Przestrzeń Hilberta

Wprowadźmy w przestrzeni wektorowej $H$ iloczyn skalarny $\left<u, v\right>: V\times V \rightarrow V$, spełniający dla $u, v, w \in H$ i $\alpha\in R$

1. $\left<u,v\right>=\left<v,u\right>$
2. $\left<u+v, w\right> = \left<u, w\right> + \left<v, w\right>$
3. $\left<\alpha u, v\right> = \alpha\left<u, v\right>$
4. $\left<v, v\right>\geq 0 ; \;\; \left<v, v\right>=0\Leftrightarrow v=0$

Jeśli $H$ jest zupełna według normy $\Vert v\Vert = \sqrt{\left<v, v\right>}$ , zwiemy ją przestrzenią Hilberta.