Podstawowe parametry parowozu

Podczas rozmyślania o moim modelu wielokrotnie zadawałem sobie i innym pytanie, jak ma się działanie modelu wykonanego w skali do funkcjonowania prototypu, jak należałoby skonstruować model, żeby dobrze działał, na jakie uproszczenia można sobie pozwolić, jakie układy mogą działać w modelu, wreszcie jak osiągnąć możliwe największą wydajność.

Okazuje się, że na niektóre z tych pytań można odpowiedzieć podając proporcje. Postaram się poniżej wyprowadzić prawa skalowania zasadniczych elementów parowozu. Jak chodzi o to, czego nie przenosimy do modelu w skali (tak jest np. z masą - zazwyczaj modele dociążamy) postaram się podać kilka wzorów. Strona ta będzie zawierała również pytania, na które nie umiem odpowiedzieć - jeśli wiesz, albo wiesz lepiej - napisz.

Skalowanie

W wiernym modelu odwzorowujemy każdy szczegół w skali - wszystkie odległości zmniejszają się o czynnik skali, dalej oznaczony przez k, powierzchnie o k2, zaś objętości o k3. W przybliżeniu podobnie jak objętości przeskalują się masy poszczególnych części. Wielkość tych efektów w różnych skalach zestawiłem poniżej:
Skala Rozstaw torów Powierzchnia Objętość
1:1 1435 1m2 1m3
VI 1:5,5260 (10¼") 331cm2 6.01dm3
V 1:8 184 (7¼") 156cm2 1.95dm3
IV 1:11 127 (5") 82.6cm2 751cm3
III 1:16 89 (3½") 39.1cm2 244cm3
II 1:22,5 64 (2½") 19.8cm2 87.8cm3
I 1:32 45 (1¾") 9.77cm2 30.5cm3
O 1:45 32 (1¼") 4.94cm2 11cm3
S 1:64 22,5 2.44cm2 3.81cm3
HO 1:87 16,5 1.32cm2 1.52cm3
TT 1:120 12 69.4mm2 0.579cm3

Siły

O siłach tarcia założymy, że pochodzą od sił nacisku, które skalują się jak masa, czyli z trzecią potęgą skali.
Siły bezwładnosci są proporcjonalne do masy oraz przyspieszenia. Jeśli częstość lub czas ruchów pozostają takie jak w prototypie, zaś droga spada k razy, to siły bezwładności spadna k4 razy.
Momenty sił tarcia spadaja jak k4, bo ramię sił spada k razy. Momementy sił bezwładności spadają k5 razy.
W małych skalach możemy zatem pominąć wpływ bezwładności. W dalszych rozważaniach po prostu go zaniedbam.

Naprężenia i odkształcenia

Naprężenia rozciągajace oraz zginające pochodzące od sił tarcia lub nacisku spadaja k razy (bo siła spada k3, a powierzchnia przekroju k2 razy; moment siły k4, a wysokość przekroju x powierzchnia przekroju k3 razy). Analogicznie naprężenia od sił bezwładności spadną k2 razy.
Względne odkształcenia pod działaniem siłami nacisku lub tarcia spadnie w przypadku zastosowania takiego samego materiału tak samo jak na naprężenie, czyli k razy. Celem oszacowania można przyjąć, że mosiądz ugnie sie 2-3 razy bardziej niż stal.

Maksymalna siła pociągowa

Siła pociągowa parowozu ma swój początek w cylindrach. Jest ona proporcjonalna do nadciśnienia pary oraz powierzchni tłoka:

F ~ p Stłoka
Z drugiej strony siłą ta przeciwstawia się siłom oporu, które, przy założeniu takich samych współczynników tarcia, są proporcjonalne do masy, oraz siłom bezwładności taboru, które również są proporcjonalne do masy. Założymy dla uproszczenia, że model jest wierny i wykonany z takich samych materiałów. Wówczas potrzeba siła pociągowa skaluje się jak objętość
F ~ V ~ 1/k3
gdzie k oznacza skalę. Przyrównując obie siły dostajemy, że w wiernym modelu powinniśmy zmniejszyć ciśnienie w kotle k razy, czyli zgodnie ze skalą.

Wobec tego, jeśli nie nie ma potrzeby tak znacznie zmniejszać ciśnienia w kotle, można zmniejszyć powierzchnię tłoka, w stosunku do wynikającej ze skali.

S' = S
p0
k p
gdzie S' jest nową powierzchnią tłoka, p0 ciśnieniem kotłowym prototypu, a p modelu.

Moc

rozumowanie 1

Moc jest równa iloczynowi siły pociągowej przez prędkość. Ponieważ siłą pociągowa skaluje się jak masa parowozu, zaś prędkość tradycyjnie pomniejszamy o czynnik skali, to
P = F v ~ 1/k4

rozumowanie 2

W idealnym silniku parowym średnia siła tłokowa nie zależy od prędkości, a od ciśnienia pary i napełnienia.

F ~ pi Stłoka
Gdzie pi jest średnim ciśnieniem w cylindrze, które zależy od ciśnienia kotłowego oraz napełnienia. Wobec tego moc rośnie liniowo wraz ze wzrostem prędkości.

W rzeczywistym parowozie wraz ze wzrostem prędkości pojawia się spadek ciśnienia między kotłem a cylindrem, który powoduje spadek siły tłokowej a więc i pociągowej wraz ze wzrostem prędkości parowozu. Spadek ten jest średnio rzecz biorąc wprost proporcjonalny do prędkości pary w przewodach którymi biegnie ona do cylindrów:

vpary ~
nVc
Srur
gdzie n jest częstością obrotów kół, Vc objętością cylindra, zaś Srur średnią powierzchnią przekroju przewodów parowych. Podstawiając czynniki skalujące objętość cylinda oraz przekrój rur dostajemy, że
vpary ~
n pk,0
k2 pk,m
gdzie pk,0 to ciśnienie kotłowe prototypu a pk,m - modelu. Aby prędkość pary osiągneła takie wartości jak w prototypie, to model musiałby się poruszać z prędkością równą co najmniej prędkości prototypu! Ponieważ wpływ efektów dławienia pary zależy od prędkości przepływu, to wyciągamy z powyższego wniosek, że dla niezbyt dużych modeli poruszających się z prędkościami przeskalowanymi wpływ dławienia pary jest zupełnie zaniedbywalny.

Moc modelu jest ograniczona przez przyczepność, która to ogranicza siłę pociągową. Można ja przyjąc równą sile pociągowej prototypu przeskalowanej przez sześcian skali, bądź też około 1/4 masy na kołach napędnych. Mnożąc tą siłę przez maksymalna prędkość modelu dostaniemy maksymalną moc.

P ≈ Ft vmax/k
P ≈ 0.25 Mm vmax/k
W ten sposób dostaniemy moc wyższą niż z rozumowania 1.

Zużycie pary

Możemy oszacować minimalne zużycie pary przyjmując, że (przy silniku dwucylindrowym) 4 razy na obrót kół wydmuchiwana jest para o ciśnieniu atmosferycznym i objętości cylindra. Para taka ma gęstość około 0.6 mg/cm3.
Lepsze oszacowanie dostaniemy zakładając, że przy każdym obrocie kół cylidnry pobierają 4εVc pary z kotła, która przy ciśnieniu 4atm ma gęstość 2.6mg/cm3.