Jak porównać ze sobą dwie próby?

testując parametrycznie hipotezę różnicy średnich

Mając dane dwie próby losowe \(x_1, x_2 \ldots x_N\) oraz \(y_1, y_2 \ldots y_M\), możemy zbadać hipotezę o różnicy średnich. Jeśli okaże się, że średnie z obu prób różnią się istotnie, będzie to oznaczać, że próby nie pochodzą z tej samej populacji, a więc np. różnią się fizycznym parametrem.

Hipotezę zerową stanowi więc \(H_0: \mu_x = \mu_y\). Jako „przeciwieństwo” hipotezy zerowej \(H_0\) formułujemy hipotezę alternatywną \(H_1\), która może być przedstawiona na dwojaki sposób:

\(\mu_x \gt \mu_y\) (alternatywnie \(\mu_x \lt \mu_y\)), mamy wtedy do czynienia z testem jednostronnym
\(\mu_x \ne \mu_y\), mamy wtedy do czynienia z testem dwustronnym

Dla testu jednostronnego warto od razu upewnić się, że zakładana nierówność \(\mu_x\) względem \(\mu_y\) ma taki sam znak, jak nierówność pomiędzy średnimi z prób \(\bar{x}\) i \(\bar{y}\). Jeżeli tak nie jest, to nie ma sensu prowadzić dalszych obliczeń — nie da się obalić hipotezy zerowej.

dane z rozkładu normalnego

Możemy skorzystać z klasycznego testu t dla różnicy średnich.

jeżeli dane są sparowane (co wymaga aby \(N=M\))
```
t,p = scipy.stats.ttest_rel(X,Y)
```
jeżeli dane nie są sparowane
```
t,p = scipy.stats.ttest_ind(X,Y)
```

Zwrócona wartość \(p\) dotyczy testu dwustronnego, więc jeżeli wykonujemy test jednostronny, należy otrzymaną wartość podzielić przez 2 i dodatkowo zweryfikować znak różnicy średnich (jak opisano powyżej).

dane z dowolnego rozkładu

jeżeli dane są sparowane (co wymaga aby \(N=M\)), korzystamy z testu Wilcoxona
```
T,p = scipy.stats.wilcoxon(X,Y)
```
jeżeli dane nie są sparowane, korzystamy z testu Manna-Whitney'a
```
u,p = scipy.stats.mannwhitneyu(X,Y)
```

Dla testu Wilcoxona, zwrócona wartość \(p\) dotyczy testu dwustronnego, więc jeżeli wykonujemy test jednostronny, należy otrzymaną wartość podzielić przez 2 i dodatkowo zweryfikować znak różnicy średnich (jak opisano powyżej).

Dla testu Manna-Whitneya, zwrócona wartość \(p\) dotyczy testu jednostronnego, więc jeżeli wykonujemy test dwustronny, należy otrzymaną wartość pomnożyć przez 2.

wynik testu

Każdy z powyższych testów zwraca m. in. p-wartość \(p\), czyli specjalną statystykę, która

jeśli hipoteza zerowa jest prawdziwa, będzie miała rozkład jednostajny na \([0;1]\)
jeśli hipoteza zerowa jest fałszywa, będzie miała wartości bliskie zeru

Ostatecznie, jeżeli \(p\lt\alpha\), możemy odrzucić \(H_0\) na korzyść \(H_1\).

autor: Piotr Różański, ostatnia modyfikacja: 10.04.2016