\documentclass[10pt,a4paper]{article}

%% Polonizacja
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{indentfirst}

%% Wzorki matematyczne
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{array}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{hhline}
\usepackage{multirow}

\newcolumntype{d}[1]{D{.}{.}{#1}}

%% Obsługa PDFLaTeX-a
\newif\ifpdf
\ifx\pdfoutput\undefined
  \pdffalse    % dla LaTeX-a
\else
  \pdftrue     % dla LaTeX-a
  \pdfoutput=1 % dla PDFLaTeX-a
\fi

\newif\ifpslatex
\pslatexfalse

\ifpdf
  \message{PDFLaTeX: PDF output}
  %% ew. wbudowane fonty dla PDF-a
  \ifpslatex
  \usepackage{pslatex}
  \fi
  %% parametry dla PDFLaTeX-a
  \pdfcompresslevel=9   % best
  \pdfinfo
      {/Author   (mgr. Jakub Narebski)
       /Title    (Metody Numeryczne I A)
       /Subject  (Calkowanie za pomoca kwadratur Gaussa)
       /Keywords (calkowanie,Gauss,kwadratury)
       /Creator  (PDFLaTeX)}
\else
  \message{LaTeX: DVI output}
\fi

\usepackage{url}
\usepackage[pdftex]{hyperref}

%% Twierdzenia
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}%[section]
\newtheorem{df}{Definicja}%[section]

%% Definicje
\newcommand{\field}[1]{\ensuremath{\mathbb{#1}}}
\newcommand{\dx}{{\mbox{\,\rm d}x}}
\newcommand{\dt}{{\mbox{\,\rm d}t}}
\newcommand{\n}[1][n]{$#1$\nobreakdash-\hspace{0pt}}
\newcommand{\abs}[1]{\ensuremath{\bigl\lvert{#1}\bigr\rvert}}
\newcommand{\Abs}[1]{\ensuremath{\left\lvert{#1}\right\rvert}}
\newcommand{\norm}[1]{\ensuremath{\bigl\lVert{#1}\bigr\rVert}}
\newcommand{\Norm}[1]{\ensuremath{\left\lVert{#1}\right\rVert}}

\DeclareMathOperator{\arctanh}{arc tanh}


\begin{document}

\newcommand*{\preparedby}{Jakub Narębski}
\newcommand*{\subtitle}{Kwadratury Gaussa}
\input{naglowek2004.tex}


\section[O~kwadraturach]{Ogólne informacje o kwadraturach}
\label{sec:kwad}

\subsection{Definicje i~oznaczenia}
\label{sec:def}

Funkcjonał liniowy, którym jest całka, oznaczamy przez $I(f)$:
\begin{equation}
  \label{eq:I}
  I_p(f) = \int_{a}^{b} p(x) f(x) \dx  \; ,
\end{equation}
gdzie $p(x)$ jest tzw. \emph{funkcją wagową} (i~określa ogólne
zachowanie funkcji, np. osobliwości funkcji podcałkowej lub szybkość
malenia w~nieskończonościach gdy przedział całkowania jest
nieograniczony).  Funkcja wagowa jest nieujemna na przedziale
całkowania (odcinku $[a, b]$), zeruje się na nim najwyżej w~skończonej
ilości punktów i~jest całkowalna, tzn. $\int_{a}^{b} p(x) \dx < \infty$.

Przybliżone obliczanie całek można traktować jako aproksymację
funkcjonału $I$ jakimiś prostszymi do obliczania funkcjonałami.
W~rachunku numerycznym musimy mieć możliwość obliczania ich wartości
za pomoca skończonej liczby działań arytmetycznych.
Funkcjonałem tego typu jest funkcjonały $Q$, tzw. 
\emph{kwadratury liniowe}, postaci:
\begin{equation}
  \label{eq:Q:gen}
  Q(f) = \sum_{i=0}^{n_{0}} A_{i,0} f(x_{i,0}) + 
         \sum_{i=0}^{n_{1}} A_{i,1} f^{\prime}(x_{i,1}) + \dots +
         \sum_{i=0}^{n_{k}} A_{i,k} f^{(k)}(x_{i,k})
\end{equation}
W~dalszych rozważaniach ograniczymy się do kwadratur korzystających
tylko z~wartości funkcji $f$, tzn. postaci:
\begin{equation}
  \label{eq:Q}
  Q(f) = \sum_{i=0}^{N} A_i f(x_i)\;,
\end{equation}
gdzie $x_i$ nazywamy \emph{węzłami kwadratury},
a~$A_i$\pauza{}\emph{współczynnikami kwadratury}

\begin{df}
  \label{def:reszta}
  \textbf{Resztę kwadratury} definiujemy jako błąd przybliżenia całki
  kwadraturą (błąd metody):
  \begin{equation}
    \label{eq:def:reszta}
    R(f) = I_p(f) - Q(f)\;.
  \end{equation}
\end{df}
\begin{df}
  \label{df:rzad-kwadratury}
  Mówimy, że kwadratura $Q$ jest \textbf{rzędu \boldmath $n$} jeśli:\\
  {1)} jest ona dokładna dla wszystkich wielomianów stopnia mniejszego
  od $n$,\\ \hphantom{1)} $I_p(w) = Q(w)$ dla $w \in W_{n-1}$,\\
  {2)} istnieje wielomian $w_n$ stopnia $n$, dla którego  
  $I_p(w_n) \neq Q(w_n)$.
\end{df}

Kwadraturę, która jest sumą kwadratur na podprzedziałach nazywamy
\textbf{kwadraturą złożoną} (lub rozszerzoną).


\subsection{Warunki zbieżności kwadratur}
\label{sec:thm}

Niech dany będzie ciąg kwadratur
\begin{equation}
  \label{eq:Qn}
  Q_n(f) = \sum_{i=0}^{n} A_i^{(n)} f(x_i^{(n)})\;,
\end{equation}
Wówczas zachodzi następujące twierdzenie
\begin{thm}
  \label{thm:zbiez-kwad}
  Ciąg kwadratur postaci~\eqref{eq:Qn} jest zbieżny do całki dla
  dowolnych funkcji $f \in \mathcal{C}([a,b])$ ciągłych na odcinku
  $[a,b]$ (przedziale całkowania)
  \begin{align*}
    \lim_{n \to \infty} Q_n(f) &= I_p(f) \\
    &\Updownarrow\\
    \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n} A_i^{(n)} f(x_i^{(n)}) 
    &= \int_{a}^{b} p(x) f(x) \dx 
  \end{align*}
  wtedy i~tylko wtedy, gdy:\\
  {1)} ciąg kwadratur $Q_n$ jest zbieżny dla dowolnego wielomianu,\\
  {2)} istnieje taka stała $K$ niezależna od $n$, taka że
  \begin{equation*}
    B_n = \sum_{i=0}^{n} \abs{A_i^{(n)}} \leq K,
    \quad\text{dla $n = 0,1,\dots$}
  \end{equation*}
\end{thm}

Jeśli wszystkie współczynniki (wagi) $A_i^{(n)}$ ciągu
kwadratur~\eqref{eq:Qn} są nieujemne, to warunek {2)} może być
opuszczony, tzn. warunkiem koniecznym i~dostatecznym zbieżności tego
ciągu dla dowolnej funkcji $f \in \mathcal{C}([a,b])$ jest jego
zbieżność dla dowolnych wielomianów.


\subsection{Kwadratury interpolacyjne}
\label{sec:kwadr-interp}

Jedną z~metod otrzymywania kwadratur postaci~\eqref{eq:Q} jest
całkowanie wielomianu lub funkcji sklejanej interpolującej funkcję
podcałkową (na zadanych punktach $x_i^{(n)}$, będących zadanymi
węzłami kwadratury).  Dokładniej przez \textbf{kwadratury
  interpolacyjne} rozumie się kwadratury otrzymane przez całkowanie
wielomianów interpolacyjnych Hermite'a funkcji $f$ (w~szczególności
Lagrange'a by uzyskać kwadraturę zależną tylko od wartości funkcji
$f$).  

Dla dużych $N$ (dużego stopnia kwadratury) kwadratura interpolacyjna
jest mało odporna na niedokładności obliczeń.

Kwadratury interpolacyjne otrzymane przez całkowanie wielomianu
interpolacyjnego Lagrange'a funkcji $f$ opartego na równoodległych
węzłach
\begin{equation}
  \label{eq:rownoodlegle-wezly}
  x_0 = a, x_1 = a + h, \dots, x_n = a + N h = b\,,
\end{equation}
nazywamy \textbf{kwadraturami (,,zamkniętymi'') Newtona--Cotesa}.
Kwadratury Newtona--Cotesa oparte na $N+1$ węzłach są kwadraturami
rzędu $2 \lfloor N/2 \rfloor + 2$.



\section[Kwadratury Gaussa]{Całkowanie za pomocą kwadratur Gaussa}
\label{sec:int-gauss}

\textbf{Kwadratury Gaussa} są to kwadratury maksymalnego rzędu oparte
na ustalonej liczbie węzłów.  Kwadratury Gaussa uzyskujemy dobierając
zarówno współczynniki (wagi), jak i~węzły kwadratury.  

Niech ciąg wielomianów,
\begin{equation}
  \label{eq:P_n}
  (P_n(x)) \equiv P_0(x), P_1(x),\dots,P_N(x),\dots
\end{equation}
gdzie stopień wielomianu $P_n(x)$ jest równy $n$, będzie ciągiem
wielomianów ortogonalnych na przedziale $[a,b]$ z~wagą $p(x)$, tzn.
\begin{equation}
  \label{eq:skal_p}
  (P_r | P_s) = \int_{a}^{b} p(x)\,P_r(x) P_s(x) \dx = 0
  \quad\text{dla $r \neq s$}
\end{equation}

\begin{thm}
  \label{thm:pierw-P_n}
  Wielomiany ortogonalne z~ciągu~\eqref{eq:P_n} mają tylko pierwiastki
  rzeczywiste jednokrotne, leżące wewnątrz przedziału $[a,b]$.
\end{thm}
\begin{thm}
  \label{thm:kwad-Gauss}
  Kwadraturą postaci~\eqref{eq:Q} o $N+1$ węzłach $x_0,\dots,x_N$
  o~maksymalnym rzędzie (równym $2 (N + 1)$) jest kwadratura
  interpolacyjna, której węzłami są pierwiastki \n[(n+1)]go wielomianu
  ortogonalnego $P_{N+1}$ z~ciągu~\eqref{eq:P_n}.
\end{thm}
Kwadratury takie nazywamy kwadraturami Gaussa.  Dla kwadratur tego
rodzaju mamy $x_i \in (a, b)$, $A_i \geq 0$.

Dla kwadratur interpolacyjnych współczynniki (wagi) kwadratury można
wyznaczyć ze wzoru
\begin{equation}
  \label{eq:A_i:interp}
  A_i = \int_{a}^{b} p(x) 
  \prod_{\substack{j=0\\j\neq i}}^n
  \frac{x-x_j}{x_i-x_j} \dx
\end{equation}
Dla kwadratur Gaussa
\begin{equation}
  \label{eq:A_i:Gauss}
  A_i 
  = 
  \frac{a_{n+1}}{a_n} \; 
  \frac{\norm{P_n}^2}{P^{\prime}_{n+1}(x_i) P_{n}(x_i)} 
  =
  \frac{1}{{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n} \bigl(\tilde{P}_{k}(x_i)\bigr)^2}\,,
\end{equation}
gdzie $a_k$ jest współczynnikiem przy najwyższej potędze \n[k]tego
wielomianu ortogonalnego, zaś $\tilde{P}_{k}$ są wielomianami
ortogonalnymi.



\subsection{Kwadratury Gaussa--Legendre'a}
\label{sec:gauss-legendre}

Kwadraturę dla przedziału $[-1, 1]$ z~wagą $p(x)$ nazywamy
\emph{kwadraturą Gaussa--Legendre'a}:
\begin{equation}
  \label{eq:gauss-legendre}
  I(f) = \int_{-1}^{1} f(x) \dx \;,
\end{equation}
gdzie odpowiednimi wielomianami ortogonalnymi są wielomiany
Legendre'a.  

Kwadratury te stosujemy przy całkowaniu funkcji regularnej na
przedziale zamkniętym za pomocą liniowej zamiany zmiennych.
Kwadratury te są też stosowane do przedziałów niewłaściwych za pomocą
odpowiedniej zamiany zmiennych.

\begin{table}[htb]
  \centering
  \def\v{\rule[-1em]{0pt}{2.6em}}
  \begin{tabular}{||r|l|l||}
    \hhline{|t:===:t|}
    $n$& $x_i$\strut & $A_i$\strut \\
    \hhline{|:===:|}
    2\v& $\pm \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$ & 1 \\
    \hhline{||---||}
    3\v& 0 & $\dfrac{8}{9}$ \\
    \v& $\pm \dfrac{1}{5}\sqrt{15}$ & $\dfrac{5}{9}$ \\
    \hhline{||---||}    
    4\v& $\pm \dfrac{1}{35} \sqrt{525 - 70 \sqrt{30}}$ & $\dfrac{1}{36}(18 + \sqrt{30})$ \\
    \v& $\pm \dfrac{1}{35} \sqrt{525 + 70 \sqrt{30}}$ & $\dfrac{1}{36}(18 - \sqrt{30})$ \\
    \hhline{||---||}    
    5\v& 0 & $\dfrac{128}{255}$ \\
    \v& $\pm \dfrac{1}{21} \sqrt{245 - 14 \sqrt{70}}$ & $\dfrac{1}{900}(322 + 13 \sqrt{70})$ \\
    \v& $\pm \dfrac{1}{21} \sqrt{245 + 14 \sqrt{70}}$ & $\dfrac{1}{900}(322 - 13 \sqrt{70})$ \\
    \hhline{|b:===:b|}
  \end{tabular}
  \caption{\label{tab:gauss-legendre:anal}%%
    Analityczne wartości węzłów i~wag kwadratur Gaussa--Legendre'a}
\end{table}
Tabela~\ref{tab:gauss-legendre:anal} z~analitycznymi wartościami
węzłów i~wag (współczynników) kwadratury Gaussa--Legendre'a została wzięta 
z~Eric W.~Weisstein ``Gaussian Quadrature'',
ze strony \href{http://mathworld.wolfram.com/}{MathWorld}--A Wolfram Web Resource.\\
URL: \href{http://mathworld.wolfram.com/GaussianQuadrature.html}%%
{\url{http://mathworld.wolfram.com/GaussianQuadrature.html}}

\begin{table}[htbp]
  \centering
  \begin{tabular}{||r|l|l||}
    \hhline{|t:===:t|}
    $n$&    $x_i$\strut     & $A_i$\strut\\
    \hhline{|:===:|}
     2 &	0.57735027 	& 1.0        \\
     \hhline{||---||}
     3 &	0.0       	& 0.88888889 \\
       &	0.77459667 	& 0.55555555 \\
     \hhline{||---||}
     4 &	0.33998104 	& 0.65214515 \\
       &	0.86113631 	& 0.34785485 \\
     \hhline{||---||}  
     5 &	0.0       	& 0.56888889 \\
       &	0.53846931 	& 0.47862867 \\
       &	0.90617985 	& 0.23692689 \\
     \hhline{||---||}  
     6 &	0.23861918 	& 0.46791393 \\
       &	0.66120939 	& 0.36076157 \\
       &	0.93246951 	& 0.17132449 \\
     \hhline{||---||}
     7 &	0.0       	& 0.41795918 \\
       &	0.40584515 	& 0.38183005 \\
       &	0.74153119 	& 0.27970539 \\
       &	0.94910791 	& 0.12948497 \\
     \hhline{||---||}
     8 &	0.18343464 	& 0.36268378 \\
       &	0.52553241 	& 0.31370665 \\
       &	0.79666648 	& 0.22238103 \\
       &	0.96028986 	& 0.10122854 \\
     \hhline{||---||}
     9 &	0.0       	& 0.33023936 \\
       & 	0.32425342 	& 0.31234708 \\
       &	0.61337143 	& 0.26061070 \\
       &	0.83603111 	& 0.18064816 \\
       & 	0.96816024 	& 0.08127439 \\
     \hhline{||---||}
    10 &	0.14887434 	& 0.29552422 \\
       &	0.43339539 	& 0.26926672 \\
       &	0.67940957 	& 0.21908636 \\
       &	0.86506337 	& 0.14945135 \\
       &	0.97390653 	& 0.06667134 \\
    \hhline{|b:===:b|}   
  \end{tabular}
  \caption{\label{tab:gauss-legendre:num}%%
    Numeryczne wielkości węzłów i~wag kwadratur Gaussa--Legendre'a}
\end{table}
Numeryczne wartości węzłów i~wag (współczynników) kwadratur
Gaussa--Legendre'a w~tabeli~\ref{tab:gauss-legendre:num} 
zostały wzięte z~książki Charles C.~Dyer i~Peter S.~S.~Ip,
\href{http://pathfinder.scar.utoronto.ca/~dyer/csca57/book_P/book.html}
{``An Elementary Introduction to Scientific Computing''}
z~rozdziału
\href{http://pathfinder.scar.utoronto.ca/~dyer/csca57/book_P/node44.html}%%
{``Gaussian Quadrature''}, dostępnej on--line.
 
Wagi i~węzły dla brakujących stopni zostały wzięte z~formularza
\href{http://www.efunda.com/math/num_integration/findgausslegendre.cfm}%%
{``Abscissas and Weights of Gauss-Legendre Integration''}
na stronie \href{http://www.efunda.com/}{\url{http://www.efunda.com}}.
Wspomniana strona pozwala na wyliczanie wag i~węzłów dla kwadratury
Gaussa--Legendre'a dowolnego stopnia.

Kwadratur wysokiego rzędu używa się rzadko.  W~praktyce stosuje się
kwadratury złożone ze wzorami niskiego rzędu na każdym podprzedziale.


\subsection{Inne kwadratury Gaussa}
\label{sec:inne}

Poniżej wypisane zostały nazwy kwadratur Gaussa dla innych funkcji
wagowych: 
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \int_{-1}^{1} f(x)\, \frac{\dx}{\sqrt{1-x^2}} &\quad\text{Gaussa--Czebyszewa} \\
    \int_{-1}^{1} f(x)\, (1-x)^\alpha (1+x)^\beta &\quad\text{Gaussa--Jacobiego dla\ } \alpha, \beta > -1 \\
    \int_{0}^{\infty} f(x)\, e^{-x} \dx           &\quad\text{Gaussa--Laguerre'a} \\
    \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, e^{-x^2} \dx   &\quad\text{Gaussa--Hermite'a}
  \end{align}
\end{subequations}
Dla symetrycznych funkcji wagowych węzły są rozłożone symetrycznie
względem środka przedziału i~mają odpowiednio te same wagi.

Dla kwadratur Gaussa--Czebyszewa (które są szczególnym przypadkiem
kwadratury Gaussa--Jacobiego dla $\alpha = \beta = -1/2$)
współczynniki i~węzły tych kwadratur są dane następującymi wzorami:
\begin{align}
  \label{eq:gauss-czebyszew}
  A_k &= \frac{\pi}{N+1} 
  &
  x_k &= \cos \frac{(2 k + 1) \pi}{2 N + 2}
\end{align}
Odpowiednim wielomianem ortogonalnym jest wielomian Czebyszewa
pierwszego rodzaju $T_n(x) = \cos(n \arccos x)$.

\begin{table}[htb]
  \centering
  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
  \begin{tabular}{|c|r|d{6}|d{6}|r|d{6}|d{6}|}
    \hline
    \multirow{2}*{$N$} &
    \multicolumn{3}{c|}{Kwadratury Gaussa--Laguerre'a} &
    \multicolumn{3}{c|}{Kwadratury Gaussa--Hermite'a} \\
    \cline{2-7}
    &
    $k$ &
    \multicolumn{1}{c|}{Węzły $x_k$}         &
    \multicolumn{1}{c|}{Wagi $A_k$} &
    $k$ &
    \multicolumn{1}{c|}{Węzły $x_k$}         &
    \multicolumn{1}{c|}{Wagi $A_k$} \\
    \hline
    \multirow{2}*{1} &
    0    &     0.585786 & 0.853553 &
    0; 1 & \mp 0.707107 & 0.886227 \\
    &
    1    &     3.414214 & 0.146447 &
    &&\\
    \hline
    \multirow{3}*{2} &
    0    &     0.415775 & 0.711093 &
    0; 2 & \mp 1.224745 & 0.295409 \\
    &
    1    &     2.294280 & 0.278518 &
    1    &     0        & 1.181636 \\
    &
    2    &     6.289945 & 0.010389 &
    &&\\
    \hline
    \multirow{4}*{3} &
    0    &     0.322548 & 0.603154 &
    0; 3 & \mp 1.650680 & 0.081313 \\
    &
    1    &     1.745761 & 0.357419 &
    1; 2 & \mp 0.534648 & 0.804914 \\
    &
    2    &     4.536620 & 0.038888 &
    &&\\
    &
    3    &     2.395071 & 0.000539 &
    &&\\
    \hline
    \multirow{5}*{4} &
    0    &     0.263560 & 0.521756 &
    0; 4 & \mp 2.020183 & 0.019953 \\
    &
    1    &     1.413403 & 0.398667 &
    1; 3 & \mp 0.958572 & 0.393619 \\
    &
    2    &     3.596426 & 0.075942 &
    2    &     0        & 0.945309 \\
    &
    3    &     7.085810 & 0.003612 &
    &&\\
    &
    4    &    12.640801 & 0.000032 &
    &&\\
    \hline
  \end{tabular}
  \caption{Numeryczne wielkości wag i~współczynników dla kwadratur dla
    przedziału nieskończonego}
  \label{tab:gauss-laguerre-i-hermite}
\end{table}
Do obliczania całek na przedziale nieskończonym stosujemy często
kwadratury Gaussa--Laguerre'a lub Gaussa--Hermite'a.
W~tablicy~\ref{tab:gauss-laguerre-i-hermite} podano węzły
i~współczynniki tych kwadratur dla $N = 1, 2, 3, 4$.


\appendix
\section{Informacje dodatkowe}
\label{sec:dodatkowe}



\subsection{Zamiany zmiennych całkowania}
\label{sec:zamiana-zmiennych}

Przy całkowaniu numerycznym warto często sprowadzić całkę do
wygodniejszej postaci, czy to za pomocą całkowania przez części, czy
też za pomocą zamiany zmiennych całkowania.

Zamiana zmiennych z~całkowania po przedziale $[a,b]$ na całkowanie po
przedziale $[-1,1]$:
\begin{align}
  \label{eq:chv:linear}
  \int_{a}^{b} f(x) \dx 
  &= \frac{b-a}{2} \int_{-1}^{1} 
  \; f\left(\frac{b-a}{2} t + \frac{a+b}{2}\right) \; \dt
\end{align}

Zamiana zmiennych z~całkowania po przedziale nieograniczonym 
$[0, \infty]$ na całkowanie po przedziale $[0, 1]$:
\begin{align}
  \label{eq:chv:rational1}
  \int_0^{\infty} f(x) \dx &= \int_0^1 f\left(\frac{1-t}{t}\right) \frac{1}{t^2} \dt
  \\
  \label{eq:chv:exp}
  \int_0^{\infty} f(x) \dx &= \int_0^1 f(- \ln(t)) \frac{1}{t} \dt
  \\
  \label{eq:chv:exp2}
  \int_0^{\infty} f(x) \dx &= \int_0^1 f\left(\sqrt{-\ln(t)}\right) \frac{1}{2} \frac{1}{t \sqrt{-\ln(t)}} \dt
\end{align}

Zamiana zmiennych z~całkowania po przedziale obustronnie
nieograniczonym $[-\infty, \infty]$ na całkowanie po przedziale 
$[-1, 1]$.  Może być także użyta do zamiany całkowania po 
$[0, \infty]$ na całkowanie po $[0, 1]$: 
\begin{align}
  \label{eq:chv:rational2}
  \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \dx &= 
  \int_{-1}^1 f\left(\frac{2 t}{1 - t^2}\right) \frac{2 (1 + t^2)}{(1 - t^2)^2} \dt
  \\
  \label{eq:chv:tan}
  \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \dx &= 
  \int_{-1}^1 f\left(\tan(t\,\pi/2)\right) \frac{\pi/2}{\cos^2(t\,\pi/2)} \dt
  \\
  \label{eq:chv:atanh}
  \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \dx &= 
  \int_{-1}^1 f(\arctanh(t)) \frac{1}{1 - t^2} \dt
\end{align}


\subsection{Przykładowe funkcje do testowania}
\label{sec:przykl-funkcje}

\begin{align*}
  \int_0^1 x^\alpha \log(1/x) \dx 
  &=
  \frac{1}{1 + \alpha} 
  \\
  \int_{-\infty}^{\infty} \exp\bigl( -x - x^2 \bigr) \dx 
  &=
  \sqrt{\pi} \exp(1/4)
  \\
  \int_0^{\infty} \frac{\log(x)}{1 + 100 x^2} \dx
  &=
  -\,\frac{\log(10)}{20} 
\end{align*}
\\
\bigskip
\\
%%
\input{podpis.tex}


\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "int-gauss.tex"
%%% TeX-PDF-mode: t
%%% TeX-parse-self: t
%%% TeX-auto-save: t
%%% End:
