Analiza

Informację niesioną przez milion liczb, wylosowanych niezależnie spomiędzy 0 i 1, można przedstawić krócej niż przez wyliczenie ich wszystkich -- choćby tym właśnie zdaniem. Opis ten jest nie tylko bardziej zwięzły niż przytaczanie miliona wartości, ale oddaje jednocześnie najważniejsze ich cechy -- istotę sygnału. Zwięzłych, trafny i kompletny opis sygnałów występujących w przyrodzie to właśnie Święty Graal analizy sygnałów. Ta książka to zaledwie zbiór wskazówek, które przy rozsądnym stosowaniu mogą nas czasem doprowadzić w jego pobliże.

Zastanówmy się więc, na czym właściwie ma polegać analiza czy opis sygnału, w przypadku bardziej skomplikowanym niż przytoczony powyżej? Sięgniemy raz jeszcze do Słownika języka polskiego [13]:

analiza(...)1. «myślowe, pojęciowe wyodrębnienie cech, części, lub składników badanego zjawiska lub przedmiotu; badanie cech elementów lub struktury czegoś oraz zachodzących między nimi związków (...)»

Skoncentrujmy się najpierw na «wyodrębnianiu części lub składników». Ilustrację tego podejścia stanowi rysunek 1.1.

Rysunek: (a) = (b) + (c) + (d); $(b)= 0.3 \sin(2\pi 12 t)$ (sinus); $(c) = 0.7 e^{{-(t-0.8)^2}/{0.2}} \sin(2\pi 20 t)$ (funkcja Gabora); $(d) = 0.5 \sin(2\pi\,2\, t\; t )$ (chirp);

,,Tajemnicę'' konstrukcji sygnału z górnej części rysunku 1.1 odkrywają wyrysowane pod nim funkcje składowe. Sygnał (a) jest ich (liniową) sumą. Taki przypadek sygnału będącego liniową kombinacją znanych funkcji możemy przedstawić ogólnie jako

$$s(t) = \sum_{k} \alpha_k g_k$$ (1.1)

gdzie $\{g_i\}$ to zbiór ,,znanych'' funkcji, a $\alpha_i$ to współczynniki określające ich wkłady. W konkretnym przypadku sygnału z rysunku 1.1 wyglądałyby one następująco:

$$\left \{ \begin{array}{rl} \alpha_1 = 0.3, & g_1 = \sin(2 \pi 12 ... ...2\pi 20 t)\\ \alpha_3 = 0.5, &g_3 = \sin(2\pi\,2\, t\; t ) \end{array} \right .$$ (1.2)

Załóżmy, że interesująca nas w sygnale informacja została faktycznie zakodowana według równania (1.1). Niestety, dokładne ,,odgadnięcie'' reprezentacji typu równania (1.2) jest w ogólnym przypadku -- czyli w braku pewnej wiedzy a priori o sygnale -- niemożliwe. Już sam wybór rodzaju funkcji (np. sinusy i kosinusy) jest nieskończenie trudny -- wszak różnych funkcji jest nieskończenie wiele! Nawet gdy już zdecydujemy, jakiego rodzaju funkcje powinny najlepiej opisywać analizowany sygnał, to dobranie ich parametrów wciąż pozostaje poważnym problemem (patrz np. rozdział 4.2).

Ale analiza to również ,,badanie cech elementów lub struktury (...) oraz zachodzących między nimi związków''. Możemy pokusić się o ustalenie związku między wartością sygnału w danej chwili i w chwilach poprzednich, w postaci zależności liniowej:

$$s(t) = \alpha_1 s(t - \Delta t) + \alpha_2 s(t -2\Delta t) + \alpha_3 s(t - 3 \Delta t) + ...$$ (1.3)

Jeśli weźmiemy pod uwagę czynniki przypadkowe, jak np. niedokładność pomiarów, do równań (1.1) i (1.3) należy dodać element stochastyczny -- nie podlegający opisowi w ramach modelu szum $\epsilon$ (patrz rozdział ):

$$s(t) = \sum_{k=0}^{M} \alpha_k g_k + \epsilon_M$$ (1.4)

$$s(t) = \sum_{k=0}^{M} \alpha_k s (t - k \Delta t) + \epsilon_t$$ (1.5)

Na koniec zauważmy, że zaproponowane dotychczas modele mają postać liniowych sum. Uwzględnienie nieliniowości otwiera nowe, nie uwzględnione w tej książce rozdziały, jak np. chaos deterministyczny, fraktale ...