Co trzeba wiedzieć na egzamin z Teorii Grup I

  1. Grupy - definicja i przykłady
  2. Podgrupy
  3. Przestrzeń ilorazowa
  4. Homomorfizmy
  5. Twierdzenie Cayley'a
  6. Jądro i obraz
  7. Automorfizmy wewnętrzne i podgrupy normalne
  8. Grupa ilorazowa, homomorfizm ilorazowy
  9. Podgrupy normale i jądra homomorfizmów
  10. Faktoryzacja homomorfizmu przez epimorfizm ilorazowy, tw. o izomorfiźmie
  11. Iloczyny półproste - konstrukcja, charakteryzacja w terminach podgrup, przykłady
  12. Działania grup - definicje i przykłady
  13. Grupa GL(X) i klasyczne grupy macierzy
  14. Orbity, podgrupy izotropii
  15. Utożsamienie orbity z przestrzenią ilorazową
  16. Działania tranzytywne
  17. Algebra grupowa
  18. Reprezentacje - definicje i przykłady
  19. Reprezentacja regularna
  20. Podprzestrzenie niezmiennicze i podreprezentacje
  21. Suma prosta i iloczyn tensorowy reprezentacji, potęga symetryczna i zewnętrzna
  22. Reprezentacja kontragredientna i zespolenie sprzężona
  23. Istnienie niezeminniczej podprzestrzenie dopełniającej dla grup skończonych
  24. Reprezentacje nieprzywiedlne
  25. Rozkład skończenie wymiarowej reprezentacji grupy skończonej
  26. Skończony wymiar reprezentacji nieprzywiedlnych grupy skończonej
  27. Rprezentacje unitarne, elementy macierzowe
  28. unitaryzowalność reprezentacji grup skończonych
  29. Operatory splacające i ich związek z podprzestrzeniami niezmienniczymi
  30. Lemat Schura
  31. Przestrzeń l2(G)
  32. Ortonormalność elementów macierzowych nieprzywiedlnych reprezentacji grupy skończonej
  33. Charaktery representacji - definicja i podstawowe własności
  34. Ortonormalność i zupełność charakterów reprezentacji nieprzywiedlnych grupy skończonej
  35. Ilość reprezentacji niepzywiedlnych, jedyność rozkładu, kryterium nieprzywiedlności
  36. Rozkład reprezentacji regularnej i wzór na sumę kwadratów wymiarów reprezentacji nieprzywiedlnych
  37. Zupełnosć układu elementów macierzowych reprezentacji nieprzywiedlnych
  38. Reprezentacje skończonych grup abelowych
  39. Grupa dwoista i druga dwoista
  40. Lokalnie zwarte grupy abelowe
  41. Transformata Fouriera
  42. Reprezentacje indukowane - definicja
  43. Związek pomiędzy reprezentacją indukowaną i wyjściową reprezentacją podgrupy
  44. Charakter representacji indukowanej
  45. Wzajemność Frobeniusa i jej konsekwencje (zasada indukcji etapami)
P.M.S.