\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{polski}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{braket}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{esint}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{dsfont}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{array}
\usepackage[all,cmtip]{xy}
\newcommand{\sign}{\text{sgn}}
 \usepackage[a4paper, total={7in, 9in}]{geometry}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{proposition}{Stwierdzenie}[section]
\newtheorem{theorem}[proposition]{Twierdzenie}
\newtheorem{lemma}[proposition]{Lemat}
\newtheorem{definition}[proposition]{Definicja}
\newtheorem{remark}[proposition]{Uwaga}
\newtheorem{example}[proposition]{Przyk�ad}
\newtheorem{corollary}[proposition]{Wniosek}
\newtheorem{memento}[proposition]{Przypomnienie}
\newtheorem{notation}[proposition]{Notacja}
\newtheorem{question}[proposition]{Pytanie}
\newtheorem{add}[proposition]{Dodatek}
\newtheorem{fact}[proposition]{Fakt}
\begin{document}
\title{Wyk�ady z Analizy IV}
\author{}
\date{}
\maketitle
\section{Wyk�ad 27.02.2017}
\textbf{Teoria Miary} \\
\begin{memento}
$f: [0,1]^n \rightarrow \mathbb{R}$ jest ca�kowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy gdy zbi�r punk�w nieci�g�o�ci $f$ jest miary zero w sensie Lebesgeu'a.
\end{memento}
Czym jest miara i jakie zbiory daje sie mierzy�?
\begin{example}
$[a,b] \subset \mathbb{R}$ miara $([a,b]) = b - a$. 
\end{example}
W�asno�ci miary: $\hbox{miara}([a,b] \sqcup [c,d]) = \hbox{miara}([a,b]) + \hbox{miara}([c,d])$
\begin{definition}
Niech $\mathcal{A}$ b�dzie rodzin� podzbior�w $X$. M�wimy, �e $\mathcal{A}$ jest algebr� zbior�w je�li:
\begin{enumerate}
\item $X \in \mathcal{A}$
\item $\forall A_1 , A_2 \in \mathcal{A}$ mamy  $A_1 \cup A_2 \in \mathcal{A}$
\item $\forall A_1 \in \mathcal{A} \ \hbox{mamy} \ X\backslash A \in \mathcal{A} $
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}
Niech $\Sigma $ b�dzie rodzin� podzbior�w zbioru $X$. M�wimy, �e $\Sigma$ jest $\sigma$-algebr� je�li:
\begin{enumerate}
\item $X \in \mathcal{A}$
\item je�li $A_n \in \Sigma$ dla $n \in \mathbb{N}$ to $\bigcup^\infty_{n=1} A_n \in \Sigma$
\item $ A \in \Sigma \ \hbox{to} \ X\backslash A \in \Sigma $
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{example}
$X -$ zbi�r dowolny i $\Sigma = 2^X -$ zbi�r wszystkich podzbior�w zbioru $X$.
\end{example}
\begin{remark}
Je�li $(\Sigma_i)_{i \in I}$ jest rodzin� $\sigma$-algebr to $\bigcap_{i \in I} \Sigma_i$ te� jest $\sigma$-algebr�. W szczeg�lno�ci je�li $S$ jest dowoln� rodzin� podzbior�w zbioru $X$ to istnieje najmniejsza $\sigma$-algebra $\Sigma (S)$ zawieraj�ca $S$. 
\end{remark}
\begin{example}
$X = \mathbb{R}^n$ i niech $S = {\hbox{zbiory otwarte w }\mathbb{R}^n}$. W�wczas $\Sigma (S)$ oznaczamy $\mathcal{B}^n$. Elementy $\mathcal{B}^n$ nazywamy zbiorami bolerowskimi. 
\end{example}
Par� $(X, \Sigma)$ nazywamy przestrzeni� mierzaln�.
\begin{definition}
Niech $(X, \Sigma)$ b�dzie przestrzeni� mierzaln�. Miar� $(X, \Sigma)$ nazywamy funkcj� $\mu : \Sigma \rightarrow [0, \infty]$ tak�, �e je�li $A_k \in \Sigma, \ k \in \mathbb{N}$ i $A_m \cap A_n = \varnothing$ dla $m \neq n$ to $\mu(\bigcup^{\infty}_{k=1} A_k) = \sum_{k=1}^{\infty} \mu (A_k)$.
\end{definition}
\begin{definition}
Premiara na algebrze $\mathcal{A}$ podzbior�w $X$ jest funkcj� $\mu:\mathcal{A} \rightarrow [0, \infty]$ tak�, �e je�li $A_k \in \mathcal{A}$ $A_m \cap A_n = \varnothing$ dla $m \neq n$ oraz $\bigcup^{\infty}_{k=1} A_k \in \mathcal{A}$ to $\mu(\bigcup^{\infty}_{k=1} A_k) = \sum_{k=1}^{\infty} \mu (A_k)$.
\end{definition}
 
\begin{proposition}
Niech $\mu$ b�dzie miar� na $(X, \Sigma)$. W�wczas:
\begin{enumerate}
\item $A \subseteq B$ to $\mu(A) \le \mu(B)$
\item $A_n \in \Sigma$ takie, �e $A_k \subseteq A_{k+1}$ to $\mu(A_k) \xrightarrow{k \rightarrow \infty} \mu(\bigcup^{\infty}_{k=1}A_k)$ (w tym kontek�cie b�dziemy stosowa� symbol $A_k \nearrow A = \bigcup^{\infty}_{k=1}A_k$)
\item $A_n \in \Sigma, \ A_k \supseteq A_{k+1}, \ \mu(A_1) < \infty$ to $\mu(A_k) \xrightarrow{k \rightarrow \infty} \mu(\bigcap^{\infty}_{k=1}A_k)$ (notacja: $A_k \searrow A = \bigcap_{k=1}A_k$)
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}

\begin{itemize}
\item [ Ad(1)]
$
\mu(B) = \mu(B \backslash A \sqcup A) = \mu(B\backslash A) + \mu(A) \ge \mu(A)
$
\item [Ad(2)]Po��my 
$\tilde{A_k} = A_k \backslash A_{k-1}, \ k>1$ oraz  $\tilde{A_1} = A_1 $. W�wczas 

$$A_n = \bigsqcup^n_{k=1}\tilde{A_k} \ \hbox{oraz} \  \bigcup^{\infty}_{n=1}A_n=\bigsqcup^{\infty}_{k=1}\tilde{A_k}$$
a st�d 
 $$\mu(A_n)=\sum_{k=1}^n \mu(\tilde{A_n}) \xrightarrow{k \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{\infty}\mu(\tilde{A_k}) = \mu(\bigcup^{\infty}_{k=1}A_n)$$
\item [Ad(2)] Po��zmy 
$
B_k = A_1 \backslash A_k.
$. W�wczas 
$B_k$ jest wst�puj�c� rodzin� zbior�w oraz  $B_k \nearrow  A_1 \backslash \bigcap^{\infty}_{k=1}A_k$. Zatem \[\mu(A_1)-\mu(A_k)=\mu(B_k) \xrightarrow{k \rightarrow \infty} \mu(A_1 \backslash \bigcap^{\infty}_{k=1}A_k)=\mu(A_1)-\mu(\bigcap^{\infty}_{k=1}A_k)\]
 \end{itemize}
\end{proof}

\begin{definition}
Niech $\mu$ b�dzie miar� na $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B}^n)$. Je�li dla ka�dego zbioru zwartego $K\subset\mathbb{R}^n \ \mu(K)<\infty$ to m�wimy, �e $\mu$ jest miar� bolerowsk�. M�wimy, �e $\mu$ jest:
\begin{enumerate}
\item zewn�trznie regularne je�li $\forall A \in \mathcal{B}^n \ \mu(A) = \inf\{\mu(\mathcal{O}), \ A \subset \mathcal{O}, \ \mathcal{O} - \hbox{otwarty}\}$
\item wewn�trznie regularna je�li $\forall A \in \mathcal{B}^n \ \mu(A)=\sup\{\mu(K), \ K < A, \ K - \hbox{zwarty}\}$
\end{enumerate}
Je�li 1. i  2. s� spe�nione to m�wimy, �e $\mu$ jest regularna.
\end{definition}

Sk�d bra� miary regularne borelowskie na prostej rzeczywistej $\mathbb{R}$? \\
Przypu��my, �e $\mu$ jest tak� miar�. Zdefiniujmy funkcj� $F_{\mu}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ gdzie:
\[F_{\mu}(x)=\left\{
\begin{array}{l}
-\mu((x,0]) \textrm{ dla } x<0 \\
0 \textrm{ dla } x=0 \\
\mu((0,x]) \textrm{ dla } x>0
\end{array} \right. \]
W�wczas 
$F_{\mu}$ jest niemalej�c� funkcj� ci�g�� z prawej strony $F_{\mu}(x) = \lim_{\epsilon \downarrow 0}F_{\mu}(x + \epsilon)$  
 Po��my 
$F_{\mu}(x^-) = \lim_{x\downarrow 0 }F_{\mu}(x-\epsilon)$. W�wczas
\[\mu(A)=\left\{
\begin{array}{l}
F_{\mu}(b) -F_{\mu}(a) \  A=(a,b] \\
F_{\mu}(b) -F_{\mu}(a^-) \ A= [a,b]\\
F_{\mu}(b^-) -F_{\mu}(a) \ A= (a,b)\\
F_{\mu}(b^-) -F_{\mu}(a^-) \ A=[a,b)
\end{array} \right. \]
Naszym celem jest  wykazanie twierdzenia:
 je�li $F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ jest niemalej�c� funkcj� ci�g�� z prawej strony i $F(0) = 0$ to istnieje dok�adnie jedna miara bolerowska regularna $\mu: \mathcal{B}^1 \rightarrow [0,\infty]$ taka, �e $F = F_{\mu}$.
\begin{example}
Bior�c funkcje 
\[F_{\mu}(x)=\left\{
\begin{array}{l}
-1 \textrm{ dla } x<0 \\
0 \textrm{  dla } x\ge 0 \\
\end{array} \right. \]
to odpowiednie $\mu$ jest delt� Diraca w $0\in \mathbb{R}$.

\[\delta(A)=\left\{
\begin{array}{l}
0 \textrm{ dla } 0 \not\in A \\
1 \textrm{ dla } 0 \in A \\
\end{array} \right. \]
\end{example}

\begin{example}
$F(x) = x$ to odpowiednie $\mu$ jest miar� Lebesgeu'a. Rzeczywi�cie: $$\mu((0,x])=x \ \hbox{dla} \ x>0$$ $$\mu((x,0])=-x \ \hbox{dla} \ x<0$$ czyli $F_{\mu}=F$.
\end{example}
\begin{definition}
Niech $\mathcal{M}$ b�dzie rodzin� podzbior�w $X$. M�wimy, �e $\mathcal{M}$ jest klas� monotoniczn� gdy:
\begin{enumerate}
\item je�li $A_n \in \mathcal{M} \ \hbox{oraz} \ A_n \nearrow A \ \hbox{to} \ A \in \mathcal{M}$
\item je�li $A_n \in \mathcal{M} \ \hbox{oraz} \ A_n \searrow A \ \hbox{to} \ A \in \mathcal{M}$
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{remark}
Je�li $S$ jest rodzin� podzbior�w $X$ to istnieje najmniejsza klasa monotoniczna zawieraj�ca $S$, kt�r� oznaczamy $\mathcal{M}(S)$.
\end{remark}
\begin{theorem}
Niech $\mathcal{A}$ b�dzie algebr� podzbior�w $X$. W�wczas $\mathcal{M}(\mathcal{A}) = \Sigma(\mathcal{A})$.
\end{theorem}

\section{Wyk�ad II 6.03.2017}

\begin{theorem}
	Niech $\mathcal{A}$ b�dzie algebr� podzbioru $X$. Wtedy $\Sigma(\mathcal{A})=\mathcal{M}(\mathcal{A})$.
\end{theorem}	

\begin{proof}
	Oznaczenie: $\mathcal{M}(\mathcal{A}) = \mathcal{M}$.\\
	Ustalmy podzbi�r $A \subset X$ i rozwa�my $M(A)= \{ B \in \mathcal{M}: A \cup B \in \mathcal{M} \} \subset \mathcal{M}.$ $M(A)$ jest klas� monotoniczn�. Rzeczywi�cie je�li $B_n \in M(A)$ oraz $B_n \nearrow B$ to $A \cup B_n \nearrow A \cup B \in \mathcal{M}$. Zatem $B \epsilon M(A)$. Podobnie argumentujemy dla $B_n \searrow B$.
	
	Je�li $A\in \mathcal{A}$ to $\forall B \in \mathcal{A}$ mamy $A \cup B \in \mathcal{A} \subset \mathcal{M}$, zatem $B \in M(A)$. To pokazuje, �e $\mathcal{A} \subset M(A) \subset \mathcal{M}$ zatem $M(A)=\mathcal{M}$ (bo $\mathcal{M}$ jest najmniejsz� klas� monotonicz� zawieraj�c� $\mathcal{A}$).  
	W szczeg�lno�ci, mamy $B_1 \cup B_2 \in \mathcal{M}$ je�li przynajmniej jeden ze zbior�w ($B_1$ lub $B_2$) jest elementem $\mathcal{A}$. To pokazuje,�e $\mathcal{A} \subset M(B)$ dla wszystkich $B\in \mathcal{M}$ i $M(B)=\mathcal{M}$. Czyli $\mathcal{M}$ jest zamkni�ty na branie sum. 
	
	Czy $\mathcal{M}$ jest zamkni�ty na branie dope�nie�?
	Niech $\mathcal{N} = \{A \in \mathcal{M}: X \backslash A \in \mathcal{M}\}$. Zauwa�my, �e $\mathcal{A}\subset \mathcal{N}$ oraz $\mathcal{N}$ jest klas� monotoniczn�. Zatem $\mathcal{N}=\mathcal{M}$. Czyli $\mathcal{M}$ jest algebr�. 
	
	$\mathcal{M}$ jest $\sigma$-algebr�: niech $\mathcal{A}_n \in \mathcal{M}, n \in \mathbb{N}$. Zdefiniujmy $\widetilde{A_n} = \bigcup_{k=1} ^{n} A_k \in \mathcal{M}$ oraz $\widetilde{A_n} \nearrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$. Czyli $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{M}$ i $\mathcal{M}$ jest $\sigma$-algebr� co pokazuje $\Sigma \subset \mathcal{M}$.
	Na odwr�t: $\mathcal{M} \subset \Sigma$ bo $\Sigma$ jest klas� monotoniczn� zawieraj�c� $\mathcal{A}$.
\end{proof}	
	
\begin{theorem}
	Niech $\mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,\infty]$ b�dzie premiar� $\sigma$-sko�czon�. W�wczas je�li premiara $\mu$ rozszerza si� do miary na $\Sigma(\mathcal{A})$ to tylko na jeden spos�b.\\Przypomnienie: 
	$\mu$ jest $\sigma$-sko�czona je�li $\exists$ zbiory $(X_i)_{i \in \mathbb{N}}  \mbox{ } \mu (X_i) < \infty$ oraz $X = \bigcup_{i=1}^{\infty} X_i.$
	
\end{theorem}	
	
\begin{proof}
	Przypadek 1. $\mu (x) < \infty$:
	przypu��my, �e $\mu$ ma dwa rozszerzenia $\widetilde{\mu _1}, \widetilde{\mu _2}: \Sigma (\mathcal{A}) \rightarrow [0,\infty]$. Niech $M=\{A \in \Sigma (\mathcal{A}): \widetilde{\mu _1}(A)=\widetilde{\mu _2}(A) \}$. Zauwa�my, �e $\mathcal{A} \subset M$. Jest jasne, �e je�li $A_n \nearrow A$ oraz $A_n \in M$ to $A \in M$. Poniewa� $\mu (x) < \infty$ to tak�e dla $A_n \searrow A$ mamy $A \in M$. Czyli $M$ jest klas� monotoniczn� a wi�c  $M=\mathcal{M}(\mathcal{A})=\Sigma(\mathcal{A}).$\\
	Przypadek 2: $\mu$ jest $\sigma$-sko�czona: $\exists$ ci�g $X_n \nearrow X$ gdzie $\mu (X_n) < \infty$.\\
	Na mocy poprzedniego przypadku $\widetilde{\mu _1}(A \cap X_n)=\widetilde{\mu _2}(A \cap X_n), n \in \mathbb{N}$. Bior�c $n \rightarrow \infty$ dostajemy $\widetilde{\mu _1}(A)=\widetilde{\mu _2}(A)$.
\end{proof}	
	
	\begin{theorem}
		Niech $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ b�dzie funkcj� niemalej�ca, ci�g�a z prawej strony. Niech $\mathcal{A}$ b�dzie algebr� sko�czonych sum roz��cznych odcink�w. Dla odcinka $A \subset \mathbb{R}$ definiujemy

		$$
		\mu _F (A) = \begin{cases}
		F(b)-F(a^-), & A = [a,b]\\
		F(b^-)-F(a^-), & A = [a,b)\\
		F(b^-)-F(a), & A = (a,b)\\
		F(b)-F(a), & A=(a,b]
		\end{cases}
		$$
		Niech $\mu _F$ b�dzie rozszerzeniem $\mu _F$(odcinki) do $\mathcal{A}$. W�wczas $\mu _F$ jest premiar� regularn� na $\mathcal{A}$. 
	\end{theorem}	

	\begin{proof}
	Wprost z konstrukcji wynika, �e 	$\mu _F$ jest addytywna. Wyka�emy, �e $\mu _F$ jest zew. regularna: 
		niech $A \in \mathcal{A}$. Mo�na za�o�y�, �e $A$ jest sko�czon� sum� odcink�w otwartych i punkt�w. Zewn�trzna regularno�� ze wzgl�du na odcinki otwarte jest oczewista. Niech $x \in \mathbb{R}$, $\mu _F(\{x\}) =\mu _F(\{[x,x]\})=F(x) - F(x^-)=\lim_{\epsilon \downarrow 0} (F(x+\epsilon)-F(x-\epsilon))=\lim_{\epsilon \downarrow 0} \mu _F ((x-\epsilon,x+\epsilon))$, co pokazuje, zewn�trzn� regulrno�� dla punkt�w. 
		
		Wyka�emy, �e $\mu _F$ jest wew. regularna: z punktami nie ma problemu. �atwo te� sprawdzi� �e $\mu _F ((a,b)) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\mu _F ([a_n,b_n])$ gdzie $a_n \searrow a$, $b_n \nearrow b$.\\
		
			Wyka�emy $\sigma$-addytywno��:
	niech $I=\bigcup_{n=1}^\infty$, gdzie $I,I_n$ - sko�czone sumy roz��cznych odcink�w. Bez straty og�lno�ci mo�emy za�o�y� �e $I$ jest odcinkiem oraz $I_n$ r�wnie� s� odcinkami.
		
		Przypadek 1: $I$ jest zwartym odcinkiem. $\forall \epsilon$ istniej� odcinki otwarte $J_n$ takie, �e  $I_n\subset J_n$ oraz t. �e $\mu _F (J_n) \leqslant \mu _F(I_n) + \frac{\epsilon}{2^n}$ (zewn�trzna regularno��). Skoro $I$ jest zbiorem zwartym to $\exists N $ t. �e $I \subset \bigcup_{n=1}^N J_n$. Zatem $\mu (I) \leqslant \sum_{n=1}^{N} \mu(J_n) \leqslant \sum_{n=1}^{\infty} \mu(I_n) + \epsilon $, $\forall \epsilon  > 0$ i widzimy, �e $\mu (I) \leqslant \sum_{n=1}^{\infty} \mu (I_n)$.\\
		W drug� stron� $\bigcup_{n=1}^\infty I_n = I$ to $\mu(I) \geqslant \sum_{n=1}^{M} \mu (I_n)  \underset{M \rightarrow \infty}{\implies} \mu (I) \geqslant \sum_{n=1}^{\infty} \mu (I_n) $.
		
			Przypadek 2:
		je�li $I$ jest odcinkiem ograniczonym to dok�adaj�c ewentualnie brzegi $I$ i korzystaj�c z poprzedniego argumentu dostajemy $\sigma$-addytywno�� .
		
			Przypadek 2: je�li $I=[a,\infty)$ to bior�c $x>a$ i rozwa�aj�c przej�cie graniczne $[a,x] \underset{x \rightarrow \infty}{\nearrow} [a,\infty)$ te� mo�na pokaza�, �e $\mu (I)=\sum_{n=1}^{\infty} \mu (I_n) $ dla $I=[a,\infty)$.
	\end{proof}
	
	Niech $\mu: \mathcal{A} \rightarrow [0,\infty]$ b�dzie premiar�. Dla $A \subset X$ definiujemy \[\mu^* (A)
	= \inf\{\sum_{n=1}^{\infty}\mu (A_n)^*:A\subset \bigcup_{n=1}^\infty A_n, A_n \in \mathcal{A}\}.\]
	
	W�asno�ci $\mu^*:$
	\begin{enumerate}
		\item $\mu^* (\emptyset)=0$
		\item $A_1 \subseteq A_2$ to $\mu^*(A_1) \leqslant \mu^*(A_2)$, $A_i \subset X$
		\item $\mu^*(\bigcup_{n=1}^\infty A_n) \leqslant \sum_{n=1}^{\infty} \mu^*(A_n)$ - podaddytywno��
		\item Je�li $A \in \mathcal{A}$ to $\mu^*(A)=\mu(A)$
	\end{enumerate}
	
	$\mu^*$ jest tzw. \underline{miar� zewn�trzn�}.
	
	\begin{theorem}
		Niech $\mu^*$ b�dzie miar� zew. na zbiorze $X$. W�wczas rodzina $\Sigma$ podzbior�w $X$ spe�niaj�cych warunek Caratheodory'ego: $A\in\Sigma$ iff
		$$\mu^*(E)=\mu^*(A \cap E) + \mu^*(A^c \cap E),$$
		dla wszystkich $E \subset X$ jest $\sigma$-algebr� oraz $\mu^*$ obci�te do $\Sigma$ jest miar�.
	\end{theorem}
	
	\begin{proof}
	$A,B \in \Sigma$ to $ A \cup B \in \Sigma$.\\
	
	$\begin{array}{lcl}
	\mu^*(E)& = & \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A^c \cap E) = \\
		 	 & = &	 \mu^*(B \cap A \cap E) +  \mu^*(B^c \cap A \cap E) + \mu^*(B \cap A^c \cap E) + \mu^*(B^c \cap A^c \cap E) = \\
		 	 & \geqslant & \mu^*((A \cup B) \cap E) + \mu^*((A \cup B)^c \cap E) 
	\end{array}$
	
	Podaddytywno�� $\mu$ daje nier�wno�� przeciwn�: $\mu^*((A \cup B) \cap E + \mu^*((A \cup B)^c \cap E) \geqslant \mu^*(E)$.
	Niech $A_n \in \Sigma$. Mo�na za�o�y� �e $A_n \cap A_m = \emptyset, n \neq m$. Niech $\widetilde{A_n} = \bigcup_{k=1}^n A_k$ oraz $A =  \bigcup_{k=1}^\infty A_k$.
	
	$$\begin{array}{lcl}
	\mu^*(\widetilde{A_n} \cap E)& = & \mu^*(A_n \cap \widetilde{A_n} \cap E) + \mu^*(A_n^c \cap E) = \\
	& = & \mu^*(A_n \cap R) + \mu^*(\widetilde{A_{n-1}} \cap E)	=   \\
	& \vdots & \\
	& = & \sum_{k=1}^{n} \mu^*(A_k \cap E)
	\end{array}$$\\
	
	Ponadto:
	$$\begin{array}{rcl}	
	\mu^*(E) & = & \mu^*(\widetilde{A_n} \cap E) + \mu^*(\widetilde{A_n}^c \cap E) = \\
	& = & \sum_{k=1}^{n} \mu^*(A_k \cap E) + \mu^*(\widetilde{A_n}^c \cap E) \geqslant\\
	& \geqslant & \sum_{k=1}^{n} \mu^*(A_k \cap E) + \mu^*(A^c \cap E) \mbox{, dla $n \in \mathbb{N}.$}\\
	
	\underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} (\star) \mu^*(E) & \geqslant & \sum_{k=1}^{\infty} \mu^*(A_k \cap E) + 
	\mu^*(A^c \cap E)\\
	& \geqslant &  \mu^*(A \cap E)+\mu^*(A^c \cap E)\\
	& \geqslant &  \mu^*(E) \mbox{, zatem $A \in \Sigma$}
	\end{array}$$\\
	
	$\mu^*$ obci�te do $\mu$ jest miar�:\\
	$E= A$ w $\star$ daje
	$$\mu^*(A) = \sum_{k=1}^{\infty} \mu^*(A_n \cap A) + \mu^*(A^c \cap A) = \sum_{k=1}^{\infty} \mu^*(A_k) $$
	\end{proof}
	
	
	\section{Wyk�ad 13.03.2017}
Warunek Caratheodory'ego ( warunek na zbi�r $A$): $A\in\Sigma\Leftrightarrow\mu^*(E)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A'\cap E) \quad\forall E\subset X$, gdzie $\Sigma$ to $\sigma$-algebra, a $\mu^*$ to miara zewn�trzna.

\begin{theorem}
Niech $\mathcal{A}$ b�dzie algebr� podzbior�w $X$ oraz $\mu:\mathcal{A}\rightarrow[0,\infty]$ b�dzie premiar�. Niech $\mu^*$ b�dzie miar� zewn�trzn� zwi�zan� z $\mu$. W�wczas $\mathcal{A}\subset\Sigma$.
\end{theorem}
\begin{example}
$\mathcal{A}=\{$algebra sko�czonych, parami roz��cznych odcink�w$\}$
$$\mu([a,b])=\mu(]a,b[)=\mu(]a,b])=\mu([a,b[)=b-a$$
$\Sigma$ zawiera $\mathcal{A}$ oraz $\mu^*|_{\Sigma}$ jest miar� na $\Sigma$, kt�r� nazywamy miar� Lebesgeu'a.
\end{example}
\begin{proof}
Niech $A\in\mathcal{A}$ oraz $E\subset X$. Subaddytywno�� $\mu^*$:
$$\mu^*(E)\leqslant\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A'\cap E).$$
Niech $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ b�dzie pokryciem zbioru $E$ zbiorami $A_n\in\mathcal{A}$. Wtedy
\begin{displaymath}
\begin{split}
\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)&=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A\cap A_n)+\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A'\cap A_n)\geqslant \\
& \geqslant\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A'\cap E).
\end{split}
\end{displaymath}
Bior�c $\inf$ po pokryciach dostajemy $\mu^*(E)\geqslant\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A'\cap E)$.
\end{proof}

\textbf{CA�KA LEBESGEU'A:}
$(X,\Sigma,\mu)$ - przestrze� z miar�
\begin{definition}
Niech $f:X\rightarrow \mathbb{R}$. M�wimy, �e $f$ jest mierzalna je�li dla ka�dego zbioru mierzalnego $A\in\mathcal{B}^n$ ($\sigma$-algebra podzbior�w borelowskich), $f^{-1}(A)\in\Sigma$ (przeciwobraz zbioru borelowskiego jest mierzalny).
\end{definition}
\begin{proposition}
Funkcja $f:X\rightarrow \mathbb{R}^n$ jest mierzalna $\Leftrightarrow f^{-1}(I)\in\Sigma$ dla wszystkich $I$ postaci $I=(a_1,\infty)\times(a_2,\infty)\times\ldots\times(a_n,\infty)$.
\end{proposition}
\begin{proof}
(Szkic): \\
$\Rightarrow$ oczywiste\\
$\Leftarrow$ je�li $f$ spe�nia $f^{-1}(I)\in\Sigma$ to $f^{-1}(J)\in\Sigma$ dla $J=(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\ldots\times(a_n,b_n)$. Dowolny zbi�r otwarty w $\mathbb{R}^n$ jest przeliczaln� sum� kostek.
\end{proof}
\begin{proposition}
$f:X\rightarrow\mathbb{R}^n$ - mierzalna oraz $g:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$ mierzalna. W�wczas $g\circ f$ jest mierzalna. W szczeg�lno�ci jesli $f_1,f_2:X\rightarrow\mathbb{R}$ s� mierzalne to $f_1+f_2,$ $ f_1f_2$ s� mierzalne.
\end{proposition}
\begin{proof}
$A\in\mathcal{B}^n$, $(g\circ f)^{-1}(A)=f^{-1}\circ g^{-1}(A)$ \\
$g^{-1}(A)$ - zbi�r borelowski, a wi�c $f^{-1}\circ g^{-1}(A)$ - mierzalny. \\
$f:X\rightarrow \mathbb{R}^2:$
\[f(x)=\left(
\begin{array}{l}
f_1(x) \\
f_2(x) \\
\end{array} \right). \]
$g, \tilde{g}:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}:$
$$g(x_1,x_2)=x_1+x_2, \qquad \tilde{g}(x_1,x_2)=x_1\cdot x_2.$$
W�wczas: $$g\circ f=f_1+f_2, \qquad \tilde{g}\circ f=f_1\cdot f_2.$$
Ka�da z funkcji $g$, $\tilde{g}$ i $f$ jest mierzalna, wi�c ich z�o�enia r�wnie�.
\end{proof}
\begin{theorem}
Niech $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ b�dzie ci�giem funkcji mierzalnych. W�wczas $\sup_{n\in\mathbb{N}}(f_n)$, $\inf_{n\in\mathbb{N}}(f_n)$, $\liminf_{n\to\infty}(f_n)$, $\limsup_{n\to\infty}(f_n)$ s� mierzalne.
\end{theorem}
\begin{proof}
Wystarczy pokaza� dla $\sup$:
\begin{itemize}
    \item $\inf(f_n)=-\sup(-f_n)$,
    \item $\limsup_{n\to\infty}(f_n)=\inf_{n\in\mathbb{N}}(\tilde{f_n})$, gdzie $\tilde{f_n}(x)=\sup_{k\geqslant n}f_k(x)$,
    \item podobnie dla $\liminf$. 
\end{itemize} Dwodzimy wi�c dla $\sup$: 
$$x\in\sup_{n\in\mathbb{N}}f_n^{-1}\Big((a,\infty)\Big)\Leftrightarrow\exists n: f_n(x)>a\Leftrightarrow x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}f_n^{-1}(a,\infty)\in\Sigma$$
\end{proof}
Notacja: $A\in\Sigma$ to funkcja charakterystyczna zbioru $A$:
\[\chi_A(x)=\left\{
\begin{array}{l}
1,\qquad x\in A \\
0, \qquad x\notin A \\
\end{array} \right. \]
jest mierzalna.
\begin{definition}
M�wimy, �e funkcja $s:X\rightarrow\mathbb{R}$ jest funkcj� prost�, jesli zbi�r jej warto�ci jest sko�czony.\\
Niech $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{R}$ b�d� warto�ciami funkcji $s$, $A_i=s^{-1}({\alpha_i})$, wtedy $s(x)=\sum_{i=1}^n\alpha_i\chi_A(x)$.
\end{definition}
\begin{definition}
Niech $s:X\rightarrow\mathbb{R}_+$ b�dzie funkcj� prost�, $A\in\Sigma$. W�wczas liczb� $\sum_{i=1}^n\alpha_i\mu(A_i\cap A)$ oznaczamy $\int_A s(x)d\mu(x)$ i nazywamy ca�k� z $s$ po zbiorze $A$ wzgl�dem miary $\mu$.
\end{definition}
\begin{theorem}
\begin{itemize}
    \item[(i)] $\int_A sd\mu=\int_X \chi_A s d\mu,$
    \item[(ii)] $\int_{\bigsqcup_{i=1}^{\infty}A_i}sd\mu=\sum_{i=1}^{\infty}\int_{A_i}sd\mu,$
    \item[(iii)] $\int_A\alpha sd\mu=\alpha\int_A sd\mu, \quad \alpha\in\mathbb{R}_+$,
    \item[(iv)] $\int_A(s+t)d\mu=\int_A sd\mu+\int_A td\mu,$
    \item[(v)] $A\subset B\Rightarrow\int_A sd\mu\geqslant\int_B sd\mu$,
    \item[(vi)] $s\geqslant t\Rightarrow\int_A sd\mu\geqslant\int_A td\mu$.
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{itemize}
    \item[(i)] jest wnioskiem z r�wno�ci $\chi_A(x)\cdot\chi_B(x)=\chi_{A\cap B}(x)$.
    \item[(ii)] wynika z $\sigma$-addytywno�ci $\mu$.
    \item[(iii)] oczywiste.
    \item[(iv)] $s=\sum_{i=1}^n\alpha_i\chi_{A_i}$, $t=\sum_{j=1}^n\beta_j\chi_{B_j},\quad$ $C_{ij}=A_i\cap B_j,\quad$ $s+t=\sum_{i,j}(\alpha_i+\beta_j)\chi_{A_i\cap B_j}$.
\begin{equation}
    \begin{split}
     \int_A(s+t)&=\sum_{i,j}(\alpha_i+\beta_j)\mu(A_i\cap B_j\cap A)= \\
     & =\sum_i\alpha_i\sum_j\mu(A_i\cap A\cap B_j)+\sum_j\beta_j\sum_i\mu(B_j\cap A\cap A_i)= \\
     & =\sum_i\alpha_i\mu(A_i\cap A)+\sum_j \beta_j\mu(B_j\cap A)=\int_A sd\mu+\int_A td\mu,
    \end{split}
\end{equation}
gdy� np. $\mu(A_i\cap A)=\mu(A_i\cap A\cap \bigsqcup_{j=1}^mB_j)=\sum_j\mu(A_i\cap A\cap B_j).$
\item[(v)] jasne.
\item[(vi)]Je�li $s\leqslant t$ i $s=\sum_{i=1}^n\alpha_i\chi_{A_i},$  $t=\sum_{j=1}^n\beta_j\chi_{B_j}$ to k�ad�c $C_{ij}=A_i\cap B_j \quad \exists\gamma_{ij}$ i $\delta_{ij}$, gdzie $\gamma_{ij}\leqslant\delta_{ij}$ takie, �e $s=\sum_{i,j}\gamma_{ij}\chi_{C_{ij}}$ i $t=\sum_{i,j}\delta_{ij}\chi_{C_{ij}}$.
$$\int_A sd\mu=\sum_{i,j}\gamma_{ij}\mu(C_{ij}\cap A)\leqslant\sum_{i,j}\delta_{ij}\mu(C_{ij}\cap A)=\int_Atd\mu.$$   
\end{itemize}
\end{proof}
\textbf{Ca�kowanie dowolnej (dodatniej) funkcji mierzalnej:}
\begin{definition}
Je�li $f:X\rightarrow\mathbb{R}_+$ to $\sup_{s\leqslant f}(sd\mu)$ nazywamy ca�k� po zbiorze $A$ i oznaczamy:$$\int_Afd\mu$$.
\end{definition}

\section{Wyk�ad 20.03.2017}
\begin{memento}
Je�li $f:X \rightarrow \mathbb{R}_+ $ jest funkcj� mierzaln�, to ca�k� z $f$ po $A$ definiujemy wzorem  $A \in \Sigma$, $\int_A fd\mu = \sup_{s\leq f} \int_A sd\mu$ gdzie $s$ s� dodatnimi funkcjami prostymi.
\end{memento}
\begin{theorem}[Twierdzenie o zbie�no�ci monotonicznej]
Niech $(f_n)$ b�dzie ci�giem rosn�cym nieujemnych funkcji mierzalnych oraz niech $f=\lim_{n\rightarrow \infty} f_n$. W�wczas: $$ \hspace{2ex} \lim_{n \rightarrow \infty} \int_A f_n d\mu = \int_A f d\mu $$ dla wszystkich $A\in\Sigma$. 
\begin{proof}Zauwa�my, �e ci�g $\alpha_n = \int_A f_n d\mu$ jest rosn�cy. 
Niech $\alpha=\lim_{n\rightarrow \infty} \alpha_n$. Skoro $f_n \leq f$ to  $\alpha_n = \int_A f_n d\mu \leq \int_A f d\mu$ i \begin{equation}\label{nier1}\alpha \leq \int_A f d\mu\end{equation}


Nier�wno�� odwrotna: ustalmy funkcj� prost� $s\leq f$ oraz $\theta \in ]0;1[$ i niech \[A_n=\{x \in A: f_n(x) \geq \theta s(x)\}\] W�wczas $A_n \nearrow A$. Zatem 
$$\int_A f_n d\mu \geq \int_{A_n}f_n d\mu \geq \theta \int_{A_n} s d\mu$$ Przechodz�c z $n\rightarrow\infty$ dostajemy $\alpha\geq  \theta \int_{A} s d\mu$. 
Zatem $$ \alpha \geq \theta\sup_{s \leq f}\int_As d\mu=\theta\int_A f d\mu.$$ Skoro jest tak dla wszystkich $\theta\in]0,1[$ to $\alpha\geq\int_A f d\mu$ co wraz z \eqref{nier1} daje  $\alpha=\int_A f d\mu$. 
\end{proof}
\end{theorem}

\begin{remark} Niech $f:X\rightarrow \mathbb{R}_+$ b�dzie funkcj� mierzaln�. We�my funkcj� prost� 
$$s_n=\sum_{k=0}^{n2^n}\frac{k}{2^n}\chi_{A_k}\text{, gdzie } \hspace{1ex} A_{k}=f^{-1}\bigg(\big[\frac{k}{2^n};\frac{k+1}{2^n}\big[\bigg)\hspace{2ex} \textrm{and} A_{n2^n} = f^{-1}([n,\infty[).$$
W�wczas $(s_n)$: jest wzrastaj�cym ci�giem funkcji prostych oraz $f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty}s_n(x)$. Zatem $\int_A f d\mu=\lim_{n \rightarrow \infty}\int_As_nd\mu$.
\end{remark}

\begin{corollary}
$$f_1, f_2:X\rightarrow \mathbb{R}_+ \hspace{2ex} \int_A(f_1+f_2)d\mu=\int_Af_1d\mu+\int_Af_2d\mu.$$
\end{corollary}
\begin{proof}
Niech $s_n \nearrow f_1$ i $t_n \nearrow f_2$, gdzie $s_n,t_n$ s� funkcjami prostymi. Wtedy $s_n+t_n \nearrow f_1+f_2$ i korzystaj�c z twierdzenia o zbie�no�ci monotonicznej  dostajemy $ \int_A(f_1+f_2)d\mu=\int_Af_1d\mu+\int_Af_2d\mu$.
\end{proof}
\begin{lemma}[Lemat Fatou]
Niech $\forall n\in \mathbb{N} \hspace{1ex}f_n:X\rightarrow\mathbb{R}_+$ b�d� mierzalne. W�wczas 
$$\liminf_{n \rightarrow \infty}\int_Af_nd\mu \geq \int_A (\lim \inf_{n \rightarrow \infty} f_n)d\mu.$$
\begin{proof}
Zauwa�my, �e ci�g   $g_n=\inf_{k\geq n}f_k$  jest  rosn�cym ci�giem funkcji oraz 
$\liminf_{n \rightarrow \infty} f_n:=\lim_{n \rightarrow \infty}g_n \hspace{1ex}.$ Ponadto  $\forall n\in \mathbb{N} \hspace{1ex} g_n\leq f_n $ i $\int_Ag_nd\mu \leq \int_Af_nd\mu$ a wi�c
$$  \liminf_{n \rightarrow \infty}\int_Ag_nd\mu \leq \lim \inf_{n \rightarrow \infty}\int_Af_nd\mu (\star).$$
Z drugiej strony  ($\int_X g_nd\mu$) jest rosn�cy, zatem:
$$
\liminf_{n \rightarrow \infty}\int_Ag_nd\mu=\lim_{n \rightarrow \infty}\int_Ag_nd\mu$$  Korzystaj�c z twierdzenia o zbie�no�ci monotonicznej widzimy, �e $$\lim_{n \rightarrow \infty}\int_Ag_nd\mu = \int_A\lim_{n \rightarrow \infty}g_n d\mu=\int_A \liminf_{n \rightarrow \infty}f_nd\mu
$$\text{i dostajemy}  
$$
\hspace{1ex} \int_A \liminf_{n \rightarrow \infty}f_nd\mu \leq \liminf_{n \rightarrow \infty}\int_Af_nd\mu
$$
\end{proof}
\end{lemma}
\textbf{Ca�kowanie funkcji rzeczywistych}
Niech $f:X \rightarrow \mathbb{R}$ i b�dzie funkcj� mierzaln� oraz $f^+=\max(f,0)$ i $f^-=\max(0,-f)$. Funkcje  $f^+$ i $f^-$ s� dodatnie oraz  $f=f^+-f^-$. Je�li ca�ka z $f^+$ i ca�ka z $f^-$ s� sko�czone, to ca�k� z $f$ definiujemy  wzorem
$$
\int_Afd\mu=\int_Af^+d\mu -\int_Af^-d\mu.
$$
Je�li $f:X \rightarrow \mathbb{C}$ oraz  ca�ki 
\begin{equation}\label{eq_sec4_1}
\begin{split}  \int_A\Re(f)^+d\mu<\infty,&   \int_A\Im(f)^+d\mu  <\infty\\ \int_A\Re(f)^-d\mu <\infty,&  \int_A\Im(f)^-d\mu <\infty
\end{split} \end{equation}
to definiujemy: $\int_Afd\mu=\int_A\Re(f)d\mu+i\int_A\Im(f)d\mu \in \mathbb{C}$. �atwo pokaza�, �e $f$ spe�nia \eqref{eq_sec4_1} $\Leftrightarrow \int_A|f|d\mu < \infty$. Ponadto $|\int_Afd\mu| \leq \int_A|f|d\mu$ oraz  $\int_A|f+g|d\mu \leq \int_A|f|d\mu + \int_A|g|d\mu$.


\begin{remark}
Symbolem $\mathcal{L}^1(X,d\mu)$ b�dziemy oznacz��  zbi�r  funkcji, o sko�czonej ca�ce z modu�u, tj:
$$
\mathcal{L}^1(X,d\mu)=\{f:X\rightarrow \mathbb{C}: \int_X|f|d\mu < \infty \}
$$
\end{remark}
\begin{theorem}[Twierdzenie Lebesgeu'a o zbie�no�ci zmajoryzowanej]

Niech $  f_n \in \mathcal{L}^1(X,d\mu)$ i$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ b�dzie zbie�nym  punktowo do $f$ ci�giem funkcji. Przypu��my, �e $\exists g\in \mathcal{L}^1(X,d\mu)$ taka  �e $\forall n \in \mathbb{N}|f_n(x)|\leq g(x)$. Wtedy $\lim_{n \rightarrow \infty}\int_Af_nd\mu=\int_A(\lim_{n \rightarrow \infty} f_n)d\mu$.

Terminologia: $g(x)$ nazywamy majorant� $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$.
\begin{proof}
Bez straty og�lno�ci mo�emy za�o�y�,  �e $\forall n\in \mathbb{N} f_n\geq 0$. Z lematu Fatou dostajemy
\[\liminf\int_Af_nd\mu \geq \int_Afd\mu\] 
Zauwa�my, �e 
$$
\lim \inf_{n \rightarrow \infty}(-f_n)=-\lim \sup_{n \rightarrow \infty}(f_n) (\star \star \star). 
$$
Skoro $g-f_n \geq 0$ to z lematu Fatou mamy 
$$
\lim \inf_{n \rightarrow \infty}\int_A(g-f_n)d\mu \geq \int_A\lim \inf_{n \rightarrow \infty}(g-f_n)d\mu = \int_A(g-f_n)d\mu.
$$
Skracaj�c $\int_Agd\mu$ dostajemy:
$
-\lim\sup_{n \rightarrow \infty}\int_Af_nd\mu \geq -\int_Afd\mu$ a wi�c $ \int_Afd\mu \geq \lim\sup_{n \rightarrow \infty}\int_Af_nd\mu
$ W ko�cu 
$$ 
\liminf_{n \rightarrow \infty}\int_Af_nd\mu \geq \int_Afd\mu \geq \limsup_{n \rightarrow \infty}\int_Af_nd\mu \geq  \liminf_{n \rightarrow \infty}\int_Af_nd\mu.
$$
Skoro ci�g nier�wno�ci   zaczyna si� i ko�czy $\liminf_{n \rightarrow \infty}\int_Af_nd\mu$ to nier�wno�ci powy�sze  s� r�wno�ciami.   W szczeg�lno�ci $\liminf_{n \rightarrow \infty}\int_Af_nd\mu=\limsup_{n \rightarrow \infty}\int_Af_nd\mu = \lim_{n \rightarrow \infty}\int_Af_nd\mu$  i w ko�cu $ \lim_{n \rightarrow \infty}\int_Af_nd\mu=\int_Afd\mu$.
\end{proof}
\end{theorem}
\textbf{Iloczyn tensorowy miar}
Niech $(X_1,\Sigma_1,\mu_1)$ i $(X_2,\Sigma_2,\mu_2)$ b�d� przestrzeniami z miar� $\sigma-$sko�czon�. Konstrukcja przestrzeni $(X_1\times X_2,\Sigma_1\otimes\Sigma_2,\mu_1\otimes\mu_2)$:
\begin{itemize}
\item zbiory postaci $A_1\times A_2$, gdzie $A_i \in \Sigma_i$ nazywamy prostok�tami mierzalnymi;
\item niech $\Sigma_1\otimes\Sigma_2$ b�dzie najmniejsz� $\sigma-$algebr� zawieraj�c� wszystkie prostok�ty mierzalne;
\item miara $\mu_1\otimes\,u_2$ powinna dla prostok�ta $A_1\times A_2$ spe�nia�  $(\mu_1\otimes\mu_2)(A_1\times A_2)=\mu_1(A_1)\cdot \mu_2(A_2)$ oraz powinno zachodzi� twierdzenie Fubiniego: 
$$
\int_{X_1\times X_2}f(x_1,x_2)d(\mu_1\otimes\mu_2)=\int_{X_1}d\mu_1\int_{X_2}d\mu_2f(x_1,x_2)=\int_{X_2}d\mu_2\int_{X_1}d\mu_1f(x_1,x_2)
$$
\end{itemize}
Okazuje si�, �e warunki te jednoznacznie wyznaczaj� pewn� miar� na $X_1\times X_2$
W szczeg�lno�ci  konstrukcja ta zastosowana ($n-1$ krotnie) do miary Lebesgeu'a na $\mathbb{R}$  daje miar� Lebesgeu'a na  $\mathbb{R}^n$.
\section{Wyk�ad 27.03.2017}
\begin{remark}
$(X_i,\Sigma_i,\mu_i)$, $i=1,2$, $\mu_i$ � $\sigma$-sko�czone $\rightarrow (X_1\times X_2,\Sigma_1 \otimes \Sigma_2,\mu_1 \otimes \mu_2),$ gdzie dla $A\in \Sigma_1\otimes \Sigma_2$
\[
\begin{split}
\underbrace{(\mu_1 \otimes \mu_2)(A)}_{(*) = \int_{X_1\times X_2} \chi_A (x_1,x_2)d(\mu_1 \otimes \mu_2)(x_1,x_2)} = \int_{X_1} d\mu(x_1) \left( \int_{X_2} \chi_A(x_1,x_2) d\mu_2(x_2) \right) =\\
\int_{X_2} d\mu(x_2) \left( \int_{X_1} \chi_A(x_1,x_2) d\mu_1(x_1) \right)
\end{split}
\]
Korzystaj�c z $(*)$ oraz tw. o zbie�no�ci monotonicznej dowodzi si� tw. Fubiniego:
\end{remark}
\begin{theorem}
Niech $f$ b�dzie funkcj� na $X_1 \times X_2$ (mierzaln�)
\begin{itemize}
\item je�li $f$ jest dodatnia to 
\[
\begin{split}
\int _{X_1 \times X_2} f(x_1,x_2) d(\mu_1 \otimes \mu_2) (x_1,x_2) = \int _{X_1} d\mu_1(x_1) \left( \int_{X_2} f(x_1,x_2) d\mu_2 (x_2) \right) = \\
 \int _{X_2} d\mu_2(x_2) \left( \int_{X_1} f(x_1,x_2) d\mu_1 (x_1) \right)
\end{split}
\]
\item je�li $f:X_1 \times X_2 \rightarrow \mathbb{C}$ to $\int_{X_2} |f(\cdot,x_2)| d\mu_2 \in \mathcal{L}^1 (X_1, d\mu_1),$ gdy $f \in \mathcal{L}^1 (X_1 \times X_2, d(\mu_1 \otimes \mu_2))$
\end{itemize}
Ponadto je�li $f\in \mathcal{L}^1 (X_1 \times X_2, d(\mu_1 \otimes d\mu_2))$ to zachodzi wz�r z punktu pierwszego. 
\end{theorem}
\begin{definition}
Niech $1 \le p < \infty$, $p \in \mathbb{R}$. Przestrzenie $\mathcal{L}^p(X,d\mu ) := \left\{ f:X\rightarrow \mathbb{C} : \int_X |f|^p d\mu < \infty \right\}$. Notacja $||f||_p = (\int|f|^p d\mu)^{\frac{1}{p}}$.
M�wimy, �e $f:X \rightarrow \mathbb{C}$ jest zero $\mu$�prawie wsz�dzie je�li
\[
\mu(\left\{ x\in X: f(x) \ne 0\right\} ) = 0.
\]
\end{definition}
\begin{example}
$f = \chi_A$, gdzie $\mu(A) = 0, A=\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
\end{example}
\begin{lemma}
$||f||_p = 0 \iff f=0$ $\mu$�p. w.
\end{lemma}
\begin{proof}
$\Rightarrow $ Niech $A_n = \{ x\in X: |f(x)| \geq \frac{1}{n} \}$, $A = \{ x\in X:f(x)\ne 0\}$. Zauwa�my, �e  $  \cap_{n-1}^{\infty} A_n \searrow A$.  Ponadto
\[
\int_X |f|^p d\mu \ge \int_{A_n} |f|^p d\mu \ge \frac{1}{n^p} \int_{A_n} d\mu = \frac{1}{n^p} \mu (A_n) \Rightarrow \mu (A_n) = 0
\]
dla wszystkich $n\in \mathbb{N} $. Skoro $A_n \searrow A$ to $\mu(A) = 0$. 
\\
$\Leftarrow$
\[
\int_X |f|^p d \mu = \underbrace{\int_A |f|^p d\mu }_{=0, \textrm{ bo } \mu (A)=0} + \underbrace{\int_{X\backslash A} |f|^p d\mu }_{=0, \textrm{ bo na } X\backslash A \textrm{ } f=0}
\]
\end{proof}
\begin{remark}
	$\mathcal{L}^p(X,d\mu )$ s� przestrzeniami wektorowymi. Rzeczywi�cie: \[|f+g|^p \le 2^p \max (|f|^p,|g|^p) \le 2^p(|f|^p + |g|^p)\] i je�li $||f||_p < \infty$ i $||g||_p < \infty$ to $||f+g||_p < \infty$.
\[
\mathcal{N}(X,d\mu ) = \{ f: X\rightarrow \mathbb{C} :f-\textrm{zero } \mu \textrm{�p. w.} \}
\]
\[
\mathcal{L}^p(X,d\mu ) / \mathcal{N}(X,d\mu ) :=L^p(X,d\mu )
\]
i na $L^p(X,d\mu )$ definiujemy norm� p�t� j.w.
\end{remark}
Przestrze� $\mathcal{L}^\infty (X,d\mu)$ i $||\cdot||_\infty$
\[
||f||_\infty =  \inf \{ C:\mu( \{ x\in X:|f(x)|>C \} ) = 0 \}
\]
\begin{theorem}{(Nier�wno�� H\"{o}ldera)}
	Niech $1\le p,q\le \infty$ spe�niaj� $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$. Je�li $f\in L^1(X,d\mu)$ oraz $g\in L^q(X,d\mu)$ to $f\cdot g\in L(X,d\mu)$ oraz $||fg||_1\le||f||_p||g||_q$
\end{theorem}
\begin{proof}
	za�., �e $p\ne \infty, q\ne \infty$ i za�. bez straty og�lno�ci, �e $||f||_p=||g||_q=1$.
	Wypuk�o�� funkcji $\exp$ daje:
	\[e^{\left( \frac{1}{p}x+\frac{1}{q}y \right) } \le \frac{1}{p}e^x+\frac{1}{q}e^y.\]
	K�ad�c $x=\log |f|^p, y=\log |g|^q$, mamy
	\[|f|\cdot|g|\le \frac{1}{p}|f|^p+\frac{1}{q}|q|^q\]
	\[
	||f\cdot g||_1 = \int |f\cdot g| \le \frac{1}{p} \int |f|^p+\frac{1}{q} \int |g|^q = \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1 = ||f||_p \cdot ||g||_q
	\]
	Dla $q=\infty,p=1$
	\[
	|fg|\ \underbrace{\le}_{\mu \textrm{� p. w.}} |f|\cdot ||g||_\infty \underbrace{\rightarrow}_{\textrm{ca�kujemy}} \int_X \underbrace{|fg|}_{||f\cdot g|| \le ||f||_1\cdot ||g||_\infty} \le \int |f|\cdot ||g||_\infty
	\]
\end{proof}
\begin{theorem}{(Nier�wno�� Minkowskiego)}
	$||f+g||_p \le ||f||_p+||g||_p$ gdy $f,g\in L^p(X,d\mu)$
\end{theorem}
\begin{proof}
	Niech $q:\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1 \left\{ \frac{1}{q} = 1-\frac{1}{p} = \frac{p-1}{p} \right\}$
	Dalej:
	\[
		|f+g|^p \le (|f|+|g|)|f+g|^{p-1} = |f|\cdot |f+g|^{p-1} + |g|\cdot |f+g|^{p-1}
	\]
	Ca�kuj�c i stosuj�c nier. H\"{o}ldera
	\[
	\begin{split}
	\int |f+g|^p \le \left( \int |f|^p \right)^{\frac{1}{p}} \left( \int |f+g|^{(p-1)q} \right)^{\frac{1}{q}}+ \left( \int |g|^p \right)^{\frac{1}{p}} \left( \int |f+g|^{(p-1)q} \right)^{\frac{1}{q}} = \\
	\left( \int |f+g|^p \right)^{\frac{1}{q}} \left( ||f||_p+||g||_p \right)
	\implies \underbrace{||f+g||_p}_{= \left( \int |f+g|^p \right)^{1-\frac{1}{q} = \frac{1}{p}}} \le ||f||_p+||g||_p
	\end{split}
	\]
\end{proof}
\begin{theorem}
	Przestrzenie $L^p$ s� zupe�ne.
\end{theorem}
\begin{proof}
	Niech $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ b�dzie Cauchy'ego w $L^p(X,d\mu)$. Wystarczy pokaza�, �e $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ma podci�g zbie�ny. Mo�na bez straty og�lno�ci za�o�y� (ewentualnie przechodz�c do podci�gu), �e \[||f_{n+1}-f_n||_p\le\frac{1}{2^n}\] Rozwa�my funkcje $g_n=f_n-f_{n-1}, n>1$ oraz $g_1=f_1$ i zdefiniujmy funkcj� $G(x) = \sum_{n=1}^\infty |g_n(x)|$.
	Zauwa�my, �e
	\[
\|\sum_{k=1}^n |g_k(x)|\|_p \le \sum_{k=1}^n \|g_k(x)\|_p = \|f_1\|_p+\sum_{k=2}^n \frac{1}{2^k} \le \frac{1}{2} + \|f_1\|_p.
	\]
	Na mocy tw. o zbie�no�ci monotonicznej
	\[
	||\underbrace{\sum_{k=1}^\infty |g_k(x)|||_p}_{=\left( \int_X G(x)^p \right)^\frac{1}{p}} <\infty
	\]
	Zatem $G(x)<\infty$ $\mu$�p. w., czyli szereg $\sum_{k=1}^\infty g_k$ jest bezwzgl�dnie zbie�ny $\mu$�p. w. Zauwa�my, �e $\sum_{k=1}^\infty g_k(x) = f_n - f_{n-1} + f_{n-1} - f_{n-2} + \ldots - f_1 = f_n(x)$.
	Niech $f(x) = \lim_{n\to \infty}f_n$. W�wczas $\lim_{n\to \infty} ||f-f_n||_p=0$. Rzeczywi�cie
	$|f-f_n|^p \xrightarrow{n\to \infty \textrm{ punktowo}} 0$ oraz $|f-f_n|^p\le G(x)^p$
	i skoro $\int G(x)^p <\infty$ to korzystaj�c z tw. o zbie�no�ci zmajoryzowanej:
	\[
	\lim_{n\to \infty} \int_X|f-f_n|^p = 0 = \lim_{n\to \infty} ||f-f_n||_p^p
	\]
\end{proof}
\begin{remark}
	$L^2(X,d\mu)$ jest przestrzeni� Hilberta.
\end{remark}
\section{Wyk�ad 03.04.2017}
\textbf{Przestrzenie Hilberta}  
\begin{example}  
Ci�gi sumowalne z kwadratem:
\[l^2(\mathbb{N})=\{(a_n)_{n\in\mathbb{N}}: a_n \in \mathbb{C}, \sum_{n=1}^{\infty}{|a_n|^2} < \infty \}\]

Iloczyn skalarny: \[\langle(a_n)_{n \in \mathbb{N}},(b_n)_{n \in \mathbb{N}}\rangle := \sum_{n=1}^{\infty}{\overline{a_n}}b_n \ \hbox{dla} \ (a_n)_{n \in \mathbb{N}}(b_n)_{n \in \mathbb{N}} \in l^2(\mathbb{N})\]
$l^2(\mathbb{N})$ jest przestrzeni� unormowan� i $||(a_n)_{n \in \mathbb{N}}|| = \langle(a_n)_{n \in \mathbb{N}},(a_n)_{n \in \mathbb{N}}\rangle^{1/2} $. 
Je�li $\mathbb{N}$ zaopatrzymy w miar� licz�c�: $\mu(A)=\# A $ to $l^2(\mathbb{N})=L^2(\mathbb{N},d \mu )$. \\
W szczeg�lno�ci $l^2(\mathbb{N})$ jest przestrzeni� zupe�n�. \end{example}
\begin{definition}
Niech $H$ b�dzie przestrzeni� wektorow� nad $\mathbb{C}$. M�wimy, �e odwzorowanie $\langle\cdot,\cdot\rangle: H \times H \rightarrow \mathbb{C}$ jest form� p�toraliniow� je�li: \\
\begin{itemize}
\item $\langle\phi,\alpha_1\psi_1 + \alpha_2\psi_2\rangle = \alpha_1\langle\phi,\psi_1\rangle+\alpha_2\langle\phi,\psi_2\rangle$ $-$ liniowo�� w argumencie drugim
\item $\langle\alpha_1\phi_1 + \alpha_2\phi_2,\psi\rangle = \alpha_1\langle\phi_1,\psi\rangle+\alpha_2\langle\phi_2,\psi\rangle$ $-$ antyliniowo�� w argumencie pierwszym 
\end{itemize}
$\langle\cdot,\cdot\rangle$ nazywamy iloczynem skalarnym je�li dodatkowow:
\begin{itemize}
\item $\langle\phi,\psi\rangle=\langle\overline{\psi,\phi}\rangle$
\item $\langle\phi,\phi\rangle > 0, \ \phi \neq 0$
\end{itemize}
\end{definition}
Niech $\phi \in H$. M�wimy, �e $\phi$ jest wektorem jednostkowym je�li $||\phi||:= \langle \phi, \phi \rangle^{1/2}=1$. Dla $\psi \in H$ oraz $\phi$ unormowanego (jak wy�ej) definiujemy: $$ \psi_{\parallel} = \langle\phi, \psi\rangle\phi  \ \hbox{oraz} \ \psi_{\perp}=\psi - \psi_{\parallel}$$ �atwo si� przekona�, �e $\langle\psi_{\perp},\phi\rangle = 0, \ \langle\psi_{\parallel},\psi_{\perp}\rangle=0.$ M�wimy, �e wektory $\psi_1, \psi_2 \in H$ s� prostopad�e je�li $\langle \psi_1, \psi_2 \rangle =0,$ oznaczenie $\psi_1 \perp \psi_2$. \\
\begin{theorem} (Pitagorasa) \\
$\psi_1 \perp \psi_2 \Rightarrow ||\psi_1+ \psi_2||^2  = ||\psi_1||^2+ ||\psi_2||^2.$ W szczeg�lno�ci
\begin{equation}\label{twpit} ||\psi||^2 =||\psi_{\parallel}||^2 + ||\psi_{\perp}||^2 = |\langle \psi,\phi\rangle|^2 + ||\psi_{\perp}||^2\end{equation}
\end{theorem}
\begin{theorem} 
Nier�wno�� Cauchy-Schwarza:
$|\langle \phi, \psi \rangle| \le ||\phi|| \cdot ||\psi||$ dla wszystkich $\phi, \psi \in H$.
\end{theorem} 
\begin{proof}Nier�wno�� Cauchy-Schwarza  wystarczy wykaza� dla $||\phi||=1$. Przy tym za�o�eniu jest ona   prost� konsekwencj� \eqref{twpit}. 
\end{proof}
\begin{lemma}
$||\cdot||$ spe�nia nier�wno�� tr�jk�ta (czyli jest norm�)
\end{lemma}
\begin{proof}
$|| \psi + \phi||^2 = ||\psi||^2 + ||\phi||^2 + \langle \psi,\phi\rangle + \langle \phi,\psi\rangle = ||\psi||^2 + ||\phi||^2 +2\hbox{Re}\langle \psi,\phi\rangle \le ||\psi||^2 + ||\phi||^2 +2 |\langle \psi,\phi\rangle |\le ||\psi||^2 + ||\phi||^2 +2 || \psi||\cdot||\phi|| $
\end{proof}
\begin{definition}
Przestrze� $H$ z iloczynem skalarnym $\langle\cdot,\cdot\rangle$ nazywamy przestrzeni� Hilberta je�eli $H$ z norm�    $\|\cdot\|$ jest zupe�na (ci�gi Cauchy'ego s� w niej zbie�ne). 
\begin{example}
$(X,\Sigma,\mu) - $ przestrze� z miar�, to wprowadzaj�c iloczyn skalarny \[\langle\phi,\psi\rangle = \int_X{\overline{\phi(x)}\psi(x)d\mu(x)}\] gdzie $\phi,\psi \in L^2(X,d\mu),$ $L^2(X,d\mu)$ staje si� przestrzeni� Hilberta.
\end{example}
\end{definition}
\begin{definition}
M�wimy, �e $\{ \phi_i \}_{i \in I}$ jest uk�adem ortonormalnym je�li $\langle \phi_{i_1},\phi_{i_2}\rangle=0 \ i_1 \neq i_2$ oraz $||\phi_i||=1$
\end{definition}
\begin{example}
$L^2([-\pi,\pi],d\lambda) \ \ \phi_k(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikt} \ \ k \in \mathbb{Z}$. W�wczas $(\phi_k)_{k \in \mathbb{Z}}$ jest uk�adem ortonormalnym.
\end{example}
\begin{proposition}
Niech $\{ \phi_i \}_{i \in I}^n$ b�dzie uk�adem ortonormalnym oraz $\psi \in H$. Niech $\psi_{\parallel}=\sum^n_{i=1}{\langle \phi_i,\psi\rangle\phi_i}$ oraz $\psi_{\perp} = \psi - \psi_{\parallel}$. W�wczas: $$\langle \phi_i,\psi_{\perp}\rangle=0, \ ||\psi||^2=\sum^n_{i=1}|\langle \phi_i,\psi\rangle|^2 + ||\psi_{\perp}||^2. $$
Je�li $\hat{\psi} \in \hbox{span}(\{  \phi_i\}^n_{i=1})$ to $||\psi-\hat{\psi}|| \ge ||\psi_{\perp}$ a r�wno�� zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy $\hat{\psi}=\psi_{\parallel}$
\end{proposition}
\begin{proof}
�atwo sprawdzi�, �e $\psi_{\perp}\perp\psi_i, \ i=1,\cdots,n$ oraz $\psi_{\perp}\perp \psi_{\parallel}$. Z twierdzenia Pitagorasa:
$$||\psi||^2 =||\psi_{\perp}||^2+||\psi_{\parallel}||^2 = \sum_{i=1}^n{|\langle \phi_i, \psi \rangle|^2} + ||\psi_{\perp}||^2 $$ 
Niech $\hat{\psi} \in \hbox{span}(\{ \phi_i\}_{i=1}^n)$ i $\hat{\psi}=\sum_{i=1}^n{c_i\phi_i}$. W�wczas $||\psi - \hat{\psi}||  = \sum^n_{i=1}{(\langle \phi_i,\psi\rangle - c_i)}\phi_i+\psi_{\perp}||^2 = \sum_{i=1}^n{| \langle \phi_i,\psi \rangle -c_i|^2} +||\psi_{\perp}||^2$, a st�d $||\psi-\hat{\psi}|| \ge ||\psi_{\perp} ||^2$ oraz r�wno�� zachodzi gdy $c_i = \langle \phi_i,\psi\rangle$ co oznacza $\hat{\psi}=\psi_{\parallel}$
\end{proof}
\begin{corollary}
$\psi_{\parallel} $ jest elementem $\hbox{span}\{\phi_i \}^n_{i=1}$ najbli�szym wektora $\psi$
\end{corollary}
Wersja stwierdzenia dla niesko�czonego uk�adu ortonormalnego wymaga u�ycia zupe�no�ci $H$ do definicji $\psi_{\parallel}$. Niech wi�c $\{\phi_i \}_{i \in I} $ b�dzie uk�adem ortonormalnym gdzie $I$ jest przeliczalnym zbiorem. Dla ka�dej sko�czonej podrodziny $\{\phi_1,\cdots,\phi_n \}$ zachodzi nier�wno�� $\sum^n_{k=1}{|\langle \phi_{i_k},\psi\rangle|^2|}\le ||\psi||^2$. Zatem szereg wsp�czynnik�w $\sum^n_{k=1}{|\langle \phi_{i_k},\psi\rangle|^2|} < \infty$. Ponadto ci�g $\sum^n_{k=1}{\langle \phi_{i_k},\psi\rangle\phi_i}$ tworzy ci�g Cauchy'ego. 
Rzeczywi�cie, dla 
$\psi_m = \sum^m_{i=1}{\langle \phi_i,\psi\rangle\phi_i}, \ \psi_m =\sum^m_{i=1}{\langle \phi_i,\psi\rangle\phi_i} \ \hbox{dla} \ n>m$ mamy 
$||\psi_n - \psi_m||^2 = ||\sum^n_{i=m+1}{\langle \phi_i,\psi\rangle}||^2 = \sum^n_{i=1}{|\langle \phi_i,\psi\rangle|^2 < \epsilon}$ dla dostatecznie du�ych $n,m$. K�adziemy  $\psi_{\parallel} =  \sum_{i \in I}{\langle \phi_i,\psi\rangle\phi_i}$.

Je�li $I$ nie jest przeliczalny to ci�gle liczba niezerowych wsp�czynnik�w $\langle \phi_i, \psi \rangle$ jest co najwy�ej przeliczalna i w tym przypadku r�wnie� k�adziemy $\psi_{\parallel} =  \sum_{i \in I}{\langle \phi_i,\psi\rangle\phi_i}$.
\begin{definition}
Je�li uk�ad jest ortonormalny $\{ \phi_i\}_{i \in I }$ nie jest zawarty w istotnie wi�kszym uk�adzie ortonormalnym to taki uk�ad nazywamy baz� ortonormaln�.
\end{definition}
\begin{theorem}
Nast�puj�ce warunki s� r�wnowa�ne:
\begin{enumerate}
\item $\{ \phi_i\}_{i \in I }$ jest baz� ortonormaln� 
\item $\psi = \sum_{i \in I}{\langle \phi_i,\psi\rangle\phi_i}$
\item $||\psi||^2 = \sum_{i \in I}{|\langle \phi_i,\psi\rangle|^2}$
\item $\langle \phi_i,\psi\rangle=0$ dla ka�dego $i \in I \Rightarrow \psi=0$
\end{enumerate}
$1. \Rightarrow 2.$ $\psi=\psi_{\perp} + \psi_{\parallel}$ gdzie $\psi_{\perp} \perp \phi_i$, gdyby $\psi_{\perp} \neq 0$ to $\{ \phi_i\}_{i \in I } \subset \{ \phi_i\}_{i \in I } \cup \{ \frac{\psi_{\perp}}{||\psi_{\perp}||} \}$ i widzimy, �e $\{ \phi_i\}_{i \in I } \}$ nie jest maksymalny. \\
$2. \Rightarrow 3.$ przyk�adamy $||\cdot||^2$ do obu stron $2.$ \\
$3. \Rightarrow 4.$ $\langle \phi_i,\psi\rangle=0 \Rightarrow ||\psi||^2=0 \Rightarrow \psi=0$.\\
$4. \Rightarrow 1.$ $\{ \phi_i\}_{i \in I}$ nie jest maksymalny to istnieje $\psi \in H$ $||\psi||=1$ takie, �e $\{ \phi_i\}_{i \in I}\cup\{\psi \}$ jest uk�adem ortonormalnym. W szczeg�lno�ci $\langle\phi_i,\psi\rangle=0$ oraz $\psi \neq 0$ $-$ sprzeczno��.
\end{theorem}
\section{Wyk�ad 10.04.2017}

\begin{memento}
  Zdefiniowali�my uk�ady ortonormalne, bazy, itd. Przyk�adem jest $H=~L^{2}[-\pi,\pi]$, $e_{k}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}$, $k\in \mathbb{Z}$, \{$e_{k}$\}$_{k \in \mathbb{Z}}$. $H$ posiada przeliczaln� baz�.	
\end{memento}

\begin{remark}
	U�ywaj�c aksjomatu wyboru mo�na pokaza�, �e ka�da przestrze� Hilberta ma baz� ortonormaln�.
\end{remark}

\begin{theorem}
 Niech $H$ b�dzie przestrzeni� Hilberta oraz $\{\phi_{k}\}_{k \in \mathbb{Z}}$ b�dzie (przeliczaln�) baz�. Je�li $\{\psi_{j}\}_{j \in J}$ jest baz� $H$, to $J$ jest zbiorem przeliczalnym.
\end{theorem}

\begin{proof}
 Ustalmy $k \in \mathbb{Z}$ i niech $J_k:=\{j \in J:\langle \psi_{j},\phi_{k}\rangle=0\}$. Zauwa�my, �e $J_{k}$ jest zbiorem przeliczalnym. Ponadto $J=\bigcup_{k \in \mathbb{Z}}J_{k}$. Rzeczywi�cie, gdyby $J$ by� zbiorem istotnie wi�kszym ni�~$\bigcup_{k \in \mathbb{Z}}J_{k}$, to istnia�by wektor $\psi_{j} \notin J_{k}$, to znaczy $\langle \psi_{j}, \phi_{k} \rangle = 0$ $ \forall_{k \in \mathbb{Z}}$. Skoro $\{\phi_{k}\}_{k \in \mathbb{Z}}$ jest baz�, to takie $\psi_{j}$ jest wektorem zerowym, co daje nam sprzeczno��. 
W szczeg�lno�ci $J$ jest zbiorem przeliczalnym.
\end{proof}

\endproof

\begin{definition}
 M�wimy, �e $H$ jest przestrzeni� o�rodkow�, je�li posiada ona przeliczaln� baz�.
\end{definition}

\begin{fact}
 Je�li $H$ jest przestrzeni� o�rodkow�, to $H$ jest unitarnie izomorficzna z $l^{2}(\mathbb{N})$.
\end{fact}

\begin{proof}
 Niech $\{\phi_{j}\}$ b�dzie baz� $H$. W�wczas $U: H \rightarrow l^{2}(\mathbb{N})$, gdzie dla $\psi \in H$ mamy:

\begin{displaymath}
	(U\psi)_{n \in \mathbb{N}}:= (\langle \phi_{n}, \psi\rangle)_{n \in \mathbb{N}}.
\end{displaymath}
\end{proof}

\endproof

\begin{theorem}
 (O rzucie ortogonalnym.) Niech $M \subset H$ b�dzie domkni�t� podprzestrzeni� wektorow� oraz $M^{\perp}=\{\psi \in H:\psi \perp \phi$ $\forall_{\phi \in M} \}$. W�wczas $\forall_{\psi \in H}$ istniej�   $\psi_{\parallel}\in M$, $\psi_{\perp} \in M^\perp$, t. �e $\psi =\psi_{\parallel} + \psi_{\perp}$. Ponadto takie $\psi_{\parallel}, \psi_{\perp}$ s� wyznaczone jednoznacznie.
\end{theorem}

\begin{proof}
 M jest przestrzeni� Hilberta. Niech $\{\phi_{j}\}_{j \in J}$ b�dzie ortonormaln� baz� $M$. Definiujemy $\psi_{\parallel}= \sum_{j\in J} \langle\phi_{j},\psi\rangle \phi_{j}$ oraz $\psi_{\perp}=\psi - \psi_{\parallel}$. Jednoznaczno�� wynika z r�wno�ci $M\cap M^{\perp}=0$.
\end{proof}

\endproof

\begin{remark}
 Maj�c $M \subset H$ jak wy�ej definiujemy $\mathcal{P}:H\rightarrow H$, gdzie $\mathcal{P}\psi=\psi_{\parallel}$. W�asno�ci $\mathcal{P}$:
\end{remark}

\begin{itemize}
	\item $\mathcal{P}^{2}$=$\mathcal{P}$,
	\item $\langle \psi, \mathcal{P} \phi \rangle = \langle \mathcal{P}\psi, \phi \rangle$, poniewa�:
	$\langle \mathcal{P}\psi, \phi \rangle = \langle\psi_{\parallel}, \phi_{\parallel}+\phi_{\perp} \rangle = \langle \psi_{\parallel}, \phi_{\parallel} \rangle = \langle \psi, \mathcal{P}\phi \rangle$.
\end{itemize}

Operator $\mathcal{P}$ spe�niaj�cy oba powy�sze warunki nazywamy rzutem ortogonalnym.

\begin{example}
 $H=L^{2}[-\pi,\pi], e_{k}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{ikx}, \{e_{k}\}_{k \in \mathbb{Z}}$ -- baza. 

$M_{N}=\mathrm{span}\{e_{-N}, e_{-N+1}, ..., e_{N-1},e_N\}$, $\dim M_{N} =2N+1$.

 $\mathcal{P}_{N}$ -- rzut na $M_{N}$; $\psi \in H=L^{2}[-\pi,\pi]$; $\alpha \in [-\pi, \pi]$.

\begin{displaymath}
\begin{split}
	(\mathcal{P}_{N}\psi)(\alpha)=\sum^{N}_{k=-N} \langle\phi_{k},\psi\rangle\phi_{k}(\alpha)=\sum^{N}_{k=-N}\left(\int^{\pi}_{-\pi}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-ik \beta} \psi (\beta)  \mathrm{d} \beta \right)\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{ik \alpha}=\\ \int^{\pi}_{-\pi}\frac{1}{2 \pi}\sum^{N}_{k=-N}e^{ik(\alpha - \beta)}\psi(\beta) d \beta = \int^{\pi}_{-\pi}\frac{e^{-iN(\alpha - \beta)}}{2 \pi} \frac{1-e^{-i(\alpha - \beta)(2N+1)}}{1-e^{i(\alpha - \beta)}} \psi(\beta)\mathrm{d}\beta= \\
	\int^{\pi}_{-\pi}\frac{1}{2\pi} \frac{\sin \frac{2N+1}{2}(\alpha - \beta)}{\sin(\frac{\alpha - \beta}{2})}\psi(\beta)\mathrm{d}\beta
\end{split}
\end{displaymath}
\end{example}

\begin{theorem}
(Riesza.) Niech $l:H\rightarrow \mathbb{C}$ b�dzie ci�g�ym funkcjona�em liniowym na $H$. W�wczas istnieje dok�adnie jeden wektor $\psi \in H$ taki, �e $\forall_{\phi \in H}$ mamy $l(\phi) = \langle\psi, \phi \rangle$.
\end{theorem}

\begin{proof}
$\ker l=\{\psi: l(\psi)=0\} \subset J$. J�dro operatora $l$ jest podprzestrzeni� domkni�t�. Je�li $\ker l = H$, to k�adziemy $\psi=0$. Je�li $\ker l\neq H$, to wybieramy $\tilde\psi \in \ker l^{\perp}:||\tilde\psi||=1$.

Zauwa�my, �e $\forall_{\phi \in H}$ $l(\phi)\tilde\psi - l(\tilde\psi)\phi \in \ker l$. W szczeg�lno�ci:

\begin{displaymath}
 0=\langle \tilde\psi, l(\phi)\tilde\psi - l(\tilde\psi)\phi \rangle = l(\phi) -\langle  \tilde\psi,l(\tilde\psi)\phi \rangle = l(\phi)-\langle \overline{l(\tilde \psi)}\tilde\psi, \phi\rangle.
\end{displaymath}

\noindent Czyli $l(\phi)=\langle \overline{l(\tilde \psi)}\tilde\psi, \phi\rangle$. K�ad�c $\psi=\overline{l(\tilde\psi)}\tilde\psi$ dostajemy $\underline{\mathrm{istnienie}}$ $\psi$ jak w tre�ci twierdzenia.
 
Jedyno��: je�li $\psi_{1},\psi_{2}  \in H$ spe�niaj� s� takie jak w tezie to  $\langle \psi_{1},\phi \rangle = \langle \psi_{2},\phi \rangle$ dla wszystkich $\phi$. Zatem $\langle \psi_{1} - \psi_{2}, \phi \rangle = 0$ i dla $\phi=\psi_{1}-\psi_{2}$ mamy $||\psi_{1}-\psi_{2}||^{2}=0$ i $\psi_{1}=\psi_{2}$.

\endproof
\end{proof}

\textbf{Wielomiany ortogonalne} \\

\begin{memento} 

Ortogonalizacja Gramma-Schmidta. \\ \\
$\{\psi_{1},...,\psi_{n},...\}$ -- zadany uk�ad wektor�w. $V_{n}=\mathrm{lin} \mathrm{span}\{\psi_{1},...,\psi_{n}\}$ i $\dim V_{n}=n$. Definiujemy uk�ad $\underline{\mathrm{ortogonalny}}$ $\{\phi_{1},...,\phi_{n},...\}$. W spos�b indukcyjny:

\begin{enumerate}
	\item $\phi_{1}=\psi_{1}$,
	\item maj�c $\{\phi_{1},...,\phi_{n-1}\}$ definiujemy $\phi_{n}=\psi_{n} - \sum^{n-1}_{i=1}\frac{\langle \phi_{i}, \psi{n} \rangle \phi_{n}}{||\phi_{i}||}$.
\end{enumerate}

\end{memento}

\noindent Niech dany b�dzie odcinek $[a,b]$ oraz $\rho:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}_{+}$, (dopuszczamy mo�liwo�� $a=-\infty, b=\infty$) gdzie  $\rho$ -- mierzalna taka, �e:
 $\rho(x) > 0$, $x \in ]a,b[$;
 $\rho$ nazywamy wag�.
 Niech \[H=L^{2}([a,b], \rho dx)=\{f:[a.b] \rightarrow \mathbb{C}:\int^{b}_{a}|f(x)|^{2}\rho(x)dx\}\] Za��my, �e $\int^{b}_{a}|x|^{n}\rho dx < \infty$. W szczeg�lno�ci $\{1,x,x^{2},...,x^{n},...\} \subset H$. $V_{n}$ -- przestrze� wielomian�w co najwy�ej stopnia $n$.

 Ortogonalizacji Gramm-Schmidta zastosowana do $\{1,x,x^{2},...,x^{n},...\}$   $\rightsquigarrow \{P_{0},...,P_{n},...\}$ -- uk�ad ortogonalny, $\deg P_{n} = n$ oraz \\ $\langle P_{k}, P_{l} \rangle = 0$ $\forall_{k\neq l}$. Niech $p_{n}=\frac{P_{n}}{\|P_{n}\|} \rightsquigarrow \{p_{0},...,p_{n},...\}$ -- uk�ad ortonormalny. Do kwestii, kiedy $\{p_{0},...,p_{n},...\} $ jest baz� powr�cimy p�niej. Zauwa�amy, �e $p_n$ s� wielomianami o wsp�czynnikach rzeczywistych.

Niech $k_{n}$ b�dzie wsp�czynnikiem $p_n$ przy najwy�szej po�dze $x$:  $p_{n}(x)=k_{n}x^{n}+$ ni�sze pot�gi. Dla  $j,m \in \mathbb{N}$ definiujemy $\beta_{jm}=\langle p_{j}, x p_{m}\rangle$.

\begin{proposition}
\begin{enumerate}
	\item $\beta_{jm} = \beta_{mj}$ oraz $\beta_{jm}=0, |j-m| \geq 2$,
	\item $xp_{n} = \beta_{n+1,n}p_{n+1} + \beta_{n,n}p_{n}+\beta_{n-1,n}p_{n-1}$,
	\item$\beta_{n+1,n}=\frac{k_{n}}{k_{n+1}}$
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof} 
	\begin{enumerate}
		\item $\beta_{jm}=\int^{b}_{a}\rho(x) p_{j}(x)p_{m}(x)x dx=\int_{a}^{b}\rho(x)p_{m}(x)p_{j}(x)x dx=\beta_{mj}$; je�li np.: $j \geq m+2$, to $p_{j} \perp V_{m+1}$. Skoro $xp_{m} \in  V_{m+1}$ to $    xp_{m}\perp p_{j}$.   
		
		\item $xp_{n} = \sum^{n+1}_{k=0}\langle p_{k},xp_{n}\rangle p_{k}=\beta_{n+1,n}p_{n+1}+\beta_{n,n}p_{n}+\beta_{n-1,n}p_{n+1}$,
		\item $\langle p_{n+1},xp_{n}\rangle=\langle p_{n+1}, k_{n}x^{n+1} + \textrm{wiel. stop. n} \rangle=\langle p_{n+1},k_{n}x^{n+1}\rangle=\frac{k_{n}}{k_{n+1}}\langle p_{n+1}, k_{n+1}x^{n+1}\rangle= \linebreak = \frac{k_{n}}{k_{n+1}}\langle p_{n+1}, k_{n+1}x^{n+1} + u \rangle    = \frac{k_{n}}{k_{n+1}}\langle p_{n+1},p_{n+1} \rangle = \frac{k_{n}}{k_{n+1}}.$
		
 gdzie   $u$ -  wielomian $n$-tego stopnia taki, �e  $k_{n+1}x^{n+1}+u=p_{n+1}$
	\end{enumerate}
\end{proof}
\section{Wyk�ad 24.04.2017}
\begin{remark}
Waga $\rho:[a,b] \to \mathbb{R}_+, \rho(s)>0$ dla $s\in[a,b]$. Miara $\rho dx$.
Przestrze� Hilberta $L^2([a,b],\rho dx) = \{ f:[a,b]\to \mathbb{C}: \int_a^b /| f(s)/|^2 \rho dx < \infty \}.$
$$\forall n\in \mathbb{N} \int_a^b |x|^n\rho dx < \infty,$$
czyli wielomiany tworz� podprzestrze� wektorow� w $H$.
Ortogonalizacj� G-S zastosowano do \[\{1,x,x^2,\dots,x^n,\dots\}\] daje uk�ad ortonormalny $\{ p_0,p_1,\dots,p_n,\dots \}$.
$$ xp_n(x) = \beta_{n+1,n}p_{n-1}(x)+\beta_{n,n}p_n(x)+\beta_{n-1,n}p_{n-1}(x) $$
$$\beta_n = \frac{k_n}{k_{n+1}}, \textrm{ gdzie } k_nx^n+\textrm{wielomian st. } n-1.$$
Niech $V_n \subset H$ b�dzie podprzestrzeni� wielomian�w st. $\le n$ i niech $P_{V_n}:H\to $ b�dzie rzutem ortogonalnym na $V_n$. Niech $f\in H$. Mamy
\[ \begin{split}
P_{V_n} f(x) = \sum_{j=0}^n p_j(x) (p_j|f)=
\int_a^b \underbrace{\sum_{j=0}^n p_j(x)p_j(y)}_{\textrm{j�dro ca�kowe } = P_{V_n}(x,y)}f(y)\rho(y)dy =\\
\int_a^b P_{V_n}(x,y)f(y)\rho(y)dy
\end{split} \]
\end{remark}
\begin{theorem}(Wz�r Christoffelo-Darboux)
\[
P_{V_n}(x,y)= \begin{cases}
\frac{k_n}{k_{n+1}} \frac{p_{n+1}p_n(y)-p_n(x)p_{n+1}(y)}{x-y}  &x\ne y (*)\\
\frac{k_n}{k_{n+1}}(p_{n+1}p_n(x)-p_{n+1}p_n(x) & x=y (**)
\end{cases}
\]
\end{theorem}
\begin{proof}
\[
\begin{split}
(x-y)(p_j(x)p_j(y))= \beta_{j+1,j}p_{j+1}(x)p_j(y)+\beta_{jj}p_j(x)p_j(y)+\\
\beta_{j-1,j}p_{j-1}(x)p_j(y)-\beta_{j+1,j}p_{j+1}(y)p_j(x)-\beta_{jj}p_j(y)p_j(x)-\beta_{j-1,j}p_{j-1}(y)p_j(x)=\\
\beta_{j+1,j}(p_{j+1}(x)p_j(y)-p_{j+1}(y)p_j(x))-\beta_{j,j-1}(p_j(x)p_{j-1}(y)-p_j(y)p_{j-1}(x))
\end{split}
\]
Sumuj�c po $j$ skracaj� si� wszystkie wyrazy opr�cz $\beta_{n+1,n}(p_{n+1}(x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x))=(x-y)p_{N_n}(x-y)$
skoro $\beta_{n+1,n}=\frac{k_n}{k_{n+1}}$ to dostajemy $(*)$; $(**)$ wynikaj� z $(*)$.
\end{proof}
\begin{question}
Kiedy $\{p_0,p_1,\dots,p_n,\dots\}$ tworzy baz� o.n.? Gdy zachodzi implikacja
$$
(f\in H <x^k|f>=0, k=1,\dots) \implies (f=0) 
$$
\end{question}
\begin{theorem}
Niech $\rho$ j.w. i przypu��my, �e $\exists \epsilon > 0$ t.�e $\int_a^b e^{\epsilon|x|} \rho dx < \infty$. W�wczas $\{p_0,p_1,\dots,p_n,\dots\}$ jest baz� p-ni $L^2([a,b],\rho)=H$
\end{theorem}
\begin{proof}
Niech $z\in\mathbb{C}:|\textrm{Im} z||<\frac{\epsilon}{2}$ oraz niech $f\in H$. W�wczas $|\int_a^b f(x)e^{-ixz}\rho (x) dx|<\infty$. Rzeczywi�cie 
$$\int_a^b |f(x)| \rho^\frac{1}{2}(x) |e^{-ixz}|\rho^\frac{1}{2}(x) dx \le \left( \int_a^b |f(x)|\rho (x) dx \right)^\frac{1}{2} \left( \int_a^b e^{\epsilon |x|}\rho (x) dx \right)^\frac{1}{2}.$$
Rozwa�my funkcj� analityczn�
$$z \longmapsto F(z) = \int_a^b f(x)e^{-ixz}\rho (x) dx,$$ gdzie
$$\frac{d}{dz}F(z) = \int_a^b f(x)(-ix)e^{-ixz}\rho (x) dx$$
Og�lniej
$$\frac{d^n}{dz^n}F(z) = \int_a^b f(x)(-ix)^ne^{-ixz}\rho (x) dx = (-i)^n<x^n|f>$$
Zatem je�li $<x^n|f>=0$ to $\frac{d^n}{dz^n}F(z)|_{z=0}=0$ i z analityczno�ci $F$ dostajemy $F(z)=0$ gdy $|\textrm{Im}z|<\frac{\epsilon}{2}.$
W szczeg�lno�ci dla $t\in\mathbb{R}$ dostajemy zerowanie tr. Fouriera
$\int_\mathbb{R}(f\rho \chi_{[a,b]})(x)e^{-itx}dx$ czyli $f\rho\chi_{[a,b]}=0 \implies f=0$ p.w. na $[a,b]$.
\end{proof}
\begin{example}{Wielomiany Czybyszewa}
$$\cos(n\theta)\in L^2([0,\pi],d\theta), n \in \mathbb{N}$$
$$[0,\pi] \ni\theta \longmapsto \cos \theta \in [-1,1]$$
Rozwa�my odwzorowanie, kt�re $f:[0,\pi]\to\mathbb{C}$ przypisuje $Uf:[-1,1]\to\mathbb{C}$ dane wzorem $(Uf)(cos\theta)=f(a)$.
$U$ zadaje bijekcj� mi�dzy $L^2([0,\pi],d\theta)$ i $L^2([-1,1],\sqrt{1-x^2}dx)$. Je�li $f(\theta)=\cos n\theta$ to $$(Uf)(\cos \theta)=\cos n\theta.$$
Wielomiany Czybyszewa 1-go rodzaju
$$T_n(\cos \theta )=\cos n\theta$$ lub inaczej. K�ad�c $x=\cos \theta$ mamy
$$T_n(x) = \frac{1}{2}\left( \left(x+i\sqrt{1-x^2}\right)^n+\left(x-i\sqrt{1-x^2}\right)^n \right)$$
Wielomiany Czybyszewa spe�niaj� r�wnanie r�niczkowe 2-go rz�du
$$\left( (1-x^2)\partial^2_x-x\partial_x +n^2\right)T_n(x)=0,$$
poniewa�
$$\partial_\theta^2 \cos n\theta + n^2 \cos n\theta = 0$$
$$\left(\partial^2_\theta+n^2\right) \cos n\theta$$
\end{example}
\begin{theorem}
Niech $C=\sigma(z)\partial_z^2+\tau(z)\partial_z$. Przypu��my, �e istniej� wielomiany $p_1, p_2$ st. 1, 2 - odpowiednio oraz liczby $\lambda_1, \lambda_2\in\mathbb{C}$ t.�e $Cp_i=\lambda_ip_i$, $i$ = 1, 2. W�wczas $\sigma$ jest wielomianem st. co najwy�ej 2 a $\tau$ jest wielomianem st. co najwy�ej 1.
\end{theorem}
\begin{proof}
Otrzymujemy
$$Cp_1=\tau(z)p_1'(z)=\lambda_1p_1.$$
Prawa strona jest co najwy�ej wielomianem st. 1 oraz $p_1'(z)\ne0$. Zatem $\tau$ jest wielomianem co najwy�ej st. 1. Podobnie dowodzimy dla $\sigma$.
\end{proof}

\section{Wyk�ad 8.05.2017}

Rozwa�my operatory r�niczkowe drugiego rz�du postaci

\[
C = \sigma(z)\partial_z^2 + \tau(z)\partial_z,
\]
gdzie $\sigma$ jest wielomianem stopnia $\leq 2$, a $\tau$ jest wielomianem stopnia $\leq 1$. Najbli�sze rozwa�ania b�d� sprowadza�y si� do znalezienia wzoru na wielomian $P_n$ stopnia $n$ taki, �e 

\[
CP_n = \lambda_nP_n.
\]
\begin{example}
Jak wiemy z mechaniki kwantowej, wielomiany Hermite'a s� wektorami w�asnymi operatora $C = \sigma(z)\partial_z^2 + 2z\partial_z$ i s� wektorami w�asnymi hamiltonianu oscylatora harmonicznego.
\end{example}

Maj�c dane $\sigma$ i $\tau$ rozwa�my funkcj� $\rho$ spe�niaj�c� r�wnanie
\[
\sigma(z)\rho'(z)=\left(\tau(z)-\sigma'(z)\right)\rho(z)
\]
Zauwa�my, �e gdy $w$ jest wielomianem, to mamy:
\[
Cw = \sigma\partial_z^2w + \tau\partial_zw = \sigma\partial_z^2w + \sigma'\partial_zw + (\tau - \sigma')\partial_zw = \sigma\partial_z^2w + \frac{1}{\rho}\sigma'\rho\partial_zw +\frac{1}{\rho}\sigma\rho'\partial_zw = \frac{1}{\rho}\partial_z\sigma\rho\partial_zw
\]
\begin{theorem}
Zdefiniujmy 
\[
P_n(\tau;z) := \frac{1}{n!}\frac{1}{\rho(z)}\partial_z^n\sigma^n(z)\rho(z).
\]
W�wczas $P_n(\tau;z)$ jest wielomianem stopnia $n$ oraz:
\begin{enumerate}[1)]
\item $CP_n(\tau;z) = (n\tau' + \frac{n(n-1)}{2}\sigma'')P_n(\tau;z)$
\item $\partial_zP_n(\tau;z) = (\tau' + \frac{(n-1)}{2}\sigma'')P_{n-1}(\tau+\sigma';z)$
\item $(\sigma(z)\partial_z + \tau(z) - \sigma'(z))P_n(\tau;z) = (n+1)P_{n+1}(\tau+\sigma';z)$
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
Rozwa�my operatory 
\begin{align*}
a^-&=\partial_z \\
a^+(\tau)&=\sigma(z)\partial_z + \tau(z).
\end{align*} 
W�wczas operator $C$ mo�na zapisa� jako 
\[C = a^+(\tau)a^-,\]
oraz zachodzi 
\[a^+ = \frac{1}{\rho}\partial_z\sigma\rho,
\]
gdy�
\[
\frac{1}{\rho}\partial_z\sigma\rho w = \sigma\partial_zw + (\tau-\sigma'+\sigma')w = \sigma\partial_z w + \tau w = a^+w.
\]
Z drugiej strony mamy 
\[
a^+(\tau)a^- - a^-a^+(\tau - \sigma') = -\tau'+\sigma'',
\]
gdy�
\begin{align*}
a^-a^+(\tau - \sigma')w &= \partial_z(\sigma\partial_z + \tau - \sigma')w = \sigma\partial_z^2w + \sigma'\partial_zw + (\tau - \sigma')\partial_zw +(\tau' - \sigma'')w = \\ &= Cw + (\tau' - \sigma'')w = a^+(\tau)a^- + (\tau' - \sigma'')w
\end{align*}
Przypu��my, �e F jest wektorem w�asnym operatora $C(\tau+\sigma')$ o warto�ci w�asnej $\lambda$. W�wczas
\[
Ca^+(\tau)F = a^+(\tau)a^-a^+(\tau)F = a^+\left(a^+(\tau+\sigma')a^- + \tau'\right)F = (\lambda + \tau')a^+(\tau)F.
\]
Podobnie dowodzimy, �e $a^+(\tau)a^+(\tau + \sigma')\cdot...\cdot a^+(\tau + (n-1)\sigma')F$ jest wektorem w�asnym $C(\tau)$ o warto�ci w�asnej $\lambda + n\tau' + \frac{n(n-1)}{2}\sigma''$. \newline Niech teraz $F = 1$. W�wczas $C(\tau)F = \sigma(z)\partial_z^21 + \tau(z)\partial_z1 = 0$, czyli $\lambda = 0$. Zauwa�my, �e 
\begin{align*}
    -a^+(\tau) &= \frac{1}{\rho}\partial_z\sigma\rho \\
    -a^+(\tau + \sigma') &= \frac{1}{\rho\sigma}\partial_z\sigma^2\rho,
\end{align*}
gdy� 
\[
\frac{1}{\rho\sigma}\partial_z\sigma^2\rho w = \sigma\partial_z w + (\tau - \sigma')w + \frac{2\sigma'\rho}{\sigma\rho}w = \sigma\partial_z + (\tau + \sigma')w.
\]
Dalej
\[
-a^+(\tau + (n-1)\sigma') = \frac{1}{\rho\sigma^{n-1}}\partial_z\sigma^n\rho,
\]
a w szczeg�lno�ci dla $F=1$ mamy:
\begin{align*}
a^+(\tau)a^+(\tau + \sigma')\cdot...\cdot a^+(\tau + (n-1)\sigma')F = \frac{1}{\rho}\partial_z\sigma\rho\frac{1}{\sigma\rho}\partial_z\sigma^2\rho\cdot...\cdot\frac{1}{\rho\sigma^{n-1}}\partial_z\sigma^n\rho 1 = \frac{1}{\rho}\partial_z^n\sigma^n\rho
\end{align*}
Zatem $\frac{1}{\rho}\partial_z^n\sigma^n\rho$ jest wielomianem stopnia $n$. kt�ry jest warto�ci� w�asn� operatora $C(\tau)$ z warto�ci� w�asn� $n\tau' + \frac{n(n-1)}{2}\sigma''$. Definiuj�c $P_n(\tau;z) := \frac{1}{n!}\frac{1}{\rho(z)}\partial_z^n\sigma^n(z)\rho(z)$ �atwo sprawdzi�, �e wielomian ten spe�nia tak�e podpunkty 2. i 3. powy�szego twierdzenia. 
\end{proof}

Teraz niech bed� dane rzeczywiste wielomiany $\tau(x)$ i $\sigma(x)$. Przypu��my, �e $\sigma\rho' = (\tau-\sigma')\rho$ oraz 
\begin{enumerate}
\item $\rho \ge 0$ na $]a,b[$
\item $\sigma(a)\rho(a) = \sigma(b)\rho(b) = 0$

\end{enumerate}
Rozwa�my operator $C(\tau) = \frac{1}{\rho}\partial_x\sigma\rho\partial_x$ zdefiniowany na przestrzeni $\mathfrak{Pol}$ wielomian�w dowolnego stopnia. Za��my, �e $\mathfrak{Pol} \subset L^2([a,b],\rho)$. W�wczas 
\[
 (u,Cw) = (Cu,w) \;\;\; \forall_{u,w\in \mathfrak{Pol}} ,
\]
gdy� 
\begin{align*}
   (u,C(\tau)w) &=\int\limits_a^b\rho(x)\overline{u(x)}\frac{1}{\rho(x)}\partial_x\sigma(x)\rho(x)\partial_xw(x)dx = \\ 
    &= -\int\limits_a^b\left(\partial_x\overline{u(x)}\right)\sigma(x)\rho(x)\partial_xw(x) + \overline{u(b)}\sigma(b)\rho(b)\partial_x w(b) - \overline{u(a)}\sigma(a)\rho(a)\partial_xw(a) = \\
    &= \int\limits_a^b\rho(x)\left(\frac{1}{\rho(x)}\partial_x\sigma(x)\rho(x)\partial_x\overline{u(x)}\right)w(x)dx = (C(\tau)u,w)
\end{align*}
W szczeg�lno�ci, je�li $Cu = \lambda u$, to 
\[
\lambda||u||^2 = (u,Cu) = (Cu,u) = \overline{\lambda}||u||^2.
\]
Je�eli za� $Cu = \lambda u$ oraz $Cw = \mu w$ i $\lambda \ne \mu$, to $u\perp w$, gdy�
\[
\lambda(w,u) = (w,Cu) = (Cw,u) = \mu(w,u) \Rightarrow (w,u) = 0.
\]
Uwaga: je�li $a = -\infty$, to warunek $\sigma(a)\rho(a) = 0$ zast�pujemy warunkiem
\[
\lim_{x \rightarrow -\infty} \sigma(x)\rho(x)x^n = 0 \;\;\textnormal{  dla }\; n \in \mathbb{N}
\]
i analogicznie dla $b = +\infty$.

\begin{example}
Rozwa�my operator $C$ dla $\textnormal{deg}\sigma(x) = 0$ i $\tau(x) = Ax + B$. W�wczas
\[
C = \partial_x^2 + (Ax+B)\partial_x
\]
i po podstawieniu $y= \sqrt{\frac{|A|}{2}}(x + \frac{B}{A})$ otrzymujemy
\[
C = \textnormal{const}\left\{ \begin{array}{ll}
\partial_y^2 + 2y\partial_y & \textrm{dla $A>0$}\\
\partial_y^2 - 2y\partial_y & \textrm{dla $A<0$}
\end{array} \right.
\]
W tym drugim przypadku $\rho(x)$ spe�nia r�wnanie
\[
\rho'=-2y\rho,
\]
czyli 
\[
\rho(y) = e^{-y^2}.
\]
Je�eli po�o�ymy $\sigma(y) = 1$, $[a,b] = [-\infty,+\infty]$ to baz� ortonormaln� z�o�on� z wektor�w w�asnych operatora $C$ s� wielomiany Hermite'a zdefiniowane wzorem
\[
H_n(y) = \frac{1}{n!}\frac{1}{\rho}\frac{\partial^n}{\partial x^n}\rho\sigma = \frac{1}{n!}e^{+y^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-y^2}.
\]
\end{example}
\section{Wyk�ad 22.05.2017}

\textbf{Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta}

\begin{itemize}
	\item[0.] Iloczyn tensorowy przestrzeni wektorowych
	
$V, W$ - przestrzenie wektorowe nad $\mathbb{C}$ (og�lnie nad $\mathbb{F}$). Przedstawimy teraz konstrukcj� $V\otimes W$.
\begin{itemize}
	\item[Krok 1.] Niech $E$ b�dzie przestrzeni� wektorow�, kt�rej elementami s� formalne kombinacje postaci:
	
	\begin{displaymath}
		\sum_{v\in V, w\in W}\alpha_{v,w}(v,w),
	\end{displaymath}

gdzie $\alpha_{v,w}\in\mathbb{C}$ oraz $\alpha_{v,w}$=0 dla prawie wszystkich $v\in V$, $w \in W$.

\item[Krok 2.] Niech $N\subset E$ b�dzie podprzestrzeni� wektorow� rozpi�t� przez wektory postaci:
	
	\begin{itemize}
		\item $(v,w_{1}+w_{2})-(v,w_{1})-(v,w_{2})$,
		\item $(v_{1}+v_{2},w)-(v_{1},w)-(v_{2},w)$,
		\item $(v,\alpha w)-\alpha(v,w)$,
		\item $(\alpha v,w)-\alpha(v,w)$,
	\end{itemize}
	
gdzie $\alpha \in \mathbb{C}$; $v, v_{1}, v_{2} \in V$; $w, w_{1}, w_{2} \in W$.

\item[Krok 3.] $V \otimes W = E/N$; niech $\Pi$: $E \rightarrow V\otimes W$ b�dzie odwzorowaniem ilorazowym. Zauwa�my, �e odwzorowanie $V\times W \ni (v,w) \mapsto \Pi(v,w)\in V\otimes W$ jest 2-liniowe. Od tej pory oznaczymy $\Pi(v,w):=v\otimes w$, czyli mamy odwzorowanie 2-liniowe $\otimes:V\times W \rightarrow V \otimes W$.

\end{itemize}

$\bigstar$ Uniwersalna w�asno�� $\otimes: V \times W \rightarrow V\otimes W$

Niech $U$ b�dzie przestrzeni� wektorow� nad $\mathbb{C}$ oraz niech $T:V\times W \rightarrow U$ b�dzie odwzorowaniem 2-liniowym. W�wczas istnieje dok�adnie jedno odwzorowanie liniowe $\tilde{T}:V\otimes W \rightarrow U$ takie, �e $T(v,w)=\tilde{T}(v\otimes w)$. Takie odwzorowania mo�emy zaprezentowa� za pomoc� diagramu przemiennego:

\[
\xymatrix{
V\times W \ar[r]^T  \ar[d]^\otimes & U \\
V\otimes W \ar@{-->}[ur]^{\exists! \tilde{T}}
}
\]

\item [1.] Sprz�enie zespolone przestrzeni Hilberta.

Mamy $(\mathcal{H},\langle \cdot | \cdot \rangle_{\mathcal{H}})$. Niech $\overline{\mathcal{H}}=\mathcal{H}$ jako zbiory. Dodawanie $\overline{\mathcal{H}}$ jest takie jak w $\mathcal{H}$. Natomiast mno�enie przez skalary - $\cdot:\mathbb{C}\times \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ modyfikujemy definiuj�c $\odot:\mathbb{C}\times \overline{\mathcal{H}} \rightarrow \overline{\mathcal{H}}$ wzorem:
\begin{displaymath}
	\alpha\odot \psi := \overline{\alpha}\cdot\psi
\end{displaymath}
dla $\alpha \in \mathbb{C}$, $\psi \in \overline{\mathcal{H}}$. Nast�pnie modyfikujemy iloczyn skalarny: niech $\langle \cdot | \cdot \rangle_{\overline{\mathcal{H}}}:\overline{\mathcal{H}}\times \overline{\mathcal{H}} \rightarrow \mathbb{C}$ b�dzie iloczynem skalarnym dany wzorem $\langle \psi|\phi \rangle_{\overline{\mathcal{H}}} = \langle \phi|\psi \rangle_{\mathcal{H}}$.

\item[2.] Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta.

Niech $\mathcal{H, K}$ b�d� przestrzeniami Hilberta. Rozwa�my przestrze� wektorow� $\mathcal{H}\otimes_{alg} \mathcal{K}$. Wyka�emy, �e na $\mathcal{H}\otimes_{alg} \mathcal{K}$ istnieje dok�adnie jeden iloczyn skalarny $\langle \cdot|\cdot \rangle_{\mathcal{H}\otimes_{alg} \mathcal{K}}$ taki, �e:

\begin{displaymath}
	\langle \psi_{1}\otimes \phi_{1}|\psi_{2}\otimes \phi_{2} \rangle_{\mathcal{H}\otimes_{alg} \mathcal{K}}=\langle \psi_{1}|\psi_{2}\rangle_{\mathcal{H}} \cdot \langle\phi_{1}|\phi_{2}\rangle_{\mathcal{K}}.
\end{displaymath}
$\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}$ definiujemy jako uzupe�nienie $\mathcal{H}\otimes_{alg} \mathcal{K}$. Zajmiemy si� teraz konstrukcj� $\langle\cdot|\cdot\rangle_{\mathcal{H}\otimes_{alg}\mathcal{K}}$.


\begin{proof}
Ustalmy $\psi_{1}\in\mathcal{H}, \phi_{1} \in \mathcal{K}$. Odwzorowanie $\mathcal{H}\times\mathcal{K} \ni (\psi, \phi) \mapsto	 \langle\psi_{1}|\psi\rangle_{\mathcal{H}}\langle\phi_{1}|\phi\rangle_{\mathcal{K}} \in \mathbb{C}$ jest 2-liniowe. Zatem mo�emy zdefiniowa� funkcjona� liniowy $\Phi_{\psi_{1}, \phi_{2}}$ na  $\mathcal{H}\otimes_{alg} \mathcal{K}$ taki, �e $\Phi_{\psi_{1}, \phi_{2}}(\psi\otimes\phi)=\langle \psi_{1}|\psi\rangle_{\mathcal{H}}\langle\phi_{1}|\phi\rangle_{\mathcal{K}}$. 
	
	Niech $\mathcal{E}$ b�dzie przestrzeni� funkcjona��w antyliniowych na $\mathcal{H}\otimes_{alg} \mathcal{K}$. W szczeg�lno�ci $\overline{\Phi_{\psi_{1}, \phi_{1}}} \in \mathcal{E}$ gdzie  $\overline{\Phi_{\psi_{1}, \phi_{1}}}(\psi\otimes\phi):=\overline{\Phi_{\psi_{1}, \phi_{1}}(\psi\otimes\phi)}$. Zauwa�my, �e odwzorowanie  $\mathcal{H}\times\mathcal{K}\ni(\psi_{1}, \phi_{1}) \mapsto \overline{\Phi_{\psi_{1}, \phi_{1}}} \in \mathcal{E}$ jest 2-liniowe, zatem istnieje dok�adnie jedno odwzorowanie liniowe $\Xi: \mathcal{H}\otimes_{alg} \mathcal{K} \rightarrow \mathcal{E}$ takie, �e $\Xi(\psi_{1}\otimes\phi_{1})=\overline{\Phi_{\psi_{1}, \phi_{1}}}$. Niech $\xi, \eta \in \mathcal{H}\otimes_{alg} \mathcal{K}$. Rozwa�my $\overline{\Xi(\xi)(\eta)}$. Dla $\xi=\psi_{1}\otimes\phi_{1}$ oraz $\eta=\psi_{2}\otimes\phi_{2}$ mamy:

\begin{displaymath}
	\overline{\Xi(\xi)(\eta)}=\overline{\overline{\Phi_{\psi_{1}, \phi_{1}}}(\psi_{2}\otimes\phi_{2})}=\overline{\overline{\langle\psi_{1}|\psi_{2}\rangle_{\mathcal{H}}\langle\phi_{1}|\phi_{2}\rangle_{\mathcal{K}}}}=\langle\psi_{1}|\psi_{2}\rangle_{\mathcal{H}}\langle\phi_{1}|\phi_{2}\rangle_{\mathcal{K}} 
\end{displaymath}
Czyli dostajemy, �e $\langle\xi|\eta\rangle_{\mathcal{H}\otimes_{alg} \mathcal{K}}=\overline{\Xi(\xi)(\eta)}$.
\end{proof}

\end{itemize}

\noindent $\bigstar$ Dodatnio�� 
\begin{proof}
\noindent $\xi=\sum^{n}_{i=1}\psi_{i}\otimes\phi_{i}$, gdzie $\{\phi_{i}\}^{n}_{i=1}$ jest liniowo niezale�nym uk�adem wektor�w. Bez starty og�lno�ci (ortogonalizacja G-S) zak�adamy, �e $\{\phi_{i}\}^{n}_{i=1}$ jest uk�adem ortonormalnym wektor�w. W�wczas: 
\begin{displaymath}
	\langle\xi|\xi\rangle_{\mathcal{H}\otimes_{alg} \mathcal{K}}=\sum^{n}_{i,j=1}\langle\psi_{i}\otimes \phi_{i}|\psi_{j}\otimes\phi_{j}\rangle_{\mathcal{H}\otimes_{alg} \mathcal{K}}=\sum^{n}_{i,j=1}\langle\psi_{i}|\phi_{j}\rangle\delta_{ij}=\sum^{n}_{i=1}||\phi_{i}||^{2}>0.
	\end{displaymath}
Widzimy wi�c, �e mamy dodatnio��.
\end{proof}

\noindent \textbf{Zadanie} \\ \\
\indent Niech $(X,\Sigma_{X},\mu_{X})$ oraz $(Y,\Sigma_{Y},\mu_{Y})$ b�d� przestrzeniami $\sigma$-sko�czonymi takimi, �e $L^{2}(X,\mu_{X})$ i $L^{2}(Y,\mu_{Y})$ s� o�rodkowe. Pokaza�, �e $L^{2}(X,\mu_{X})\otimes L^{2}(Y,\mu_{Y}) \cong L^{2}(X\times Y, \mu_{X}\otimes\mu_{Y})$, gdzie symbol "$\cong$" oznacza   izomorfizm  $U$  taki, �e   

dla $\psi\in L^{2}(X,\mu_{X}), \phi\in L^{2}(Y,\mu_{Y})$  $u(\psi\otimes\phi)\in L^{2}(X\times Y, \mu_{X}\otimes\mu_{Y})$, gdzie \[(u(\psi\otimes\phi))(x,y)=\psi(x)\phi(y)\]

\subsection{$C^{*}$ -- algebra operator�w na przestrzeni Hilberta} $\mathcal{H}$ -- przestrze� Hilberta, $B(\mathcal{H})$ -- algebra operator�w liniowych ci�g�ych na $\mathcal{H}$. Na przyk�ad, gdy $\mathcal{H}=\mathbb{C}^{n}$, to $B(\mathcal{H})=M_{n}(\mathbb{C})$.

Je�li $T \in B(\mathcal{H})$, to $\|T\|=\sup_{\|\psi\|=1}\|T\psi\|=\sup_{\|\psi\|,\|\phi\|=1}|\langle\phi|T\psi\rangle$. Ostatnia r�wno�� wynika st�d, �e  $\|\xi\|=\sup_{\|\eta\|=1}|\langle\eta|\xi\rangle|$ dla $\xi \in \mathcal{H}$. Ponadto dla $T,S \in B(\mathcal{H})$ $\|T\cdot S\|\leq\|T\|\cdot\|S\|$.
\section{Wyk�ad 29.05.2017}
	
	$B(\mathcal{H})$ - algebra operat�w ograniczonych na przestrzeni Hilberta $\mathcal{H}$ , $\| \cdot \|,\|AB\| \leqslant \|A\|\cdot \|B\| $
	\begin{example}
		$\mathcal{H}=L^2 (\mathbb{R}), f \in  L^{\infty} (\mathbb{R})$, $ \Psi \in L^2 (\mathbb{R}) \mbox{ to } f\Psi \in L^2 (\mathbb{R}) $\\
		$L^2 (\mathbb{R}) \ni \Psi \xrightarrow{T} f\Psi \in L^2 (\mathbb{R}) $ jest liniowy $\|T\| = \|f\|_{\infty}$
	\end{example}
	
\subsection{Hermitowskie sprz�enie operatora ograniczonego.}
Niech $T \in B(\mathcal{H})$ oraz $\Psi \in \mathcal{H}$. W�wczas odwzorowanie $\mathcal{H} \ni \Phi \mapsto (\Psi|T\Phi) \in \mathbb{C}$	jest funkcjona�em liniowym ci�g�ym. Zatem $\exists! \tilde\Psi \in \mathcal{H}$ t. �e $(\Psi|T\Phi) = (\tilde\Psi|\Phi)$ - wniosek z lematu Riesza.
Mamy wi�c odwzorowanie liniowe $\mathcal{H} \ni \Psi \mapsto \tilde\Psi \in \mathcal{H}$, kt�re oznaczamy symbolem $T^*$  takie, �e  $(\Psi|T\Phi)=(T^*\tilde\Psi|\Phi)$.
Podstawowe w�asno�ci $*$:

\begin{enumerate}
	\item $(T+R)^* = T^* + R^*$
	\item $(\lambda T)^* = \bar{\lambda}T^*$
	\item $(TR)^*=R^*T^*$
	\item $T^{**}=T$
\end{enumerate}

\begin{example}
	$T\Psi = f\Psi$ ; $(\Psi|T\Phi) = \int_{\mathbb{R}}^{} \overline{\Phi(t)}f(t)\Psi(t)dt = \int_{\mathbb{R}} \overline{\overline{f(t)} \Phi(t)}\Psi(t)$, a wi�c\\ $T^* \Phi(t) = \bar{f}(t)\Phi(t)$
\end{example}	
	
\begin{proposition}$\|T^*T\| = \|T\|^2$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Zauwa�amy, �e 
\[\|\Phi\| = \sup\limits_{\|\tilde\Phi\|=1} |\braket{\tilde{\Phi}|\Phi}|\] W szczeg�lno�ci  
\begin{align*}\|T^*T\| &= 
	\sup\limits_{\|\Psi\|=1} \|T^*T\Psi\|\\& 
	 = \sup\limits_{\substack{\|\Psi\|=1 \\ \|\Phi\|=1}} |\braket{\Phi|T^*T\Psi}|  \\ &\geqslant \sup\limits_{\|\Psi\|=1} |<\Psi|T^*T\Psi>|\\& = \sup\limits_{\|\Psi\|=1} \|T\Psi\|^2 =\|T\|^2\end{align*}St�d    \[\|T^*\|\cdot\|T\| \overset{\star}{\geqslant} \|T^*T\| \geqslant\|T^2\| \Rightarrow \|T^*\|\geqslant \|T\| \]
	 Zamieniaj�c $T$ na $T^*$ mamy $\|T\| \geq \|T^*\| \Rightarrow \|T\|=\|T^*\|$.\\
	 Wstawiaj�c do $\star$ mamy $\|T^2\|\geq \|T^*T\|\geq\|T\|^2$.
\end{proof}

\begin{definition}
	Niech $T \in B(\mathcal{H})$. \textbf{Zbiorem rezolwentowym}  operatora $T$ nazywamy  $\rho(T)=\{z\in \mathbb{C}:z\mathds{1} - T \mbox{, jest odwracalny}\} $ i oznaczamy $\rho(T)$.  $\mathbb{C} \setminus \rho(T)$ nazywamy spektrum $T$ i oznaczamy $\sigma(T)$.
\end{definition}
	
\begin{proposition}
	Je�li $T \in B(\mathcal{H})$ to $\sigma(T)$ jest niepustym zwartym podzbiorem $\mathbb{C}$.
\end{proposition}

\begin{proof}
	Zwarto�� = domkni�to�� i ograniczono��.\\
	Zbi�r rezolwentowy jest otwarty: zbi�r operator�w odwracalnych jest otwarty w $B(\mathcal{H})$ a $\rho(T)$ jest przeciwobrazem tego zbioru  przy odwzorowaniu ci�g�ym $\mathbb{C} \ni z\mapsto z \mathds{1} -  T\in B(\mathcal{H})$. Spektrum jest zbiorem ograniczonym:
	$(z \mathds{1}-1) = z(1 - \frac{T}{z})$. Je�li $\|\frac{T}{z}\| = \frac{\|T\|}{\|z\|} < 1$ to szereg $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{T^n}{z^n}$ jest zbie�ny do $(1-\frac{T}{z})^{-1}$. Czyli dla $|z| > \|T\|,$ $(z \mathds{1}-T)$ jest odwracalny i $(z \mathds{1}-1)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} z^{-n-1}T^n$.
	Niepustos� spektrum: 
	przypu��my, �e $\sigma(T) = \varnothing$ i rozwa�my odwzorowanie $\mathbb{C} \ni z \mapsto (z \mathds{1}-T)^{-1} \in B(\mathcal{H})$. Jest ono holomorficzne, okre�lona na ca�ym $\mathbb{C}$, a wi�c z tw. Liouville'a jest ono sta�e - sprzeczno��.  
\end{proof}

\begin{definition}
	Niech $T \in B(\mathcal{H})$. W�wczas $\sup \{ |z|: z\in \sigma(T)\}$ nazywamy \textbf{promieniem spektralnym} i oznaczamy $r(T)$.
\end{definition}

\begin{remark}
	$r(T) \leq \|T\| \Rightarrow$ je�li $|z| > \|T\|$ to $(z \mathds{1}-T)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} z^{-n-1}T^n$. Wzmocnienie tego faktu: $r(T) \leq \liminf\limits_{n \rightarrow \infty}\|T^n\|^{\frac{1}{n}}.$ Mo�na pokaza�, �e ci�g $\|T^n\|^{\frac{1}{n}}$ jest zbie�ny oraz $r(T) = \lim\|T^n\|^{\frac{1}{n}}$.
\end{remark}

\begin{example}
Je�li $T^* = T$ to $\sigma(T) \in \mathbb{R}$
	\begin{enumerate}
		\item $\ker{T^*}=\mbox{Im}(T)^{\perp}$
		\begin{align*}
			\Psi \in \ker{T^*} \Leftrightarrow& \forall_{\Phi \in \mathcal{H}} (T^* \Psi|\Phi)=0\\
			\Leftrightarrow& (\Psi|T\Phi) = 0, \Phi \in \mathcal{H} \\
			\Leftrightarrow& \Psi \perp \mbox{Im}(T)
		\end{align*}
		\item Je�li $T^*=T$ to $\|(T\pm i)\Psi\| \geq \|\Psi\|$.
		\begin{align*}
			\|(T\pm i)\Psi\|^2 =& \braket{(T+i)\Psi|(T+i)\Psi}=\|T\Psi\|^2 + \|\Psi\|^2 + i\braket{T\Psi|\Psi} - i\braket{\Psi|T\Psi}\\
			\geq& \|\Psi\|^2.	
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}

St�d:\\
\begin{itemize}
	\item $T\pm i$ s� r�nowarto�ciowe.
	\item Podprzestzrenie  $\text{Im} (T\pm i)$ s� domkni�te w  $\mathcal{H}$. Rzeczywi�cie, niech $\Psi _n \in \mathcal{H}$ oraz $\Phi = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}(T+i)\Psi _n$. $(\Psi _n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest ci�giem Cauchy'ego gdy� $\|\Psi _n - \Psi _m\| \leq \|(T+i)(\Psi _n - \Psi _m)\|$. Niech $\Psi = \lim \Psi_n \Rightarrow \Phi = (T+i)\Psi \in \mbox{Im}(T+i)$.
	\item Im$(T+i) = \mathcal{H}$, Im$(T+i)^\perp = \ker(T-i)=\{0\}$
	\item $\| \Psi \|^2 = \|(T+i)(T+i)^{-1}\Psi\|^2 \geq \|(T+i)^{-1}\Psi\|^2 \Rightarrow \|T+i\| \leq 1$
\end{itemize}

\begin{remark}
	sprawdzenie d) nie jest konieczne. Zachodzi nast�puj�ce tw:
	je�li $T \in B(\mathcal{H})$ jest odwracalny w sensie algebraicznym to odwrotny jest ci�g�y: $T^{-1} \in B(\mathcal{H})$
\end{remark}
\end{example}

\subsection{Operatory nieograniczone}
\begin{example}
	Niech $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ b�dzie funkcj� mierzaln�. Rozwa�my $D(T) = \{ \Psi \in L^2(\mathbb{R}): f \cdot \Psi \in L^2(\mathbb{R})   \}$. Zauwa�my, �e  $D(T)$ jest podprzestrzenia liniow� g�st� w $L^2(\mathbb{R})$. G�sto��: niech $\Omega_n = \{ x \in \mathbb{R}:|f(x)|\leq n \}.$ W�wczas  $\Omega_n \nearrow_{n \rightarrow \infty} \mathbb{R}$. Dla $\Psi \in L^2(\mathbb{R}), \chi_{\Omega_n} \Psi \in L^2(\mathbb{R})$. Ponadto $\chi_{\Omega_n} \Psi \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \Psi$ w $L^2(\mathbb{R})$ (z tw. Lebesguea o zbie�no�ci zmajoryzowanej). Rozwa�my operator 
$$T: D(T) \rightarrow \mathcal{H}, \space T\Psi = f\Psi$$
 Niech $(\Psi _n)_{n\in\mathbb{N}} \subset  D(T)$. Operator $T$ ma nast�puj�c� w�asno��: 
$$
\begin{array}{l}
	\Psi = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \Psi_n \\
	\mbox{ci�g } T \Psi_n  \mbox{ jest zbie�ny}
\end{array} 
\Rightarrow \Psi \in D(T) \mbox{ oraz } T\Psi = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} T_{\Psi_n}
$$
M�wimy, �e $T$ jest operatorem domkni�tym.
\end{example}
\section{Wyk�ad 5.06.2017}

\subsection{Operatory nieograniczone}

\begin{example}
Rozwa�my przestrze� Hilberta $\mathcal{H}=L^2[0,2\pi]$ oraz jej podprzestrze� liniow� g�st� $D = \{f\in C^1[0,2\pi]: f(0)=f(2\pi)=0\}\subset \mathcal{H}$. Zdefiniujmy operator $A_0:D \to \mathcal{H}$ wzorem
\[
A_0f = -if'
\]
Od razu wida�, �e zachodzi
\[
(g|A_0f)= \int_0^{2\pi}\overline{g(x)}(-i)f'(x)dx = -i\overline{g(x)}f'(x)\big|_0^{2\pi} + \int_0^{2\pi}\overline{-ig'(x)}f(x)dx = (A_0g|f),
\]
czyli $A_0$ jest operatorem symetrycznym.
\end{example}
Operatory nieograniczone s� zdefiniowane na dziedzinie $D \subset \mathcal{H}$, gdzie b�dziemy zak�ada�, �e $D$ jest podprzestrzeni� wektorow�. Zazwyczaj b�dzie to g�sta podprzestrze�. Dla liniowego operatora $T: D \to \mathcal{H}$ b�dziemy stosowa� oznaczenie $D(T) = D$.
Wykresem operatora $T$ nazywamy podprzestrze� $G(T) \subset \mathcal{H}\bigoplus\mathcal{H}$, gdzie
\[
G(T) = \Big\{\begin{bmatrix}\xi \\ \eta\end{bmatrix}: \xi \in D, \eta = T\xi\Big\}.
\]
\begin{definition}
Je�li $G(T)$ jest podprzestrzeni� domkni�t�, to m�wimy, ze $T$ jest operatorem domknietym.
\end{definition}

\begin{proposition}
Niech $G \subset \mathcal{H}\bigoplus\mathcal{H}$. W�wczas G jest wykresem operatora wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ nie zawiera wektor�w postaci $\begin{bmatrix}0 \\ \eta\end{bmatrix}$ dla $\eta \ne 0$.
\end{proposition}
\begin{proof}
$\Rightarrow)$ Przypu��my, �e    $ \begin{bmatrix} 0 \\ \eta\end{bmatrix} \in G $ skoro $ T(0) = 0 $ to $\eta =0$. 
\newline
$\Leftarrow)$   $ \begin{bmatrix}\xi \\ \eta_1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}\xi \\ \eta_2\end{bmatrix} \in G \Rightarrow \begin{bmatrix}\xi \\ \eta_1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\xi \\ \eta_2\end{bmatrix} \in G \Rightarrow \begin{bmatrix}\xi \\ \eta_1 - \eta_2 \end{bmatrix} \in G \Rightarrow \eta_1 = \eta_2$, st�d $T$ jest dobrze zdefiniowany wzorem $T\xi = \eta$, gdzie $\begin{bmatrix}\xi \\ \eta\end{bmatrix}\in G$, a $D(T) = \begin{bmatrix}\mathds{1}&0 \\0&0 \end{bmatrix}G$.
\end{proof}

\begin{definition}
M�wimy, �e $T$ jest operatorem domykalnym, je�li $\overline{G(T)}$ jest wykresem pewnego operatora. W�wczas operator ten nazywamy domkni�ciem operatora $T$ i oznaczamy $\overline{T}$. Innymi s�owy $\overline{G(T)} = G(\overline{T})$
\end{definition}
\begin{remark}
\begin{enumerate}[1)]
\item $T$ jest domkni�ty $\Leftrightarrow$ $T$ spe�nia nast�pujace warunki: \newline
je�eli $\psi_n\in D(T), \lim_{n\to\infty}\psi_n=\psi$ oraz $\lim_{n\to \infty}T\psi_n = \phi$, to $\psi \in D(T)$ oraz $T(\psi) = \phi$. \newline 
Zachodzi tak�e twierdzenie o wykresie domkni�tym, m�wi�ce, �e domkni�ty operator okre�lony na ca�ej przetrzeni Hilberta jest ci�g�y.
\item $T$ jest domykalny $\Leftrightarrow$ $T$ spe�nia \newline $\big((\psi_n)_{n\in\mathds{N}}\subset D(T), \; \lim_{n\to \infty}\psi_n=\phi \wedge \lim_{n\to \infty} T\psi_n=0\big) \Rightarrow \phi = 0$.
\end{enumerate}
\end{remark}

Zdefiniujmy teraz poj�cie operatora sprz�onego dla operator�w nieograniczonych.
\newline
Za��my, �e $D(T)$ jest g�sta w $\mathcal{H}$. W�wczas definiujemy
\[
D(T^*) = \{\xi \in \mathcal{H}: \exists_{\eta\in\mathcal{H}}\; \forall_{\psi \in D(T)} 
\;(\xi|T\psi)=(\eta|\psi)\}
\]
\begin{remark}
Dla $\xi \in D(T^*)$ istnieje dok�adnie jedna $\eta$ jak powy�ej. Rzeczywi�cie, je�li $\eta_1$ i $\eta_2$ spe�niaj� spe�niaj� powy�szy warunek, to $(\eta_1|\psi) = (\xi|T\psi) = (\eta_2|\psi) \Rightarrow \eta_1 - \eta_2 \perp D(T) \Rightarrow \eta_1 = \eta_2$.
\end{remark}
Wykres operatora sprz�onego do $T$ jest dany  wzorem

\[
G(T^*) = \Big\{\begin{bmatrix}\xi \\ \eta\end{bmatrix}:\xi \in D(T^*) \wedge (\xi|T\psi) = (\eta|\psi)\Big\}.
\]
Powy�sze rozwa�ania nasuwaj� dwie obserwacje:
\begin{enumerate}[1)]
    \item $\xi \in D(T^*) \Leftrightarrow\text{ funkcjona� } D(T) \ni \psi \mapsto (\xi|T\psi) \in \mathbb{C}$ jest ci�g�y
    \item $\begin{bmatrix}\xi \\ \eta\end{bmatrix} \in G(T^*) \Rightarrow \begin{bmatrix}\xi \\ \eta\end{bmatrix} \perp \Big\{\begin{bmatrix}T\psi \\ -\psi\end{bmatrix}: \; \psi \in D(T)\Big\}=\begin{bmatrix}0 & \mathds{1} \\ -\mathds{1} &0\end{bmatrix}G(T)$, zatem $ G(T^*) = \begin{bmatrix}0 & \mathds{1} \\ -\mathds{1} &0\end{bmatrix}G(T)^{\perp}$
\end{enumerate}
\begin{theorem}
Niech $T: D(T) \to \mathcal{H}$ b�dzie g�sto zdefiniowany. W�wczas $T^*$ jest g�sto zdefiniowany wtedy i tylko wtedy, gdy $T$ jest domykalny. 
\end{theorem}
\begin{proof}
$T^*$ jest g�sto zdefiniowany, gdy jedynym wektorem postaci $\begin{bmatrix}\psi \\ 0\end{bmatrix}$ prostopad�ym do $G(T^*)$ jest wektor zerowy. Rzeczywi�cie, $\left(\begin{bmatrix}\psi \\ 0\end{bmatrix}\Big|\begin{bmatrix}\xi \\ \eta\end{bmatrix}\right) = (\psi|\xi) = 0 $ dla ka�dego $\begin{bmatrix}\xi \\ \eta\end{bmatrix} \in G(T^*)$ i r�wnowa�nie $(\psi|\xi)=0$ dla ka�dego $\xi\in D(T^*)$. Zauwa�my, �e $G(T)^{\perp\perp} = \overline{G(T)} = \begin{bmatrix}0 & \mathds{1} \\ -\mathds{1} &0\end{bmatrix}G(T^*)^\perp$. Na mocy domykalno�ci $T$ jedynym wektorem postaci $\begin{bmatrix}0 \\ \psi\end{bmatrix} \in \overline{G(T)}$ jest wektor zerowy i widzimym, �e  jedynym wektorem postaci  $\begin{bmatrix}\psi \\ 0\end{bmatrix}$  prostopad�ym do $G(T^*)$ jest wektor zerowy. To rozumowanie mo�na poprowadzi� w drug� stron� otrzymuj�c r�wnowa�no��.
\end{proof}
\begin{definition}
Je�eli operatory $T$ i $S$ s� takie, �e zachodzi $G(T) \subset G(S)$, to m�wimy, �e $S$ jest rozszerzeniem $T$ i piszemy $T \subset S$. 
\newline M�wimy, �e $T$ jest operatorem symetrycznym, je�li $T \subset T^*$. 
\newline M�wimy, �e $T$ jest samosprz�ony, gdy $T=T^*$.
\end{definition}
\begin{remark}
\begin{enumerate}[1)]
    \item $T^*$ jest operatorem domkni�tym, bo $G(T^*) = \begin{bmatrix}0 & \mathds{1} \\ -\mathds{1} &0\end{bmatrix}G(T)^\perp$ jest podprzestrzeni� domkni�t�. Tak�e $G(T^{**}) = \begin{bmatrix}0 & \mathds{1} \\ -\mathds{1} &0\end{bmatrix}G(T)^{\perp\perp} = \overline{G(T)} = G(\overline{T}) \Rightarrow T^{**} = \overline{T}$.
    \item Je�eli $T \subset S$ oraz $S$ jest domkni�ty, to $T$ jest domykalny.
    \item Je�eli $T$ jest symetryczny, to $T$ jest domykalny, bo $T \subset T^*$, kt�ry jest domkni�ty.
\end{enumerate}
\end{remark}

\begin{example}
Niech $A_0f = -if'$. Wiemy ju�, �e $A_0$ jest symetryczny. Wyznaczmy operator do niego sprz�ony.
Niech $\psi \in D(A_0^*)$. W�wczas istnieje $\phi \in L^2[0,2\pi]$ taki, �e 
\begin{align*}
\int_0^{2\pi}\overline{\psi(x)}A_0f(x)dx &= \int_0^{2\pi}\overline{\psi(x)}(-i)f'(x)dx = \int_0^{2\pi}\overline{\phi(x)}f(x)dx = \\ &=
\left(\int_0^x\overline{\phi(t)}dt\right)\Big|_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi}\int_0^x\overline{\phi(t)}dtf'(x)dx,
\end{align*}
a st�d 
\[
\int_0^{2\pi}\overline{\left(\psi(x) - i\int_0^x\phi(t)dt\right)}f'(x) = 0
\]
i r�wnowa�nie 
\begin{equation}\label{1}
\psi(x) - i\int_0^x\phi(t)dt \in \{f': \; f \in D(A_0)\}^\perp = \mathbb{C}\mathds{1},
\end{equation}
gdy� $\{f': \; f \in D(A_0)\} = \{h \in C[0,2\pi]: \; \int_0^{2\pi}h(t)dt = 0\} = \{\mathds{1}\}^\perp$. Mo�emy si� o tym przekona� sprawdzaj�c, �e 
\[
\int_0^{2\pi}f'(x)dt = \int_0^{2\pi}f'(x)dt = f(2\pi)-f(0) = 0.
\]
Ostatecznie, korzystaj�c z r�wno�ci \eqref{1} otrzymujemy, �e 
\[
\psi(x) = \psi(0) + i\int_0^x\phi(t)dt,
\]
zatem
\[
\phi(x) = -i\psi'(x),
\]
czyli
\[
D(A^*_0) = \{\psi \in C[0,2\pi]: \; \psi'(x) \in L^2[0,2\pi]\}.
\]
Wida� zatem, �e dzia�anie operator�w $A_0$ i $A^*_0$ jest zdefiniowane tym samym wzorem, ale maj� one inne dziedziny i przez to $A_0 \subset A_0^*$, ale $A_0 \ne A_0^*$.

\end{example}
\end{document}