Energia, moc, widmo

Jeśli sygnałem będzie np. prąd elektryczny, płynący w obwodzie o jednostkowej oporności w czasie od 0 do $T$, to wytracona przez niego energia wyniesie $\int_0^T s(t)^2 d t$. W ogólności, biorąc pod uwagę sygnały o wartościach zespolonych, całkowitą energię sygnału definiujemy jako $\int_{-\infty}^{\infty} \vert s(t) \vert^2 d t$. Moc to oczywiście energia wytracana w jednostce czasu, czyli $\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \vert s(t) \vert^2 d t$. Jak widać z powyższego twierdzenia, dla sygnałów okresowych możemy ją również obliczać jako sumę kwadratów współczynników szeregu Fouriera $\sum c_n^2$. Pozwala to interpretować $c_n^2$ jako moc, niesioną przez odpowiadającą mu częstość. Wykres tej wielkości w zależności od częstości nazywamy widmem mocy sygnału. Dla sygnału okresowego widmo mocy będzie dyskretne (patrz rys. 2.1).

Wszystko to nie tyczy się li tylko sygnałów czysto okresowych; z sygnału nie-okresowego $s(t)$, określonego na skończonym przedziale $[0, T]$, możemy utworzyć sygnał okresowy $s_T(t)$:

$\qquad \longrightarrow \qquad$

$$s_T(t)=s(t),\;t\in[0,T]$$ (2.9)

$$s_T(t+nT)=s(t),\;n=1,2,\ldots$$ (2.10)

tożsamy z $s(t)$ w przedziale $[0, T]$, który można już przedstawić w postaci sumy (2.5).

Przykład 2.1   Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji $\Theta(t)$ (rys. 2.1), określonej na przedziale $[0,1]$ w następujący sposób:

$$\Theta(t) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 &, & t \in [0, \frac{1}{2})\\ 0 &, & t \in [ \frac{1}{2}, 1] \end{array} \right.$$ (2.11)

Bezpośrednio z wzoru 2.6 dostajemy (dla $T = 1$)

$$c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \Theta(t) e^\frac{i 2\pi n t}{T} ... ...0 ) = \left [\frac{1}{i 2\pi n} e^{{i 2\pi n t}} \right ]_{t=0}^{t=\frac{1}{2}}$$

$$= \frac{1}{i 2\pi n} ( e^{i \pi n} - 1 ) = \left\{ \begin{arr... ...i n & \mathrm{dla}\; n = \pm1, \pm3, \ldots \end{array}\right .$$

$$(\mathrm{dla}\; n=0) \;\; c_0 = \int_{0}^\frac{1}{2} 1 d t = \frac{1}{2}$$

Tak więc z wzoru 2.5

$$\Theta(t) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{-i 2 \pi t n} = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} e^{-i 2 \pi t n}=$$

$$= \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \left( \cos(2\pi n t) - i \sin( 2\pi n t) \right)=$$

$$= \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \cos(2\pi n t)\;\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{1}{\pi n} \sin( 2\pi n t)$$

W sumie kosinusów wyrazy dla $n>0$ znoszą odpowiednie wyrazy dla $-n$, w sumie sinusów wyrazy dla $\pm n$ dodają się, dając w efekcie

$$\Theta(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(2\pi (2n-1) t\right)}{(2n-1)}$$ (2.12)

Rysunek: Od góry, kolejno: funkcja $\Theta$ (równanie 2.11), ,,uzupełniona'' do funkcji okresowej według wzoru 2.10, pierwszych 30 współczynników szeregu Fouriera, kwadraty współczynników szeregu Fouriera -- dyskretne widmo, pierwszy wyraz rozwinięcia Fouriera, sumy pierwszych 10, 50, 500 i 5000 wyrazów rozwinięcia (2.12). Jak widać, najtrudniejsza do wyrażenia z pomocą funkcji trygonometrycznych jest nieciągłość funkcji $\theta (t)$ w punktach $\left \{\pm \frac {k}{2}, k \in N \right \}$; niejednorodna zbieżność szeregów Fouriera w tych rejonach nosi nazwę efektu Gibbsa.