Wykład monograficzny
„Elementy algebry wyższej w fizyce”
Rok akademicki 2015/2016

• Wykładowca: Rafał R. Suszek



• Termin i miejsce zajęć: piątki, godz. 10:15-12:00; sala 2.11



• Zadania domowe:
  
  
  • Seria ...
  
  



• Warunki zaliczenia przedmiotu: Uzyskanie pozytywnej oceny z rozmowy egzaminacyjnej, jaka odbędzie się w sesji letniej (rozliczenie roczne), jak również samodzielne opracowanie i zreferowanie (w trybie ustalonym z wykładowcą) jednego z tematów z poniższej listy.



• Tematy referatów:
  
  
  • ...
  
  



• Termin i miejsce egzaminu: .../6/2016, godz. ...-..., sala ...



• Skrypt wykładowy:
  
  
  • R.R.S., „Elementy Algebry Wyższej w Fizyce” (wersja przed-wstępna, wyłącznie do użytku wewnętrznego), 2013.



• Materiały pomocnicze:
  
  
  • R.R.S., „Algebra. Podstawy” (notatki wykładowe - wersja wstępna), 2013.



• Literatura podstawowa:
  
  
  1. W. Greub, "Multilinear Algebra", Universitext, Springer-Verlag, 1978.
  
  
  2. É. Cartan, "The Theory of Spinors", Dover Books on Mathematics, Dover Publications, 1981 (tłumaczenie oryginalnych notatek wykładowych "Leçons sur la théorie des spineurs" zebranych w 1937 r. przez A. Merciera).
  
  
  3. H. Blaine Lawson i M.-L. Michelsohn, "Spin Geometry", Princeton Mathematical Series, Vol. 38, Princeton University Press, 1989.
  
  
  4. C. Kassel, "Quantum Groups", Graduate Texts in Mathematics, Vol. 155, Springer-Verlag, 1995.
  
  
  5. J. Kock, "Frobenius Algebras and 2D Topologica Quantum Field Theories", London Mathematical Society Student Texts, Vol. 59, Cambridge University Press, 2003.
  
  
  6. S. Mac Lane, Homology, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, 1995.
  
  
  7. C.A. Weibel, "An introduction to homological algebra", Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Vol. 38, Cambridge University Press, 1995.
  
  
  8. В.В. Прасолов, "Elements of Homology Theory", Graduate Studies in Mathematics, Vol. 81, American Mathematical Society, 2007 (tłumaczenie pracy oryginalnej "Элементы Теории Гомологий", Издательство МЦНМО, 2006).
  
  
  9. J.A. de Azcárraga i J.M. Izquierdo, "Lie groups, Lie algebras, cohomology and some applications in physics", Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, 1995.
  
  

Literatura uzupełniająca:

• C. Chevalley, "The Algebraic Theory of Spinors and Clifford Algebras", Collected Works of Claude Chevalley, Vol. 2, Springer-Verlag, 1996.


• P. Lounesto, "Clifford Algebras and Spinors", London Mathematical Society Lecture Notes Series, Vol. 286, Cambridge University Press, 2001.


• P. Budinich i A.M. Trautman, "The Spinorial Chessboard", Trieste Notes in Physics, Springer-Verlag, 1988.


• S. Mac Lane, "Categories for the Working Mathematician", Graduate Texts in Mathematics, Vol. 5, Springer-Verlag, 1971.


• В.Г. Тураев, "Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds", De Gruyter Studies in Mathematics, Vol. 18, Walter de Gruyter, 2010.


• H. Cartan i S. Eilenberg, "Homological Algebra", Princeton Mathematical Series, Vol. 19, Princeton University Press, 1956.


• J.J. Rotman, "An Introduction to Homological Algebra", Universitext, Springer-Verlag, 2009.


• С.И. Гельфанд i Ю.И. Манин, "Methods of Homological Algebra", Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, 2003, (tłumaczenie pracy oryginalnej "Методы гомологической алгебры", Наука, 1988).

---

Opis przedmiotu

Celem wykładu jest przybliżenie Słuchaczowi wybranych uniwersalnie istotnych elementów algebry wyższej i przekonanie Go o ich naturalności oraz poręczności w szeroko pojętym kontekście fizykalnym, a nadto — zapoznanie go z odnośnymi technikami rachunkowymi wykorzystywanymi w rozważaniach modelowych nowoczesnej fizyki matematycznej. Przydatność każdej z przedstawianych konstrukcji formalnych będzie udokumentowana szczegółową dyskusją przykładów jej zastosowań w fizyce klasycznej wzgl. kwantowej.

Pierwszy semestr całorocznego kursu będzie poświęcony teorii spinorów i wprowadzeniu do teorii kategorii oraz programu kategoryfikacji, w drugim zaś zostanie omówiona topologiczna kwantowa teoria pola (w ramach kontynuacji dyskusji zastosowań teorii kategorii) i niektóre fizykalnie użyteczne zagadnienia z zakresu algebry homologicznej. Poniżej przedstawiamy bardziej szczegółowy opis zawartości merytorycznej wykładu.

1. Przypomnienie i uzupełnienie niezbędnych pojęć i konstrukcji algebry liniowej (przestrzenie i odwzorowania liniowe, struktury ilorazowe, ciągi dokładne, naturalne operacje na przestrzeniach liniowych: sprzężenie, produkt i suma prosta oraz iloczyn tensorowy, struktury ε-hermitowskie, algebry, w tym algebry Liego, algebry z gradacją i algebry różniczkowe, konstrukcje uniwersalne).



2. Struktura i teoria reprezentacji algebr Clifforda na dowolnych przestrzeniach kwadratowych; geometria algebr Clifforda; grupy Pin i Spin, także w relacji do grupy ortogonalnej; spinory czyste Cartana i spinory Chevalleya; struktury różniczkowo-geometryczne lokalnie modelowane na algebrach Clifforda i ich modułach: wiązki Clifforda i spinorowe; obstrukcje topologiczne dla istnienia struktury spinorowej na rozmaitości różniczkowalnej; równanie Diraca.



3. Język teorii kategorii jako naturalna abstrakcja języka teorii grup i ich reprezentacji; kategorie z dodatkową strukturą (liniową, monoidalną, warkoczową etc.) i wyższe kategorie w opisie dualności w teoriach pola; kategoryfikacja poprzez internalizację na przykładzie (2-)grup i (2-)algebr Liego; algebry L∞ Stasheffa w opisie ładunków symetrii klasycznej teorii pola.



4. Topologiczna kwantowa teoria pola (TQFT) jako abstrakcyjny schemat konstrukcji teorii kwantowej na przykładzie dwuwymiarowej zamkniętej TQFT; związek z niezmiennikami topologicznymi w niskich wymiarach (wielomiany węzłów itp.); geometryczne realizacje funktora TQFT w teoriach z ładunkiem topologicznym.



5. Zastosowania algebry homologicznej w fizyce:



1. Homologia singularna, kohomologie de Rhama i Čecha jako geometryczna motywacja dla aksjomatycznej konstrukcji Cartana—Eilenberga; zastosowanie w lokalnym (snopowym) opisie wiązek włóknistych z powiązaniem i ich wyżej wymiarowych uogólnień (tzw. wiechci wiązek) w kontekście lagranżowskiego opisu dynamiki obiektów topologicznie naładowanych na (czaso)przestrzeniach o dowolnej topologii, w dyskusji efektu Aharonowa—Bohma oraz w konstrukcji monopola magnetycznego Diraca.



2. Homologia grupowa w opisie rzutowych reprezentacji grup (symetrii) i ich rozszerzeń spotykanych w teorii kwantowej, jej rola w procedurze cechowania (w szczególności – w ilościowym opisie anomalii cechowania), a także związki z kohomologią symplektyczną obecną w kanonicznym opisie dynamicznego działania grup na przestrzeniach stanów teorii fizykalnych.



3. Homologia (super)algebr Liego w opisie rozszerzeń algebry (super)symetrii i jej związek z algebrami L∞ Stasheffa oraz n-(super)algebrami Liego, w procedurze BRST i w konstrukcji niezmienników różniczkowych na (super)grupach Liego (model Chevalleya—Eilenberga).

---

Strona ostatnio odświeżana 10/6/2015.

Powrót