Wymagania: Znajomość pojęć, konstrukcji i twierdzeń geometrii różniczkowej (na poziomie kursu Geometria różniczkowa I na Wydziale Fizyki UW) oraz algebry (na poziomie kursu Algebra IR i IIR na Wydziale Fizyki UW).
Terminy i miejsce egzaminów: zostanie ustalony w porozumieniu ze słuchaczami i zakomunikowany na wykładzie.
Warunki dopuszczenia do egzaminu: Uczestnictwo w wykładach. Zaliczenie Ćwiczeń.
Warunki zaliczenia: Poprawna odpowiedź na dwa spośród pytań z Listy pytań egzaminacyjnych (po jednym z działów I. i II.) wylosowane przez osobę egzaminowaną oraz zreferowanie tematu do samodzielnego opracowania (z listy zamieszczonej poniżej) w formie ustnej lub pisemnej.
Tematy do samodzielnego opracowania:
Grupa Spin jako uniwersalna nakrywająca grupy obrotów — od przestrzeni kwadratowych do spinorów.
Zastosowania rachunku Cartana w opisie nieliniowych realizacji symetrii — od wiązek głównych po odwrotny efekt Higgsa.
Działania grup Liego na rozmaitościach — pola fundamentalne, działania właściwe, rozmaitości ilorazowe.
Kryterium Tuynmana—Wiegerincka całkowalności rozszerzenia centralnego algebry Liego do rozszerzenia centralnego grupy Liego — wiązki główne i odwzorowanie momentowe.
Interpretacja algebro-geometryczna wyższych grup kohomologii algebry Liego o wartościach w module trywialnym |R i jej zastosowania w modelach dynamiki naładowanych obiektów rozciągłych.
Grupy kwantowe Drinfelda—Jimbo jako struktury symetrii w dwuwymiarowej wymiernej konforemnej teorii pola i ich klasyczne pochodzenie.
...
Notatki wykładowe: wersja aktualna dostępna w zakładce Commentarii (pt. Teoria grup (pars continua))
Literatura:
Joachim Hilgert i Karl-Hermann Neeb, Structure and Geometry of Lie Groups, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2012.
José A. de Azcárraga i José M. Izquierdo, Lie groups, Lie algebras, cohomology and some applications in physics, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, 1995.
Brian Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 222, Springer, 2015.
Jürgen Fuchs i Christoph Schweigert, Symmetries, Lie Algebras and Representations, A graduate course for physicists, Cambridge University Press, 1997.
Shoshichi Kobayashi i Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, John Wiley & Sons, 1963-69.
Peter W. Michor, Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 93, American Mathematical Society, 2008.
Yvonne Choquet-Bruhat, Cécile DeWitt-Morette i Margaret Dillard Bleick, Analysis, Manifolds and Physics, Part I, II, Elsevier, 1996-2000.
John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 218, Springer, 2013.
Борис А. Дубровин, Сергей П. Новиков, Анатолий Т. Фоменко, Modern Geometry - Methods and Applications, vol. 1,2,3, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 93, 104, 124, Springer, 1984-90 (tłumaczenie pracy oryginalnej Современная геометрия, Методы и приложения, Том 1, 2, 3, Наука, 1979).
Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 5, Springer, 1971.
...
Materiały uzupełniające:
R.R.S., „Algebra. Podstawy”, skrypt do wykładu z „Algebry I i II R” (wersja przed-ostateczna, wszelkie uwagi mile widziane).
R.R.S., ,,Action directe grupy Liego'' — ucieczka z Kina Powszedniość w przestrzenie jednorodne przy użyciu Twierdzenia Cartana (o podgrupie domkniętej) i Twierdzenia o rozmaitości ilorazowej
RetroRedintegratio novissima 22/6/2022 confecta est.
Retro