... czasu^1.1

Uzyskane rezultaty nie zależą od fizycznej postaci zmiennej zależnej ($t$) i większość z nich stosowana jest np. w analizie obrazów.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... wytworzenia^1.2

Za sygnał przypadkowy możemy uznać sekwencję liczb, przyjmującym wartości z określonego przedziału, np. od 0 do 1, z jednakowym prawdopodobieństwem. Ponadto w takiej sekwencji nie powinny występować żadne zależności między prawdopodobieństwem ,,wylosowania'' następnej liczby a wartościami poprzednich, gdyż w nich właśnie może być zakodowana informacja. W przyrodzie znamiona takiej przypadkowości noszą zjawiska związane z rozpadem promieniotwórczym.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... dlaczego?^1.3

Odpowiedź nie kryje się (niestety) w niższej cenie nośnika. Pomimo, że technologia cyfrowa faktycznie pozwala na znacznie tańszą produkcję (tj. powielanie) przy zachowaniu wysokiej jakości -- jak wyjaśnimy za chwilę -- to jednak cena średnio dwukrotnie wyższa niż cena odp. płyty winylowej, która w pierwszym okresie była uzasadniona wysokimi kosztami wprowadzania nowej technologii, po jej rozpowszechnieniu pozostała na wywindowanym poziomie, podwajając zyski wytwórni fonograficznych

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... szumu.^1.4

Tak naprawdę sprawa nie jest beznadziejna:

• część zakłócen pochodzi z zanieczyszczeń; w tym przypadku zwykle pomaga delikatne czyszczenie płyty.
• Do pozostałych zakłóceń, których nie da się usunąć mechanicznie, stosuje się potężną metodologię analizy sygnałów (będącą przedmiotem następnych rozdziałów), która pomaga zgadnąć, które dźwięki w zapisie mogą pochodzić z zakłóceń. Zwykle jednak nie da się usunąć dokładnie wszystkich zakłóceń bez naruszenia brzmienia oryginału.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... błąd.^1.5

Ale poprawna suma nie daje gwarancji, że błędu nie ma. W jednej dziesiątce mogą wystąpić np. dwa jednakowe błędy o przeciwnych znakach i suma pozostanie niezmieniona. Dlatego sumy kontrolne liczy się w bardziej wyrafinowany sposób (np. CRC - Cyclic Redundancy Check)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... kopii^1.6

Prawdopodobieństwo wystąpienia uszkodzeń w tych samych fragmentach dwóch zapisów jest już bez porównania mniejsze niż pojedynczego uszkodzenia. Sposobem wprowadzania nadmiarowości, który minimalizuje prawdopodobieństwo wystąpienia takich pechowych przypadków, rządzi dość złożona matematyka z pogranicza statystyki, której nie będziemy tu omawiać. W każdym razie, dwie jednakowe kopie umieszczone jedna za drugą zwykle nie okazują się rozwiązaniem otymalnym.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... liniowości^2.1

Liniowość oznacza, że odpowiedź systemu na sumę dwóch sygnałów będzię sumą odpowiedzi tego systemu na każdy z sygnałów podanych osobno, czyli dodanie do wejścia drugiego sygnału nie zakłóci przetwarzania w tym samym czasie pierwszego z nich. Cecha taka jest pożądana np. w przypadku sprzętu audio, gdy nie chcemy, aby smyczki w kwartecie były odtwarzane inaczej niż w partii solowej.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... czasie^2.2

Niezmienniczość w czasie np. charakterystyk wzmacniacza zagwarantuje, że ta sama partia skrzypiec odtwarzana jutro będzie brzmiała tak samo jak dzisiaj.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... splot^2.3

Jak widać z równania 2.3, splot sygnałów $x[n]$ i $y[n]$ wyraża się wzorem $\sum_k x[k] y[n-k]$. Symetryczność splotu sekwencji nieskończonych względem zamiany $x$ i $y$ możemy udowodnić prostym podstawieniem $\sum_k \rightarrow \sum_j$ , gdzie $j=n+k$. Wyobrazić sobie splot najłatwiej na przykładzie ,,długiego'' sygnału $y$ i ,,krótkiego'' $x$: każdy punkt ($n$) sygnału $y$ zastępujemy ważoną sumą jego sąsiednich punktów. Wagami są odpowiednie wartości $x$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... zespolonej^2.4

Przypomnijmy wzór Eulera:

$$e^{ix}=\cos x + i\sin x \quad \Rightarrow \begin{cases}\cos... ...^{ix}+e^{-ix})\\ \sin x = \frac12(e^{ix}-e^{-ix}) \end{cases}$$

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...$\omega$^2.5

Po lekturze rozdziału 2.2 sumę tę skojarzymy z transformatą Fouriera odpowiedzi impulsowej

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... okresowych^2.6

Okresowość jest w matematyce silnym i ściśle zdefiniowanym wymogiem: $\forall t \, s(t + T) = s(t)$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... odpowiada^2.7

Jeśli znamy dokładnie wartości sygnału od $-\infty$ do $\infty$; w praktyce tak się nie zdarza, stąd m. in. rozdział .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Fouriera^2.8

poza rozbieżnością całki modułu, ,,popsuć'' wzory (2.14) i (2.13) może wyjątkowo patologiczne zachowanie funkcji, jak nieskończona liczba ekstremów lub punktów nieciągłości w skończonym przedziale. Podobnie wygląda sytuacja dla szeregów Fouriera.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...częstość^2.9

W kręgach inżynierskich po wojnie wprowadzonono termin ,,częstotliwość'', którego rozróżnienie od częstości nie jest powszechnie jednoznaczne; brak takich rozróżnień np. w innych językach europejskich, a w polskim wydaje się on równie potrzebny jak np. ,,gęstotliwość'' (na podstawie informacji prof. A. K. Wróblewskiego).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... $\Delta x \Delta p_x \geq h/2\pi$^3.1

stała Plancka $h\approx 10^{-34}$ J s.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... sposób^3.2

Po ,,wycentrowaniu'' autokorelacji $f(t)f(t+\tau)$ do postaci $f(t+\frac\tau 2) f(t-\frac\tau 2)$

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...^4.1

najczęstszym zastosowaniem decybeli jest określanie głośności dźwięku, stąd logarytmiczna skala odpowiadająca ludzkiej percepcji. W mianowniku pojawia się wtedy moc najcichszego słyszalnego dźwięku (próg słyszalności). Próg bólu to w tej skali ok. 120 dB

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... NP-trudny^4.2

NP-hard--klasa problemów, których złożoność obliczenowa rośnie z rozmiarem problemu szybciej niż dowolny wielomian [8]. Klasycznym przykładem jest problem komiwojażera, polegający na znalezieniu najkrótszej drogi łączącej określoną liczbę miast. Zobacz również Dodatek A.4.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... $\gamma~=~\{u,~s,~\omega\}$^4.3

faza $\Phi$ jest zwykle przedmiotem osobnej optymalizacji dla każdej dopasowywanej funkcji

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... neuronu-adresata^5.1

wybiórcze blokowanie neurotransmiterów przez niektóre leki psychotropowe czy narkotyki prowadzi m. in. do specyficznych zaburzeń działania mózgu

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... błędu)^5.2

Wzór na propagację wsteczną błędu otrzymujemu wypisując explicite wzór na wartości otrzymane na neuronach wyjściowych w zależności od wag i wartości wejściowych, i różniczkując go po wagach połączeń między kolejnymi warstwami.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (iteracja^5.3

Znacznie ciekawsze jest wykorzystanie GA do znajdowania zestawów $M$ funkcji wyjaśniających największy procent energii sygnału. Tu ograniczymy się do przypadku łatwiejszego w opisie.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... całkowitą^5.4

W praktyce stosujemy liczby zmiennoprzecinkowe.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... itd.^5.5

Jeśli na 16 bitach zapiszemy liczę z przedziału $(0,$   MAXINT$)$, gdzie MAXINT$=2^{16}-1=65535$, to dla sygnału długości $N$ punktów i wylosowanej czwórki liczb $(u, \omega, s, \phi)$ można rozpatrywać funkcje Gabora postaci

$$g_{(u, \omega, s, \phi)}(t) = K(u, \omega, s, \phi) e^{-\pi\left(... ...eft(t-\frac{u*N}{\text{MAXINT}}\right)+ 2\pi\frac{\phi}{\text{MAXINT}} \right)$$

gdzie $K(u, f, \omega, \phi)$ -- stała normalizująca energię do $1$ (por. równanie (4.8).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... algorytm^A.1

znany jest szereg algorytmów, opartych np. na sieciach neuronowych, znajdujących rozwiązanie sub-optymalne (bliskie najkrótszej drodze)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... wielomianowym^A.2

wykonywalność w czasie wielomianowym oznacza, że złożoność problemu rośnie z rozmiarem nie szybciej niż dowolny wielomian. I choć konkretne czasy obliczeń mogą być ogromne, to jednak takie problemy zaliczamy do kategorii ,,łatwo obliczalnych''

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.