Sesja S4C

Transformacja Darboux-Bäcklunda i algebry Clifforda

Jan L. Cieśliński
Instytut Fizyki, Uniwersytet w Białymstoku

Zaczniemy od krótkiego wprowadzenia w teorię solitonów [1, 2], czyli całkowalnych równań nieliniowych, na przykładzie najbardziej chyba znanego równania solitonowego jakim jest równanie Kortewega-de Vriesa (KdV). Kluczową rolę odgrywa w tym przypadku równanie Schrödingera:

- psi,xx + u psi = lambda psi ,     (1)
gdzie x jest zmienną przestrzenną (dla wygody przeskalowaną, czyli nasze x jest w istocie równe x h-1 (2m)1/2), u=u(x) jest potencjałem, lambda=E jest energią, a przecinek oznacza pochodną (czyli psi,x := partial psi/partial x). Z mechaniki kwantowej wiadomo, że znając dane rozproszeniowe (współczynniki przejścia i odbicia oraz stany związane) dla każdej wartości lambda możemy zrekonstruować potencjał u korzystając z równań całkowych Gelfanda-Levitana-Marczenki. Sytuacja taka często występuje w fizyce wysokich energii: aby zbadać dany obiekt (potencjał u) rozpraszamy na nim inny obiekt (funkcja falowa psi, spełniająca równanie liniowe). Uogólnienie tej idei dało w roku 1967 początek burzliwemu rozwojowi teorii solitonów. Mianowicie wykazano [3], że jeśli jednoparametrowa rodzina potencjałów u=u(x;tau), spełnia równanie KdV (u,tau + 6 u u,x + u,xxx = 0), to energia lambda nie zależy od tau (lambda,tau=0). Co więcej, dane rozproszeniowe ewoluują w bardzo prosty sposób, dzięki czemu zagadnienie początkowe dla równania KdV sprowadza się do rozwiązywania wspomnianych wyżej równań całkowych.

Przejdziemy teraz do metody otrzymywania ścisłych rozwiązań równania KdV. Szukamy transformacji psi-->psi', u-->u' zachowującej równanie (1) (czyli żądamy -psi',xx + u' psi' = lambda psi'). W ubiegłym stuleciu (równanie (1) znane było już w matematyce jako problem Sturma-Liouville'a) Darboux zauważył, że można zapostulować psi' = psi,x - sigma psi, przy czym sigma=sigma(x) jest pewną funkcją. Można obliczyć, że sigma = phi-1 phi,x, gdzie phi spełnia równanie - phi,xx + u phi = lambda1 phi (ten sam potencjał, lecz inna energia). Ponadto u'=u-2 sigma,x. Zaczynając od u=0 otrzymujemy w ten sposób u' będące solitonem, czyli zlokalizowanym rozwiązaniem, poruszającym się ze stałą prędkością bez zmiany kształtu. W podobny sposób można "dodać" soliton na zadane tło oraz otrzymać rozwiązania będące superpozycją (nieliniową!) dowolnej liczby solitonów.

Zarówno równanie Schrödingera (1), jak i transformację Darboux można przedstawić w postaci macierzowej: Psi,x = U Psi, Psi' = D Psi, przy czym jeśli psi, phi oznaczają dwa liniowo niezależne rozwiązania (1), to

psi,x phi,x 0 u - lambda - sigma u - lambda - sigma,x
Psi:= , U = , D = .
psi phi 1 0 1 - sigma
Równania solitonowe można zazwyczaj przedstawić właśnie jako warunki całkowalności (U,t - V,x = [V,U]) dla problemów spektralnych, czyli równań macierzowych typu Psi,x = U Psi, Psi,t = V Psi, gdzie macierze U, V są wymierne w lambda (poniżej ograniczymy się nawet do macierzy liniowych w lambda).

Podejście powierzchni solitonowych [4] wiąże teorię solitonów z klasyczną geometrią różniczkową rozumianą w duchu Bianchiego, Darboux i innych wielkich geometrów XIX wieku [5]. Mianowicie, mając macierzową funkcję falową Psi definiujemy F za pomocą wzoru Syma-Tafla [4,6]

F = Psi-1 \ Psi,lambda.    (2)

F=F(x,t;lambda) jest macierzą, a więc elementem pewnej przestrzeni wektorowej. Na przykład, jeśli Psi przybiera wartości w SU(2), to F w su(2), a su(2) można utożsamić z R3. F opisuje więc (dla ustalonego lambda) powierzchnię w R3. Ten przypadek wiąże się z wieloma ciekawymi problemami zarówno w fizyce, jak i w geometrii. Wymieńmy tylko równanie ruchu nici wirowej w cieczy idealnej [7] oraz równanie sinusa-Gordona phi,xt = sin phi, dla którego powierzchnie solitonowe (2) są powierzchniami pseudosferycznymi w R3 (mają stałą ujemną krzywiznę Gaussa). Transformacja generująca rozwiązania solitonowe dla równania sinusa-Gordona podana została przez Bianchiego i Bäcklunda ponad 100 lat temu. Obecnie transformacje tego typu nazywane są, niezależnie od równania, transformacjami Darboux-Bäcklunda.

Zadając różne postacie problemów spektralnych można spodziewać się otrzymania coraz to innych układów równań solitonowych. Problemy spektralne związane z macierzami 2-ego i 3-ego stopnia są już w zasadzie dawno przebadane i trudno znaleźć w ten sposób cokolwiek nowego. W przypadku macierzy większego wymiaru otrzymywane układy, choć całkowalne, nie są zazwyczaj zbyt interesujące. Nowe perspektywy otwiera zastosowanie algebr Clifforda [8]. Po pierwsze, otrzymujemy wygodną metodę traktowania szerokiej klasy problemów z macierzami dużych wymiarów (algebry Clifforda można reprezentować macierzami) i dowolną liczbą zmiennych niezależnych. Po drugie, problemy spektralne w algebrach Clifforda często mają ciekawą interpretację geometryczn\c a: interesujący jest nie tyle otrzymywany układ równań nieliniowych, ale raczej obiekt geometryczny opisywany tymi równaniami. Na przykład rozważmy problemy spektralne typu:

partial Psi \ partial xk = ek (lambda ak + bk)Psi,    (k=1, ,n) , :   (3)

gdzie bk są funkcjami o wartościach w przestrzeni V rozpiętej przez e1, . . . ,er, zaś ak przybierają wartości w przestrzeni W rozpiętej przez er+1, . . . , er+q, przy czym e1, . . . , er+q generują algebrę Clifforda (czyli spełaniają relacje ei ej + ej ei = 0 (dla i różnego od j) oraz ej2 = +- 1). Przykładami obiektów spełniających takie relacje są macierze Pauliego i macierze Diraca.

Wzór (2) dla lambda=0 definiuje w tym przypadku obiekt zanurzony w przestrzeni będącej przekrojem V i W. Wektory styczne, partial F/partial xk = Psi-1 ek ak Psi, są parami ortogonalne. Na ogół otrzymujemy kilka interesujących obiektów geometrycznych (rzutując F na odpowiednie podprzestrzenie). W przypadku n=q=2 otrzymujemy parę tzw. powierzchni izotermicznych zanurzonych w Rr [6]. W przypadku r=q=n otrzymujemy n różnych sieci ortogonalnych w Rn, a pojawiające się wówczas równania nieliniowe to układ równań Lamego. Dla problemów spektralnych (3) można skonstruować transformację Darboux-Bäcklunda. Zadawana jest ona przez

D = es (lambda n + kappa p)     (4)
gdzie s jest ustalone (1 leq s leq r), lambda i kappa to parametry rzeczywiste, zaś n w W oraz p w V (p2=n2= +- 1) zależą od x1, . . . ,xn i wyrażają się algebraicznie przy pomocy Psi(i kappa). Na poziomie wektora wodzącego F transformacja Darboux-Bäcklunda ma postać
F' = F + kappa-1 Psi(0)-1p-1 n Psi(0) , czyli do wektora F dodajemy segment (wektor) o stałej długości.

Przedstawione tu rezultaty okazują się mieć zastosowanie nie tylko w geometrii, ale i w fizyce (publikacja na ten temat jest dopiero w przygotowaniu). W przypadku r=n=4 i e12= e22 = e32 =- e42=1 możemy każde z równań (3) pomnożyć z lewej strony przez ek-1, dodać stronami wszystkie te równania i oznaczając ek-1 =: i gammak (k=1,2,3), e4-1 =: i gamma0, otrzymamy

sumamu=03 gammamu (i partialmu - Amu) Psi = lambda C Psi ,
gdzie Amu są współczynnikami w rozkładzie sumanu=14 bnu na gammamu, zaś C:=sumanu=14 anu. Dla lambda=0 jest to równanie Diraca dla cząstki bezmasowej w polu elektromagnetycznym. Otrzymujemy w ten sposób jedynie pewną klasę rozwiązań równania Diraca (Psi spełniać musi także pozostałe równania (3)). Niemniej ten dość nieoczekiwany związek równania Diraca z równaniami Lamego, a zwłaszcza istnienie transformacji Darboux-Bäcklunda, może doprowadzić do uzyskania nowych ścisłych rozwiązań równania Diraca.

Tematyka badań przedstawiona w tym krótkim artykule jest finansowana przez Komitet Badań Naukowych (grant Nr 2 P03B 143 15).

Literatura
1. V.E.Zakharov, S.V.Manakov, S.P.Novikov, L.P.Pitaievsky: Teoria solitonów, Nauka, Moskwa 1980 [po rosyjsku].
2. A.Sym: ``Solitony'', Postępy Fizyki 31 (1980) 3-18.
3. C.S.Gardner, J.M.Greene, M.D.Kruskal, R.M.Miura: ``Method for solving the Korteweg-de Vries equation'', Phys.Rev.Lett. 19 (1967) 1095-1097.
4. A.Sym: ``Soliton Surfaces'', Lett. Nuovo Cim. 33 (1982) 394-400.
5. S.S.Chern: ``Surface Theory with Darboux and Bianchi'', w książce Miscellanea Mathematica, str. 59-69, Springer-Verlag, Berlin-New York 1991.
6. J. Cieśliński: ``The Darboux-Bianchi-Bäcklund transformations and soliton surfaces'', w książce Nonlinearity & Geometry (red. D. Wójcik i J. Cieśliński), str. 81-107, PWN, Warszawa 1998.
7. J.Cieśliński, P.K.H.Gragert, A.Sym: ``Exact Solution to Localized-Induction-Approximation Equation Modelling Smoke Ring Motion'', Phys.Rev.Lett. 57 (1986) 1507-1510.
8. J.Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.