Rozmaitości kontaktowe i nieliniowe równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
semestr zimowy roku akademickiego 2021/22
Wykład
Przedmiot składa się 15 tygodniowych spotkań, trwających półtorej godziny (tzn. 30 godzin akademickich).
Program
Elementami programu przedmiotu, mniej więcej odpowiadającymi każdemu tygodniowi spotkaniu, są:
- Przedstawienie przedmiotu, przykład wyjaśniający jego cel.
- Rozmaitości kontaktowe i Twierdzenia Darboux’a. Stosunek z rozmaitościami symplektycznymi.
- Przykłady rozmaitości kontaktowych: urzutowienie wiązki kostycznej, domknięcia orbit nilpotentnych grup Liego półprostych, przestrzeń pierwszych jetów.
- Układy równań różniczkowych pierwszego rzędu i ich geometryczna interpretacja; pojęcia holonomii w przestrzeni jetów jetów.
- Rozmaitość Grassmaniana Lagranżowka i jej właściwości (zanurzenie Pluckera, struktura jej wiązki stycznej)
- Pojęcia cięcia hyperpłaszczyzną oraz dwoistości rzutowej.
- Pojęcia prolongacji rozmaitości kontaktowej; różne konstrukcji przestrzeni jetów drugiego rzędu.
- Równanie różniczkowe drugiego rzędu na rozmaitościach kontaktowych, ich symetrie oraz Twierdzenia Liego-Backlunda.
- Wprowadzenie do pojęcia charakterystyki RRCz dowolnego rzędu i kilka fizycznie poważnych przykładów. Konstrukcja rozmaitości charakterystycznej.
- Pojęcia wektorów stycznych o rzędzie jeden i ich stosunek do charakterystyki. Twierdzenia Cauchy’ego-Kowalewskiej.
- Wprowadzenie do klasy RRCz typu Monge-Ampere’a i struktura ich rozmaitości charakterystycznych.
- Problem znalezienia form normalnych parabolicznych RRCz typu Monge-Ampere’a w dwóch niezależnych zmiennych i Twierdzenia Bryant’a.
- Wielowymiarowy RRCz typu Monge-Ampere’a i problem ich klasyfikacji.
- Przykład problemu odwrotnego: konstrukcja RRCz o podanej grupie symetrii.
- Powtórka niejasnych punktów przedmiotu bądź dalszy temat do wyboru.
UWAGA! Po końcu każdego tygodnia, odpowiadający wiersz może zostać zaktualizowany.
Konsultacje
Grafik
Wykłady odbywają się:
- we środki: w sali 2.21, 17:15-19:00.
Skrypt wykładu
Wersja robocza skryptu wykładu będzie pojawiać się stopniowo tu.
Zalecane podręczniki
Wykład naśladuje artykuł przeglądowy Contact manifolds, Lagrangian Grassmannians and PDEs, oparty na kursie dla doktorantów wykładany przez prowadzącego. Niektóre pojęcia są wzięte od dwóch kolejnych artykułów przeglądowych: Geometry of Lagrangian Grassmannians and Nonlinear PDEs oraz Complex contact manifolds, varieties of minimal rational tangents, and exterior differential systems.
Klasycznym źródłem materiału do takiego przedmiotu jest książka Contact geometry and nonlinear differential equations (volume 101 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 2007).
Ściągnij wszystkie Jamboardy z poprzednej edycji przedmiotu)
Egzamin
Egzamin będzie wyglądał jak seminarium wygłoszone przez studenta; student/ka może sam/a proponować temat, o ile tylko posiada nietrywialną wspólną część z programem przedmiotu.