Termodynamika i fizyka statystyczna R
Seria 1
Seria 2
Seria 3
Seria 4
Seria 5
Seria Wielkanocna
Seria 6
Seria 7
Seria 8
Seria 9
Seria 10
Skrypt do wykładu: Fizyka statystyczna dla ostrożnych (work in progress).
Wykład 1:
O potrzebie fizyki statystycznej. Świat jest raczej niewyliczalny - już problem trzech ciał sprawia kłopoty - patrz tu,
tu ale i tu. Komputery pomagają, ale w ograniczonym stopniu. Ale może nie trzeba wyliczać trajektorii wszystkich cząstek na świecie - bo co robić z tą informacją? (nie chcemy podzielić losu zbója Gębona).
Czy sprawa jest beznadziejna? Chaos deterministyczny, który sprawia takie problemy przy problemie trzech (i więcej) ciał paradoksalnie może pomóc - jeśli uklad jest ergodyczny, to do jego opisu można użyć rachunku prawdopodobieństwa.
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa. Co to właściwie jest prawdopodobieństwo? Przestrzeń próbek i zbiór zdarzeń losowych.
Wykład 2:
Trzystanowa moneta i stojąca za nią teoria. Zmienna losowa i jej rozkład. Eksperyment: ruchy Browna (w mleku). Dyfuzja. Jak rozchodzą się zapachy i czy rekin wyczuwa krew nieskończenie szybko?
Wykład 3:
Dwa sposoby opisu cząstki Browna - przez przesunięcie (\(x\)) i jego momenty
\[\langle x(t) \rangle=0 \ \ \ \langle x^2(t) \rangle=2Dt\]
lub przez rozkład prawdopodobieństwa \(P(x,t)\) i opisujące jego ewolucję równanie dyfuzji
\[\frac{\partial P}{\partial t} =
D \frac{\partial^2 P}{\partial x^2},\]. Jeszcze o zmiennych losowych. Paradoks Petersburski - ile zapłacilibyście aby zagrać w grę z nieskończoną wartością oczekiwaną wygranej?
Przerywnik: odwracalność kinematyczna i doświadczenie Taylora . Więcej obrazków ze świata Arystotelesa można znaleźć w jedynym w swoim rodzaju filmie Taylora, w szczególności odwracalność kinematyczna do zobaczenia tutaj .
Wykład 4:
Ehrenfestowie i ich psy (zapchlone). Warunek równowagi szczegółowej, intepretacja rozkładu równowagowego (wszystkie mikrostany równoprawdopodobne). Mikrostany (która pchła gdzie siedzi) i makrostany (stan zapchlenia Azora). Wyliczanie średniej liczby pcheł na Azorze w funkcji czasu.
Symulacja komputerowa z książki IBB2. Rola fluktuacji.
Mierzenie informacji - jak bardzo zaskoczy nas wiadomość od szpiega? Entropia informacyjna Shannona (i jego domniemana rozmowa z von Neumannem ).
Wykład 5:
Powrót do psów. Dwa podejścia do entropii. Entropia Gibbsa:
\[ S_G = - k \sum_i p_i \log p_i \]
i Boltzmanna
\[ S_B = k \log \Sigma \]
gdzie Σ to liczba mikrostanów w danym makrostanie. Ważne: SG jest właśnościa zespołu statystycznego, a SB - pojedynczego układu.
Dowód, że entropia Gibbsa dla psów Ehrenfestów rośnie w czasie i osiąga maksimum w stanie równowagi. Status II zasady termodynamiki - prawo statystyczne czy absolutne? Więcej o Gibbsie, Boltzmannie i II zasadzie np. tu.
Wykład 6:
Dochodzenie do stanu równowagi. Fluktuacje i prawo 1/
√N . Odwracalność mikroskopowa i nieodwracalność w skali makro - jak to możliwe?
Paradoks Loschmidta i paradoks parkowania. Rozprężanie gazu, cząstki w komórkach i granica termodynamiczna. Wystrzał z bazooki!
Wykład 7:
Główne postulaty fizyki statystycznej: 1) W makroskopowym układzie procesy spontaniczne (po usunięciu więzów)
przebiegają tak, że liczba mikrostanów odpowiadających realizowanemu makrostanowi rośnie (z dokładnością do fluktuacji). 2) Stanowi równowagi odpowiada makrostan, który realizuje największa liczba
mikrostanów 3) Izolowany układ w równowadze może być znaleziony z równym prawdopodobieństwem w każdym
ze swoich mikrostanów.
Zespół mikrokanoniczny. Dla układu izolowanego:
\[P(mikrostanu) = \frac{1}{\Sigma (E,N,V)},\]
gdzie E, V, N to wielkości charakteryzujące stan równowagi.
Przypadek ciągły:
\[\rho(\Gamma_N) = \frac{1}{\omega(E,V,N)} \delta (E - H(\Gamma_N,V))\]
gdzie
\[\omega(E,V,N) = \int \delta (E - H(\Gamma_N,V)) d\Gamma_N\]
a miara przestrzeni fazowej to
\[d\Gamma_N = \frac{d^{3N}p d^{3N}q}{N! h^{3N}}\]
(wyjdzie w przyszłości jako granica klasyczna statystyk kwantowych). Entropia gazu doskonałego - wzór Sackura-Tetrode. Wielkości intensywne i ekstensywne. Granica termodynamiczna. Statystyczna definicja temperatury.
Wykład 8:
O mierzeniu temperatur i dlaczego warto znać temperaturę kaczki. Równowaga mechaniczna i ciśnienie. Slajdy z wykładu
Wykład 9:
Mechanika klasyczna a fizyka statystyczna. Potoki fazowe, twierdzenie Liouville'a. Funkcja rozkładu - stała wzdłuż trajektorii w przestrzeni fazowej
\[f(\Gamma_0,0)=f(\Gamma(\Gamma_0,t),t)\]
Świat demona: entropia Gibbsa i jej stałość podczas ruchu układu w przestrzeni fazowej.
Jak uratować drugą zasadę termodynamiki? Rozsmarowywanie rozkładu
\[\tilde{f}(\Gamma,t)=\frac{1}{|\omega|}\int_{\omega} f(\Gamma^{\prime},t) d\Gamma^{\prime} \]
Świat widziany nieostro: entropia gruboziarnista \( \tilde{S}_t=-k \int \tilde{f}(\Gamma,t) \log \tilde{f}(\Gamma,t) d\Gamma \) i dowód, że rośnie ona podczas ruchu w przestrzeni fazowej. Mapa kota Arnolda , zastosowana do kwadratu i do jednego z wykładowców.
Wykład 10:
O trudnej sztuce mieszania: "stirred not shaken" w przestrzeni fazowej. Marzenie Gibbsa: jak wymieszac doskonale? W przypadku Martini w kieliszku:
\[\frac{\mu(T^n(W) \cap V)}{\mu(V)} = \frac{\mu(W)}{\mu(C)}\]
gdzie W to wermut, V - dowolny obszar kieliszka o niezerowej mierze, \(\mu(C)\) - całkowita objętość koktailu (wermut+gin).
Marzenie Boltzmanna: ergodyczność. Średnia po czasie
\[ \langle f(\Gamma) \rangle_t = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int f(\Gamma_t) dt \]
i średnia po przestrzeni fazowej
\[ \langle f \rangle_\Omega = \frac{1}{V(\Omega)} \int f(\Gamma) d\Gamma. \]
Czy i kiedy sa równe i ile trzeba na to czekać? I czy to w ogóle ma znaczenie? Raczej nie: nie interesuje nas zwykle trajektoria układu w pełnej przestrzeni fazowej, a jedynie jej rzut na podprzestrzeń fizycznie ważnych zmiennych.
Ludwig Boltzmann i oponenci - argumenty Loschmidta i Zermelo. Twierdzenie o powrocie Poincarego. Znaczenie warunków początkowych. Czy Wszechświat to wielka fluktuacja? A może jesteśmy mózgami Boltzmanna (jeden wystarczy) lub żyjemy w symulacji. Mózg Boltzmanna w kulturze popularnej: tu i tu. Jeśli Was to zasmuca to na pocieszenie. Mózg Boltzmanna na poważniej: np. tu lub tu.
Wykład 11:
Równowaga chemiczna i potencjał chemiczny (więcej np. tu). Rózniczka energii wewnętrznej dU = Tds - pdV + μdN i pierwsza zasada termodynamiki. Układ w kontakcie cieplnym z termostatem. Zespół kanoniczny. Związek sumy statystycznej ze średnią energią. Fluktuacje energii.
Równoważność zespołów w granicy termodynamicznej i energia swobodna.
Wykład 12:
procesy kwazistatyczne i odwracalne. Gaz doskonały w zespole kanonicznym. Kury na grzędach - interpretacja ciepła i pracy w języku poziomów energetycznych. Twierdzenie adiabatyczne w mechanice kwantowej (uwaga na różne znaczenia tego słowa). Wewnętrzna i zewnętrzna zmiana entropii (pomiędzy dwoma stanami równowagi) - dS = dSe + dSi.
Wykład 13:
Rura Rubensa - tu w (muzycznej) wersji 2D. Powrót do kur na grzedach - mała nagła zmiana poziomów i dodatniość nieskompensowanego ciepła. Klasyfikacja procesów Plancka: naturalne, nienaturalne i odwracalne. Druga zasada termodynamiki: wewnętrzna zmiana entropii układu izolowanego jest zawsze dodatnia a równa zeru w przypadku procesu odwracalnego. Dla układu w kontakcie termicznym z otoczeniem dS ≥ đQ/T; dSwewn ≥0.
Wykład 14:
Mania wielkości: wielki zespół kanoniczny, wielka suma statystyczna, wielki potencjał termodynamiczny. Gaz doskonały w wielkim zespole kanonicznym. Transformacja Legendre'a i menażeria potencjałów termodynamicznych: energia wewnętrzna, energia swobodna, entalpia, energia swobodna Gibbsa. Termodynamiczny taniec: zamieniamy partnerów (T ↔ S, p ↔ V, μ ↔ N) i potencjały (U, F, G, H). Relacje Maxwella (z zupełności różniczki dla odpowiedniego potencjału). Kółko Borna dla leniwych. Prawo ekstremalne dla energii swobodnej: W procesach spontanicznych zachodzących w kontakcie z termostatem oraz przy stałej objętosci i liczbie cząstek energia swobodna Helmholtza układu nie rośnie i osiąga minimum w stanie równowagi
Wykład 15:
Prawa ekstremalne dla różnych potencjałów termodynamicznych. Praca minimalna i maksymalna.
Wykład 16:
Wypukłość i wklęsłość potencjałów termodynamicznych. Efekty proste i krzyżowe. Wnioski z wypukłości: dodatniość podatności, reguła przekory le Chateliera.
Przecinanie lodu czyli regelacja. Chcecie wiedzieć co o tym sądzili Faraday lub lord Kelvin? I co to ma wspólnego z pytaniem dlaczego lód jest śliski i z jazdą na łyżwach? Czy za ten efekt jest odpowiedzialne przewodnictwo cieplne drutu czy powierzchniowa warstewka wody? I dlaczego efekt przeżywa nawet przy -35 stopniach ? Relacja Gibbsa-Duhema: \( SdT-Vdp +N d\mu = 0 \) i jej zastosowanie do przemnian fazowych. Reguła faz Gibbsa: F = C – P + 2. Równanie Clausiusa-Clapeyrona
\[\frac{dp}{dT} = \frac{q_p}{T \Delta v}\]
okreslające nachylenie linii współistnienia faz w zależnosci od ciepła przemiany i zmiany objętości właściwych.
Wykład 17:
Linia współistnienia faz. Punkt krytyczny i punkt potrójny. Punkt krytyczny w przechłodzonej wodzie - artykuł . Ciepła przemian fazowych. Silniki i maszyny cieplne, czyli o mocy poruszającej ognia. Sprawność silnika, cykl Carnota, lodówki. Różne sformułowania drugiej zasady termodynamiki. Slajdy do wykładu.
Tajemnice TiO2 czyli o komentowaniu prac naukowych: komentarz i komentarz do komentarza .
Wykład 18:
Przejścia ciągłe i nieciągłe. Klasyfikacja Ehrenfesta. Punkt krytyczny w eterze i fluktuacje. Gaz van der Waalsa - jak wziąc pod uwagę objętość wyłaczoną i przyciąganie między cząstkami? Przejścia fazowe w gazie van der Waalsa - obszar niestabilny i jak sobie z nim radzić.
Konstrukcja Maxwella. Binodala, spinodala i stany metastabilne: przegrzana ciecz i przesycona para. Slajdy do wykładu.
Wykład 19:
Czy entropia to zawsze wzrost nieporządku? Kryształy koloidalne czyli o porządkującej roli entropii; wiele z nich ma własności fotoniczne. Przykład: opal i jego szalone kolory.
Przykład struktur "żywiących się entropią" - komórki konwekcyjne żyjące w gradiencie temperatury (możecie dostać w kuchni podgrzewając olej na patelni). Inne struktury nierównowagowe - oscylony (możecie dostać w kuchni podrzucając kulki na patelni). Zobaczcie jeszcze tu na chodzące kropelki Yvesa Coudera.
Demonologia stosowana. Demon Maxwella i jego różne inkarnacje. W literaturze: demon drugiego rodzaju u Lema, makrodemony u Strugackich, komiks o Maksie widzącym mikrostany. Smoluchowski i jego zapadka, rozpropagowana przez Feynmana. Silniki Brownowskie - ruch w zębatym potencjale. Gry Parrondo czyli jak wygrać grając w dwie sprawiedliwe (lub nawet przegrywające) gry. Silniki Brownowskie a transport w komórce. Zapadki Żurka i van der Broecka. Smoluchowski: czy mogą istnieć inteligentne demony? Marsjanin Leo Szilard i jego wynalazki. Lodówka Einsteina-Szilarda. Praca doktorska o Schwankungserscheinungen. Silnik Szilarda - czy łamie drugą zasadę? Brillouin: za pomiar trzeba płacić! Bennett: nie, nie trzeba. Zasada Landauera - czy płacimy entropią za zapominanie? Notatki demoniczne i jeszcze komiks Larry'ego Gonicka.
Wykład 20: Kwantowa fizyka statystyczna. Macierz gęstości. Równanie von Neumanna. Kwantowe zespoły statystyczne. Układy nieoddziałujących cząstek. Formalizm liczby obsadzeń. Fermiony i bozony: zakaz Pauliego i wzmocnienie bozonowe. Faktoryzacja wielkiej sumy statystycznej. Ciśnienie kwantowego gazu doskonałego. Statystyki Fermi-Diraca i Bose-Einsteina.
Wykład 21: Kształt kryształów. Piotr Curie i wkład powierzchniowy do energii kryształów. Jurij Wiktorowicz Wulff - krystalograf z Uniwersytetu Warszawskiego i jego konstrukcja. Slajdy do wykładu.
Wykład 22: Mieszaniny i roztwory. Entropia mieszania. Potencjał chemiczny rozpuszczalnika i substancji rozpuszczonej. Zmiany temperatury przejść fazowych dla mieszanin i roztworów (skraplanie powietrza, solenie lodu...). Eutektyki. Trochę o atomistyce: układ okresowy, odkryciu argonu, izotopy. Czy Mendelejew zawsze był stary? Slajdy do wykładu. Dodatek o atomistyce.
Wykład 23: Kwantujemy dalej. Ale najpierw granica klasyczna - odtwarzamy N! i ℏ, które wstawialiśmy do wyrażeń klasycznych. Równanie stanu gazów kwantowych (i nie tylko) pV=2/3 U. Gaz fermionów w niskich temperaturach. Energia Fermiego. Niezerowa energia i ciśnienie pomimo temperatury zera bewzględnego.
Wykład 24: Gaz fermionów w temperaturze dużo mniejszej od temperatury Fermiego (ale niezerowej). Rozwinięcie Sommerfelda. Temperatury Fermiego metali nie są wcale małe jak na nasze standardy (~10 tys. stopni). Makroskopowe efekty kwantowe: białe karły (podtrzymywane ciśnieniem zdegenerowanego gazu elektronów) i gwiazdy neutronowe (podtrzymywane ciśnieniem zdegenerowanego gazu neutronów). Potencjał chemiczny vs. energia Fermiego w niskiej temperaturze. Liniowość ciepła właściwego z T. Metal jako gaz elektronów + struktura krystaliczna. Pomiary ciepła właściwego.
Wykład 25: Trzecia zasada termodynamiki. Co się dzieje przy niskich temperaturach - entropia resztkowa. Różne struktury lodu. Slajdy. Symetrie w przyrodzie i niezmienniczość równań ze względu na różne operacje symetrii. Slajdy.
Wykład 26: Czas na bozony. Ujemność potencjału chemicznego. Zliczanie cząstek i
ograniczenie na ich liczbę w układzie. Gdzie mogą się podziać nadmiarowe
atomy? Rozwiązaniem jest kondensacja w stanie podstawowym. Potrzebne
niska temperatura lub wysoka gęstość. Co można skondensować?
Zimne atomy,
ekscytony,
ekscytony-polarytony, a nawet
magnony. Trochę o Wszechświecie. Entropia Wszechświata - czy rośnie? Powinna, ale skoro tak to czemu jednorodna kula ognista na samym początku? Termodynamika roszerzającego się Wszechświata - entropia i energia promieniowania, zwykłej materii i ciemnej energii.
[1] F. Reif Fundamentals of statistical and thermal physics (uwaga! to tzw. duży Reif w odróżnieniu od małego, który jest częścią Berkelejowskiego kursu fizyki)
[2] R. Baierlein Thermal Physics
[3] D. V. Schroeder An Introduction to Thermal Physics
[4] L. E. Reichl A modern course in statistical physics
[5] C. Kittel & H. Kroemer Thermal Physics
[6] H. Callen Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics
[7] M. E. Tuckerman Statistical Mechanics: Theory and Molecular Simulation
[8] R. Hołyst, A. Poniewierski, A. Ciach Termodynamika dla chemików, fizyków i inżynierów
[9] D. N. Zubarev Termodynamika statystyczna
[10] W. Feller Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa
R. Kubo Thermodynamics: An Advanced Course with Problems and Solutions
R. Kubo Statistical Mechanics. An Advanced Course with Problems and Solutions
P. T. Landsberg Problems in Thermodynamics and Statistical Physics