Fizyka I

Informacje organizacyjne

Strona wykładu znajduje się tutaj.

W końcowej części semestru może okazać się przydatny ten krótki skrypt do szczególnej teorii względności.

Przydatne wzory

Delta Kroneckera: \[ \delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & \text{gdy} & i = j \\ 0 & \text{gdy} & i \neq j \end{array} \right. \]

Całkowicie antysymetryczny symbol Leviego-Civity: \[ \varepsilon_{ijk} = \left\{ \begin{array}{rcl} +1 & \text{jeśli} & (i, j, k) \in \{ (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \} \\ -1 & \text{jeśli} & (i, j, k) \in \{ (3,2,1), (1,3,2), (2,1,3) \} \\ 0 & \text{jeśli} & i = j\ \vee\ j = k\ \vee\ k = i \end{array} \right. \]

Iloczyn skalarny: \[ \begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \sum_{i} a_i b_i = \sum_i \sum_j a_i b_j \delta_{ij} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= ab \cos \angle (\vec{a}, \vec{b}) \\ \hat{e}_i \cdot \hat{e}_j &= \delta_{ij} \\ \hat{e}_{a} \cdot \hat{e}_{b} &= \cos \angle (\vec{a}, \vec{b}) \end{align*} \]

Iloczyn wektorowy: \[ \begin{align*} \vec{a} \times \vec{b} &= \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \varepsilon_{ijk} \hat{e}_i a_j b_k \\ \vec{a} \times \vec{b} &= \left| \begin{array}{ccc} \hat{e}_x & \hat{e}_y & \hat{e}_z \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right| \\ &= (a_y b_z - a_z b_y) \hat{e}_x + (a_z b_x - a_x b_z) \hat{e}_y + (a_x b_y - a_y b_x) \hat{e}_z \\ \vec{a} \times \vec{b} &= ab \sin (\vec{a}, \vec{b}) \hat{e} \\ \hat{e}_x \times \hat{e}_y &= \hat{e}_z \\ \hat{e}_y \times \hat{e}_z &= \hat{e}_x \\ \hat{e}_z \times \hat{e}_x &= \hat{e}_y \\ \hat{e}_y \times \hat{e}_x &= -\hat{e}_z \\ \hat{e}_z \times \hat{e}_y &= -\hat{e}_x \\ \hat{e}_x \times \hat{e}_z &= -\hat{e}_y \end{align*} \] Dowód: \[ \begin{align*} \vec{a} \times \vec{b} &= (a_x, a_y, a_z) \times (b_x, b_y, b_z) \\ &= (a_x \hat{e}_x + a_y \hat{e}_y + a_z \hat{e}_z) \times (b_x \hat{e}_x + b_y \hat{e}_y + b_z \hat{e}_z) \\ &= a_x b_x \underbrace{\hat{e}_x \times \hat{e}_x}_{= \vec{0}} +\ a_x b_y \underbrace{\hat{e}_x \times \hat{e}_y}_{= \hat{e}_z} +\ a_x b_z \underbrace{\hat{e}_x \times \hat{e}_z}_{= -\hat{e}_y} \\ &\quad\ + a_y b_x \underbrace{\hat{e}_y \times \hat{e}_x}_{= -\hat{e}_z} +\ a_y b_y \underbrace{\hat{e}_y \times \hat{e}_y}_{= \vec{0}} +\ a_y b_z \underbrace{\hat{e}_y \times \hat{e}_z}_{= \hat{e}_x} \\ &\quad\ + a_z b_x \underbrace{\hat{e}_z \times \hat{e}_x}_{= \hat{e}_y} +\ a_z b_y \underbrace{\hat{e}_z \times \hat{e}_y}_{= -\hat{e}_x} +\ a_z b_z \underbrace{\hat{e}_z \times \hat{e}_z}_{= \vec{0}} \\ &= (a_y b_z - a_z b_y) \hat{e}_x + (a_z b_x - a_x b_z) \hat{e}_y + (a_x b_y - a_y b_x) \hat{e}_z \\ &= \left| \begin{array}{ccc} \hat{e}_x & \hat{e}_y & \hat{e}_z \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right| \end{align*} \]

Iloczyn mieszany: \[ (\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \left|\begin{array}{ccc} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{array}\right| \]

Objętość równoległościanu zbudowanego z wektorów \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) i \(\vec{c}\): \[ V = |(\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c})| \]

Różniczkowanie: \[ \frac{\text{d}f}{\text{d}x} = \frac{\text{d}f}{\text{d}u} \cdot \frac{\text{d}u}{\text{d}x} \]

Tożsamości trygonometryczne: \[ \begin{align*} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha &= 1 \\ \sin 2\alpha &= 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \\ \sin (\alpha \pm \beta ) &= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha \pm \beta ) &= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\ \sin \arccos x &= \sqrt{1 - x^2} \end{align*} \]

Układ współrzędnych sferycznych: \[ \begin{align*} x &= r \sin \vartheta \cos \varphi \\ y &= r \sin \vartheta \sin \varphi \\ z &= r \cos \vartheta \end{align*} \]

Układ współrzędnych biegunowych: \[ \begin{align*} x &= \rho \cos \varphi \\ y &= \rho \sin \varphi \end{align*} \] Wersory układu współrzędnych biegunowych w układzie współrzędnych prostokątnych: \[ \begin{align*} \hat{e}_{\rho} &= \cos \varphi \cdot \hat{e}_x + \sin \varphi \cdot \hat{e}_y \\ \hat{e}_{\varphi} &= \cos (\pi / 2 + \varphi ) \hat{e}_x + \sin (\pi / 2 + \varphi) \hat{e}_y \\ &= -\sin \varphi \cdot \hat{e}_x + \cos \varphi \cdot \hat{e}_y \end{align*} \] Pochodne wersorów w układzie biegunowym: \[ \begin{align*} \frac{\text{d} \hat{e}_{\rho}}{\text{d} t} &= \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \hat{e}_{\varphi} \\ \frac{\text{d} \hat{e}_{\varphi}}{\text{d} t} &= -\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \hat{e}_{\rho} \end{align*} \] Dowód (pierwszej równości): \[ \begin{align*} \frac{\text{d} \hat{e}_{\rho}}{\text{d} t} &= \frac{\text{d}}{\text{d} t} (\cos \varphi (t) \hat{e}_x + \sin \varphi (t) \hat{e}_y) \\ &= \frac{\text{d} \cos \varphi}{\text{d} \varphi} \cdot \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \hat{e}_x + \frac{\text{d} \sin \varphi}{\text{d} \varphi} \cdot \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \hat{e}_y \\ &= -\sin \varphi \cdot \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \hat{e}_x + \cos \varphi \cdot \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \hat{e}_y \\ &= \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \underbrace{(-\sin \varphi \cdot \hat{e}_x + \cos \varphi \cdot \hat{e}_y)}_{= (\cos (\pi / 2 + \varphi ) \hat{e}_x + \sin (\pi / 2 + \varphi) \hat{e}_y) = \hat{e}_{\varphi}} \\ &= \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \hat{e}_{\varphi} \end{align*} \]

Kinematyka

Położenie: \[ \vec{r} \] Prędkość: \[ \vec{v} = \frac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t} \] Przyspieszenie: \[ \vec{a} = \frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} = \frac{\text{d}^2\vec{r}}{\text{d}t^2} \] Załóżmy, że mamy dwa układy odniesienia: \(1\) oraz \(2\). Układ \(2\) porusza się względem układu \(1\). Położenie układu \(2\) względem układu \(1\) opisane jest wektorem położenia \(\vec{r}_{21}\). Ponadto względem układu \(1\) porusza się punkt \(P\) opisany w tym układzie wektorem położenia \(\vec{r}_{P1}\). Transformacja położenia, prędkości i przyspieszenia między układami: \[ \begin{align*} \vec{r}_{P1} &= \vec{r}_{P2} + \vec{r}_{21} \\ \vec{v}_{P1} &= \vec{v}_{P2} + \vec{v}_{21} \\ \vec{a}_{P1} &= \vec{a}_{P2} + \vec{a}_{21} \end{align*} \] Równanie parametryczne toru w dwóch wymiarach: \[ \begin{align*} x &= x(t) \\ y &= y(t) \end{align*} \] Równanie toru w dwóch wymiarach (szczególny przypadek, gdy \(y\) można zapisać jako funkcję \(x\)): \[ y = y(x) \] Równanie parametryczne toru w rzucie ukośnym (\(\alpha = \angle(\vec{v}_0, \hat{e}_x)\)): \[ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x_0 + v_0 \cos \alpha \cdot t \\ y_0 + v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \end{array} \right] \] Równanie parametryczne linii śrubowej: \[ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} R \cos(\omega t + \varphi_0) \\ R \sin(\omega t + \varphi_0) \\ z_0 + vt \end{array} \right] \] Ruch w biegunowym układzie współrzędnych: \[ \begin{align*} \vec{r} &= \rho \hat{e}_{\rho} \\ \vec{v} &= \frac{\text{d} \vec{r}}{\text{d} t} \\ &= \frac{\text{d} \rho}{\text{d} t} \hat{e}_{\rho} + \rho \frac{\text{d} \hat{e}_{\rho}}{\text{d} t} \\ &= \frac{\text{d} \rho}{\text{d} t} \hat{e}_{\rho} + \rho \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \hat{e}_{\varphi} \\ &= v_{\rho} \hat{e}_{\rho} + v_{\varphi} \hat{e}_{\varphi} \\ \vec{a} &= \frac{\text{d} \vec{v}}{\text{d} t} \\ &= \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left( \frac{\text{d} \rho}{\text{d} t} \hat{e}_{\rho} + \rho \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \hat{e}_{\varphi} \right) \\ &= \frac{\text{d}^2 \rho}{\text{d} t^2} \hat{e}_{\rho} + \frac{\text{d} \rho}{\text{d} t} \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \hat{e}_{\varphi} + \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left( \rho \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \right) \hat{e}_{\varphi} - \rho \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \hat{e}_{\rho} \\ &= \left( \frac{\text{d}^2 \rho }{\text{d} t^2} - \rho \left( \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \right)^2 \right) \hat{e}_{\rho} + \left( 2 \frac{\text{d} \rho}{\text{d} t} \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} + \rho \frac{\text{d}^2 \varphi}{\text{d} t^2} \right) \hat{e}_{\varphi} \\ &= a_{\rho} \hat{e}_{\rho} + a_{\varphi} \hat{e}_{\varphi} \end{align*} \]