\documentclass[10pt,a4paper]{article}

%% Polonizacja
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{indentfirst}

%% Wzorki matematyczne
\usepackage{amsmath,amsfonts}

\begin{document}

\title{
  Zadania do Metod Numerycznych II A\\
  Grupy 2, 3. Seria 3, zadanie dodatkowe\\[1 ex]
  \large
   Dyskretna transformata Fouriera i jej zastosowania}
\author{Jakub Narębski}
\date{25.05.2001~r.}
\maketitle


\setcounter{section}{3}
\section{Mnożenie wielomianów przy użyciu [szybkiej] transformaty
  Fouriera}
\label{sec:wielomiany}

Należy obliczyć iloczyn dwu wielomianów za pomocą dyskretnej
zespolonej transformaty Fouriera, do wyboru własną metodą lub
korzystając z~procedury \texttt{four1} z~,,Numerical Recipies in
C''.  Wypisać oba czynniki oraz wynik w~czytelnej formie.

Wielomiany wejściowe powinny być albo zadana wprost w~programie,
z~możliwością łatwej ich zmiany, albo lepiej zadawane przez
użytkownika.  Należy wypisać w~czytelnej postaci oba czynniki,
np. w~postaci 
\begin{math}
  a_0 \text{x\^{}0} + a_1 \text{x\^{}1} + a_1 \text{x\^{}2} + \dots,  
\end{math}
gdzie oczywiście zamiast $a_i$ powinny być wypisane wartości
odpowiednich współczynników.  Należy zamienić oba wielomiany na
reprezentację za pomocą wartości w~punktach za pomocą dyskretnej
zespolonej transformaty Fouriera:
\begin{equation}
  \label{eq:wielom-FT}
  P(x_n) = P(e^{2 \pi \imath n/N}) 
  = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{2 \pi \imath k n/N},
\end{equation}
gdzie \(x_n = e^{2 \pi \imath n/N}\), zaś $N$ jest wystarczające do
odtworzenia iloczynu (tzn. $N-1$ jest większe bądź równe stopniu
iloczynu).  Wymnożyć oba wielomiany w~tej reprezentacji punkt po
punkcie: $(P Q)(x_n) = P(x_n)Q(x_n)$.  Za pomocą odwrotnej
transformaty Fouriera wyliczyć współczynniki iloczynu.  Wypisać
wielomian będący iloczynem w~czytelnej formie.  

\emph{Uwaga:} ze względu na zaokrąglenia numeryczne przy wypisywaniu
współczynników wielomianu można przyjąć liczby mniejsze od zadanej
wielkości EPS (np. $10^{-10}$) jako równoważne zeru.

\bigskip

Zadanie nie jest obowiązkowe.

\end{document}