Fizyka I

Informacje organizacyjne

Strona wykładu znajduje się tutaj.

W końcowej części semestru może okazać się przydatny ten krótki skrypt do szczególnej teorii względności.

Poniżej znajdują się wybrane informacje przydatne podczas rozwiązywania zadań.

Przydatne wzory

Delta Kroneckera

\[ \delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & \text{gdy} & i = j \\ 0 & \text{gdy} & i \neq j \end{array} \right. \]

Całkowicie antysymetryczny symbol Leviego-Civity

\[ \varepsilon_{ijk} = \left\{ \begin{array}{rcl} +1 & \text{jeśli} & (i, j, k) \in \{ (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \} \\ -1 & \text{jeśli} & (i, j, k) \in \{ (3,2,1), (1,3,2), (2,1,3) \} \\ 0 & \text{jeśli} & i = j\ \vee\ j = k\ \vee\ k = i \end{array} \right. \]

Iloczyn skalarny

\[ \begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \sum_{i} a_i b_i = \sum_i \sum_j a_i b_j \delta_{ij} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= ab \cos \angle (\vec{a}, \vec{b}) \\ \hat{e}_i \cdot \hat{e}_j &= \delta_{ij} \\ \hat{e}_{a} \cdot \hat{e}_{b} &= \cos \angle (\vec{a}, \vec{b}) \end{align*} \]

Iloczyn wektorowy

\[ \begin{align*} \vec{a} \times \vec{b} &= \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \varepsilon_{ijk} \hat{e}_i a_j b_k \\ \vec{a} \times \vec{b} &= \left| \begin{array}{ccc} \hat{e}_x & \hat{e}_y & \hat{e}_z \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right| \\ &= (a_y b_z - a_z b_y) \hat{e}_x + (a_z b_x - a_x b_z) \hat{e}_y + (a_x b_y - a_y b_x) \hat{e}_z \\ \vec{a} \times \vec{b} &= ab \sin (\vec{a}, \vec{b}) \hat{e} \\ \hat{e}_x \times \hat{e}_y &= \hat{e}_z \\ \hat{e}_y \times \hat{e}_z &= \hat{e}_x \\ \hat{e}_z \times \hat{e}_x &= \hat{e}_y \\ \hat{e}_y \times \hat{e}_x &= -\hat{e}_z \\ \hat{e}_z \times \hat{e}_y &= -\hat{e}_x \\ \hat{e}_x \times \hat{e}_z &= -\hat{e}_y \end{align*} \] Dowód: \[ \begin{align*} \vec{a} \times \vec{b} &= (a_x, a_y, a_z) \times (b_x, b_y, b_z) \\ &= (a_x \hat{e}_x + a_y \hat{e}_y + a_z \hat{e}_z) \times (b_x \hat{e}_x + b_y \hat{e}_y + b_z \hat{e}_z) \\ &= a_x b_x \underbrace{\hat{e}_x \times \hat{e}_x}_{= \vec{0}} +\ a_x b_y \underbrace{\hat{e}_x \times \hat{e}_y}_{= \hat{e}_z} +\ a_x b_z \underbrace{\hat{e}_x \times \hat{e}_z}_{= -\hat{e}_y} \\ &\quad\ + a_y b_x \underbrace{\hat{e}_y \times \hat{e}_x}_{= -\hat{e}_z} +\ a_y b_y \underbrace{\hat{e}_y \times \hat{e}_y}_{= \vec{0}} +\ a_y b_z \underbrace{\hat{e}_y \times \hat{e}_z}_{= \hat{e}_x} \\ &\quad\ + a_z b_x \underbrace{\hat{e}_z \times \hat{e}_x}_{= \hat{e}_y} +\ a_z b_y \underbrace{\hat{e}_z \times \hat{e}_y}_{= -\hat{e}_x} +\ a_z b_z \underbrace{\hat{e}_z \times \hat{e}_z}_{= \vec{0}} \\ &= (a_y b_z - a_z b_y) \hat{e}_x + (a_z b_x - a_x b_z) \hat{e}_y + (a_x b_y - a_y b_x) \hat{e}_z \\ &= \left| \begin{array}{ccc} \hat{e}_x & \hat{e}_y & \hat{e}_z \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right| \end{align*} \]

Iloczyn mieszany

\[ (\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \left|\begin{array}{ccc} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{array}\right| \]

Objętość równoległościanu zbudowanego z wektorów \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) i \(\vec{c}\): \[ V = |(\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c})| \]

Różniczkowanie

\[ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \]

Tożsamości trygonometryczne

\[ \begin{align*} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha &= 1 \\ \sin 2\alpha &= 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \\ \sin (\alpha \pm \beta ) &= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha \pm \beta ) &= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\ \sin \arccos x &= \sqrt{1 - x^2} \end{align*} \]

Układy współrzędnych krzywoliniowych

Układ współrzędnych sferycznych: \[ \begin{align*} x &= r \sin \vartheta \cos \varphi \\ y &= r \sin \vartheta \sin \varphi \\ z &= r \cos \vartheta \end{align*} \]

Układ współrzędnych biegunowych: \[ \begin{align*} x &= \rho \cos \varphi \\ y &= \rho \sin \varphi \end{align*} \] Wersory układu współrzędnych biegunowych w układzie współrzędnych prostokątnych: \[ \begin{align*} \hat{e}_{\rho} &= \cos \varphi \cdot \hat{e}_x + \sin \varphi \cdot \hat{e}_y \\ \hat{e}_{\varphi} &= \cos (\pi / 2 + \varphi ) \hat{e}_x + \sin (\pi / 2 + \varphi) \hat{e}_y \\ &= -\sin \varphi \cdot \hat{e}_x + \cos \varphi \cdot \hat{e}_y \end{align*} \] Pochodne wersorów w układzie biegunowym: \[ \begin{align*} \frac{\mathrm{d} \hat{e}_{\rho}}{\mathrm{d} t} &= \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \hat{e}_{\varphi} \\ \frac{\mathrm{d} \hat{e}_{\varphi}}{\mathrm{d} t} &= -\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \hat{e}_{\rho} \end{align*} \] Dowód (pierwszej równości): \[ \begin{align*} \frac{\mathrm{d} \hat{e}_{\rho}}{\mathrm{d} t} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} (\cos \varphi (t) \hat{e}_x + \sin \varphi (t) \hat{e}_y) \\ &= \frac{\mathrm{d} \cos \varphi}{\mathrm{d} \varphi} \cdot \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \hat{e}_x + \frac{\mathrm{d} \sin \varphi}{\mathrm{d} \varphi} \cdot \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \hat{e}_y \\ &= -\sin \varphi \cdot \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \hat{e}_x + \cos \varphi \cdot \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \hat{e}_y \\ &= \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \underbrace{(-\sin \varphi \cdot \hat{e}_x + \cos \varphi \cdot \hat{e}_y)}_{= (\cos (\pi / 2 + \varphi ) \hat{e}_x + \sin (\pi / 2 + \varphi) \hat{e}_y) = \hat{e}_{\varphi}} \\ &= \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \hat{e}_{\varphi} \end{align*} \] Długość łuku we współrzędnych biegunowych: \[ \begin{align*} \mathrm{d}s &= \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\varphi}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\varphi}\right)^2}\,\mathrm{d}\varphi \\ &= \sqrt{\rho^2 + \left(\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}\varphi}\right)^2}\,\mathrm{d}\varphi \end{align*} \]

Kinematyka

Podstawowe pojęcia

Położenie: \[ \vec{r} \] Prędkość: \[ \vec{v} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \] Przyspieszenie: \[ \vec{a} = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} \]

Transformacja Galileusza

Załóżmy, że mamy dwa układy odniesienia: \(1\) oraz \(2\). Układ \(2\) porusza się względem układu \(1\). Położenie układu \(2\) względem układu \(1\) opisane jest wektorem położenia \(\vec{r}_{21}\). Ponadto względem układu \(1\) porusza się punkt \(P\) opisany w tym układzie wektorem położenia \(\vec{r}_{P1}\). Transformacja położenia, prędkości i przyspieszenia między układami: \[ \begin{align*} \vec{r}_{P1} &= \vec{r}_{P2} + \vec{r}_{21} \\ \vec{v}_{P1} &= \vec{v}_{P2} + \vec{v}_{21} \\ \vec{a}_{P1} &= \vec{a}_{P2} + \vec{a}_{21} \end{align*} \]

Równanie parametryczne

Równanie parametryczne toru w dwóch wymiarach: \[ \begin{align*} x &= x(t) \\ y &= y(t) \end{align*} \] Równanie toru w dwóch wymiarach (szczególny przypadek, gdy \(y\) można zapisać jako funkcję \(x\)): \[ y = y(x) \]

Rzut ukośny

Równanie parametryczne toru w rzucie ukośnym (\(\alpha = \angle(\vec{v}_0, \hat{e}_x)\)): \[ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x_0 + v_0 \cos \alpha \cdot t \\ y_0 + v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \end{array} \right] \]

Linia śrubowa

Równanie parametryczne linii śrubowej: \[ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} R \cos(\omega t + \varphi_0) \\ R \sin(\omega t + \varphi_0) \\ z_0 + vt \end{array} \right] \]

Ruch w biegunowym układzie współrzędnych

\[ \begin{align*} \vec{r} &= \rho \hat{e}_{\rho} \\ \vec{v} &= \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \\ &= \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t} \hat{e}_{\rho} + \rho \frac{\mathrm{d} \hat{e}_{\rho}}{\mathrm{d} t} \\ &= \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t} \hat{e}_{\rho} + \rho \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \hat{e}_{\varphi} \\ &= v_{\rho} \hat{e}_{\rho} + v_{\varphi} \hat{e}_{\varphi} \\ \vec{a} &= \frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t} \\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t} \hat{e}_{\rho} + \rho \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \hat{e}_{\varphi} \right) \\ &= \frac{\mathrm{d}^2 \rho}{\mathrm{d} t^2} \hat{e}_{\rho} + \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \hat{e}_{\varphi} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \rho \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \right) \hat{e}_{\varphi} - \rho \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \hat{e}_{\rho} \\ &= \left( \frac{\mathrm{d}^2 \rho }{\mathrm{d} t^2} - \rho \left( \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \right)^2 \right) \hat{e}_{\rho} + \left( 2 \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} + \rho \frac{\mathrm{d}^2 \varphi}{\mathrm{d} t^2} \right) \hat{e}_{\varphi} \\ &= a_{\rho} \hat{e}_{\rho} + a_{\varphi} \hat{e}_{\varphi} \end{align*} \]

Wersor styczny i normalny

Jeśli przyjąć, że \(s\) jest długością toru (krzywej) to można podać ogólne wzory na wersor styczny \(\hat{e}_{\mathrm{t}}\) oraz normalny \(\hat{e}_{\mathrm{n}}\): \[ \begin{align*} \hat{e}_{\mathrm{t}} = \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} s} = \frac{\mathrm{d} \vec{r} / \mathrm{d} t}{\mathrm{d} s / \mathrm{d} t} = \frac{\vec{v}}{v} \\ \hat{e}_{\mathrm{n}} = \frac{\mathrm{d} \hat{e}_{\mathrm{t}} / \mathrm{d} s}{\left| \mathrm{d} \hat{e}_{\mathrm{t}} / \mathrm{d} s \right|} \end{align*} \] Aby znaleźć zależność \(\vec{r}(s)\) na podstawie zależności \(\vec{r}(t)\) można zauważyć, że: \[ s(t) = \int_{t_0}^t v(t^{\prime})\, \mathrm{d}t^{\prime} \] po czym w pewnych sytuacjach można analitycznie odwrócić zależność \(s(t)\) na zależność \(t(s)\) i wtedy: \[ \vec{r}(s)= \vec{r}(t(s)) \]

Dynamika

Druga zasada dynamiki

\[ \vec{F} = m\vec{a} \]

„Nieważkie” obiekty

W problemach, w których występują „nieważkie” (tzn. o masie równej zero) przedmioty, np. linki, należy zauważyć, że siła wypadkowa działająca na taki przedmiot jest równa zero. W przeciwnym razie, zgodnie z drugą zasadą dynamiki, przedmiot miałby nieskończone przyspieszenie, co nie jest zgodne z mechaniką.

Sprężyna

Sprężyna o stałej sprężystości \(k\) przy rozciągnięciu (skurczeniu) jej o \(\Delta \vec{x}\) względem długości swobodnej oddziałuje siłą: \[ \vec{F} = -k\Delta \vec{x} \]

Równanie oscylatora harmonicznego

Równanie: \[ m\ddot{x} = -kx \] jest równaniem oscylatora harmonicznego i posiada rozwiązanie postaci: \[ x = A \sin \omega t + B \cos \omega t \] gdzie \(\omega^2 = k / m\).

Siła bezwładności

Na ciało o masie \(m\) znajdujące się w nieinercjalnym układzie odniesienia przyspieszanym z przyspieszeniem \(\vec{a}\) działa siła bezwładności: \[ \vec{F}_{\mathrm{b}} = -m\vec{a} \]

Wahadło

Okres drgań wahadła (przybliżenie małych drgań): \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \]

Siły pozorne w obracającym się układzie odniesienia

W inercjalnym układzie odniesienia \(\mathcal{O}\) zachodzi: \[ m\vec{a} = \vec{F} \] Po wprowadzeniu drugiego układu odniesienia \(\mathcal{O}_{\mathrm{r}}\), który obraca się względem pierwszego zachodzi: \[ m\vec{a}_{\mathrm{r}} = \vec{F} - m\dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} - 2m\vec{\omega} \times \vec{v}_{\mathrm{r}} - m\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) \] (siła Eulera, Coriolisa, odśrodkowa). Wykażemy to zakładając poniższą tożsamość dla dowolnego wektora \(\vec{A}\): \[ \frac{\mathrm{d} \vec{A}}{\mathrm{d} t} = \left( \frac{\mathrm{d} \vec{A}}{\mathrm{d} t} \right)_{\mathrm{r}} + \vec{\omega} \times \vec{A} \] Z powyższej równości wynikają w szczególności następujące dwa równania: \[ \begin{align*} \vec{v} = \vec{v}_{\mathrm{r}} + \vec{\omega} \times \vec{r} \\ \frac{\mathrm{d} \vec{\omega}}{\mathrm{d} t} = \left( \frac{\mathrm{d} \vec{\omega}}{\mathrm{d} t} \right)_{\mathrm{r}} \end{align*} \] Rachunek: \[ \begin{align*} \vec{a} &= \frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t} \\ &= \left( \frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t} \right)_{\mathrm{r}} + \vec{\omega} \times \vec{v} \\ &= \left( \frac{\mathrm{d} (\vec{v}_{\mathrm{r}} + \vec{\omega} \times \vec{r})}{\mathrm{d} t} \right)_{\mathrm{r}} + \vec{\omega} \times (\vec{v}_{\mathrm{r}} + \vec{\omega} \times \vec{r}) \\ &= \vec{a}_{\mathrm{r}} + \left( \frac{\mathrm{d} \vec{\omega}}{\mathrm{d} t} \right)_{\mathrm{r}} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \left( \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right)_{\mathrm{r}} + \vec{\omega} \times \vec{v}_{\mathrm{r}} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) \\ &= \vec{a}_{\mathrm{r}} + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} + 2 \vec{\omega} \times \vec{v}_{\mathrm{r}} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) \\ \end{align*} \]

Zasada zachowania pędu

Treść zasady: Suma pędów układu izolowanego (czyli takiego, na który nie działają siły zewnętrzne) jest stała.

Postać ogólna drugiej zasady dynamiki

\[ \vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} \] Jest to uogólnienie podanej wcześniej postaci: \[ \vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v} + m\underbrace{\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}}_{\vec{a}} \]

Równanie Ciołkowskiego

Rakieta w jednorodnym polu grawitacyjnym o natężeniu o wartości \(g\) porusza się w sposób opisany wzorem: \[ m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} = -\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t} W - mg \]