badając średnią próby względem wartości oczekiwanej

testując hipotezę dla populacji o znanej wariancji

Załóżmy, że mamy próbą losową składającą się z $N$ wartości $x_1, x_2 \ldots x_N$ pochodzącą z populacji o rozkładzie normalnym o znanej wariancji równej $\sigma^2$. Chcemy przetestować hipotezę (zerową), że prawdziwa wartość mierzonej wielkości $\mu$ (wartość oczekiwana rozkładu, z którego losujemy) wynosi $\mu_0$.

Jako „przeciwieństwo” hipotezy zerowej $H_0$ formułujemy hipotezę alternatywną $H_1$, która może być przedstawiona na dwojaki sposób:

$\mu \gt \mu_0$ (alternatywnie $\mu \lt \mu_0$), mamy wtedy do czynienia z testem jednostronnym
$\mu \ne \mu_0$, mamy wtedy do czynienia z testem dwustronnym

Jako miarę istotności oszacowania, ustalamy poziom istotności α jako maksymalne dopuszczane przez nas prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju, czyli odrzucenia hipotezy zerowej mimo jej prawdziwości. Zazwyczaj przyjmujemy w tym celu wartość α=0.05 lub mniejszą.

Po sformułowaniu hipotez, wybieramy statystykę testową $$z = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{N}}$$ o której wiemy, że przy założeniu hipotezy zerowej powinna mieć rozkład normalny $N(0,1)$.

Na podstawie wartości statystyki możemy obliczyć „p-wartość” $p$, czyli specjalną statystykę, która

jeśli hipoteza zerowa jest prawdziwa, będzie miała rozkład jednostajny na $[0;1]$
jeśli hipoteza zerowa jest fałszywa, będzie miała wartości bliskie zeru

Wartość $p$ obliczymy z użyciem dystrybuanty rozkładu normalnego, podobnie jak w rozdziale o obliczaniu prawdopodobieństwa.

import math
import scipy.stats
# z to wartość statystyki testowej

# dla testu prawostronnego (H₁: µ > µ₀)
# obliczamy prawdopodobieństwo w obszarze krytycznym od z do +∞
p = 1 - scipy.stats.norm.cdf(z)

# dla testu lewostronnego (H₁: µ < µ₀)
# obliczamy prawdopodobieństwo w obszarze krytycznym od −∞ do z
p = scipy.stats.norm.cdf(z)

# dla testu dwustronnego (H₁: µ ≠ µ₀)
# obliczamy prawdopodobieństwo w obszarze krytycznym od −∞ do −|z| i od +|z| do +∞
p = 2 * scipy.stats.norm.cdf(-math.abs(z))

Jeżeli $p \lt \alpha$, możemy odrzucić $H_0$ na korzyść $H_1$.

autor: Piotr Różański, ostatnia modyfikacja: 10.04.2016