same ze sob�. W modelu kwark�w
konstytuentnych nie wida� w og�le gluon�w. Je�li gluony uzyskuj�
dynamicznie niezerow� mas� efektywn�, to dla dostatecznie ma�ego
$\lambda$, wskutek sko�czonej szeroko�ci hamiltonianu, nie mo�e zaj��
efektywna emisja gluonu. Efektywna teoria opisuje wi�c w~takim
przypadku cz�stki oddzia�uj�ce ze sob� za pomoc� potencja��w. Ponadto
efektywna sta�a sprz�enia dla hadron�w staje si� du�a dla ma�ych
$\lambda$. Nie robimy transformacji R tam, gdzie nie mo�na stosowa�
rachunku zaburze�. Wydaje si� nieprawdopodobne, by �cis�a
diagonalizacja $H_{\lambda \text{QCD}}$ prowadzi�a do kasowania
osobliwo�ci jak w~QED, skoro gluony oddzia�uj� ze sob� i~z~kwarkami
zupe�nie inaczej ni� fotony w~QED. Fotony w~sektorze z~jednym fotonem
i~par� $\mathrm{e}^+ \mathrm{e}^-$ w~problemie pozytronium musz� by�
traktowane jak swobodne, by skasowa� potencja� wi���cy. Zak�adamy wi�c
�e w~$\text{QCD}^{(2)}_{\lambda}$ potencja� wi���cy pozostaje nie
skasowany.


Analogicznie post�pili�my przy obliczaniu kontrcz�on�w do wyrazu
masowego, umieszczaj�c w~nich cz��, kt�ra by�aby kasowana tylko
w~rachunku zaburze�. Zatem efektywny wyraz masowy zawiera rozbie�no�ci
ma�ych x--�w, czekaj�ce na skasowanie niesko�czono�ci pochodz�cych
z~redukcji sektor�w zawieraj�cych gluony, dla mi�kkich gluon�w. Ale
ich nie ma, bo gluony si� odprz�gaj�. Podobnie mamy dla potencja�u wi���cego,
kt�ry tak�e zawiera niesko�czono�ci. Czeka on na skasowanie przez
wymian� mi�kkich gluon�w. Zatem zar�wno w~cz�onie masowym jak
i~w~cz�onie oddzia�ywania wi���cego w~efektywnym hamiltonianie
pojawiaj� si� rozbie�no�ci ma�ych x--�w. Cz�ony te maj� tak� sam�
struktur�, r�ni�c si� pochodzeniem czynnika kolorowego. Dla stan�w,
kt�re s� singletem grupy $\text{SU(3)}_{\text{kolor}}$, te czynniki
kolorowe s� sobie r�wne. Zatem dla takich stan�w zatem niesko�czono�ci te
kasuj� si� nawzajem. W~stanach kolorowych natomiast niesko�czono�ci te
nie skracaj� si�.

\section{Fenomenologiczny model potencjalny i~si�y van der Waalsa}
\label{sec:model-potencjalny}

\subsection{Fenomenologiczny model potencjalny}
\label{sec:potencjalny}


Om�wimy teraz r�nice mi�dzy oddzia�ywaniem wyliczonym za pomoc�
transformacji podobie�stwa z~efektywnego hamiltonianu,
a~fenomenologicznym oddzia�ywaniem za pomoc� addytywnego potencja�u
kolorowego.

W modelu potencjalnym oddzia�ywanie opisujemy za pomoc� wzoru
\begin{equation}
  \label{eq:H_I:potential-model}
  H_{\mathrm{I}} = 
  - \sum_{i < j} F_i \cdot F_j\,\,
  V(\abs{\vect{x}_i - \vect{x}_j})
\end{equation}
gdzie sumowanie rozci�ga si� na wszystkie pary cz�stek (kwark�w
i~antykwark�w), za� $F^a_{i}$ oznacza generator grupy w~reprezentacji
podstawowej (sprz�onej) dla \n[i]tego kwarku (antykwarku).

Dla grupy nieabelowej i~wi���cego potencja�u $V(r)$, (tzn. takiego �e
\mbox{\(V(r) \geq 0\)} oraz \mbox{\(V(r) \to \infty\)}, dla \mbox{\(r
  \to \infty\)}), dla stan�w nie b�d�cych singletami kolorowymi
hamiltonian oddzia�ywania dany przez ten potencja� jest nieograniczony
od do�u\cite{Greenberg:1981xn}. Na przyk�ad dla grupy SU(3) dla mezonu
w~singlecie oraz w~oktecie dostajemy
\def\qq{\mathrm{q}\bar\mathrm{q}} % tylko w trybie matematycznym
\begin{gather}
  \label{eq:potent:qq1}
  \braopket{1(\qq)}{H_{\mathrm{I}}}{1(\qq)}
  = \frac{4}{3}V(r_{\qq}) \geq 0,\\
  \label{eq:potent:qq8}
  \braopket{8(\qq)}{H_{\mathrm{I}}}{8(\qq)}
  = - \frac{1}{6}V(r_{\qq}) \to - \infty, \quad r_{\qq} \to \infty.
\end{gather}

Model potencjalny nie uwzgl�dnia rozbie�no�ci ma�ych x--�w w~wyrazach
masowych i~potencjale wi���cym, oraz~kasowa� pomi�dzy nimi, jakie
wyst�puj� w~QCD. W~naszym przypadku w stanach kolorowych dostajemy
brak kasowania rozbie�no�ci ma�ych x--�w w~masach efektywnych
z~rozbie�no�ciami w~efektywnym oddzia�ywaniu wi���cym. Rozbie�no��
w~masie efektywnej przewa�a i~energia w�asna takich stan�w staje si�
niesko�czona rozbie�no�ciami ma�ych x--�w. Zatem stany te jako maj�ce
niesko�czon� energi� nie s� realizowane fizycznie. Rozwi�zuje to
problem niestabilno�ci stanu pr�ni, kt�ry powstaje gdy hamiltonian
nie jest operatorem p�ograniczonym. Nie musimy te� wprowadza�
sztucznego potencja�u\cite{Wilson:1994fk} stabilizuj�cego rachunek
wariacyjny dla $H_{\lambda\text{QCD}}$.
  
Ponadto, ten sam mechanizm powoduje, �e pojedynczy kwark nie jest
stanem fizycznym. Rozbie�no�� ma�ych x--�w w~sektorze jednokwarkowym
nie jest kompensowana przez analogiczn� rozbie�no�� w~oddzia�ywaniu
wi���cym, zatem stan ten otrzymuje niesko�czon� energi� i~nie jest
stanem fizycznym.

Tak�e stany b�d�ce trypletem i~antytrypletem kolorowym (np.  stan
fermion---fermion w~antytryplecie) tak�e maj� niesko�czon� energi�
i~nie s� stanami fizycznymi. W~naturalny spos�b otrzymujemy wi�c
uwi�zienie jako konsekwencj� wzrostu mas efektywnych wraz z~usuwaniem
obci�cia ma�ych x--�w i~silnych efekt�w oddzia�ywa�, kt�re kompensuj�
wzrost mas tylko w~singletach kolorowych.

Wyliczanie efektywnych oddzia�ywa� z~hamiltonianu QCD ma ponadto t�
przewag� nad fenomenologicznym modelem potencjalnym, �e mo�na �atwo
wylicza� poprawki relatywistyczne, oraz przej�� do wy�szego rz�du.

\subsection{Kolorowe si�y van der Waalsa}
\label{sec:kolorowe-vdW}



Model potencjalny cierpi na jeszcze jedn� przypad�o��, obok
oddzia�ywania nieograniczonego od do�u dla stan�w nie b�d�cych
singletem, trypletem lub antytrypletem kolorowym. Przewiduje on
mianowicie istnienie kolorowego analogu si� van der Waalsa mi�dzy
odseparowanymi hadronami.  Oddzia�ywanie to daje si�� mi�dzy dwoma
obiektami zale�n� od ilo�ci nukleon�w, w~przeciwie�stwie do
oddzia�ywania grawitacyjnego, kt�re zale�y od masy obiekt�w.  Takie
oddzia�ywania nie s� obserwowane w~przyrodzie, a~ograniczenia na nie
s� silne\cite{Feinberg:1979yw}.

Czy si�y tego typu powstaj� tak�e w~obliczeniach za pomoc� efektywnego
hamiltonianu QCD? W~modelu potencjalnym nie ma gluon�w, zatem w~celu
por�wnania powinni�my wyeliminowa� sektory Focka je zawieraj�ce. Przy
rozwa�aniu oddzia�ywa� mi�dzy efektywnymi kwarkami w~mezonie,
za�o�yli�my, �e efekty nieperturbacyjne spowodowa�y odprz�gni�cie si�
gluon�w. Tym niemniej nie wiadomo czy w~ten sam spos�b nast�pi
odprz�gni�cie w~sektorze dwumezonowym, t.j. czy mo�na po prostu
wyci�� sektory zawieraj�ce gluony. Gdyby dla odseparowanych mezon�w,
przy liczeniu oddzia�ywa� mi�dzy nimi, mo�na by�o korzysta� z~rachunku
zaburze� przy wyliczaniu efekt�w eliminacji gluon�w za pomoc�
transformacji $R$, to tak jak dla QED (patrz
rozdzia�~\ref{sec:uwiezienie}) dostaliby�my wyeliminowanie potencja�u
uwi�zienia, a~wi�c i~kolorowych si� van der Waalsa.


W~naszych obliczeniach, dzi�ki kasowaniu si� cz�onu rozbie�nego
w~wyrazie masowym z~rozbie�no�ci� w~potencjale wi���cym, stany, kt�re
nie s� singletem kolorowym, zyskuj� niesko�czon� energi�. Mo�na je
zatem w~naturalny spos�b wykluczy�, w~przeciwie�stwie do
fenomenologicznego modelu potencjalnego. Stan, w~kt�rym dwa mezony s�
w~stanie b�d�cym singletem kolorowym, jest rozpi�ty przez dwie
konfiguracje kolorowe.

W~pierwszej obie cz�stki s� w~singletach kolorowych. Mezon w~singlecie
jest stanem realizowanym fizycznie. Element macierzowy hamiltonianu
oddzia�ywania van der Waalsa mi�dzy dwoma r�nymi mezonami
w~singletach kolorowych jest r�wny zeru (co wynika np.
z~r�wnania~\eqref{eq:vdW:kolory} poni�ej).

Jednak mo�na z�o�y� stan b�d�cy singletem kolorowym z~dwu mezon�w
b�d�cych w~oktecie. W~opisie mezonu pojawiaj� si� w�wczas niesko�czono�ci, wynikaj�ce
z~niepe�nego kasowania rozbie�no�ci ma�ych x--�w pomi�dzy efektywnym
wyrazem masowym a~oddzia�ywaniem wi���cym. \emph{Je�li} mo�na za�o�y�,
�e przy liczeniu oddzia�ywa� mi�dzy dwoma odseparowanymi mezonami
sektor gluonowy odprz�ga si�, to niesko�czono�ci te powinny kasowa� si�
nawzajem mi�dzy mezonami. Zobaczmy czy kasowanie to w~istocie zachodzi.

\smallskip

Niech cz�stki $1$ i $2$ to kwarki, a~$3$ i $4$ to antykwarki.
Przestrze� stan�w, dla kt�rych mamy dwu mezony b�d�ce jako ca�o�� w
singlecie kolorowym, rozpi�ta jest przez wektory: $\ket{\alpha} =
\ket{(13)_1 (24)_1}$ (singlet razy singlet) oraz $\ket{\beta} =
\ket{(14)_1 (23)_1}$. Symbol $(ij)_1$ oznacza �e cz�stki $i$ i $j$
(kwark i antykwark) s� w singlecie kolorowym.  Stany te nie s�
ortogonalne, ale s� liniowo niezale�ne, �atwo je zapisa� i~z~nich
korzysta�.

%%
\begin{comment}
W og�lnym przypadku mo�emy zapisa� efektywne oddzia�ywanie mi�dzy 
kwarkami (w sektorze gdzie nie ma gluon�w) jako
\begin{equation}
  \label{eq:vdW-rozp}
  U = \frac{1}{2} \sum_{i \not= j} u_{ij} \sum_{\sigma} 
  T_{i\,\sigma} T_{j\,\sigma}
\end{equation}
gdzie mamy sumowanie po wszystkich kwarkach i antykwarkach, za�
$T_{i\sigma}$ oznacza generator grupy $\text{SU}(3)_{\text{kolor}}$
dla \n[i]tego kwarku (antykwarku).
\end{comment}
%% UWAGA: pow�drowa�o wy�ej

Ograniczaj�c si� do sektora, gdzie oba mezony s� jako ca�o�� w
singlecie kolorowym, oraz korzystaj�c z
to�samo�ci\cite{Lipkin:1973prl}:  
\begin{subequations}
  \label{eq:vdW:tozsamosci}
  \begin{align}
    \label{eq:vdWcol:dot}
    \braket{\alpha}{\beta} &= 1/3 \\
    \label{eq:vdWcol:sumy-alpha}
    \sum_{a} F_1^a F_3^a \ket{\alpha} &=
    \sum_{a} F_2^a F_4^a \ket{\alpha}  = -(8/3) \ket{\alpha} \\
    \label{eq:vdWcol:sumy-beta}
    \sum_{a} F_1^a F_4^a \ket{\beta} &=
    \sum_{a} F_2^a F_3^a \ket{\beta}  = -(8/3) \ket{\beta} \\
    \label{eq:vdWcol:suma-dwu}
    (F_1^a + F_3^a) \ket{\alpha} &= (F_2^a + F_4^a) \ket{\alpha} = 
    (F_1^a + F_4^a) \ket{\beta}   = (F_2^a + F_4^a) \ket{\beta} = 0 \\
    \label{eq:vdWcol:stan--stan}
    \braOPket{\alpha}{F_1^a F_4^a}{\alpha} &=
    \braOPket{\beta }{F_1^a F_3^a}{\beta }  = 0 \\
    \label{eq:vdWcol:stan--inny}
    \braOPket{\alpha}{F_1^a F_4^a}{\beta } &=
    \braOPket{\beta }{F_1^a F_3^a}{\alpha}  = 
    -(8/3) \braket{\alpha}{\beta} = - 8/9 
  \end{align}
\end{subequations}
wynikaj�cych z tego, �e odpowiednie cz�stki s� w singletach
kolorowych, dostajemy nast�puj�cy uk�ad
r�wna�\cite{Lipkin:1973prl}:
\begin{subequations}
  \label{eq:vdW:kolory}
  \begin{align}
    3 H_I \ket{\alpha} &= (8 u_{\alpha} - u_{\beta} + u_{\mathrm{q}}) \ket{\alpha} 
    + 3 (u_{\beta} - u_{\mathrm{q}}) \ket{\beta} \\
    3 H_I \ket{\beta}  &= 3 (u_{\alpha} - u_{\mathrm{q}}) \ket{\alpha}
    + (8 u_{\beta} - u_{\alpha} + u_{\mathrm{q}}) \ket{\beta}
  \end{align}
\end{subequations}
gdzie
\begin{align}
  \label{eq:u_costam}
  u_{\alpha} &= u_{13} + u_{24} &
  u_{\beta}  &= u_{14} + u_{23} &
  u_{\mathrm{q}} &= u_{12} + u_{34},
\end{align}
za� $u_{ij} = V(\abs{\vect{x}_i - \vect{x}_j})$ oznaczaj� odpowiednie
potencja�y mi�dzy kwarkami.

Dla $\ket{\alpha}$ kasuj� si� cz�ci niesko�czone potencja�u i
efektywnej masy: kasuj� si� niesko�czono�ci wewn�trz mezon�w (proste
z�o�enie dwu mezon�w w singletach, wi�c jest tak jak dla pojedynczego
mezonu). Dla $\ket{\beta}$ zachodzi skr�cenie si� niesko�czono�ci
pomi�dzy oddzia�ywaniami (wszystkimi) a niesko�czono�ciami w masach
kwark�w. W~szczeg�lno�ci, dla tego stanu zachodzi skr�cenie si�
rozbie�no�ci w~wyrazie oddzia�ywania mi�dzy potencja�em pomi�dzy
kwarkami z~jednego mezonu, a~antykwarkami w~drugim z~niesko�czono�ciami
w~wyrazach masowych. Niesko�czono�ci w pozosta�ych oddzia�ywaniach
wi���cych kasuj� si� nawzajem.


Oznaczmy przez $\delta m_i$ niesko�czono�� w cz�onie masowym dla
\n[i]tej cz�stki. Mo�emy zapisa�
\begin{subequations}
  \label{eq:vdW:kolory-full}
  \begin{align}
    3 (\delta H_0 + H_I) \ket{\alpha} 
    &= (\sum_i\! \delta m_i + 8 u_{\alpha} - u_{\beta} + u_{\text{q}}) \ket{\alpha} 
    + 3 (u_{\beta} - u_{\text{q}}) \ket{\beta}, \\
    3 (\delta H_0 + H_I) \ket{\beta}  
    &= 3 (u_{\alpha} - u_{\text{q}}) \ket{\alpha}
    + (\sum_i\! \delta m_i + 8 u_{\beta} - u_{\alpha} + u_{\text{q}}) \ket{\beta}  .
  \end{align}
\end{subequations}
Og�lnie, niesko�czono�ci w~wyrazach masowych dla stanu $\ket{\alpha}$
oraz $\ket{\beta}$ skracaj� si� z niesko�czono�ciami odpowiednio w
$u_\alpha$ i $u_\beta$ (jak dla mezonu), natomiast niesko�czono�ci w
$u_\beta - u_{\text{q}}$ oraz $u_\alpha - u_{\text{q}}$ skracaj� si�
nawzajem.


Rozwi�zanie r�wna�~\eqref{eq:vdW:kolory} daje nast�puj�ce warto�ci
w�asne dla oddzia�ywania $U$\cite{Greenberg:1981xn}
%% !!! UWAGA: [\textbf{sprawdzi�!!!}]:
\begin{equation}
  \label{eq:U-eigenvals}
  \begin{split}
    U' &= \tfrac{7}{16}(u_{\alpha} + u_{\beta}) 
    + \tfrac{1}{8} u_{\mathrm{q}} \\
    &\pm \tfrac{3}{16} \bigl[ 8(u_{\alpha} - u_{\beta})^2 
    + (u_{\alpha} + u_{\beta} - 2 u_{\mathrm{q}})^2 \bigr]^{1/2} 
  \end{split}
\end{equation}

Rozwa�amy oddzia�ywanie w konfiguracji, w kt�rej mezony: z�o�ony
z~cz�stek $(13)$ oraz z�o�ony z~$(24)$, s� od siebie oddalone o
odleg�o�� $a$, kt�ra jest du�o wi�ksza od ich rozmiar�w. Rozwijamy
warto�� w�asn�, daj�ca ni�sz� energi�, w~pot�gach ($u_{\beta} -
u_{\mathrm{q}}$), kt�re jest wy�szego rz�du ni� $u_{\alpha}$
i~$u_{\beta}$, otrzymuj�c\cite{Greenberg:1981xn}:
\begin{equation}
  \label{eq:U-eigenval-exp}
  U' = u_{\alpha} 
  - \frac{(u_{\beta} - u_{\mathrm{q}})^2}{9(u_{\beta} - u_{\alpha})}
  + \uporder(u_{\beta} - u_{\mathrm{q}})^3.
\end{equation}
Pierszy cz�on jest energi� wi�zania dwu mezon�w. Drugi opisuje
oddzia�ywanie van der Waalsa pomi�dzy dwoma mezonami.

Zatem wiemy jaki powinien by� ,,sk�ad kolorowy'' funkcji falowej
minimalizuj�cej potencja� van der Waalsa. Pozostaje dobra� funkcj�
falow� (stosujemy rachunek wariacyjny) minimalizuj�c� warto��
oczekiwan� energii. Za Schiffem\cite{Schiff:1977mk} bierzemy j�
w~postaci (musi ona zale�e� od odleg�o�ci mi�dzy mezonami):
\begin{equation}
  \label{eq:vdW:wariacyjna}
  \ffalowa(\vect{r}_1,\vect{r}_2) 
  = u_{13}(\vect{r}_1) u_{24}(\vect{r}_2) (1 + A \cdot H_{\text{vdW}}),
\end{equation}
gdzie $u_{13}$ i~$u_{24}$ s� funkcjami w�asnymi stanu podstawowego
(albo ich przybli�eniami) dla izolowanych mezon�w, $A$~jest parametrem
wariacyjnym, za� $H_{\text{vdW}}$ potencja�em van der Waalsa
(w~reprezentacji po�o�eniowej). 



Potencja� wi���cy w~$\text{QCD}^{(2)}_{\lambda\,\text{eff}}$ zachowuje
si� na du�ych odleg�o�ciach jak potencja� logarytmiczny. Nie ma on
symetrii obrotowej, ale mo�emy go oszacowa� z~do�u przez potencja�
sferycznie symetryczny. Dla potencja�u logarytmicznego \(u = V_0
\log(r/r_0)\), bior�c warto�� w�asn� dla funkcji falowej
minimalizuj�cej energi� potencjaln� i rozwijaj�c w pot�gach $r/a$
dostajemy nast�puj�c� si�� van der Waalsa\cite{Greenberg:1981xn}:
\begin{equation}
  \label{eq:vdW:log}
  U_{\text{vdW}} = V_0\, a^{-4} \langle r^2_{13} \rangle^2 / 54 
  \: \log(a/r_{13}).
\end{equation}
Si�a ta szybko zanika z~odleg�o�ci� mi�dzy mezonami, ale jej zbadanie
ilo�ciowe wykracza poza zakres niniejszej pracy.

Przy u�yciu metody renormalizacji mo�na zbada�, jakie zmiany
w~stosunku do modelu potencjalnego wnosi w~problemie van der Waalsa
uwzgl�dnienie dodatkowych sektor�w Focka. Poniewa� nie mo�na tego
zrobi� w~rachunku zaburze�, pozostaje nam rozwi�zywa� r�wnanie w�asne
w~r�nych sektorach i~st�d wyprowadza� mechanizmy redukcji przestrzeni
stan�w.

\section{Podsumowanie}
\label{sec:podsumowanie}

Za pomoc� metody renormalizacji przez podobie�stwo mo�na wyrazi�
stany, b�d�ce skomplikowanymi stanami wielu cz�stek wyj�ciowej teorii,
za pomoc� niewielkiej ilo�ci cz�stek efektywnych. W~omini�ciu problemu
pr�ni pomaga nam zastosowanie dynamiki na froncie �wietlnym.
Efektywne cz�stki maj� oddzia�ywania ograniczone do niewielkich
przekaz�w p�du. Hamiltonian zapisany w~nowych zmiennych jest w�ski,
tzn. elementy znajduj�ce si� poza pasmem o~szeroko�ci $\lambda$ wok�
diagonali opadaj� szybko do zera. Dzi�ki temu rozwi�zuj�c zagadnienie
w�asne za pomoc� cz�stek efektywnych mamy do czynienia z~niewielkim
zakresem energii, poniewa� funkcje falowe dla hamiltonianu efektywnego
maj� szeroko�� por�wnywaln� z $\lambda$.

%% w�skie funkcje falowe, Australia

Obraz cz�stek efektywnych pozwala na obliczanie hamiltonian�w
efektywnych bez ograniczania si� do okre�lonego zestawu element�w
macierzowych. Wystarczy raz obliczy� hamiltonian efektywny by go
p�niej stosowa� do r�nych sytuacji.

Poniewa� chromodynamika kwantowa jest teori� pola z~cechowaniem, wi�c
pojawiaj� si� w~niej, opr�cz rozbie�no�ci zwi�zanych z~du�ymi p�dami
tak�e rozbie�no�ci ma�ych x--�w. Wymagaj� one wprowadzenia dodatkowego
parametru obci�cia. Wa�na jest metoda wprowadzenia kontrcz�on�w.

Stosuj�c t� metod� do przedstawienia ci�kich mezon�w za pomoc�
kwark�w efektywnych, otrzymujemy, w~przybli�eniu nierelatywistycznym,
obci�ty potencja� coulombowski i~potencja� wi���cy, kt�ry �amie
symetri� obrotow�, a~dla du�ych odleg�o�ci zachowuje si� jak potencja�
logarytmiczny. Wa�n� rol� odgrywa kasowanie si� rozbie�no�ci ma�ych
x--�w mi�dzy efektywnymi masami a~potencja�em wi���cym. Zachodzi ono
tylko dla stan�w b�d�cych singletami kolorowymi. Dla stan�w nie
b�d�cych singletami kolorowymi kasowanie nie zachodzi i~niesko�czona,
poprzez rozbie�no�� ma�ych x--�w, masa efektywna posy�a energi� takich
stan�w do niesko�czono�ci. Dzi�ki temu unikamy problemu braku
ograniczono�ci od do�u dla stan�w ,,kolorowych'', jaki pojawia si�
modelach potencjalnych. Pr�nia jest stabilna. Nie ma te� potrzeby
wprowadzania sztucznych potencja��w do stabilizacji rachunk�w
spektrum.

Bezpo�rednie zastosowanie rezultatu z~sektora mezonowego do obliczania
oddzia�ywa� van der Waalsa mi�dzy dwoma mezonami odleg�ymi o~$R$,
prowadzi do d�ugozasi�gowych oddzia�ywa� kolorowych, malej�cych jak
$\frac{1}{R^4} \frac{1}{\log(R/r_0)}$, tak jak dla modelu potencjalnego
z~potencja�em logarytmicznym. Oznacza to, �e do ostatecznego
oszacowania oddzia�ywa� mi�dzy mezonami potrzebne jest precyzyjne
rozwi�zanie dynamiki efektywnej.


\section*{Podzi�kowania}

Chcia�bym podzi�kowa� swojemu opiekunowi naukowemu i~promotorowi pracy
magisterskiej, dr hab. Stanis�awowi G�azkowi, za cenne wskaz�wki
i~liczne rozmowy w~trakcie pracy.

Dzi�kuj� r�wnie� mgr Markowi Wi�ckowskiemu za wyja�nienia w~sprawie
przybli�enia nierelatywistycznego. Profesorowi Aleksandrowi Bartnikowi
sk�adam serdeczne podzi�kowania za opiek� w~trakcie studi�w.

\bigskip

\appendix

\section{Dodatki}

\subsection{Konwencje frontu �wietlnego}
\label{sec:LF-conventions}

B�dziemy pos�ugiwa� si� nast�puj�c� konwencj�:
\begin{equation}
  \label{eq:xpm}
  x^{\pm} = x^0 \pm x^3
\end{equation}

Wsp�rz�dn� czasow� jest $x^{+}$.

Iloczyn skalarny dany jest wzorem:
\begin{equation}
  \label{eq:LF-dot}
  a \cdot b 
  = \frac{1}{2} \left( a^{+} b^{-} + a^{-} b^{+} \right)
  - \vect{a}^{\perp} \vect{b}^{\perp}
\end{equation}

\subsection{Rozwi�zania swobodnego r�wnania Diraca na froncie �wietlnym}
\label{sec:Dirac-LF}

R�wnanie Diraca we wsp�rz�dnych frontowych zapisuje si� jako
\begin{equation}
  \label{eq:Dirac-LF:zwykle}
  (i \slashed{\partial} - m)\fermn 
  = \left( 
    \frac{i}{2} \partial^+ \gamma^- + \frac{i}{2} \partial^- \gamma^+
    - i \partial^{\perp} \gamma^{\perp} - m \right) \fermn = 0
\end{equation}
Rol� pochodnej czasowej w sformu�owaniu frontowym pe�ni 
$\partial^-$. Po pomno�eniu r�wnania przez $\gamma^0 \equiv \beta$
dostajemy
\begin{equation}
  \label{eq:Dirac-LF:hamilt}
  (i \partial^+ \Lambda_- + i \partial^- \Lambda_+ 
  - i \partial^{\perp} \alpha^{\perp} - \beta m) \fermn  = 0 
\end{equation}
gdzie wprowadzili�my operatory
\begin{equation}
  \label{eq:Lambda-pm}
  \Lambda_{\pm} = \tfrac{1}{2}(1 \pm \alpha^3) 
  = \tfrac{1}{2} \gamma^0 \gamma^{\pm} 
  = \tfrac{1}{4} \gamma^{\mp} \gamma^{\pm}
\end{equation}
Operatory te s� ortogonalnymi operatorami rzutowymi sk�adaj�cymi si�
do jedynki. Mno��c r�wnanie Diraca raz przez $\Lambda_-$, raz przez
$\Lambda_+$ dostajemy uk�ad dwu sprz�onych r�wna� na $\fermn_{\pm} =
\Lambda_{\pm} \fermn$, podobnie jak w przypadku r�wnoczasowym.  Co
jest unikaln� cech� sformu�owania na froncie �wietlnym to fakt, �e
jedno z tych r�wna� nie jest dynamiczne (nie zawiera pochodnej
czasowej $\partial^-$).

Konstruujemy rozwi�zanie r�wnania Diraca (w reprezentacji Diraca) 
z czterokomponentowych spinor�w Pauliego $\chi_{\pm}$:
\begin{subequations}
  \label{eq:spinory-Pauliego}
  \begin{align}
    \chi_{+} &= 
    \begin{pmatrix}
      1 \\ 0 
    \end{pmatrix} \\
    \chi_{-} &= 
    \begin{pmatrix}
      0 \\ 1 
    \end{pmatrix} 
  \end{align}
\end{subequations}

Fermion w spoczynku mo�e by� w dwu stanach spinowych reprezentowanych
(w reprezentacji Diraca) przez spinory z dwoma niezerowymi sk�adnikami
\begin{subequations}
  \label{eq:u}
  \begin{align}
    \label{eq:u-up}
    u_{\uparrow} &= \sqrt{2m}
    \begin{pmatrix}
      \chi_{+} \\ 0 
    \end{pmatrix} \\
    \label{eq:u-down}
    u_{\downarrow} &= \sqrt{2m}
    \begin{pmatrix}
      \chi_{-} \\ 0 
    \end{pmatrix} 
  \end{align}
\end{subequations}
za� antyfermiony w dwu stanach spinu z dwoma niezerowymi dolnymi sk�adnikami
\begin{subequations}
  \label{eq:v}
  \begin{align}
    \label{eq:v-up}
    v_{\uparrow} &= \sqrt{2m}
    \begin{pmatrix}
      0 \\ \chi_{-}  
    \end{pmatrix} \\
    \label{eq:v-down}
    v_{\downarrow} &= \sqrt{2m}
    \begin{pmatrix}
      0 \\ - \chi_{+} 
    \end{pmatrix} 
  \end{align}
\end{subequations}

Przeboostowane spinory dane s� wzorami
\begin{align}
  \label{eq:u-mpl}
  u_{mp\lambda} &= \frac{1}{\tsqrt{m p^{+}}}
  \bigl[ \Lambda_+ p^+ 
  + \Lambda_- (m + \alpha^{\perp} p^{\perp}) \bigr] u_{\lambda} \\
  \label{eq:v-mpl}
  v_{mp\lambda} &= \frac{1}{\tsqrt{m p^{+}}}
  \bigl[ \Lambda_+ p^+ 
  + \Lambda_- (m + \alpha^{\perp} p^{\perp}) \bigr] v_{\lambda} 
\end{align}

\subsection{W�asno�ci macierzy Diraca}
\label{sec:macierze-Diraca}

Przydadz� nam si� nast�puj�ce w�asno�ci macierzy Diraca
\begin{align*}
  \gamma^+ \gamma^- \gamma^+ &= 4 \gamma^+ &
  \gamma^+ \Lambda_+ &= \gamma^+ \\
  \gamma^- \gamma^+ \gamma^- &= 4 \gamma^- &
  \gamma^- \Lambda_- &= \gamma^- \\
  \gamma^+ \gamma^+ &= 0 &
  \gamma^+ \Lambda_- &= 0 \\
  \gamma^- \gamma^- &= 0 &
  \gamma^- \Lambda_+ &= 0 
\end{align*}
Ponadto mamy
\begin{align*}
  \Lambda_{\pm}^2 &= \Lambda_{\pm} \\
  \Lambda_{+} + \Lambda_{-} &= 1 \\
  \Lambda_{+} \Lambda_{-} = \Lambda_{-} \Lambda_{+} &= 0 \\[2 mm]
  \Lambda_{\pm} \alpha^{\perp} &= \alpha^{\perp} \Lambda_{\mp} \\
  \Lambda_{\pm} \beta &= \beta \Lambda_{\mp} \\
\end{align*}



%% BIBLIOGRAFIA

%\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

%\bibliography{magpraca}

%\def\refname{Literatura}
\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{Glazek:1997sd}
  St.~D. G�azek, Acta Phys. Polon., \textbf{B29}, 1979 (1998).

\bibitem{Dirac:1949cp}
  P.~A.~M. Dirac, Rev. Mod. Phys.,\textbf{21}, 392 (1949).

\bibitem{Brodsky:1997de}
  S.~J. Brodsky, H.-C. Pauli, i S.~S. Pinsky, Phys. Rept., \textbf{301},
  299 (1998).

\bibitem{Wilson:1970tp}
  K.~G. Wilson, Phys. Rev., \textbf{D2}, 1438 (1970).

\bibitem{Glazek:1993rc}
  St.~D. G�azek i K.~G. Wilson, Phys. Rev., \textbf{D48}, 5863 (1993).

\bibitem{Glazek:1994qc}
  St.~D. G�azek i K.~G. Wilson, Phys. Rev., \textbf{D49}, 4214 (1994).

\bibitem{Glazek:1999fy}
  St.~D. G�azek, {\em Phys. Rev.}, \textbf{D60}, 105030 (1999).

\bibitem{Perry:1995hlc} 
  R.~J. Perry, w {\em Hadron Physics 94: Topics
    on Structure and Interaction of Hadronic Systems}, edycja
  V.~Herscovitz {\em et~al.}, (World Scientific, Singapore, 1995)
  i~poprawiona wersja hep-th/9411037.

\bibitem{Brisudova:1996hv}
  M.~Brisudov\'{a} i R.~J. Perry, Phys. Rev., \textbf{D54}, pp.~1831--1843, 1996.

\bibitem{Wieckowski:97MTh} 
  M.~Wi�ckowski, ``Redukcja hamiltonowskiej dynamiki fermion�w w
  kwantowej teorii pola do r�wnania {S}chr\"{o}dingera w drugim
  rz�dzie rachunku zaburze�,'' praca magisterska, Instytut Fizyki
  Teoretycznej, Uniwersytet Warszawski, Warszawa, 1997.

\bibitem{Perry:1997uv}
  R.~J. Perry, hep-th/9710175 (1997).

\bibitem{Wilson:1995cqm}
  R.~G. Wilson i D.~G. Robertson, w {\em Theory of hadrons and
    light-front {QCD}}, edycja St.~D. G�azek, (World Scientific,
  Singapore, 1995) str.~56--70.

\bibitem{Greenberg:1981xn}
  O.~W. Greenberg i H.~J. Lipkin, Nucl. Phys., \textbf{A370},
  349 (1981), i~referencje tam cytowane.
  

\bibitem{Wilson:1994fk}
  K.~G. Wilson {\em et~al.}, Phys. Rev., \textbf{D49}, 6720--6766 (1994).

\bibitem{Feinberg:1979yw}
  G.~Feinberg i J.~Sucher, Phys. Rev., \textbf{D20}, 1717 (1979).

\bibitem{Lipkin:1973prl}
  H.~J. Lipkin, Phys. Lett., \textbf{B45}, no.~3, 267--271 (1973).

\bibitem{Schiff:1977mk}
  L.~I. Schiff, {\em Mechanika kwantowa}.
  \newblock Wydawnictwa Naukowe PWN, 1977.

\end{thebibliography}


\cleardoublepage

\end{document}


