badając średnią próby względem wartości oczekiwanej

testując hipotezę dla populacji o nieznanej wariancji

Załóżmy, że mamy próbą losową składającą się z $N$ wartości $x_1, x_2 \ldots x_N$ pochodzącą z populacji o rozkładzie normalnym o nieznanej wariancji. Chcemy przetestować hipotezę (zerową), że prawdziwa wartość mierzonej wielkości $\mu$ (wartość oczekiwana rozkładu, z którego losujemy) wynosi $\mu_0$.

Jako „przeciwieństwo” hipotezy zerowej $H_0$ formułujemy hipotezę alternatywną $H_1$, która może być przedstawiona na dwojaki sposób:

$\mu \gt \mu_0$ (alternatywnie $\mu \lt \mu_0$), mamy wtedy do czynienia z testem jednostronnym
$\mu \ne \mu_0$, mamy wtedy do czynienia z testem dwustronnym

Jako miarę istotności oszacowania, ustalamy poziom istotności α jako maksymalne dopuszczane przez nas prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju, czyli odrzucenia hipotezy zerowej mimo jej prawdziwości. Zazwyczaj przyjmujemy w tym celu wartość α=0.05 lub mniejszą.

Po sformułowaniu hipotez, wybieramy statystykę testową $$t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s_1/\sqrt{N}}$$ o której wiemy, że przy założeniu hipotezy zerowej powinna mieć rozkład t-Studenta o $N-1$ stopniach swobody, jeśli przez $s_1^2$ oznaczymy nieobciążony estymator wariancji taki, że $$s_1 = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i-\bar{x})}.$$

Na podstawie wartości statystyki możemy obliczyć „p-wartość” $p$, czyli specjalną statystykę, która

jeśli hipoteza zerowa jest prawdziwa, będzie miała rozkład jednostajny na $[0;1]$
jeśli hipoteza zerowa jest fałszywa, będzie miała wartości bliskie zeru

Wartość $p$ obliczymy z użyciem dystrybuanty rozkładu t-Studenta, podobnie jak w rozdziale o obliczaniu prawdopodobieństwa.

import math
import scipy.stats
# t to wartość statystyki testowej, N to rozmiar próby

# dla testu prawostronnego (H₁: µ > µ₀)
# obliczamy prawdopodobieństwo w obszarze krytycznym od z do +∞
p = 1 - scipy.stats.t(N-1).cdf(t)

# dla testu lewostronnego (H₁: µ < µ₀)
# obliczamy prawdopodobieństwo w obszarze krytycznym od −∞ do z
p = scipy.stats.t(N-1).cdf(t)

# dla testu dwustronnego (H₁: µ ≠ µ₀)
# obliczamy prawdopodobieństwo w obszarze krytycznym od −∞ do −|z| i od +|z| do +∞
p = 2 * scipy.stats.t(N-1).cdf(-math.abs(t))

Jeżeli $p \lt \alpha$, możemy odrzucić $H_0$ na korzyść $H_1$.

autor: Piotr Różański, ostatnia modyfikacja: 10.04.2016