\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{polski}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
 \usepackage[a4paper, total={7in, 9in}]{geometry}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{proposition}{Stwierdzenie}[section]
\newtheorem{theorem}[proposition]{Twierdzenie}
\newtheorem{lemma}[proposition]{Lemat}
\newtheorem{definition}[proposition]{Definicja}
\newtheorem{remark}[proposition]{Uwaga}
\newtheorem{example}[proposition]{Przyk�ad}
\newtheorem{corollary}[proposition]{Wniosek}
\newtheorem{memento}[proposition]{Przypomnienie}
\newtheorem{notation}[proposition]{Notacja}
\begin{document}
\section{Wyk�ad 26.02.2016r.}
\begin{remark} 
Przestrze� metryczna to para $(X,d_{x}), d_{x}:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}_{+}$ spe�niaj�ca 3 aksjomaty. Przestrze� metryczna $(X,d_{x})$ jest zupe�na je�li ci�gi Cauchy'ego $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ s� zbie�ne. 
\end{remark}
\begin{example} 
$(\mathbb{R}^{n},d_{p})\quad p\in[1,\infty]$ gdzie:\\
\begin{displaymath}
\textrm{dla}\quad p\in[1,\infty[\quad d_{p}(x,y)=(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} \\
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\textrm{dla}\quad p=\infty\quad d_{\infty}(x,y)=\max\{|x_{i}-y_{i}|:1\leq i\leq n\} \\
\end{displaymath}
\end{example}
\begin{remark} 
Ci�g $x_{n}\in \mathbb{R}^{n}$ w przestrzeni $(\mathbb{R}^{n},d_{p})$ jest zbie�ny wtedy i tylko wtedy gdy ci�gi wsp�rz�dnych $({x}_{n,i})_{n\in\mathbb{N}}$ s� zbie�ne. W szczeg�lno�ci przestrze� $(\mathbb{R}^{n},d_{p})$ jest zupe�na.
\end{remark}
\begin{definition}
Niech $(X,d)$ - metryczna oraz $\varphi:X\rightarrow X$. M�wimy, �e $\varphi$ jest odwzorowaniem zbli�aj�cym je�li $\exists_{q}\ q<1$ takie, �e $\forall_{s,t\in X}\ d(\varphi(s),\varphi(t))\leq qd(s,t)$
\end{definition}
\begin{figure}[!b]
\centering
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{Odwzorowanie.png}
\caption[]{Odwzorowanie zbli�aj�ce}
\end{figure}
\begin{theorem}\label{banach}
Niech $(X,d)$ b�dzie przestrzeni� zupe�n� oraz $\varphi:X\rightarrow X$ b�dzie odwzorowaniem zbli�aj�cym ze sta�� $q$. W�wczas istnieje dok�adnie jeden punkt sta�y $x\in X$ odwzorowania $\varphi$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Niech $s\in X$; rozwa�my ci�g element�w $(s_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ gdzie $s_{0}=s$, a $s_{n+1}~=~\varphi(s_{n})$;\\ $\ s_{n}~=~\underbrace{\varphi\circ\ldots\circ\varphi(s_{0})}_{n-razy}$\\
Ci�g $s_{n}$ jest ci�giem Cauchy'ego: $n>m$\\
\begin{displaymath}
d(s_{n},s_{m})\leq qd(s_{n-1},s_{m-1})\leq q^{m}d(s_{n-m},s_{0})\leq q^{m}(d(s_{n-m},s_{n-m-1})+\ldots+d(s_{1},s_{0}))\leq
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\leq q^{m}(q^{n-m-1}+\ldots+q^{2}+q+1)d(s_{0},s_{1})=q^{m}\frac{1-q^{n-m-1}}{1-q}d(s_{0},s_{1})\leq\frac{q^{m}}{1-q}d(s_{0},s_{1})
\end{displaymath}\\
Poniewa� $q<1$ to dla dostatecznie du�ego $m\quad q^{m}<\epsilon\frac{1-q}{d(s_{0},s_{1})}$, a wtedy $d(s_{n},s_{m})<\epsilon$; ci�g $(s_{n})$ jest ci�giem Cauchy'ego.\\
Niech $t=\lim_{n\rightarrow\infty}s_{n}$. Poniewa� odwzorowanie zbli�aj�ce jest w szczeg�lno�ci ci�g�e to $\varphi(t)=\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi(s_{n})=\lim_{n\rightarrow\infty}s_{n+1}=t$, czyli $t$ jest punktem sta�ym odwzorowania $\varphi$.\\
Przypu��my, �e $t^{'}\in X$ jest punktem sta�ym $\varphi,\ \varphi(t^{'})=t^{'}$. W�wczas $d(t,t^{'})=d(\varphi(t),\varphi(t^{'}))\leq qd(t,t^{'})$ czyli $d(t,t^{'})=0$ i $t=t^{'} $
\end{proof}
\begin{definition}
Niech $X$ b�dzie przestrzeni� wektorow� nad $\mathbb{R}$. Funkcje $X\ni x\longmapsto\left\|x\right\|\in\mathbb{R}_{+}$ nazywamy norm� na $X$ je�li:
\begin{enumerate}
\item $\left\|x\right\|=0 \Rightarrow x=0$
\item $\forall_{s\in\mathbb{R}}\forall_{x\in X}\ \left\|s\cdot x\right\|=\left|s\right|\cdot\left\|x\right\|$
\item $\forall_{x,y\in X}\left\|x+y\right\|\leq\left\|x\right\|+\left\|y\right\|$
\end{enumerate}
Par� $(X,\left\|\cdot\right\|)$ nazywamy przestrzeni� unormowan�.
\end{definition}
\begin{example}
\begin{enumerate}
\item $(\mathbb{R}^{n},\left\|\cdot\right\|_{p})$ gdzie $p\in[1,\infty]$\\
$\left\|x\right\|_{p}=(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}}\quad $dla $ p<\infty$\\
$\left\|x\right\|_{\infty}=\max\left\{|x_{i}|:1\leq i\leq n\right\}\quad$dla $p=\infty$
\item $(C[0,1],\left\|\cdot\right\|_{p}),\ \dim C([0,1])=\infty\quad f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}\ $\\
$\left\|f\right\|_{p}=(\int_{0}^{1}|f(t)|^{p})^{\frac{1}{p}}\quad$dla $p<\infty$\\
$\left\|f\right\|_{\infty}=\sup\left\{|f(t)|:t\in[0,1]\right\}\quad$dla $p=\infty$
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{remark}
$(X,\left\|\cdot\right\|)$- unormowana to wz�r $X\times X\ni (x,y)\longmapsto\left\|x-y\right\|\in\mathbb{R}_{+}$ definiuje metryk� na $X$.
\end{remark}
\begin{definition}
$(X,\left\|\cdot\right\|)$- unormowana. M�wimy, �e $(X,\left\|\cdot\right\|)$ jest przestrzeni� Banacha je�li jest ona zupe�na.
\end{definition}
\begin{theorem}
$(C[0,1],\left\|\cdot\right\|_{\infty})$ jest przestrzeni� Banacha.
\end{theorem}
\begin{proof}
Zauwa�my, �e $(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ jest zbie�ny do $f$ je�li $(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ zbiega do $f$ jednostajnie: \[\sup_{t\in [0,1]}\underbrace{|f_{n}(t)-f(t)|}_{=\left\|f_{n}-f\right\|_{\infty}}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} 0\]
Niech teraz $(g_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ b�dzie ci�giem Cauchy'ego. W�wczas ci�g liczbowy w $\mathbb{R}\ (g_{n}(t))_{n\in\mathbb{N}}$ jest Cauchy'ego. Niech $g(t)=\lim_{n\rightarrow\infty}g_{n}(t)$.\\
Mamy: $\exists_{N}:n,m>N\ |g_{n}(t)-g_{m}(t)|<\epsilon$ dla wszyskich $t\in[0,1]$. Przechodz�c z $m$ do granicy mamy $|g_{n}(t)-g(t)|<\epsilon$ dla $n>N$ i dla $t\in[0,1]$. Wi�c $\left\|g_{n}-g\right\|_{\infty}<\epsilon$. Czyli 
$g_{n}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{jednostajnie}g$
i $g\in[0,1]$, a zatem ci�g Cauchy'ego $(g_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ ma granic� $g\in C[0,1]$
\end{proof}
\begin{remark}
$(C[0,1],\left\|\cdot\right\|_{p})$ nie jest Banacha dla $p<\infty$
\end{remark}
\begin{proposition}
Dzia�ania w przestrzeni unormowanej $(X,\left\|\cdot\right\|)$ s� ci�g�e:
\begin{displaymath}
\left.\begin{array}{l}
R\times X\ni (\lambda,x)\longmapsto\lambda x\in X\\
X\times X\ni (x,y)\longmapsto x+y\in X\\ 
\end{array} \right\}\textrm{ci�g�e}
\end{displaymath}
\end{proposition}
\begin{proof}
$\lambda_{n}\rightarrow\lambda,\ x_{n}\rightarrow x$ w�wczas:\\
$\left\|\lambda_{n}x_{n}-\lambda x\right\|=\left\|(\lambda_{n}-\lambda)x_{n}+\lambda(x_{n}-x)\right\|\leq \underbrace{|\lambda_{n}-\lambda|\left\|x_{n}\right\|}_{\rightarrow 0 }+\underbrace{|\lambda|\left\|x_{n}-x\right\|}_{\rightarrow 0}$
Je�li ponadto $g_{n}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}g$ to:\\
\begin{displaymath}
\left\|x_{n}+y_{n}-(x+y)\right\|\leq \left\|x_{n}-x\right\|+\left\|y_{n}-y\right\| 
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\left.
\begin{array}{c}
\left\|x_{n}-x\right\|\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}0\\
\left\|y_{n}-y\right\|\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}0 
\end{array} \right\} \Rightarrow \left\|x_{n}+y_{n}-(x+y)\right\| \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}0
\end{displaymath}
a zatem:\\
$x_{n}+y_{n}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}x+y$\\
$\lambda_{n}x_{n}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}\lambda x$
\end{proof}
\section{Wyk�ad 01.03.2016r. }
\begin{remark}
%\textbf {Uwaga:} \\
Na $\mathbb{R}^{n}$ wprowadzamy norm� $\Vert x \Vert _\infty$
$$\Vert x \Vert _\infty =\max\lbrace\vert x_i \vert : 1\leq i \leq n\rbrace$$

\end{remark}

\begin{proposition}
Niech $X,Y$ b�d� przestrzeniami unormowanymi oraz $T:X\rightarrow Y$ b�dzie odwzorowaniem liniowym.\\
W�wczas nast�puj�ce warunki s� r�wnowa�ne: 
\begin{enumerate}
\item $T$ jest odwzorowaniem ci�g�ym.
\item $T$ jest ci�g�e w $0\in X$.
\item $\underset{\Vert x \Vert \leq 1}{\sup\Vert Tx \Vert} < \infty$
\end{enumerate}
\end{proposition} 
%\textbf {Dow�d:}\\

\begin{proof} 
\begin{itemize}
    \item $1 \Rightarrow 2$ - oczywiste
    \item $2 \Rightarrow 3$  Zauwa�my, �e $T(0)=0$. 
We�my $\varepsilon =1$. 
W�wczas ci�g�o�� $T$ w $0\in X$ daje $\delta \in \mathbb{R}_+$, takie �e je�li  $x\in \mathbb{K}(0,\delta) $ to $\Vert Tx-T(0) \Vert \leq 1$ 
Czyli $\Vert Tx \Vert \leq 1$. Zauwa�my, �e 
$ \underset{\Vert x \Vert \leq \delta}{\sup\Vert Tx \Vert} \leq 1$, a st�d $\underset{\Vert x \Vert \leq 1}{\sup\Vert Tx \Vert} \leq \frac{1}{\delta} < \infty$
\item $3 \Rightarrow 1$ Niech $x_{n} \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}  x $ {} $\Vert    Tx_{n}-Tx \Vert = \Vert T(x_{n}-x) \Vert=$\\ $ =\Vert T(\frac{x-x_{n}}{\Vert x-x_{n} \Vert }) \Vert \cdot \Vert x-x_{n} \Vert \leq \underset{\Vert x \Vert \leq 1}{\sup\Vert Tx \Vert} \cdot \Vert x-x_{n} \Vert \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} 0  $ 
\end{itemize}




\end{proof}

\begin{example}
$ X=\mathbb{R}^{n}; $ $Y=\mathbb{R}^{m} $ {  }  $ T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}   $ liniowe \\
$ T=\underset{1 \leq j \leq n; 1 \leq i \leq m}{[T_{ij}]} $ Niech $ \lambda = \left[
        \begin{array}{cc}
         \lambda_{1} \\
         \vdots \\
         \lambda_{n}
         \end{array}
      \right]
       \in \mathbb{R}^{n} $ \\
$ \vert T_{\lambda,i} \vert = \vert  \sum\limits_{j=1}^n T_{ij}\lambda_{j} \vert \leq  \sum\limits_{j=1}^n  \vert T_{ij} \vert \cdot \vert\lambda
_{j} \vert \leq \sum\limits_{j=1}^n \vert T_{ij} \vert \cdot \max \lbrace \vert \lambda_{j} \vert: 1 \leq j \leq n \rbrace \leq $\\ $\leq \sum\limits_{j} \vert T_{ij} \vert \cdot \Vert \lambda \Vert _{\infty} $ \\
$  \Vert T\lambda \Vert_\infty \leq  \sum\limits_{i,j} \vert T_{i,j} \vert \cdot \Vert\lambda \Vert _{\infty} $ \\
 \end{example}
 
\begin{definition}
Odwzorowanie liniowe $T: X \rightarrow Y$ spe�niaj�ce jeden z pow�yszych warunk�w nazywamy odwzrowaniem ograniczonym. \\
$ \underset{ \Vert\lambda\Vert\leq1}{\sup{\Vert T\lambda \Vert _\infty}} \leq  \sum\limits_{i,j} \vert T_{ij}\vert $, a wi�c $T$ jest ograniczone.
\end{definition}
\begin{example}
$ Y=C[0,1]=X$ {}z norm� $ \sup T:X\rightarrow Y $ {}  $ f\in C[0,1] (Tf)(t)=$ \\$=\displaystyle \int\limits^t_0 \, f(s)ds  $ dla $ t\in [0,1] $ \\
T jest operatorem ograniczonym: $\vert Tf(t) \vert\leq\displaystyle \int\limits^t_0 \, \vert f(s)ds \leq 1 \cdot\Vert f \Vert_\infty $.
\end{example}

\begin{remark} Zbi�r  odwzorowa� ograniczonych z $X$ do $Y$ oznaczamy $B(X,Y)$. $B(X,Y)$ jest przestrzeni� liniow�: $T,S \in B(X,Y) $  oraz $ \lambda,\mu \in \mathbb{R} $ to $\lambda S + \mu T \in B(X,Y)$. 
 Ponadto wz�r  $B(X,Y) \ni T \mapsto \Vert T \Vert = \underset{\Vert x \Vert \leq 1} {\sup\Vert Tx \Vert} \in \mathbb{R}_{+}  $ zadaje norm� na $ B(X,Y)$   oraz $ B(X,Y)$ z t� norm� jest przestrzeni� Banacha (je�li $Y$ jest przestrzeni� Banacha). 
 Dalej je�li $T \in B(X,Y) $ oraz $S \in B(Y,Z) $ to $ S\cdot T \in B(X,Y) $ i $ \Vert S \cdot T \Vert \leq \Vert T \Vert \cdot \Vert S \Vert$. Rzeczywi�cie   
 $$ \Vert S \cdot T \Vert = \underset{\Vert x \Vert \leq 1} {\sup\Vert S(Tx) \Vert} \leq \underset{\Vert y \Vert \leq \Vert T \Vert} {\sup\Vert Sy \Vert}$$  gdzie skorzystali�my z  $$T(K(0,1))\subset K(0, \Vert T \Vert)= \Vert T \Vert \underset{\Vert y \Vert \leq \Vert T \Vert} {\sup\Vert S(\frac{y}{\Vert T \Vert}) \Vert} = \Vert T \Vert \cdot \Vert S \Vert$$
 \end{remark}
\begin{proposition}
Niech $X$ b�dzie sko�czenie wymiarow� przestrzeni� unormowan� oraz niech $\lbrace e_{1},..,e_{n}\rbrace $ b�dzie baz� $X$. W�wczas $\Lambda: \mathbb{R}^{n} \rightarrow X$. dane wzorem $\Lambda  \left[
        \begin{array}{cc}
         \lambda_{1} \\
         \vdots \\
         \lambda_{n}
         \end{array}
      \right] = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i} e_{i} $ jest odwzorowaniem ci�g�ym i $ \Lambda^{-1} :X \rightarrow \mathbb{R}^{n} $ te� jest odwzorowaniem ci�g�ym.
\end{proposition}
\begin{proof} 
\begin{itemize}
\item $\Lambda$ jest ograniczone.  
\[\begin{split}\Vert \Lambda  
        \begin{bmatrix} 
         \lambda_{1} \\
         \vdots \\
         \lambda_{n}
         \end{bmatrix}
        \Vert &= 
       \Vert \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i} e_{i} \Vert \leq \sum\limits_{i=1}^n \vert  \lambda_{i} \vert\Vert e_{i} \Vert \leq \max \lbrace \vert \lambda_{i} \vert : 1 \leq i \leq n \rbrace \sum\limits_{i=1}^n \Vert e_{i} \Vert\\& = \Vert \lambda \Vert_{\infty} \cdot \sum\limits_{i=1}^n \Vert e_{i} \Vert 
       \end{split}\]
Co pokazuje, �e $\Vert \Lambda \Vert \leq \sum\limits_{i=1}^n \Vert e_i \Vert $.  
\item  $ \Lambda^{-1} $ jest ograniczone.  
Je�li nie to $\exists $ ci�g $ x_m \in X$ taki, �e  $\underset{n \to \infty} {\lim} x_m = 0 $ oraz taki, �e $\Lambda^{-1} x_m $ nie jest zbie�ny do $0\in \mathbb{R}^n $. Bez straty og�lno�ci mo�emy za�o�y�, �e istnieje $\delta > 0$, taka �e $\Vert \Lambda^{-1} x_m \Vert > \delta$.  
Rozwa�my ci�g $v_m = \frac{\Lambda^{-1} x_m}{\Vert \Lambda^{-1} x_m \Vert} \in \mathbb{R}^n$, $ \Vert v_m \Vert =1$.  
Poniewa� sfera jednostkowa w $\mathbb{R}^n $ jest zbiorem zwartym to z $v_m$ mo�emy wybra� podci�g zbie�ny $v_{m_k}$.
Niech $v=\underset{k \to \infty} {\lim} v_{mk}$, $ \Vert v \Vert =1$. 
{}  W�wczas  $\underset{k \to \infty} {\lim} \Lambda v_{m_k} = \Lambda $  $ v\neq 0$,$ {}   $ gdy� $\Lambda$ jest odwracalne;      a z drugiej strony    {} $ \Lambda v_{m_k} = \frac{x_{m_k}}{ \Vert \Lambda^{-1} x_{m_k} \Vert} \xrightarrow[k\rightarrow\infty]{} 0$,  bo $\Vert \Lambda^{-1} x_{m_k} \Vert > \delta$ oraz $ x_{m_k} \rightarrow 0$.
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{corollary}
$X,Y$ - sko�czenie wymiarowe unormowanie. 
$T: X\rightarrow Y$ liniowy. W�wczas $T$ jest ci�g�y.
\end{corollary}
\begin{proof}Wybieraj�c bazy mo�emy uto�sami� 
\[\begin{split}\Lambda_X&: \mathbb{R}^{n_x}\rightarrow X\\
\Lambda_Y&: \mathbb{R}^{n_y}\rightarrow Y\end{split}\] gdzie $n_x=\dim x$, $ n_y=\dim y$.  
W�wczas $T=\Lambda_y \cdot (\Lambda^{-1}_y \cdot T \cdot \Lambda_x) \cdot \Lambda^{-1}_x$. 
Zauwa�my, �e $\Lambda_y $, $\Lambda^{-1}_x$ s� ci�g�e oraz $ \Lambda^{-1}_y \cdot T \cdot \Lambda_x: \mathbb{R}^{n_x} \rightarrow \mathbb{R}^{n_y}$ jest liniowe wi�c ci�g�e,  zatem $T$ jest ci�g�e.
\end{proof}
\begin{corollary}
Niech $X$ - przestrze� wektorowa i $\dim x< \infty$. 
Niech $ \Vert \cdot \Vert$, $\Vert \cdot \Vert ' : X \rightarrow \mathbb{R}_{+} $ b�d� normami na $X$.  
W�wczas normy te s�  r�wnowa�ne, tzn $\exists m, M>0$, takie �e 
\begin{equation}\label{nier}\forall x\in X\quad  m \Vert x \Vert ' \leq \Vert x \Vert \leq M  \Vert x \Vert '\end{equation}
\end{corollary}
\begin{proof}Rozwa�my odwzorowanie 
$\textrm{id}: (X, \Vert \cdot \Vert) \rightarrow (X, \Vert \cdot \Vert ')$. 
Skoro $\textrm{id}$ jest odwzorowaniem ograniczonym to bior�c $\underset{\Vert x  \Vert \leq 1} {\sup \Vert x \Vert '} = \frac{1}{m}$ oraz $\underset{ \Vert x \Vert ' \leq 1} {\sup \Vert x \Vert} = M$ dostajemy \eqref{nier}. 
\end{proof}
\begin{definition}
Niech $(X, \Vert \cdot \Vert_X) $ i $ (Y, \Vert \cdot \Vert_Y)$ b�d� przestrzeniami Banacha. 
$\mathcal{O} \underset{OTW} {\subset} X$ oraz $F:\mathcal{O} \rightarrow Y$. M�wimy, �e $F$ jest r�niczkowalne w $x_0\in\mathcal{O}$ je�li istnieje $T \in B(X,Y)$, takie �e \[r_F(x_0, h)=F(x_0 +h)-F(x_0)-T \cdot h\] jest ma�� wy�szego rz�du ze wzgl�du na $h\in X $ tzn. $ \lim_{h\to 0}\frac{\Vert r_F (x_0, h) \Vert_Y}{\Vert h \Vert_X}=0$.
\end{definition}
\newpage
\begin{example}
$F: C([0,1]) \rightarrow C([0,1])$, gdzie \[(F \cdot f)(t)=\displaystyle \int\limits^t_0 f^2 (s)ds\]
Niech $x_0=f_0 \in C[0,1]$. W�wczas 
\[\begin{split}
 (F(f_0 +h) - F(f_0))(t)&=  \int\limits^t_0 (f_o +h)^2(s)ds - \int\limits^t_0 f_o^2 (s)ds\\&=2\displaystyle \int\limits^t_0 f_0(s) h(s)ds +\displaystyle \int\limits^t_0 h^2 (s)ds
 \end{split}\] Po��my 
$(Th)(t) = 2 \displaystyle \int\limits^t_0 f_o (s) h(s)ds.$ 
$T$ jest ograniczone, bo 
\[\vert (Th)(t) \vert \leq \displaystyle \int\limits^1_0 \vert f(s) \vert ds \cdot \Vert h \Vert_\infty\] czyli $\Vert Th \Vert_\infty \leq \displaystyle \int\limits^1_0 \vert f(s) \vert ds \cdot \Vert h \Vert_\infty \Rightarrow \Vert T \Vert \leq \displaystyle \int\limits^1_0 \vert f(s) \vert ds$. Podobnie sprawdzamy, �e $r_F(f_0,h) = F(f+h) - F(f) - Th$ jest ma�� wy�szego rz�du w $h$. 
\end{example}
\begin{proposition}
Je�li $F: \mathcal{O} \rightarrow Y$ jest r�niczkowalne  w $x_0 \in X$ to odpowienie $T$ jest wyznaczone jednoznacznie.
\end{proposition}
\begin{proof} $ $ \\
Przypu��my $T_i \in B(X,Y) $ $ i=1,2$ oraz \[F(x_0 +h)-F(x_0)-T_i h\] jest ma�� wy�szego rz�du. 
Wtedy \[(T_1 - T_2)(h)=F(x_0 +h) -F(x_0)-T_2 h -F(x_0+h)+F(x_0)+T_1 h\] jest ma�� wy�szego rz�du, zatem $\underset{h \to \infty} {\lim} \frac{ \Vert (T_1 - T_2)h \Vert}{ \Vert h \Vert}=0$.
Niech $h \in X$ i we�my $h_n=\frac{1}{n} h \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} 0$.
W�wczas $\underset{h \to \infty} {\lim} \frac{ \Vert (T_1 - T_2)h_n \Vert}{ \Vert h_n \Vert}=0$, a wi�c $\underset{h \to \infty} {\lim} \frac{ \Vert (T_1 - T_2)h \Vert}{ \Vert h \Vert}=0$.
Czyli $T_1 h= T_2 h$.
\end{proof}
\begin{definition}
$F, T, x_0$ jak wy�ej. W�wczas $T$ nazywamy pochodn� F w punkcie $x_0 \in X$ i oznaczamy $F'(x_0)$.
\end{definition}
\newpage
\begin{definition}
$F:\mathcal{O}\rightarrow Y$, $ \mathcal{O}\underset{OTW} {\subset}   X, x_0 \in U $ i $ e \in X$. M�wimy, �e $F$ w ma pochodn� kierunkow� w punkcie $x_0\in X$ i w kierunku $e \in X$ je�li istnieje granica \[\underset{t \to 0} {\lim} \frac{F(x_o + te) - F(x_o)}{t}\]
Pochodn� kierunkow� oznaczamy $\triangledown_e F(x_0) \in Y$.
Je�li $F$ ma pochodn� kieurnkow� $\forall_{e\in X}$ oraz odwzorowanie $X \ni e \mapsto \triangledown_e F(x_0) \in Y$ jest liniowe i ograniczone to m�wimy, �e $F$ ma w $x_0 \in X$ pochodn� s�ab�. 
\end{definition}
\begin{example}
$F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m, x_0 \in \mathbb{R}^n, \lbrace e_1,...,e_n\rbrace$ baza kanoniczna.\\
\[F   \left( \left[
        \begin{array}{c}
          x_{1} \\
         \vdots \\
         x_{n}
         \end{array}
         \right]
      \right)= \left[ 
      \begin{array}{c} 
      F_1 \left( \left[
        \begin{array}{c}
          x_{1} \\
        \vdots \\
         x_{n}
         \end{array}
         \right]
      \right) \\
       \vdots \\
       F_m \left( \left[
        \begin{array}{c}
          x_{1} \\
        \vdots \\
         x_{n}
         \end{array}
         \right]
      \right) 
      \end{array}
       \right]\]
   \[ \bigtriangledown_{e_i}F(x_0)=  \left[
        \begin{array}{c}
          \bigtriangledown_{e_i}F_1(x_0) \\
         \vdots \\
           \bigtriangledown_{e_i}F_m(x_0) 
         \end{array}
         \right] \]
Pochodn� cz�stkow� $F_i$ wzd�u� wektora $e_j$ jest z definicji  \[\bigtriangledown_{e_i}F_j(x_0) \overset {ozn} {=} \frac{\partial }{\partial x_i} F_j(x_0)\]
Macierz $(\frac{\partial F_j }{\partial x_i}(x_0))$ nazywamy macierz� Jacobiego odwzrowania $F$.
      
\end{example}


\section{Wyk�ad 04.03.2016} 

 pochodna mocna($\Rightarrow$ ci�g�o��)$\Rightarrow$ pochodna s�aba$\Rightarrow$ pochodna kierunkowa $\Rightarrow$ pochodna cz�stkowa
\begin{example}
 Niech $f:  \mathbb{R} ^{2} {\rightarrow} \mathbb{R}$ gdzie 
\[f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll}
 0  &    \textrm{poza tym}  \\
 1   &   \textrm{dla}~ (x,y) : ~y=x^{2} \wedge (x,y) \neq (0,0) 
\end{array} \right.\]
Funkcja $f$ nie jest ci�g�a w punkcie $(0,0)$. 
Pochodne kierunkowe funkcji w (0,0). Ustalamy kierunek $v = \begin{bmatrix}v_1 \\ v_2\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2}$. W�wczas 
\[\lim_{t\to 0} \frac{f(t\cdot v) -f(0,0)}{t} = 0\]
dla wszystkich $v\in \mathbb{R}$. 
Zatem pochodna s�aba funkcji istnieje i jest r�wna 0: 
$$\forall v\in\mathbb{R}^{2} ~~\bigtriangledown_v f(0,0)=0 $$ Czyli mamy funkcj� $f$ kt�ra nie jest ci�g�a w $(0,0)$ ale ma w tym punkcie pochodn� s�ab�. 
\end{example}
\begin{proposition}
Niech $X,Y$  b�d� przestrzeniami Banacha,
$\mathcal{O}\subset_{otw}  X$ i niech $F,G:\mathcal{O}\rightarrow  Y$, $x_0 \in\mathcal{O}$
Przypu��my, �e $F$ i $G$ s� r�niczkowalne w $x_0\in\mathcal{O}$. W�wczas $\forall \alpha, \beta\in\mathbb{R}$ $\alpha F + \beta G:  \mathcal{O}\rightarrow  Y$ jest r�wni�czkowalne w
 $x_0 \in\mathcal{O}$ oraz  $(\alpha F + \beta G)'(x_0)=\alpha F'(x_0)+ \beta G'(x_0)$. 
\end{proposition}
\begin{proof}
$$||\alpha F(x_0+h)+\beta G(x_0+h)-\alpha F(x_0)-\beta G(x_0)-\alpha F'(x_0)h-\beta G'(x_0)h||$$
$$\leq\underbrace{|\alpha|\cdot||F(x_0+h)-F(x_0)-F'(x_0)h||}_{\textrm{ma�e wy�szego  rz�du}}+\underbrace{|\beta|\cdot||G(x_0+h)-G(x_0)-G'(x_0)h||}_{\textrm{ma�e wy�szego  rz�du}}$$
\end{proof}
\begin{proposition}
Niech $X,Y,Z$ b�d� przestrzeniami Banacha, $\mathcal{O} \subset_{otw} X$ $\mathcal U\subset_{otw} Y$,  $F: \mathcal{O}\rightarrow  Y$ , $G:\mathcal U\rightarrow  Z$ , $x_0 \in\mathcal{O}$ oraz $F(x_0) \in \mathcal U$. 
Je�li $F$ jest r�niczkowalna w $x_0$ oraz $G$ jest r�niczkowalna w $F(x_0) \in \mathcal U$ 
to $G \circ F : \mathcal{ 0}\rightarrow Z$ jest r�niczkowalna w $x_0$ oraz
\[ (G \circ F)'(x_0)=G'(F(x_0)) \circ F'(x_0)\]
\end{proposition}
\begin{proof}Mamy: 
$$\lim_{h\to 0} \frac{r_F\cdot(x_0,h)}{||h||}=0$$ 
gdzie $r_F(x,h)=F(x_0+h)-F(x_0)-F'(x_0)h$ oraz 
 $$\lim_{k\to 0} \frac{r_G\cdot(F(x_0),k)}{||k||}=0$$
 gdzie $r_G(F(x_0),k)=G(F(x_0)+k)- G(F(x_0))-G'(F(x_0))k$
Po��my  \[k(h)=F(x_0+h)-F(x_0)\in Y\]
 W�wczas 
\[ \begin{split}
(G\circ F)(x_0+h)-&(G\circ F)(x_0) =G(F(x_0)+k(h))-G(F(x_0))\\
&=G'(F(x_0)) k(h)+r_G(F(x_0),k(h))\\&=
G'(F(x_0))\cdot(F'(x_0)h+r_F(x_0,h))+r_G(F(x_0)),k(h))\\
&=G'(F(x_0))\cdot F'(x_0)h+G'(F(x_0))\cdot r_F(x,h)+r_G(F(x_0)),k(h)
 \end{split}\]
Mamy 
 $$\frac{||G'(F(x_0))\cdot r_F(x_0,h)||}{||h||} \leq ||G'(F(x_0))||\cdot\frac{||r_F(X_0,h)||}{||h||}\mathop{\longrightarrow}_{h \to \infty} 0$$ 
 
 $$\frac{||r_G(F(X_0),k(h)||}{||h||}=\frac{||k(h)||}{||h||}\cdot\frac{r_G(F(x_0),k(h))}{||k(h)||} $$ 
 
 Pozostaje wi�c wykaza�, �e $\frac{||k(h)||}{||h||}$ jest ograniczone. Mamy 
 
\[
\begin{split}
 \frac{||k(h)||}{||h||}&=\frac{||F'(x_0)h+r_F(x_0,h)||}{||h||}\\ &\leq||F'(x_0)||+\frac{||r_F(x_0,h)||}{||h||}
\end{split}
\]
 gdzie \[\frac{||r_F(x_0,h)||}{||h||}\mathop{\longrightarrow}_{h \to \infty} 0\] co ko�czy dow�d. 
\end{proof}
\begin{definition}Niech $X,Y$ b�d�  przestrzeniami Banacha,
$\mathcal{O}\subset_{otw} X$,  $F:\mathcal{O}\rightarrow$ Y.
M�wimy, �e $F$ jest klasy $C^1$ je�li $F$ jest r�niczkowalna na $\mathcal{O}$
oraz odwzorowanie $F': \mathcal{O}\ni  x \rightarrow F'(x) \in  B(X,Y)$ jest ci�g�e.
 \end{definition}
Cel: wykaza�, �e je�li $\mathcal{O}\in\mathbb{R}^{n}$; $F:\mathcal{O}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$
takie, �e   pochodne cz�stkowe $\Biggl(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}\Biggr)_{1\leq j\leq n, 1\leq i\leq m}$
istniej� na $\mathcal{O}$ i s� ci�g�e, to odwzorowanie $F$ jest klasy $C^1$ na $\mathcal{O}$. 
\begin{lemma}
Niech $f:[a,b] \rightarrow  X$  b�dzie funkcj� ci�g��, r�niczkowaln� na ]a,b[
oraz niech $M=sup_{a<t<b}~||f'(t)||$. 
W�wczas $||f(b)-f(a)||\leq M(b-a)$
\end{lemma}
\begin{proof}
Zauwa�amy, �e 
\[ f(b)-f(a) =\int\limits_{a}^{b}f'(t)dt\] a st�d 
\[\begin{split}||f(b)-f(a)|| &=\int\limits_{a}^{b}f'(t)dt||\\&\leq\int\limits_{a}^{b}||f'(t)||dt\leq M(b-a)
 \end{split}\]
\end{proof}
\begin{theorem}
Twierdzenie o warto�ci �redniej
Niech $F: \mathcal{O}
\rightarrow  Y$ b�dzie s�abo r�niczkowalna na $I   =\{x:x_0+th, t\in~]0,1[\}$,
i ci�g�e na $\overline{I}$. W�wczas:
$$||F(x_0+h)-F(x_0)||\leq\sup_{0<t<1} ~||\nabla F(x_0+th)||||h||$$
\end{theorem}
\begin{proof}
We�my $f:[0,1] \rightarrow  Y$ gdzie $f(t) = F(x_0+t h)$. Zauwa�amy, �e  $f(0)=F(x_0)$, $f(1)=F( x_0 +h)$, oraz  $f'(t)= \nabla F(x_0+th)$. Powy�szy lemat  daje tez�.  
\end{proof}
\begin{lemma}
$||F(x_0+h)-F(x_0)-F'(x_0)h||\leq sup_{0<t<1} ||\nabla_h F(x_0+h)||$$
$$=sup_{0<t<1} ||\nabla_h F(x_0+th)||\leq sup_{0<t<1}  ||\nabla_h F(x_0+th)||\cdot||h||$
\end{lemma}
\begin{corollary}\label{wntwrsr}
Niech $F$  spe�nia   za�o�enia Twierdzenia o warto�ci �redniej   i niech $T \in  B(X,Y)$. W�wczas: 
$$||F(x_0+h)-F(x_0)-Th||\leq \sup_{0<t<1}||\nabla F(x_0+h)-T||$$
\end{corollary}
\begin{proof} Wystarczy zastosowa� twierdzenie o warto�ci �redniej do 
$$\tilde{F}(x)=F(x)-Tx$$
\end{proof}
\begin{theorem}
Niech $F: \mathcal{O}\rightarrow  Y$ i przypu��my, �e $F$ jest s�abo r�niczkowalna na $\mathcal{O}$
oraz odwzorowanie $\mathcal{O}\ni   x\rightarrow\nabla  F \in  B(X,Y)$ jest ci�g�e. W�wczas 
$F$ jest r�niczkowalna na $\mathcal{O}$ i $F'(x)= \nabla F(x)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Z wniosku \ref{wntwrsr} z    $T=\nabla F$ mamy 
$$||F(x_0+h)-F(x_0)-\nabla F(x_0)h||\leq \sup_{0<t<1}||\nabla F(x_0+th)-\nabla F(x_0)||\cdot||h||$$
Skoro $h \rightarrow\nabla F( x_0 +th)$ zale�y w spos�b ci�g�y od $h$ to
$$\sup_{0<t<1}||\nabla F(x_0+th)-\nabla F(x_0)||\mathop{\longrightarrow}_{h\to0}0$$
i $F(x_0+h)-F(x_0)-\nabla F(x_0)h$  jest ma�� wy�szego rz�du w $h$. 
\end{proof}
\section{Wyk�ad 08.03.2016r.}
\begin{example}
$\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^{n},\quad F:\mathcal{O}\longmapsto\mathbb{R}^{n},\quad \mathcal{O}\ni x = \begin{bmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}\\
\end{bmatrix}\longmapsto \begin{bmatrix}
F_{1}(x_{1}\ldots x_{n})\\
F_{2}(x_{1}\ldots x_{n})\\
\vdots\\
F_{m}(x_{1}\ldots x_{n})\\
\end{bmatrix} $
Je�li $F$ jest r�niczkowalna w $x_{0}\in\mathbb{R}^{n}$ w spos�b mocny, wtedy pochodne cz�stkowe $\frac{\partial F}{\partial x_{i}}(x_{0})=\begin{bmatrix}
\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{i}}(x_{0})\\
\vdots\\
\frac{\partial F_{m}}{\partial x_{i}}(x_{0})\\
\end{bmatrix}$ istniej� dla wszystkich $i\in\{1,\ldots,n\}$.
\[
F'(x_{0})\in B(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{n})\cong\mathrm{M}_{m\times n}(\mathbb{R}): \ F'(x_{0})= \begin{bmatrix}
\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}(x_{0}) && \ldots && \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{n}}(x_{0})\\
\vdots && &&\vdots \\
\frac{\partial F_{m}}{\partial x_{1}}(x_{0}) && \ldots && \frac{\partial F_{m}}{\partial x_{n}}(x_{0})\\
\end{bmatrix}.
\]
\end{example}
\begin{proof}
(twierdzenia odwrotnego, sformu�owanego na zesz�ym wyk�adzie)
Za�o�enia: $\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}$ istniej� na $\mathcal{O}$ i zale�� w spos�b ci�g�y od $x\in\mathcal{O}$.
$\varepsilon=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}$- baza standardowa $\mathbb{R}^{n}, \ h=\sum_{i=1}^{n}h_{i}e_{i} $.
\[ \begin{split}
& \|F(x_{0}+\sum_{i=1}^{n}h_{i}e_{i})-F(x_{0})-\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial F}{\partial x_{i}}(x_{0})h_{i}\| = \\
=&\|F(x_{0}+\sum_{i=2}^{n}h_{i}e_{i}+h_{1}e_{1})-F(x_{0}+\sum_{i=2}^{n}h_{i}e_{i})+ \\ 
+&F(x_{0}+\sum_{i=2}^{n}h_{i}e_{i})- F(x_{0})-\frac{\partial F}{\partial x_{1}}h_{1})-\sum_{i=2}^{n}\frac{\partial F}{\partial x_{i}}h_{i}\|\leq\\ 
\leq&\|F(x_{0}+\sum_{i=2}^{n}h_{i}e_{i}+h_{1}e_{1})-F(x_{0}+\sum_{i=2}^{n}h_{i}e_{i})-\frac{\partial F}{\partial x_{1}}h_{1}\|+\\
+&\| F(x_{0}+\sum_{i=2}^{n}h_{i}e_{i})-F(x_{0})-\sum_{i=2}^{n}\frac{\partial F}{\partial x_{i}}(x_{0})h_{i}\|\stackrel{\textrm{z tw. o w. �r.}}\leq\\ 
\leq&\sup_{0\leq t\leq 1}\|\frac{\partial F}{\partial x_{1}}(x_{0}+\sum_{i=2}^{n}h_{i}e_{i}+th_{1}e_{1})-\frac{\partial F}{\partial x_{1}}(x_{0})\|\cdot \vert h_{1}\vert+ \\ 
+&\|F(x_{0}+\sum_{i=3}^{n}h_{i}e_{i}+h_{2}e_{2})-F(x_{0}+\sum_{i=3}^{n}h_{i}e_{i})-\frac{\partial F}{\partial x_{i}}(x_{0})h_{2}\| +\\
+&\|F(x_{0}+\sum_{i=3}^{n}h_{i}e_{i})-F(x_{0})-\sum_{i=3}^{n}\frac{\partial F}{\partial x_{i}}(x_{0})h_{i}\|\leq\\ 
\leq&\sup_{0\leq t \leq 1}\|\frac{\partial F}{\partial x_{1}}(x_{0}+\sum_{i=2}^{n}h_{i}e_{i}+th_{1}e_{1})-\frac{\partial F}{\partial x_{1}}(x_{0})\|\cdot\vert h_{1} \vert +\\ 
+&\sup_{0\leq t \leq 1}\|\frac{\partial F}{\partial x_{2}}(x_{0}+\sum_{i=3}^{n}h_{i}e_{i}+th_{2}e_{2})-\frac{\partial F}{\partial x_{2}}(x_{0})\|\cdot\vert h_{2} \vert +\\ 
+&\|F(x_{0}+\sum_{i=3}^{n}h_{i}e_{i})-F(x_{0})-\sum_{i=3}^{n}\frac{\partial F}{\partial x_{i}}(x_{0})h_{i}\| \\
\end{split} \]
po n krokach:
\[ \begin{split}
\leq&\sup_{0\leq t \leq 1}\|\frac{\partial F}{\partial x_{1}}(x_{0}+\sum_{i=2}^{n}h_{i}e_{i}+th_{1}e_{1})-\frac{\partial F}{\partial x_{1}}(x_{0})\|\cdot\vert h \vert + \\
+&\sup_{0\leq t \leq 1}\|\frac{\partial F}{\partial x_{2}}(x_{0}+\sum_{i=3}^{n}h_{i}e_{i}+th_{2}e_{2})-\frac{\partial F}{\partial x_{2}}(x_{0})\|\cdot\vert h \vert + \\
\vdots&\\
+&\sup_{0\leq t \leq 1}\|\frac{\partial F}{\partial x_{n}}(x_{0}+th_ne_n)-\frac{\partial F}{\partial x_{n}}(x_{0})\|\cdot\vert h\vert \\
\end{split} \]
Po podzieleniu przez $\|h\|$ powy�sza suma d��y do $0$ dla $\mathbb{R}^n\ni h\to 0.$ Wykorzystujemy tu za�o�enie o ci�g�o�ci pochodnych cz�stkowych.
\end{proof}
\begin{example}
$f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$
\[
f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} 
0 & \textrm{gdy} \quad (x,y)=(0,0)\\ 
\frac{x^3y}{x^4+y^2} & \textrm{gdy} \quad (x,y)\neq(0,0)\\
\end{array}\right.
\]
Pochodna s�aba $f$ w $(0,0),\quad h=(h_1, h_2):$
\[ \begin{split}
\nabla_n f(0,0)=&\lim_{t\to 0}\frac{f(th)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\frac{t^3h_1^3\cdot th_2}{t^4h_1^4+t^2h_2^2}=\lim_{t\to 0}\frac{t^3}{t^2}\frac{h_2\cdot h_1^3}{h_2^2+t^2h_1^4}=\\
=&\lim_{t\to 0}t\frac{h_2\cdot h_1^3}{h_2^2+t^2h_1^4}=0\\
\end{split} \]
Pochodna kierunkowa funkcji istnieje i jest r�wna 0. Pochodna mocna nie istnieje:
\[
r(0,(u,u^2))=f(u,u^2)-\underbrace{f(0,0)}_{=0}-\underbrace{\nabla_{u,u^2}f(0,0)}_{\to 0}=\frac{u^3\cdot u^2}{u^4+u^4}=\frac{1}{2}u
\]
$\frac{1}{2}u$ nie jest ma�� wy�szego rz�du w $\|u\|$, gdy� $\frac{r(0,(u,u^2))}{\|u\|}=\frac{u}{2\|u\|}=\frac{u}{2|u|}\underset{u \to 0}\nrightarrow 0$.
Nieci�g�o�� pochodnych cz�stkowych:
\begin{enumerate}
\item $\frac{\partial F}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial F}{\partial y}(0,0)=0$
\item Dla $u\neq 0$: \\
$\frac{\partial F}{\partial x}(u,u^2)\underset{u \to 0}\longrightarrow-\frac{1}{2}\neq 0 \qquad\frac{\partial F}{\partial y}(u,u^2)=0$
\end{enumerate}
Czyli nie ma ci�g�o�ci $\frac{\partial F}{\partial x}$.
\end{example}
\begin{Large}
Pochodne wy�szych rz�d�w:
\end{Large}
\begin{definition}
Niech $X,Y$-przestrzenie Banacha, $\mathscr{O}\underset{\textrm{otw}}\subset X$ oraz $F:\mathscr{O}\to Y$. Przypu��my, �e F jest r�niczkowalna $\forall_{x\in \mathscr{O}}$ oraz odwzorowanie $\mathscr{O}\ni x \stackrel{F'}\longmapsto F'(x) \in B(X,Y)$ jest r�niczkowalne  $x_0 \in \mathscr{O}$. W�wczas pochodn� $F'$ w $x_0 \in \mathscr{O}$ czyli $(F')'(x_0)\in B(X, B(X,Y))$ nazywamy drug� pochodn� odwzorowania $F$ w $x_0 \in \mathscr{O}$ i oznaczamy $F''(x_0)$
\end{definition}
\begin{definition}
(Odwzorowanie k-liniowe)\\
$X,Y$-przestrzenie Banacha, $T: \underbrace{X\times X\times \dots \times X}_{\textrm{k razy}}\longrightarrow Y$ M�wimy, �e $T$ jest odwzorowaniem k-liniowym, je�li $\forall_{i\in\{1,\dots, k\}}$ oraz $\forall_{x_1,x_2,\dots, x_{i-1},x_{i+1},\dots, x_k \in X}$ odwzorowanie \[X \ni x \longrightarrow T(\underbrace{x_1,\dots,x_{i-1}}_{\textrm{ustalone}},x ,\underbrace{x_{i+1}\dots,x_k}_{\textrm{ustalone}})\in Y\] jest liniowe.
\end{definition}
\begin{example}
$A\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}), \quad A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
\end{bmatrix}
\quad x=\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
\end{bmatrix}, y=\begin{bmatrix}
y_1\\
y_2\\
\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2$
\[
 \mathbb{R}^2\times  \mathbb{R}^2 \ni(x,y) \longmapsto \sum_{i,j}a_{ij}x_iy_j \in \mathbb{R}
\]
jest odwzorowaniem 2-liniowym o warto�ciach w $\mathbb{R}$.
\end{example}
\begin{theorem}
Niech $T:\underbrace{X\times X\times \dots \times X}_{\textrm{k razy}} \longrightarrow Y$ b�dzie odwzorowaniem k-liniowym. W�wczas nast�puj�ce warunki s� r�wnowa�ne:
\begin{enumerate}
\item $T$ jest ci�g�e.
\item $T$ jest ci�g�e w $(0,\dots,0)\in X\times \dots \times X$
\item $T$ jest ograniczone, tzn $\exists_{a\in\mathbb{R_+}}$ taki, �e: $\forall_{x_1,x_2,\dots,x_k \in X}$
\[
\|T(x_1,x_2\dots,x_l)\|\leq a \|x_1\|\cdot\|x_2\|\cdots\|x_k\|
\]
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
Podane bez dowodu.
\end{proof}
\begin{definition}
Zbi�r odwzorowa� k-liniowych ograniczonych na przestrzeni $X$ oznaczamy symbolem $B(\underbrace{X,X,\dots,X}_{\textrm{k razy}}; Y)$
\end{definition}
\begin{remark}
Przestrze� $B(X,B(X,Y))$ mo�na uto�samia� z $B(X,X,Y)$ w nast�puj�cy spos�b:
\[
B(X,B(X,Y)) \ni s\longmapsto \phi(s)\in B(X,X,Y), \quad \textrm{gdzie} \quad \phi(s)(x_1,x_2)=(S(x_1))x_2
\]
\end{remark}
\begin{remark}
$f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\quad$ 2-krotnie r�niczkowalna w $x_0 \in \mathbb{R}^3$.
\begin{itemize}
\item Pierwsza pochodna: $f'(x_0)=\begin{bmatrix}
\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_1}&\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_2}&\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_3}\\
\end{bmatrix}$.
\item Druga pochodna: $f''(x_0)=\begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_1^2}&\frac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_1 \partial x_2}&\frac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_1 \partial x_3}\\
\frac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_2\partial x_1}&\frac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_2^2}&\frac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_2 \partial x_3}\\
\frac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_3\partial x_1}&\frac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_3 \partial x_2}&\frac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_3^2}\\
\end{bmatrix}$.
\end{itemize}
\end{remark}

\section{Wyk�ad 11.03.2016r.}Niech 
\[F: \mathcal{O}\subset_{otw} X \longrightarrow Y\]
Bedzie odwzorowaniem r�niczkowalnym. W�wczas 
\[F'(x) \in B(X,Y), F': \mathcal{O} \longrightarrow B(X,Y)\] Zatem 
$F''(x) \in B(X,B(X,Y))$. Niech  $B(X,X;Y)$ b�dzie przestrzeni�  odwzorowa� 2-liniowych na X o warto�ci w Y. Mamy uto�samienie $B(X,B(X,Y)) \cong  B(X,B(X,Y))$ t. �e 
\[v,w \in X; (F''(x_o)(v))(w)=F''(x_o)(v,w)\]
Pytanie czy: $(F''(x_o)(w))(v)=F''(x_o)(w,v)$.  Wyka�emy dalej, �e tak jest. 
W szczeg�lno�ci, rozwa�my  $f: \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}$: 
\[f'(x_0)\in M_{1\times n}(\mathbb{R}), f''(x_0) \in B(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n};\mathbb{R}) \simeq M_{n\times n}(\mathbb{R}).\] \[f'(x_0)= \Big[ \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0), \ldots ,  \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_0) \Big]\,\, f''(x_0)=\Big[ \frac{\partial ^{2} f}{\partial x_i \partial x_j}(x_0) \Big]_{i,j}\] 
Macierz drugiej pochodnej ma wi�c  symetri� diagonaln�. Innymi s�owy  mamy na przyk�ad  $\frac{\partial ^{2}f}{\partial x_1 \partial x_5}(x_0)=\frac{\partial ^{2}f}{\partial x_5 \partial x_1}(x_0)$, a og�lniej achodzi nast�puj�ce twierdzenie: 
\begin{theorem}
Przypu�cmy $F: \mathcal{O} \longrightarrow Y$ jest odwzorowaniem r�niczkowalnym na $\mathcal{O}$ oraz $F'$ jest r�niczkowalne w $x_0\in \mathcal{O}$. W�wczas $F''(x_0)(v,w)=F''(x_0)(w,v)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Ustalmy $v,w \in X$ o dostatecznie ma�ej normie. Niech $f:[0,1] \longrightarrow~Y$, gdzie $f(s)=F(x_o+sv+w)-F(x_o+sv)$. Twierdzenie o warto�ci �redniej daje nam:
\[\| f(1)-f(0)-f'(0) \| \leq \sup\limits_{0<s<1}\|f'(s)-f'(0)\|\]
Zauwa�my, �e 
\[\begin{split} f'(s)&=(F'(x_0)+sv+w)-F'(x_0+sv))v\\&=(F'(x_0+sv+w)-F'(x_0))v-(F'(x_0+sv)-F'(x_0))v\end{split}\]
Skoro $F$ jest 2-krotnie r�niczkowalna to:
$$ \underbrace{\|F'(x_0+sv+w)-F'(x_o)-F''(x_0)(sv+w)\|}_{\textrm{gdy� jest to ma�� wy�szego rz�du ze wzgl�du na } (sv+w)} \leq \varepsilon \|sv+w\|$$
W szczeg�lno�ci dla $w=0$ mamy: 
\[ \|F'(x_0+sv)-F'(x_0)-F''(x_0)sv\| \leq \varepsilon \|sv\| \leq \varepsilon \|v\|.\]
Zatem:
\[
\begin{split}
\|f&'(s)-(F''(x_0)(w))(v)\|\\&=\|(F'(x_o+sv+w)-F'(x_0))(v)-(F'(x_o+sv)-F'(x_0))v-(F''(x_0)(w))(v)\|\\&
 =\|(F'(x_0+sv+w)-F'(x_0)-F''(x_0)(sv~+~w))v\\&-(F'(x_0+sv)-F'(x_0)-F''(x_0)(sv))v\|\\&
 \leq \|F'(x_0+sv+w)-F'(x_0)-F''(x_0)(sv+w)\|\|v\|\\&+\|F'(x_0+sv)-F'(x_0)-F''(x_0)(sv)\|\|v\|\\&
 \leq \varepsilon(\|v\|+\|w\|)\|v\|+\varepsilon\|v\|\|v\|\leq2\varepsilon\|v\|(\|w\|+\|v\|)
 \end{split}\] 
 Mamy wi�c 
\[
\begin{split}\|f(1)&-f(0)-(F''(x_0)(w))(v)\|\leq\|f(1)-f(0)-f'(0)\|+\|f'(0)-(F''(x_o)(w))(v)\|\\&
 \leq \sup\limits_{0<s<1} \|f'(s)-F''(x_0)(w))(v)-(f'(0)-F''(x_0)(w))(v))\|+\|f'(0)-(F''(x_0)(w))(v)\|\\&
 \leq \sup\limits_{0<s<1} \|f'(s)-(F''(x_0)(w))(v)\|+\|f'(0)-(F''(x_0)(w))(v)\|\\&+\|-f'(0)+F''(x_0)(w))(v)\| \\&\leq 6\varepsilon\|v\|(\|v\|+\|w\|)
 \end{split}\]
Zauwa�my, �e $f(1)-f(0)=F(x_0+v+w)-F(x_0+v)-F(x_0+w)+F(x_0)$ jest wyra�eniem symatrycznym ze wzgl�du na zamian� $v$ i $w$ a wi�c
\[ 
\|f(1)-f(0)-(F''(x_0)(v))(w)\|\leq6\varepsilon\|w\|(\|w\|+\|v\|)
\]
Zatem 
\begin{equation}\label{nierfun}\begin{split}\|(F''(x_0)(w))(v)-(F''(x_0)(v))(w)\|& 
 \leq \|f(1)-f(0)-(F''(x_0)(v))(w)\\&-(f(1)-f(0)-(F''(x_0)(w))(v))\|\\&\leq 6\varepsilon(\|w\|+\|v\|)^{2}
 \end{split}\end{equation}
 i nier�wno�� \eqref{nierfun} zachodzi dla dostatecznie ma�ych $v,w$. Skoro $F''(x_0)$ jest odwzorowaniem dwuliniowym to \eqref{nierfun} zachodzi dal wszytskich $v,w\in X$. Ostatecznie, skoro nier�wno�� \eqref{nierfun} zachodzi dla wszystkich $\varepsilon$ to mamy 
 \[(F''(x_0)(w))(v)=(F''(x_0)(v))(w)\]  dla wszystkich $v,w \in X$.
\end{proof}
\begin{remark}
Pochodn� rz�du $k$ definiujemy indukcyjnie.\\ 
$F^{(k)}(x_o) \in B(\underbrace{X,X,\ldots,X}_{k-razy};Y)-$ odwzorowanie k-liniowe o warto�ciach~w~przestrzeni $Y$.
\end{remark}

\begin{theorem}
Niech $k\subset \mathbb{N}\setminus\{0\},  i_1,i_2,\ldots i_k \in \{1,2,\ldots,n\}$. Niech $\mathcal{O}~\subset~\mathbb{R}^{n}$ i $F:\mathcal{O} \longrightarrow \mathbb{R}^{m}$. Je�li pohodne cz�stkowe $\frac{\partial^{k}F(x)}{\partial x_{i_1}\partial x_{i_2} \ldots \partial x_{i_k}}$ istniej� dla $x\in\mathcal{O}$ i zale�� w spos�b ci�g�y od $x\subset\mathcal{O}$ to $F$ ma pochodn� rz�du $k$.
\end{theorem}
\begin{proof}Dla 
$k=1$ twierdzenie ju� zosta�o udowodnione.  Dla 
$k=2$ pochodna ma posta�  \[F'(\vec{x})=\Big[\frac{\partial F^{i}}{\partial x_j}(\vec{x})\Big]_{\substack{1\leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n}}\] gdzie \[ 
F(x)=\left[ \begin{array}{l} F^{1}(x_1,\ldots,x_n) \\ \vdots \\ F^{m}(x_1,\ldots,x_n)
\end{array}\right]\]  
Mamy zatem odwzorowanie $\mathcal{O}\ni x \longrightarrow \Big[\frac{\partial F^{i}}{\partial x_j}(x)\Big]\in M_{m\times n}(\mathbb{R})\simeq\mathbb{R}^{nm}$ kt�re jest r�niczkowalne, bo $\frac{\partial}{\partial x_{j_2}}\Big(\frac{\partial F^{i}}{\partial x_{j_2}}\Big)$ istniej� i zale��  w spos�b ci�g�y od $x\in \mathcal{O}$. Czyli $F$ ma 2-g� pochodn�.  Dla 
$k=3$ indukcja itd\ldots
\end{proof}


\section{Wyk�ad 15.03.2016}


$F: \underset {\underset {X} \cap } {\mathcal {O}} \to Y$
- $k$-krotnie r�niczkowalna, 
$F^{(i)}(x_{0}) \in B(X^{i};Y)$,
gdzie: 
\[X^{i}=\underbrace{X \times \ldots \times X}_{i\textrm{-krotnie}} \]
\begin{lemma}
Niech  $ T\in{B}{(X^k;Y)}$ W�wczas $T$ jest odwzorowaniem r�niczkowalnym oraz: 
\[T'{(v_{1}{,}\ldots{,}v_{k})}{(h_{1}{,}\ldots{,}h_{k})}={\sum\limits_{i=1}^k } { T(v_{1}{,}\ldots{,}v_{i-1}{,}h_{i}{,}v_{i+1}{,}\ldots{,}v_{k})}\]
\end{lemma}

\begin{proof}(dla $k=2$)
\[ \underset {T} r ((v_{1},v_{2}),(h_{1},h_{2}))=T(v_{1}+h_{1},v_{2}+h_{2})-T(v_{1},v_{2})-T(v_{1},h_{2})-T(h_{1},v_{2})=T(h_{1},h_{2})\]
Dziel�c $r_{T}$ przez $\| h \| = max\{\|h_{1}\|,\|h_{2}\|\} $
\[ \frac{\|T(h_{1},h_{2})\|}
{\underset {\underset {\|h_{1}\|  lub  \|h_{2}\|} \parallel }{\|h\|}}\leqslant 
\frac{\|T\| \cdot \|h_{1}\| \cdot \|h_{2}\|} {\|h\|}
\underset{h \to 0} \longrightarrow  0 \]
\end{proof}

\begin{memento}
\[F''(x_{0})(h_{1},h_{2})=F''(x_{0})(h_{2},h_{1})\]
Og�lniej pochodna $k$-ta jest symetryczna ze wzgl�du na przestawienie:
\[(h_{1}{,}\ldots{,}h_{k}) \longmapsto (h_{\sigma(1)}{,}\ldots{,}h_{ \sigma (k)})  \forall_{\sigma \in Perm(k)} \]
\end{memento}
\emph{Notacja:}
$(h{,}\ldots{,}h)\in X^{k}$ b�dziemy oznacza� symbolem $h^{k}$.
\begin{theorem}
Niech $F: \underset {\underset {X} \cap } {\mathcal {O}} \to Y$, kt�re jest $k-1$ r�niczkowalne na $\mathcal {O}$ i istnieje pochodna $F^{(k)}(x_{0})$. W�wczas:
\[r^{(k)}_{F}(x_{0},h) \overset {def}{=} F(x_{0}+h)-F(x_{0})-F'(x_{0})h- \frac{1}{2!}F''(x_{0})h^{2}- \ldots - \frac{1}{k!} F^{k}_{(x_{0})}h^k (*)\]
jest ma�� rz�du $k$ za wzgl�du na $h$, tzn:
\[\lim_{h \to 0} \frac{r^{(k)}_{F}(x_{0},h)}{\|h\|^{k}} =0 \]
\end{theorem}

\begin{proof}
Indukcja ze wzgl�du na $k$.
Dla $k=1$ - patrz definicja pochodnej $F'(x_{0})$.
Zak�adamy, �e twierdzenie jest prawdziwe dla $k-1$ i jedziemy dla $k$.
Na dostatecznie ma�ym otoczeniu $\mathcal {O'}$ zera $ 0 \in X $ rozwa�my odwzorowanie $ f: \mathcal {O'} \rightarrow Y $ dane wzorem:
\[ \begin{split}f(h)&=r^{(k)}_{F} (x_{0},h) \ (*)\textrm{ zauwa�my, �e } f \textrm{ jest r�niczkowalna.}\\
f'(h) & =F'(x_{0}+h)-F'(x_{0})-F''(x_{0})h- \frac{1}{2!}F^{(3)}(x_{0})h^{2}- \ldots - \frac{1}{(k-1)!}F^{(k)}(x_{0})h^{k-1} \\
f''(h) & =F''(x_{0}+h)-F''(x_{0}) - \ldots - \frac{1}{(k-2)!}F^{(k)}(x_{0})h^{k-2} \\
& \vdots \\
f^{(k)}(h) & =F^{(k)}(x_{0}+h)-F^{(k)}(x_{0})
\end{split}\]
Zastosujmy za� indukcyjne do $\mathcal{O'} \ni h \mapsto f'(h)$ w punkcie $0 \in X$
Zauwa�my, �e:
\[ f'(0)=f''(0)= \ldots = f^{(k)}(0)=0 \]
W takim razie:
\[ f'(h) - f'(0) - \frac {1}{2!}f''(0)h - \ldots - \frac {1}{(k-1)!} f^{(k-1)} (0) h^{(k-1)} = f'(h) \]
jest ma�� rz�du $k-1$.
Czyli:
\[ \lim_{h \to 0} \frac {f'(h)}{\|h\|^{(k-1)}}=0 \ (\ast \ast)\]
\[ \begin{split}
\frac {\| r^{(k)}_{F} (x_{0},h) \|}{\|h\|^{k}}= 
\frac {\|f(h)\|}{\|h\|^{k}}
&\overset {\overset {f(0)=0} \downarrow} {=}
\frac {\|f(h)-f(0)\|}{\|h\|^{k}}
\overset {\overset {\textrm{tw. o wart. �redniej}} \downarrow}{\leqslant}
\frac{\|h\| \underset {0<t<1}{sup} \|f'(th)\|}{\|h\|^{k-1}} \leqslant \\
&\leqslant \underset {0<t<1}{sup} \frac{\| f'(th) \|}{\|th\|^{k-1}} \underset{h \to 0}{\longrightarrow} 0\ \textrm{bo } (\ast \ast) \end{split}\]
\end{proof}

\textbf {Ekstrema funkcji wielu zmiennych.}
\begin{definition}
Niech $f: \underset {\underset {X} \cap } {\mathcal {O}} \to \mathbb{R}$ oraz $x_{0} \in \mathcal{O}$
M�wimy, �e $f$ ma w $x_{0}$ maksimum (minimum), je�eli istnieje $\delta > 0$ t.�e $f(x) \underset{(\geqslant)}{\leqslant} f(x_{0})$ 
dla wszystkich $x \in K (x_{0}, \delta) \subset \mathcal {O}$.
\end{definition}

\begin{proposition}
Niech $f: \mathcal{O} \rightarrow \mathbb{R}$ ma w $x_{0}\in \mathcal {O}$ ekstremum i przypu��my, �e $f$ jest r�niczkowalna w $x_{0} \in \mathcal {O}$. W�wczas $f'(x_{0})=0$ 
\end{proposition}

\begin{proof}
Ustalmy $h \in X$ i rozwa�my funkcj� $\mathbb{R} \ni t \mapsto g_{h}(t)=f(x_{0}+th) \in \mathbb{R}$
i zauwa�my, �e $g_{h}$ ma ekstremum dla $t=0$ oraz jest r�niczkowalne w $t=0$. Zatem $0=g_{h}'(0)=f'(x_{0})h$. Tak jest dla wszystkich $h$, zatem $f'(x_{0})=0$ 
\end{proof}

\begin{remark}
$\mathbb{R}^{10} \rightarrow \mathbb{R}$ Szukanie ekstrem�w rozpoczynamy od rozwi�zania uk�adu r�wna�:
\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
\textrm {warunek}\\ 
\textrm{konieczny}\\
\textrm{istnienia}\\
\textrm{ekstremum} \end{array} \\
\left\{ \begin{array}{ll}
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} (x)=0 \\
\frac{\partial f}{\partial x_{2}} (x)=0 & \textrm{- 10 r�wna� na 10 wsp�rz�dnych } 
x=\left[ \begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\ 
x_{10}
\end{array} \right] \\
\vdots \\
\frac{\partial f}{\partial x_{10}} (x)=0
\end{array} \right.
\end{displaymath}
\end{remark}

\begin{theorem}
Niech $f:\mathcal{O} \rightarrow \mathbb{R}$ b�dzie $k$-krotnie r�niczkowalna w $x_{0} \in \mathcal{O}$. Przypu�my, �e $f'(x_{0})=\ldots = f^{(k-1)}(x_{0})=0$.
Je�eli $k$ jest parzyste oraz istnieje $\delta > 0$ t.�e $f^{k}(x_{0})h^{k} \leq -\delta$ dla wszystkich $h$ o normie 1 $(\| h \|=1)$, to w $x_{0}$ funkcja $f$ ma maksimum.
\end{theorem}

\begin{remark}
Je�li $k$ nie jest parzyste to w $x_{0}$ nie ma ekstremum.
\end{remark}

\begin{proof}
Twierdzenie Taylora:
\[r^{(k)}_{f}(x_{0},h){=} f(x_{0}+h)-f(x_{0})- \frac{1}{k!} f^{(k)}(x_{0})h^{k}  \leftarrow \textrm{ma�a rz�du} \|h\|^{k}\]
W takim razie, dla dostatecznie ma�ego $h$:
\[ |r_{f}(x_{0},h)| \leq \frac{\delta}{2k!}\|h\|^{k} \]
Z drugiej strony nasze za�o�enie daje:
\[f^{(k)}(x_{0})h^{k} \leq -\delta \|h\|^{k} \]
Zatem
\[ f(x_{0}+h) - f(x_{0}) = r_{f}^{(k)}(x_{0},h) + \frac{1}{k!}f^{k}(x_{0})h^{k} \leq \frac{\delta}{2k!} \|h\|^{k} - \frac{\delta}{k!}\|h\|^{k}= -\frac{\delta}{2k!}\|h\|^{k} \underset{(\star)}{\leq} 0 \]
Czyli
\[ f(x_{0}+h) \leq f(x_{0}) \]
\end{proof}
\begin{tabular}{|l|} \hline
$(\star)$ \\
$h \in X \setminus \{0\} \ \frac{h}{\|h\|}$ - ma norm� 1, czyli \\$f^{(k)}(x_{0})(\frac{h}{\|h\|})^{k} \leq -\delta \quad \rule [-2mm]{0,5pt}{20pt} \quad \frac{1}{\|h\|^{k}}f^{(k)}(x_{0})h^{k} \leq -\delta$
\\ \hline
\end{tabular}
 
\begin{example}
\textbf{Warunek wystarczaj�cy} na to, �eby $f$ mia�a w $x_{0} \in \mathbb{R}^{10}$ ekstremum:
\begin{displaymath}
f'(x_{0})=0=
\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} (x_{0}){,}\ldots{,}\frac{\partial f}{\partial x_{k}} (x_{0})
\end{array} \right]
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
f''(x_{0})=
\left[ \begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (x_{0}){,}\ldots{,}\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{k}} (x_{0}) \\
\vdots \qquad \qquad \qquad \vdots\\
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{k}} (x_{0}){,}\ldots{,}\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{k^{2}}} (x_{0}) \\
\end{array} \right]
= \left[ \begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}\partial x_{j}} (x_{0})  \end{array} \right] _{\substack{1\leq i \leq 10 \\ 1 \leq j \leq 10}}
=\underset {\underset{0}\nparallel}{[Q_{ij}]}
\end{displaymath}
Dla $k=2$, dim $x < \infty$ (warunek wystarczaj�cy $\Leftrightarrow sgn Q=(10,0)$)
\end{example}

\begin{example}
\textbf{FUNKCJE UWIK�ANE}
\[y(x)=ln(x^{2}+1) \Leftrightarrow
\begin{split} y-ln(x^{2}+1)&=0 \leftrightsquigarrow G(x,y)=y-ln(x^{2}+1) \\
e^{y}-(x^{2}+1)&=0  \leftrightsquigarrow \tilde{G} (x,y)=e^{y}-(x^{2}+1) \end{split}\]
Inny przyk�ad:
\[xy^{3}+e^{x}y^{2}+e^{y}=0 \leftrightsquigarrow G(x,y)=xy^{3}+e^{x}y^{2}+e^{y} \]
\end{example}


\section{Wyk�ad 18.03.2016}

\begin{remark}
Dla $G(x,y)=xy^3 +e^x y^2 +e^y$ rozwi�za� $G(x,y)=0 \rightsquigarrow y=y(x)$.
$y(x)$ ma spe�nia� r�wnanie $G(x,y(x))=0$ dla $x$ ze zbioru otwartego.
G jest funkcj� 2 zmiennych $x \in X, y \in Y$ i w og�lno�ci $G$ mo�e mie� warto�ci w przestrzeni Banacha $Z$.
\end{remark}
\begin{definition}
Niech $X,Y,Z$ - przestrzenie Banacha, $\mathcal{O}_1 \underset{OTW} \subset X$, $\mathcal{O}_2 \underset{OTW} \subset Y$ oraz $G:\mathcal{O}_1 \times \mathcal{O}_2 \longrightarrow Z$. M�wimy, �e odwzorowanie $F: \mathcal{O}_1 \longrightarrow \mathcal{O}_2$ jest zadane w spos�b uwik�any przez odwzorowanie $G$ je�li r�wno�� $y=F(x)$ jest spe�niona wtedy i tylko wtedy gdy $G(x,y)=0$.
\end{definition}
\begin{remark}
Zazwyczaj, maj�c dane $G(x,y)$ mo�emy pyta� czy $G$ zadaje $y=y(x)$. Mimo, �e nie jeste�my w stanie  napisa� $y(x)$ wzorem to twierdzenie o funkcji uwik�anej gwarantuje jej istnienie.
\end{remark}
\begin{definition}
Niech $X,Y,Z$ - przestrzenie Banacha, $\mathcal{O}_1 \underset{OTW} \subset X$, $\mathcal{O}_2 \underset{OTW} \subset Y$ oraz $F:\mathcal{O}_1 \times \mathcal{O}_2 \longrightarrow Z$. Pochodn� cz�stkow� odwzorowania $F$ wzgl�dem $X$ w punkcie $(x_0 ,y_0 ) \in \mathcal{O}_1 \times \mathcal{O}_2$ nazywamy pochodn� odwzorowania $\mathcal{O}_1 \ni x \longmapsto F(x,y_0 ) \in Z$ i oznaczamy $F'_X (x_0 ,y_0)$.
\end{definition}
\begin{remark}
$F'_X (x_0 ,y_0) \in B(X;Z)$. Podobnie definiujemy $F'_Y (x_0 ,y_0) \in B(Y;Z)$.
\end{remark}
\begin{remark}
Je�li F jest r�niczkowalne na $(x_0 ,y_0 ) \in \mathcal{O}_1 \times \mathcal{O}_2$ to $F$ ma pochodne cz�stkowe oraz:
\[\begin{split}
\forall h=(h_1 ,h_2 ) \in X \times Y: F'(x_0 ,y_0)h=F'_X (x_0 ,y_0)h_1 + F'_Y (x_0 ,y_0)h_2
\end{split}\]
Powy�szy wz�r uog�lnia dobrze znan� r�wno��:
\[\begin{split}
f'(x,y) \left[ \begin{array}{l} h_1 \\ h_2 \end{array} \right] = \frac{\partial f}{\partial x} (x,y)h_1 + \frac{\partial f}{\partial y} (x,y)h_2
\end{split}\]
\end{remark}
\begin{theorem}
(Zasada Banacha z parametrem)
Niech $(X,d),(\Lambda ,d')$ - przestrzenie metryczne. Niech $\varphi : \Lambda \times X \longrightarrow X$ b�dzie odwzorowaniem ci�g�ym takim, �e:
\[\begin{split}
\exists q \in ]0,1[: d(\varphi (\lambda ,x),\varphi (\lambda ,y)) \leq qd(x,y)
\end{split}\]
Niech $\Lambda \ni \lambda \longmapsto x(\lambda ) \in X$ b�dzie takie, �e $x(\lambda )$ jest punktem sta�ym odwzorowania $X \ni x \longmapsto \varphi (\lambda ,x) \in X$. W�wczas odwzorowanie $\Lambda \ni \lambda \longmapsto x(\lambda ) \in X$ jest ci�g�e.
\end{theorem}
\begin{proof}
Istnienie $\Lambda \ni \lambda \longmapsto x(\lambda ) \in X$ wynika z Twierdzenia  \ref{banach} - standardowej zasady Banacha. Ci�g�o��:
\[\begin{split}
\textrm{Niech}& \lambda ,\mu \subset \Lambda \\
&\left\{ \begin{array}{l} x(\lambda ) = \varphi (\lambda ,x(\lambda )) \\
x(\mu ) = \varphi (\mu ,x(\mu )) \end{array} \right. \\
d(x(\lambda ),x(\mu )) &= d(\varphi (\lambda ,x(\lambda )),\varphi (\mu ,x(\mu ))) \leq \\
\leq d(\varphi (\lambda ,x(\lambda )),\varphi (\lambda ,x(\mu ))) &+ d(\varphi (\lambda ,x(\mu )),\varphi (\mu ,x(\mu ))) \leq \\
\leq qd(x(\lambda ),x(\mu )) &+ d(\varphi (\lambda ,x(\mu )),\varphi (\mu ,x(\mu )))
\end{split}\]
Zatem $d(x(\lambda ),x(\mu )) \leq \frac{1}{1-q}d(\varphi (\lambda,x(\mu)),\varphi (\mu,x(\mu))) \xrightarrow[\lambda \rightarrow \mu]{} 0$, czyli $\underset{\lambda \rightarrow \mu} \lim x(\lambda ) = x(\mu )$ i mamy ci�g�o��.
\end{proof}
\begin{remark}
$A \in M_{n \times n} (\mathbb{R} )$, $A$ - odwracalna $\Leftrightarrow \det A \neq 0$. Poniewa� wyznacznik jest funkcj� ci�g�� to zbi�r $GL(n)=\{ A \in M_{n \times n} (\mathbb{R} ): \det A \neq 0\}$ jest otwarty. \end{remark}

\begin{lemma} Niech $X,Y$ - przestrzenie Banacha. W przestrzeni $B(X;Y)$ rozwa�my podzbi�r $U=\{ T \in B(X;Y)$ taki, �e $\exists T^{-1} \in B(X;Y)\}$. 
\end{lemma} 
\begin{proof}
(Dla X=Y)
Niech $F \in B(X;X)$ - odwracalne i $H \in B(X;X)$ - odwracalne o ma�ej normie, dok�adnie $||H|| < \frac{1}{||F^{-1}||}$. Poni�ej skorzystamy z   szeregu geometrycznego \[(1+q)^{-1} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-q)^n\] dla $||q||<1$ Niech $q = F^{-1} H$. Oczywi�cie $||F^{-1} H|| \leq ||F^{-1}|| ||H|| < 1$.
\[\begin{split}
(F+H)^{-1}&=(F(1+F^{-1} H))^{-1}\\ &=(1+F^{-1} H)^{-1} F^{-1}\\ &=\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n (F^{-1} H)^n \right)F^{-1}
\end{split}\]
Czyli $F+H$ jest odwracalne.
\end{proof}
\begin{theorem}
(o funkcji uwik�anej)
Niech $X,Y,Z$ - przestrzenie Banacha, $\mathcal{O}_1 \underset{OTW} \subset X$, $\mathcal{O}_2 \underset{OTW} \subset Y$ oraz $G:\mathcal{O}_1 \times \mathcal{O}_2 \longrightarrow Z$ b�dzie odwzorowaniem r�niczkowalnym w spos�b ci�g�y na $\mathcal{O}_1 \times \mathcal{O}_2$. Niech $(x_0 ,y_0 ) \in \mathcal{O}_1 \times \mathcal{O}_2 : G(x_0 ,y_0 )=0$. Je�li $G'_Y (x_0 ,y_0 ) \in B(Y;Z)$ jest odwracalne to istnieje otoczenie $U$ elementu $x_0, U \subset \mathcal{O}_1 $ oraz dok�adnie jedno odwzorowanie $F:U\longrightarrow Y$ ci�g�e, �e $F(x)=y$ wtedy i tylko wtedy gdy $G(x,y)=0$. Ponadto $F:U\longrightarrow Y$ jest r�niczkowalne w spos�b ci�g�y na $U$ oraz \[\forall_{x \in U }\ F'(x)=-G'_Y (x,F(x))^{-1} \circ G'_X (x,F(x))\]
\end{theorem}

\section{Wyk�ad 22.03.2016r.}
\begin{theorem}[Twierdzenie o funkcji uwik�anej (TFU)]Niech 
$\mathcal{O}_{1} \underset{otw}\subset X, \mathcal{O}_{2} \underset{otw}\subset Y, \quad  G: \mathcal{O}_{1} \times \mathcal{O}_{2} \rightarrow Z \textrm{ - r�niczkowalne w spos�b ci�g�y}$. Ponadto niech $(x_0,y_0)\in \mathcal{O}_{1}\times \mathcal{O}_{2}$ b�d� takie, �e 
$G(x_{0},y_{0})=0$. Przypu��my, �e pochodna cz�stkowa $ G'_{Y}(x_{0},y_{0})\in B(Y,Z)$ jest   odwracalna. W�wczas istnieje otoczenie $\mathcal{U} \subset \mathcal{O}_{1}$ punktu $x_{0} \in \mathcal{O}_{1} $ oraz dok��dnie jedno odwzorowanie ci�g�e $F: \mathcal{U} \longrightarrow Y$ t. �e dla $y=F(x)$ dla $x \in \mathcal{U} \Longleftrightarrow G(x,y)=0$. 
\end{theorem}

\begin{proof}
 
Dow�d korzysta z zasady Banacha, w tym celu r�wnanie $G(x,y)=0$ przepiszemy w nast�puj�cej postaci: \[y=y-\underbrace{T^{-1} \circ \underbrace{G(x,y)}_{\in Z}}_{\in Y}\] gdzie \[T=G^{-1}_{Y}(x_{0},y_{0}) \in B(Y,Z) \longrightarrow T^{-1} \in B(Z,Y)\]
Rozwa�my odwzorowanie $\Phi: \mathcal{O}_{1} \times \mathcal{O}_{2} \longrightarrow Y $ t. �e $\Phi(x,y)=y-T^{-1} \circ G(x,y)$. Widzimy, �e $G(x,y)=0$ wtedy i tylko wtedy gdy $y \in Y$ jest punktem sta�ym $\Phi(x,\cdot)$. 
Czy $\Phi$ jest odwzorowaniem zbli�aj�cym? Niech 
$y, y' \in \mathcal{O}_{2}$:
\[ \begin{split}
\left\| \Phi(x,y')-\Phi(x,y)\right\| &= \left\|y'-T^{-1} \circ G(x,y') -y+T^{-1} \circ G(x,y)\right\|  \\ &= \left\|T^{-1}(T(y'-y)-(G(x,y')-G(x,y)))\right\|\\& \leq \left\|T^{-1}\right\| \cdot \left\|G(x,y')-G(x,y) - T(y'-y)\right\| \\& \stackrel{\textrm{z tw. o w. �r.}}\leq   \left\|T^{-1}\right\| \cdot \sup_{0<t<1}\left\|G'_{Y}(x,y + t(y'-y) - G'_{Y}(x_{0},y_{0})\right\| \cdot \left\|y-y'\right\| 
\end{split}\]
Z ci�g�o�ci pochodnej funkcji $G$ dostajemy $\rho > 0, \delta > 0$ takie, �e je�li $\left\|x - x_{0}\right\| \leq \rho, \left\|y - y_{0}\right\| \leq \delta, \left\|y' - y_{0}\right\| \leq \delta$ to 
\begin{displaymath}
\sup_{0<t<1} \left\|G'_{Y}(x, y + t(y'-y) - G(x_{0},y_{0})\right\| < \epsilon
\end{displaymath}
Zauwa�my, �e 
\[\left\|\Phi(x,y')-\Phi(x,y)\right\| \leq \left\|T^{-1}\right\| \cdot \epsilon \cdot \left\|y-y'\right\|\] zatem  wybieraj�c $\epsilon > 0$ tak �eby $\left\|T^{-1}\right\| \cdot \epsilon \leq \frac{1}{2}$   dostajemy odwzorowanie zbli�aj�ce \[\left\|\Phi(x,y')-\Phi(x,y)\right\| \leq 1/2\left\|y'-y\right\|\] z $q=1/2$. 
Podsumowuj�c mamy: 
\begin{displaymath}
\Phi: \overline{K(x_0,\rho)}  \times \overline{K(y_0, \delta)} \longrightarrow Y 
\end{displaymath}
Zmodyfikujemy $\rho \rightarrow \rho' $ tak, aby:
\begin{displaymath}
\Phi: \overline{K(x_0,\rho')}  \times \overline{K(y_0, \delta)} \longrightarrow \overline{K(y_0, \delta)} 
\end{displaymath}
W tym celu rozwa�my wyra�enie:
\[ \begin{split} 
\left\|\Phi(x,y)-y_{0}\right\| &= \left\|\Phi(x,y)-\Phi(x,y_{0})+\Phi(x,y_{0})-y_{0})\right\|\\& \leq \left\|\Phi(x,y)-\Phi(x,y_{0})\right\|   + \left\|\Phi(x,y_{0})-y_{0}\right\|\\& \leq \frac{1}{2}\left\|y-y_{0}\right\| + \left\|T^{-1}G(x,y_{0})\right\|\\& \leq \frac{1}{2}\left\|y-y_{0}\right\|  + \left\|T^{-1}\right\| \cdot \left\|G(x_{0},y_{0})\right\|\\& \leq \frac{1}{2}\left\|y-y_{0}\right\| + \left\|T^{-1}\right\| \cdot \left\|G(x,y_{0})-G(x_{0},y_{0})\right\| 
\end{split}\] 
Skoro $G$ jest funkcj� ci�g�� to $\exists\rho'>0$ t. �e
$\left\|T^{-1}\right\| \cdot \left\|G(x,y_{0})-G(x_{0},y_{0})\right\| \leq \frac{1}{2}\delta$ 
i ostatecznie
\[
\left\|\Phi(x,y)-y_{0}\right\| \leq \frac{1}{2}\delta + \frac{1}{2}\delta
\]
dla $x\in \overline{K(x_{0},\rho')} \land y \in \overline{K(y_{0}, \delta)}$. 
Kozystaj�c z Zasady Banacha widzimy, �e 
\[  
\forall x \in \overline{K(x_{0},\rho')}\quad \exists! \quad y \in \overline{K(y_{0}, \delta)} \textrm{ t. �e } \Phi(x,y)=y\]  Zatem spe�nione jest  r�wnanie   $G(x,y)=0$  oraz odwzorowanie   $F: \overline{K(x_{0},\rho')} \longleftrightarrow \overline{K(y_{0}, \delta)}: F(x) = y \textrm{ jest ci�g�e.}
$

Badamy r�niczkowalno�� $F$. Niech $h\in X$. Oznaczmy $w=F(x+h)-F(x)$. R�niczkowalno�� $G$ daje:

\[ \begin{split}
\left\|\underbrace{G(x+h, \underbrace{F(x)+w}_{F(x+h)})}_{=0}-\underbrace{G(x,F(x)}_{=0}-G'_{x}(x,F(x))h-G'_{y}(x,F(x))w \right\| \leq \epsilon(\left\|h\right\|+\left\|w\right\|) \\\textrm{ i dostajemy } \left\|G'_{X}(x,F(x))\cdot h + G'_{Y}(x,F(x))\cdot w \right\| \leq \epsilon(\left\|h\right\|+\left\|w\right\|)
\end{split} \]
Je�li $x$ jest dostatecznie bliskie $x_{0}$ to operator $G'_{Y}(x,F(x))$ jest odwracalny.\\ \\
W takim razie:
\[ \begin{split}
\left\| w + G'_{Y}(x, F(x))^{-1} \circ G'_{X}(x, F(x))h\right\|=\left\|G'_{Y}(x,F(x))^{-1}(G'_{Y}(x,F(x))) \cdot w + G'_{X}(x,F(x))h\right\|\\ \leq \left\|G'_{Y}(x,F(x)^{-1})\right\| \cdot \epsilon(\left\|h\right\|+\left\|w\right\|) \textrm{ (* *)}\end{split} \] 



Wybieramy $\epsilon$ tak, �eby $\epsilon \cdot \left\| G'_{Y}(x,F(x))^{-1}\right\| \leq \frac{1}{2}$ i szacujemy $w$:\\
\[ \begin{split}
\left\|w\right\|&= \left\|w+G'_{Y}(x,F(x))^{-1} \cdot G'_{X}(x,F(x)) \cdot h - G'_{Y}(x,F(x))^{-1} \circ G'_{X}(x,F(x))h\right\|\\
& \leq \left\|w+G'_{Y}(x, F(x))^{-1} \circ G'_{X}(x,F(x))h\right\|\\
& + \left\|G'_{Y}(x, F(x))^{-1} \circ G'_{X}(x, F(x))h\right\|   \textrm{ i z (* *) mamy }\\
&\left\|w\right\| \leq \frac{1}{2}(\left\|h\right\| + \left\|w\right\|) + \underbrace{\left\|G'_{Y}(x, F(x))^{-1} \circ G'_{X}(x, F(x))\right\|}_{ozn.: a} \cdot \left\|h\right\|\\ 
&\textrm{ zatem } \left\|w\right\| \leq (1+2a)\left\|h\right\| \textrm{ i (* *) ma  posta�: }\\
&\left\|F(x+h)-F(x)-(-G'_{Y}(x, F(x)))^{-1} \circ G'_{X}(x, F(x)) \cdot h\right\|\\
&\leq \epsilon \left\|G'_{Y}(x, F(x))^{-1}\right\| \cdot 2(1+a) \cdot \left\|h\right\|
\end{split}\]
Czyli $F$ jest r�niczkowalne oraz $F'(x)=-G'_{Y}(x, F(x))^{-1} \circ G'_{X}(x, F(x))$. 

\end{proof}

\begin{theorem}(o lokalnej odwracalno�ci)\\
Niech $X, Y$ b�d� przestrzeniami Banacha $\mathcal{O} \underset{otw} \subset X, \quad F: \mathcal{O} \longrightarrow Y $ r�niczkowalna w spos�b ci�g�y na $\mathcal{O}$. Przypu��my, �e $F'(x) \in B(X,Y)$ jest odwzorowaniem odwracalnym. W�wczas $\exists x_{0} \in \mathcal{O}' \subset \mathcal{O}$ - otwarty, t. �e odwzorowanie $F$ jest odwracalne na $\mathcal{O'}$oraz odwzorowanie $F^{-1}$ jest r�niczkowalne i $(F^{-1})'(F(x))=(F'(x))^{-1}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Rozwa�my $G: \mathcal{O}_{1} \times Y \longrightarrow Y$ dane wzorem \[G(x,y)=y-F(x)\] Pochodne cz�stkowe $G$ w punkcie $(x_{0},F(x_{0}))$: \[\begin{split}G'_{X}(x_{0},F(x_{0}))&=-F'(x_{0}) \\G'_{Y}(x_{0},y_{0})&=id_{Y}\end{split}\] 
Pochodna $G'_{X}(x_{0},F(x_{0}))$ jest odwzorowaniem odwracalnym i stosujemy TFU. Dostajemy $\widetilde{F}: \widetilde{\mathcal{O}} \longrightarrow X$ gdzie $\widetilde{\mathcal{O}} \subset Y$ i $y_{0} \in \widetilde{\mathcal{O}}$ t. �e \[\widetilde{F}(y)=x \iff G(x,y)=0 \leftrightarrow y=F(x)\]  zatem $F$ jest odwracalne i $F^{-1}=\widetilde{F}$. Dalej z TFU liczymy $\widetilde{F}'(u)$. Niech $y=F(x)$\[  (F^{-1})'(y)=\widetilde{F}'(y)=-(-F'(x))^{-1} \cdot id_{Y}=(F'(x))^{-1}\] 

\end{proof}

\begin{example}
Badanie funkcji zadanej w spos�b uwik�any
\[ 
\begin{split}
G(x,y,z)=(x+z)(y+z)(1+\frac{z}{xy})-8\\
\mathcal{O}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}; x\neq0 \textrm{ oraz } y\neq0\}\\
G: \mathcal{O} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}
\end{split}
\]
Znale�� i zbada� punkty krytyczne funkcji $z(x,y)$ zadanej niejawnie przez $G$.\\
Warunek konieczny istnienia ekstremum:
\begin{enumerate}
\item $G(x,y,z)=0$
\item $\lbrack\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\rbrack=-(\frac{\partial G(x,y,z)}{\partial z})^{-1}\lbrack\frac{\partial G (x,y,z)}{\partial x},\frac{\partial G(x,y,z)}{\partial y} \rbrack=0$
\end{enumerate}
Mamy wi�c 3 zmienne $(x,y,z)$ i 3 r�wnania:
\begin{displaymath}
\left\{ \begin{array}{ll}
G(x,y;z)=0 & \\
& \\
\frac{\partial G(x,y;z)}{\partial x} & \rightarrow \textrm{warunek konieczny}\\
& \\
\frac{\partial G(x,y;z)}{\partial y} & 
\end{array} \right.
\end{displaymath}

\[ 
\begin{split}
\frac{\partial G}{\partial x}=(y+z)(1-\frac{z^{2}}{xy^{2}})=0\\
\frac{\partial G}{\partial y}=(x+z)(1-\frac{z^{2}}{x^{2}y})=0
\end{split}
\]
Jedyna mo�liwo��: $z^{2}=xy^{2}=x^{2}y \rightarrow x=y \textrm{ oraz } z^{2}=x^{3} \textrm{ czyli } z=\pm x^{\frac{3}{2}}$. Podstawiaj�c do warunku $G(x,y,z)=0$ dostajemy rozwi�zania $(x,y,z(x,y))=(4,4,-8)$ i $(x,y,z(x,y))=(1,1,1)$. Przypomnijmy, �e 
\begin{displaymath}
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial G(x,y,z(x,y))}{\partial x}}{\frac{\partial G(x,y,z(x,y))}{\partial z}}
\end{displaymath}
II pochodna w punkcie krytycznym:
\[
\begin{split}
\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}}=-\frac{\frac{\partial ^{2} G}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} G}{\partial x \partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}}{\frac{\partial G(x,y,z(x,y))}{\partial z}} + \frac{\frac{\partial G(x,y,z(x,y))}{\partial x}}{(\frac{\partial G(x,y,z(x,y))}{\partial z})^{2}} \cdot (\frac{\partial ^{2} G}{\partial x \partial z}+\frac{\partial ^{2} G}{\partial z^{2}}\cdot \frac{\partial z}{\partial x})\\=-\frac{\frac{\partial ^{2} G}{\partial x^{2}}}{\frac{\partial G}{\partial z}} \longrightarrow \textrm{ w punkcie krytycznym}
\end{split}
 \] 
W punkcie krytycznym macierz 2-giej pochodnej $Q=\lbrack \frac{\partial ^{2}z}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\rbrack$ ma wi�c posta�:
\[ Q=-(\frac{\partial G}{\partial z})^{-1}
\left[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial ^{2} G}{\partial x \partial z} & \frac{\partial ^{2} G}{\partial x \partial z} \\
& \\
\frac{\partial ^{2} G}{\partial x \partial z} & \frac{\partial ^{2} G}{\partial x \partial z} \\

\end{array}
 \right]
\]
\end{example}
\section{Wyk�ad 5.04.2016}
\begin{example}
$S^{n-1}$ sfera $n-1$ wymiarowa w $\mathbb{R}^n$.
\[S^{n-1}=\{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R} : \sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2=1 \} \subset \mathbb{R}^n\]
Element $p \in S^{n-1}$; przestrze� styczna do $S^{n-1}$ w punkcie $p$
\[T_pS^{n-1}=\{ v \in \mathbb{R}^n : p_1v_1+...+p_nv_n=0 \}\]
W szczeg�lno�ci $T_pS^{n-1}$ jest podprzestrzeni� wektorow� przestrzeni $\mathbb{R}$ wymiaru $n-1$
\end{example}
\begin{theorem}
Niech $M \subset \mathbb{R}$. W�wczas $M$ jest powierzchni� wymiaru $k$ wtedy i tylko wtedy gdy dla ka�dego $p \in M$ istnieje  $p \in \mathcal{O} \underset{OTW} \subset \mathbb{R}^n$ oraz lokalny uk�ad wsp�rz�dnych $(\varphi_1(x), \dots, \varphi_n(x))$ na $\mathcal{O}$ taki, �e $\mathcal{O} \cap M = \{ x \in \mathbb{R}^n : \varphi_1(x)=\dots=\varphi_n(x)=0 \}$
\end{theorem}
\begin{proof}
$\Leftarrow$
Maj�c $(\varphi_1(x), \dots, \varphi_n(x))$ jak w twierdzeniu rozwa�my $G: \mathcal{O} \longmapsto \mathbb{R}^{n-k} $
, gdzie $G(x)=( \varphi_1(x), \dots, \varphi_n(x))$.
\[G'(x)= 
\left[ \begin{matrix}
\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1}(x) & \dots & \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_n}(x)\\
\vdots&&\vdots \\
\frac{\partial \varphi_{n-k}}{\partial x_1}(x) & \dots & \frac{\partial \varphi_{n-k}}{\partial x_n}(x)\\
\end{matrix} \right]
\]
Skoro $\left( \frac{\partial x_i}{\partial x_j} \right)_{1 \le i,j \le n}$ jest macierz� odwracaln� to wiersze $G'(x)$ s� liniowo niezale�ne. W szczeg�lno�ci rank $G'(x)$=$n-k$.
Z poprzedniego twierdzenia $\{ x \in \mathcal{O} : G(x)=0 \} $ jest powierzchni�. Zatem $\mathcal{O} \cap M$ jest powierzchni� a wi�c $M$ jest powierzchni�.
\\ $\Rightarrow$
We�my $p \in M$. Niech $\mathbb{R}^n = X \oplus Y$, $p=(p_X,p_Y); \pi_X, \pi_Y$ - rzuty na sk�adow� X i Y odpowiednio.
Dalej $\exists$ otoczenie $p \underset{OTW} \subset \mathbb{R}^n$, $p_X \in U \underset{OTW} \subset X$
oraz $\Phi : U \longmapsto Y$ - g�adkie odwzorowanie t. �e 
\[ \mathcal{O} \cap M = \{ (u,\Phi(u)):u \in U\} \]
Przypomnijmy, �e dim $X$ = $k$, dim $Y$ = $n-k$.
Niech $\mathcal{E} = \{ v_1,\dots,v_n\}$ b�dzie baz� p-ni $\mathbb{R}^n$ t. �e $\{ v_1,\dots,v_{n-k}\}$
jest baz� $Y$ a $\{ v_{n-k},\dots,v_n\}$ jest baz� p-ni $X$.
Niech $\{ \lambda,\dots,\lambda \}$ b�dzie baz� dualn� do $\mathcal{E}$. $\lambda_i : \mathbb{R}^n \longmapsto \mathbb{R}$ - liniowe.
Uk�ad wsp�rz�dnych spe�niaj�cy warunki twierdzenia:
\[ \mathcal{O} \ni x \longmapsto \varphi_i(x) = \left\{
\begin{array}{ll} <\lambda_i,\pi_Y(x)-\Phi(\pi_X(x)))> & : 1\le i\le n-k \\
<\lambda_i,\pi_X(x)> & : n-k+1\le i\le n
\end{array} \right. \]
\[ x \in M \cap \mathcal{O} \Leftrightarrow x=(x,\Phi(u)),\] gdzie $u=\pi_X(x)$
\[
\Leftrightarrow \varphi_1(x)=\dots=\varphi_{n-k}(x)=0
\]
Czy $(\varphi_1,\dots,\varphi_n)$ zadaje uk�ad wsp�rz�dnych na $\mathcal{O}$?
Pochodna odwzorowania $F(x)=(\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x))$ ma posta�
\[
F'(x)=\left[ \begin{matrix} \mathbb{I}_{n-k} & * \\ 0 & \mathbb{I}_k  \end{matrix} \right],
\]
a wi�c jest to macierz odrwacalna. Z twierdzenia o lokalnej odwracalno�ci $(\varphi_1,\dots,\varphi_n)$ jest uk�adem wsp�rz�dnych.
\end{proof}
\begin{theorem}
Niech $M \subset \mathbb{R}^n$ b�dzie powierzchni� wymiaru $k$ oraz $p \in M$. W�wczas $T_pM \subset \mathbb{R}^n$ jest podprzestrzeni� wektorow� wymiaru $k$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Niech $(\varphi_1,\dots,\varphi_n)$ b�dzie uk�adem wsp�rz�dnych wok� $p \in M$ spe�niaj�cym warunki poprzedniego twierdzenia t. �e $\varphi_i(p)=0$.
$F(x)=(\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x))$ jest bijekcj� na podzbi�r otwarty $\mathbb{R}^n$ t. �e
\[
M \cap \mathcal{O} = F^{-1}(\{ (0,v):0_{n-k} \in \mathbb{R}^{n-k}, v \in U \underset{OTW} \subset \mathbb{R}^k :0_k \in U \})
\]
Dalej niech $v_1,v_2 \in T_pM$ zadane przez krzywe $\gamma_1,\gamma_2$:
\[
v_i=\frac{d}{dt}\gamma_i|_{t=0} \textrm{ oraz } \gamma_i(0)=p
\]
Niech
\[ \gamma_3(t)=F^{-1}(F(\gamma_1(t))+F(\gamma_2(t))) \]
\[ \gamma_3(0)=F^{-1}(F(p)+F(p))=F^{-1}(0)=p \]
Skoro $F(\gamma_i(t)) \subset \mathbb{R}^k$ (gdzie $\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^{n-k} \oplus \mathbb{R}^k $)
to $F(\gamma_1(t))+F(\gamma_2(t)) \in \mathbb{R}^k$ a zatem $F^{-1}(F(\gamma_1(t))+F(\gamma_2(t))) \in M$
\[
\frac{d}{dt} \gamma_3 |_{t=0} = (F^{-1})'(F'v_1+F'v_2)=v_1+v_2
\]
Niech $a \in \mathbb{R}$ i $v \in T_pM$ zadanym przez $\gamma$. W�wczas $\gamma_a(t) = \gamma(at)$ dostajemy
\[
\frac{d}{dt} \gamma_a(t)|_{t=0}=av \in T_pM
\]
Wymiar $T_pM$. Zauwa�my, �e $F'(T_pM) \subset \mathbb{R}^k$ zatem dim $T_pM \le k$,
gdy� $F^{-1}$ jest izomorfizmem. Z drugiej strony
\[
(F^{-1})'(\mathbb{R}^k) \subset T_pM \Rightarrow \textrm{dim } T_pM \ge k,
\]
wi�c dim $T_pM = k$
\end{proof}
\begin{theorem}
Niech $G:\mathbb{R}^n \longmapsto \mathbb{R}^{n-k}$ b�dzie odwzorowaniem oraz $M=\{ x \in \mathbb{R}^n : G(x)=0 \}$. Przypu��my, �e rank $G'(p)=n-k \ \forall_{p \in M}$.
W�wczas $M$ jest powierzchni� oraz $T_pM = \{ v \in \mathbb{R}^n : G'(p)v=0 \} = \textrm{ker } G'(p)$
\end{theorem}
\begin{proof}
Dow�d tego, �e $M$ jest powierzchni� ju� by�.
Przypu��my, �e $v \in T_pM$ zadanym przez $\gamma : \mathbb{R} \longmapsto M : v = \frac{d}{dt} \gamma(0)$.
W�wczas $G(\gamma(t))=0 \ \forall_{t \in \mathbb{R}}$. Zatem
\[
\frac{d}{dt}G(\gamma(t))|_{t=0} = 0 = G'(\gamma(0)) \circ \gamma'(t)|_{t=0} = G'(p)v \Rightarrow T_pM \subset \textrm{ker } G'(p) 
\]
Z algebry dim ker $G'(p) + \underbrace{\textrm{rank } G'(p)}_{= n-k} = n$,
zatem dim ker $G'(p) = k$. Skoro dim $T_pM = k$ to zawieranie $T_pM \subset \textrm{ker } G'(p)$ jest r�wno�ci�.
\end{proof}
\begin{example}
\[
G(x_1,\dots,x_n)=x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2-1 \Rightarrow M=S^{n-1}.
\]
We�my $p \in S^{n-1};\ G'(p)= \left[ \begin{matrix} 2p_1, & 2p_2, & \dots, & 2p_n \end{matrix} \right] $,
\[
\textrm{ker }G'(p)=\{ x \in \mathbb{R}^n : 2p_1v_1 + 2p_2v_2+\dots+2p_nv_n=0 \}.
\]
\end{example}
\begin{theorem}
Niech $M \subset \mathbb{R}^n$ oraz $f:\mathcal{O} \longmapsto \mathbb{R}$, gdzie $\mathcal{O}$ jest zbiorem otwartym zawieraj�cym $M$. Niech $p \in \mathcal{O}$. W�wczas je�li funkcja $g:M \longmapsto \mathbb{R}$ t. �e $g(x)=f(x)$ dla $x \in M$ ma w punkcie $p$ ekstremum to $\forall_{v \in T_pM}$ mamy $f'(p)v=0$
\end{theorem}
\begin{proof}
Niech $v \in T_pM$ b�dzie zadany przez $\gamma : \mathbb{R} \longmapsto M$.
W�wczas funkcja $\mathbb{R} \ni t \longmapsto f(\gamma(t)) \in \mathbb{R}$ ma ekstremum w $t=0$.
Zatem \[
\frac{d}{dt}f(\gamma(t))|_{t-0}=0
\]
\end{proof}
\begin{large}
Ekstrema zwi�zane oraz metoda mno�nik�w Lagrange'a
\end{large}
\\
$M \subset \mathbb{R}^n$- powierzchnia zadana przez $G:\mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R}^{n-k}$,
\[
p \in M \Rightarrow T_pM=\textrm{ker }G'(p)
.\]
Przypu��my, �e $f:\mathcal{O} \longmapsto \mathbb{R}$ obci�ta do $M$ ma w $p \in M$ ekstremum (ekstremum zwi�zane $=$ ekstremum na $M$). Wtedy $f'(p)v=0$ dla ka�dego $v \in T_pM$.
$f'(p) \in B(\mathbb(R)^n,\mathbb{R})$ t. �e $f'(p)|_{T_pM}=0$
Niech \[
(T_pM)^0=\{ w \in B(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}): w|_{T_pM}=0 \}
\]
Z algebry dim $(T_pM)^0=n-k$. Zauwa�my, �e wiersze macierzy $G'(p)$ s� elementami $(T_pM)^0$.
Poniewa� wiersze $G'(p)$ s� liniowo niezale�ne (rank $G'(p)=n-k$) to s� baz� $(T_pM)^0$.
W szczeg�lno�ci 
\[
f'(p)=
\left[ \begin{matrix}
\frac{\partial f}{\partial x_1}(p), & \dots, & \frac{\partial f}{\partial x_n}(p)
\end{matrix} \right]
\]
jest kombinacj� liniow� wierszy macierzy
\[
G'(p)= 
\left[ \begin{matrix}
\frac{\partial G_1(p)}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial G'_1(p)}{\partial x_n}\\
\vdots && \vdots \\
\frac{\partial G_n(p)}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial G_n(p)}{\partial x_n}\\
\end{matrix} \right]
.\]
To oznacza, �e istniej� skalary $\lambda_1, \dots, \lambda_{n-k} \in \mathbb{R}$ t. �e
$f'(p)=\left[ \begin{matrix} \lambda_1, & \dots, & \lambda_2 \end{matrix} \right] \circ G'(p).$
Skalary $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ nazywamy mno�nikami Lagrange'a.
Warunek konieczny istnienia eksremum zwi�zanego.
\[\underbrace{
\left\{ \begin{array}{l} G(p)=0 \\
\exists \left[ \begin{matrix} \lambda_1, & \dots, & \lambda_{n-k} \end{matrix} \right] \in \mathbb{R}^{n-k} \textrm{t. �e} f'(p)-\left[ \begin{matrix} \lambda_1, & \dots, & \lambda_{n-k} \end{matrix} \right] \circ G'(p)=0
\end{array} \right.
}_{}
\] \[
2n-k \textrm{ r�wna� na } 2n-k \textrm{ zmiennych } p \in \mathbb{R}^n, \left[ \begin{matrix} \lambda_1, & \dots, & \lambda_{n-k} \end{matrix} \right] \in \mathbb{R}^{n-k}
\]
\section{Wyk�ad 08.04.2016 r.}

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{rys.jpg}
\end{figure}
$G: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$, $M = \lbrace(x,y,z): G(x,y,z)=0\rbrace \subset \mathbb{R}^3$. $p$ jest ekstremum funkcji $f \vert _M$, je�li $p \in \mathcal{O} \subseteq \mathbb{R}^3$, takie �e $\forall q \in \mathcal{O} \cap M:$ $f(q) \geq f(p)$ - minimum lub $f(q) \leq f(p)$ - maksimum.

\textbf{Warunek konieczny istnienia ekstremum:}
$\begin{cases}
G(p)=0 \\
f'(p) - \lambda G'(p)=0
\end{cases}$

\textbf{Warunek wystarczaj�cy w pe�nej og�lno�ci:}
$M \subset \mathbb{R}^n$ - powierzchnia wymiaru $k$ zadana przez $G: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n-k}$, $p \in M: \mathbb{R}^n \simeq X \oplus Y$, $U \subset X$, $\psi: U \rightarrow Y: \mathcal{O} \cap M = \lbrace (u, \psi (u)): u \in U \rbrace$. $\kappa$ - lokalna parametryzacja powierzchni $M$. $\kappa: U \rightarrow \mathbb{R}^n: \kappa (u) =(u, \psi (u))$. $M \ni p = \kappa (u_0)$, $TpM = \text{ker}G'(p) = \lbrace \kappa ' (u_0)v: v \in X\rbrace$. Zauwa�my, �e $G \circ \kappa = 0$. $X \xrightarrow{\kappa} \mathbb{R}^n \xrightarrow{G} \mathbb{R}^{n-k}$.
Rozwa�my funkcj� $U \ni u \mapsto f \circ \kappa (u) \in \mathbb{R}$. Policzmy $(f \circ \kappa)'(u)$: $$(f \circ \kappa)'(u) = f'(\kappa (u))\kappa ' (u).$$
Niech $v, w \in X$: $$(f \circ \kappa)'(u)v = f'(\kappa (u))\kappa '(u)v.$$ 
\begin{equation}\label{***}
(f \circ \kappa)''(u)(v,w) = f''(\kappa (u))(\kappa ' (u), \kappa ' (u)w)+f'(\kappa (u))(\kappa '' (u)(v,w))
\end{equation}
w $u=u_0 $ mamy: $$(f \circ \kappa)''(u_0)(v,w) = f''(p)(\kappa ' (u_0)v, \kappa ' (u_0)w)+f'(p)(\kappa '' (u_0)(v,w)).$$
Podobnie liczymy dla $G \circ \kappa$:
$$G'(\kappa (u)) \circ \kappa '(u)=0$$
\begin{equation}\label{*}
G''(p)(\kappa ' (u_0)v, \kappa (u_0)w)+G'(p)(\kappa ''(u_0)(v, w))=0.
\end{equation}
$p \in M$ jest punktem krytycznym, a wi�c istniej� mno�niki Lagrange'a \\ $[ \lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_{n-k}] \in \mathbb{R}^{n-k}$, takie �e
\begin{equation}\label{**}
f'(p)=[\lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_{n-k}] \circ G'(p).
\end{equation}
Sk�adaj�c (\ref{*}) z wierszem $[\lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_{n-k}]$ oraz u�ywaj�c (\ref{**}) mamy $$f'(p)(\kappa '' (u_0)(v, w))=-[\lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_{n-k}] \circ G''(p)(\kappa '(u_0)v, \kappa '(u_0)w).$$ 
Zatem (\ref{***}) przyjmuje posta�:
$$(f \circ \kappa)''(u_0)(v,w) = (f''(p) -[\lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_{n-k}] \circ G''(p)(\kappa ' (u_0)v, \kappa ' (u_0)w).$$
Skoro $TpM = \lbrace \kappa '(u_0)v: v \in X \rbrace$ to funkcja $f \circ \kappa$ ma w punkcie $u_0 \in X$ drug� pochodn� $(f \circ \kappa)''$ �ci�le dodatnio okre�lon� $\Leftrightarrow$ $\forall x \in TpM\backslash \lbrace0\rbrace$ wyra�enie $(f''(p)-[\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_{n-k}] \circ G''(p))(x, x)>0$. $\Leftrightarrow$ forma kwadratowa \\ $f''(p)-[\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_{n-k}] \circ G''(p)$ obci�ta do  $TpM$ jest �ci�le dodatnio okre�lona.
To co powy�ej jest warunkiem wystarczaj�cym istnienia minimum zwi�zanego na powierzchni $M$ funkcji $f$. Maksimum $\leftrightsquigarrow$ odpowiednio ujemna okre�lono��.

\begin{example}
$G: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$, $G(x,y,z)=\left(\begin{array}{c} x+y+z \\x^2 + y^2 -2 \end{array}\right)$ \\
$M=\left\lbrace \left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right):G(x,y,z)=0 \right\rbrace$. $M$ jest jednowymiarow� powierzchni� w $\mathbb{R}^3$. Niech $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ b�dzie funkcj� $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$. \\
Metoda mno�nik�w Lagrange'a - warunek konieczny: \\
$$\begin{cases}
x + y + z =0 \\
x^2 +y^2 -2 =0 \\
[2x, 2y, 2z]-[\lambda, \mu] \circ \begin{bmatrix} 1 & 1& 1 \\ 2x & 2y & 0\end{bmatrix} =0
\end{cases}$$
Pi�� r�wna� i pi�� niewiadomych $(x, y, z)(\lambda, \mu)$. 
$$\begin{cases}
2x-\lambda-\mu\cdot 2x=0 \\
2y-\lambda-\mu\cdot 2y=0 \\
2z=\lambda
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
2x(1-\mu)=\lambda \\
2y(1-\mu)=\lambda \\
z=\frac{\lambda}{2}
\end{cases}$$
\textbf{Przypadek 1.}\\
$$1-\mu=0 \Rightarrow\lambda=z=0 \Rightarrow x=-y \Rightarrow 2x^2=2; x^2=1 \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ y=-1  \\ z=0 \\ \lambda=0 \\ \mu=1 \end{cases} \lor \begin{cases} x=-1 \\ y=1  \\ z=0 \\ \lambda=0 \\ \mu=1 \end{cases}$$
\textbf{Przypadek 2.}\\
$$\mu\neq1; 2x=\frac{\lambda}{1-\mu}, 2y=\frac{\lambda}{1-\mu}, 2z=\lambda \rightsquigarrow\lambda \neq 0$$
$$\frac{2\lambda}{1-\mu}+\lambda=0$$
$$\lambda\left(\frac{2}{1-\mu}+1\right)=0 \Rightarrow \frac{\lambda}{1-\mu}\left(2+1-\mu\right)=0 	\Rightarrow \mu=3 \Rightarrow 1-\mu=-2$$
$$x=\frac{\lambda}{-4}; y=\frac{\lambda}{-4}$$
$$2\frac{\lambda^2}{16}=2 \Rightarrow \lambda=\pm4$$
$$\lambda=4, \mu=3, z=2, x=y=\frac{4}{2\cdot(-2)}=-1$$
$$\lambda=4, \mu=3, z=-2, x=y=1$$
Mamy cztery punkty krytyczne. Warunek wystarczaj�cy w punkcie $$\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0 \end{array} \right), (\lambda, \mu)=(0,1).$$
$$TpM=\text{ker}G'(p)=\text{ker}\begin{bmatrix} 1& 1& 1 \\ 2& -2& 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}=v \in \text{ker}G'(p) \Leftrightarrow \begin{array}{c} v_1=v_2 \\ v_3=-2v_1 \end{array},$$
$$\text{ker}G'(p)=\left\lbrace v_1 \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ -2 \end{bmatrix}: v_1 \in \mathbb{R} \right\rbrace$$
$$f''(p)-[\lambda, \mu]G''(p)= \begin{bmatrix} 2& 0& 0 \\ 0& 2& 0 \\ 0& 0& 2 \end{bmatrix}- \underset{=0}\lambda \underset{=0}{G''(p)}-\underset{=1}\mu \begin{bmatrix} 2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 2 \end{bmatrix} =Q$$
$Q$ - badamy na $TpM$.
$$[1, 1, -2]Q \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ -2 \end{bmatrix}=+8>0$$
$$f(p)=2$$
\end{example}

\begin{remark}
$M \subset \mathbb{R}^3$ - jednowymiarowa powierzchnia zwarta
$$ \left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} -1\\ 1\\ 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} -1\\ -1\\ 2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ -2 \end{array}\right)$$
$$f\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0 \end{array}\right)=f\left(\begin{array}{c} -1\\ 1\\ 0 \end{array}\right)=2 \text{ - minimum}$$
$$f\left(\begin{array}{c} -1\\ -1\\ 2 \end{array}\right)=f\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ -2 \end{array}\right)=6 \text{ - maksimum}.$$
\end{remark}
\section{Wyk�ad 12.04.2016r.}
\begin{Large}
R�wnania r�niczkowe zwyczajne
\end{Large}
\begin{example}
Rozpad substancji promieniotw�rczej:
\[
\frac{dN}{dt}=\lambda N(t)
\]
$N$- liczba atom�w substancji promieniotw�rczej\\
$\lambda$- sta�a rozpadu
\end{example}
\begin{example}
Wahad�o matematyczne:
\[
\frac{d^2 \theta}{d t^2} + \frac{g}{l} \sin\theta=0
\]
Warunki pocz�tkowe: $\theta(t_0)=\theta_0$, \quad $\frac{d \theta}{d t}(t_0)=\omega_0$\\
W przybli�eniu dla ma�ych drga� ($\sin\theta\approx\theta$):
\[
\frac{d^2 \theta}{d t^2} + \frac{g}{l} \theta=0
\]
\end{example}
\begin{example}
Przyk�ad r�wna� cz�stkowych.\\
$f(t,x)$- funkcja, kt�ra spe�nia r�wnanie falowe.
\begin{itemize}
\item[a)]R�wnanie falowe w jednym wymiarze:
\[
\frac{\partial^2f}{\partial t^2}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}
\]
\item[b)]R�wnanie Schroedingera na funkcj� falow� $\psi(t,x)$:
\[
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(t,x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(t,x)\psi(t,x)
\]
\end{itemize}
\end{example}
\begin{example}
Przyk�ad, kt�ry nie pochodzi z fizyki:\\
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=1]{funkcja.png}
\caption{Krzywa i styczna z powy�szego przyk�adu.}
\end{figure}
Znale�� krzyw� $f(x)$ tak�, �e styczna do tej krzywej przechodz�ca przez punkt ($x,f(x)$) jest oddalona od pocz�tku uk�adu wsp�rz�dnych o $x$ (zak�adamy, �e $x>0$).\\
$(x_0,f(x_0))=(x_0, y_0)$\\
Styczna w punkcie $(x_0, y_0)$: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$\\
Prostopad�a do stycznej przechodz�ca przez pocz�tek uk�adu wsp�rz�dnych: $y=-\frac{1}{f'(x)}x$.\\
Znajdujemy punkt wsp�lny $(\tilde{x}, \tilde{y})$:\\
\[
\begin{split}
-&\tilde{x}\frac{1}{f'(x_0)}=f'(x_0)(\tilde{x}-x_0)+f(x_0)\\
&\tilde{x}(f'(x_0)+\frac{1}{f'(x_0)})=x_0f'(x_0)-f(x_0)\\
&\tilde{x}=\frac{x_0f'(x_0)-f(x_0)}{f'(x_0)^2+1}f'(x_0)\\
&\tilde{y}=-\frac{1}{f'(x_0)}\tilde{x}=\frac{x_0f'(x_0)-f(x_0)}{f'(x_0)^2+1}\\
&\tilde{x}^2+\tilde{y}^2=\frac{(x_0f'(x)-f(x_0))^2}{(f'(x_0)^2+1)^2}(1+f'(x_0)^2)=\\=&\underbrace{\frac{(x_0f'(x)-f(x_0))^2}{f'(x_0)^2+1}=x_0^2}_{\textrm{mo�na sprowadzi� do r. r�niczkowego}}
\end{split}
\]
\end{example}
\begin{remark}
W dalszej cz�ci wyk�adu b�dziemy rozwa�a� r�wnania r�niczkowe na funkcje wektorowe: $]a,b[ \ni x \longmapsto\mathbb{R}^{n} \quad x(t)= \begin{bmatrix}
x_{1}(t)\\
\vdots\\
x_{n}(t)\\
\end{bmatrix} $
\[\frac{d}{dt}(t)=\begin{bmatrix}
\frac{d}{dt}x_{1}(t)\\
\vdots\\
\frac{d}{dt}x_{n}(t)\\ 
\end{bmatrix}\stackrel{\textrm{ozn}}=\dot{x}(t)\stackrel{\textrm{ozn}}=\begin{bmatrix}
\dot{x}_{1}(t)\\
\vdots\\
\dot{x}_{n}(t)\\ 
\end{bmatrix}
\]
\end{remark}
\begin{definition}
Niech $\mathcal{O} \underset{OTW}\subset \mathbb{R}^{n}$ oraz $F:$ $ ]a,b[\times \mathcal{O} \to \mathbb{R}^{n}$. R�wnaniem r�niczkowym pierwszego rz�du nazywamy r�wnanie postaci 
\begin{equation}\label{rrozn}\frac{d}{dt}x=F(t,x(t))\end{equation} Funkcja $x:$ $]a,b[ \to \mathcal{O} \subset\mathbb{R}^{n}$ spe�nia r�wnanie \eqref{rrozn} je�li $x$ jest r�niczkowalna na $]a,b[$ oraz $\forall_{t\in]a,b[}$ $\frac{d}{dt}x(t)=F(t,x(t))$. Niech $
t_0 \in \mathcal{O}$. Par� $(t_0, x_0)$
nazywamy warunkiem pocz�tkowym r�wnania \eqref{rrozn}, a r�wnanie
\[
f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} 
\frac{d}{dt}x(t)=F(t,x(t))\\ 
x(t_0)=x_0\\
\end{array}\right.
\]
nazywamy zagadnieniem pocz�tkowym.
\end{definition}
Cel: Pokaza� (przy pewnych za�o�eniach na $F$) istnienie i jednoznaczno�� rozwi�zania zagadnienia pocz�tkowego.\\
R�wnania wy�szych rz�d�w $(k \in  \mathbb{N})$ s� postaci
\[
\frac{d^k}{dt^k}x(t)=F(t,x(t),\frac{d}{dt}x(t),\dots,\frac{d^{k-1}}{dt^{k-1}}x(t)),
\] 
gdzie $F: $ $]a,b[\times\mathcal{U}\to\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{U} \underset{OTW}\subset \underbrace{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\times\dots\times\mathbb{R}^{n}}_{k \textrm{ razy}}$.\\
R�wnania rz�du $k$ mo�na sprowadzi� do r�wna�  pierwszego rz�du.
\begin{example}
$k=2$
\[
\frac{d^2}{dt^2}x(t)=F(t,x(t),\dot{x}(t))
\]
Rozwa�my funkcj�  $G:$ $]a,b[\times\mathcal{U}\to \mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}$ dan� wzorem:
\[
G(t,v,w)=(w,F(t,v,w))
\]
$G$ zadaje r�wnanie r�niczkowe. Niech $y:$ $]a,b[\to\mathcal{U}$ b�dzie rozwi�zaniem tego r�wnania. $y(t)$ ma posta� $y(t)=\begin{bmatrix}
y_1(t)\\
y_2(t)\\ 
\end{bmatrix}$, gdzie $y_1(t), y_2(t) \in \mathbb{R}^{n} $
\[
\frac{dy}{dt}=\begin{bmatrix}
\dot{y}_1(t)\\
\dot{y}_2(t)\\ 
\end{bmatrix}=G(t,y_1(t),y_2(t))=\begin{bmatrix}
y_2(t)\\
F(t,y_1,y_2)\\ 
\end{bmatrix}
\]
zatem $\dot{y}_1(t)=y_2(t)$ oraz $\dot{y}_2(t)=F(t,y_1,y_2)$ co jest r�wnoznaczne $\ddot{y}_1=F(t,y_1,\dot{y}_1)$
\end{example}
\begin{definition}
Niech $F: $ $]a,b[\times\mathcal{O}\to\mathbb{R}^n$. M�wimy, �e $F$ spe�nia warunek Lipschitza ze sta�� $L$ jednostajnie ze wzgl�du na $\tau \in ]a,b[$, je�li $\forall_{v,w\in\mathcal{O}} \forall_{\tau \in]a,b[}$ spe�niona jest nier�wno�� $\|F(\tau,v)-F(\tau,w)\|\leq L\|v-w\|$.
\end{definition}
\begin{theorem}
Niech $F: $ $]a,b[\times\mathcal{O}\to\mathbb{R}^n$ b�dzie funkcj� ci�g�� spe�niaj�c� warunek Lipschitza ze sta�� $L$ jednostajnie ze wzgl�du na $\tau \in ]a,b[$. Niech $t_0 \in]a,b[, x_0 \in \mathcal{O} \underset{OTW}\subset\mathbb{R}^n$. W�wczas istnieje $\varepsilon>0$ oraz dok�adnie jedna funkcja $x:$ $]t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon[\to\mathcal{O}$ spe�niaj�ca zagadnienie pocz�tkowe:
\[
\left\{\begin{array}{ll} 
\frac{d}{dt}x(t)=F(t,x(t))\\ 
x(t_0)=x_0\\
\end{array}\right.
\]
\end{theorem}
\begin{proof}
Polujemy na $\varepsilon$ w kontek�cie zasady Banacha. Dlaczego zasada Banacha? Zauwa�my, �e $x(t)$ spe�nia zagadnienie pocz�tkowe wtedy i tylko wtedy, gdy:
\[
x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}\frac{d}{d\tau}x(\tau)d\tau=x_0+\int_{t_0}^{t}F(\tau,x(\tau))d\tau,
\]
czyli $x$ jest punktem sta�ym "pewnego" odwzorowania. Przechodzimy do szczeg��w. Wybierzmy $\delta, \varrho>0$ t.�e $[t_0-\delta,t_0+\delta]\subset]a,b[$, $K(x_0,\varrho)\subset\mathcal{O}$. Niech $\varepsilon<\delta$. Rozwa�my odwzorowanie \[\Lambda: C([t_0-\delta,t_0+\delta],\mathcal{O})\to C([t_0-\delta,t_0+\delta],\mathbb{R}^n)\] t. �e
\[ \Lambda(\gamma)(t)=x_0+\int_{t_0}^tF(\tau,\gamma(\tau))d\tau\] $\forall_{\gamma\subset C([t_0-\delta,t_0+\delta],\mathcal{O})}$.  
Czy $\Lambda$ jest zbli�aj�ce? $\gamma_1,\gamma_2 \in C([t_0-\delta, t_0+\delta],\mathcal{O})$.
\[
\begin{split}
&\|\Lambda(\gamma_1)(t)-\Lambda(\gamma_2)(t)\|=\|\int_{t_0}^{t}F(\tau,\gamma_1(\tau))-F(\tau,\gamma_2(\tau))d\tau\|\leq \\
\leq&\int_{t_0}^{t}\|F(\tau,\gamma_1(\tau))-F(\tau,\gamma_2(\tau))\|d\tau\leq L\int_{t_0}^{t}\|F(\gamma_1(\tau))-F(\gamma_2(\tau))\|d\tau \leq \\
\leq &|t-t_0|\cdot L \sup_{|\tau-t_0|<|t-t_0|}\|\gamma_1(\tau)-\gamma_2(\tau)\|\leq L|t-t_0|\|\gamma_1-\gamma_2\|
\end{split}
\]
Bior�c $L|t-t_0|<1\Rightarrow \varepsilon<\frac{1}{L}$. W�wczas $t \in ]t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon[$. Odwzorowanie jest zbli�aj�ce. 
Rozwa�my podzbi�r $Y=\{x\in C([t_0-\delta,t_0+\delta],\mathcal{O}): x(t)\in \overline{K(x_0,\varrho)}\}$ ($Y$ z norm� $sup$ jest przestrzeni� zupe�n�). Sprawdzimy, �e $\Lambda(Y)\subset Y$ dla pewnego $\varepsilon$. $\gamma \in Y$
\[
\begin{split}
&\|\Lambda(\gamma)(t)-x_0)\|=\|\int_{t_0}^{t}F(\tau,\gamma(\tau))d\tau\|\leq\\
\leq&\int_{t_0}^{t}\|F(\tau,\gamma(\tau))\|d\tau\leq\varepsilon\sup_{|\tau-t_0|<|t-t_0|}\|F(\tau,\gamma(\tau))\|\leq\\
\leq&\varepsilon\sup\limits_{^{|\tau-t_0|<\varepsilon}_{|v-x_0|<\varrho}}\underbrace{F(\tau,v)}_{\stackrel{\textrm{ozn}}=D}\leq\varepsilon D
\end{split}
\]
Zmniejszaj�c $\varepsilon$ dostajemy $\varepsilon D<\varrho$. $D$ jest wielko�ci� sko�czon�:
\[
\begin{split}
&\|F(\tau,v)-F(t_0,x_0)\|\leq\|F(\tau,v)-F(\tau,x_0)+F(\tau,x_0)-F(t_0,x_0)\|\leq\\\leq&L\|v-x_0\|+\sup_{|\tau-t_0|<\varepsilon}\|F(\tau,x_0)\|\leq L\varrho+\textrm{w. sko�czona (bo $F$ jest ci�g�e)}
\end{split}
\]
Zatem $\Lambda(Y)\subset Y$ oraz $\Lambda$ jest zbli�aj�ce. Mamy wi�c punkt sta�y $x:$ $]t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon[\to\overline{K(x_0,\varrho)}$, kt�ry jest jedynym rozwi�zaniem zagadnienia pocz�tkowego.
\end{proof}

\section{Wyk�ad 15.04.16}
Na dzisiejszym wyk�adzie omawiamy r�wnania r�niczkowe liniowe
\[\dot{x}(t)=A(t)x(t)+b(t)\]
\[A(t)\in M_{n\times n}(\mathbb{R}), b(t)\in\mathbb{R}^{n}\]
\begin{remark}
Z dowodu powy�szego twierdzenia wida�, �e rozwi�zanie jest dane wzorem
\[x=\lim_{n\rightarrow\infty}\Lambda^{n}x_{0}\]
$x_{0}$ interpretujemy jako funkcj� sta�� $t\mapsto x_{0}$
\end{remark}
\begin{example} \label{Rezolwenta}
\[\left\{\begin{array}{ll}
\dot{x}=Ax(t) & A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})\\
x(t_{0})=x_{0}\in \mathbb{R}^{n} & \end{array} \right. \]
Szukamy rozwi�zania
\[ n=1\quad x_{1}(t)=\Lambda x_{0} = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t}Ax_{0}ds=x_{0}+(t-t_{0})Ax_{0}\]
\[n=2\quad x_{2}(t)=\Lambda x_{1}(t)=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}A(x_{0}+(s-t_{0})Ax_{0})ds=x_{0}+(t-t_{0})Ax_{0}+\frac{(t-t_{0})^{2}}{2}A^{2}x_{0}\]
\[n=3\quad x_{3}(t)=\sum_{k=0}^{3}(t-t_{0})^{k}\frac{A^{k}x_{0}}{k!}\] 
\[\textrm{a og�lnie}\quad x_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(t-t_{0})^{k}}{k!}A^{k}x_{0}\]
\[x(t)=\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(t-t_{0})^{k}}{k!}A^{k}x_{0}=e^{(t-t_{0})A}x_{0}\]
Ten sam problem z nietrywialn� niejednorodno�ci�:
\[\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}(t)=Ax(t)+b(t)\\
x(t_{0})=x_{0}\end{array} \right. \]
\[ A\in M_{n\times n}(\mathbb{R}),\quad b:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{n} \textrm{-ci�g�a}\]
Wersja jednorodna ma rozwi�zanie:
\[x(t)=e^{(t-t_{0})A}x_{0}\]
Teraz, rozwi�zanie r�wnania niejednorodnego poszukujemy w postaci:
\[x(t)=e^{(t-t_{0})A}y(t) \textrm{ - metoda uzmienniania sta�ej}\]
\[\dot{x}(t)= \frac{d}{dt}e^{(t-t_{0})A}y(t)+e^{(t-t_{0})A}\dot{y}(t)=Ae^{(t-t_{0})A}y(t)+e^{(t-t_{0})A}\dot{y}(t)=\]
\[=Ax(t)+e^{(t-t_{0})A}\dot{y}(t)\]
\[ \dot{x}=Ax(t)+b(t)\]
\[ e^{(t-t_{0})A}\dot{y}(t)=b(t)\Rightarrow \dot{y}(t)=e^{-(t-t_{0})A}b(t)\Rightarrow y(t)=\int e^{-(t-t_{0})A}b(t)\]
Przypadek og�lny:
\[\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}(t)=A(t)x(t)+b(t)\\
x(t_{0})=x_{0}\end{array} \right. \]
\[ A:]a,b[\rightarrow M_{n\times n}(\mathbb{R})\]
\[ b: ]a,b[\rightarrow \mathbb{R}^{n}\]
\[F(t,v)=A(t)v+b(t)\]
\end{example}
\begin{remark}
Dla dowolnego (niekoniecznie liniowego) $F(t,v)$ spe�niaj�cego warunek Lipschitza ze sta�� L wykazali�my, �e $\exists ! x(t)$ okre�lone na ma�ym otoczeniu $t_{0}:]t_{0}-\epsilon, t_{0}+\epsilon[$ b�d� rozwi�zaniem r�wnania r�niczkowego. 
\end{remark}
\begin{remark}
(o przed�u�aniu rozwi�zania)
\[x:]\alpha,\beta[\rightarrow \mathbb{R}^{n} \textrm{ jest rozwi�zaniem}\]
\[\tilde{x}:]\tilde{\alpha},\tilde{\beta}[\rightarrow \mathbb{R}^{n} \textrm{ te� jest rozwi�zaniem i dodatkowo}\]
\[ ]\alpha,\beta[\subset]\tilde{\alpha},\tilde{\beta}\]
Je�li $x$ i $\tilde{x}$ spe�niaj� ten sam warunek pocz�tkowy to $\tilde{x}\big|_{]\alpha,\beta[}=x$. Zatem je�li rozwi�zanie r�wnania r�niczkowego daje si� przed�u�y� do wi�kszego odcinka to tylko na jeden spos�b.
\end{remark}
\begin{theorem}
Przypu��my, �e $A$ i $b$ okre�lone na odcinku $]\alpha,\beta[$, s� ci�g�e i ograniczone i niech $x_{0}\in \mathbb{R}^{n}$. Niech $t_{0}\in ]\alpha,\beta[$. W�wczas istnieje dok�adnie jedno rozwi�zanie $x:]\alpha,\beta[ \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ zagadnienia pocz�tkowego
\[\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}(t)=A(t)x(t)+b(t)\\
x(t_{0})=x_{0}\end{array} \right. \]
\end{theorem}
\begin{proof}
Funkcja $F(t,v)=A(t)v+b(t)$ spe�nia warunek Lipschitza.
\[ \|F(t,v)-F(t,u)\| = \|A(t)v-A(t)u\|\leq \|A(t)\| \|v-u\| \leq L\|v-u\|\quad \textrm{gdzie}\]
\[ L=\sup_{\alpha<t<\beta} \|A(t)\|<\infty \quad \textrm{-sta�a Lipschitza} \]
Tak jak w poprzednim twierdzeniu $\epsilon<\frac{1}{L}$ oraz $\epsilon \leq \frac{\rho}{D}$(*) gdzie $\rho$ dobieramy tak aby $\bar{K(x_{0},\rho)}\subset \mathbb{R}^{n}$. We�my $\rho=L\|x_{0}\|+K$ gdzie $K=\sup_{\alpha<t<\beta}\|b(t)\|$
\[D=\sup_{\alpha<t<\beta, \|v-x_{0}\| \leq \rho}\left\|A(t)v+b(t)\right\|\]
Udowodnimy, �e $\epsilon=\frac{1}{L+1}$ spe�nia (*)
\[ \frac{1}{L+1}<\frac{1}{L}\]
\[D=\sup_{\alpha<t<\beta, \|v-x_{0}\| \leq \rho}\|A(t)v+b(t)\| = \sup \|A(t)(v-x_{0})+A(t)x_{0}+b(t)\| \leq\] 
\[\leq \sup(\|A(t)\| \|v-x_{0}\|+\|A(t)\| \|x_{0}\| +\|b(t)\|)\leq L\rho + L\|x_{0}\|+K\]
\[ \frac{\rho}{D}\geq \frac{\rho}{L\rho+ \underbrace{L\|x_{0}\|+K}_{=\rho}}=\frac{1}{L+1}\]
W takim razie istnieje rozwi�zanie na odcinku $]t_{0}-\frac{1}{L+1},t_{0}+\frac{1}{L+1}[$. Niech:
\[x:]t_{0}-\frac{1}{L+1},t_{0}+\frac{1}{L+1}[ \rightarrow \mathbb{R}^{n}\]
Jak przed�u�amy x?
Za pocz�tkowy punkt przyjmujemy $\tilde{t_{0}}=t_{0}+\frac{1}{2(L+1)}$. Na tej samej zasadzie $\exists_{\tilde{x}}:]t_{0}-\frac{1}{L+1},t_{0}+\frac{3}{2(L+1)}[\rightarrow \mathbb{R}^{n}$, takie �e 
\[\tilde{x}(t_{0}+\frac{1}{2(L+1)})=x(t_{0}+\frac{1}{2(L+1)})\]
Przed�u�yli�my rozwi�zanie do $x:]t_{0}-\frac{1}{L+1},t_{0}+\frac{3}{2(L+1)}[$. Przed�u�aj�c w lewo dostajemy $x:]\alpha,\beta[\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ spe�niaj�ce $x(t_{0})=x_{0}$ oraz $\dot{x}=A(t)x(t)+b(t)$ 
\end{proof}
Przypadek jednorodny i rezolwenta
\[ \dot{x}(t)=A(t)x(t) (**)\]
\[A:]\alpha,\beta[ \rightarrow M_{n\times n }(\mathbb{R})\]
\[ \sup_{\alpha<t<\beta}\|A(t)\|=L<\infty\]
Obserwacje:
\begin{itemize}
\item[-] $\forall_{\lambda_{0} \in \mathbb{R}^{n}}\quad \exists !_{x:]\alpha,\beta[\rightarrow \mathbb{R}^{n}}$ spe�niaj�ce $x(t_{0})=x_{0}$
\item[-] Je�li $x_{0}^{1}, x_{0}^{2} \in \mathbb{R}^{n}:$ $x^{1},x^{2}$-rozwi�zania to $\forall_{\mu,\gamma}\in \mathbb{R}\quad \mu x^{1}+\gamma x^{2}$ jest rozwi�zaniem r�wnania (**) x warunkiem pocz�tkowym $\mu x_{0}^{1}+\gamma x_{0}^{2}$.
\end{itemize}
Niech $t\in ]\alpha,\beta[$, $x_{0}\in\mathbb{R}^{n}$ b�dzie rozwi�zaniem r�wnania (**) spe�niaj�cym warunek pocz�tkowy $x_{0}$ w chwili $t_{0}$. Zauwa�my, �e $\mathbb{R}^{n}\ni x_{0}\Rightarrow x(t;t_{0},x_{0})\in \mathbb{R}^{n}$ jest odwzorowaniem liniowym $\forall_{t,t_{0}}\in ]\alpha,\beta[$ istnieje macierz $R(t,t_{0})\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$, takie �e $x(t;t_{0},x_{0})=R(t,t_{0})x_{0}$
\begin{remark}
Dla $\dot{x}(t)=Ax(t)$ ($A$ nie zale�y od $t$). Rezolwenta zosta�a policzona w przyk�adzie \ref{Rezolwenta} oraz dana wzorem $R(t,t_{0})=e^{(t-t_{0})A}$
\end{remark}
\section{Wyk�ad} 


A i x s� nast�puj�cymi odwzorowaniami:
\[A: ]\alpha,\beta[ \ni  t \longrightarrow A(t) \in M_{n} (\mathbb{R})\]
\[x: ]\alpha,\beta[ \ni  t \longrightarrow x(t) \in {\mathbb{R}}^{n}\]
Niech  $\dot{x}(t)=A(t)x(t)$. Rezolwent� $R(t,t_0) \in M_{0} (\mathbb{R})$ 
$x(t)=R(t,t_{0})x(t_{0})$ oznaczamy $ R(t, t_(0)) = R(t)$  
\begin{theorem}
Wz�r Lioville'a $det R(t)=e^{\int^{t}_{t_{0}}TrA(t)dt}$ \end{theorem}

 \begin{proof} Udowodnimy, �e   $\frac{d}{dt}detR(t)=TrA(t)detR(T)$. Zauwa�my, �e   
\[det R(t+h)=det(\mathrm{1}+h(t)+r(t,h)R(t)^{-1})det R(t)  \]
Ma�e wy�szego rz�du oznaczamy symbolem $o(h)$ innymi s�owy   \[\lim_{h\rightarrow0} \frac{o(h)}{h}=0\]
W szczeg�lno�ci 
$$ r(t,h)R(t)^{-1}=\left[ %to jest kod macierzy numer 1
\begin{array}{ccc}
 b_{1,1} &\dots& b_{1,n}\\
 \vdots&\ddots& \vdots\\
b_{n,1}&\dots&b_{n,n}
\end{array}
\right]$$%koniec macierzy
Zatem 
\[\det(\mathrm{1}+h(t)+r(t,h)R(t)^{-1})=\det(\mathrm{1}+h(a_{ij})+b_{ij}(h))\] 
gdzie $a{ij}$ jest elementem z macierzy $A(t)$  
\[\sum(-1)^{sgn(\sigma)}\prod_{i=1}^{n}(\delta_{i,\sigma (i)}+h_{a_{i},\sigma(i)}+b_{i,\sigma(i)}(h))=\sum_{\sigma \in Sn}(-1)^{sgn(\sigma)}\prod_{i=1}^{n}(\delta_{i,\sigma (i)}+ha_{i\sigma(i)})+o(h)\]
Przypu��my, �e $\sigma \neq id$ W�wczas: $ \exists k \in \{1,...,n\}$ tak, �e $\sigma(k) \neq k$  
Bior�c $l= \sigma^{-1} (k)$ mamy $\sigma (l)=k \neq \sigma^{-1}(k)=\mathcal{L}$.   
Zatem $k,l \in \{1,...,n\}$ oraz $l \neq k$ tak, �e $\sigma(k)\neq k$ oraz $ \sigma (l) \neq l$ 
w szczeg�lno�ci $\delta_{k,\sigma(k)}=0$ oraz $\delta_{l,\sigma(l)}=0$ i odpowiedni wyraz w powy�szej sumie jest ma�� 
 wy�szego rz�du w h. Tak wi�c: 
$$\det(\mathrm{1}+h(t)+r(t,h)R(t)^{-1}) = \prod_{i=1}^{n}(\mathrm{1} + h_{a_{i,j}}) + o(h) =1+hTrA(t) + o(h)$$   Ostatecznie 
\[\begin{split}\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}(\det R(t+h)-det R(t)) &=  \lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}(\mathrm{1}+hTr(A(t))\det R(t)-\det R{t}-o(h))\\&= 
  Tr(A(t))\det R(t)=\frac{d}{dt}\det R(t)
 \end{split}\] Skoro 
$\det R(t_0)=1$ to  $\det R(t)=e^{\int^{t}_{t_0}TrA(t)dt}$ \end{proof} 
\begin{center}
{\large Skalarne liniowe r�wnania r�niczkowe wy�szych rz�d�w}
\end{center}

Zadane s�: $ a_0,a_1,a_2...a_{k-1} :[\alpha,\beta] \longrightarrow \mathbb{R}$.   
Rozwa�my r�wnanie   na $x  : [\alpha,\beta] \longrightarrow \mathbb{R}$ postaci  
\begin{equation}\label{eqlin}x^{k}(t)=\sum_{i=0}^{k-1}a_i(t)x^i(t)  \end{equation}
gdzie $x^{i}(t)=\frac{d ^i}{dt^i}x(t)$. 
Przyk�adowo  $ \ddot{x}(t)=t \dot{x}(t)+e^{t}x(t)$.   
 Sprawadzamy \eqref{eqlin} do  r�wnania r�niczkowego pierwszego rz�du na funkcj� wektorow�:  
$$\frac{d}{dt}
%to jest kod macierzy numer 2
\left[ 
\begin{array}{c}
 x\\
\dot{x} \\
\ddot{x}\\
\vdots \\
\dot{x}^{k-1}
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{ccccccc}
0&1&0&0&0&\dots& \\
0&0&1&0&0&\dots& \\
\vdots&0&0&1&0&\dots& \\
&\vdots&0&0&1&& \\
&&\vdots&\vdots&&\ddots&\\
a_0(t)&a_1(t)&a_2(t)&a_3(t)&\dots&\dots&a_{k-1}(t)
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
 x\\
\dot{x} \\
\ddot{x}\\
\vdots \\
\dot{x}^{k-1}
\end{array}
\right]
$$ 
Niech $R(t,t_0)$ b�dzie rezolwent� r�wnania $\frac{d}{dt}\overrightarrow{v}(t)=A(t)\overrightarrow{v}(t)$. Z definicji rezolwenty    
baz� rozwi�za� jest dana przez  $$\overrightarrow{v}(t)=R(t,t_0)
\left[
\begin{array}{c}
0\\ \vdots\\1\\\vdots\\0  
\end{array}
\right]$$
gdzie $a_i = 1$ oraz $a_j=0$ dla $j \ne i$ \newline
Zauwa�my, �e: $$\overrightarrow{v}_i(t)=
\left[
\begin{array}{c}
 f_i(t)\\
\dot{f_i(t)} \\
\ddot{f_i(t)}\\
\vdots \\
\dot{f_i(t)}^{k-1}
\end{array}
\right]$$ 
Uk�ad funkcji  $ \left< f_1,f_2,f_3, ...\right> $ nazywamy fundamentalny uk�adem rozwi�za� r�wnania  \eqref{eqlin}
Zagadnienia pocz�tkowe:  
$$ \left\{
\begin{array}{l}
x^k=\sum_{i=0}^{k-1} a_i(t)x^i (t) \\
x(t_0)=x_0, \dot{x}(t_0)=\dot{x}_0,\ddot{x}(t_0)=\ddot{x}_0, ... ,\dot{x}(t_0)^{k-1}=\dot{x}_0^{k-1}
\end{array}
\right\}   $$  
ma dok�adnie jedno rozwi�znie w przedziale $]\alpha,\beta[$ gdy� zagadnienie pocz�tkowe $$
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{d}{dt} \overrightarrow{v}(t) = A(t)\overrightarrow{v}(t)\\
\overrightarrow{v}(t_0)
\left[
\begin{array}{c}
x_0\\
\vdots \\
\dot{x}_0 ^{k-1}
\end{array}
\right]
\end{array}
\right\}   $$ ma dok�adnie jedno rozwi�zanie.  
 Bior�c $x(t)=v_1(t)$ mamy rozwi�zanie r�wnania  \eqref{eqlin}. 

Macierz rezolwenty $R(t, t_0$  ma posta�):
$$R(t,t_0)*
\left[
\begin{array}{cccc}
f_1&f_2&\dots&f_k \\
\dot{f}_1&\dot{f}_1& \dots& \dot{f}_k\\
\ddot{f}_1&\ddot{f}_2& \dots& \ddot{f}_k\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\
\dot{f}^{k-1}_1&\dot{f}^{k-1}_2& \dots& \dot{f}^{k-1}_k\\
\end{array}
\right]
$$
\begin{definition}Wyznacznikiem Wro�skiego uk�adu funkcji $\{f_1, \dots, f_n  \}$ nazywamy $\det R(t,t_0) = W(t)$
\end{definition}
Z twierdzenia Lioville'a $W(t) = e^{\int^{t}  _{t_0} Tr A(t) dt} =  e^{\int^{t}  _{t_0} a_{k-1}(t)dt}$  
\begin{example}Niech      $k=2$   $\ddot{x}(t)=a_0(t)x(t)+a_1(t)\dot(x)(t)$.   
Przypu��my, �e $f_1$ jest rozwi�zaniem powy�szego r�wnania.   Jak znale�� $f_2$?
$$
W(t) = det
\left[
\begin{array}{cc}
f_1 & f_2 \\
\dot{f}_1 & \dot{f}_2
\end{array}
\right] = 
f_1(t)\dot{f}_2(t)-\dot{f}_1(t)=e^{\int^{t}  _{t_0} a_{1}(t)dt} 
$$ i jest to skalarne liniowe niejednorodne r�wnanie pierwszego rz�du na funkcj� $f_2$. 
\end{example}

Om�wimy teraz  r�wnania r�niczkowe skalarne ze wsp�czynnikami: $a_0, a_1, \dots , a_{k-1}$ kt�re nie s� zale�ne od t.  

Zast�pujemy \begin{equation}\label{eqlin1} x^k(t)=\sum^{k-1}_{i=0} x_i(t)a_i\end{equation}
r�wnaniem wektorowy:
$$\frac{d}{dt}\overrightarrow{v}=
\left[
\begin{array}{ccccccc}
0&1&0&0&0&\dots& \\
0&0&1&0&0&\dots& \\
\vdots&0&0&1&0&\dots& \\
&\vdots&0&0&1&& \\
&&\vdots&\vdots&&\ddots&\\
a_0&a_1&a_2&a_3&\dots&\dots&a_{k-1}
\end{array}
\right] \overrightarrow{v}(t)$$
Aby policzy� $R(t,t_0) = e^{(t-t_0)A}$ musimy zna� wielomian charakterystyczny. 

\begin{lemma} 
$W_A(\lambda)=(-1)^k (\lambda^{k}-a_0-a_1\lambda- \dots a_{k-1}\lambda^{k-1})$
\end{lemma}
\begin{proof}
Dow�d: $k=2$   $$W_A(\lambda)=det
\left[
\begin{array}{cc}
-\lambda&1 \\
a_0&a_1-\lambda
\end{array}
\right] = \lambda^{2} -a_1 \lambda -a_0
$$ krok indukcyjny $k-1 \longrightarrow k$ 
\[\begin{split} \det
&\left[
\begin{array}{ccccccc}
-\lambda&1&0&0&0&\dots& \\
0&-\lambda&1&0&0&\dots& \\
\vdots&0&-\lambda&1&0&\dots& \\
&\vdots&0&-\lambda&1&& \\
&&\vdots&\vdots&&\ddots&\\
a_0&a_1&a_2&a_3&\dots&\dots&a_{k-1}-\lambda
\end{array}
\right] =\\&-\lambda \det
\left[
\begin{array}{ccccccc}
-\lambda&1&0&0&0&\dots& \\
0&-\lambda&1&0&0&\dots& \\
\vdots&0&-\lambda&1&0&\dots& \\
&\vdots&0&-\lambda&1&& \\
&&\vdots&\vdots&&\ddots&\\
 a_1&a_2&a_3&\dots&\dots&a_{k-1}-\lambda
\end{array}
\right] +a_0 (-1)^{k+1}
\end{split}\] 
gdzie skorzystali�my z rozwini�cia Laplace'a wzgl�dem  pierwszej kolumny. Za�o�enie indukcyjne daje tez� twierdzenia. 
\end{proof}
\begin{definition} R�wnanie\[\lambda^{k}-a_0-a_1\lambda- \dots a_{k-1}\lambda^{k-1}=0\]
nazywamy r�wnaniem charakterystycznym r�wnania \eqref{eqlin1}
\end{definition}

 
Zauwa�my, �e funkcja $e^{\lambda t}$ spe�nia \eqref{eqlin1} 
wtedy i tylko wtedy gdy $\lambda$  jest pierwiastkiem r�wnania charakterystycznego. 

\begin{example} Rozwa�my r�wnanie  $\ddot{x}=3\dot{x}+2x=0$ i sprawd�my kiedy $x(t)=e^{\lambda t}$ je spe�nia 
\[e^{\lambda t}(\lambda^2-3\lambda +2) = 0\] Daje
$(\lambda-1)(\lambda-2)=0$. W takim razie 
RORJ $\ddot{x}-3\dot{x} +2x=0$ jest postaci $x(t)=Ae^{2t}+Be^{t} $
\end{example}
\section{Wyk�ad 26.04.2016 r.}
R�wnanie liniowe jednorodne rz�du $k$  o sta�ych wsp�czynnikach  $a_i\in\mathbb{R}$:
\begin{equation}
x^{(k)}(t)=\sum_{j=0}^{k-1}a_ix^{(i)}(t) 
\label{eqn:wzor 1}
\end{equation}
\[x^{(i)}=\frac{d^{j}x}{dt^{i}}\]
zast�pujemy r�wnanie wektorowym pierwszego rz�du 
\[\frac{d\vec{v}}{dt}=A\vec{v}\]
\[\vec{v}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{k}\]
\[R(t,t_0)=e^{(t-t_0)A}\]
\[\vec{v}=e^{(t-t_0)A}\vec{v_0}\]
\\
\[A=
\left[
\begin{array}{ccccccc}
0&1&0&0&0&\dots& \\
0&0&1&0&0&\dots& \\
\vdots&0&0&1&0&\dots& \\
&\vdots&0&0&1&& \\
&&\vdots&\vdots&&\ddots&\\
a_0&a_1&a_2&a_3&\dots&\dots&a_{k-1}
\end{array}
\right]\]
\\Wielomian charakterystyczny macierzy $A$: \[W_A(\lambda)=det(A-\lambda I)=(-1)(\lambda^{k}-a_0-a_1\lambda- ... -a_{k-1}\lambda^{k-1}).\]
\\
Niech $\lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_k$ b�d� pierwiastkami $W_A(\lambda)$. Wtedy fundamentalny uk�ad rozwi�za� R�wnania \ref{eqn:wzor 1} ma nast�puj�c� posta�:
\\
\\(1) Je�li $\lambda_j\in\mathbb{R}$ oraz krotno�� $\lambda_j$ jest r�wna $n_j\in\mathbb{N}$, to taki pierwiastek prowadzi do $n_j$ niezale�nych rozwi�za�: \[{{e^{\lambda_jt},te^{\lambda_jt}, ... , t^{n_{j}-1}e^{\lambda_jt}}}\]
\\
\\(2) Je�li $\lambda_j\in\mathbb{C}\backslash\mathbb{R}$ ($\lambda_j=p_j+q_j$) to $\bar{\lambda_j}$ te� jest pierwiastkiem $W_A(\lambda)$. Wtedy $\lambda_j$ prowadzi do $2n_j$ niezale�nych rozwi�za�:
\\${{e^{p_jt}cos(q;t),te^{p_jt}cos(q;t), ... , t^{n_{j}-1}e^{p_jt}cos(q;t), e^{p_jt}sin(q;t),te^{p_jt}sin(q;t), ... , t^{n_{j}-1}e^{p_jt}sin(q;t)}}$
\\
\begin{example}
Przypu��my, �e  $W_A(\lambda)=(\lambda^{2}-2\lambda+2)^2(\lambda-2)(\lambda-3)^2$.
Rozwi�zanie og�lne odpowiedniego r�wnania r�niczkowego ma posta�: 
\\
\\$x(t)=A_1e^{2t}(A_2+tA_3)e^{3t}+(A_4+tA_5)e^tcos(t)+(A_6+tA_7)e^tsin(t)$.
\end{example}
Metoda uzmienniania sta�ych dla r�wna� linowych niejednorodnych rz�du~$k$:
\begin{equation}
x^{(k)}(t)=\sum_{j=0}^{k-1}a_ix^{(i)}(t)+b(t)
\label{wzor 2}
\end{equation}
Odpowiednie r�wnanie pierwszego rz�du:
\\
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\overrightarrow{v}(t)=At \overrightarrow{v}(t)+\bar{b}(t), 
\label{wzor 3}
\end{equation}
gdzie: 
\\
\[A=
\left[
\begin{array}{ccccccc}
0&1&0&0&0&\dots& \\
0&0&1&0&0&\dots& \\
\vdots&0&0&1&0&\dots& \\
&\vdots&0&0&1&& \\
&&\vdots&\vdots&&\ddots&\\
a_0(t)&a_1(t)&a_2(t)&a_3(t)&\dots&\dots&a_{k}(t)
\end{array}
\right]\]
\\
\\$$\overrightarrow{v_i}=
\left[
\begin{array}{c}
f_i\\\ \dot{f_i} \\\vdots\\f_i^{(k-1)}
\end{array}\quad
\right] 
\bar{b}(t)=
\left[
\begin{array}{c}
0\\\ 0 \\\vdots\\b(t)
\end{array}
\right]$$
\\
\\$R(t)=
\left[
\begin{array}{ccccccc}
f_1&\dots&\dots&f_k& \\
\dot{f_1}&\dots&\dots&\dot{f_k}& \\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \\
f_1^{(k-1)}&\dots&\dots&f_{k}^{(k-1)}
\end{array}
\right]$
\\
\\Metoda uzmienniania sta�ych dla R�wnania \ref{wzor 3}:
\\$\vec{v}(t)=R(t)\vec{v_0}(t)$,  gdzie: $$\overrightarrow{v_0}=
\left[
\begin{array}{c}
c_1(t)\\\ c_2(t) \\\vdots\\c_k(t)
\end{array}
\right]$$
\\
\[R(t)=
\left[
\begin{array}{ccccccc}
f_1&\dots&\dots&f_k& \\
\dot{f_1}&\dots&\dots&\dot{f_k}& \\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \\
f_1^{(k-1)}&\dots&\dots&f_{k}^{(k-1)}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{c_1}\\\ \dot{c_2} \\\vdots\\\dot{c_k}
\end{array}
\right]
= \left[
\begin{array}{c}
0\\\ 0 \\\vdots\\b(t)
\end{array}
\right]\]
\\
\\Podsumowuj�c RSRNJ (R�wnanie \ref{wzor 2}) szukamy w postaci:
\[x_s(t)=c_1(t)f_1(t)+c_2(t)f_2(t)+ ... +c_k(t)f_k(t),\]
gdzie szukane funkcje $c_1, ... c_k$ spe�niaj� uk�ad r�wna�:
$\begin{cases}
f_1(t)\dot{c_1}(t)+ ... +f_k(t)\dot{c_k}(t)=0\\
\dot{f_1}(t)\dot{c_1}(t)+ ... +\dot{f_k}(t)\dot{c_k}(t)=0\\
\ddot{f_1}(t)\dot{c_1}(t)+ ... +\ddot{f_k}(t)\dot{c_k}(t)=0\\
\vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad  \vdots \qquad \vdots \qquad \\
f_1^{(k-1)}(t)\dot{c_1}(t)+ ... +f_k^{(k-1)}(t)\dot{c_k}(t)=b(t)\\
\end{cases}$
\begin{example}
Znale�� RORNJ:
\begin{equation}
t^2\ddot{x}+2\dot{x}+\frac{1-2t}{t^2}x=\frac{1}{t^3} ,
\label{wzor 4} 
\end{equation}
gdzie $t>0$
\begin{equation}
\ddot{x}(t)=\frac{2t-1}{t^4}x-\frac{2}{t^2}\dot{x}+\frac{1}{t^5}
\label{wzor 5} 
\end{equation}
Wersja jednorodna:
\begin{equation}
\ddot{x}(t)=\frac{2t-1}{t^4}x-\frac{2}{t^2}\dot{x}
\label{wzor 6} 
\end{equation}
Sprawdzi�, �e $x(t)=e^{\frac{1}{t}}$ jest rozwi�zaniem.
\\Maj�c jedno z rozwi�za� $x_1(t)$, drugie znajdujemy korzystaj�c ze wzoru Liouville'a. 
\\
\\$det\left[
\begin{array}{cc}
x_1&x_2 \\
\dot{x_1}&\dot{x_2} \\
\end{array}
\right]=exp\int_{t_0}^{t}(\frac{-2}{s^2})ds=exp(\frac{2}{t})exp(\frac{-2}{t_0})=Ae^{\frac{2}{t}}$
\[\dot{x_1}=-\frac{1}{t^2}e^{\frac{1}{t}}\]
\\R�wnanie r�niczkowe na funkcj� $x_2$:
\[e^{\frac{1}{t}}\dot{x_2}(t)+\frac{1}{t^2}e^{\frac{1}{t}}x_2(t)=Ae^{\frac{2}{t}}\].
\\
\\Dalej k�adziemy $A=1$. R�wnanie liniowe niejednorodne na $x_2(t)$:
\[\dot{x_2}(t)+\frac{1}{t^2}x_2(t)=e^{\frac{1}{t}}\]
\[RJ: \dot{x_2}(t)=-\frac{1}{t^2}x_2(t)\:\Rightarrow\: \int{\frac{dx}{x}}=-\int{\frac{dt}{t^2}}\:\Rightarrow\: log|x_2(t)|=\frac{1}{t}+c\: \Rightarrow x_2=Be^{\frac{1}{t}}\]
\[RNJ: x_2(t)=B(t)e^{\frac{1}{t}}\]
\[\dot{x_2}=\frac{1}{e^t}\dot{B}-\frac{1}{t^2}e^{\frac{1}{t}}B\]
\[e^{\frac{1}{t}}\dot{B}-\frac{1}{t^2}e^{\frac{1}{t}}B+\frac{1}{t^2}Be^{\frac{1}{t}}=e^{\frac{1}{t}}\]
\[\dot{B}=1, B=t\]
\\Ostatecznie RORJ (dla R�wnania \ref{wzor 6}) ma posta�: \[x(t)=c_1e^{\frac{1}{t}}+c_2te^{\frac{1}{t}}.\]
\\RSRNJ poszukujemy w postaci: \[x(t)=c_1(t)e^{\frac{1}{t}}+c_2(t)te^{\frac{1}{t}}\]
\[e^{\frac{1}{t}}\dot{c_1}+te^{\frac{1}{t}}\dot{c_2}=0\]
\[-\frac{1}{t^2}e^{\frac{1}{t}}\dot{c_1}+(1-\frac{1}{t})e^{\frac{1}{t}}\dot{c_2}=\frac{1}{t^5}\]
\\$\left[
\begin{array}{cc}
e^{\frac{1}{t}}&te^{\frac{1}{t}} \\
\-\frac{1}{t^2}e^{\frac{1}{t}}&(1-\frac{1}{t})e^{\frac{1}{t}} \\
\end{array}\right]^{-1}=e^{-\frac{2}{t}}\left[\begin{array}{cc}
(1-\frac{1}{t})e^{\frac{1}{t}}&-te^{\frac{1}{t}} \\
\frac{1}{t^2}e^{\frac{1}{t}}&e^{\frac{1}{t}}\\
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
(1-\frac{1}{t})e^{-\frac{1}{t}}&-te^{-\frac{1}{t}} \\
\frac{1}{t^2}e^{-\frac{1}{t}}&e^{-\frac{1}{t}} \\
\end{array}\right]$
Po pomno�eniu przez $\left[\begin{array}{c}0 \\ \frac{1}{t^5} \end{array}\right]$ otrzymujemy:
$\left[\begin{array}{c}\dot{c_1}\\ \dot{c_2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{t^4}e^{-\frac{1}{t}} \\ \frac{1}{t^5}e^{-\frac{1}{t}} \end{array}\right].$
\[c_1=-\int{\frac{1}{t^4}e^{-\frac{1}{t}}}dt, \:s=\frac{1}{t}, ds=-\frac{1}{t^2}dt\]
\[c_1=\int{s^2e^{-s}}ds=-s^2e^{-s}+2\int{se^{-s}}=-s^2e^{-s}-2{se^{-s}}+2\int{e^{-s}}=(-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}-2)e^{-\frac{1}{t}}\]
\\$c_2$ liczymy podobnie:
\[c_2=-\int{s^3e^{-s}}=-(-s^3e^{-s}+3\int{s^2e^{-s}})=\]
\[=-(-s^3e^{-s}-3s^2e^{-s}+6\int{se^{-s}})=-(-s^3e^{-s}-3s^2e^{-s}-6{se^{-s}}-6e^{-s})=\]
\[=\frac{1}{t^3}e^{-\frac{1}{t}}+3\frac{1}{t^2}e^{-\frac{1}{t}}+6\frac{1}{t}e^{-\frac{1}{t}}+6e^{-\frac{1}{t}}.\]
\\RORNJ = RORJ + RSRNJ
\[Ae^{\frac{1}{t}}+Bte^{\frac{1}{t}}+(-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}-2)e^{-\frac{1}{t}}+\frac{1}{t^3}e^{-\frac{1}{t}}+3\frac{1}{t^2}e^{-\frac{1}{t}}+6\frac{1}{t}e^{-\frac{1}{t}}+6e^{-\frac{1}{t}}=\]
\[=Ae^{\frac{1}{t}}+Bte^{\frac{1}{t}}+(\frac{1}{t}+6t+4)e^{-\frac{1}{t}}\]
\end{example}
\paragraph{Ca�ka Riemanna w $\mathbb{R}^m$}
\begin{definition}
Kostk� (przedzia�em) w $\mathbb{R}^m$ nazywamy zbi�r $D\subset\mathrm{R^m}$ postaci $D=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times \dots \times[a_m,b_m]$.
\\Miar� takiej kostki $D$ nazywamy liczb�: \[m(D)=\prod_{i=1}^{m}(b_i-a_i)>0.\]
\end{definition}
\begin{definition}
Niech $\pi_1, \pi_2, \dots, \pi_m$ b�d� podzia�ami odcink�w $[a_1,b_1], [a_2,b_2], \dots, [a_m,b_m]$ odpowiednio. Podzia�em $\pi$ kostki $D$ zadanym przez ($\pi_1, \pi_2, \dots, \pi_m$ nazywamy kolekcj� kostek zawartych w $D$ postaci $P_1\times P_2\times \dots \times P_m$, gdzie $P_j\in\pi_j$. 
Zbi�r podzia��w kostki oznaczamy $ D$ oznaczamy $T\setminus(D)$. Je�li $\pi=\cup_k D_k$ jest podzia�em $D$, to $m(D)=\sum_k m(D_k)$.
\end{definition}

\begin{definition}
Niech  $f:D^k\rightarrow\mathbb{R}$ b�dzie funkcj� ograniczon� oraz $\cup_kD_k$ b�dzie podzia�em kostki D. Suma g�rna funkcji ze wzgl�du na podzia� $\pi$, $D=\cup{D_k}$ jest oznaczana symbolem $\bar{S}(\pi, f)$, gdzie: \[\overline{S}(f, \pi)=\sum_k \sup_{x\in D_k}f(x)m(D_k).\] Podobnie definiujemy sum� doln�: \[\underline{S}(f, \pi)=\sum_k \inf_{x\in D_k}f(x)m(D_k)\].
\\Ca�k� g�rn� definiujemy nast�puj�co: \[\overline{S}_Df=\inf_{\pi\in\pi(D)}\overline{S}(f, \pi).\]
\\Podobnie definiujemy ca�k� doln�: \[\underline{S}_Df=\sup_{\pi\in\pi(D)}\underline{S}(f, \pi).\]
\\M�wimy, �e funkcja ograniczona $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ jest ca�kowalna w sensie Riemanna, je�li:
\[\overline{\int_D}f=\underline{\int_D}f.\]
\\W�wczas piszemy: \[\int_D=\overline{\int_D}f=\underline{\int_D}f.\] Zbi�r takich funkcji oznaczamy: $\mathbb{R}(D)$.
\end{definition}
\begin{theorem}\ \\
(0) Je�li $f=c$, to $f\in\mathbb{R}(D)$ i $\int_Df=cm(D)$.
\\(1) Je�li $f\in\mathbb{R}(D)$ i $c\in\mathbb{R}$, to $cf\in\mathbb{R}(D)$ oraz $\int_Dcf=c\int_Df$.
\\(2)Je�li $f, g\in\mathbb{R}(D)$, to $f+g\in\mathbb{R}(D)$ i $\int_D(f+g)=\int_Df+\int_Dg$.
\\(3)Je�li $f, g\in\mathbb{R}(D)$ i~$f\underline{<}g$ to $\int_Df\underline{<}\int_Dg$.
\end{theorem}
\begin{definition}
Niech $A\subset \mathbb{R}^m$. M�wimy, �e $A$ jest miary zero w sensie Lebesgue'a je�li $\forall_{\varepsilon>0}$ istnieje ci�g kostek $\{D_i: i\in\mathbb{N}\}$, taki �e $A\subset \cup_{i\in\mathbb{N}}D_i$ oraz $\sum_{i\in\mathbb{N}}m(D_i)<\varepsilon$.
\end{definition}

\section{Wyk�ad 29.04.2016r.}
A $\subset\mathbb{R}^{m}$ jest miary Lebesgue'a zero (miary zero) je�li $\forall_{\epsilon>0}\exists(D_{k})_{k\in\mathbb{N}}$ t.�e $A\subset\bigcup\limits_{k} D_{k}$ oraz $\sum\limits_{k\in\mathbb{N}}m(D_{k})<\epsilon $.
\begin{proposition}
\begin{enumerate}
\item Je�li $A$ jest miary zero oraz $A_{1}\subset A$ to $A_{1}$ jest miary zero.
\item Je�li $E_{i}\quad i=1,2,3...$ s� miary zero to $\bigcup\limits_{i\in\mathbb{N}}E_{i}$ jest miary zero.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Oczywiste.
\item Wybieramy $\epsilon>0.\quad\forall i\quad$wybieramy ci�g kostek $D_{i,j} \quad j=1,2,3,...$ t.�e $E_{i}\subset\bigcup\limits_{i,j} D_{i,j}$ oraz $\sum\limits_{j\in\mathbb{N}} m(D_{i,j})<\dfrac{\epsilon}{2^i}\\
\lbrace D_{i,j} \quad i,j\in \mathbb{N}\rbrace -$przeliczalna liczba kostek\\ $\bigcup\limits_{i\in\mathbb{N}} E_{i} \subset\bigcup\limits_{i,j} D_{i,j}$ oraz $\sum\limits_{i,j\in\mathbb{N}} m(D_{i,j})=\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}m(D_{i,j})<\sum\limits_{i=1}^{\infty}\dfrac{\epsilon}{2^i}=\epsilon$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{definition}
Niech $A\subset \mathbb{R}^m$, $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ i $x_{0}\in A$.\\
Liczb� $\lim\limits_{r\rightarrow 0}(\sup\limits_{x\in K(x_{0},r)\cap A} f(x)- \inf\limits_{x\in K(x_{0},r)\cap A} f(x))$ nazywamy wahaniem funkcji $f$ w punkcie $x_{0}\in A$ i oznaczamy symbolem $w(f,x_{0})$.
\end{definition}
\begin{remark}
Funkcja $f$ jest ci�g�a w $x_{0}\in A \Leftrightarrow w(f,x_{0})=0$.
\end{remark}
\begin{proposition}
 Niech $A\subset \mathbb{R}^m$ b�dzie podzbiorem domkni�tym, \\$f:A\rightarrow\mathbb{R}$ i $\epsilon>0$. W�wczas $ A_{ \epsilon }=\lbrace x\in A: w(f,x)\geqslant\epsilon\rbrace$ jest domkni�ty w $\mathbb{R}^{m}$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Udowodnimy,�e $\mathbb{R}^{m} \backslash A_{\epsilon} $ jest otwarty. W tym celu we�my $x\in A$ ,t.�e $w(f,x)<\epsilon$.\\
Istnieje $r>0$ t.�e $$ \sup_{y\in K(x,r)\cap A} f(y)-\inf_{y\in K(x,r)\cap A} f(y) <\epsilon$$
Niech $\tilde{y} \in K(x,r)\cup A$.\\ We�my $\vec{r}=r-\Vert x- \tilde{y} \Vert$.\\
Zauwa�my, �e $K(\tilde{y}, \tilde{r})\subset K(x,r)$. Zatem $$ \sup_{y\in K(\tilde{y},\tilde{r})\cap A} f(y)-\inf_{y\in K(\tilde{y},\tilde{r})\cap A} f(y) \leq  \sup_{y\in K(x,r)\cap A} f(y)-\inf_{y\in K(x,r)\cap A} f(y)  <\epsilon$$.\\
A wi�c $ w(f,y)<\epsilon \Rightarrow y\in \mathbb{R}^{m}\backslash A_{\epsilon}$
\end{proof}
\begin{proposition}\label{prop125}
Niech $D$ b�dzie kostk� w $\mathbb{R}^{m}$ oraz $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ -ograniczone. Przypu��my, �e $\forall_{x\in D}w(f,x)<\epsilon$. W�wczas istnieje podzia� $\pi\in\prod(D)$ t.�e $\bar{S}(\pi,f)-\underline 
S(\pi,f)<\epsilon m(D)$.
\end{proposition}
\begin{proof}
$\forall_{y\in D} \exists r_{y}
 \sup\limits_{x \in K(y,r_{y})\cap D} f(x) - \inf\limits_{ x \in K(y,r_{y})\cap D} f(x) <\epsilon.\\ D\subset\bigcup\limits_{y\in D}
K(y,r_{y})$. Zbi�r $D$ jest zwarty a wi�c $\exists_{y_{1},\ldots,y_{n}\in D}$ t.�e $D\subset \bigcup\limits_{i=1}^{n} K(y_{i}, r_{y_{i}})$.
Istnieje podzia� $\Pi$ zbioru $D$ t.�e $\forall_{D_{k} \in \prod}$ istnieje $i_{k}:D_{k}\subset K(y_{i_{k}}, r_{y_{i_{k}}})$.
W�wczas $\overline{S}(\pi, f)-\underline{S}(\pi,f)=\sum\limits_{k}(\sup\limits_{x \in  D_{k}} f(x) - \inf\limits_{ x \in  D_{k}} f(x))m(D_{k})\stackrel{D_{k}\subset K(...,...)}{\leqslant}\epsilon\sum\limits_{k} m(D_{k})=\epsilon m(D)$.
\end{proof}
\begin{theorem} 
Niech $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ b�dzie funkcj� ograniczon� na kostce $D\subset\mathbb{R}^{m}$. W�wczas $f$ jest funkcj� ca�kowaln� w sensie Riemanna na $D$ wtedy i tylko wtedy  zbi�r punkt�w nieci�g�o�ci funkcji $f$ jest miary zero w sensie Lebesgue'a.
\end{theorem}
\begin{proof}
Przypu��my, �e $f$ jest ca�kowalna. Niech $n\in\mathbb{N}$. Rozwa�my $A_{k}=\lbrace x\in D:w(f,x)\geqslant\dfrac{1}{n}\rbrace \subset D$ -domkni�te. Niech  $A$ b�dzie  zbiorem punkt�w nieci�g�o�ci $f$. W�wczas   $A=\bigcup \limits_{n} A_{n}$. Wystarczy wi�c pokaza�, �e zbi�r $A_{n}$ jest miary zero w sensie Lebesque'a. 
We�my $\epsilon>0$. Istnieje podzia� \[\pi=\lbrace D_{k} 
:k=1,\ldots, N\rbrace\] t.�e $ \overline{S} (\pi,f)- \underline{S} (\pi,f)<\dfrac{\epsilon}{n}$.\\
Niech $D_{i}^{0}$ b�d� kostkami z podzia�u $\pi$, kt�re przecinaj� si� ze zbiorem $A_{n}$.
Zauwa�my \[\begin{split} \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i} m(D_{i}^{0})&\leqslant \sum\limits_{i} (\sup\limits_{x\in D_{i}^{0}} f(x)- \inf\limits_{x\in D_{i}^{0}}
f(x)) m(D_{i}^{0})\\ &\leqslant \sum\limits_{k} (\sup\limits_{x\in D_{k}} f(x)- \inf\limits_{x\in D_{k}} f(x))=\overline{S} (\pi,f)- \underline{S} (\pi,f)\leqslant \dfrac{\epsilon}{n} .\end{split}\]
Widzimy wi�c , �e 
\begin{enumerate}
\item $ A_{n} \subset \bigcup\limits_{i} D_{i}^{0}$
\item $\sum m(D_{i}^{0}) \leqslant\epsilon $ 
\end{enumerate}
a wi�c  $A_{n}$ jest zbiorem miary zero i $A$ jest zbiorem miary zero. 

 W drug� stron�:  
$A$ jest zbiorem miary zero zatem $A_{n}$  r�wnie�. Istnieje wi�c kolekcja kostek $D_{i}$, kt�ra jest sko�czona  (bo zbi�r $A_{n}$ jest zwarty) pokrywaj�ca $A_n$, i  taka �e $$\sum\limits_{i=1}^{k} m(D_{i}) < \dfrac{1}{n}.$$
Dodatkowo $D_{i}$ mo�na wybra� tak aby by�y one elementami pewnego podzia�u $\pi$ kostki $D$ $$\pi=\lbrace D_{1}, D_{2}, \ldots, D_{k}, D_{1}^{'}, D_{2}^{'}, \ldots,D_{l}^{'
}\rbrace .$$
Zauwa�my, �e $D'_i\cap A_n = \emptyset$ w takim razie $$ w(f;x) <\dfrac{1}{n} $$ dla $x\in D_i'$. Mo�na wi�c na mocy Stwierdzenia \ref{prop125} znale�� podzia� $\pi_i''\in\Pi(D_i')$ taki, �e 
\[\bar{S}_i(\pi_i'',f)-\underline 
S_i(\pi_i'',f)<\frac{1}{n} m(D_i')\]gdzie $\bar{S}_i(\pi_i'',f)$ oznacza sum� g�rn� a $\underline 
S_i(\pi_i'',f)$ sum� doln� dla przedzia�u $D_i'$ oraz $1\geq i\leq l$. Zatem mo�na  wskaza� podzia�  $\pi'$ taki, �e na  $D_i'$ jest on drobniejszy od $\pi_i''$. Dla podzia�u $\pi'$ mamy
\[\sum_{i=1}^{l}\sum_{P\subset D_i'}\sup_{x\in P}f(x)m(P)-\sum_{i=1}^{l}\sum_{P\subset D_i'}\inf_{x\in P}f(x)m(P)<\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{l}m(D_i')\] 
Poza tym skoro $f$ jest funkcj� ograniczon� to $\exists_{M} \sup\limits_{x\in D_{i}} f(x)-\inf\limits_{x\in D_{i}} f(x) <M$ dla wszystkich $i=1,2,\ldots,k$. Z tych oszacowa�
\[
\overline{S} (\pi',f) - \underline{S} (\pi',f)<(\frac{M}{n}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{l}m(D_k')\leq (\frac{M}{n}+m(D))\frac{1}{n}\]
\end{proof}
 \section{Wyk�ad 17.05.2016}
\begin{theorem}
 Niech $D \subset \mathbb{R}^{m}$ oraz $f:D\longrightarrow \mathbb{R}$ ograniczona.
 $f$ jest ca�kowalna w sensie Riemanna $\Leftrightarrow$ zbi�r punkt�w nieci�g�o�ci funkcji $f$ jest miary zero w sensie Lebesgue'a.
\end{theorem}
\begin{example}
Niech $A = \left\{ \begin{array}{lc}
(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}: & x\geqslant0, y\geqslant 0, z\geqslant 0\\
 & x+y+z\leqslant 1\\
\end{array} \right\}$
  oraz $f: A\longrightarrow \mathbb{R}$
\begin{displaymath}
 f(x,y,z)=(1+x+y+z)^{-3}
\end{displaymath}
Obliczy� $ \displaystyle \int\limits_A \!\! f$.
\end{example}
\begin{remark}
 $A$ nie jest kostk�. Jak ca�kowa� funkcje po zbiorach nie b�d�cych kostkami? Og�lniej: po jakich zbiorach mo�na ca�kowa�?
\end{remark}
\begin{remark}
 Jak liczy� $ \displaystyle \int\limits_A \!\! f$? Tw. Fubiniego $\rightsquigarrow$ ca�ki iterowane.
\end{remark}
Ca�k� $ \displaystyle \int\limits_A \!\! f$ zamieniamy na ca�k� iterowan�. \newline \newline
\[\begin{split}
& \displaystyle \int\limits_A \!\! f \overset{\mathrm{Tw. Fubiniego}}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=}
 \displaystyle \int\limits_0^1 \!\! dx \displaystyle \int\limits_0^{1-x} \!\! dy \displaystyle \int\limits_0^{1-x-y} \!\! (1+x+y+z)^{-3} dz = \\
=& \displaystyle \int\limits_0^1 \!\! dx\displaystyle \int\limits_0^{1-x} \!\! dy (-\frac{1}{2})(1+x+y+z)^{-2} \Big|_0^{1-x-y} =  
\displaystyle \int\limits_0^1 \!\! dx\displaystyle \int\limits_0^{1-x} \!\! dy (-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} (1+x+y)^{-2})=\\
=&(-\frac{1}{8})\displaystyle \int\limits_0^1 \!\! dx\displaystyle \int\limits_0^{1-x} \!\! dy + \frac{1}{2} \displaystyle \int\limits_0^1 \!\! dx\displaystyle \int\limits_0^{1-x} \!\! dy
(1+x+y)^{-2} =\\ =& (-\frac{1}{8}) \displaystyle \int\limits_0^1 \!\! dx (1+x) + \frac{1}{2}\displaystyle \int\limits_0^1 \!\! dx (-1)(1+x+y)^{-1} \Big|_0^{1-x}=\\
=&(-\frac{1}{8})(x-\frac{x^2}{2})\Big |_0^1-\frac{1}{2} \displaystyle \int\limits_0^1 \!\! (\frac{1}{2} -(1+x)^{-1}) dx=
-\frac{1}{16} -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\ln{2} - \frac{5}{16}\\
\end{split} \]
\newline
Po jakich zbiorach mo�na ca�kowa�?
\begin{notation}
 \begin{itemize}
  \item $A \subset D \subset \mathbb{R}^{m}$. Funkcja charakterystyczna zbioru A \newline
  $\chi_A : \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R} \ $  t.�e  $ \ \chi_A(x)=\left\{ \begin{array}{lc}
1&x\in A\\
0 & x\notin A\\
\end{array} \right.  $
\item $A\subset \mathbb{R}^{m}$:
\begin{itemize}
\item domkni�cie $\bar{A}$ - najmniejszy zbi�r domkni�ty zawieraj�cy $A$,
\item wn�trze $Int(A)$-najwi�kszy zbi�r otwarty zawarty w $A$,
\item brzeg $A \ $, $ \partial A= \bar{A}\backslash Int(A)$
 \end{itemize}
 \end{itemize}
\end{notation}
\begin{remark}
 Niech $A\subset \mathbb{R}^{m}$. W�wczas zbi�r punkt�w nieci�g�o�ci funkcji $\chi_A$ jest r�wny $\partial A$.
\end{remark}
\begin{corollary}
 $A \subset D \subset \mathbb{R}^{m}$ to $\chi_A$ jest ca�kowalna w sensie Riemanna ($\chi_A \in R(D)$) $\Leftrightarrow \partial A$ jest miary zero
 w sensie Lebesgue'a.
\end{corollary}
\begin{definition}
 Niech $A\subset \mathbb{R}^{m}$. M�wimy, �e $A$ jest Jordanowsko mierzalny je�li $\partial A$ jest miary zero (J-mierzalny).
\end{definition}
\begin{proposition}
 Niech $A\subset \mathbb{R}^{m}$. W�wczas $A$ jest J-mierzalny   $\Leftrightarrow \forall f \in R(D)$ iloczyn $\chi_A  f \in R(D)$.
\end{proposition}
\begin{definition}
 Niech $A \subset D$ b�dzie zbiorem J-mierzalnym. Ca�k� po $A$ z funkcji $f \in R(D)$ definiujemy wzorem $\displaystyle \int\limits_D \!\! \chi_A  f$
 i oznaczamy $\displaystyle \int\limits_A \!\! f$.
\end{definition}
\begin{proof}
 $\Rightarrow$ Zbi�r punkt�w nieci�g�o�ci $ \chi_Af $ jest zawarty w sumie mnogo�ciowej zbioru punkt�w nieci�g�o�ci $f$ i $\partial A$. Jest wi�c zbiorem 
 miary zero.  W szczeg�lno�ci $\chi_A f \in R(D)$. \newline
 $\Leftarrow$ We�my $f(x) = 1$  $ \forall x \in D, f \in R(D)$, $f\chi_A = \chi_A \in R(D)$. W szczeg�lno�ci $\partial A$ ma miar� zero, a wi�c $A$
 jest J-mierzalny.
\end{proof}
\begin{theorem}
 Niech $A\subset \mathbb{R}^{m}$. Przypu��my, �e $\partial A$ jest lokalnie wykresem ci�g�ego odwzorowania z $\mathbb{R}^{m-n}$ do $\mathbb{R}^{n}$.
 W�wczas $A$ jest J-mierzalny.
\end{theorem}
\begin{proof}
 Niech $D'$ b�dzie kostk� w $\mathbb{R}^{m-n}$ oraz $F:D'\longrightarrow \mathbb{R}^{n}$. Wykres $Gr(F) \in \mathbb{R}^{m}$, gdzie
 \[Gr(F) = \{(x, F(x)) \in \mathbb{R}^{m} : x \in D\}\]
Notacja: $x=(x_1, \dots, x_{m-n}) \in \mathbb{R}^{m-n}, \delta > 0 $. Definujemy \[[x-\delta, x+ \delta] = [x_1 - \delta, x_1+\delta] \times \dots \times [x_{m-n} - \delta, x_{m-n} + \delta]\]

$ F$ na $D'$ jest jednostajnie ci�g�a: $\forall \varepsilon >0 \exists \delta>0$ t.�e. $F([x-\delta,x+\delta]) \subset [F(x)-\varepsilon, F(x) +\varepsilon]$
W szczeg�lno�ci $Gr(F)$ nad $[x-\delta, x+ \delta]$ jest zawarty w $[x- \delta, x+ \delta] \times [F(x)-\varepsilon, F(x)+\varepsilon]$. W szczeg�lno�ci
miara $Gr(F)$ nad $[x-\delta, x+\delta]$ jest mniejsza r�wna $(2\delta)^{m-n} (2\varepsilon)^n$. Zatem miara $Gr(F)$ nad $D'$ jest mniejsza r�wna 
$m(D')2\varepsilon^n$ i widzimy, �e $Gr(F)$ ma miar� zero w sensie Lebesgeu'a.
\end{proof}
\begin{example}
 $K(0,1)$ jest zbiorem J-mierzalnym.
\end{example}
\begin{theorem}
 Niech $D_1\subset \mathbb{R}^m$, $D_2\subset \mathbb{R}^n$ oraz $D=D_1 \times D_2 \subset \mathbb{R}^{n+m}$ -kostki, i niech
 $f \in R(D)$. Rozwa�my funkcj� $\varphi,\psi : D_1 \longrightarrow \mathbb{R}$, gdzie $\varphi(x)=\displaystyle \int\limits_{\overline{D_2} }  \!\! f(x, \cdot)$ oraz 
 $\psi(x)=\displaystyle \int\limits^{-\joinrel-}_{D_2}\!\! f(x, \cdot)$.  
 W�wczas $\varphi,\psi \in R(D_1)$ oraz $ \displaystyle \int\limits_D \!\! f=\displaystyle \int\limits_{D_1} \!\! \varphi=\displaystyle \int\limits_{D_1} \!\! \psi$
\end{theorem}
\begin{proof}
 Podzia�y $\pi_1 \in \pi(D_1), \pi_2 \in \pi(D_2)$; definiujemy $\pi=''\pi_1 \times \pi_2'' \in \pi(D)$, tzn. elementy
 $D_{kl}$ podzia�u $\pi$ s� postaci $P_k \times Q_l$ gdzie $P_k \in \pi_1, Q_l \in  \pi_2$
 \\ \\ Notacja:  $m_{kl} = \inf_{D_{kl}} f(x,y) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \   M_{kl}=\sup_{D_{kl}} f(x,y)$
 \\ $ m_l (x) = \inf_{y \in Q_l} f(x,y) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M_l(x) = \sup_{y \in Q_l} f(x,y)$
W�wczas mamy  \[  \underline{S}(\pi, f) = \sum_{k,l} m_{kl}m(D_{kl})= \sum_k \sum_l(m_{kl} m(Q_l) m(P_k)  \]  Niech $x_k \in \mathbb{R}^m : x_k \in P_k$. Zauwa�my, �e  $m_{kl} \leqslant m_l(x_k)$.
 Zatem  \[\begin{split}  \underline{S}(\pi, f)& \leqslant \sum_k (\sum_l m_l(x_k)m(Q_l)) m(P_k) = \sum_k \underline{S}(\pi_2, f(x, \cdot))m(P_k)\\&  \leqslant 
  \sum_k \displaystyle \int\limits_{\overline{D_2}}\!\! f(x_D) m(P_k)\\& = \sum_k \varphi(x_k) m(P_k) \overset{\mathrm{ozn.}}{=\joinrel=}  S( \pi_1, (x_k), \varphi)\end{split}\]
Skoro  \[\begin{split}\varphi(x_k)&= \displaystyle \int\limits_{\overline{D_2}}\!\! f(x_k, \cdot)\\&\leqslant \overline{S}(\pi_2, f(x_k, \cdot)\\& = \sum_l M_l(x) m(Q_l)\\&\leqslant \sum_{kl} M_{kl} m(Q_l)\end{split}\]
to 
\[\begin{split}\sum_k \varphi(x_k)m(P_k) &\leqslant\sum_k(\sum_l M_{kl} m(Q_l)m(P_k) )\\&= \overline{S} (\pi, f)\end{split}\]
 Wykazali�my, �e dla dowolnego wyboru wypunktowania $(x_k)_k$, gdzie $x_k \in P_k$ mamy:
 \begin{displaymath}
  \underline{S}(\pi, f) \leqslant S(\pi_1, (x_k), \varphi) \leqslant \overline{S}(\pi, f)
 \end{displaymath}
 Bior�c $\inf S(\pi_1, (x_k), \varphi)$ ze wzgl�du na wypunktowanie $(x_k)$ dostajemy
\[\underline{S}(\pi, f) \leqslant \underline{S}(\pi_1, \varphi) \leqslant \overline{S}(\pi, f)\]  Podobnie, odpowiednio dobieraj�c wypunktowanie dostaj�
\[ \underline{S}(\pi, f) \leqslant \overline{S}(\pi_1, \varphi) \leqslant \overline{S}(\pi, f)\]
Ostatecznie\[ \underline{S}(\pi, f) \leqslant \underline{S}(\pi_1, \varphi)\leqslant \overline{S}(\pi_1, \varphi) \leqslant \overline{S}(\pi, f)\] oraz 
 \[\displaystyle \int\limits_{\overline{D}}\!\! f \leqslant \displaystyle \int\limits_{\overline{D_1}}\!\! \varphi \leqslant  \int\limits_{D_1}^{-\joinrel-}\!\! \varphi \leqslant \displaystyle \int\limits_{D}^{-\joinrel-}\!\! f  \]
  Czyli $\varphi$ jest ca�kowalna w sensie Riemanna oraz $\int \limits_D f= \int \limits_{D_1} \varphi = \int \limits_{D_1}\int \limits_{\overline{D_2}} f(x,y)$
\end{proof}

\section{Wyk�ad 20.05.2016}

\begin{remark}
	 Dla ca�ki Riemanna na $\mathbb{R}$. Niech $f:[c,d] \longrightarrow \mathbb{R}$ - ograniczona, $\Psi:[a,b]\longrightarrow[c,d]$ bijekcja ci�g�a, t. �e odwzorowanie $\Psi^{-1}:[c,d]\longrightarrow[a,b]$ ci�g�e i t. �e $\Psi$ jest r�niczkowalna na $]a,b[$. W�wczas $\int_{[a,b]}f=\int_{[a,b]}(f\circ \psi)\cdot |\Psi '|$.
\end{remark}
\begin{definition}
	Niech $K \subset \mathbb{R}^m$ b�dzie zbiorem zwartym. M�wimy, �e $K$ jest kompaktem regularnym, je�li wn�trze Int$(K)$ jest niepuste oraz brzeg $\partial K$ jest lokalnie wykresem funkcji z $\mathbb{R}^{m-1} $ do $\mathbb{R}$ klasy $C^1$. $\longleftarrow$ r�zniczkowalna o ci�g�ej pochodnej. 
\end{definition}
\begin{example}
	$K(0,1)=\{x \in \mathbb{R}^m: ||x||^2 \leq 1\}$ jest kompaktem regularnym.
\end{example}
\begin{remark}
	Je�li $K \subset \mathbb{R}^m$ jest kompaktem regularnym oraz $\Psi:\mathbb{R}^m\longrightarrow \mathbb{R}^m$ jest diffeomorfizmem to $\Psi(K)$ jest kompaktem regularnym.
\end{remark}
\begin{definition}
	M�wimy, �e otwarty $\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^m$ jest zbiorem, je�li $\mathcal{O}$ jest zbiorem sp�jnym.
\end{definition}
\begin{theorem}
	(Twierdzenie o zamianie zmiennych) Niech $\mathcal{O},\mathcal{O'} \subset \mathbb{R}^m$ b�d� obszarami, $\Psi:\mathcal{O'}\longrightarrow \mathcal{O}$ diffeomorfizmem klasy $C^1$. Niech $K\subset\mathcal{O}$ b�dzie kompaktem regularnym. Niech $f:K\longrightarrow\mathbb{R}$ b�dzie funkcj� ci�g��. W�wczas $\int_{K}f=\int_{K'}(f\circ \Psi)\cdot|\textrm{det}\Psi'|$, gdzie $K' \subset \mathcal{O'}$ t. �e $\Psi(K')=K$. $(K'=\Psi^{-1}(K))$.
\end{theorem}
\begin{example}
	Niech $C=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \quad x^2+x^2\leq z^2, \quad 0\leq z\leq 1\}$. Znale�� moment bezw�adno�ci jednorodnego sto�ka $C$ wzgl�dem osi OX. Niech $\rho$ b�dzie g�sto�ci� masy sto�ka $C$. Do policzenia mamy ca�k�:
\begin{displaymath}
\begin{split}
		\mathrm{I}&=\int_{C}\rho (y^2+z^2) dV = \rho \int_{0}^{1}dz \int_{-z}^{z}dy\int_{-\sqrt{z^2-y^2}}^{\sqrt{z^2-y^2}}(y^2+z^2) dx \\
		&=2\rho\int_{0}^{1}dz\int_{-z}^{z}dy(y^2+z^2)\sqrt{z^2-y^2}
\end{split}
\end{displaymath}
Wsp�rz�dne walcowe:
\begin{displaymath}
\Psi(r,\varphi,z)=\left[\begin{array}{c} r\cos\varphi\\	r\sin\varphi\\z\end{array}\right] \quad 
\Psi'=\left[\begin{array}{ccc}\cos\varphi&-r\sin\varphi&0\\\sin\varphi&r\cos\varphi&0\\0&0&1\end{array}\right] \quad
|det \Psi'|=r\\
\end{displaymath}
\[\begin{split} C'=\{(r,\varphi,z): r^2 \leq z^2, 0\leq z\leq 1\}\\ (f\circ\Psi)|det\Psi'|=(r^2\sin^2\varphi+z^2)r \end{split}\]
\begin{displaymath}
\begin{split}
\mathrm{I}&=\rho\int_{C'}(r^2\sin^2\varphi+z^2)r=\rho\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{1}dz\int_{0}^{z}\big((r^2\sin^2\varphi+z^2)r\big) dr \\
&=\rho\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{1}dz\bigg(\frac{z^4}{4}\sin^2\varphi+\frac{z^4}{4}\bigg)=\rho\int_{0}^{2\pi}d\varphi\bigg(\frac{1}{20}\sin^2\varphi+\frac{1}{10}\bigg)\\
&=\rho\bigg(\frac{1}{20}\pi +\frac{1}{10}2\pi\bigg)=\frac{\rho}{4}\pi
\end{split}
\end{displaymath}
\end{example}
\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}
\begin{definition}
	Niech $X\subset\mathbb{R}^m, f:X\longrightarrow\mathbb{R}$. No�nikiem $\supp(f)$ funkcji $f$ nazywamy zbi�r $\supp f=\{x\in \mathbb{R}^m: f(x)\neq0\}$.
\end{definition}
\begin{example}
	Rozwa�my funkcj� $\lambda: \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$
\[\lambda(t)=\left\{ \begin{array}{cc}
e^{\left(\frac{1}{t^2-1}\right)}&|t|<1\\
0&|t|\geq 1
\end{array} \right. \]
\[ \supp f=[-1,1]-\mathrm{zb. zwarty}\]
oraz $\lambda$ jest funkcj� g�adk�.
\end{example}
\begin{theorem}
	(O r�niczkowalnym rozk�adzie jedno�ci) Niech $K$ b�dzie podzbiorem zwartym w $\mathbb{R}^m$ oraz $\{U_i\}^n_{i=1}$ b�dzie pokryciem $K$ zbiorami otwartymi $U_i$. W�wczas istniej� funkcje g�adkie \(\varphi _i: \mathbb{R}^m \longrightarrow \mathbb{R}\) t. �e \(\supp \varphi_i \subset U_i\), \(\forall_i\forall_{x\in \mathbb{R}^m}\) \(0\leq \varphi_i(x)\leq 1\) oraz \(\forall_{x\in K} \sum_{i=1}^{n}\varphi_i(x)=1\).
\end{theorem}
\begin{lemma}
	Niech \(K, U_i\) j.w. W�wczas \(\exists\) \(g_i: \mathbb{R}^m \longrightarrow \mathbb{R}, \supp (g_i)\subset U_i\) t. �e \(\forall_{x\in K}\sum_{i=1}^{n}g_i(x)\geq 1\).
\end{lemma}
\begin{proof}
	Niech $x\in K$ i niech \(i(x)\in\{1, \ldots, n\}\) t. �e \(x\in U_{i(x)}\). Niech \(r(x)>0:\) \(\overline{K(x, r(x))}\subset U_{i(x)}\). Rozwa�my pokrycie zbioru zwartego \(K \subset \cup_{x\in K}\) \(K(x_i, \frac{r_i}{2}) \), \(r_i:=r(x_i)\). We�my funkcj� \( \lambda_j(x)\equiv e^{\frac{4}{3}}\lambda(\frac{||x-x_j||}{r_j}) \), \(j\in\{1, \ldots, l\}\). Zauwa�my, �e  \(\supp (\lambda_j)\subset U_{i(j)} \) oraz dla \(x\in K(x_j, \frac{r_j}{2})  \), \(\lambda(x)\geq 1 \). Rzeczywi�cie \( \lambda _j(x)\geq e^{\frac{4}{3}}\lambda(\frac{1}{2})=e^\frac{4}{3}\cdot e^{-\frac{4}{3}}=1\), \(\forall_{j\in \{1, \ldots, l\}} \). We�my \(I(i)=\{k: i(x_k)=i\}\). Funkcj� $g_i$ definiujemy wzorem \(g_i(x)=\sum_{k\in I(i)}\lambda_k(x)\).
\end{proof}
\begin{remark}
	Niech $K$-zwarty, $U$-otwarty, \(K\subset U\). W�wczas istnieje \(\varphi: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}\) - g�adka t. �e \(\supp\varphi \subset U\) oraz \(\varphi(x)=1\), \(\forall_{x\in K}\).
\end{remark}
\begin{proof}
	$\exists$ \(g: \mathbb{R}^m \longrightarrow \mathbb{R}\) t. �e \( \supp g\subset U\) oraz \(g(x\geq 1)\). Definiujemy $\varphi$ wzorem \(\varphi(x)=1-e^{-1}\cdot \lambda(g(x))\). \(x\in K\), \(\lambda(g(x))=0\), a wi�c \(\varphi(x)=1\). \(x \notin U\), \(\varphi(x)=1-e^{-1}\cdot \lambda(0)=1-1=0\).
\end{proof}
\begin{proof}(tw. o rozk�adzie jedno�ci)
	We�my $g_i$ jak w lemacie. Rozwa�my funkcj� \(g(x)=\sum_{i=1}^{n}g_i(x) \) oraz zbi�r \(U=\{x: g(x)>0\}, K\subset U\). \(\exists \varphi|_K=1, \supp \varphi\subset U \). Definiujemy \(\varphi_i(x)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{g_i(x)}{g(x)} \varphi_i& x\in U_i\\ 0&x\notin U_i \end{array} \right.\).
\end{proof}
\section{Wyk�ad 24.05.2016}
$$\int_{K'}f\circ \Psi |\det \Psi '|=\int_{K}f$$
gdzie $\Psi(K')=K$.
\begin{proof}
Niech: $F:\Theta \rightarrow \mathbb{R}$ tak �e:
$$
F(x)=
\left \{
\begin{array}{c}
f(x) \qquad x \in K \\
0 \qquad x \in \Theta \setminus K
\end{array}
\right.
$$
Niechaj:
\begin{itemize}
\item Wsp�rz�dne kartezja�skie na $\Theta: \qquad (x_1,\:x_2,\:x_3,...,\:x_m)$
\item  Wsp�rz�dne kartezja�skie na $\Theta': \qquad (y_1,\:y_2,\:y_3,...,\:y_m)$
\item Odwzorowanie $\Psi=(\Psi_1(y_1,...,y_m),...\:,\Psi_m(y_1,...,y_m))$
\item Pochodna $\Psi: \qquad \Psi'=\frac{D(\Psi_1,...\:,\Psi_m)}{D(y_1,...\:,y_m)} = \frac{\delta\Psi_i}{\delta y_j} \qquad i,j=1,2,3,...\:, m$
\end{itemize}
\begin{remark}
Dow�d jest indukcyjny ze wzgl�du na wymiarm $m\in \mathbb{N}$  m=1 - patrz semestr 1. Za�o�enie zachodzi dla m-1
\end{remark}
\subsection{Krok 1}
Za��my,  �e: $\exists i,j \in \{ 1,...\;,m \}$ tak �e: $\Psi_i(y_1,...\:,y_m)=y_j$. Bez straty og�lno�ci za��my, �e i=j=1. : $\Psi_1(y_1,...\:,y_m)=y_m$. Rozwa�my rzut I zbioru $\Theta$ na pierwsz� wsp�rz�dn�. Dodatkowo zak�adamy, �e I jest odcinkiem. Ponadto niec:h 
$$\Theta(c)=\{ (x_2,...\:,x_m) \in \mathbb{R}^{m-1};\quad (c,x_2,...\;,x_m) \in \Theta \}$$
Ewentualnie, powi�ksaj�c nieco $\Theta$ oraz $\Theta'$ mozemy za�o�y�, �e $\Theta$ i $\Theta'$ s� postaci $I\times D$ oraz $I\times D'$ gdzie $D, D' \in \mathbb{R}^{m-1}$ s� otwartmi kostkami. Bedziemy zapisywa� $F_{x_1}(x_2, x_3,...\:,x_n)$ jako: $F(x_1,x_2, x_3,...\:,x_n)$
$$\int_K f=\int_{ \Theta}F \stackrel{tw. Fubiniego}{=}\int_I dx_1\int_{\Theta(x_1)}F(x_1,.)=\int_I dx_1 \int_{\Theta(x_1)} \stackrel{zalozenie \:indukcyne}{=} $$
$$\int_I dx_1\int_{\Theta'(x_1)}(F \circ\Psi_{x_1})|det\Psi'_{x_1}|$$
gdzie $\Psi_{x_1}(y_2,...\:,y_m) = (\Psi_2(x_1,y_2,...\:,y_m),...\:,\Psi_m(x_1,y_2,...\:,y_m))$ wtedy:
$$\int_I dy_1 \int_{\Theta'(y_1)} (F \circ\Psi)_{y_1}\:|det \Psi'| \stackrel{tw. Fubiniego}{=}\int_{\Theta'} (F \circ \Psi) |det\Psi'|$$
\subsection{Krok 2 - je�li twierdzenie zachodzi lokalnie to zachodzi globalnie:}
Przypu��my, �e $$ \Theta' = \bigcup_{j \in J} \Theta'_j; \bigcup_{j\in J}\Psi(\Theta'_j)=\Theta \supset K$$
Wybierzmy pokrycie sko�czone$\Psi(\Theta'_j),...\:,\Psi(\Theta'_n)$ zbioru K. Za��my, �e TZM zachodzi dla $\Theta'_1,...\:,\Theta'_n$
\begin{definition}
Niech $\varphi_1,...\:,\varphi_n$ b�dzie rozk�adem jedno�ci wpisanym w pokrycie $\Psi(\Theta_1',...\:,\Theta_n')$ zbioru K.
\end{definition}
\begin{notation}
$\Theta_i \equiv \Psi(\Theta_i')$
\end{notation}
$supp(\varphi_i) \supset \Psi(\Theta'_i),... \sum^{n}_{i=1}\varphi_i(x)=1 \qquad x \in K $ W�wczas:
$$\int_K f=\int_k(\sum_{i=1}^n \varphi_i)f=\sum^{n}_{i=1} \int_{K}\varphi_i f=\sum_{i=1}^{n}\int_{\Theta_i}\varphi_if=
\sum_{i=1}^{n}\int_{\Theta'_i}(\varphi_i f)\circ\Psi |det\Psi'|=$$
$$ =\sum_{i=1}^{n} \int_{\Theta'_i}(\varphi_i \circ \Psi)(f\circ \Psi)|det\Psi '|$$
\subsection{Krok 3}
Niech $\Psi$ dowolne. Udowodonimy, �e lokalnie $\Psi$ daje si� przedstawi� jako z�o�enie $\Psi = \Omega\circ\Phi$ gdzie $\Omega,\:\Phi$ spe�niaj� za�o�enia przyj�te w KROK1. Najpierw sprawdzimy co si� dzieje dla $\Psi$ tej postaci:
$$\int_{\Theta'}f\circ\Psi|det\Psi'|=\int_{\Theta'}f\circ(\Omega\circ\Phi)|det(\Omega'\circ\Phi')| =$$
$$\int_{\Theta'}(f\circ\Omega)\circ\Phi|det\Omega'|\:|det\Phi'|\stackrel{krok 1 dla \Phi}{=}$$
$$\int_{\Theta'}(f\circ\Omega)|det\Omega'| \stackrel{krok 1 dla \Omega}{=}$$
$$\int_{\Theta}f$$
\subsection{Jak znale�� (lokalnie) $\Psi$, $\Omega$?}
Niech $y \in K'$. Skoro $det \Psi'(y)\neq0$ to istnieje otwarte otoczenie $\Theta'(y)$ punku y tak �e $\forall i \in \{ 1,...\:,m \} \exists j(i): \frac{\delta\Psi i}{\delta y j(i)}\neq 0$ na $\Theta'y$ Bez straty og�lno�ci: $\frac{\delta\Psi_1}{\delta y_1}\neq 0$ na $\Theta'(y)$
\begin{definition}
Niechaj $$\Phi(y_1,y_2,...\:,y_m)=(\Psi_1 (y_1,...\:,y_m),y_2,...\:,y_m)$$
$$\left[
\begin{array}{ccc}
\frac{\delta\Psi_1}{\delta y_1} & \dots &\frac{\delta\Psi_1}{\delta y_m}\\
\vdots&\ddots&0\\
0&\dots&1
\end{array}
\right] \Rrightarrow det \Phi' = \frac{\delta\Psi_1}{\delta y_1} \neq 0$$
\end{definition}
\begin{definition}
Niechaj $$\Omega(t_1,t_2,...\:,t_m)=(t_1,\Psi_2(\Phi^{-1}(t_1,...\:,t_m)),...\:,\Psi_m(\Phi^{-1}(t_1,...\:t_m)))$$ zauwa�my �e:
$\Omega\circ=\Psi$ oraz $\Omega$ "nie miesza" wsp�rz�dnej $t_1$
\end{definition}
\end{proof}
\begin{example}
Ca�ka z funkcji Gaussa:
$$I=\lim_{R\rightarrow \infty} \int^{R}_{0}e^{-x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$
Funkcja $\mathbb{R}\rightarrow r\longrightarrow\int^{t}_{0}e^{-x^2}dx$ nie jest funkcj� elementarn�
\end{example}
\subsection{Ca�ka funkcji jednej zmiennej po odcinku niezwartym I}
I jest postaci $]\infty,+\infty[,\:]-\infty,a],\:]a,b]\:itd$
\begin{example}
$$\int^{0}_{\infty}\frac{sin(x)}{x}dx \stackrel{?}{=}\frac{\pi}{2}\qquad I=[0,+\infty[$$
$$\int^{0}_{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx \stackrel{?}{=}2 \qquad I=]0,1]$$
\end{example}
\begin{definition}
Je�li I jest odcinkiem niezwartym to symbol K(I) oznacza rodzin� odcink�w zwartych w I.
\end{definition}
\begin{definition}
M�wimy, �e funkcja $f:I\longrightarrow \mathbb{R}$ jest ca�kowalna na I i piszemy $\int_{I}$ je�li $\forall \varepsilon > 0 \exists K_{\varepsilon}\in K(I)$ tak �e je�li $K_{\varepsilon} K(I)K_{\varepsilon} \in K$ to $|\int_{K}f-\int_{I}f|,\varepsilon$

\begin{example}
Dla $I=[0,\infty[ $ jest r�wnowa�ne z istnieniem $\lim_{r\rightarrow\infty}\int_{0}^{R}$
\end{example}
\end{definition}
\begin{example}
$a>0\qquad I=[a,\infty[\qquad f(x)=x^{\mu}\qquad \mu\in\mathbb{R}\qquad \mu\neq -1$
$$\left. \int^{r}_{a}x^{u}=\frac{1}{\mu+1}x^{\mu+1} \right|^{r}_{a}=\frac{1}{\mu+1}(r^{\mu+1}-a^{\mu+1})$$ -granica $(r\rightarrow\infty)$ tego wyra�enia istnieje $\leftrightarrow\: \mu+1<0\qquad\int^{\infty}_{a}x^{\mu}=-\frac{1}{\mu+1}a^{\mu+1}$
\end{example}
\begin{example}
$f(x)=\frac{sin(x)}{x}$ na $[2\pi,\infty[\qquad r=2\pi N+a\qquad 0\le a<2\pi$
$$\int^{r}_{2\pi}\frac{sin(x)}{x}=\int^{2N\pi}_{2\pi}\frac{sin(x)}{x}+\int^{2N\pi+a}_{2N\pi}\frac{sin(x)}{x}\qquad oraz: \qquad \int^{\pi}_{0}sin(x)=-cos(x)|^{\pi}_{0}=2$$
Szacujemy: $$\left| \int^{2N\pi+a}_{2N\pi}\frac{sin(x)}{x} \right| \le \frac{1}{2N\pi}\int^{2\pi}_{0}|sin(x)|=\frac{2}{N\pi}$$
$$\int^{2N\pi}_{2\pi}\frac{sin(x)}{x}=\sum^{N-1}_{k=1}\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{sin(x)}{x}+\int^{(2k+1)\pi}_{(2k-1)\pi}\frac{sin(x)}{x}$$
$$ \le \sum^{N-1}_{k=1}(\frac{1}{2k\pi}2-\frac{1}{(2(k+1)\pi)}2)=\frac{1}{\pi}  \sum^{N-1}_{k=1}()\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$
$$ \le \frac{1}{\pi}\sum^{N-1}_{k=1}\frac{1}{k^2} \qquad(zbiezne)$$
Wi�c $\frac{sin(x)}{x}$ jest ca�kowanle na zbiorze $[0,\infty[$
\end{example}
\begin{example}
$I{a,b} =$ ca�ka z parametrem $ \int^{\infty}_{0}e^{-bx}\frac{sin(ax)}{x} \qquad b\le 0$
\begin{remark}
$I{1,0}=\int_{0}^{\infty}\frac{sin(x)}{x}dx \stackrel{?}{=}\frac{\pi}{2}$
\end{remark}
Je�eli zale�no�� $I(a,b)$ jest ci�g�a w b to $\int^{\infty}_{0}\frac{sin(x)}{x}dx=\lim_{b\rightarrow 0^{+}}I(1,b) = \frac{\pi}{2}$
Dalej zak�adamy, �e  $b>0$ 
$$\frac{\delta}{\delta a} I(a,b) \stackrel{?}{=} \int^{\infty}_{0} \frac{\delta}{\delta a}e^{-bx} \frac{sin(ax)}{x} =  
\int^{\infty}_{0} e^{-bx}cos(ax)=\frac{b}{a^2+b^2}$$
$$\left. \int^{-bx}cos(ax) \right|^{\infty}_{0}=\left.-\frac{b}{a^2+b^2}e^{bx}cos(ax)+\frac{a}{a^2+b^2}e^{-bx}sin(ax) \right|^{\infty}_{0}$$
$$I(a,b)=arctan(\frac{a}{b})+C(b)\Rrightarrow\int^{\infty}_{0}e^{-bx}\frac{sin(ax)}{x}dx=arctan(\frac{a}{b})$$
$$I(0,b)=0=C(b)$$
$$\int^{\infty}_{0}\frac{sin(ax)}{x}dx=\lim_{b\rightarrow)^{+}}\int^{\infty}_{0}e^{-bx}\frac{sin(ax)}{x}=\lim_{b\rightarrow0^{+}}arctan(\frac{a}{b})
=sgn(a)\frac{\pi}{2}$$
wi�c:
$$\int^{\infty}_{0}\frac{sin(x)}{x}=\frac{\pi}{2}$$
\end{example}
\section{Wyk�ad 31.05.2016r.}
\[ \int\limits_{0}^\infty \frac{sinx}{x}=\frac{\pi}{2}\]
\[ I(a,b)=\int\limits_0^\infty e^{-bx} \frac{sin(ax)}{x} \]
\begin{definition}
Niech $A$ b�dzie zbiorem oraz $\succ$ b�dzie relacj�. M�wimy, �e $\succ$ jest relacj� skierowania oraz $(A,\succ)$ jest zbiorem skierowanym, je�li:
\begin{enumerate}
\item $a,b,c\in A$,  $a\succ b$ i $b \succ c$ to $a\succ c$
\item $\forall_{a,b\in A} \exists c \in A$, t. �e $c\succ a$ i $c\succ b$.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{example}
\begin{enumerate}
\item[i)] $A= \mathbb{N}$, $t,s \in \mathbb{N} $, $t\succ s \Leftrightarrow t \geq s$.
\item[ii)] $I \subset \mathbb{R}$-- odcinek niekoniecznie zwarty. $A=\mathcal{K}(I)$-- zbi�r odcink�w zwartych, kt�re s� zawarte w odcinku $I$: $K;K' \subset \mathcal{K}(I)$, to $K>K'$ gdy $K\supset K'$.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{definition}
Niech $(A, \succ )$ b�dzie zbiorem skierowanym oraz $(X,d)$ b�dzie przestrzeni� metryczn�. Ci�giem uog�lnionym o warto�ciach w $X$, nazywamy dowolne odwzorowanie z $A$ do $X$. Oznaczenie $(x_{a})_{a \in A} $. M�wimy, �e $x\in X$ jest granic� ci�gu $(x_{a})_{a \in A }$, je�li $\forall_{\varepsilon > 0} \exists_{a\varepsilon \in A}$ t.�e $\forall_{a\succ a_{\varepsilon}}$, $d(x,x_{a})<\varepsilon$
\end{definition}
\begin{example}
(Ca�ka po zbiorze niekoniecznie zwartym).
\[f:I \rightarrow \mathbb{R} \]
$\mathcal{K}(I)$-- zbi�r skierowany, $(\int_{K}f)_{K\in\mathcal{K} (I)}$-- ci�g uog�lniony.
$f$ jest ca�kowalna na $I$, je�li ci�g (*) jest zbie�ny. Granic� tego ci�gu oznaczamy symbolem $\int_{I} f$.
\end{example}
\begin{proposition}
Funkcja $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ jest ca�kowalna na $I$, je�li $\forall_{\varepsilon >0}$, $\exists K_{\varepsilon} \in \mathcal{K}(I)$ t.�e je�li $K_{1},K_{2} \succ K_{\varepsilon} $, to $| \int_{K_{1}}f-\int_{K_{2}}f|<\varepsilon$.
\end{proposition}
\begin{proof}
�atwy wniosek z zupe�no�ci $\mathbb{R}$.
\end{proof}
\begin{proposition}
\begin{enumerate}
\item[i)]$f,g$ s� ca�kowalne na $I$, $a,b \in \mathbb{R}$, to $af+bg$ jest ca�kowalna na $I$ oraz $\int\limits_{I}af+bg=a\int\limits_{I}f+b\int\limits_{I}g$
\item[ii)] $0\leq f \leq g $ \& $g$ ca�kowalna na $I$, to $f$ jest ca�kowalna na $I$ oraz $\int\limits_{I}f \leq \int\limits_{I}g$.
\item[iii)]Je�li $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ oraz $|f|$ jest ca�kowalny na $I$, to $f$ jest funkcj� ca�kowaln� na $I$ oraz $|\int\limits_{I}f| \leq  \int\limits_{I}|f|$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item[ii)]Niech $\varepsilon > 0$, $\exists K_{\varepsilon} \in \mathcal{K}(I)$, t.�e $\forall K_{1},K_{2} \succ K_{\varepsilon}$ mamy \[\big|\int\limits_{K_{1}}g-\int\limits_{K_{2}}g\big|<\varepsilon\]
W takim razie:
\end{enumerate}
\[
\begin{split}
\big|\int\limits_{K_{1}}f-\int\limits_{K_{2}}f\big|=\big|\int\limits_{K_{1}/K_{2}}f-\int\limits_{K_{2}/K_{1}}f\big| & \leq \int\limits_{K_{1}/K_{2}}f+\int\limits_{K_{2}/K_{1}}f \\ 
\leq \int\limits_{K_{1}/K_{2}}g+\int\limits_{K_{2}/K_{1}}g &= \int\limits_{K_{1}\cup K_{2}}g-\int\limits_{K_{1} \cap K_{2}}g < \varepsilon 
\end{split} 
\]
bo $K_{1} \cup K_{2}, K_{1} \cap K_{2} \succ K_{\varepsilon}$.
\end{proof}
\begin{definition}
M�wimy, �e funkcja $I=[0, \infty [, f:I\rightarrow \mathbb{R}$ jest bezwzgl�dnie ca�kowalna na $I$, je�li $|f|$ jest ca�kowalny na $I$. 
\end{definition}
\begin{example}
$f(x)=\frac{sinx}{x}$ jest ca�kowalna na $I$, ale nie jest bezwzgl�dnie ca�kowalna.
\end{example}
\begin{definition}\textbf{Ca�ka z parametrem po odcinku zwartym.}\\
Kontekst: $K=[a,b]$, $A=]c,d[$, $f:K\times A\rightarrow \mathbb{R}$.
Przypu��my, �e $\forall_{\alpha \in A }$, funkcja $f_{d}:K\rightarrow \mathbb{R}$, gdzie $f_{\alpha}(x)=f(x,\alpha)$ jest ca�kowalna na $K$.
Funkcj� $F:A\rightarrow \mathbb{R}$ postaci $F(\alpha)=\int_{a}^{b}f_{\alpha}(x)dx$ nazywamy ca�k� z parametrem.
\end{definition}
Pytanie: kiedy $F$ jest ci�g�a, r�niczkowalna?
\begin{proposition}
Przypu��my, �e $f:K\times A\rightarrow \mathbb{R}$ jest ci�g�a. W�wczas ca�ka z parametrem $F:A\rightarrow \mathbb{R}$ jest ci�g�a.
\end{proposition}
\begin{proof}
Funkcja ci�g�a na zbiorze zwartym jest jednostajnie ci�g�a. Niech $\alpha_{0} \in A$ i $h>0$ t.�e $[\alpha_{0}-h, \alpha_{0}+h]\subset A$.
Funkcja: 
\[f:K \times\overbrace{[\alpha_{0}-h, \alpha_{0}+h]}^{\textrm{zwarty}} \rightarrow \mathbb{R} \]
jest jednostajnie ci�g�a. $\forall_{\varepsilon >0} \exists \delta >0$: 
$d((x,\alpha),(y,\beta))<\delta$ to 
\[|f(x,\alpha)-f(y,\beta)|<\varepsilon.\]
Bior�c $x=y$ dostajemy wniosek:
$d((x,\alpha),(x,\beta))=|\alpha-\beta|<\delta$ to 
\[f|(x,\alpha)-f(x,\beta)|<\varepsilon.\]
Zatem dla $\alpha=\alpha_{0}, \beta \in [\alpha_{0}-h, \alpha_{0}+h]$, mamy 
\[ |F(\alpha_{0})-F(\beta)|=\big|\int\limits_{a}^{b}(f(x,\alpha_{0})-f(x,\beta))dx\big|\leq \int\limits_{a}^{b}\big|(f(x,\alpha_{0})-f(x,\beta))\big|dx \leq \varepsilon |b-a| \]
dla $|\beta-\alpha_{0}|<\delta$. Widzimy,�e $f$ jest funkcj� ci�g��. 
\end{proof}
\begin{proposition}
Niech $f:K\times A\rightarrow \mathbb{R}$ i $\frac{\partial f}{\partial \alpha}K\times A\rightarrow \mathbb{R}$ b�d� funkcjami ci�g�ymi na $K \times A$. W�wczas ca�ka z parametrem $F:A \rightarrow \mathbb{R}$ jest funkcj� r�niczkowaln�  oraz:
\[ \frac{dF}{d \alpha}(\alpha_{0})=\int\limits^{b}_{a} \frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha_{0})dx. \]
\end{proposition}
\begin{proof}
\[
\begin{split}
|F(\alpha_{0}+h)-F(\alpha_{0})-\int\limits^{b}_{a} \frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha_{0})dx h| =\\
\big|\int\limits^{b}_{a} 
\underbrace{(\frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha_{0}+h)-f(x,\alpha_{0})}_{\textrm{Tw. Lagrange'a: }} -\frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha_{0})h)dx\big|=\\
\end{split} \]
\[
\left\{ \begin{array}{ccc}
\exists 0<\theta <1 \textrm{ t.�e } \\
\mathrm{f(x,\alpha_{0}+h)-f(x,\alpha_{0})=\frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha_{0}+\theta h)h} \\
\end{array} \right\}
\]
\[
\big|\int\limits_{a}^{b}\left(\frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha_{0}+\theta h))-\frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha_{0})\right)h\big|\leq \varepsilon |h| |b-a|
\]
Ci�g�o�� pochodnej cz�stkowej gwarantuje istnienie $\delta>0: |h|<\delta$, to $\forall_{x\in K}$ mamy 
$|\frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha_{0}+\theta h))-\frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha_{0})|\leq \varepsilon $
Zatem:
\[ \frac{dF}{d\alpha}(\alpha_{0})=\int\limits_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha_{0})dx \]
\end{proof}
\begin{definition}
\textbf{Ca�ka z parametrem po odcinku niezwartym $I$.}\\
Niech $f:I\times A \rightarrow \mathbb{R}$ b�dzie funkcj� tak�, �e $\forall_{\alpha \in A}$ funkcja $f_{\alpha}:I\rightarrow \mathbb{R}$ jest ca�kowalna na $I$. Definiujemy ca�k� z parametrem $F:A\rightarrow \mathbb{R}$ t.�e $F(\alpha)=\int_{I}f_{\alpha}(x)dx$.
Niech $K\in \mathcal{K}(I)$. B�dziemy rozwa�a� funkcje $F_{K}:A \rightarrow \mathbb{R}$ t.�e $F_{K}(\alpha)=\int_{K}f_{\alpha}(x)dx$.
W szczeg�lno�ci mamy ci�g uog�lniony $(F_{K})_{K\in \mathcal{K}(I)}$.
Zauwa�my, �e $\forall_{\alpha}$, $\lim\limits_{K, \succ}F_{K}(\alpha)=F(\alpha)$.
Innymi s�owy funkcyjny ci�g uog�lniony $(F_{K})_{K\in \mathcal{K}(I)}$ zbiega punktowo do ca�ki z parametrem $F$.
\end{definition}
\begin{remark}
$\lim\limits_{K,\succ} Fk(\alpha)$ oznacza granic� ci�gu uog�lnionego $(F_{k}(\alpha_{0}))_{K\in \mathcal{K}(I)}$.
\end{remark}
\begin{definition}
M�wimy, �e ca�ka z parametrem $F:A\rightarrow \mathbb{R}$ jest jednostajnie zbie�na, je�li funkcyjny ci�g uog�lniony $(F_{k})_{K\in \mathcal{K}(I)}$ zbiega jednostajnie do funkcji $F$, tzn.: $\forall_{\varepsilon >0} \exists K_{\varepsilon}\in \mathcal{K}(I)$. $\forall_{K\succ K_{\varepsilon}}$ mamy $\underset{\alpha\in A}{sup}|F_{k}(\alpha)-F(\alpha)|<\varepsilon$\\
"Przypomnienie": Granica jednostajnie zbie�nego funkcyjnego ci�gu uog�lnionego funkcji ci�g�ych jest funkcj� ci�g��.
\end{definition}
\begin{theorem}
Niech $f:I\times A \rightarrow \mathbb{R}$ b�dzie funkcj� ci�g��. Przypu��my, �e ca�ka z parametrem $F:A \rightarrow \mathbb{R}$ jest jednostajnie zbie�na. W�wczas $F:A\rightarrow \mathbb{R}$ jest funkcj� ci�g��.
\end{theorem}
\begin{proof}
Niech $K\in \mathcal{K}(I)$. Rozwa�my ca�k� z parametrem $F_{K}(\alpha)=\int\limits_{K}f_{\alpha}(x)dx$. Z tw. o ci�g�o�ci ca�ki z parametrem (po odcinku zwartym) wynika, �e $F_{K}$ jest funkcj� ci�g��. Zatem $F$ jako jednostajna granica ci�gu uog�lnionego $(F_{K})$ funkcji ci�g�ych jest ci�g�a.
\end{proof}
\begin{proposition}
\textbf{R�niczkowalno�� ca�ki z parametrem.}\\
Niech $(g_{n})_{{n}\in \mathbb{N}}$ b�dzie ci�giem funkcyjnym na odcinku $I$. Przypu��my �e:
\begin{enumerate}
\item $\exists x_{0}\in I$ t.�e $g_{n}(x_{0})$ jest ci�giem zbie�nym.
\item Funkcje $g_{n}$ s� r�niczkowalne w spos�b ci�g�y oraz ci�g $(g_{n}')_{n\in \mathbb{N}}$ zbiega niemal jednostajnie do $f$.
\end{enumerate}
W�wczas $(g_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ jest zbie�ny niemal jednostajnie i jego granica $g=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} g_{n}$ jest funkcj� r�niczkowaln� oraz $g'=f$.
 
Fakt ten jest r�wnie� prawdziwy dla funkcyjnych ci�g�w uog�lnionych.
\end{proposition}
\section{Wyk�ad 03.06.2016}
\begin{theorem}
Niech $f:I\times A \longrightarrow \mathbb{R}$ b�dzie funkcj� ci�g�� tak�, �e $\forall \alpha \in A \quad f_\alpha(x)\equiv f(x,\alpha)$ jest ca�kowalne po $I$. Niech $F:A \longrightarrow \mathbb{R}$ b�dzie ca�k� z parametrem: $F_\alpha = \int\limits_I f_\alpha (x) dx$. Przypu��my, �e $\frac{\partial f}{\partial \alpha}: I \times A \longrightarrow \mathbb{R}$ jest ci�g�a oraz $\int\limits_I \frac{\partial f}{\partial \alpha} (x,\alpha) dx$ jest jednostajnie zbie�na. W�wczas funkcja $F$ jest r�niczkowalna oraz $F'(\alpha)=\int\limits_I \frac{\partial f}{\partial \alpha} (x,\alpha) dx$.
\end{theorem}
\begin{proof}
$F_K (\alpha)=\int\limits_K f(x,\alpha)dx, \ K \subset I$ - zbi�r zwarty. Z twierdzenia o r�niczkowalno�ci ca�ki z parametrem po zbiorze zwartym wiemy, �e $F_K$ s� r�niczkowalne oraz $F_K'(\alpha)=\int\limits_K\frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha)dx$. Ponadto ci�g $\left( \int\limits_K\frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\cdot)dx\right)_{K\in\mathcal{K}(I)}$ uog�lniony jest jednostajnie zbie�ny do $\int\limits_I\frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\cdot)dx$.
W takim razie korzystaj�c z twierdzenia o r�niczkowalno�ci granicy (poprzednie twierdzenie) dostajemy zbie�no�� ci�gu uog�lnionego $(F_K)_{K\in\mathcal{K}(I)}$ oraz r�niczkowalno�� granicy tego ci�gu $F(\cdot)=\int\limits_I f(x,\cdot)dx$, gdzie $F'(\alpha)=\int\limits_I (x,\alpha)dx$.
\end{proof}
\paragraph{Kryteria jednostajnej zbie�no�ci}
\begin{theorem} (Kryterium Weierstrassa)
Niech $f:I \times A \longrightarrow \mathbb{R}$, �e $f_\alpha$ jest ca�kowalna po $I$. Przypu��my, �e $\exists \varphi:I\longrightarrow \mathbb{R}$ - funkcja dodatnia ca�kowalna po $I$. Je�li $\forall x \in I \ \forall \alpha \in A \quad |f(x,\alpha)| \leq \varphi(x)$ to ca�ka $\int\limits_I f(x,\alpha)dx$ jest jednostajnie zbie�na.
\end{theorem}
\begin{proof}
\[\begin{split}
\forall \varepsilon > 0 \ \exists K_\varepsilon \in \mathcal{K}(I):K_1,K_2 \succ K_\varepsilon \textrm{to} \left|\int\limits_{K_1} \varphi - \int\limits_{K_2} \varphi\right|\leq\varepsilon.
\end{split}\]
Jednostajna zbie�no�� $\int\limits_I f(x,\cdot)dx$:
\[\begin{split}
\left|\int\limits_{K_1} f(x,\cdot)dx - \int\limits_{K_2} f(x,\cdot)dx\right|=\left|\int\limits_{K_1\backslash K_2} f(x,\cdot)dx - \int\limits_{K_2\backslash K_1} f(x,\cdot)dx\right|\leq\\
\leq \int\limits_{K_1\backslash K_2} |f(x,\cdot)|dx - \int\limits_{K_2\backslash K_1} |f(x,\cdot)|dx\leq \int\limits_{K_1\backslash K_2} \varphi + \int\limits_{K_2\backslash K_1} \varphi=\int\limits_{K_1\cup K_2} \varphi - \int\limits_{K_1\cap K_2} \varphi<\varepsilon
\end{split}\]
Skoro $\varepsilon$ nie zale�y od $\alpha$ to ca�ka $\int\limits_I f(x,\cdot)dx$ jest jednostajnie zbie�na.
\end{proof}
\begin{theorem} (Wz�r Bonetta)
Niech $f$ b�dzie funkcj� ca�kowaln� na $[a,b]$ oraz niech $g$ b�dzie funkcj� monotoniczn� ci�g�� na $[a,b]$. W�wczas $\exists \xi \in ]a,b[$, �e $\int\limits_a^b f\cdot g=g(a)\int\limits_a^\xi f + g(b)\int\limits_\xi^b f$.
\end{theorem}
Dow�d p�niej.
\begin{theorem} (Kryterium Abela)
Niech $I=[a,\infty[, \ a \in \mathbb{R}$, $f:I\times A \longrightarrow \mathbb{R}: \ f_\alpha$ ca�kowalna i $\int\limits_I f(x,\cdot)dx$ jednostajnie zbie�na, $\varphi: I\times A \longrightarrow \mathbb{R}$ ci�g�a, ograniczona i monotoniczna w zmiennej $x\in I$. Rozwa�my funkcj� $g(x,\alpha)=f(x,\alpha)\cdot\varphi(x,\alpha)$. W�wczas $g_\alpha:I\longrightarrow\mathbb{R}$ jest ca�kowalna na $I$ oraz $\int\limits_I g(x,\cdot)dx$ jest jednostajnie zbie�na.
\end{theorem}
\begin{proof}
$M=\underset{(x,\alpha)\in I\times A}{\sup}|\varphi(x,\alpha)|$. Z jednostajnej zbie�no�ci $\int\limits_I f(x,\cdot)dx$ mamy:
\[\begin{split}
\forall \varepsilon > 0 \ \exists K_\varepsilon:K_1,K_2\succ K_\varepsilon \textrm{ to}:\\
\left| \int\limits_{K_1} f(x,\alpha)dx-\int\limits_{K_2} f(x,\alpha)dx\right|\leq \varepsilon
\end{split}\]
Bior�c $K_1=[a,R_1]$,$K_2=[a,R_2]$ mamy:
\[\begin{split}
\forall \varepsilon > 0 \ \exists R_\varepsilon, \textrm{ �e jak } R_2>R_1>R_\varepsilon \textrm{ to} \left|\int\limits_{R_1}^{R_2} f(x,\alpha)dx\right|<\varepsilon\\
\left|\int\limits_{R_1}^{R_2} g(x,\alpha)dx\right|=\left|\int\limits_{R_1}^{R_2} f(x,\alpha)\varphi(x,\alpha)\right|\overset{R_1<\xi<r_2}{=}\\
=\left|\varphi(R_1\alpha)\int\limits_{R_1}^\xi f(x,\alpha)dx+\varphi(R_2\alpha)\int\limits_{\xi}^{R_2} f(x,\alpha)\right| \leq\\
\leq M\left|\int\limits_{R_1}^\xi f(x,\alpha)dx\right|+M\left|\int\limits_\xi^{R_2} f(x,\alpha)dx\right|\leq M\varepsilon+M\varepsilon=2M\varepsilon
\end{split}\]
Zatem ca�ka $\int_I g(x,\cdot)dx$ jest jednostajnie zbie�na.
\end{proof}
\begin{example} (ca�ka Dirchleta)
\[\begin{split}
D(a)=\int\limits_0^\infty \frac{\sin(ax)}{x}dx \quad a \in \mathbb{R}\\
I(a,b)=\int\limits_0^\infty e^{-bx}\frac{\sin(ax)}{x}dx \quad b \geq 0
\end{split}\]
Ustalmy parametr $a$. Korzystaj�c z kryterium Abela uzasadnimy ci�g�o�� $b\longmapsto I(a,b)$. Jako funkcj� $f(x,b)$ k�adziemy $\frac{\sin(ax)}{x}$ oraz $\varphi(x,b)=e^{-bx}$. W szczeg�lno�ci $\underset{b\longrightarrow 0^+}{\lim}I(a,b)=I(a,0)=D(a)$.
Dalej $b>0$. R�niczkujemy ca�k� $I(a,b)$ po parametrze $a$:
\[\begin{split}
\frac{\partial}{\partial a} \left( e^{-bx}\frac{\sin(ax)}{x}\right)=e^{-bx}\cos{ax}
\end{split}\]
Korzystamy z twierdzenia Weierstrassa do $e^{-bx}\cos(ax)$ k�ad�c $\varphi(x)=e^{-bx}$. Wida�, �e $\left|e^{-bx}\cos(ax)\right|\leq e^{-bx}$, zatem $\int\limits_0^\infty e^{-bx}\cos(ax)dx$ zbiega jednostajnie. Z twierdzenia o r�niczkowalno�ci ca�ki z parametrem $\frac{\partial}{\partial a} I(a,b)=\int\limits_0^\infty e^{-bx}\cos(ax)dx=\frac{b}{a^2+b^2}$.
Zatem $I(a,b)=\textrm{arctg}(\frac{a}{b})$. $D(a)=\underset{b\longrightarrow 0^+}{\lim} \textrm{arctg}(\frac{a}{b})=\frac{\pi}{2}\textrm{sgn}(a)$.
\[\begin{split}
\int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx=\frac{\pi}{2}
\end{split}\]
\end{example}
\section{Wyk�ad 07.06.2016 r.}
$\displaystyle \int\limits_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} = \frac{\pi}{2}$ z dok�adno�ci� do wzoru Bonneta.

\begin{remark}
Kryterium Abela ma wersj� bez parametru. $I=[a, \infty [$, $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ - ca�kowalna na $I$, $g: I \rightarrow \mathbb{R}$ - ograniczona i monotoniczna, to $f \cdot g$ jest ca�kowalna na $I$.
\end{remark}

Dalej omawiamy \underline{kryterium Dirichleta} $\rightsquigarrow$ wersja bez parametru implikuje ca�kowalno�� $\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}$, $\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}$ lub og�lniej ca�kowalno�� $\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x^{\varepsilon}}$ dla $0 < \varepsilon < 2$.

\begin{theorem}(Kryterium Dirichleta)
Niech $I=[a, \infty[$; $A=]c, d[$ oraz niech $f: I \times A \rightarrow \mathbb{R}$, takie �e: $\exists M$ $\forall \alpha \in A$  $\forall R>a$:
$$\left|\int\limits_a^R f(x, \alpha) \, dx \right| < M.$$
Niech $g: I \times A$ b�dzie funkcj�, kt�ra jest monotoniczna w $x \in I$ oraz taka, �e $g(x, \alpha ) \xrightarrow{n\rightarrow \infty} 0$ jednostajnie ze wzgl�du na $\alpha \in A$, tzn.:
$$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(  \sup_{\alpha \in A} \vert g(x, \alpha ) \vert \right)  = 0.$$
W�wczas $\displaystyle\int\limits_{I} f(x, \alpha )g(x, \alpha ) \, dx$ jest zbie�na jednostajnie na $I$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Wz�r Bonneta: $\forall R < R'$ $\exists \xi \in ]R, R'[$, takie �e:
\begin{equation}
\int\limits_R^{R'} f(x, \alpha )g(x, \alpha ) =g(R,\alpha) \int\limits_R^{\xi} f(x,\alpha ) \, dx + g(R', \alpha )\int\limits_{\xi}^{R'} f(x, \alpha ) \, dx.
\label{wzor_Bonneta}
\end{equation}
$\forall \varepsilon >0$ $\exists  R_0: R'' > R_0$ $\vert g(R'', \alpha  )\vert < \varepsilon$ dla ka�dego $\alpha$. W takim razie (\ref{wzor_Bonneta}) pokazuje, �e dla $R, R' > R_0$:
\begin{gather*}
\left| \int\limits_a^{R'} f(x, \alpha) g(x, \alpha ) \, dx - \int\limits_a^R f(x, \alpha )g(x, \alpha ) \, dx \right| \leq \\ \leq \left| g(x, \alpha ) \right| \left| \int\limits_R^{\xi} f(x, \alpha ) dx \right| + \left| g(R', \alpha ) \right| \left| \int\limits_{\xi}^{R'} f(x, \alpha ) dx \right| \leq \\
\leq 2M(\vert g(R,\alpha )\vert + \vert g(R', \alpha )\vert ) \leq 4M\varepsilon,
\end{gather*}
czyli $f(x, \alpha )g(x, \alpha )$ jest jednostajnie ca�kowalna na $[a, \infty [$.
\end{proof}

\begin{example}
Funkcja $\frac{sin(x)}{x}$ jest ca�kowalna na odcinku $[1, \infty [$. Rzeczywi�cie $f(x, \alpha ) = \sin(x)$, $g(x, \alpha ) = \frac{1}{x}$.
\end{example}

\begin{example}
$$\displaystyle\int\limits_0^{\infty} \sin(x^2)dx \stackrel{ \substack{t=x^2; \, t \in [0, \infty[ \\ 2x \, dx=dt \Rightarrow dx = \frac{1}{2\sqrt{t}}dt} }{=} \displaystyle\int\limits_0^{\infty} \frac{\sin(t)}{\sqrt{t}}dt$$
\end{example}

\begin{theorem}
Niech $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ b�dzie funkcj� ca�kowaln� i niech $g$ b�dzie funkcj� monotoniczn�, nierosn�c� i dodatni�. W�wczas $\exists \xi \in ]a, b[$, takie �e:
$$\displaystyle\int\limits_a^b f \cdot g =g(a) \displaystyle\int\limits_a^{\xi} f.$$
Podobnie, je�li $g$ jest monotoniczna, niemalej�ca i dodatnia to $\exists \xi \in ]a, b[$, takie �e:
$$\displaystyle\int\limits_a^b f \cdot g = g(b) \displaystyle\int\limits_{\xi}^b f .$$
\end{theorem}
\begin{corollary}
(Wz�r Bonneta) $f$ jak wy�ej $g$ monotoniczna to $\exists \xi \in ]a, b[$, takie �e: 
$$\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f \cdot g = g(a) \displaystyle\int\limits_a^{\xi} f + g(b) \displaystyle\int\limits_{\xi}^b f.$$
Za��my bez straty og�lno�ci, �e $g$ jest funkcj� niemalej�c�. Rozwa�my funkcj� $\widetilde{g}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, gdzie:
$$\widetilde{g}(x) = g(b) - g(x).$$
$\widetilde{g}$ jest funkcj� dodatni� i nierosn�c�. W takim razie $\exists \xi \in ]a, b[$, takie �e:
$$\displaystyle\int\limits_a^b f \cdot \widetilde{g} = \widetilde{g}(a) \displaystyle\int\limits_a^{\xi} f.$$
\begin{flushleft}
$L=g(b)\displaystyle\int\limits_a^b f - \displaystyle\int\limits_a^b f \cdot g,$ \\
$P=(g(b)-g(a)) \displaystyle\int\limits_a^{\xi} f$
\end{flushleft}
$$L=P \Rightarrow$$
$$\displaystyle\int\limits_a^b f \cdot g = g(b)\displaystyle\int\limits_a^b f-g(b) \displaystyle\int\limits_a^{\xi} f + g(a) \displaystyle\int\limits_a^{\xi} f = g(b) \displaystyle\int\limits_{\xi}^b f + g(a) \displaystyle\int\limits_a^{\xi} f.$$
\end{corollary}

\begin{proof}
Niech $\Pi=(P_i)_{i=1}^n$ b�dzie podzia�em odcinka $[a, b]$, $P_i=[x_{i-1}, x_i]$, $x_0=a$, $x_n=b$:
$$\displaystyle\int\limits_a^b f \cdot g = \sum\limits_{i=1}^n \displaystyle\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i} f \cdot g = \sum\limits_{i=1}^n \left( \displaystyle\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i} f(g-g(x_{i-1})) + g(x_{i-1}) - \displaystyle\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i} f \right) .$$ 
$f$ jest ograniczona na $[a, b]$. Niech $M$ b�dzie $ogr|f|$. Zauwa�my, �e:
$$\left| \sum\limits_{i=1}^n \displaystyle\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i} f(g-g(x_{i-1})) \right| \leq M\sum\limits_{i=1}^n \left| x_i - x_{i-1} \right| (g(x_{i-1})-g(x_i)).$$
Dobieraj�c dostatecznie drobny podzia�:
$$M(\overline{S}(\Pi , g)-\underline{S} (\Pi , g)) = M \sum\limits_{i=1}^n \left| x_i - x_{i-1} \right| (g( x_{i-1} ) - g( x_{i} )) < \varepsilon.$$
Analiza $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n g( x_{i-1} ) \displaystyle\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i} f$. Rozwa�my \underline{ci�g��} funkcj� $F(x) \equiv \displaystyle\int\limits_a^x f$. W�wczas: 
\begin{gather*}
\sum\limits_{i=1}^n g( x_{i-1} ) \displaystyle\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i} f = \sum\limits_{i=1}^n g( x_{i-1} )(F(x_i) - F(x_{i-1})) = \\
= \sum\limits_{i=1}^n g( x_{i-1} )F(x_i) - \sum\limits_{i=1}^{n} g( x_{i-1} )F( x_{i-1}) = \\
= \sum\limits_{i=1}^n g( x_{i-1} )F(x_i) - \sum\limits_{i=1}^{n-1} g( x_{i} )F(x_i) = \\
= \sum\limits_{i=1}^{n-1} ( g( x_{i-1} ) - g( x_i ))F( x_i ) + g( x_{n-1} )F( x_n ).
\end{gather*}
Funkcja $F$ jako funkcja ci�g�a jest ograniczona z g�ry przez $K$, a z do�u przez $k$. W takim razie:
\begin{gather*}
kg(a) \leq \sum\limits_{i=1}^n g( x_{i-1} ) \displaystyle\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i} f \leq K\left( \sum\limits_{i=1}^{n-1} ( g( x_{i-1} )- g( x_i )) + g( x_{n-1} ) \right)= \\
= K ( g(x_0) - g (x_1) + g (x_1) - g (x_2) + \ldots + g( x_{n-2} ) - g( x_{n-1} ) + g( x_{n-1} )) = K g (a).
\end{gather*}
Wykazali�my wi�c, �e $\forall \varepsilon > 0$:
$$kg(a)-\varepsilon \leq \displaystyle\int\limits_a^b f \cdot g \leq K g(a) + \varepsilon.$$
Przechodz�c z $\varepsilon \rightarrow 0$ dostajemy:
$$kg(a)\leq \displaystyle\int\limits_a^b f \cdot g \leq K g(a).$$
Skoro tak, to:
$$\inf_{x \in [a, b]} F(x) \equiv k \leq \frac{1}{g(a)} \displaystyle\int\limits_a^b f \cdot g \leq K \equiv \sup_{x \in [a, b]} F(x).$$
Z w�asno�ci Darboux dla F, $\exists \xi \in [a, b]$, takie �e:
$$F(\xi) = \displaystyle\int\limits_a^{\xi} f = \frac{1}{g(a)} \displaystyle\int\limits_a^b f \cdot g.$$
\end{proof}

\begin{center}
\textbf{Funkcja $\Gamma$ Eulera}
\end{center}
Niech $z \in \mathbb{C}$, takie �e $\mathrm{Re} (z) > 0$. Ca�ka $\displaystyle\int\limits_0^{\infty} e^{-t} t^{z-1} \, dt$ jest zbie�na niemal jednostajnie na obszarze $\mathcal{O}$. Rzeczywi�cie niech $K \subset \mathcal{O}$ b�dzie podzbiorem zwartym. Istnieje $u < v \in \mathbb{R}$, takie �e: $\forall z \in K$ $u < \mathrm{Re} (z) < v$. Zauwa�my, �e $t^{z-1} = e ^{(z-1)\log (t)} = e^{\mathrm{Re} (z-1)\log(t)} \underbrace{e^{i \mathrm{Im} (z-1)\log(t)}}_{\text{Liczba o module 1.}}.$ W takim razie $t^{z-1} \leq \left\{ \begin{array}{ll}
t^{u-1} & \textrm{dla $0 \leq t \leq 1$}\\
t^{u-1} & \textrm{dla $t > 1$}
\end{array} \right.$.
Zatem funkcja $\varphi (t) = \left\{ \begin{array}{ll}
e^{-t}t^{u-1} & \textrm{dla $0 \leq t \leq 1$}\\
e^{-t}t^{v-1} & \textrm{dla $t > 1$}
\end{array} \right.$
majoryzuje $e^{-t}t^{z-1}$ dla $z \in K$, tzn.: $|e^{-t}t^{z-1}| \leq \varphi (t)$. Skoro $\varphi$ jest ca�kowalna to ca�ka z parametrem $\Gamma (z) = \displaystyle\int\limits_o^{\infty} e^{-t} t ^{z-1} \, dt$ jest funkcj� ci�g�� w $z \in \mathcal{O}$.\\
\textbf{R�niczkowalno�� funkcji:} $$]0, \infty [ \ni x \mapsto \Gamma (x) = \displaystyle\int\limits_0^{\infty} e^{-t} t^{x-1} \, dt, \, \, \, \, \, \, \frac{\partial}{\partial x}\left[ e^{-t} t^{x-1}  \right] = e^{-t} t^{x-1} \log (t).$$ Majoranta $\psi (t) = \left\{ \begin{array}{ll}
e^{-t}t^{u-1} |\log (t) | & \textrm{dla $0 \leq t \leq 1$}\\
e^{-t}t^{v-1} |\log (t) |& \textrm{dla $t > 1$}
\end{array} \right.$. Na mocy kryterium Weierstrassa $\Gamma$ jest r�niczkowalna (tak naprawd� niesko�czenie wiele razy).

\begin{proposition}
$\forall z$ $\mathrm{Re} (z) > 0$ mamy $\Gamma (z+1) = z \Gamma (z)$.
\end{proposition}

\begin{proof}
Ca�kowanie przez cz�ci: 
$$\Gamma (z+1) = \displaystyle\int\limits_0^{\infty} e^{-t} t^z \, dt = \left. \left( -e^{-t} t^z \right) \right|_0^{\infty} + \displaystyle\int\limits_0^{\infty} e^{-t} z t^{z-1} \, dt = z \displaystyle\int\limits_0^{\infty} e^{-t} t^{z-1} \, dt = z \Gamma (z).$$
\end{proof} 

\begin{corollary} [$\Gamma (n+1) = n!$]
Rzeczywi�cie:
$$\Gamma (1) = \displaystyle\int\limits_0^{\infty} e^{-t} \, dt = 1,$$
$$\Gamma(2) = \Gamma (1+1) = 1 \cdot \Gamma (1) = 1,$$
$$\Gamma (n+1) = n \Gamma (n) = n!.$$
\end{corollary}

\begin{remark}
Wz�r $\Gamma (z+1) = z \Gamma (z)$ sugeruje nast�puj�ce rozszerzenie $\Gamma: \widetilde{\mathcal{O}} \rightarrow \mathbb{C}$, gdzie $\widetilde{\mathcal{O}} = \{z \in \mathbb{C}: \mathrm{Re} (z) \neq -n, n \in \mathbb{N} \cup \{0\}\}$. Przyk�adowo dla $-1 < \mathrm{Re} (z) < 0$ $\Gamma (z)$ definiujemy wzorem $\Gamma (z) := \frac{\Gamma (z+1)}{z}$. Og�lniej dla $\mathrm{Re} > -n$, $n \in \mathbb{N}$: 
$$\Gamma (z) = \frac{\Gamma (z+n)}{z (z+1) \ldots (z+n-1)}.$$
\end{remark}
 
\begin{example}
(Ca�ka Gaussa) $I = \displaystyle\int\limits_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{x}}{2}$
$$I^2 = \displaystyle\int\limits_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx \displaystyle\int\limits_0^{\infty} e^{-y^2} \, dy = \displaystyle\iint\limits_D e^{-x^2 -y^2} \, dx \, dy \stackrel{D = \{ (x, y): x \geq 0, y \geq 0 \}}{=} \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \, d\varphi \displaystyle\int\limits_0^{\infty} r \, dr e^{-r^2} = \left. \left( \frac{\pi}{2} \left( - \frac{1}{2} \right) e^{-r^2} \right) \right|_0^{\infty} = \frac{\pi}{4} $$
Rozwa�my ca�ki $J_n = \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin (x)^n \, dx$:
\begin{gather*}
J_n=\displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x)^{n-1} \sin (x) \, dx = \left.\left( -\cos (x) \sin (x)^{n-1} \right) \right|_0^{\frac{\pi}{2}} + \displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} (n-1) \sin (x)^{n-2} \cos (x) \cos (x) \, dx = \\
= n-1 \displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x)^{n-2} \, dx - n-1 \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin (x)^n \, dx = \\= (n-1) J_{n-2} - (n-1) J_n \Rightarrow J_n = \frac{n-1}{n} J_{n-2} \\
J_0 = \frac{\pi}{2}, \, \, \, \, \, \, J_1 = 1
\end{gather*}
Zatem:
\begin{equation}
J_n = \left\{ \begin{array}{ll}
\frac{\pi}{2}\frac{(n-1)!!}{n!!} & \textrm{dla $n \in 2\mathbb{N}$}\\
\frac{(n-1)!!}{n!!} & \textrm{dla $n \in 2\mathbb{N}-1$}
\end{array} \right. .
\label{J_n}
\end{equation}
Zauwa�my, �e: 
\begin{equation}
\sin (x)^{2n+1} \leq \sin (x) ^{2n} \leq \sin (x)^{2n-1} \, \, \, \, x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right].
\label{nier}
\end{equation}
W takim razie ca�kuj�c (\ref{nier}) i korzystaj�c z (\ref{J_n}) mamy:
$$\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \leq \frac{\pi}{2} \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \leq \frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}$$
$$\frac{1}{2n+1} \left[ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right] ^2 \leq \frac{\pi}{2} \leq \frac{1}{2n} \left[ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right] ^2 ,$$
z drugiej strony mamy:
$$\frac{1}{2n} \left[ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right] ^2 - \frac{1}{2n+1} \left[ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right] ^2 = \left[ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right] ^2 \frac{1}{2n(2n+1)} \leq \frac{\pi}{2} \frac{1}{2n}.$$
Z twierdzenia o trzech ci�gach:
$$\frac{\pi}{2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2n+1} \left[ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right] ^2 = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2n} \left[ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right] ^2.$$

\end{example}
\section{Wyk�ad 14.06.2016 r.}
\begin{memento}
$$
\lim_{z \rightarrow +\infty } \frac{ \Gamma ( z+1) }{ \sqrt{ 2 \pi } z^{z+\frac{1}{2}} e^{-2} } = 1
$$
$$f(\tau) = \tau - log( \tau -1 ),  \tau > -1$$
$$\rho(\tau)=\begin{cases}-\sqrt{2f(\tau)} & -1 < \tau < 0\\+\sqrt{(2f(\tau)} & 0 \leq \tau \end{cases}
$$
$\rho(\tau)$ jest bijekcj� $]-1, +\infty [$ i $]-\infty , +\infty[$ oraz $\tau(\rho)$ jest odwrotna do funkcji $\rho$. 
Pozosta�a do wykazania nier�wno��:
$$|\tau'(\rho)-1|\leq|\rho|$$
\begin{proof}
Poka�emy, �e funkcja $\rho(\tau)$ jest wkl�s�a, tzn. $\rho''(\tau) \leq 0$. W szczeg�lno�ci funkcja $ \tau(\rho)$ jest wypuk�a (jako funkcja odwrotna do funkcji wkl�s�ej funkcji $\rho$). 
$$\rho'(\tau)=\frac{\tau}{\tau+1}\cdot\frac{1}{\rho(\tau)}$$
$$\rho''(\tau)=\frac{1}{(\tau+1)^2\rho(\tau)^2}\left(\rho(\tau)-\frac{\tau^2}{\rho(\tau)}\right)$$
W szczeg�lno�ci 
\begin{equation}
\rho''(\tau)\leq0 \iff \rho(\tau)-\frac{\tau^2}{\rho(\tau)}\leq0
\label{aaa}
\end{equation}
Dla $\tau\geq$ 0 (\ref{aaa}) $\iff \rho^2(\tau)-\tau^2\leq0  \iff 2(\tau-\log(\tau+1))-\tau^2 $ - dla $\tau = 0$ przyjmuje warto�� 0. 
Pochodna jest r�wna: $$2-\frac{2}{\tau+1}-2\tau=2\left(1-\frac{1}{\tau+1}-\tau\right)=2\frac{\tau-(\tau^2+\tau)}{\tau+1}=-2\frac{\tau^2}{\tau+1}<0.$$ St�d (\ref{aaa}) $\leq$ 0. 
Podobna analiza jest dla $\tau < 0$.
\begin{remark}
$\rho(\tau)\leq0$, a wtedy (\ref{aaa})$ \rho^2(\tau)-\tau^2\geq0.$
\end{remark}
\textbf {Analiza wyra�enia $|\tau'(\rho)-1|\leq|\rho|$} dla $\rho \geq 0, \tau'(\rho)\geq1$, gdy� $\tau'$ ro�nie oraz $\tau'(0)=1$. W�wczas (dla $\rho \leq 0$) musimy wykaza�, �e $$\tau'(\rho)-1\leq\rho.$$ Niech $t\geq 0, \rho=\rho(t)$.
$$\tau'(\rho)=\frac{1}{\rho'(\tau)}\Rightarrow\frac{\rho(t)(t+1)}{t}-1\leq\rho(t) \,\,\, t\geq0.$$
$$\frac{\rho(t)(t+1)}{t}-\frac{\rho(t)t}{t}-1\leq0
\iff \frac{\rho(t)}{t}-1\leq0
\iff\rho(t) \leq t.$$
Dla $\rho \leq 0$ 
$$|\tau'(\rho)-1|=1-\tau'(\rho)\leq-\rho$$
\end{proof}
\end{memento}
\subsection{Przestrzenie Hilberta}
\begin{example}
Niech $\mathcal{H}$ oznacza przestrze� funkcji ci�g�ych na $[-\pi, \pi]$ o warto�ciach w $\mathbb{C}$. \\$\mathcal{H}= C([-\pi, \pi]).$
Rozwa�my rodzin� funkcji $(\Phi_n)_{n \in \mathbb{Z}}$, gdzie:
$$\Phi_n(t)=\frac{1}{\sqrt2\pi}e^{int}.$$
Na $\mathcal{H}$ wprowadzamy iloczyn skalarny:
$$\mathcal{H}\times\mathcal{H}\ni(\xi,\eta)\longmapsto \langle\xi|\eta\rangle\in \mathbb{C},$$
gdzie:$$\langle\xi|\eta\rangle=\int\limits_{-\pi}^{\pi}{\overline{\xi(t)}\eta(t) \, dt}. $$
Niech $n\neq m$. Policzmy iloczyn skalarny:
$$\langle\Phi_n|\Phi_m\rangle=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{e^{-int}e^{imt} \, dt}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{e^{i(m-n)t} \, dt}=0$$
Niech $n=m$. $$\langle\Phi_n|\Phi_m\rangle=1.$$
Niech $\xi\in\mathcal{H}= C([-\pi, \pi]).$ Funkcji $\xi$ przyporz�dkowujemy ci�g $(\hat{\xi}(n))_{n \in z}$ taki, �e:
$$\hat{\xi}(n)=\langle\Phi_n | \xi\rangle=\frac{1}{ \sqrt{ 2\pi}}\int\limits_{-\pi}^{pi}{e^{-int}\xi(t)}. $$
Ustalmy $N\in \mathbb{N}$ i rozwa�my cz�ciowy szereg Foruiera funkcji $\xi$, tzn. we�my:
$$\sum_{n=-N}^{n=N}{\hat{\xi}(n)\Phi_n}=\sum_{n=-N}^{n=N}{\hat{\xi}(n)\frac{e^{int}}{\sqrt{2\pi}}}\in\mathcal{H}.$$ Pytanie: Co si� dzieje, gdy $N \rightarrow \infty$?\\
\textbf{Fakt:} dla ka�dego $N\in\mathbb{N}$ spe�niona jest nier�wno��:$$\int{|\xi|^2dt}\geq \sum_{n=-N}^{n=N}{|\hat{\xi}(n)|^2} $$
\begin{proof}
\[\begin{split}0\leq \langle\xi-\sum_{n=-N}^{n=N}{\hat{\xi}(n)\Phi_n}~|~\xi-\sum_{n=-N}^{n=N}{\hat{\xi}(m)\Phi_m}\rangle =\\
=\int\limits_{-\pi}^{\pi}{|\xi|^2 \,dt-\sum_{-n}^{n}{\hat{\xi}(m)}}\langle\xi|\Phi_m\rangle-\sum_{-N}^{N}{\langle\Phi_n|\xi\rangle}  + \sum_{n,m}{\hat{\xi}(n)\xi(m)\langle\Phi_n|\Phi_m\rangle}=\\
=\int\limits_{-\pi}^{\pi}{|\xi|^2 \, dt}-\sum_{m=-N}^{m=+N}{|\hat{\xi}(m)|^2}-\sum_{n=-N}^{n=+N}{|\hat{\xi}(m)|^2}+\sum_{n=-N}^{n=+N}{|\hat{\xi}(m)|^2}=\\
=\int\limits_{-\pi}^{\pi}{|\xi|^2 \, dt}-\sum_{m=-N}^{m=N}{|\hat{\xi}(m)|^2.}
\end{split}\]
Algebra. Nier�wno�� Schwarza:
$$\langle\xi|\eta\rangle\leq\sqrt{\langle\xi|\xi\rangle}\sqrt{\langle\eta|\eta\rangle}$$
\begin{example}
Rozwa�my przestrze� $l^2(\mathbb{Z})=\left\{(a_n)_{n\in\mathbb{Z}}: \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}{|a_n|^2} < \infty \right\}$
$\langle(a_n)|(b_n)\rangle=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}{\overline{a_n}b_n}$
\begin{remark}
Nier�wno�� Schwarza $|\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}\overline{a_n}b_n|\leq\left(\sum{a_n}^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}{|b_n|^2} \right)^\frac{1}{2}$.
\end{remark}
\end{example}
\end{proof}
\end{example}

\begin{theorem}
Niech $f\in C(\mathbb{R})$ b�dzie funkcj� okresow� o okresie $2\pi$ i przypu��my, �e $f$ ma ci�g�� pochodn�. Rozwa�my wsp�czynnik Fouriera: 
$$\hat{f}(n)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{e^{-int}f(t)dt}.$$
W�wczas szereg funkcyjny $\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}\hat{f}(n)e^{int}$ jest jednostajnie zbie�ny do funkcji $f$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Kryterium Weierstrassa $\Rightarrow$ wystarczy pokaza� zbie�no�� szeregu liczbowego $\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}|\hat{f}(n)|$ 
$$\infty>\int\limits_{-\pi}^{\pi}{|f'(t)|^2 \, dt}>\sum_{n\in \mathbb{Z}} { |\hat{f'}(n)|^2 }$$
$$\hat{f'}(n)=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{f'(t)e^{-int}}dt}_{\textrm{ca�ka przez cz�ci}}=\underbrace{\left.\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} f(t)e^{-int}\right)\right| _{-\pi}^{\pi}}_{\textrm{jest okresowe, wi�c si� zeruje}}+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}in\cdot\int_{-\pi}^{\pi}{fe^{-int}dt}=in\hat{f}(n)$$

\[\begin{split}\sum_{n\in\mathbb{Z}}{|\hat{f}(n)}=|\hat{f}(0)|+\sum_{n\in\mathbb{Z}}{\left| \frac{in}{in}\hat{f}(n)\right|}=\\
=|\hat{f}(0)|+\sum_{n\in\mathbb{Z} \diagdown \left\{0\right\} }{\left|\hat{f'}(n)\frac{1}{in}\right|}\leq\\
\leq|\hat{f}(0)|+\left(\sum_{n\in|\mathbb{Z}\diagdown \left\{0\right\}}{|\hat{f'}(n)^2|}\right)^{\frac{1}{2}}\left( \left(\sum_{n\in|\mathbb{Z}\diagdown \left\{0\right\}}{\frac{1}{n^2}}\right)^{\frac{1}{2}} \right) < \infty\end{split}\]
\begin{remark}
Mo�na pokaza�, �e granic� jednostajnie zbie�nego szeregu  $\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}\hat{f}(n)e^{int}$ jest wyj�ciowa funkcja. Co sprowadza si� do nast�puj�cej implikacji: je�li $g \in C[-\pi,\pi]$ oraz $\hat{g}(n)=0\Rightarrow g=0.$ Bior�c $g=f-\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}{\hat{f}(n)e^{int}}$ dostajemy $\hat{g}(n)=0 \Rightarrow g=0$.
\end{remark}
\end{proof}

\begin{definition}
Niech $\mathcal{H}$ b�dzie przestrzeni� wektorow� nad cia�em $\mathbb{C}$. Iloczynem skalarnym na $\mathcal{H}$ nazywamy funkcj�: $$\mathcal{H}\times\mathcal{H}\ni(\xi,\eta)\rightarrow \langle\xi|\eta\rangle\in\mathbb{C},$$ tak� �e:
\begin{itemize}
\item[--] $\forall_{ \xi\in \mathcal{H} }$ ${ \langle \xi | \eta \rangle } \geq 0$
\item[--] $\langle \xi | \eta \rangle =0 \Rightarrow \xi=0$
\item[--] $\forall_{\xi,\eta \in \mathcal{H} } $ $\langle\xi|\eta\rangle=\langle\overline{\eta|\xi}\rangle$
\item[--] $\forall_{\xi,\eta_1, \eta_2 \in \mathcal{H}}$ oraz $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ $ \langle\xi | \alpha\eta_1+\beta\eta_2\rangle=\alpha\langle\xi|\eta_1\rangle+ \beta\langle\xi|\eta_2\rangle.$
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{proposition} 
\begin{itemize}
\item $|\langle\xi|\eta\rangle|\leq\sqrt{\langle\xi|\xi\rangle}\sqrt{\langle\eta|\eta\rangle}$
\item Funkcja $\mathcal{H}\ni\xi\xrightarrow{||\cdot||_{\mathcal{H}}} \sqrt{\langle\xi|\xi\rangle}\in\mathbb{R}_+$ jest norm� $\mathcal{H}$.
\end{itemize}
\end{proposition}
\begin{proof}
Patrz wyk�ad z Algebry.\end{proof}
 
\begin{definition}
Przestrze� $\mathcal{H}$ z iloczynem skalarnym $\langle \cdot | \cdot \rangle$ nazywamy przestrzeni� Hilberta je�li $(\mathcal{H}, ||\cdot||_{\mathcal{H}})$ jest przestrzeni� Banacha.
\end{definition}
\begin{example}
$l^2(\mathbb{Z})$ jest przestrzeni� Hilberta.\\ 
$C[-\pi,\pi]$ nie jest przestrzeni� Hilberta. \\
Istnieje ci�g funkcji ci�g�ych kt�ry  ci�giem Cauchy'ego, ale nie jest zbie�ny.\\
Uzupe�nienie przestrzeni $C[-\pi,\pi]$ oznaczamy symbolem $L^2([-\pi, \pi]).$
\end{example}
\begin{definition}
Niech $(\mathcal{H},<\cdot|\cdot>)$ b�dzie przestrzeni� Hilberta. M�wimy, �e $(\Phi_i)_{i \in \mathbb{I}},\Phi_i \in \mathcal{H}$ jest uk�adem ortonormalnym je�li :
$$\forall_{i,j \in \mathbb{I}} (\Phi_i, \Phi_j)= \begin{cases}0 & i\ne j\\1 & i=j.\end{cases}$$
\end{definition}
\begin{example}
$\mathcal{H}=L^2[-\pi,\pi],$ $\Phi_n(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{int},$ $(\Phi_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ jest uk�adem ortonormalnym.
\end{example}
\begin{proposition}
Niech $(\mathcal{H},\langle\cdot|\cdot\rangle)$ b�dzie przestrzeni� Hilberta.
\begin{enumerate}
\item Je�li $(\Phi_i)_{i \in \mathbb{I}}$ jest uk�adem ortonormalnym to elementy $(\Phi_i)_{i \in \mathbb{I}}$ s� liniowo niezale�ne.
\item Je�li $(\Phi_i)_{i \in \mathbb{I}}$ jest uk�adem ortonormalnym oraz $(\alpha_i)_{i \in \mathbb{I}},\alpha_i\in \mathbb{C}$ spe�nia $\sum\limits_{i\in\mathbb{I}}|\alpha_i|^2< \infty$ to szereg $\sum\limits_{i\in\mathbb(I)}\alpha_i\Phi_i$ jest zbie�ny.
\item Niech $i_1, i_2, ..., i_n\in\mathbb{I} $ oraz $\alpha_{ik}=<\Phi_{ik}|\xi>,  \xi\in\mathcal{H}$. Wtedy $||\xi||^2\geq\sum\limits_{n=1}^{m}{|\alpha_{ik}|^2}$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $\beta_{i1}\Phi_{i1}+\beta_{i2}\Phi_{i2}+...+\beta_{ik}\Phi_{ik}=0$\\
$\beta_{i1} = \langle\Phi_{i1} | \beta_{i1}\Phi_{i1}+...+\beta_{ik}\Phi_{ik}\rangle=\langle\Phi_{i1}|0\rangle=0.$
\item Za��my dla prostoty, �e $\mathbb{I}=\mathbb{N}$. $(\alpha_k)_{j\in\mathbb(N)}$. Warunek Cauchy'ego:
$$\left\vert\left\vert \sum_{k=1}^{N}{\alpha_k \Phi_k}-\sum_{k=1}^{N}{\alpha_k\Phi_n}\right\vert\right\vert^2 \stackrel{N > M}{=}\left\vert\left\vert\sum_{k=M+1}^{N}{\alpha_k\Phi_k}\right\vert\right\vert ^2=\sum_{k=M+1}^{N}|\alpha_{i_k}|^2<\epsilon$$

\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{definition}
Maksymalny uk�ad ortonormalny $(\Phi_i)_{i\in\mathbb{I}}$ przestrzeni $\mathcal{H}$ nazywamy baz� ortonormaln�.
\end{definition}
\begin{theorem}
$(\Phi_i)_{i \in \mathbb{I}}$ jest baz� ortonormaln� wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{\xi \in \mathcal{H}}$: $$\xi=\sum\limits_{i\in\mathbb{I}}\alpha_i\Phi_i, \, \, \alpha_i=\langle\Phi_i| \xi\rangle$$
\end{theorem}
\begin{example}
$L^2[-\pi,\pi]$ $\Phi_n(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikt}$ jest baz� ortonormaln�.
\end{example}
\end{document}
