Dyskretny słownik funkcji Gabora

Funkcję (atom) słownika czasowo-częstotliwościowego można wyrazić jako translację ($u$), rozciągnięcie ($s$) i modulację ($\omega$) funkcji okna $g(t) \in L^2(R)$

$$g_\gamma (t) = \frac {1} {\sqrt{s}} \: g \left ( \frac {t - u} {s} \right ) e^{i \omega t}$$ (4)

Optymalną lokalizację w przestrzeni czas-częstość otrzymujemy dla Gaussowskiej obwiedni $g(t)$, co w przypadku analizy sygnałów o wartościach rzeczywistych daje słownik rzeczywistych atomów Gabora:

$$g_\gamma(t)=K(\gamma,\phi)e^{-\pi{ \left( {t-u} \over {s} \right) }^2} \sin(\omega(t-u)+\phi))$$ (5)

$K(\gamma, \phi)$ zapewnia normalizację $\vert\vert g_{\gamma, \phi}\vert\vert=1$. Pomimo, że analizujemy sygnały dyskretne, parametry atomów słownika przyjmować mogą wartości z przedziałów ciągłych. Nawet jeśli w konstrukcji słownika dla sygnału o danej długości (np. rzędu $N = 10^3$ punktów) uwzględnimy tylko całkowite wartości parametrów $u$, $s$, i $\omega N$⁶ z zakresu ,,sensownego'' dla sygnału o danej długości, to i tak otrzymany rozmiar słownika powoduje ogromny koszt obliczeniowy procedury. W praktyce bardzo niewiele tracimy korzystając z relatywnie małego podzbioru przestrzeni (całkowitych) parametrów $\gamma~=~\{u,~s,~\omega\}$. Tak np. w ,,klasycznej'' implementacji, zaproponowanej przez autorów metody [7], dla sygnału o długości $N=2^L$ punktów

$$g_\gamma(n)=K(\gamma,\phi)e^{-\pi{ \left( {n-u} \over {s} \right) }^2} \sin(2 \pi \frac \omega N (n-u)+\phi))$$ (6)

Wybór parametrów podlega nowemu parametrowi--oktawie $j \in N$. Skala $s$, odpowiadająca szerokości atomu w czasie, pochodzi z diadycznej sekwencji $s=2^j, 0 \leq j \leq L$. Parametry $u$ i $\omega$, odpowiadające pozycji w czasie i częstości, są próbkowane dla każdej oktawy z interwałem $s = 2^j$.