next up previous contents index
Next: Szereg Fouriera Up: Klasyczna analiza sygnałów Previous: Klasyczna analiza sygnałów   Spis tresci   Skorowidz


Systemy liniowe niezmiennicze w czasie (LTI)

Matematycznie system traktować będziemy jako transformację (operator), przekształcającą sygnał wejściowy $ x(t)$ w $ y(t)$:
$ x \longrightarrow$ \framebox{$T\{\cdot\}$\ } $ \longrightarrow T\{x\} = y$
Będziemy się zajmować klasą systemów liniowych niezmienniczych w czasie (ang. Linear Time-Invariant, LTI), działających na sygnałach dyskretnych, czyli:
$ x[n] \longrightarrow$ \framebox{$T\{\cdot\}$\ } $ \longrightarrow T\{x[n]\} = y[n]$

System $ T$ jest liniowy, gdy:

$\displaystyle T\{a x_1+b x_2\} = a T\{x_1\} + b T\{x_2\} = a y_1 + b y_2$ (2.1)

Dla takiego systemu interesujące będzie badanie przekształcenia sekwencji jednostkowej

$\displaystyle \delta[n]=\left\{ \begin{array}{l} 1 \;\mathrm{dla} \; n=0\\ 0 \;\mathrm{dla} \; n\ne 0 \end{array} \right .$ (2.2)

Niech $ h_k(n)$ - odpowiedź systemu $ T$ na impuls jednostkowy w punkcie $ k$:

$\displaystyle h_k[n] = T\{\delta[n-k]\}
$

Każdy dyskretny sygnał $ x$ możemy przedstawić jako ważoną sumę sekwencji jednostkowych:

$\displaystyle x[n] = \sum_k x[k] \delta[n-k]
$

Gdzie $ x[k]$, czyli wartość sygnału $ x$ w punkcie k, przyjmuje rolę liczby mnożącej funkcje $ \delta[n-k]$. Jeśli $ T$ jest systemem liniowym, to

$\displaystyle y[n] = T\left\{ \sum_k x[k]\delta[n-k] \right\} =\sum_k x[k] T\left\{\delta[n-k]\right\} = \sum_k x[k] h_k[n]
$

Jeśli system jest niezmienniczy w czasie, to odpowiedź na sekwencję jednostkową $ T\{\delta[n-k]\} = h_k[n]$ będzie niezależna od $ k$: $ T\{\delta[n-k]\} = h[n]$. Wtedy

$\displaystyle y[n]=\sum_k x[k] h[n-k] = x[n] \star h[n] = h[n] \star x[n] = \sum_k h[k] x[n-k]$ (2.3)

gdzie $ \star$ oznacza splot2.3. Otrzymaliśmy w ten sposób pierwszy ważny wynik:
Znając odpowiedź systemu liniowego niezmienniczego w czasie na sekwencję jednostkową, możemy obliczyć jego odpowiedź na dowolny sygnał. Tak więc funkcja odpowiedzi impulsowej systemu LTI stanowi jego kompletny opis.

\includegraphics[width=.3\columnwidth]{figures/impuls.eps} $ \longrightarrow$ \fbox{system} $ \longrightarrow$

Następnym krokiem w badaniu własności matematycznych przekształceń bywa poszukiwanie punktów stałych, czyli niezmienników. Rozważmy przekształcenie LTI wykładniczej funkcji zespolonej2.4 $ e^{i\omega n}$; z (2.3)

$\displaystyle T\left\{e^{i\omega n}\right\} = \sum_k h[k]\, e^{i\omega (n-k)} = e^{i\omega n} \sum_k h[k]\, e^{-i\omega k}$ (2.4)

Przed znak sumy wyciągneliśmy podlegającą transformacji zespoloną funkcję wykładniczą $ e^{i\omega n}$. Wartość sumy $ \sum_k
h[k]\,e^{-i\omega k}$ zależy od funkcji odpowiedzi impulsowej systemu $ h[k]$ i częstości $ \omega$2.5. Tak więc odpowiedź systemu LTI na funkcję $ e^{i\omega n}$ polega na wymnożeniu tej funkcji przez liczbę, czyli inaczej mówiąc funkcje zespolone od argmentu urojonego są wektorami własnymi przekstałceń LTI, a odpowiadające im wartości własne to $ \sum_k
h[k]\,e^{-i\omega k}$.

Gdybyśmy potrafili dowolną funkcję rozłożyć na sumę zespolonych funkcji wykładniczych, np. w postaci

$\displaystyle s[n] = \sum_k a_k e^{i k n},
$

działanie systemów LTI ograniczałoby się do łatwo obliczalnych modyfikacji współczynników $ a_k$. Następne rozdziały odpowiadają na pytanie, czy jest to możliwe. Rozważania te będzie łatwiej prowadzić w przestrzeni funkcji ciągłych, stąd na pewnien czas dyskretny sygnał $ s[n]$ zastąpimy ciągłym $ s(t)$. Zacznijmy od prostszego przypadku sygnałów okresowych2.6.


next up previous contents index
Next: Szereg Fouriera Up: Klasyczna analiza sygnałów Previous: Klasyczna analiza sygnałów   Spis tresci   Skorowidz
Piotr J. Durka 2004-01-05