Co trzeba wiedzieć na egzamin z Algebry I

  1. Ciała - definicje, przykłady
  2. Wielomiany, stopień, dzielenie wielomianów
  3. Pierwiastki wielomianów, tw. Bezout
  4. Wielomiany nierozkładalne
  5. Funkcje wymierne, rozkład na ułamki proste
  6. Formalne szeregi potęgowe i ich dzielenie przez wielomiany
  7. Liczby zespolone - definicja i własności
  8. Moduł liczby zespolonej, liczba sprzężona, liczby o module 1
  9. Zasadnicze twierdzenie algebry
  10. Kwaterniony
  11. Przestrzenie wektorowe - definicja i przykłady
  12. Kombinacje liniowe, liniowa niezależność
  13. Pojęcie bazy, równoważne definicje
  14. Przestrzenie skończenie wymiarowe, uzupełnianie lnz układów do bazy
  15. Pojęcie wymiaru i konsekwencje dla liniowej (nie)zależności
  16. Izomorfizm - definicja, izomorfizm skończenie wymiarowej przestrzeni z przestrzenią arytmetyczną
  17. Izomorfizmy przestrzeni skończenie wymiarowych
  18. Podprzestrzenie - definicja, przykłady
  19. Podprzestrzeń rozpinana przez zbiór - dwa opisy
  20. Przecięcie i suma podprzestrzeni
  21. Wzór na wymiar sumy podprzestrzeni
  22. Suma prosta przestrzeni i podprzestrzeni
  23. Przestrzeń ilorazowa, przykłady
  24. Przestrzenie dopełniające i izomorfizm z przestrzenią ilorazową
  25. Istnienie przestrzenie dopełniającej, wymiar pezestrzeni ilorazowej
  26. Funkcjonały liniowe, przykłady
  27. Przestrzeń sprzężona
  28. Zadawanie funkcjonałów na bazie, baza sprzężona
  29. Kanoniczne włożenie przestrzeni w drugą sprzężoną
  30. Anihilator podprzestrzeni
  31. Przestrzeń sprzężona do podprzestrzeni i do przestrzeni ilorazowej
  32. Funkcjonały dwuliniowe, przykłady, czy każda forma dwuliniowa jest iloczynem form liniowych?
  33. Przestrzeń funkcjonałów dwuliniowych
  34. Zadawanie form dwuliniowych na bazie
  35. Iloczyn tensorowy, definicja, tensory proste
  36. Baza iloczynu tensorowego
  37. Przykłady, kompleksyfikacja
  38. Permutacje - definicje, operacje, przykłady
  39. Cykle, transpozycje, rozkład permutacji
  40. Znak permutacji - definicja i własności
  41. Formy wieloliniowe, definicja, przykłady, formy antysymetryczne i alternujące
  42. Fomry alternujące i liniowa (nie)zależność
  43. n-formy alternujące na n-wymiarowej przestrzeni
  44. Odwzorowania liniowe, definicja i przykłady
  45. Operacje na dwzorowaniach liniowych, przestrzeń odwzorowań liniowych, składanie
  46. Jądro i obraz odwzorowania, opis podprzestrzeni jako jądro i obraz
  47. Kanoniczne odwzorowanie ilorazowe
  48. Rozkład dowolnego odwzorowania liniowego na kanoniczny epimorfizm i monomorfizm
  49. Wielomiany od odwzorowań
  50. Zadawanie operatora liniowego
  51. Macierz operatora liniowego i izomorfizm przestrzeni odwzorowań liniowych z przestrzenią macierzy
P.M.S.