Fizyka II

Informacje organizacyjne

Strona z informacjami nt. przedmiotu znajduje się tutaj.

Strona przedmiotu znajduje się tutaj.

Poniżej znajdują się wybrane informacje przydatne podczas rozwiązywania zadań.

Przydatne wzory

Delta Kroneckera

\[ \delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & \text{gdy} & i = j \\ 0 & \text{gdy} & i \neq j \end{array} \right. \]

Całkowicie antysymetryczny symbol Leviego-Civity

\[ \varepsilon_{ijk} = \left\{ \begin{array}{rcl} +1 & \text{jeśli} & (i, j, k) \in \{ (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \} \\ -1 & \text{jeśli} & (i, j, k) \in \{ (3,2,1), (1,3,2), (2,1,3) \} \\ 0 & \text{jeśli} & i = j\ \vee\ j = k\ \vee\ k = i \end{array} \right. \]

Iloczyn skalarny

\[ \begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \sum_{i} a_i b_i = \sum_i \sum_j a_i b_j \delta_{ij} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= ab \cos \angle (\vec{a}, \vec{b}) \\ \hat{e}_i \cdot \hat{e}_j &= \delta_{ij} \\ \hat{e}_{a} \cdot \hat{e}_{b} &= \cos \angle (\vec{a}, \vec{b}) \end{align*} \]

Iloczyn wektorowy

\[ \begin{align*} \vec{a} \times \vec{b} &= \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \varepsilon_{ijk} \hat{e}_i a_j b_k \\ \vec{a} \times \vec{b} &= \left| \begin{array}{ccc} \hat{e}_x & \hat{e}_y & \hat{e}_z \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right| \\ &= (a_y b_z - a_z b_y) \hat{e}_x + (a_z b_x - a_x b_z) \hat{e}_y + (a_x b_y - a_y b_x) \hat{e}_z \\ \vec{a} \times \vec{b} &= ab \sin (\vec{a}, \vec{b}) \hat{e} \\ \hat{e}_x \times \hat{e}_y &= \hat{e}_z \\ \hat{e}_y \times \hat{e}_z &= \hat{e}_x \\ \hat{e}_z \times \hat{e}_x &= \hat{e}_y \\ \hat{e}_y \times \hat{e}_x &= -\hat{e}_z \\ \hat{e}_z \times \hat{e}_y &= -\hat{e}_x \\ \hat{e}_x \times \hat{e}_z &= -\hat{e}_y \end{align*} \] Dowód: \[ \begin{align*} \vec{a} \times \vec{b} &= (a_x, a_y, a_z) \times (b_x, b_y, b_z) \\ &= (a_x \hat{e}_x + a_y \hat{e}_y + a_z \hat{e}_z) \times (b_x \hat{e}_x + b_y \hat{e}_y + b_z \hat{e}_z) \\ &= a_x b_x \underbrace{\hat{e}_x \times \hat{e}_x}_{= \vec{0}} +\ a_x b_y \underbrace{\hat{e}_x \times \hat{e}_y}_{= \hat{e}_z} +\ a_x b_z \underbrace{\hat{e}_x \times \hat{e}_z}_{= -\hat{e}_y} \\ &\quad\ + a_y b_x \underbrace{\hat{e}_y \times \hat{e}_x}_{= -\hat{e}_z} +\ a_y b_y \underbrace{\hat{e}_y \times \hat{e}_y}_{= \vec{0}} +\ a_y b_z \underbrace{\hat{e}_y \times \hat{e}_z}_{= \hat{e}_x} \\ &\quad\ + a_z b_x \underbrace{\hat{e}_z \times \hat{e}_x}_{= \hat{e}_y} +\ a_z b_y \underbrace{\hat{e}_z \times \hat{e}_y}_{= -\hat{e}_x} +\ a_z b_z \underbrace{\hat{e}_z \times \hat{e}_z}_{= \vec{0}} \\ &= (a_y b_z - a_z b_y) \hat{e}_x + (a_z b_x - a_x b_z) \hat{e}_y + (a_x b_y - a_y b_x) \hat{e}_z \\ &= \left| \begin{array}{ccc} \hat{e}_x & \hat{e}_y & \hat{e}_z \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right| \end{align*} \]

Elementy powierzchni

Kartezjański układ współrzędnych \((x, y, z)\): \[ \begin{align*} \mathrm{d}\vec{S}_x &= \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \, \hat{e}_x \\ \mathrm{d}\vec{S}_y &= \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x \, \hat{e}_y \\ \mathrm{d}\vec{S}_z &= \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \hat{e}_z \end{align*} \] Układ cylindryczny \((\rho, \varphi, z)\): \[ \begin{align*} \mathrm{d}\vec{S}_{\rho} &= \rho \cdot \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}z \, \hat{e}_{\rho} \\ \mathrm{d}\vec{S}_{\varphi} &= \mathrm{d}z \, \mathrm{d}\rho \, \hat{e}_{\varphi} \\ \mathrm{d}\vec{S}_z &= \rho \cdot \mathrm{d}\rho \, \mathrm{d}\varphi \, \hat{e}_z \end{align*} \] Układ sferyczny \((r, \vartheta, \varphi)\): \[ \begin{align*} \mathrm{d}\vec{S}_r &= r^2 \sin\vartheta \cdot \mathrm{d}\vartheta \, \mathrm{d}\varphi \, \hat{e}_r \\ \mathrm{d}\vec{S}_{\vartheta} &= r \sin\vartheta \cdot \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}r \, \hat{e}_{\vartheta} \\ \mathrm{d}\vec{S}_{\varphi} &= r \cdot \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\vartheta \, \hat{e}_{\varphi} \end{align*} \]

Całkowanie przez części

Całkowanie przez części: \[ \int f^{\prime}(x) g(x) \,\mathrm{d}x = f(x) g(x) - \int f(x) g^{\prime}(x) \,\mathrm{d}x \]

Elektrostatyka

Gęstość ładunku

Gęstość ładunku — liniowa, powierzchniowa i objętościowa: \[ \lambda = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}l}, \quad \sigma = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}S}, \quad \rho = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}V} \]