Zasada nieoznaczoności

Zasada nieoznaczoności (Heisenberga) w mechanice kwantowej nie opisuje granic dokładności pomiarów, lecz fakt, że cząstka nie może jednocześnie mieć dobrze określonych np. pędu i położenia: $\Delta x \Delta p_x \geq h/2\pi$^3.1, gdzie $\Delta$ odpowiada wariancji rozkładu prawdopodobieństwa wokół średniej. Podobnie w analizie sygnałów:

Twierdzenie 6 (Zasada nieoznaczoności)   Iloczyn wariancji w czasie $\sigma_t^2$ i w częstości kołowej $\sigma_\omega^2$ dla funkcji $s\in L^2(\mathbb{R})$ jest nie mniejszy niż $\frac{1}{4}$

$$\sigma^2_t \sigma^2_\omega \ge \frac{1}{4}$$

gdzie:

$$\sigma^2_t = \frac{1}{\Vert s(t)\Vert^2} \int_{-\infty}^{\infty}(t-u)^2\vert s(t)\vert^2 dt$$

$$\sigma^2_\omega = \frac{1}{2\pi \Vert s(t)\Vert^2} \int_{-\infty}^{\infty}(\omega-\xi)^2\vert\hat{s}(\omega)\vert^2 d\omega$$

gdzie:

$$u = \frac{1}{\Vert s(t)\Vert^2} \int_{-\infty}^{\infty} t \vert s(t)\vert^2 dt$$

$$\xi = \frac{1}{2\pi\Vert s(t)\Vert^2} \int_{-\infty}^{\infty} \omega \vert\hat{s}(\omega)\vert^2 d\omega$$

Dla częstości $f = \frac{1}{T}$ mamy

$$\sigma^2_t \sigma^2_f \ge \frac{1}{16\pi^2}$$

Rysunek: Długi sinus (na górze) ma dobrze określoną częstość, ale nie możemy wiele powiedzieć o jego położeniu w czasie (ciągła linia). Gdy zawężamy (określamy) przedział czasu, w którym sygnał występuje (dolne wykresy), coraz trudniej mówić o częstości