\documentclass[10pt,a4paper]{article}

%% Polonizacja
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{indentfirst}

%% Wzorki matematyczne
\usepackage{amsmath,amsfonts}

\newcommand{\vect}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}

\begin{document}

\title{
  Zadania do Metod Numerycznych II A\\
  Grupy 2, 3. Seria 1.\\[1 em]
  \large
  Wartości własne i~wektory własne macierzy symetrycznych}
\author{Jakub Narębski}
\date{03.04.2001}
\maketitle

We wszystkich programach powinna być możliwość łatwej zmiany rozmiaru
macierzy.  Rozmiary tablic statycznych powinny być zadawane za pomocą
definicji preprocesora albo stałych.  Liczba iteracji (lub opcjonalnie
żądana dokładność i~maksymalna liczba iteracji) powinna być zadawana
przez użytkownika.  Jej zmiana nie powinna wymagać rekompilacji
programu.

Przypomnienie: wektorem własnym macierzy $A$ nazywamy taki niezerowy
wektor $v \neq 0$, że zachodzi $A v = \lambda v$, gdzie $\lambda \in
\mathbb{R}$. 

\section{Metoda potęgowa}
\label{sec:metoda-potegowa}

Napisać program znajdujący największą (co do modułu) wartość własną
macierzy rzeczywistej symetrycznej i~odpowiadający jej wektor własny
za pomocą metody potęgowej.


\section{Odwrotna metoda potęgowa}
\label{sec:odwrotna-potegowa}

Napisać program znajdujący wartość własną macierzy najbliższą zadanej
liczby $\lambda^{\ast}$ i~odpowiadający jej wektor własny za pomocą
metody iteracji odwrotnej (odwrotnej metody potęgowej).  Nie należy
wyliczać jawnie macierzy odwrotnej, tylko zastosowac metodę eliminacji
Gaussa.  Można stosowac metodę eliminacji Gaussa bez wyboru elementu
podstawowego, można też skorzystać z~gotowych funkcji znajdujących się
w~pliku \texttt{gauss.c} na mojej stronie domowej.

W~przypadku stosowania własnego algorytmu rozkładu macierzy na iloczyn
LU metodą eliminacji Gaussa oraz rozwiązywania układu równań przy
znanym rozkładzie LU, warto przetestować te algorytmy.  Zachęcam także
do testowania funkcji zamieszczonych w~\texttt{gauss.c}; powinny
działać dobrze, ale warto sprawdzić.

\medskip

\emph{Uwaga:} w~przypadku korzystania z~tablic statycznych funkcje
zamieszczone w~pliku \texttt{gauss.c} należy jawnie wpisać do swojego
programu, usuwając argument \texttt{int N} i~zmieniając \texttt{float
  **A} na \texttt{float A[N][N]} itp.  Patrz także artykuł w~poradach.


\vfill

\begin{flushright}
  Jakub Narębski
\end{flushright}

\end{document}
