Sygnały ciągłe i dyskretne

Wartości akcji w chwilach zamknięcia kolejnych sesji giełdy tworzą sygnał z natury dyskretny. Jednak w przyrodzie większość stanowią sygnały ciągłe, jak dźwięk (zmiany ciśnienia powietrza w czasie) czy elektroencefalogram (EEG, potencjał elektryczny mózgu mierzony z powierzchni czaszki). Niezależnie od tego, współczesna analiza sygnałów odnosi się w praktyce głównie do sygnałów dyskretnych. ,,Winne'' są oczywiście komputery, urządzenia z natury cyfrowe, czyli ,,rozumiejące'' wyłącznie dyskretne wartości. Zastanówmy się nad wynikającymi stąd korzyściami i stratami.

Jeśli sygnał z natury ciągły (np. dźwięk) zdecydujemy się analizować lub przechowywać w formie cyfrowej, to ciągłą funkcję (np. ciśnienia powietrza) w czasie musimy zastąpić jej wartościami zmierzonymi w określonych (najlepiej jednakowych) odstępach czasu, jak na rys. 1.2.

Rysunek: Próbkowanie zamienia ciągły sygnał (a) na punkty (b) o współrzędnych w chwilach próbkowania i odpowiadających im wartościach sygnału ciągłego. Jeśli dysponujemy tylko sygnałem próbkowanym (b), to możemy ,,uzupełnić'' wartości spomiędzy próbek przyjmując, że sygnał pomiędzy nimi jest np. liniowy (c) lub stały od poprzedniego punktu (d) -- widzimy rozbieżności z sygnałem oryginalnym (a). Faktyczną reprezentacją funkcji po próbkowaniu jest ciąg liczb (e) plus znajomość odstępu próbkowania $\Delta t$. Optymalny sposób odzyskania wartości spomiędzy próbek, jeśli próbkowanie przeprowadzono zgodnie z regułami sztuki, podaje rozdział 2.6

e) 1 1.992 0.751 0.07 1.482 1.81 0.315 0.363 1.844 1.426 0.049

Przy przejściu z reprezentacji ciągłej (rys. 1.2 a) do dyskretnej (b) tracimy informację o wartościach sygnału pomiędzy próbkami, a ,,naiwne'' próby ich rekonstrukcji (c i d) znacznie odbiegają od oryginału (a).

Rysunek: Próbkowane z częstością 1 oscylacje o częstościach (f), od góry: 1,3, 1, 0,5 i 0,3. Sinusa o częstości 0,3 można odtworzyć dokładnie z samych wartości dyskretnych (kropki), podobnie dla granicznej częstości 0,5. Natomiast próbkowane z tą samą częstością szybsze oscylacje wprowadzają przekłamania -- widoczna na samej górze oscylacja o częstości 1,3 daje w chwilach próbkowania wartości dokładnie takie same jak sygnał na dole. Zjawisko to nosi nazwę aliasingu (por. rozdział 2.5)

Pomimo tego, cyfrowy zapis dźwięku (płyty CD) zastąpił całkowicie analogowe ,,czarne płyty'' z winylu -- dlaczego?^1.3

• Po pierwsze, przy pewnych dodatkowych założeniach o sygnale ciągłym $s(t)$, możliwe jest jego dokładne odtworzenie z dyskretnej sekwencji próbek, jeśli odstęp próbkowania $\Delta t$ dobrano odpowiednio dla danego sygnału. Mowi o tym twierdzenie Nyquista (rozdział 2.6).
• Po drugie, zapis cyfrowy umożliwia korekcję błędów.