Sesja P3

Kondensat Bosego-Einsteina - nowy stan materii

Mirosław Brewczyk^a i Kazimierz Rzążewski^b
^aInstytut Fizyki, Uniwersytet w Białymstoku
^bCentrum Fizyki Teoretycznej PAN oraz Szkoła Nauk Ścisłych, Warszawa

W roku 1995 trzem grupom doświadczalnym [1] udało się zaobserwować zjawisko kondensacji Bosego-Einsteina w rozrzedzonej chmurze atomów. Efekt ten został przewidziany przez Einsteina i Bosego w 1924 roku, a jego istota ściśle wiąże się ze statystyką, której podlegają cząstki. Jak wiemy, każda cząstka niezależnie od stopnia złożoności jest fermionem lub bozonem. Gdy chcemy rozróżnić obie te grupy, zwykle mówimy, że do pierwszej z nich należą cząstki o połówkowym momencie pędu (w jednostkach h, gdzie h - stała Plancka podzielona przez 2p), a do drugiej te, które mają całkowity moment pędu. Jednakże fundamentalna różnica pomiędzy fermionami i bozonami polega na tym, że co najwyżej jeden fermion może zajmować dany stan kwantowy (nazywa się to zakazem Pauliego) i w związku z tym nie należy oczekiwać, aby fermiony zachowywały się koherentnie. Zupełnie inaczej wygląda sytuacja w przypadku bozonów. Tutaj nie obowiązuje zakaz Pauliego i dowolna liczba bozonów może obsadzać dany stan, zatem zjawiska, w których duża liczba cząstek zachowuje się tak samo są możliwe.

Doświadczenia, o których wspominamy na początku, wykonane zostały z atomami pierwiastków alkalicznych ⁸⁷Rb, ²³Na, ⁷Li (atomy te są bozonami), których struktura poziomów energetycznych jest niezwykle użyteczna z punktu widzenia laserowych technik chłodzenia. Aby zaobserwować kondensację, gaz atomów musi być ochłodzony poniżej temperatury krytycznej, której wartość zależy głównie od gęstości atomów (im mniejsza gęstość, tym niższa temperatura przejścia). Gęstość atomów z kolei musi być mała, aby istotnie zmniejszyć prawdopodobieństwo trójciałowych zderzeń, prowadzących do powstawania molekuł, na których jak na zarodkach mógłby rozpocząć się proces skraplania gazu. Kondensat Bosego-Einsteina jest w istocie silnie przechłodzonym gazem. Z tego właśnie powodu utrzymywanie gazu w określonej objętości odbywa się bez udziału rzeczywistych ścianek, lecz z wykorzystaniem pola magnetycznego oddziałującego na momenty magnetyczne atomów.

Doświadczalna realizacja kondensacji Bosego-Einsteina wygląda więc następująco. Atomy są najpierw spowalniane z wykorzystaniem mechanizmu chłodzenia dopplerowskiego (wykorzystuje się przy tym trzy pary przeciwbieżnych wiązek laserowych - układ zwany melasą optyczną). Średnia prędkość atomu maleje w tym czasie z kilkuset m/s do zaledwie kilku, kilkunastu cm/s. Przy tego rzędu prędkościach atomy mogą już być pułapkowane z wykorzystaniem pola magnetycznego. Wcześniej muszą zostać jeszcze spolaryzowane, gdyż tylko atomy o spinach ustawionych równolegle do pola magnetycznego są przez to pole pułapkowane. Okazuje się jednak, że chłodzenie dopplerowskie nie obniża wystarczająco temperatury gazu. Niezbędne staje się dalsze chłodzenie gazu z wykorzystaniem rozwiniętych wcześniej metod, polegających na ,,wyciąganiu" z układu najbardziej energetycznych atomów i termalizacji pozostałych atomów przy nowej, niższej temperaturze - w analogii do zjawiska stygnięcia gorącej wody w wyniku parowania. Osiągnięto w ten sposób temperatury kilkudziesięciu nK, najniższe z dotychczas osiągniętych. Przy takich temperaturach cieplna długość fali (długość fali de Broglie'a odpowiadająca średniej prędkości w gazie o danej temperaturze) staje się porównywalna ze średnią odległością między atomami. Wszystkie atomy są wtedy opisywane tą samą funkcją falową. Sygnałem, że rozpoczyna się kondensacja jest pojawienie się ostrego maksimum w rozkładzie prędkości dla małych prędkości na tle zawsze symetrycznego rozkładu odpowiadającego atomom termicznym. Rozkład odpowiadający atomom w kondensacie jest niesymetryczny, o ile potencjał pułapki nie ma symetrii sferycznej, i jest piękną ilustracją zasady nieoznaczoności w świecie obiektów makroskopowych.

Od kilku lat nasza grupa intensywnie bada teorię kondensacji Bosego-Einsteina. Prawdziwą naszą specjalnością stało się badanie statystycznych własności kondensatu. Do opisu statystycznych własności kondensatu Bosego-Einsteina podręczniki stosują zwykle wielki zespół kanoniczny. Ze swej istoty służy on do opisu statystycznych własności układu pozostającego w kontakcie z rezerwuarem ciepła oraz rezerwuarem cząstek. Tymczasem w doświadczeniach z kondensatem dba się o niemal idealną izolację termiczną atomów w pułapce. Także liczba atomów pozostaje z dobrym przybliżeniem stała. W dodatku nie można dla skończonej liczby atomów liczyć na równoważność różnych zespołów statystycznych, z czego często korzysta się, obliczając wielkości intensywne w granicy termodynamicznej. Okazuje się, że powszechnie stosowany wielki zespół kanoniczny prowadzi w przypadku doskonałego gazu Bosego do niefizycznych fluktuacji liczby skondensowanych atomów. Stąd potrzeba opisu statystycznych własności kondensatu za pomocą bardziej ograniczonych zespołów statystycznych.

Wydaje się, że zespół mikrokanoniczny, który zakłada, że w układzie jest zarówno określona liczba atomów, jak i to, że ma on określoną energię, jest najbardziej odpowiedni dla doświadczeń z kondensatem. Zadanie sprowadza się tu do rozwiązania kombinatorycznego zagadnienia liczby stanów N atomów o całkowitej energii E. W przypadku jednowymiarowego oscylatora harmonicznego jest to tożsame ze słynnym zagadnieniem Eulera: liczby przedstawień danej liczby całkowitej w postaci sumy mniejszych liczb całkowitych. Zadanie to zostało rozwiązane dopiero w 1918 r. przez Hardy'ego i Ramanujana. Dla fizyki kondensatu potrzebne jest jednak rozwiązanie takiego zadania dla trójwymiarowego oscylatora harmonicznego, to znaczy z uwzględnieniem degeneracji. Jako pierwsi rozwiązaliśmy to zagadnienie, obliczając fluktuacje kondensatu w obrębie zespołu mikrokanonicznego [2]. Do tego celu rozwinęliśmy kilka komplementarnych metod. Dla kilkuset atomów można wykorzystać bezpośrednie metody numeryczne oparte na wzorach rekurencyjnych, wiążących sumy statystyczne, i otrzymać ścisłe rezultaty. Ważniejsze okazało się jednak uzyskanie przybliżonych wzorów analitycznych, opartych na tak zwanym zespole Demona Maxwella. Nie wchodząc w szczegóły metody zauważymy tu, że wykorzystuje ona stosunkowo prostą obserwację: jeśli mamy określoną energię układu, a liczba atomów rośnie, to ponieważ w skończonych układach występuje przerwa energetyczna pomiędzy stanem podstawowym (kondensat) a pierwszym stanem wzbudzonym, jedynie skończona liczba atomów może zostać wzbudzona. Wzrost liczby atomów powyżej tej maksymalnej liczby nie powiększa więc liczby dostępnych konfiguracji. Dla dużej liczby atomów i skończonej energii podukład wzbudzony zachowuje się więc tak, jakby współistniał z niewyczerpanym rezerwuarem cząstek kondensatu. Nie jest to jednak zwykły rezerwuar znany z wielkiego zespołu kanonicznego, bowiem wszystkie cząstki kondensatu mają taką samą energię. Ten nowy zespół statystyczny nazwaliśmy właśnie zespołem Demona Maxwella.

W najnowszej pracy rozpoczęliśmy badanie wpływu zderzeń między atomami na statystykę kondensatu [3]. Okazuje się, że sprawa niepomiernie się komplikuje. Brak bowiem dostatecznie precyzyjnej definicji kondensatu współistniejącego z chmurą termiczną z uwzględnieniem oddziaływań. Prowadzi nas to do pytania o model kondensatu oddziałującego.

Standardową metodą opisu układu oddziałujących bozonów jest przybliżenie Bogolubowa, w którym kondensat i atomy termiczne zastępuje się układem nie oddziałujących kwazicząstek, dla których kondensat jest próżnią. W metodzie tej nie jest jednak zachowywana całkowita liczba cząstek, a jedynie jej wartość średnia. Ponieważ, jak już wspominaliśmy, kondensat nie wymienia cząstek z otoczeniem, to wydaje się, że właściwym sposobem uwzględnienia oddziaływania między atomami jest opis zachowujący liczbę cząstek w kondensacie. Taki opis istnieje i opiera się na analogii z dobrze znaną w fizyce atomowej metodą Hartree'ego-Focka, w której rolę potencjału kulombowskiego odgrywa potencjał pułapki magnetycznej, a elektrony zastąpione są atomami. Oczywiście istnieje fundamentalna różnica pomiędzy atomami w pułapce i elektronami uwięzionymi w polu kulombowskim jądra. Te pierwsze podlegają statystyce Bosego, drugie są natomiast fermionami, co wymusza odpowiednią symetrię funkcji falowej. W pierwszym przypadku funkcja falowa musi być symetryczna ze względu na wymianę dwu cząstek, w drugim antysymetryczna. Funkcji falowej kondensatu w zerowej temperaturze szukamy więc w postaci:

Y(r₁, r₂,...,r_N) = P_i=1^N f(r_i},
która zachowuje właściwą symetrię i jest ścisłym rozwiązaniem dla kondensatu nie oddziałujących atomów. Każdy atom obsadza ten sam ,,orbital" f(r). Stan podstawowy kondensatu znajdujemy minimalizując wyrażenie na całkowitą energię układu ze względu na ,,orbital" f(r). Procedura ta prowadzi do następującego równania na funkcję falową:
(-(h²/2m) D + V_trap + (N-1) ň V(r - r') |f(r')|² d³r') f(r) = E f(r) ,

z którego widać, że każdy atom porusza się w polu pułapki i uśrednionym polu pochodzącym od wszystkich pozostałych atomów. Wielkość V(r}) opisuje oddziaływanie między obojętnymi atomami, które w niskich temperaturach zależy od jednego parametru zwanego długością rozpraszania (bo cząstki są ,,rozmyte" na odległościach dużo większych od zasięgu potencjału międzycząstkowego). W ogólności długość rozpraszania może być bądŚ dodatnia, powodując, że oddziaływanie jest efektywnie odpychające, bądź ujemna, a wtedy oddziaływanie jest przyciągające. W pierwszym przypadku (²³Na, ⁸⁷Rb) możliwy jest stabilny kondensat, a w drugim natomiast (⁷Li) tylko ograniczona liczba atomów może obsadzać stan podstawowy.

Postępując dalej tak jak w metodzie Hartree'ego-Focka, gdy opisujemy oddziaływanie atomów wieloelektronowych z zależnymi od czasu zewnętrznymi polami, dostajemy słynne równanie Grossa-Pitajewskiego (zależne od czasu):

i h ¶/¶t f(r,t) = (-(h²/2m) D + V_trap(r,t) + N g |f(r,t)|²) f/(r,t) ,

gdzie g jest stałą opisującą efektywne oddziaływanie między atomami (pominęliśmy także jedynkę w czynniku występującym w wyrazie nieliniowym). Równanie to zostało po raz pierwszy wyprowadzone jednak w formalizmie Bogolubowa.

Rozwiązaliśmy równanie Grossa-Pitajewskiego w szeregu interesujących przypadków. Udało się nam zastosować metody hydrodynamiczne, rozwinięte wcześniej w związku z badaniem oddziaływania wieloelektronowych układów z silnym polem laserowym, do znalezienia odpowiedzi kondensatu na zewnętrzne zaburzenie. Wzorując się na eksperymencie [4], przede wszystkim zbadaliśmy częstości niskoenergetycznych drgań kondensatu. Kondensat jest zaburzany poprzez nieznaczną modulację stałych sprężystości pułapki. Można to oczywiście robić na wiele sposobów, wzbudzając tym samym różne typy drgań kondensatu. Stałe sprężystości mogą być np. modulowane w fazie (takie zaburzenie prowadzi do zmiany kształtu kondensatu), możemy też wymusić dowolne różnice faz w modulowaniu poszczególnymi stałymi sprężystości, generując np. mod kwadrupolowy drgań kondensatu. Takie drgania zostały zaobserwowane w doświadczeniu, a ich częstości zmierzone. Wyliczone przez nas częstości drgań zgadzają się z wartościami doświadczalnymi [5]. Ponadto, gdy osiowosymetryczny kondensat jest ściskany radialnie, to indukowanym w ten sposób oscylacjom radialnym towarzyszą przesunięte o około 180^o oscylacje osiowe. Kondensat zachowuje się tutaj jak słabo ściśliwa ciecz.

Z doświadczalnego punktu widzenia nie ma żadnych trudności z realizacją przypadku, w którym kondensat jest zaburzany silnie. Po prostu amplituda zmian stałych sprężystości pułapki jest wtedy duża, a odpowiedŚ kondensatu zależy istotnie od typu wzbudzonego modu. Ogólnie mówiąc, obserwujemy zjawiska typowe dla optyki nieliniowej, np. generowane są wyższe harmoniczne, czyli oscylacje kondensatu z częstością będącą wielokrotnością częstości podstawowej. W przypadku modu oscylacji kształtu częstość podstawowa nie zależy od stopnia zaburzenia kondensatu, o ile zaburzenie ma charakter radialny. Inaczej jest, gdy kondensat jest ściskany jednocześnie ze wszystkich stron. Prowadzi to do większych gęstości kondensatu w środku pułapki i wyraz nieliniowy w równaniu Grossa-Pitajewskiego daje o sobie znać. Wyższe harmoniczne są produkowane znacznie efektywniej, ale jednocześnie obserwujemy zmianę częstości podstawowej.

Oprócz nieliniowej zmiany częstości drgań obserwowana jest także zmiana temperaturowa, co pokazuje znakomite doświadczenie przeprowadzone w laboratorium JILA [6]. W doświadczeniu tym pojawiła się nowa temperatura charakterystyczna, przy której częstości własne zmieniają się bardzo znacznie. Nie ma wciąż zadowalającego wytłumaczenia tego zjawiska. Udało się nam jednak zaobserwować analogiczne ,,przejście fazowe" w jednowymiarowym modelu hydrodynamicznym, opisującym współistniejące i oddziałujące fazy skondensowaną i termiczną. Prace nad modelem trójwymiarowym trwają.

Teoretyczny opis drgań kondensatu upraszcza się znacznie, gdy liczba atomów w kondensacie staje się duża. Jest to tak zwana granica Thomasa-Fermiego. W równaniu Grossa-Pitajewskiego możemy wtedy pominąć energię kinetyczną atomu w porównaniu z energią potencjalną. Częstości drgań własnych przestają wtedy zależeć od liczby atomów (w granicy małych zaburzeń), a funkcja gęstości kondensatu ewoluuje w szczególnie prosty sposób. W dowolnej chwili gęstość kondensatu otrzymuje się z gęstości w chwili początkowej poprzez przeskalowanie, przy czym czynnik skalujący spełnia pewne nieliniowe zwyczajne równanie różniczkowe (mówimy, że rozwiązanie jest samopodobne). Pokazaliśmy, że tego typu rozwiązania są niestabilne, a rozwiązania pełnego równania Grossa-Pitajewskiego stabilizują się, aczkolwiek czasami tracą charakter samopodobny [7].

Rozwinęliśmy interesującą analogię pomiędzy kondensatem potrząsanym okresowo w pewnym kierunku a atomem oddziałującym z silnym spolaryzowanym liniowo polem laserowym [8]. W tym drugim przypadku, jeśli tylko częstość fali jest odpowiednio wysoka, a natężenie fali duże, obserwujemy zjawisko nazywane stabilizacją, w którym prawdopodobieństwo jonizacji atomu na jednostkę czasu zaczyna maleć ze wzrostem natężenia fali [9]. Towarzyszy temu lokalizacja elektronowej paczki falowej, a ponieważ efektywny potencjał oddziaływania atomu z polem laserowym ma dwa minima, to elektronowa paczka falowa ulega rozszczepieniu. Podobne rozszczepienie występuje, gdy kondensat przetrzymywany w pułapce dipolowej (co umożliwia ucieczkę atomów z pułapki - analog zjawiska jonizacji atomu w silnym polu laserowym) jest periodycznie potrząsany w pewnym kierunku. Zwiększając amplitudę drgań tych oscylacji jesteśmy w stanie prześledzić pojawianie się dychotomii (rozszczepienia) funkcji falowej kondensatu. Tak przygotowany kondensat nadaje się znakomicie do badania własności interferencyjnych.

Dopiero niedawno wyciągnięto wnioski z bliskiej analogii pomiędzy trójliniowym członem w równaniu Grossa-Pitajewskiego a nieliniowością trzeciego stopnia, występującą w wyrażeniu na polaryzowalność nieliniowych ośrodków optycznych. Z tej analogii wynika atomowe zjawisko mieszania czterech fal. Odkryto je zaledwie przed kilkoma miesiącami, a w rachunkach modelujących to zjawisko uczestniczył wracający właśnie do kraju nasz kolega Marek Trippenbach [10].

Literatura
[1] M.H. Anderson, J.R. Ensher, M.R. Matthews, C.E. Wieman, E.A. Cornell, Science 269, 198 (1995); C.C. Bradley, C.A. Sackett, J. Tollet, R. Hulet, Phys. Rev. Lett. 75, 1687 (1995); K.B. Davis, M.-O. Mewes, M.R. Andrews, N.J. van Druten, D.S. Durfee, D.M. Kurn, W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 75, 3969 (1995).
[2] M. Gajda, K. Rzążewski, Phys. Rev. Lett. 78, 2686 (1997); P. Navez, D. Bitouk, M. Gajda, Z. Idziaszek, K. Rzążewski, Phys. Rev. Lett. 79, 1789 (1997).
[3] Z. Idziaszek, M. Gajda, P. Navez, M. Wilkens, K. Rzążewski, Phys. Rev. Lett. 82, 4376 (1999).
[4]D.S. Jin, J.R. Ensher, M.R. Matthews, C.E. Wieman, E.A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 77, 420 (1996).
[5]M. Brewczyk, K. Rzążewski, C.W. Clark, Phys. Rev. A57, 488 (1998).
[6]D.S. Jin, M.R. Matthews, J.R. Ensher, C.E. Wieman, E.A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 78, 764 (1997).
[7] M. Brewczyk, C.W. Clark, M. Lewenstein, K. Rzążewski, J. Phys. B w druku.
[8] R. Dum, A. Sanpera, K.-A. Suominen, M. Brewczyk, M. Kuś, K. Rzążewski, M. Lewenstein, Phys. Rev. Lett. 80, 3899 (1998).
[9] M. Gavrila, Atoms in Intense Laser Fields (Academic Press, Boston 1992).
[10] L. Deng, E.W. Hagley, J. Wen, M. Trippenbach, Y. Band, P.S. Julienne, J.E. Simsarian, K. Helmerson, S.L. Rolston, W.D. Phillips, Nature 398, 218 (1999).