badając wariancję próby względem wariancji rozkładu

testując hipotezę dla populacji o nieznanej wartości oczekiwanej

Załóżmy, że mamy próbą losową składającą się z $N$ wartości $x_1, x_2 \ldots x_N$ pochodzącą z populacji o rozkładzie normalnym o nieznanej wartości oczekiwanej. Chcemy przetestować hipotezę (zerową), że prawdziwa wariancja mierzonej wielkości $\sigma^2$ (wariancja rozkładu, z którego losujemy) wynosi $\sigma_0^2$.

Jako „przeciwieństwo” hipotezy zerowej $H_0$ formułujemy hipotezę alternatywną $H_1$, która może być przedstawiona na dwojaki sposób:

$\sigma^2 \gt \sigma_0^2$ (alternatywnie $\sigma^2 \lt \sigma_0^2$), mamy wtedy do czynienia z testem jednostronnym
$\sigma^2 \ne \sigma_0^2$, mamy wtedy do czynienia z testem dwustronnym

Jako miarę istotności oszacowania, ustalamy poziom istotności α jako maksymalne dopuszczane przez nas prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju, czyli odrzucenia hipotezy zerowej mimo jej prawdziwości. Zazwyczaj przyjmujemy w tym celu wartość α=0.05 lub mniejszą.

Po sformułowaniu hipotez, wybieramy statystykę testową $$\chi^2 = \frac{N s_0^2}{\sigma_0^2}$$ o której wiemy, że przy założeniu hipotezy zerowej powinna mieć rozkład chi-kwadrat o $N-1$ stopniach swobody. $s_0^2$ jest tutaj obciążonym estymatorem wariancji.

Na podstawie wartości statystyki możemy obliczyć „p-wartość” $p$, czyli specjalną statystykę, która

jeśli hipoteza zerowa jest prawdziwa, będzie miała rozkład jednostajny na $[0;1]$
jeśli hipoteza zerowa jest fałszywa, będzie miała wartości bliskie zeru

Wartość $p$ obliczymy z użyciem dystrybuanty rozkładu normalnego, podobnie jak w rozdziale o obliczaniu prawdopodobieństwa.

import math
import scipy.stats
# c2 to wartość statystyki testowej, N to rozmiar próby

# dla testu prawostronnego (H₁: µ > µ₀)
# obliczamy prawdopodobieństwo w obszarze krytycznym od c2 do +∞
p = 1 - scipy.stats.chi2(N-1).cdf(c2)

# dla testu lewostronnego (H₁: µ < µ₀)
# obliczamy prawdopodobieństwo w obszarze krytycznym od −∞ do c2
p = scipy.stats.chi2(N-1).cdf(c2)

# dla testu dwustronnego (H₁: µ ≠ µ₀)
# obliczamy prawdopodobieństwo w obszarze krytycznym od −∞ do −|c2| i od +|c2| do +∞
p = 2 * scipy.stats.chi2(N-1).cdf(-math.abs(c2))

Jeżeli $p \lt \alpha$, możemy odrzucić $H_0$ na korzyść $H_1$.

autor: Piotr Różański, ostatnia modyfikacja: 10.04.2016