Analiza Sygnałów

Jak zrekonstruować sygnał ze współczynników szeregu Fouriera?

1) Mając dowolny sygnał s(t) liczymy współczynniki Fouriera z wzoru $$c_n = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) e^{\frac{2\pi i n t}{T}} dt \,.$$

Współczynniki te może policzyć za nas darmowy program maxima po wprowadzeniu formuły:
integrate(<WZÓR FUNKCJI OD T>*exp(2*%pi*%i*n*t/T), t, 0, T);
oraz użyty na zajęciach wolfram alpha. Formuła:
Fourier coefficient of <WZÓR FUNKCJI OD T>
Należy jednak zwrócić uwagę że wolfram alpha korzysta z innej definicji przez co znak „+” w wykładniku przy e zamieniony jest tam na minus. Dlatego można zamiast tego wprowadzić formułę:
(integral of <wzór funkcji od t>)*exp((2*pi*n*i*t)/T))/T
(we wzorze dobrze jest użyć zmiennej x zamiast t, gdyż wolfram się gubi. Można również podstawić za T znaną wartość.)

2) Na podstawie obliczonego współczynnika oraz wzoru: $$s(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i \frac{2\pi t}{T} n}$$ jesteśmy w stanie zrekonstruować sygnał \(s(t)\). Dla niektórych sygnałów możemy sumować po dowolnych \(n\). Dla innych tylko niektóre współczynniki dla konkretnych \(n\) będą niezerowe. Wtedy sumujemy po tych niezerowych.

autor: Sebastian Szymański, ostatnia modyfikacja: 10.04.2016