Gęstość energii w przestrzeni czas-częstość

Z definicji transformaty Wignera:

$$W_f(t, \omega)=\int f \bigl (t + {\tau \over 2\;} \bigr)\... ...igl(t- {\tau \over 2} \bigr )\; } e^{- i \omega \tau } d \tau$$ (7)

i reprezentacji (3) możemy skonstruować estymatę gęstości energii sygnału w przestrzeni czas-częstość [7]. Transformata Wignera równania (3) daje

$${ W f = \sum_{n=0}^\infty \vert<R^n f, \;g_{\gamma_n}>\vert^2 W g_{\gamma_n} + }$$

$$\mbox{} + \sum_{n=0}^\infty \; \sum_{m\not=n} <R^n f,\; g_{\gamma_n}> \overline{<R^m f, \; g_{\gamma_m}>} W[g_{\gamma_n}, g_{\gamma_m}]$$

Podwójna suma zawiera wyrazy mieszane, znacząco fałszujące obraz rozkładu energii sygnału w klasycznej transformacie Wignera i pochodnych; minimalizacja ich wkładu w tych rozkładach jest przedmiotem zastosowań zaawansowanych technik matematycznych. Dzięki rozkładowi sygnału postaci równania (3), możliwe jest ich usunięcie explicite--po prostu pomijamy podwójną sumę, definiując wielkość $E f (t,\omega)$:

$$E f (t, \omega) = \sum_{n=0}^\infty \vert<R^n f, \;g_{\gamma_n}>\vert^2 \; W g_{\gamma_n} (t, \omega)$$ (9)

Dystrybucja Wignera pojedynczego atomu $g_\gamma$ spełnia

$$\int _{-\infty}^{+\infty} \int _{-\infty}^{+\infty} W g_{\g... ...) \: d t \:d \omega = \vert\vert g_{\gamma}\vert\vert^2 = 1$$ (10)

co w połączeniu z zachowaniem energii rozwinięcia MP (eq. 3) daje

$$\int _{-\infty}^{+\infty} \int _{-\infty}^{+\infty} E f (t, \omega)\: d t \: d \omega = \vert\vert f\vert\vert^2$$ (11)

Uzasadnia to interpretację wielkości $E f (t,\omega)$ jako gęstości energii sygnału $f(t)$ w przestrzeni czas-częstość.