\documentclass[12pt]{book}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{hyperref}
\usepackage{polski}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{pstricks}
%\usepackage{graphicx}
%\usepackage{floatrow}
%\usepackage[all]{xy}
\usepackage{color}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin -.8cm \evensidemargin -1cm
\textwidth 17cm \textheight 23cm
\def\ds{\displaystyle}
\def\ss{\scriptstyle}
\def\txs{\textstyle}
\def\sss{\scriptscriptstyle}
\def\bl({\left(}
\def\br){\right)}
\def\R{\mathbb R}
\def\C{\mathbb C}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\N{\mathbb N}
\def\K{\mathbb K}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\h{\hskip15pt}
\def\v{\vskip8pt}
\def\a{\alpha}
\def\mv{\vskip5pt}
\def\n{\noindent}
\def\im{\mathrm{im}\,}
\def\id{\mathrm{id}\,}
\def\rk{\mathrm{rk}\,}
\def\tr{\mathrm{tr}\,}
\def\sgn{\mathrm{sgn}\,}
\def\rot{\mathrm{rot}\,}
\def\grad{\mathrm{grad}\,}
\def\dyw{\mathrm{div}\,}
\def\no{\noindent}
\def\ol{\overline}
\def\Fr{\,\mathfrak{Fr}}
\def\Int{\,\mathfrak{Int}}
\def\sm{\setminus}
\def\bt{\begin{tiny}}
\def\et{\end{tiny}}
\def\lto{\longrightarrow}
\def\eps{\epsilon}
\def\ba{\begin{array}}
\def\ea{\end{array}}
\def\dx{\textsf{d}x}
\def\xd{\textsf{d}}
\def\dy{\textsf{d}y}
\def\dz{\textsf{d}z}
\def\dr{\textsf{d}r}
\def\dt{\textsf{d}t}
\def\df{\textsf{d}\varphi}
\def\dth{\textsf{d}\vartheta}
\def\sT{\textsf{T}}
\def\sV{\textsf{V}}
\def\sH{\textsf{H}}
\def\st{\textsf{t}}
\def\sv{\textsf{v}}
\def\sh{\textsf{h}}
\def\supp{\mathrm{supp}\,}
%\newdir{ (}{{}*!/-5pt/@^{(}}

\newtheorem{zad}{Zadanie}

\title{Zbiór zadań z Analizy I R}
\author{Grzegorz Cieciura, Katarzyna Grabowska, Javier de Lucas, Piotr Sołtan, ...}

\date{}

\begin{document}
\maketitle

\begin{zad}\label{z:1}{\rm Zbadać zbieżność i ewentualnie obliczyć granicę ciągu $x_n=\sqrt[n]{n}$.
}\end{zad}

\noindent{\bf Wskazówka }(\ref{z:1}) Wziąć $y_n:=x_n-1$. Uzasadnić, że $y_n>0$. Oszacować $(y_n+1)^n$ przy pomocy odpowiednio wybranych wyrazów z
rozwinięcia dwumianu Newtona i skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.
\smallskip

\noindent{\bf Rozwiązanie }(\ref{z:1}) Niech $y_n:=x_n-1$. Ciąg $(y_n)$ jest ciągiem wyrazów ściśle dodatnich dla $n>1$. Gdyby tak nie było,
to dla pewnego $m>1$ mielibyśmy $x_m\leq 1$, wtedy także $(x_m)^m\leq 1$. Ale $(x_m)^m=m>1$. Korzystając z definicji $y_n$ możemy napisać
$\sqrt[n]{n}=y_n+1$, zatem $n=(y_n+1)^n$. Użyjemy rozwinięcia dwumianu Newtona. Wypiszemy jedynie trzy pierwsze wyrazy rowinięcia:
$$n=(y_n+1)^n=1+ny_n+\left(\begin{array}{c} n \\ 2\end{array}\right)y_n^2+\cdots \geq 1+ny_n+\left(\begin{array}{c} n \\ 2\end{array}\right)y_n^2\geq
1+\left(\begin{array}{c} n \\ 2\end{array}\right)y_n^2$$
Przy pierwszym oszacowaniu opuściliśmy poszostałe (dodatnie) wyrazy rozwinięcia, przy drugim opuściliśmy jeszcze drugi wyraz. Mamy teraz nierówność
$$n\geq 1+\left(\begin{array}{c} n \\ 2\end{array}\right)y_n^2,$$
którą przekształacamy
$$n-1\geq \frac{n(n-1)}{2} y_n^2,\qquad 1\geq \frac{n}{2}y_n^2,\qquad \frac{2}{n}\geq y_n^2, \qquad \sqrt{\frac{2}{n}}\geq y_n.$$
Otrzymujemy ostatecznie nierówność
$$0\leq y_n\leq \sqrt{\frac{2}{n}}.$$
Wiadomo, że $\lim_{n\to \infty}\sqrt{\frac{2}{n}}=0$. Z tego i z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że
$$\lim_{n\to \infty} y_n=0\quad \text{ więc }\quad \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n}=1.$$




\end{document}


