Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing

Przypomnijmy wzór (2.13) na odwrotną transformację Fouriera sygnału ciągłego

$$s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f$$

Dyskretne wartości tego sygnału, próbkowane w chwilach $n \Delta t$, możemy odtworzyć z powyższgo równania dla $t = n \Delta t$

$$s(n\Delta t) =\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f =$$

$$= \sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{(2r - 1)}{2\Delta t}^\frac{(... ...pi n \Delta t f} d f \;\; \stackrel{f \rightarrow f+\frac{r}{\Delta t}}{=} \;\;$$

$$= \sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\De... ... \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t (f + \frac{r}{\Delta t})} d f =$$

$$= \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\Delta t} \sum_{r=-\infty}^\infty \hat{s}\left(f + \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f$$ (2.30)

Szukając wartości sygnału w dyskretnych chwilach czasu, dostaliśmy w miejsce odwrotnej transformaty Fouriera całkę w ograniczonym zakresie z funkcji będącej (nieskończoną) sumą powtórzeń transformaty Fouriera sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności $\Delta t$. Ilustruje to rysunek 2.4.

Rysunek: Próbkowanie ( $\Delta t = 1$) sygnałów o częstościach: (a) 0.27, (b) 0.6 i (c) 1.27. Widzimy, że sygnał (b) o częstości 1.27 daje w chwilach próbkowania wartości dokładnie takie same, jak sygnał (a) o częstości 0.27 (aliasing). Sygnał (d) jest sumą (a), (b) i (c). e) - dodatnia część modułu transformaty Fouriera sygnału ciągłego (d). f) - jak e), ale obliczane dla sygnału dyskretnego (wartości tylko w miejscach oznaczonych kropkami). Porównując równanie (2.30) z przejściem od e) do f) widać, że częstość 1.27 zlewa się z częstością 0.27 ($r = -1$) -- wysokość odpowiadającego im piku wzrasta dwukrotnie w stosunku do mniejszego piku częstości 0.6, który ,,zawija się'' z kolei na 0.4 (w tym przypadku $r = 1$ a ,,zawija się'' dokładnie częstość $-0.6$)